2014高考数学(文)名师指导历炼题型：1-3 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理]

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高三数学二轮复习专题一第三讲不等式、线性规划、计数原理与二项式定理教案理

第三讲不等式、线性规划、计数原理与二项式定理研热点（聚焦突破）类型一不等式的性质与解法1．不等式的同向可加性a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭2．不等式的同向可乘性00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭3．不等式的解法一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)．若Δ>0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间．[例1] (1)(2012年高考湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：① c a >cb；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③(2)(2012年高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． [解析] (1)根据不等式的性质构造函数求解．∵a >b >1，∴1a <1b. 又c <0，∴ ca > cb ，故①正确．构造函数y ＝x c .∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1. ∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．(2)通过值域求a ，b 的关系是关键．由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24. ∴f (x )＝(x ＋a 2)2.又∵f (x )<c ，∴(x ＋a2)2<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴262ac m a c m ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩ 解得 26c =， ∴9c = [答案] (1)D (2)9跟踪训练(2012年高考福建卷)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：利用“三个二次”之间的关系． ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0， ∴0<a <8.答案：(0，8) 类型二线性规划求目标函数最值的一般步骤 (1)作出可行域；(2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值．[例2] (2012年高考课标全国卷)已知正三角形ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A．(1－3，2)B．(0，2)C．(3－1，2) D．(0，1＋3)[解析]利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围．如图，根据题意得C(1＋3，2)．作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1，3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z<－1＋3，∴1－3<z<2.∴z＝－x＋y的取值范围是(1－3，2)．[答案] A跟踪训练(2012年泰安高三模考)设变量x，y满足约束条件4312xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z＝11yx++的取值范围是() A．[0，4] B．[14，5]C ．[54，6] D ．[2，10]解析：11y x ++表示过点(x ，y )与点(－1，－1)的直线的斜率．根据题意，作出可行域，如图所示，由图知11y x ++的最小值是101134--=--，最大值是14510--=--，故选B. 答案：B类型三均值不等式的应用 1. 222a b ab +≥（,a b ∈R ） 2.2a bab +≥（,a b ∈R +） 3. 22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（,a b ∈R ）4.22222a b a b abab a b++≥≥≥+（,a b ∈R +） [例3] (2012年高考浙江卷)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A. 245 B.285 C ．5 D ．6[解析] 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15(1y ＋3x )＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )(1y ＋3x )＝15(3x y ＋4＋9＋12yx ) ＝135＋15(3x y ＋12y x )≥135＋15×23x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. [答案] C跟踪训练已知x>0，y>0，若28y xx y+>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2<m<4 D．－4<m<2解析：因为x>0，y>0，所以28y xx y+≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m2＋2m<8，解得－4<m<2.答案：D类型四排列与组合1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分步”问题．2．排列数A m n＝n！（n－m）！.组合数C m n＝n！m！（n－m）！.3．组合数性质(1)C m n＝C n－mn；(2)C m n＋C m－1n＝C m n＋1.[例4](2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6[解析]根据所选偶数为0和2分类讨论求解．当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C23C12＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C 23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C 12种方法，其余2个数字全排列，共有C 23C 12A 22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数． [答案] B跟踪训练(2012年高考山东卷)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472 D ．484解析：利用分类加法计数原理和组合的概念求解．分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C 14C 212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．答案：C类型五二项式定理1．二项展开式的通项：T k ＋1＝C k n an －k b k(k ＝0，1，…，n )． 2．二项式系数为C 0n ，C 1n ，…，C r n ，…，C n n (r ＝0，1，…n )．3．用赋值法研究展开式中各项系数之和．[例5] (2012年高考安徽卷)(x 2＋2)( 21x－1)5的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 [解析] 利用二项展开式的通项求解二项式(1x 2－1)5展开式的通项为：T r＋1＝C r5(1 x2)5－r·(－1)r＝C r5·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·C45x－2·(－1)4＝C45×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·C55x0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.[答案] D跟踪训练(2012年郑州模拟)在二项式(x2－1x)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A．32 B．－32C．0 D．1解析：依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于(12－11)5＝0，选C.答案：C析典题（预测高考）高考真题【真题】(2012年高考江苏卷)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，c ln b≥a＋c ln c，则ba的取值范围是________．【解析】由题意知435ln ln a ca b ca b cc b a c c b ce⎧+⎪+⎨⎪-⇒⎩≤≥≥≥作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2，b ＝72c . 此时(ba )max ＝7.由⎩⎨⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e ac ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1. 此时(b a )min ＝4c e e ＋14c e ＋1＝e.所以ba ∈[e ，7]．【答案】 [e ，7]【名师点睛】本题主要考查了不等式的性质、线性规划的应用等知识，命题角度创新，难度较大，解决此题的关键是将问题转化为线性规划问题，通过数形结合思想来解决．考情展望高考对线性规划的考查比较灵活，多以选择、填空形式出现，主要考查利用线性规划求目标函数最值及应用．常涉及距离型、斜率型、截距型．有时与函数、圆、平面向量等知识相综合．名师押题【押题】如果点P 在不等式组1023504310x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≤≤≥所确定的平面区域内，点Q 在曲线(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6【解析】画出可行域，如图所示，点Q在圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，易知|PQ|的最小值为圆心(－2，－2)到直线4x＋3y－1＝0的距离减去圆的半径1，即|PQ|min ＝|861|5---－1＝2，故选B.【答案】 B。

高考数学(文)名师指导历炼题型：1-3 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理[ 高考]

1．(交汇新)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)为f(x)的导函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x 2－6)＞1的解集为________．2．(背景新)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．3．(交汇新)已知O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2内的一个动点，要使OA →·(OA →－MA →)＋1m ≤0恒成立，则实数m 的取值范围为________．[历炼]1．解析：由导函数图象知当x ＜0时，f ′(x)＞0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数；当x ＞0时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f(x 2－6)＞1等价于f(x 2－6)＞f(－2)或f(x 2－6)＞f(3)，即－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(－3，－2)∪(2,3)．答案：(－3，－2)∪(2,3)2．解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x 0，y 0∈Z ，说明x 0，y 0是整数，作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．答案：63．解析：不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)，OA →·(OA →－MA →)＋1m ＝(－1，－2)·[(－1，－2)－(－1－x ，－2－y )]＋1m ＝(－1，－2)·(x ，y )＋1m ＝－x －2y ＋1m ≤0恒成立，即1m ≤x ＋2y 恒成立，等价于1m ≤(x ＋2y )min .令z ＝x ＋2y ，画参照线x ＋2y ＝0，当其平移到过D 点时，z min ＝1＋2×1＝3，∴ 1m ≤3，解得m ＜0或m ≥13.答案：(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞。

2014年高中数学题型分析(线性规划)

2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：线性规划（教师）一、选择题1 、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B2、设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]-约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C则2[3,3]z x y =-∈-3 、（2013年高考湖南卷（理））若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是（）A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】C4 、（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y -2x 的最小值为（）A ．-7B ．-4[来源:学.科.网]C ．1D ．2【答案】A5、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy中,M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为（）A ．2B ．1C ．13-D ．12-【答案】C6、（2013年高考北京卷（理））设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C7、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ,若直线()1y a x =+与D 公共点,则a 的取值范围是______.【答案】1[,4]28、（2013年高考陕西卷（理））若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 则2x -y 的最小值为___-4_____. 【答案】- 49、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈,是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.【答案】610、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________.【答案】211、（2012年高考（山东理））已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数3z x y =-的取值范围是（）A ．3[,6]2-B ．3[,1]2-- C ．[1,6]- D ．3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)0,2(E 时,直线z x y -=3的截距最小,此时z 最大为63=-=y x z ,当直线经过C 点时,直线截距最大,此时z 最小,由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ,此时233233-=-=-=y x z ,所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-,选A. 12、（2012年高考（辽宁理））设变量x,y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为（）A ．20B ．35C ．45D ．55【答案】D【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大,最大值为55,故选D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值. 13、（2012年高考（江西理））某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金面积(单位:亩)分别为（） A ．50,30 B ．30.20 C ．20,30 D ．20,50 B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y 亩,总利润为z 万元,则目标函数为(0.z x x y=⨯-+.线性约束条件为 50,1.20.954,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即50,43180,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出不等式组50,43180,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的可行域,易求得点()()()0,50,30,20, 0,45A B C . [来源:学.科.网]平移直线0.9z x y =+,可知当直线0.9z x y =+经过点()30,20B ,即30,20x y ==时,z 取得最大值,且max 48z =(万元).故选B.【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答.体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.14、（2012年高考（广东理））已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为（）A ．12B ．11C ．3D ．1-解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最大值.联立21y y x =⎧⎨=-⎩,解得32x y =⎧⎨=⎩,所以3z x y =+的最大值为11. 15、（2012年高考（福建理））若函数2xy =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B【解析】30x y +-=与2y x =的交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确.16、（2012年高考（新课标理））设,x y 满足约束条件:,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩;则2z x y =-的取值范围为_________【解析】2z x y =-的取值范围为[3,3]-约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域:(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C 则2[3,3]z x y =-∈-17、（2012年高考（浙江理））设a ∈R,若x >0时均有[(a -1)x -1]( x 2-ax -1)≥0,则a =______________.【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:(A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－, 无解; (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－, 无解. 因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x >0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图)我们知道:函数y 1=(a -1)x -1,y 2=x 2-ax -1都过定点P (0,—1).考查函数y 1=(a -1)x -1:令y =0,得M (11a -,0),还可分析得:a >1;考查函数y 2=x 2-ax -1:显然过点M (11a -,0),代入得:211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭,解之得:302a or =,舍去0a =,得答案:32a =. 【答案】32a =18、（2012年高考（上海春））若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是______.(,2]-∞19、（2012年高考（陕西理））设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为___________.解析:1,0()2,0x y f x x x ⎧>⎪'==⎨⎪-≤⎩,(1)1f '=,曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-,围成的封闭区域为三角形,2z x y =-在点(0,1)-处取得最大值2.2013年全国高考理科数学试题分类汇编3：线性规划（学生）1、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =（）A ．14B ．12C ．1D ．22、（2012年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为3 、（2013年高考湖南卷（理））若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是（）A ．5-2B ．0C ．53D ．524 、（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y -2x 的最小值为（）A ．-7B ．-4C ．1D ．25、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy中,M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为（）A ．2B ．1C ．13-D ．12-6、（2013年高考北京卷（理））设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ,若直线()1y a x =+与D 公共点,则a 的取值范围是______.8、（2013年高考陕西卷（理））若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 则2x -y 的最小值为_______.9、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈,是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.10、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________.11、（2012年高考（山东理））已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数3z x y =-的取值范围是（）A ．3[,6]2-B ．3[,1]2-- C ．[1,6]-D ．3[6,]2-12、（2012年高考（辽宁理））设变量x,y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为（）A ．20B ．35C ．45D ．5513、（2012年高考（江西理））某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为（） A ．50,30 B ．30.20 C ．20,30 D ．20,5014、（2012年高考（广东理））已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为（）A ．12B ．11C ．3D ．1-15、（2012年高考（福建理））若函数2xy =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为（）A ．12B ．1C ．32D ．216、（2012年高考（新课标理））设,x y 满足约束条件:,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩;则2z x y =-的取值范围为_________17、（2012年高考（浙江理））设a ∈R,若x >0时均有[(a -1)x -1]( x 2-ax -1)≥0,则a =______________.18、（2012年高考（上海春））若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是______.19、（2012年高考（陕西理））设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为___________.。

2014年全国高考真题(理科数学)分类汇编六、不等式和线性规划(逐题详解)

2014年高考题专题整理 --不等式和线性规划第I 部分1.【2014年四川卷（理04）】若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a bd c<【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<2.【2014年江西卷（理11）】(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+=3.【2014年安徽卷（理05）】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（A ）21或1- （B ）2或21（C ）2或1（D ）2或1-【答案】D【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=，由题意知2=a 或1-2=-+y x 022=--y x 022=+-y x xyO1-=k 2=k 21=k4.【2014年天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.5.【2014年山东卷（理09）】已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2【答案】B【解析】10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。

2014高考数学(文)一轮复习课件选修系列不等式选讲

不等式选讲
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2014年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解陕西文

2014年陕西文一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合M=x x≥0,x∈R，N=x x2<1,x∈R，则M∩N= A. 0,1B. 0,1C. 0,1D. 0,12. 函数f x=cos2x+π4的最小正周期是 A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 已知复数z=2−i，则z⋅z的值为 A. 5B. 5C. 3D. 34. 根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是 A. a n=2nB. a n=2n−1C. a n=2nD. a n=2n−15. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 A. 4πB. 3πC. 2πD. π6. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为 A. 15B. 25C. 35D. 457. 下列函数中，满足“ f x+y=f x f y”的单调递增函数是 A. f x=x 1B. f x=x3C. f x=12xD. f x=3x8. 原命题为“若a n+a n+12<a n,n∈N+，则a n为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 A. 真，真，真B. 假，假，真C. 真，真，假D. 假，假，假9. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1,x2,⋯,x10，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为 A. x,s2+1002B. x+100,s2+1002C. x,s2D. x+100,s210. 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 A. y=12x3−12x2−x B. y=12x3+12x2−3xC. y=14x3−x D. y=14x3+12x2−2x二、填空题（共7小题；共35分）11. 抛物线y2=4x的准线方程为．12. 已知4a=2，lg x=a，则x=．13. 设0<θ<π2，向量a=sin2θ,cosθ，b=1,−cosθ，若a⋅b=0，则tanθ=．14. 已知f x=x1+x,x≥0，若f1x=f x，f n+1x=f f n x，n∈N+，则f2014x的表达式为．15. 设a,b,m,n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则 m2+n2的最小值为．16. 如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC=2AE，则EF=．17. 在极坐标系中，点2,π6到直线ρsin θ−π6=1的距离是．三、解答题（共6小题；共78分）18. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若a，b，c成等差数列，证明：sin A+sin C=2sin A+C；（2）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cos B的值．19. 四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H．（1）求四面体ABCD的体积；（2）证明：四边形EFGH是矩形．20. 在直角坐标系xOy中，已知点A1,1，B2,3，C3,2，点P x,y在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且OP=mAB+nAC m,n∈R．（1）若m=n=23，求OP；（2）用x，y表示m−n，并求m−n的最大值．21. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额元01000200030004000车辆数辆500130100150120（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．22. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0经过点0,3，离心率为12，左、右焦点分别为F1−c,0、F2c,0．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l:y=−12x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足AB CD =534，求直线l的方程．23. 设函数f x=ln x+mx，m∈R．（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f x的极小值；（2）讨论函数g x=fʹx−x3零点的个数；（3）若对任意b>a>0，f b−f ab−a<1恒成立，求m的取值范围．答案第一部分1. D2. B3. A4. C5. C6. B7. D8. A9. D 10. A【解析】提示：这个三次函数满足四个条件，过0,0,2,0点，在x=0处导数值为−1，在x=2处的导数值为3．第二部分11. x=−112. 1013. 1214. x1+2014x【解析】f1x=x1+x ，f2x=x1+x1+x=x1+2x，f3x=x1+2x1+x=x1+3x，⋯，f2014x=x1+2014x．15. 5【解析】根据柯西不等式，得ma+nb2≤a2+b2m2+n2，当且仅当ma =nb时等号成立，化简即得 m2+n2≥5．16. 317. 1【解析】在直角坐标系中，点为3,1，直线为12x−32y+1=0．第三部分18. （1）因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b，由正弦定理得sin A+sin C=2sin B,因为sin B=sinπ−A+C=sin A+C,所以sin A+sin C=2sin A+C.（2）由题设有b2=ac，c=2a，所以b=2a，由余弦定理得cos B=a2+c2−b2=a2+4a2−2a22=3.19. （1）由该四面体的三视图可知BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,可知AD⊥平面BDC，所以四面体ABCD的体积V=1AD⋅S△BCD=1×1×1×2×2=2.（2）因为BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，所以BC∥FG，BC∥EH，故FG∥EH．同理EF∥AD，HG∥AD，所以EF∥HG．所以四边形EFGH是平行四边形．又因为AD⊥平面BDC，可得AD⊥BC，因为BC∥FG，EF∥AD，可知EF⊥FG，所以四边形EFGH是矩形．20. （1）因为m=n=23，结合AB=1,2,AC=2,1,所以OP=231,2+232,1=2,2,故OP=22+22=2 2.（2）因为OP=m1,2+n2,1=m+2n,2m+n，即x=m+2n,y=2m+n.两式相减得m−n=y−x.令y−x=t，由图可知，当直线y=x+t过点B2,3时，t取得最大值1，故m−n的最大值为1．21. （1）设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P A=1501000=0.15,P B=1201000=0.12,由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P A+P B=0.15+0.12=0.27.（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”．由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100=0.24．由频率估计概率得P C=0.24．22. （1）由题意可得b=3,c a =1 2,b2=a2−c2.解得a=2,b=3,c=1,所以椭圆的方程为x 24+y23=1．（2）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，所以圆心到直线l的距离为d=5．由d<1，得5<1，解得m<52，所以CD=21−d=21−4m25=255−4m,设A x1,y1，B x2,y2，由方程组y=−12x+m,x2 4+y23=1.整理得x2−mx+m2−3=0,则x1+x2=m,x1x2=m2−3,所以AB=1+ −12m2−4m2−3=154−m2,因为 ABCD =534，所以4−m25−4m2=1，解得m=±33,且满足m<52．因此直线l的方程为y=−12x+33或y=−12x−33．23. （1）函数f x的定义域为0,+∞．当m=e时，f x=ln x+ex，则fʹx=1x−ex2=x−ex2,由此，当x∈0,e时，fʹx<0，此时f x在0,e上单调递减；当x∈e,+∞时，fʹx>0，此时f x在e,+∞上单调递增．于是，当x=e时，f x取得极小值f e=lne+ee=2．故f x的极小值为2．（2）由已知得g x=fʹx−x=1−m2−xx>0,令g x=0，得m=−13x3+x x>0,设φx=−13x3+x x≥0，则φʹx=−x2+1=−x−1x+1,当x∈0,1时，φʹx>0，此时φx在0,1上单调递增；当x∈1,+∞时，φʹx<0，此时φx在1,+∞上单调递减．所以x=1是φx的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φx的最大值点，于是φx的最大值为φ1=−1+1=2.又φ0=0，结合y=φx的图象（如图），可知①当m>23时，函数g x无零点；②当m=23时，函数g x有且仅有一个零点；③当0<m<23时，函数g x有两个零点；④m≤0时，函数g x有且只有一个零点．综上，当m>23时，函数g x无零点；当m=23或m≤0时，函数g x有且仅有一个零点；当0<m<23时，函数g x有两个零点．（3）对任意b>a>0，f b−f ab−a<1恒成立，等价于f b−b<f a−a恒成立，设 x=f x−x=ln x+mx−x x>0，于是等价于 x在0,+∞上单调递减．所以 ʹx=1x −mx2−1≤0在0,+∞上恒成立，即m≥−x2+x=− x−12+1x>0恒成立，只须m≥14（对m=14, ʹx=0仅在x=12时成立），故m的取值范围是14,+∞ ．。

成考数学2014年文史类试题和答案(1--21题有详细解答)

2014年成人高等学校招生全国统一考试数学（文史财经类）一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分1、设集合M={x|−1≤x<2}, N={x|x≤1}, 则集合M∩N= CA {x|x>−1}B {x|x>1}C {x|−1≤x≤1}D {x|−1≤x≤2}解：在平面坐标轴上，画出集合的交集是：{x|−1≤x≤1}，取 C 2、函数y=1x−5的定义域为 DA (−∞,5)B (−∞, +∞)C (5，+∞)D (−∞,5)∪(5，+∞)解：函数的定义域是x≠5，所以选择D3、函数y=2sin6x的最小正周期为 AA π3B π2C 2πD 3π解：正弦函数的最小正周期是2πω=2π6=π3选A4、下列函数为奇函数的是 BA y=log2xB y=sinxC y=x2D y=3x解：A、D是非奇、非偶函数，C是偶函数，B是奇函数，选B 5、抛物线y2=3x的准线方程为BA x=−32B x=−34C x=12D x=34解：抛物线方程为y2=2px准线方程为x=−p2，即是x=−34选B6、已知一次函数y=2x+b的图像经过点(−2，1)，则该图像经过点CA (1，−3)B (1，−1)C (1，7)D(1，5)，因为函数经过(−2，1)，代入一次函数得1=2×(−2)+b ∴b=5所以函数是y=2x+5，再将x=1代入函数，得y=7所以选C7、若a、b、c为实数，且a≠0, D设甲：b2−4ac≥0，乙：ax2+bx+c=0有实根，则A 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件B 甲是乙的充分的条件，但不是乙的必要条件C 甲既不是乙的充分的条件，也不是乙的必要条件D 甲是乙的充分必要条件解：显然甲是乙的充分条件，且有实数根，也必须b2−4ac>0，即甲是乙的充分必要条件。

应选择D8、二次函数y=x2+x−2的图像与x 轴的交点坐标为AA: (−2,0)和(1， 0)B(−2,0)和(−1， 0)C (2,0)和(1， 0)D (2,0)和(−1， 0)解方程x2+x−2=0，其根为x1=−2，x2=1, 所以交点坐标选A9、不等式|x−3|>2的解集是 CA {x|x<1}B {x|x>5}C {x|x>5或x<1}D {x|1<x<5}不等式|x−3|>2的解集是：x−3>2 或x−3<−2所以解集是x>5 或x<1所以应该选C；另一次不等式绝对值的解，常用小于在中间，大于在两边，本选项中，两边者，只有C10、已知圆x2+y2+4x−8y+11=0，经过点P(1，0)作该圆的切线，切点为Q，则线段PQ的长为AA 4B 8C 10D 16解：圆的方程可变为(x +2)2+(y −4)2=32，可知圆是以(−2,4)为圆心，以3为半径。

2014年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解江西理

2014年江西理一、选择题（共12小题；共60分）1. z是z的共轭复数．若z+z=2，z−z i=2（i为虚数单位），则z= A. 1+iB. −1−iC. −1+iD. 1−i2. 函数f x=ln x2−x的定义域为 A. 0,1B. 0,1C. −∞,0∪1,+∞D. −∞,0∪1,+∞3. 已知函数f x=5∣x∣，g x=ax2−x a∈R．若f g1=1，则a= A. 1B. 2C. 3D. −14. 在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，若c2=a−b2+6，C=π3，则△ABC的面积是 A. 3B. 932C. 332D. 335. 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是 A. B.C. D.6. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是 A. 成绩B. 视力C. 智商D. 阅读量7. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 A. 7B. 9C. 10D. 118. 若f x =x 2+2∫f x d x 10，则∫f x d x 10= A. −1B. −13C. 13D. 19. 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y −4=0相切，则圆C 面积的最小值为 A. 45πB. 34πC. 6−2 5 πD. 54π10. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =11，AD =7，AA 1=12，一质点从顶点A 射向点E 4,3,12 ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i −1次到第i 次反射点之间的线段记为l i i =2,3,4 ，l 1=AE ，将线段l 1，l 2，l 3，l 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是 A. B.C. D.11. 对任意x,y∈R，∣x−1∣+∣x∣+∣y−1∣+∣y+1∣的最小值为 A. 1B. 2C. 3D. 412. 若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1−x0≤x≤1的极坐标方程为 A. ρ=1cosθ+sinθ，0≤θ≤π2B. ρ=1cosθ+sinθ，0≤θ≤π4C. ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤π2D. ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤π4二、填空题（共4小题；共20分）13. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．14. 若曲线y=e−x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．15. 已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα=13，向量a=3e1−2e2与b=3e1−e2的夹角为β，则cosβ=．16. 过点M1,1作斜率为−12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知函数f x=sin x+θ+a cos x+2θ，其中a∈R，θ∈ −π2,π2．（1）当a=2，θ=π4时，求f x在区间0,π上的最大值与最小值；（2）若fπ2=0，fπ=1，求a，θ的值．18. 已知首项都是1的两个数列a n，b n b n≠0,n∈N∗满足a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=a nb n，求数列c n的通项公式；（2）若b n=3n−1，求数列a n的前n项和S n．19. 已知函数f x=x2+bx+b1−2x b∈R．（1）当b=4时，求f x的极值；（2）若f x在区间0,13上单调递增，求b的取值范围．20. 如图，四棱锥P−ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90∘，PB=2，PC=2．问AB为何值时，四棱锥P−ABCD的体积最大?并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．21. 如图，已知双曲线C:x2a−y2=1a>0的右焦点为F．点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P x0,y0y0≠0的直线l:x0xa −y0y=1，与直线AF相交于点M，与直线x=32相交于点N．证明：当点P在C上移动时，∣MF∣∣NF∣恒为定值，并求此定值．22. 随机将1,2,⋯,2n n∈N∗,n≥2这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ=a2−a1，η=b2−b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C表示事件 " ξ与η的取值恰好相等"，求事件C发生的概率P C；（3）对（2）中的事件C，C的对立事件，判断和P C的大小关系，并说明理由．答案第一部分 1. D 2. C3. A4. C【解析】由c 2= a −b 2+6可得a 2+b 2−c 2=2ab −6，则cos C =a 2+b 2−c 22ab=2ab −62ab=12，所以ab =6，S △ABC =12ab sin C =3 32．5. B6. D7. B8. B【解析】利用方程和整体思想求解：f x d x10= x 2+2 f x 1d x 1d x= 13x 3+2x f x d x 10 ∣∣∣∣01=1+2 f x d x 10, 解方程可得． 9. A【解析】如图，圆C 圆心的轨迹是以原点为焦点，以2x +y −4=0为准线的抛物线，当圆心运动到图示位置时，圆C 的面积最小．10. C【解析】先作出过三点A ,A 1,E 的截面AA 1H 1H ，如图：由题意知，第一、二次反射线都在平面AA 1H 1H 上，先在矩形A 1B 1C 1D 1中计算出H 1点的位置，知A 1E =5，从而有tan ∠EA 1B =34=A 1D 1D 1H 1，故D 1H 1=283<11，故A 1H 1=353，H 1在边C 1D 1上．在矩形AHH 1A 1中分析l 1,l 2,l 3，如图，l 1=AE =EF =l 2=13，l 3=FG ．由GHFH =125=GH 35−10得GH =4，从而l 3=133．我们来分析最后一张反射线，即光线FG 被平面CDD 1C 1反射后的光线位置．首先，我们作出GGʹ⊥平面CDD 1C 1，交平面ABB 1A 1于点Gʹ．反射光线一定在由FGGʹ构成的平面内，作出该截面，为矩形MMʹLʹL，如图：在各个截面内进行计算，要比较l3与l4的大小，只需比较GL与MG的大小，也只需比较LH与CH的大小，而LH=43，CH=53，从而l3<l4．其他方法：光线发出的方向向量为4,3,12，不妨设光线速度不变，为13，则线段长度比等于时间比．在不考虑反射的情况下，则经过时间t1，光线到达点的坐标为4t1,3t1,12t1．又点C1的坐标为11,7,13，故当某个坐标分量达到0或C1点坐标对应的分量时，光线会进行反射．当t1=1时，有12t1=12，此时光线到达长方体的上平面，坐标为4,3,12，并进行反射；再经过时间t2时，光线到达点的坐标为4+4t2,3+3t2,12−12t2，当t2=1时，光线到达下底面，坐标为8,6,0；再经过t3时，光线到达点的坐标为8+4t3,6+3t3,12t3．于是t3=13时，光线到达后平面，坐标为283,7,4；同理，283+4t4=11，即t4=512时，光线遇到右平面．由t3<t4=t1=t2知，l3<l4<l1=l2．以上过程可以通过下面的示意图理解：11. C 12. A第二部分13. 1214. −ln2,215. 223【解析】a⋅b=3e1−2e2⋅3e1−e2=9+2−9×1×1×13=8．因为∣a∣2=3e1−2e22=9+4−12×1×1×13=9，所以∣a∣=3．因为∣b∣2=3e1−2e22=9+1−6×1×1×13=8，所以∣b∣=22，所以cosβ=a ⋅b∣a ∣⋅∣b∣=3×22=223．16. 22【解析】提示：利用点差法，可得出k AB⋅k OM=−b2a2．第三部分17. （1）f x=sin x+π4+2cos x+π2=2sin x+2cos x−2sin x=22cos x−22sin x=cos x+π4.因为0≤x≤π，所以π4≤x+π4≤5π4，所以−1≤f x≤22,即f x max=22,f x min=−1.（2）由fπ2=0,fπ=1.得cosθ1−2a sinθ=0,2a sin2θ−sinθ−a=1.由θ∈ −π2,π2知cosθ≠0，解得a=−1,θ=−π.18. （1）因为a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0，b n≠0，所以a n n −a n+1n+1+2=0,故c n+1−c n=2,因此c n为首项为1，公差为2的等差数列，所以c n=2n−1．（2）由（1）知a nb n=c n=2n−1，所以a n=2n−1×3n−1,因此S n=1×30+3×31+⋯+2n−1×3n−1,3S n=1×31+3×32+⋯+2n−3×3n−1+2n−1×3n,两式相减得−2S n=1+2⋅31+32+⋯+3n−1−2n−1×3n,整理解得S n=n−1×3n+1．19. （1）当b=4时，f x=x+221−2x x≤1,fʹx=2x+21−2x+x+22⋅121−2x−1⋅−2=1−2x令fʹx=0，得x=−2或x=0．所以当x<−2时，fʹx<0，当−2<x<0时，fʹx>0，当0<x<12时，fʹx<0．所以当x=−2时，f x取极小值为0；当x=0时，f x取极大值为4．（2）因为fʹx=1−2x ≥0对x∈0,13恒成立，所以−5x2−3bx+2x≥0,所以b≤2−5x.因为当x∈0,13时，2−5x3>19，所以b≤19．所以b的取值范围为 −∞,19．20. （1）因为面PAD⊥面ABCD，AB⊥AD，AD=面PAD∩面ABCD，所以AB⊥面PAD，故AB⊥PD．（2）过P作PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD．作OM⊥BC于M，连接PM，所以PM⊥BC，因为∠BPC=90∘，PB=，PC=2，所以BC=6，PM=3=233，BM=63．设AB=x，所以OM=x，PO=43−x2，所以V P−ABCD=13×x×6×43−x2=138x2−6x4．当x2=23，即x=63时，V P−ABCD=269．建立空间直角坐标系O−AMP，如图所示，则P0,0,63，D −263,0,0，C −263,63,0，M0,63,0，B63,63,0．故PC= −263,63,−63，BC= −6,0,0，DC=0,63,0．设面PBC的法向量为n=x,y,z，则n⊥PC,n⊥BC.即−263x+63y−63z=0,− 6x=0.令y=1，得x=0，z=1，所以面PBC的法向量为n=0,1,1．同理可得面DPC的法向量为m=1,0,−2．所以cos⟨m,n ⟩=n ⋅m∣∣n∣∣⋅∣∣m∣∣=2⋅5=−105．又因为平面PBC与平面DPC夹角为锐角，所以平面PBC与平面DPC夹角的余弦值为105．21. （1）因为直线OA的方程为y=1a x，所以A c,ca，因为直线OB的方程为y=−1a x，设B t,−ta，又F c,0，AB⊥OB，BF∥OA．所以c+tac−t ⋅−1a=−1,1 a =ta c−t.解得t=c ,a= 3.所以，双曲线的方程为x23−y2=1.（2）A 2,2 33，l :x 0x 3−y 0y =1,F 2,0 ，M 2,2x 0−33y 0，N 32,x 0−22y 0，所以∣MF ∣∣NF ∣=∣∣∣2x 0−30∣∣∣ 4+ 02y 02=0302+ x 0−2 2=22x −33 03−1+ x 0−2 2=2∣2x 0−3∣∣2x 0−3∣ 3=2 33.22. （1）ξ=2,3,4,5．P ξ=2 =463=1,P ξ=3 =663=3,P ξ=4 =6C 63=310,P ξ=5 =4C 63=15.（2）当ξ=η=n −1时，2种；当ξ=η=n 时，2种；当ξ=η=n +1时，2×C 21种；当ξ=η=n +2时，2×C 42种；⋮当ξ=η=2n −2时，2×C 2n−4n−2种；∴当n =2时，P C =2×242=2, 当n ≥3时，P C =2 1+1+C 21+C 42+⋯+C 2n−4n−2 C 2nn.（3）只需比较P C 与12的大小．当n =3时，P C =2<1普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版成立；设n =k >3时，P C =2 1+1+C 21+C 42+⋯+C 2k−4k−2 C 2k k <12 成立；当n =k +1时，证明：P C =2 1+1+C 21+C 42+⋯+C 2k−2k−1 C 2k +2k +1<12, 即4 1+1+C 21+C 42+⋯+C 2k−2k−1 <C 2k +2k +1,即4 1+1+C 21+C 42+⋯+C 2k−2k−1 <C 2k k +4C 2k−2k−1<C 2k +2k +1,即2k !+4 2k −2 ! < 2k +2 ! , 当k >3时成立，得证．当n ≥3时，P C <，当n =2时，P C >P C ．。

2014年高考数学(文)二轮配套教案：第一部分专题复习篇专题二第二讲

第二讲不等式1．不等式的基本性质(1）对称性：a〉b⇔b〈a。

(2）传递性：a〉b,b〉c⇒a〉c.(3）加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c。

（4)乘法法则：a〉b，c〉0⇒ac>bc.a〉b，c〈0⇒ac<bc.(5)同向不等式可加性：a>b,c〉d⇒a＋c>b＋d.(6）同向同正可乘性：a>b〉0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥1)．(8）开方法则：a〉b>0⇒na>错误!（n∈N，n≥2)．2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a≠0）或ax2＋bx＋c<0(a≠0）,可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ〉0Δ＝0Δ〈0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a〉0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1〈x2)有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实数根不等式ax2＋bx{x|x〉x2{x|x∈R R3．错误!错误!利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”．4．二元一次不等式（组）和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等;(2）解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．5．不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题(1）恒成立问题若不等式f（x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f （x)min>A;若不等式f(x）〈B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f （x)max〈B.（2）能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f(x）>A成立，则等价于在区间D上f(x）max>A；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)〈B成立,则等价于在区间D上f（x)min<B.(3）恰成立问题若不等式f(x）>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f（x)〉A的解集为D;若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D。

2014高考数学(文)一轮复习配套精讲学案：选修系列：不等式选讲

不等式选讲
考纲解读考向预测课前热身
考点突破
即时巩固课后拔高
考点六考点五考点四考点三考点二考点一
真题再现误区警示规律探究
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2014年高考数学选择题精细解析

2014年高考数学选择题精细解析2014年，面对高考数学选择题，许多考生感到棘手。

在这篇文章中，我们将对2014年高考数学选择题进行精细解析，以帮助考生更好地理解题目，并提供解题的思路和方法。

本次解析主要涉及数学的各个分支，包括代数、几何和概率等，希望对考生有所帮助。

1. 代数题代数是高考数学中的重要组成部分。

在2014年的高考数学试卷中，代数题占了相当大的比例。

下面我们将对其中一道代数选择题进行解析。

【题目】已知二次方程f(x)=ax^2+bx+c的两个根分别是1和2，且a+b+c=6，则a，b，c的值是（）A. 1，2，3B. 1，-2，3C. -1，2，3D. 1，-1，4【解析】根据二次方程的性质，已知根分别是1和2，则方程可写为f(x)=a(x-1)(x-2)。

根据题目条件得知，a+b+c=6，代入方程中得到a(1-2)(1-1)+b(2-1)(2-2)+c=6。

化简后得到-a+c=6，即c=a+6。

将c代入方程中得到f(x)=a(x-1)(x-2)=a(x^2-3x+2)。

对比方程系数得到a=-1。

由此可知a=-1，b=2，c=3，因此答案选项为C。

2. 几何题几何题在高考数学中也有很大的比重。

2014年高考数学试卷中的几何题目较为复杂，需要考生掌握扎实的几何知识和解题技巧。

下面我们将对一道几何选择题进行解析。

【题目】如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E为AD的中点，连接AC和BE交于点F，连接BE和CD延长线交于点G。

则三角形EFG 的面积为（）。

（插入图片）A. 1/8B. 1/6C. 1/4D. 1/3【解析】首先，我们观察可以发现三角形EFG与正方形ABCD有关系。

根据题目中的提示，我们可以找到三角形EFG的高和底边。

连接AF并延长交BD于点H，则EH为三角形EFG的高，而GH为底边。

进一步观察，我们可以发现三角形EFG与三角形ADC和三角形HGC相似。

由此，我们可以得出以下比例关系：EF/AD = EG/GC = FG/HC。

2014年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解广东文

2014年广东文一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合M=2,3,4，N=0,2,3,5，则M∩N A. 0,2B. 2,3C. 3,4D. 3,52. 已知复数z满足3−4i z=25，则z= A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i3. 已知向量a=1,2，b=3,1，则b−a= A. −2,1B. 2,−1C. 2,0D. 4,34. 若变量x,y满足约束条件x+2y≤8,0≤x≤4,0≤y≤3,则z=2x+y的最大值等于 A. 7B. 8C. 10D. 115. 下列函数为奇函数的是 A. 2x−12xB. x3sin xC. 2cos x+1 .D. x2+2x6. 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为 A. 50B. 40C. 25D. 207. 在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，则" a≤b "是 " sin A≤sin B "的 A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件8. 若实数k满足0<k<5，则曲线x216−y25−k=1与曲线x216−k−y25=1的 A. 实半轴长相等B. 虚半轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等9. 若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是A. l1⊥l4B. l1∥l4C. l1,l4既不垂直也不平行D. l1,l4的位置关系不确定10. 对任意复数w1,w2，定义w1∗w2=w1w2，其中w2是w2的共轭复数，对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题：①z1+z2∗z3=z1∗z3+z2∗z3；②z1∗z2+z3=z1∗z2+z1∗z3；③z1∗z2∗z3=z1∗z2∗z3；④z1∗z2=z2∗z1；则真命题的个数是 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共5小题；共25分）11. 曲线y=−5e x+3在点0,−2处的切线方程为．12. 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．13. 等比数列a n的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=．14. 在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的周长△AEF的周长=．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知函数f x=A sin x+π3，x∈R，且f5π12=322．（1）求A的值；（2）若fθ−f−θ=θ∈0,π2，求fπ6−θ ．17. 某车间20名工人年龄数据如下表：年龄岁工人数人191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．18. 如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥面ABCD，AB=1，BC=PC=2，作如图2折叠，折痕EF∥DC．其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M−CDE的体积．19. 设各项均为正数的数列a n的前n项和为S n，且S n满足S n2−n2+n−3S n−3n2+n=0，n∈N∗．（1）求a1的值；（2）求数列a n的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1a1 a1+1+1a2a2+1+⋯+1a n a n+1<13．20. 已知椭圆C:x2a +y2b=1a>b>0的一个焦点为5,0，离心率为53．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P x0,y0为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21. 已知函数f x=13x3+x2+ax+1a∈R．（1）求函数f x的单调区间；（2）当a<0时，试讨论是否存在x0∈0,12∪12,1，使得f x0=f12．答案第一部分1. B2. D3. B4. C5. A6. C7. A8. D9. D 10. B第二部分11. 5x+y+2=012. 2513. 514. 1,2【解析】曲线C1、C2的普通方程分别为2x2=y、x=1，联立解之．15. 3【解析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得CDAE =31．利用△CDF∽△AEF，可求△CDF的周长△AEF的周长．第三部分16. （1）由题意得f 5π=A sin5π+π=32,所以A=3．（2）由（1）得f x=3sin x+π,所以fθ−f−θ=3sin θ+π3−3sin −θ+π3=3sinθ=3,得sinθ=33，因为θ∈0,π2，所以cosθ=63，所以fπ6−θ =3sinπ6−θ+π3=3cosθ= 6.17. （1）这20名工人年龄的众数是30，极差是40−19=21．（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：（3）年龄的平均数为x=19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+4020=30,故这20名工人年龄的方差为s2=1−112+3×−22+3×−12+5×02+4×12+3×22+102=1121+12+3+4+12+100=12.6.18. （1）∵四边形ABCD为矩形，∴MD⊥DC，∵PD⊥平面ABCD，MD⊂平面ABCD，∴PD⊥MD．又PD∩CD=D，∴MD⊥平面PCD，∵CF⊂平面PCD，∴MD⊥CF．又MF⊥CF，MF∩MD=M，∴CF⊥平面MDF．（2）因为MD⊥面PCD，所以V M−CDE=13⋅S△CDE⋅MD．因为CF⊥面MDF，DF⊂面MDF．所以CF⊥DF，因为在Rt△PCD中，CD=1，PC=2，所以∠PCD=60∘，且CD=1，所以CF=12，故PF=32，所以MF=32．又因为CF⊥MF，故由勾股定理得CM=102，所以在Rt△MDC中，CM=102，CD=1，得DM=62．又因为F为CP（靠近C）的四等分点，且PD=3．所以E为PD的四等分点，故DE=34．所以S△CDE=12CD⋅DE=12×1×34=38．所以V M−CDE=13S△CDE⋅DM=216．19. （1）令n=1，得S12+S1−6=0,即S1+3S1−2=0,∵S1>0，∴S1=2，a1=2．（2）∵S n−n2+n S n+3=0，且数列的各项均为正数，∴S n=n2+n．当n≥2，且n∈N∗时，a n=S n−S n−1=2n， ⋯⋯①当n=1时，a1=2满足①，∴a n=2n，n∈N∗．（3）因为1 n n =1<12n−12n+1=1212n−1−12n+1,所以1a1a1+1+1a2a2+1+⋯+1a n a n+1<1+11−1+1−1+⋯+1−1=16+1213−12n+1<1+1=1 3 .20. （1）由题意知c=5,e=ca=53,所以a=3,b=2,椭圆C的方程为x 29+y24=1．（2）当切线斜率不存在时，P点为3,2,3,−2,−3,2,−3,−2．当切线斜率存在时，设方程为y−y0=k x−x0，由y−y0=k x−x0,x2 9+y24=1,联立得4+9k2x2+18k y0−kx0x+9y0−kx02−36=0,由直线与椭圆相切，所以Δ=18k y0−kx02−44+9k29y0−kx02−36=0,得9−x02k2+2x0y0k+4−y02=0.设两切线的斜率为k1，k2，因为两切线垂直，所以k1k2=−1，故k1k2=4−y022=−1,得x02+y02=13,经验证3,2，3,−2，−3,2，−3,−2满足x02+y02=13，所以P点的轨迹方程为x02+y02=13．21. （1）根据题意得fʹx=x2+2x+a x∈R.①当a≥1时，Δ≤0，fʹx≥0恒成立，所以f x在R上单调递增；②当a<1时，Δ>0，令fʹx>0，得x<−1−1−a 或 x>−1+1−a,令fʹx<0，得−1−1−a<x<−1+1−a,所以f x的单调递增区间为 −∞,−1−1−a , −1+1−a,+∞ ，f x的单调递减区间为 −1−1−a,−1+1−a ．（2）因为f x−f 12=13x3+x2+ax+1−13×123+122+a×12+1 =13x3−123+ x2−122+a x−12= x−12x23+7x6+712+a=112x−124x2+14x+7+12a.所以，若存在x0∈0,12∪12,1，使得f x0=f12，即f x0−f12=0,则关于x的方程4x2+14x+7+12a=0在0,12∪12,1内必有实数解．因为a<0，所以Δ=142−167+12a=421−48a>0,则方程的两根为−7±21−48a.因为x0>0，所以x0=−7+21−48a4，依题意有0<−7+21−48a<1,−7+21−48a≠1,解得−25<a<−7, a≠−5.综上可得：当a∈ −2512,−54∪ −54,−712时，存在唯一的x0∈0,12∪12,1，使得f x0=f12成立；当a∈ −∞,−2512∪ −712,0∪ −54时，不存在x0∈0,12∪12,1，使得f x0=f12成立．。

2014高考数学(文)名师指导提能专训3：不等式与线性规划(含解题思路)

提能专训（三)不等式与线性规划一、选择题1．(2013·广东佛山质检）不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是错误!，则a＋b的值是（）A．10 B．－10C．14 D．－14答案:D 命题立意：本题考查一元二次不等式与二次方程的关系,难度中等．解题思路:由题意知ax2＋bx＋2＝0的两个根为－12，错误!,∴－错误!＋错误!＝－错误!，－错误!×错误!＝错误!,∴a＝－12，b＝－2，∴a＋b ＝－14.2．(2013·山西省附中期中考试）函数y＝a x＋3－2（a＞0，a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线错误!＋错误!＝－1上，且m＞0,n＞0,则3m＋n的最小值为( )A．13 B．16C．11＋6错误!D．28答案：B 解题思路：函数y＝a x＋3－2的图象恒过A(－3，－1)，由点A在直线错误!＋错误!＝－1上可得,错误!＋错误!＝－1,即错误!＋错误!＝1,故3m＋n＝(3m＋n)×错误!＝10＋3错误!。

因为m＞0，n＞0，所以错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!，故3m＋n＝10＋3错误!≥10＋3×2＝16,故选B。

3．已知变量x,y满足约束条件错误!则z＝错误!的取值范围为( ) A．[1,2］B。

错误!C.错误!D.错误!答案:B 命题立意：本题是线性规划问题，首先准确作出可行域，然后明确目标函数的几何意义是可行域内的点与点(－1，－1）连线的斜率，最后通过计算求出z的取值范围．解题思路:由已知约束条件,作出可行域如图中阴影部分所示，其中A(1，1)，B（1，2)，目标函数z＝错误!的几何意义为可行域内的点与点P（－1,－1）连线的斜率,k PA＝1，k PB＝错误!，故选B。

4．(2013·湖南衡阳八中第六次质检)设x，y满足约束条件错误!若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0)的最大值为12，则错误!＋错误!的最小值为（）A.83B.错误! C 。

2014届高考数学二轮总复习常考问题不等式及线性规划问题文

常考问题10 不等式及线性规划问题[真题感悟]1．(2012·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )＜c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a 2＋c . ∴⎩⎨⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②由②－①得2c ＝6，∴c ＝9.答案 9 2．(2012·江苏卷)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________．解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，c ln b －a ≥c ln c ⇒b ≥c e a c .作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2，b ＝72c . 此时⎝⎛⎭⎫b a max ＝7.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e a c ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1.此时⎝⎛⎭⎫b a min ＝4c ee ＋14c e ＋1＝e.所以b a∈[e,7]．答案 [e,7]3．(2010·江苏卷)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．解析根据不等式的基本性质求解.⎝⎛⎭⎫x 2y 2∈[16,81]，1xy 2∈⎣⎡⎦⎤18，13，x 3y 4＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy 2∈[2,27]，x 3y 4的最大值是27.答案 274．(2012·南京模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥2，x －y ≤1，y ≤2.则目标函数z ＝－2x ＋y 的取值范围是________．解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案 [－4,2][考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．。

2014高考数学二轮复习名师知识点总结：不等式及线性规划

不等式及线性规划1．四类不等式的解法（1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c〉0（a≠0），再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2）简单分式不等式的解法①变形⇒错误!>0（〈0)⇔f(x)g（x）〉0(<0）；②变形⇒错误!≥0(≤0)⇔f（x）g（x)≥0(≤0)且g(x)≠0。

（3)简单指数不等式的解法①当a〉1时，a f（x）〉a g（x)⇔f（x)〉g(x）；②当0〈a<1时，a f(x）>a g（x）⇔f(x)〈g(x）．（4）简单对数不等式的解法①当a>1时,log a f(x）>log a g(x）⇔f(x）>g（x)且f(x）>0，g（x)>0；②当0<a〈1时，log a f(x）>log a g(x）⇔f(x)<g（x)且f(x)>0，g(x）〉0。

2．五个重要不等式(1）｜a｜≥0，a2≥0(a∈R）．(2）a2＋b2≥2ab（a、b∈R)．（3）错误!≥错误!（a〉0，b〉0）．（4)ab≤（错误!）2（a，b∈R)．（5) 错误!≥错误!≥错误!≥错误!（a〉0，b>0)．3．二元一次不等式（组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．（2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．4．两个常用结论(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是错误!（2）ax2＋bx＋c〈0(a≠0)恒成立的条件是错误!考点一一元二次不等式的解法例1 （2012·江苏)已知函数f（x）＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为［0，＋∞），若关于x的不等式f(x）〈c的解集为（m，m＋6),则实数c的值为________．答案9解析由题意知f(x）＝x2＋ax＋b＝错误!2＋b－错误!.∵f（x)的值域为[0，＋∞)，∴b－错误!＝0，即b＝错误!。

2014年高考数学专家讲坛 (体验真题+把脉考向+典例展示+名师推荐)第6讲数列求和及综合应用(

第六讲数列求和及综合应用真题试做►———————————————————1．(2011·高考某某卷)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( )A ．1B ．9C ．10D ．552．(2013·高考某某卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．3．(2013·高考某某卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0，2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．考情分析►———————————————————数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．等差数列与等比数列、数列与函数、数列与不等式、数列与概率、数列的实际应用等知识交汇点的综合问题是近几年高考的重点和热点，此类问题在客观题和解答题中都有所体现，难度不一，求解此类问题的主要方法是利用转化与化归的思想，根据所学数列知识及题目特征，构造出解题所需的条件．考点一数列求和数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．(2013·高考某某卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .【思路点拨】 (1)由于已知{a n }是等差数列，因此可考虑用基本量a 1，d 表示已知等式，进而求出{a n }的通项公式．(2)先求出b n a n，进而求出{b n }的通项公式，再用错位相减法求{b n }的前n 项和．强化训练1 (2013·某某调研)设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n 项和．已知S3＝7，且3a2是a1＋3和a3＋4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n（a n＋1）（a n＋1＋1），数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<12.考点二数列的实际应用数列应用题是近年来高考命题改革的一个亮点，主要考查学生数列建模能力，其题型为：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解．(2012·高考某某卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．(1)用d表示a1，a2，并写出a n＋1与a n的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．【思路点拨】(1)由第n年和第(n＋1)年的资金变化情况，得到a n和a n＋1的递推关系．(2)由递推关系，利用迭代的方法可求通项公式，问题得解．解决数列实际应用问题的关键是要做好三件事情：第一是努力读懂题意，能用自己的语言把问题表述出来；第二是找出关键字句，其他的文字可以不管；第三是将实际生活化的语言翻译成数学语言．在做好这三件事情的基础上，经过设元、列式，就不难实现这种数学模型的转化．强化训练2 某市投资甲、乙两个工厂，2012年两工厂的年产量均为100万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n年比上一年增加2n－1万吨．记2012年为第一年，甲、乙两工厂第n年的年产量分别记为a n，b n.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底其中一个工厂将被另一工厂兼并？考点三数列的综合问题数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于中、高档难度问题．在复习这部分内容时，要注意对基础知识的梳理，把握通性通法，不必刻意追求难度．(2013·高考某某卷)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【思路点拨】 (1)利用等比数列的性质结合已知条件求出公比q ，进而可得到通项公式；(2)结合数列的单调性求数列的最大项与最小项的值．数列的综合性问题是高考的热点，此类问题一般以数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何的综合应用为主．在该类问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决，解题时要注意沟通数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，而本题利用数列的单调性求{T n }的最值．强化训练3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，如果S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“幸福数列”． (1)等差数列{b n }的首项为1，公差不为零，若{b n }为“幸福数列”，求{b n }的通项公式；(2)数列{}的各项都是正数，前n 项和为S n ，若c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n ＝S 2n 对任意n ∈N *都成立，试推断数列{}是否为“幸福数列”？并说明理由．数列与三类知识的交汇数列与函数、不等式、解析几何、平面几何等知识的交汇问题是高考的难点，与函数、不等式的交汇问题主要考查利用函数与方程的思想方法解决数列中的问题及用解决不等式的方法研究数列的性质；与解析几何交汇，主要涉及点列问题，与平面几何交汇，主要涉及面积(周长)问题，求解时应建立数列的递推关系或通项公式之间的关系，然后借助数列的知识加以解决．一、数列和平面几何的交汇(2013·高考某某卷)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．【解析】设OA n ＝x (n ≥3)，OB 1＝y ，∠O ＝θ，记S △OA 1B 1＝12×1×y sin θ＝S ，那么S △OA 2B 2＝12×2×2y sin θ＝4S ，S △OA 3B 3＝4S ＋(4S －S )＝7S ， …S △OA n B n ＝12x ·xy sin θ＝(3n －2)S ，∴S △OA n B n S △OA 2B 2＝12×x ×xy sin θ12×2×2y sin θ＝（3n －2）S 4S， ∴x 24＝3n －24，∴x ＝3n －2. 即a n ＝3n －2(n ≥3)．经验证知a n ＝3n －2(n ∈N *)．【答案】 a n ＝3n －2对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项a n 与a n ＋1之间的关系，然后根据递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论．二、数列和函数的交汇(2013·高考某某卷)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数 f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′(π2)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2(a n ＋12an)，求数列{b n }的前n 项和S n .【解】 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x .对任意n ∈N *，f ′(π2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，可得数列{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2(a n ＋12an )＝2(n ＋1＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2·n （n ＋1）2＋12[1－（12）n ]1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .(1)本题以函数为载体考查了数列的基本问题，求解中利用f ′(π2)＝0，把函数知识转化为数列知识，这种题型经常见到．(2)数列与函数交汇问题的常见类型及解法：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的X 围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．三、数列与不等式的交汇(2013·高考某某卷)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈N *).【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q . 因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又因为a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n（2n＋1），n 为奇数，2＋12n（2n－1），n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.本题考查了数列不等式的证明，求解此类问题时应根据题目特征，确定出与不等式有关的数列的项或前n 项和，根据题目特征求解，求解时注意放缩法的应用．而本题利用了数列的单调性求解.体验真题·把脉考向_ 1．【解析】选A.∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，∴S 1＝1，可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n＋1－S n ＝1，即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.2．【解析】每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.【答案】63．【解】(1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21. 因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n ，2a n －1－1＝S n －1两式相减，得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1. 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n.②①－②，得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n .从而B n ＝1＋(n －1)·2n . _典例展示·解密高考_【例1】【解】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －(1－12n －1)＝12n .所以b n a n ＝12n ，n ∈N *.由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，所以b n ＝2n －12n ，n ∈N *.所以T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1. 两式相减，得 12T n ＝12＋(222＋223＋…＋22n )－2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以T n ＝3－2n ＋32n .[强化训练1]【解】(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2.解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，则a 1q ＝2，∴a 1＝2q，a 3＝a 1q 2＝2q .由S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，∴2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意，得q >1，∴q ＝2. ∴a 1＝1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)证明：∵b n ＝a n（a n ＋1）（a n ＋1＋1）＝2n －1（2n －1＋1）（2n＋1）＝12n －1＋1－12n ＋1，∴T n ＝(11＋1－121＋1)＋(121＋1－122＋1)＋(122＋1－123＋1)＋…＋(12n －1＋1－12n ＋1)＝11＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1<12. 【例2】【解】(1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ，a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d ＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意，知a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000，解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m－1＝1 000（3m －2m ＋1）3m－2m.故该企业每年上缴资金d 的值为1 000（3m－2m ＋1）3m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．[强化训练2]【解】(1)因为{a n }是等差数列，a 1＝100，d ＝10，所以a n ＝10n ＋90.因为b n －b n －1＝2n －1，b n －1－b n －2＝2n －2，…，b 2－b 1＝2，所以b n ＝100＋2＋22＋…＋2n －1＝2n＋98. (2)当n ≤5时，a n ≥b n 且a n <2b n .当n ≥6时，a n ≤b n ，所以甲工厂有可能被乙工厂兼并．2a n <b n ，即2(10n ＋90)<2n＋98，解得n ≥8，故2019年底甲工厂将被乙工厂兼并．【例3】【解】(1)设等比数列{a n } 的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.[强化训练3]【解】(1)设等差数列b n 的公差为d (d ≠0)，S nS 2n＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k [2n ＋12·2n (2n －1)d ]，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，因为对任意正整数n 上式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0（2k －1）（2－d ）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2k ＝14.故数列b n 的通项公式是b n ＝2n －1.(2)由已知，当n ＝1时，c 31＝S 21＝c 21.因为c 1>0，所以c 1＝1.当n ≥2时，c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n ＝S 2n ，c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n －1＝S 2n －1.两式相减，得c 3n ＝S 2n －S 2n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝·(S n ＋S n －1)．因为>0，所以c 2n ＝S n ＋S n －1＝2S n －，显然c 1＝1适合上式，所以当n ≥2时，c 2n －1＝2S n －1－－1.于是c 2n －c 2n －1＝2(S n －S n －1)－＋－1＝2－＋－1＝＋－1. 因为＋－1>0，则－－1＝1，所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列．所以S n S 2n ＝n （n ＋1）2n （2n ＋1）＝n ＋14n ＋2不为常数，故数列{}不是“幸福数列”。

2014版高考数学知识点讲座：考点27 简单的线性规划(解析版)

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座:考点27简单的线性规划（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一。

考纲目标二元一次不等式表示的平面区域；目标函数的确定及线性规划的实际应用二。

知识梳理1．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类:(1)满足Ax＋By＋C=0的点；(2）满足Ax＋By＋C>0的点；(3）满足Ax＋By＋C〈0的点．2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时,点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号,当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．3．线性规则中的基本概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程)组成的不等式（组）线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y）名称意义可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大或最小的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大或最小问题三.考点逐个突破1。

二元一次不等式(组）所表示的平面区域例1。

（1）在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t）在直线x－2y＋4＝0的下方，则t的取值范围是A．（－∞,2)B．(2,＋∞）C．（－2,＋∞）D．(0,2)[答案] C［解析］∵点O(0,0）使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点（3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方⇔3t－2－2t＋4〉0，∴t>－2。

[点评］可用B值判断法来求解，令d＝B（Ax0＋By0＋C），则d〉0⇔点P(x0,y0)在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．（2)若2x＋4y<4，则点(x，y）必在A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方［答案] D[解析] ∵2x＋4y≥2错误!,由条件2x＋4y〈4知，2错误!<4，∴x＋2y<2,即x＋2y－2<0，故选D.（3）在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点）的总数为A．95 B．91 C．88 D．75［答案] B［解析］由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；y＝3时,0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9;y＝5时，0≤x≤7；y＝6时,0≤x≤6；y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．2.简单线性规划例2。

2014年高考数学专家讲坛 (体验真题+把脉考向+典例展示+名师推荐)第1讲函数的图象与性质(含

第一讲函数的图象与性质真题试做►———————————————————1．(2013·高考某某卷)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1]2．(2013·高考卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |3．(2013·高考某某卷)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )4．(2013·高考某某卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1考情分析►———————————————————高考对函数图象和性质的考查多以选择题、填空题的形式出现，若是解答题，多与导数结合命题，试题难度较大．对函数图象性质的考查多考查函数的定义域、函数的周期性、奇偶性以及单调性的结合，而对图象的考查，一是识图；二是用图，即利用图象来解决问题．考点一函数及其表示(1)给定函数解析式求定义域及值域；(2)给出分段函数表达式结合函数的性质求值，分段函数问题是近几年高考的一个热点．(1)(2013·高考某某卷)函数y ＝ln(1＋1x)＋1－x 2的定义域为________；(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【思路点拨】 (1)列出函数有意义的限制条件，解不等式组．(2)解题的关键是考虑f (1－a )和f (1＋a )需要代入解析式的哪一段，进而需讨论1－a 和1＋a 与1的大小关系，即a 与0的大小关系，构造关于a 的方程求解．(1)根据具体函数y＝f(x)求定义域时，只要构建使解析式有意义的不等式(组)求解即可．(2)根据抽象函数求定义域时：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．(3)求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．强化训练1 (1)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b ＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________；(2)若将例1(2)中“f(1－a)＝f(1＋a)”变为“f(1－a)≥f(1＋a)”，则a的取值X围是________．考点二函数的图象(1)已知函数的解析式判定函数的图象，(2)利用一些基本初等函数的图象，通过伸缩变换、平移变换、对称变换得到一些新的函数的图象．(3)在解方程或不等式问题时，利用图象求交点个数或解集的X围，是高考考查的热点，常以选择题形式考查，难度中档．(1)(2013·高考某某卷)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )A．0B．1C．2 D．3(2)(2013·东城模拟)如图，半径为2的⊙O与直线MN相切于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交⊙O于点Q，设∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象大致是( )【思路点拨】(1)作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．(2)由于弓形PmQ的面积随角x的变化而变化，且其形状以x＝π为分界，故应分0≤x≤π和π<x≤2π两种情况求其解析式，然后再作图．(1)作图、识图、用图的方法技巧①作图：应依据函数的性质，注意在定义域内选取关键的一部分点连接而成．②识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系．③用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．强化训练2 (1)(2013·高考某某卷)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )(2)(2012·高考某某卷)已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )考点三函数的性质(1)给出具体函数，判定函数的单调性与奇偶性．(2)已知函数单调性与奇偶性求参数X 围及求函数的单调区间等．(1)(2013·某某省某某市高三双基测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1(2)(2013·高考某某卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值X 围是( )A ．[1，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0，2] 【思路点拨】 (1)先确定y ＝－3|x |的奇偶性及单调性，再验证． (2)根据函数的单调性和奇偶性得出关于a 的不等式求解． (1)求解这类涉及函数性质的题目时，既要充分利用题目的已知条件进行直接的推理、判断，又要合理地运用函数性质之间的联系，结合已知的结论进行间接地判断，若能画出图象的简单草图，“看图说话”，往往起到引领思维方向的作用．(2)判断函数的单调性的一般规律：对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式、三角函数式等较复杂的用导数法；对于抽象函数一般用定义法．强化训练3 (1)(2012·高考某某卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012(2)(2013·高考某某卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．新定义型试题的解题技巧——函数中的新定义问题“创新是一个民族进步的灵魂、是一个国家兴旺发达的不竭动力”；在这个充满挑战的年代里，创新也是机遇；做学生、迎高考，关注试题创新是应该的也是必须的；君不见年年高考有新题、岁岁选拔有新招．也正是“新题”、“新招”才将考生分出了三、六、九等；在命题中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，从定义型、多样型、发散型、研究型、探索型、开放型入手设计试题是近年命题创新的整体趋势，因此必须引起我们的重视，但对于考生来说，有些题目存在一定难度，解决此类问题要依据题目所给条件或提供的信息，结合所学知识选择合适方法求解．(2013·高考某某卷节选)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a >0. (1)证明：函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值X 围．(1)要证f (x )的图象关于直线x ＝12对称，只需证明f (12＋x )＝f (12－x )．(2)二阶周期点的定义给出了两个条件：一是x 0满足f (f (x 0))＝x 0；二是f (x 0)≠x 0，求解时关键表示出f (f (x ))，由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2axx ≤122a －2axx >12，再表示f (f (x ))时，应确定2ax 及2a－2ax 的X 围，从而对a 要分类讨论．抓关键寻思路【解】 (1)证明：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝a (1－2|x |)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝a (1－2|x |)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．(2)当0<a <12时，有f (f (x ))＝⎝⎛4a 2x ， x ≤12，4a 2（1－x ），x >12，所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0. 又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．当a ＝12时，有f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≤12，1－x ，x >12，所以f (f (x ))＝x 有解集⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12.又当x ≤12时，f (x )＝x ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12中的所有点都不是二阶周期点．当a >12时，有f (f (x ))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ，x ≤14a，2a －4a 2x ，14a <x ≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x ≤4a －14a ，4a 2－4a 2x ，x >4a －14a，所以f (f (x ))＝x 有四个解：0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a21＋4a2.又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a21＋4a2是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值X 围为a >12.跟踪训练 (2013·某某市高中毕业班第二次诊断性检测)对于定义在区间D 上的函数f (x )，若满足对∀x 1，x 2∈D 且 x 1<x 2时都有f (x 1)≥f (x 2)，则称函数f (x )为区间D 上的“非增函数”．若f (x )为区间[0，1]上的“非增函数”且f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，又当x ∈[0，14]时，f (x )≤－2x ＋1恒成立．有下列命题：①∀x ∈[0，1]，f (x )≥0；②当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)；③f (18)＋f (511)＋f (713)＋f (78)＝2；④当x ∈[0，14]时，f (f (x ))≤f (x )．其中你认为正确的所有命题的序号为________.体验真题·把脉考向_1．【解析】选B.因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.2．【解析】选C.A 项，y ＝1x是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.3．【解析】选C.由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x －1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝（－1）313－1＝32>0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y＝6480，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.4．【解析】选B.∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．又g (x )是偶函数， ∴g (－1)＝g (1)．∵f (－1)＋g (1)＝2，∴g (1)－f (1)＝2.① 又f (1)＋g (－1)＝4，∴f (1)＋g (1)＝4.② 由①②，得g (1)＝3. _典例展示·解密高考_【例1】【解析】(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0，1]．(2)当a <0时，f (1－a )＝f (1＋a )⇔－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ⇔a ＝－34；当a >0时，f (1－a )＝f (1＋a )⇔2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ⇔a ＝－32(舍去)，所以a ＝－34. 【答案】(1)(0，1] (2)－34[强化训练1]【解析】(1)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]x 3－2，x ∈（1，2].当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]，∴当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．(2)当a >0时，由f (1－a )≥f (1＋a )得：(2－2a )＋a ≥－1－a －2a ，解得a ≥－32.所以a >0；当a <0时，由f (1－a )≥f (1＋a )得：－1＋a －2a ≥2＋2a ＋a ，解得a ≤－34，综上可知a 的取值X 围为(－∞，－34]∪(0，＋∞)．【答案】(1)[－4，6] (2)(－∞，－34]∪(0，＋∞)【例2】【解析】(1)g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．(2)依题意得，当0≤x ≤π时，f (x )＝2x －2sin x ；当π<x ≤2π时，f (x )＝2x ＋2sin(2π－x )＝2x －2sin x ．故f (x )＝2x －2sin x ，0≤x ≤2π.该函数不是分段的，可以排除选项A 、B ；再根据函数f (x )在x ＝π2时，f (x )＝π－2<π2，排除选项C.【答案】(1)C (2)D[强化训练2]【解析】(1)选B.法一：取特值x ＝0时t ＝0，则y ＝1，排除A ，D ，取x ＝π2时，t ＝1－22≈0.3<0.5，故选B. 法二：依题意可知cos x2＝1－t ，则y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1(0≤t ≤1)，故选B.(2)选B.y ＝f (x )和y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝1对称，因此y ＝f (2－x )是A 图，而y ＝－f (2－x )和y ＝f (2－x )的图象关于x 轴对称，因此，故选B.【例3】【解析】(1)函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 是偶函数但单调性不符合，只有选项C 符合要求．(2)∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a≤2.【答案】(1)C (2)C[强化训练3]【解析】(1)∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＝3， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝335＋3＝338.(2)设x <0，则－x >0，于是f (－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.当x >0时，由x2－4x >x 得x >5；当x <0时，由－x 2－4x >x 得－5<x <0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．【答案】(1)B (2)(－5，0)∪(5，＋∞) _名师讲坛·精彩推荐_[跟踪训练]【解析】f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，令x ＝1得，f (1)＝0，即0＝f (1)≤f (x )≤f (0)＝1，①正确；令x ＝12得，f (12)＝12，令x ＝34，得f (34)＝1－f (14)≤f (14)，得f (14)≥12，又f (x )≤－2x ＋1在x ∈[0，14]上恒成立，所以f (14)≤－12＋1＝12，所以f (14)＝12，结合“非增函数”的定义可知，当x ∈[14，12]时，f (x )＝12，即②错；对于③，显然f (18)＋f (78)＝1，又当x ∈[14，12]时，f (x )＝12，所以f (511)＝f (613)＝12，又f (613)＋f (713)＝1，所以f (713)＝12，即③正确；对于④，令f (x )＝t ，不等式左边为f (t )，右边为f (x )，当x ∈[0，14]时，t ＝f (x )∈[12，1]，f (t )∈[0，12]，f (t )≤f (x )，即④正确，故填①③④. 【答案】①③④。

高考数学(理)名师指导提能专训3 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理[ 高考]

提能专训(三)不等式与线性规划、计数原理与二项式定理A 组一、选择题1．(2013·广东佛山质检)不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14 D 命题立意：本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，难度中等．解题思路：由题意知ax 2＋bx ＋2＝0的两个根为－12，13，所以－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，∴ a ＝－12，b ＝－2，∴ a ＋b ＝－14.2．(2013·山西附中期中考试)函数y ＝a x ＋3－2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上，且m ＞0，n ＞0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28B 解题思路：函数y ＝a x ＋3－2的图象恒过A (－3，－1)，由点A 在直线x m ＋y n ＝－1上可得，－3m ＋－1n ＝－1，即3m ＋1n ＝1，故3m ＋n＝(3m ＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ，因为m ＞0，n ＞0，所以n m ＋mn ≥2n m ×m n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n 时取等号，故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B.3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝y ＋1x ＋1的取值范围为( )A ．[1,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 B 命题立意：本题是线性规划问题，首先准确作出可行域，然后明确目标函数的几何意义是可行域内的点与点(－1，－1)连线的斜率，最后通过计算求出z 的取值范围．解题思路：由已知约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (1,1)，B (1,2)，目标函数z ＝y ＋1x ＋1的几何意义为可行域内的点与点P (－1，－1)连线的斜率，k P A ＝1，k PB ＝32，故选B.4．(2013·湖南衡阳八中第六次质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为( )A.83B.256C.113D ．4B 解题思路：画出不等式组表示的可行域，如图所示．当直线ax ＋by ＝z 过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选B.5．(2013·兰州一中12月月考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．0B ．1 C. 2D ．9B 解题思路：可行域是由点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，(0,1)，(0,0)为边界的三角形区域，z ＝3x ＋2y 的最小值在m ＝x ＋2y 取得最小值时取得，m ＝x ＋2y 在经过(0,0)时取得最小值，即z ＝3x ＋2y 最小值为30＝1，故选B.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0，则不等式f (a 2－4)＞f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)B 命题立意：本题以分段函数为载体，考查了函数的单调性以及不等式等知识，考查了数形合结的思想．解题时首先作出函数f (x )的图象，根据图象得到函数的单调性，进而得到不等式的解集．解题思路：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)＞f (3a )，可得a 2－4＜3a ，整理得a 2－3a －4＜0，即(a ＋1)(a －4)＜0，解得－1＜a ＜4.所以不等式的解集为(－1,4)．7．(2013·呼和浩特第一次统考)已知正项等比数列{a n }满足S 8＝17S 4，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋1n 的最小值为( )A.19B.13C.23D.12C 命题立意：本题考查等比数列的通项公式及前n 项和公式与均值不等式的综合应用，难度中等．解题思路：由已知S 8＝17S 4⇒S 8S 4＝1＋q 4＝17，又q ＞0，解得q＝2，因为各项均为正项，因此a m a n ＝a 21q m ＋n －2＝a 1q m ＋n －2＝4a 1，整理得2m ＋n －2＝16⇒m ＋n ＝6，由均值不等式得1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝6mn≥6⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝23，当且仅当m ＝n ＝3时，取得最小值23. 8．(2013·山东青岛统一质检)定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1,2)∪[3,5)的长度d ＝(2－1)＋(5－3)＝3.用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R .设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，当0≤x ≤k 时，不等式f (x )＜g (x )解集区间的长度为5，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9B 命题立意：本题考查函数与不等式知识以及对已知信息的理解和迁移能力，难度中等．解题思路：f (x )＝[x ]·{x }＝[x ]·(x －[x ])＝[x ]x －[x ]2，由f (x )＜g (x )得[x ]x －[x ]2＜x －1，即([x ]－1)x ＜[x ]2－1.当x ∈[0,1)时，[x ]＝0，不等式的解为x ＞1，不合题意；当x ∈[1,2)时，[x ]＝1，不等式为0＜0，无解，不合题意；当x ≥2时，[x ]＞1，所以不等式([x ]－1)x ＜[x ]2－1等价于x ＜[x ]＋1，此时恒成立，所以此时不等式的解为2≤x ≤k ，因为不等式f (x )＜g (x )解集区间的长度为5，所以k －2＝5，即k ＝7，故选B.9．设变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．8C解题思路：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6的可行域，知(1,1)为所求最优解，∴ z min ＝2×1＋1＝3.10．(2013·贵州一联)设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与抛物线y 2＝－4x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y ＋5的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．12C 解题思路：由x 2－y 2＝0得双曲线的渐近线为y ＝±x .抛物线的准线为x ＝1，所以它们围成的三角形区域为三角形BOC .由z ＝x －2y ＋5得y ＝12x ＋12(5－z )，作直线y ＝12x ，平移直线y ＝12x ，当直线y ＝12x ＋12(5－z )经过点C 时，直线y ＝12x ＋12(5－z )的截距最小，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－x ，得x ＝1，y ＝－1，即C (1，－1)，代入z ＝x －2y ＋5，得z ＝8.二、填空题11．(2013·宁夏3月第一次联考)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则u ＝log 4(2x ＋y ＋4)＋12的最大值为________．2解题思路：满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0的可行域如图中阴影所示，令z ＝2x ＋y ＋4，则y ＝－2x ＋(z －4)．将虚线上移，得到y ＝－2x ＋(z －4)过直线2x －y ＝0与x －2y ＋3＝0的交点时最大，又⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，即过(1,2)时，z max ＝2＋2＋4＝8，故u ＝log 4(2x ＋y ＋4)＋12的最大值是log 48＋12＝log 2223＋12＝32＋12＝2.12．(2013·深圳第二次调研)已知向量a ＝(1，－2)，M 是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0内的动点，O 是坐标原点，则a ·OM→的最小值是________．－3 命题立意：本题考查平面向量的数量积运算、简单的线性规划问题，考查考生的作图能力、计算能力，难度中等．解题思路：作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0表示的平面区域如图，设区域内任意点M (x ，y )，则OM→＝(x ，y )，因为a ＝(1，－2)，所以a ·OM →＝(1，－2)·(x ，y )＝x －2y .令z ＝x －2y ，则y ＝x 2－z 2，作出直线y ＝x 2－z 2，可以发现当其过点(1,2)时，－z2有最大值，z 有最小值，将x ＝1，y ＝2代入，得z min ＝1－4＝－3.13．(2013·保定高三调研考试)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≥－2，3x －2y ≤3，则x 2＋y 2的最大值与最小值之和为______．18916 命题立意：本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域及数形结合思想，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．解题思路：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≥－2，3x －2y ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知x 2＋y 2的最大值在x －2y ＝－2与3x －2y ＝3的交点处取得，解⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－2，3x －2y ＝3，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，94，所以x 2＋y 2的最大值为18116，最小值是原点到直线x ＋y ＝1的距离的平方，即为12，故所求的和为18916.14．(乌鲁木齐一诊)若⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，y ≥－43x ＋b ⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，则实数b 的取值范围是________．b ∈[0，＋∞) 解题思路：如图，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，y ≥－43x ＋b 非空，⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪ x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，y ≥－43x ＋b ⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}y ＝－43x ＋b 在直线y ＝－43x 与直线y ＝－43x ＋8之间平行移动，故0≤b ≤8；若⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪(x ，y ) x －2y ＋5≥0，⎭⎬⎫3－x ≥0，y ≥－43x ＋b 为空集，则b ＞8，故b 的取值范围是[0，＋∞)．15．(2013·云南第一次统一检测)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，ax ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．2 命题立意：本题主要考查线性规划问题，正确画出可行域是解决问题的关键．解题思路：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2×2＝3，解得a ＝2. B 组一、选择题1．(2013·山西临汾二次适应训练)由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的不重复的六位数中，不出现“135”与“24”的六位数的个数为( )A ．582B ．504C ．490D ．486C 命题立意：本题考查排列组合中的数字组数问题，考查分类讨论的应用，难度较大．解题思路：由0,1,2,3,4,5组成的不重复的六位数共有A 66－A 55＝600(个)，其中出现“135”的六位数有A 33＋2A 22×3＝18，出现“24”的六位数有A 44＋3A 33×4＝24＋72＝96，同时出现“135”和“24”的六位数有135 240,135 024,241 350，240 135，共有4个，所以不出现“135”和“24”的六位数有600－(18＋96)＋4＝490(个)．易错点拨：确定好分类标准是避免出错的关键．2．(2013·东北三省四市第一次联考)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6(a ＞0)的展开式中常数项为240，则(x ＋a )(x －2a )2的展开式中x 2项的系数为( )A ．10B ．－8C ．－6D ．4C 解题思路：展开式中，常数项为C 46x 2⎝⎛⎭⎪⎫a x 4＝15a 4＝240，则a 4＝16，a ＝2，(x ＋a )(x －2a )2的展开式中，x 2项为x ·C 12x ·(－2a )＋a ·x 2＝－3ax 2，则x 2项的系数为－6，故选C.3．(2013·吉林复习质量检测)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 29展开式中的常数项为( ) A ．84 B ．－84 C ．504D ．－505B 命题立意：本题考查二项展开式通项公式的应用，难度较小．解题思路：由于通项公式T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 9－r (－x 2)r ＝C r 9(－1)r ·x 3r －9，故常数项为T 3＋1＝C 39(－1)3＝－84，故选B.4．(2013·西安高考练习题)甲、乙两队采用五局三胜制进行排球比赛．甲第一局获胜，则所有可能出现的情形(各队输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．6种B ．11种C ．10种D ．20种C 命题立意：本题考查计数原理，难度中等．解题思路：就该比赛结果甲队的胜负进行分类计数：第一类，该比赛结果甲队胜，满足题意的情形共有C 24种；第二类，该比赛结果甲队负，满足题意的情形共有C 34种．因此，由加法原理知满足题意的情形共有10种，故选C.5．(2013·合肥第一次质检)将包含甲、乙两队的8支队伍平均分成2个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分组方案有( )A ．20种B ．35种C ．40种D ．60种A 命题立意：本题考查排列组合知识，难度中等．解题思路：依题意，将8支队伍平均分成2个小组的方案共有C 48·C 44A 22＝35种，其中甲、乙两队被分在同一小组的方案共有C 26＝15种，因此满足题意的分组方案共有35－15＝20种，故选A.6．(2013·长沙高考模拟一)已知不等式x －2ax ＋b ＞0的解集为(－1,2)，m 是二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －b x 26的展开式的常数项，那么maa 7＋2b 7＝( )A ．－15B ．－5C ．－5aD ．5D 命题立意：本题考查分式不等式及二项展开式通项公式的综合应用，难度较小．解题思路：由不等式x －2ax ＋b＞0的解集为(－1,2)，可知方程(x －2)(ax ＋b )＝0的两根为－1,2，且a ＜0，故有a ＝b ，又二项式的通项公式为T r ＋1＝C r 6a 6－r (－b )r x 6－3r ，故其常数项m ＝T 2＋1＝C 26a 4·(－b )2＝15a 6，因此ma a 7＋2b 7＝15a73a7＝5.7．(2013·湖北荆门质检)2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请A ，B ，C 三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有( )A ．20种B ．24种C ．30种D ．36种B 命题立意：本题考查排列组合知识的应用，试题难度中等．解题思路：4人分到A ，B ，C 三个项目共有C 24A 33种，其中A 项目有甲与另一人的分法有A 33种，A 项目只有甲一人的分法有C 23A 22种．故符合题意的安排方案有C 24A 33－A 33－C 23A 22＝24，故选B.8．设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x2 013等于( ) A ．i B ．－i C ．－1＋iD ．1＋iC 解题思路：因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x2 013＝(1＋x )2 013－1＝i 2 013－1＝i －1，故选C. 9．(2013·济南4月模拟)某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为( )A ．600B ．288C ．480D ．504D 命题立意：本题考查排列组合知识的应用，难度中等．解题思路：若数学排在第一节，则共有A 55＝120种排法，若数学不排在第一节，则有C 14C 14A 44＝384种排法，故共有120＋384＝504种排法，故选D.10．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，称该数为“驼峰数”．比如：“102”“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4,5这五个数字可构成多少个无重复数字的“驼峰数”( )A ．10个B ．40个C ．30个D ．20个D 解题思路：若十位数字为1，则个位数与百位数是2,3,4,5中的任两个，这样的数共有C 24A 22＝12个；若十位数字为2，则个位数与百位数是3,4,5中的任两个，这样的数共有C 23A 22＝6个；若十位数字为3，则个位数与百位数是4,5中的任两个，故组成的无重复数字的“驼峰数”共20个．二、填空题11．(2013·武汉4月调研)⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 6的展开式中1x 2的系数为－12，则实数a 的值为________．－1 命题立意：本题考查二项式定理的应用，难度中等．解题思路：利用二项展开式的通项公式求解．二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 6展开式中第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝C r 6·26－r ·a r ·x 3－r，当3－r ＝－2，即r ＝5时，含有1x 2的项的系数是C 56·2·a 5＝－12，解得a ＝－1.方法归纳：二项展开式中的特定项一般利用通项公式求解．12．(2013·银川一中第二次模拟)已知k 为如图所示的程序框图输出的结果，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x k ＋1x n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．5 解题思路：程序执行过程为S ＝20＝1，k ＝1；S ＝20＋21＝3，k ＝2；S ＝3＋23＝11，k ＝3；S ＝11＋211＝2 059＞100，k ＝4，输出k＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋1x n 的展开式通项为T r ＋1＝C r n (x 4)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r n x 4n －5r，令4n －5r ＝0，得n ＝54r ，所以正数n 的最小值为5.13．(2013·贵州六校联考)(x ＋1)(1－2x )5展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．－40 解题思路：(1－2x )5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(－2)k x k ，所以T 3＝C 25(－2)2x 2＝40x 2，T 4＝C 35(－2)3x 3＝－80x 3，所以x 3的系数为40－80＝－40.14．(2013·石家庄第一次模拟)为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为________(用数字作答)．24命题立意：本题考查排列组合知识的应用，正确合理的分类是解答本题的关键，难度中等．解题思路：若参加乐器的为男生，则只需从2男中选1人参加，然后将剩下的1男和3女分成2组，然后分配到舞蹈和演唱项目中去即可，共有C12C24C22A22A22＝12种方案；若参加乐器的为女生，则只需从3女中选1人参加，然后将剩下的2男和2女分成2组，每组有1女和1男，共有2种分组方法，然后分配到舞蹈和演唱项目中去即可，共有C13×2×A22＝12种方案，综上共有12＋12＝24种推荐方案．15．(2013·衡水中学第六次模拟)中央电视台某综艺节目的现场观众来自四个单位，分别如图中4个区域内坐定，有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着装方法共有________种．84命题立意：本题考查排列组合的涂色问题，难度中等．解题思路：区域1有4种可能，区域2有3种可能，区域3可与区域1相同或不同，故共有4×3×3＋4×3×2×2＝84种方法．。

【名师伴你行】高考数学二轮复习不等式与线性规划计数原理与二项式定理提能专训

提能专训(七) 不等式与线性规划计数原理与二项式定理A 组一、选择题1．(2014·淄博一中模拟)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) [答案] C [解析]x －12x ＋1≤0等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，2x ＋1≠0，即－12＜x ≤1，所以不等式x －12x ＋1≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，故选C.2．(2014·宜春二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(－2,1)B ．(0,2)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) [答案] A[解析] ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，即(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，故选A.3．(2014·山西联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0，若z ＝kx ＋y 的最大值为13，则实数k ＝( )A ．2 B.132 C.94 D ．5[答案] C[解析] 设直线x －2y ＋4＝0与2x －y －4＝0、直线x －2y ＋4＝0与x ＝2的交点分别为A ，B ，则A (4,4)，B (2,3)，z ＝kx ＋y 可化为y ＝－kx ＋z .当k ＝0时，显然不符合题意．当－k >0，即k <0时，A ，B 两点都可能是最优点，但代入后检验都矛盾；当－k <0，即k >0时，显然点A (4,4)是最优解，代入后可得k ＝94.4．(2014·辽宁三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}[答案] B[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.故选B.5．(2014·上海奉贤区二模)下列命题正确的是( ) A ．若x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2x ＋1sin 2x ≥4B ．若a ＜0，则a ＋4a≥－4C ．若a ＞0，b ＞0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ＜0，b ＜0，则b a ＋a b≥2 [答案] D[解析] 当sin 2x ＝1时，1＋1＝2＜4，所以A 错；若a ＜0，则a ＋4a≤－4，B 错；因为lg a ，lg b 可以小于零，C 错；由a ＜0，b ＜0，所以b a ，a b都大于零，D 正确．6．(2014·威海一模)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＞2或x ＜－2}B ．{x |－2＜x ＜2}C ．{x |x ＜0或x ＞4}D ．{x |0＜x ＜4} [答案] C[解析] ∵f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数，∴b －2a ＝0，即b ＝2a ，∴f (x )＝ax2－4a .∴f ′(x )＝2ax .又∵f (x )在(0，＋∞)单调递增，∴a ＞0.由f (2－x )＞0，得a (x －2)2－4a ＞0，∵a ＞0，∴|x －2|＞2，解得x ＞4或x ＜0.7．(2014·武威凉州区二诊)设集合A n ＝{x |(x －1)(x －n 2－4＋ln n )＜0}，当n 取遍区间(1,3)内的一切实数，所有的集合A n 的并集是( )A ．(1,13－ln 3)B ．(1,6)C ．(1，＋∞)D ．(1,2)[答案] A[解析] ∵n ∈(1,3)，∴n 2＋4－ln n ＞1.∴A n ＝{x |(x －1)(x －n 2－4＋ln n )＜0}＝{x |1＜x ＜n 2＋4－ln n }．令g (n )＝n 2＋4－ln n ，则g ′(n )＝2n －1n，当n ∈(1,3)时，g ′(n )＞0，∴g (n )为增函数，且g (n )∈(5,13－ln 3)．∴A 1∪A 2∪…∪A n ＝(1,13－ln 3)．8．(2014·北京西城区期末)在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，y ≤2所表示的平面区域为D .在映射T ：⎩⎪⎨⎪⎧u ＝x ＋y ，v ＝x －y的作用下，区域D 内的点(x ，y )对应的象为点(u ，v )，则由点(u ，v )所形成的平面区域的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 [答案] C[解析] 由映射T ：⎩⎪⎨⎪⎧u ＝x ＋y ，v ＝x －y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝u ＋v 2，y ＝u －v 2，代入不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，y ≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧u ≥0，v ≤0，u －v ≤4，画出可行域如图所示，所以由点(u ，v )所形成的平面区域的面积为12×4×4＝8.9．(2014·合肥二检)在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( )A.55 B.23 C.22D ．1 [答案] A[解析] 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图所示．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A.10．设对任意实数x >0，y >0，若不等式x ＋xy ≤a (x ＋2y )恒成立，则实数a 的最小值为( )A.6＋24 B.2＋24 C.6＋24 D.23[答案] A[解析] 原不等式可化为(a －1)x －xy ＋2ay ≥0，两边同除以y ，得(a －1)xy －x y＋2a ≥0，令t ＝x y，则(a －1)t 2－t ＋2a ≥0，由不等式恒成立知，a －1>0，Δ＝1－4(a －1)·2a ≤0，解得a ≥2＋64，∴a min ＝2＋64，故选A.11．(2014·宁德质检)设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则μ的最大值为( )A ．3 B.13 C ．0 D ．－1[答案] A[解析] 设P 的坐标为(x ，y )，因为OP →＝λm ＋μn ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，解得μ＝x－y .题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分，由图可知，当目标函数μ＝x －y 过点G (3,0)时，μ取得最大值为3－0＝3，故选A.二、填空题12．(2014·济南模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则yx的最大值是________．[答案] 2[解析] 二元一次不等式组表示的区域如图阴影部分所示，yx表示阴影部分内一点与原点连线的斜率，最大斜率在点A ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，y ＝3x －2的交点(2,4)处，y x取最大值2.13．(2014·沈阳质量检测)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x xy ，yxy ＜，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x 2x －x 2)的最大值为________．[答案] 4[解析] 依题意得，当x 2(2x －x 2)≥0，即0≤x ≤2时，f (x )＝x 2的最大值是22＝4；当x 2(2x －x 2)＜0，即x ＜0或x ＞2时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1＜0.因此，函数f (x )的最大值是4.14．(2014·皖南八校联考)已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围是________．[答案] (－∞，1]∪[22＋4，＋∞)[解析] 由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．15．(2014·云南第一次检测)已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2bab的最小值为________．[答案] 7＋4 3[解析] 该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，由题意得，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以3a ＋2b ab＝3b ＋2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋2a (2a ＋b )＝6a b ＋2ba＋7≥26a b ·2b a＋7＝7＋43(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)．16．(2014·南通期末)给出以下三个关于x 的不等式：①x 2－4x ＋3＜0，②3x ＋1＞1，③2x 2＋m 2x ＋m ＜0.若③的解集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是________．[答案] [－1,0)[解析] 由①解得x ∈(1,3)，由②解得x ∈(－1,2)，则①和②的并集为(－1,3)，根据题意可得③的解集是(－1,3)的子集，令f (x )＝2x 2＋m 2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＜－m 24＜3，Δ＞0，f －，f ，解得m ∈[－1,0)．17．(2014·北京顺义一模)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋4≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．[答案] 2[解析] 画出可行域，如图所示，目标函数变形为y ＝－a b x ＋z b ，由已知得－a b＜0，且纵截距最大时，z 取到最大值，故当直线l 过点B (2,4)时，目标函数取到最大值，即2a ＋4b ＝8，因a ＞0，b ＞0，由基本不等式，得2a ＋4b ＝8≥42ab ，即ab ≤2(当且仅当2a ＝4b ＝4，即a ＝2，b ＝1时等号成立)，故ab 的最大值为2.18．(2014·南通二调)若不等式(mx －1)[3m 2－(x ＋1)m －1]≥0对任意m ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的值为________．[答案] 1[解析] 当x ≤0时，mx －1≤0恒成立，此时3m 2－(x ＋1)m －1≤0对任意m ∈(0，＋∞)恒成立，这不可能，所以x ≤0舍去．当x >0时，当m ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，1x 时，3m 2－(x ＋1)m －1≤0，当m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1x ，＋∞时，3m 2－(x ＋1)m －1≥0，所以当m ＝1x 时，3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1x －1＝0，解得x ＝1(负值舍去)．19．(2014·厦门5月适应性考试)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤2，ax －y ＋2≤0表示区域为D ，且圆x 2＋y 2＝4在D 内的弧长为π2，则实数a 的值等于________．[答案] 1－ 2[解析] 依题意知，可行域为如图所示的阴影部分，AB ︵＝π2，因为圆的半径为2，所以∠AOB ＝π4，所以点B 的坐标为(2，2)，又直线y＝ax ＋2过点B ，所以2＝2a ＋2，解得a ＝1－ 2.B 组一、选择题1．(2014·合肥质检二)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30 [答案] A[解析] (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910(x 2)(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210，故选A.2．(2014·太原一模)有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A ．24B ．48C ．72D ．96 [答案] B[解析] 按照物理书的位置．可以分成5类，即物理书依次排放在左起第一、二、三、四、五位．①当物理书放在第一、二、四、五位的时候，都有C 12·C 12·C 12＝8种放法；②当物理书放在第三位的时候，有C 12·C 12·C 12·C 12＝16种放法，∴一共有8×4＋16＝48种符合要求的放法．3．(2014·云南检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( )A ．6B ．10C ．12D ．15 [答案] C [解析]4．(2014·浙江名校联考)从正方体ABCD－A1B1C1D1的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )A．8种 B．12种 C．16种 D．20种[答案] B[解析]事实上，从正方体的6个面中任取3个面，有两种情况：一种是有2个面不相邻，另一种是3个面都相邻，而3个面都相邻就是过同一顶点的3个面，有8个顶点，故有8种取法，而从6个面中任取3个面共有C36种选法，因此，有2个面不相邻的选法共有C36－8＝12种，故选B.5．(2014·南昌一模)若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝( )A．27 B．28 C．7 D．8[答案] C[解析]取x＝－1，得(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，①取x＝－3，得(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，②①与②两式左、右两边分别相减，得28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11)＝log227＝7.6．(2014·青岛二模)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A．34种 B．48种 C．96种 D．144种[答案] C[解析]把B和C看作一个元素与除A外的3个元素全排列，有4！种，而A有2种，交换B 与C 也有2种，所以共有排法4！×2×2＝96.7．(2014·绵阳第二次诊断)某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种类为( )A ．1 860B ．1 320C ．1 140D ．1 020[答案] C[解析] 若有甲无乙，C 36×4！＝480；若有乙无甲，C 36×4！＝480；若甲乙都有，C 26×2！×A 23＝180.所以共有480＋480＋180＝1 140.故选C.8．(2014·辽宁五校协作体摸底)在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为( )A ．36B ．72C ．84D ．108[答案] C[解析] 甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，①当有两所医院分2人另一所医院分1人时，总数有C 25·C 23A 22·A 33种，其中有甲乙二人或丙丁二人在同一组有A 33＋4A 33种；②有两所医院分1人另一所医院分3人．有C 12·C 12·A 33种．故满足条件的分法共有C 25·C 23A 22·A 33－A 33－4A 33＋C 12·C 12·A 33＝90－6－24＋24＝84种． 9．(2014·吉林普通中学摸底)已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )A ．1B ．±1 C．2 D ．±2[答案] C[解析] 由题意二项式系数和为2n ＝32，即n ＝5，二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x r ＝a r C r 5x 15－5r6 ，令15－5r 6＝0，即r ＝3，所以T 4＝a 3C 35＝80，即a ＝2. 10．(2014·山西大学附中考试)从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有( )A ．60种B ．72种C ．84种D ．96种[答案] B[解析] 根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有C12·C13·A33＝36种选派方案．②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C23·A22·C23·A22＝36种选派方案．综上可知，共有36＋36＝72种不同的选派方案，故选B.11．(2014·长沙二模)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有( ) A．12对 B．18对 C．24对 D．30对[答案] C[解析]每条面对角线有4条与之异面的面对角线所成的角为60°，每个面有2条面对角线，共6个面，共有48对“黄金异面直线对”，因为每对无顺序，所以每对都重复一次，故共有24对．12．1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是( ) A．－1 B．1 C．－87 D．87[答案] B[解析]原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1，因为前10项均能被88整除，所以余数为1，故选B.二、填空题13．(2014·济南一模)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)[答案]300[解析]因为0号实验不能放在第一项，所以第一步是从1,2,3,4,5的五项实验任选一个放在第一项，有A15；第二步：从剩下的五项实验中任取三个放在第二、三、四项，有A35种不同的方法；第三步：最后剩下两项实验，标号较大的放在第五项，较小的放在第六项，只有这一种方法；根据分步乘法计数原理，实验顺序的编排方法种数为A15·A35·1＝300.14．(2014·浙江“六市六校”联盟考试)从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，这样的四位数有________个．[答案]96[解析]依题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除．将这六个数字按照被3除的余数分类，共分为3类：{0,3}，{1,4}，{2,5}，若四位数含0，则另外3个数字为3,4,5(或1,3,5或2,3,4或1,2,3)，且0不在第一位，此时有C13·A33·4＝72种；若四位数不含0，则4个数字为1,2,4,5，此时有A44＝24种，由分类加法计数原理，这样的四位数有72＋24＝96个．15．(2014·安庆二模)如果(1＋x ＋x 2)(x －a )5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x 4项的系数为________．[答案] －5[解析] ∵(1＋x ＋x 2)(x －a )5的展开式所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a )5＝0， ∴a ＝1.∴(1＋x ＋x 2)(x －a )5＝(1＋x ＋x 2)(x －1)5＝(x 3－1)(x －1)4＝x 3(x －1)4－(x －1)4，其展开式中含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04(－1)0＝－5.16．(2014·上海奉贤二模)在(x ＋1)n 的二项展开式中，按x 的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________．(用数值表示)[答案] 256[解析] 由(x ＋1)n 的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第5项的系数最大，即第五项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即n ＝8.各项的二项式系数之和为28＝256.17．(2014·保定调研)已知集合M ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ，B ，C 为M 的非空子集，若∀x ∈A ，y ∈B ，z ∈C ，x <y <z 恒成立，则称“A —B —C ”为集合M 的一个“子集串”，则集合M 的“子集串”共有________个．[答案] 111[解析] 由题意可先分类，再分步：第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有C 66种取法，第二步，分成三组，共10种分法，所以共有10C 66个子集串；第二类，从6个元素中取出5个元素，共C 56种取法，然后将这5个元素分成三组共6种分法，所以共有6C 56个子集串；同理含4个元素的子集串数为3C 46；含3个元素的子集串数为C 36.集合M 的子集串共10C 66＋6C 56＋3C 46＋C 36＝111个． 18．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． [答案] 6 [解析] 如图，阴影部分即为可行域，易得使z ＝x ＋y 取得最小值的点仅有(0,1)，使z ＝x ＋y 取得最大值的点有无数个，但属于集合T 的只有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)．用这些点可以组成不同直线的条数为C 26－C 25＋1＝6.19．(2014·合肥一中、安师大附中等六校素质测试)某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，其运动规律为(m，n)→(m＋1，n＋1)或(m，n)→(m ＋1，n－1)．若该动点从原点出发，经过6步运动到(6,2)点，则有________种不同的运动轨迹．[答案]9[解析]解法一：如图所示，该动点从原点出发，第一次运动到点K(1,1)，第二次从K 点运动到点I(2,2)或者J(2,0)，以此类推，最后到达A(6,2)，则不同的运动轨迹有：O→K→I→G→D→B→A；或O→K→J→H→E→B→A；…….一共有9种不同的运动轨迹．解法二：每一步向右上或右下，所以只关心在竖直方向上的运动情况，即确定6步运动中哪两步往下即可，其中第一步不能向下，所以不同的运动轨迹种数为C26－C16＝9.。