最新数学分析考试试卷答案样本(A卷)讲课稿

一． 1． (8 分 ) 解：函数在原点连续……… 2 分， 函数在原点可微………… 2 分， 函数在原点偏导存在……… 2 分， 函数在原点偏导不连续…………… 2 分.
2．(8 分) 解: 构造拉格朗日辅助函数 : F ( x, y, ) f ( x, y) (x y r ) ……… 2
解得稳定点为 x y r …… 2 2
(2,3, 4)
于是得曲线积分
x d x y2 d y z3 d z 与路径无关 ………… ..2
(1,1,1)
计算曲线积分得
(2,3, 4)
xd x
y2 d y
(1,1,1)
z3 d z
(0,0,0)
xd x
y2 d y
z3 d z
(1,1,1)
(2,3, 4)
xd x
y2 d y
z3 d z
(0,0,0)
所以原式
f ( x) f ( y)dxdy
D1
1 f ( y) f ( x)d xd y
f (x) f ( y)d xd y
1 (
1
f ( x)d
x) 2
1 A2 (6 分 )
D2
2D
20
2
5.(8 分)解:利用极坐标变换原式可化为
sin( x2 y2 )d x d y
2
d
2 r sin r 2dr
xy
(0,0)) , 故连续 . (4 分).
三 .(6 分 )
9. 解：设 f (x, y, z) x2 y2 z2 27 . 因为 f x 2 x, f y 2 y, f z 2z 在空间连续 ,(2 分 ), 所
以得到切平面方程为
f x ( P0 )( x 1) fy (P0)( y 1) f z( P0)( z 1) 2( x 1) 2( y 1) 2(z 1) 0 ，
D
0
cos 2 cos4 2 ……… 8
6.(8 分 ) 解 : 原式可化为
z2 d x d y d z
V
dxdy
z dz R2 x2 y2
2
R R2 x 2 y2
x 2 y2 3R2
4
13 R5 ……… 8 96
二、 7.(6 分)解：正确 . (2 分). limlim x
y
y lim
y 0x 0x y y 0 y
xy
x
1 , limlim
lim 1 ,(2 分)，
x 0y 0x y x 0x
由于两个累次极限值不相等，所以，重极限不存在 . (2 分 ).
8. (6 分 )解：正确 . (2 分). 因为
| f (x, y) 0 | | (x y)sin 1 sin 1 | | x y | 0 f (0,0), (( x, y)
湖北第二师范学院 2011－2012 学年度第 一学期
课程考试试题参考答案（样本）
课程名称： 考试方式： 系（部）：
（ A 卷）
数学分析
学生人数 : _88_____
开卷
（开卷、 闭卷）
任课教师：
丁道新
数经学院
专业年级： 10 级应数 1,2 班
注：参考答案需写清题号、每小题分值、参考答案要点、评分标准等
0
0
从而有
t
y dy t 2 t
1
y dy , ………… 2
0
0
求导得 y 2 y 1, 于是得到 Q x, y x2 2 y 1………… ..2
(t ,1)
(1,t )
因为对任意 t 都有 2xy d x Q( x, y)d y
2xy d x Q( x, y)d y
(0,0)
(0,0)
于是有
(t ,1)
(1,t )
2xy d x Q( x, y)d y
2xyd x Q( x, y) d y .........2
(t ,0)
(1,0)
t
1
计算得 Q 1,y dy Q t, y dy ………… 2
n
所以极小值为 r …… 2 2
再令 x a, y b , 即可证得 (a b )n
2
an bn ………… 2 2
3．(8 分) 解：
F ( p)
e px sin x d x
0
x
e
px d x
1
cos xy d y
0
0
e
px d x
1
e
px cos xy d y ,(2
分)
0
0
| e px cos xy | e px ，且反常积分 e px d x 收敛，，所以上述积分可以交换顺序 (2 分) 。 0
………………… .4
643 12
11(12 分)证明 : 奥 -高公式的叙述 …………… .4 奥-高公式的证明 ……………… .8 (叙述及详细的证明过程见教材 )
12(12 分解 : 由曲线积分与路径无关 , 我们可得
于是有
Qx Py 2x ……………… .2 Q x2 ( y) …………… .2
于是 F( p )
1 arctan
。（ 2
分）。由阿贝尔判别法知
F ( p) 在 Biblioteka Baidu 0 上一致连续，从而
p
sin x
1
d x F (0) lim arctan
.(2 分)
0x
p0
p2
4． (8 分 ) 解：设
D1 {( x, y) : 0 x 1,0 y x}, D2 {( x, y) : 0 x 1, x y 1} ， D D1 D2 ,(2 分)
即 x y z 3,(2 分 )
法线方程为
x1 y1 z1 x1 y 1 z1
即 x y z .(2 分 ).
f x ( P0 ) f y ( P0 ) f z(P0 ) 2
2
2
四 . (34 分) 10.(10 分 ) 证明 : 因为 P x, Q y2, R z3 ……… 2
所以 Py Pz Qz Qx Rx Ry 0 ………… .2