切比雪夫不等式思考题及练习题ppt
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理（chebyshev's theorem；切比雪夫不等式），内容为设X是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设Xα（α >0）的数学期望M(Xα)存在，a>0，则不等式成立。
19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：
任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：
所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了
理论根据．设测量某一物理量a，在条件不变的情况下重复测量n次，得到的结果X1，X2，…，Xn是不完全相同的，这些测量结果可看作是n个独立随机变量X1，X2，…，Xn的试验数值，并且有同一数学期望a。
于是，按大数定理j可知，当n足够大时，下式成立，即切比雪夫定理
设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在(i=1，2，…)，且D(Xi)<C(i=l，2，…)，则对任意给定的ε>0。
概率论与数理统计51切比雪夫不等式和大数定律课件
目录
• 切比雪夫不等式 • 大数定律 • 切比雪夫不等式与大数定律的联系 • 案例分析 • 习题与解答
01
切比夫不等式
Chapter
切比雪夫不等式简介
01
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它提供了在一定条件下，一个随 机变量的概率分布的上界和下界。
注意事项
使用切比雪夫不等式时，应注意其适用条件，特 别是随机变量的方差必须存在。
大数定律
要点一
总结词
大数定律描述了当试验次数趋于无穷时，随机事件的相对 频率趋于其概率的规律。
要点二
详细描述
大数定律表明，当试验次数n趋于无穷时，随机事件的相 对频率将以概率收敛于该事件的概率。具体来说，对于任 意小的正数ε，有$lim_{n to infty} P(| frac{X_n}{n} - p| < varepsilon) = 1$，其中$X_n$是n次试验中事件A发生的 次数，p是事件A的概率。
切比雪夫不等式的限制
虽然切比雪夫不等式在许多情况下都 很有用，但它也有一些限制。例如， 当随机变量的分布不是对称的或者偏 斜度较大时，切比雪夫不等式的估计 可能会不准确。
VS
因此，在使用切比雪夫不等式时，需 要考虑到这些限制，并根据具体情况 进行适当的调整和修正。
02
大数定律
Chapter
大数定律的定义
大数定律
定义
大数定律是指在独立同分布随机变量 序列中，当样本量趋于无穷大时，样 本均值的概率分布趋近于真实均值。
应用
大数定律在统计学中有着重要的应用 ，例如在样本均值的分布、置信区间 估计和假设检验等领域。
切比雪夫不等式与大数定律的联系
切比雪夫不等式练习题
切比雪夫不等式练习题第一章习题一1.4证由切比雪夫不等式及E|?|?0P?1?P?1?nE|?|?1故P?P?limP?1。
n?1n由切比雪夫不等式P?E|?|/n及E|?|??，得P?P与有相同的n阶自协方差矩阵。
故由平稳序列{Xt}的n阶自协方差矩阵退化知，对任给整数k?1，存在非零实向量b?使得 var[Tn?k?1i?k?{|?|?n})?limP?0。
n?1nbi?k?1]?0。
不妨假设bn?0，则有对任给整数k?1，Xn?k可由Xk,Xk?1,?,Xn?k?1线性表出。
对m?n?1，Xn可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，Xn?1可由X2,X2,?,Xn线性表出，故Xn?1可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
假设对所有n?m?n?k，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
则对m?n?k?1，由于Xn?k?1可由Xk?1,Xk?2,?,Xn?k线性表出，由假设，Xn?k?1也可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
根据，，对任何m?n，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，即存在常数a0,a1,?,an?1，使得Xm?a0??aiXn?i,i?1n?1a.s.。
习题四 .3解显然服从二维正态分布，且EXt?EXs?0。
记t?12k?l,s?12m?n,其中0?l?11,0?n?11，则Xt12i?l,Xs12j?n，这里?0?0。
i?0j?0km由于{?t}是正态白噪声WN，故当l?n，即t?s时， ?t,s?cov?0；当l?n?0，即t?s,t?12k 时， ?t,s?cov?min?2?[min2]?； 1212),t?12k时，当l?n?0，即t?s?min?所以2?]?1)?2。
12t,tt,s?~N，其中??T,Σ。
?s,s??t,s??第二章习题二1X2. tt?t?1,Xt??t?a?t?1习题三3. 提示：当{Xt}与{Yt}的特征多项式满足A?B时，是AR序列。
切比雪夫定理不等式45页PPT
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
切比雪夫定理不等式
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
5-1切比雪夫不等式
4n(n 1)(2n 1) 2 2(2n 1) 2 2 2 3n(n 1) 6n (n 1)
从而对任意给定的 0，由切比谢夫不等式得
D( Yn ) 0 P{| Yn | } 2
2(2n 1) 2 0 2 3n(n 1)
(n )
因此Yn .
P
四、小结
伯努利大数定理 四个大数定理 泊松大数定理 辛钦定理
契比雪夫大数定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性.
第 五 章
大 数 定 律 和 中 心 极 限 定 理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理
1 n 则 对 于 任 意 正 数, 有 limP X k 0. n n k 1
关于辛钦定理的说明: (1) 与定理5.1相比, 不要求方差存在; (2) 贝努利定理是辛钦定理的特殊情况.
例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计 算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计.
即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
定理5.2（贝努利大数定理）
伯努利
设 A 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件发 生 A 的 次 数 p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 率, , 概 则 对 于 任 意 正 数 0, 有 A A l i mP p 0 或 l i mP p 1. n n n n
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式的习题…求解答一通讯系统拥有50台相互独立起作用的交换机，在系统运行期间，每台交切比雪夫不等式的习题…求解答一通讯系统拥有50台相互独立起作用的交换机，在系统运行期间，每台交换机能清晰接收信号的概率为0.90，系统工作时，要求能清晰接收信号的交换机至少40台。
估计该通信系统能正常工作的概率。
求用切比雪夫不等式解答…蟹蟹
切比雪夫定理（chebyshev's theorem；切比雪夫不等式），内容为设X 是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设X α（α>0）的数学期望M(Xα)存在，a>0，则不等式成立。
19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件概率作出估计。
基本定理设随机变量X具有数学期望。
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理（chebyshev's theorem；切比雪夫不等式），内容为设X 是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设X α（α>0）的数学期望M(Xα)存在，a>0，则不等式成立。
1公式提出编辑19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
2基本内容编辑切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件概率作出估计。
基本定理设随机变量X具有数学期望，方差则对任意正数ε，不等式或成立。
注意：应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。
若对于任意的ε>O，当n很大时，事件“”的概率接近于1，则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a。
正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生。
所以，依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法，记为。
专题06 切比雪夫函数(解析版)
专题06 切比雪夫函数一．考情分析纵观近几年的高考真题，出现了一类题目。
看似是一道有关二次函数的题目；二次函数的定义域和值域相同。
大多数学生或老师，第一眼看过去，以为是定轴动区间或定区间动轴的问题，然后就进入讨论的误区。
深入讨论，就会发现，计算复杂，讨论纷扰。
最后就是不了了之。
然后，再次审视题目，就会发现我们陷入误区。
切比雪夫函数或切比雪夫不等式，在此时的应用，就可以让我们秒解这类题目。
数学的学习，就是要学习数学，领悟数学，秒杀数学。
二．经验分享1.切比雪夫不等式①马尔科夫不等式：()(),(X 0)E X P X αα≥≤≥；②切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况：()21|X |k P k μσ-≥≤()0,k μσ>其中是期望，是标准差. 2. 切比雪夫函数与切比雪夫不等式的意义马尔科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等数学中学习的内容，是概率与统计学中的一个定理。
主要意思：事情的大多会集中在平均值附近或者事情的发生大多在平均值上的概率最大。
也就说，马尔科夫不等式或者切比雪夫不等式只是对概率的一个估计，既然是估计，就有可能正确，也有可能不正确。
但是按照这两个不等式来看，在概率学的角度上。
发生的概率是最大。
但在高中数学学习初等函数，用这个两个不等式解题，就会有出奇制胜，秒杀的快感。
三、题型分析（一）切比雪夫函数的巧解 例 1.已知函数()()R b a b a x x x f ∈++=,|-|212，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是 ． 【传统解法】【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：()()R b a b a x x x f ∈++=,|-|212，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤ 对称轴为压轴，所以[]1,1a x =∈-，()()R b a b x x f ∈,2+=， 当1x =±，|(1)|=|1+b|1f ±≤,故此次1,b =-12a b +的最大值()111+122⨯-=- 【变式训练】已知函数)0()-2()(2>++=m n x m mx x f ，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则)32(f =【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，也就是对称轴应该是0x =；2=02mx m-=-，解之得：m 2=，2(x)2x f n =+,故此|(1)||2n |1f =+≤恒成立； 故此1n =-,所以2(x)2x 1f =-.91-)32(=∴f .（二）其他类型函数的例2．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤，可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤，由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43.【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.【变式训练1】 【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)数学】已知函数()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩， ()22g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()2g b f a +=成立，则b 的取值范围为A ．[]1,2-B ．37,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,42⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A【解析】因为()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩， 所以当0x ≥时，()12x f x +=单调递增，故()122x f x +=≥；当0x <时，()()21112x f x x x x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+-≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，取等号，【变式训2】【高2017级资阳市高三第二次诊断性考试理科数学，12题】已知直线2y x =与曲线(x)ln(ax b)f =+相切，则ab 的最大值为（ ）A.4e B.2eC.eD.2e【答案】C【解析】由题意得：设切点为00(x ,y )A ，因为切点既在直线2y x =上，也在曲线(x)ln(ax b)f =+上，所以得到：002x ln(ax b)=+①；同时求导：'2y =和'ay ax b=+，切点在00(x ,y )A ，故此02a ax b =+②；联立①②得：01ln 22a x ⎛⎫=⎪⎝⎭再带入②整理得：1ln 222a aa b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简：22ln ln 222222a a a a a a b ab ⎛⎫⎛⎫=-⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0a >； 构造函数22(x)ln(),(x 0)222x x x H =->，'1(x)ln ,(x 0)22x H x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ 故当(0,2x e ∈，'1(x)ln 022x H x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，22(x)ln()222x x x H =-是单调递增； 当()2,x e ∈+∞，'1(x)ln 022x H x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，22(x)ln()222x x x H =-是单调递减。
切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理（切比雪夫理论；切比雪夫不等式）的内容是，令x为随机变量，取区间（0，∞）中的值，而F（x）是其分布函数。
如果存在Xα（α> 0）的数学期望M（Xα）并且a> 0，则不等式成立。
在19世纪，俄罗斯数学家切比雪夫（Chebyshev）研究统计定律时，他证明并表达了具有标准偏差的不等式。
这个不等式具有普遍意义，被称为切比雪夫定理。
它的一般含义是：在任何数据集中，其平均值的m个标准偏差内的比例（或部分）始终至少为1-1 / m2，其中m为大于1的任何正数。
对于m = 2，m = 3和m = 5 ，可获得以下结果：●所有数据中至少有3/4（或75％）在平均值的2个标准差之内。
●在所有数据中，至少有8/9（或88.9％）在平均值的3个标准差之内。
●在所有数据中，至少24/25（或96％）在平均值的5个标准差之内。
“概率接近1，则随机变量序列{Xn}在a中被称为概率收敛。
因为它是概率，所以不排除发生小概率事件”。
因此，概率收敛表示关于不确定现象的收敛，写为。
切比雪夫定理令X1，X2，...，Xn，...是独立的随机变量序列，并且数学期望E（Xi）和方差D（Xi）都存在（i = 1，2，…），并且D（Xi）<C（i = l，2，…），那么对于任何给定的ε> 0，有特别是：X1，X2，...，Xn，...是相互独立的随机变量序列，其数学期望为E（Xi）=μ，方差D（Xi）=σ2（i = 1，2，…），则对于任何给定ε> 0，有切比雪夫定理的推论为算术平均值定律提供了理论基础。
假设在恒定条件下重复测量了n次特定的物理量A，则结果X1，X2， (X)并不完全相同。
这些测量结果可以视为n个独立随机变量X1，X2，…，Xn的实验值，并且具有相同的数学期望a。
因此，根据大数定理j，当n足够大时，以下公式成立。
5.1 切比雪夫不等式
差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度.
如取
3
，
P{|
X
|
3
}
2 9 2
0.111
可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则随机变量
X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .
4
例 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 平均是 7300，均方差是 700 . 利用切比雪夫不等式 估计每毫升白细胞数在 5200~9400 之间的概率 .
第一节
1
切比雪夫不等式
随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散 程度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其 期望值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界.
定理 (切 比 雪 夫 不 等 式 ) 设 随 机 变 量 X 具 有 数 学
期 望 E( X ) , 方 差 D( X ) 2 , 则 对 0 , 有
|x|
(x )2
|x|
2
f ( x)dx
1
2
(
x
)2
f
( x)dx
2 2
.
3
P{|
X
|
}
2 2
上式可改写为
P{|
X
|
}
1
2 2
切比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值
时，以数学期望 E(X)为中心的分散程度. 不难看
出，方差D(X)越小，则随机变量X的取值越集中在
数学期望 E(X)的附近，由此可以进一步体会到方
解 设每毫升白细胞数为X ，
依题意，E(X)=7300 , D(X)=7002 ，
由切比雪夫不等式，P{ |
X
7300|
} 1
概率论与数理统计 5.1 切比雪夫不等式和大数定律 ppt课件
=
1
.
16
伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 . 在实际
问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要 .
事实上, 由辛钦定理可知, 如果随机变量
X1 ,X2 , … , Xn … 相互独立, 服从同一分布且具有数
学期望 μ , 则前 n 个随机变量的算术平均值
依概率收敛于它们的数学期望 μ .
11
2、定理5.2(切比雪夫定理的特殊情况):
设随机变量 X1 ,X2 , … , Xn , … 相互独立 , 且
具有相同的数学期望和方差:
E( Xk ) = , D( Xk ) = 2 .
作前n个随机变量的算术平均
1n X = n k=1 Xk
则对于任意正数 ε , 有
lim P X
( X E( X ))2
f (x) X E( X )
2
dx
1
2
(X
)2
f ( x)dx
D( X )
2
4
例1、 已知正常男性成人血液中, 单位白细胞数 (单位:个/mL)平均是7300, 均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在 5200～9400之间的概率 .
P
1n n k =1
Xk
2 /n
1
Hale Waihona Puke 2=12 n 2
由概率性质知
13
P
1n n k=1 X k
1
.
两边关于 n 取极限,即令 n , 则
概率论与数理统计51切比雪夫不等式和大数定律课件
01 切比雪夫不等式
切比雪夫不等式介 绍
定义
作用
在概率论与数理统计中，切比雪夫不 等式是一种重要的工具，它可以帮助 我们了解随机变量的分布情况，从而 在实际问题中进行应用。
04 典型例题解析
例题一：利用切比雪夫不等式估计概率
切比雪夫不等式介 绍
题目解析
利用切比雪夫不等式求解
结果解释
例题二：验证大数定律成立条件
大数定律介绍 给出大数定律的定义和公式，解释其 含义和应用场景。
题目解析
分析题目要求，明确需要验证的大数 定律类型和条件。
利用样本数据进行验证
详细展示如何利用样本数据验证大数 定律的成立条件，包括样本选择、数 据处理和结果分析。
02 大数定律概述
大数定律定 义
大数定律意 义
理论意义 实践意义
大数定律分 类
01
伯努利大数定律
02
辛钦大数定律
03
切比雪夫大数定律
03 切比雪夫不等式与大数定 律关系
联系与区别
联系 区别
相互补充作用
切比雪夫不等式的作用
大数定律的作用
在实际问题中应用
切比雪夫不等式的应用
大数定律的应用
VS
提交方式
将书面作业扫描或拍照成电子版，通过学 校指定的在线平台提交。请确保作业清晰 可读，文件名格式为“学号+姓名+作业 名称”。
评分标准与反馈机制
评分标准
反馈机制
WATCHING
心得2
大数定律的学习使我明白了在大 量数据中寻找规律的重要性，对 于数据分析和决策具有重要意义。
切比雪夫不等式与大数定律PPT文档53页
45、自己的饭量自己知着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
切比雪夫不等式与大数定理优选PPT文档
（
.
）
E(X) E(X)
E(X)
易知 D(X )越大Ｘ的取值越分散．
下面仅对连续型Ｘ证明定理结论：
对 于 任 意 ε, 正 数
P{XE(X)ε} f (x)dx l: xE( X )
l:
(xE(X))2
xE(X)
2
f(x)dx
(xE(X))2
2
f(x)dx
12
(xE(X)2 )f(x)dx D (
limP fn p0 D弱是 弱B是是存1D弱41下 1D是是下易易41D1DP弱弱88888aoiiiii切切eeeee大相大相n在大面相相面知知大大29222rfdddddn次n14111比比数 互数 互 ， 数 仅互 互 仅 数 数:::::u:,iiii独88888t1nnnn雪雪y定独 定独则定对 独独对定定i6nDDDDDOOOO立数 事 C夫夫理立 理立对理连 立立连理理MSeeeee越 越kkkkh重ccccctaaaa不不ae， ，于续 ，，续22222......大大ttttyb复（（（（（oooo等等.服 服任型 服服型yvvvvＸＸs试辛辛辛辛辛为 实 oooo式式p从 从意Ｘ 从从Ｘh,,,,的的验钦钦钦钦钦e的 RRRR与与同 同正证 同同证或 v取取,uuuu中定定定定定大大由 一 一整明 一一明ssss(值值事理理理理理ssss上 0数数分分数定分分定iiiin越越aaaa件））））） 定定布 布理 布布理ln 分分（（（（（ 理理i1的 的结 的的结f散散弱弱弱弱弱m )A 随 随论 随随论．．分 大大大大大P 机 机： 机机：数数数数数. k定定定定定n布 f1A n )理理理理理A X ,11111及 的的的的的k,推推推推推p(广广广广广其 伯 ））））） 中 X 努 1,1X利 2,..X 大 .n相数 可 互定 得 独理 上 立立 面 均 . 刻 结 服
切比雪夫不等式及大数定律
lni mPYnn p0
贝努里大数定律说明，在相同条件下独立地重复
试验，当 n 较大时，事件 A 发生的频率
fn
nA n
做n次 与在每
次试验中发生的概率 p 之差的绝对值大于任意指定正数
的概率可任意地小（接近于0）. 因此，在实践中可以通 过反复试验，用事件发生的频率的来近似地估计它的概率.
证: Yn~B(n,p), EYnnp, D (Y n )n p (1p ),
第一节
第五章
切比雪夫不等式
与大数定律(13)
一、切比雪夫不等式 二、大数定律
引言:
问题 1 频率稳定性的问题
在相同条件下进行 n 次重复试验，事件 A 发生的频率
fn
nA n
总是在 [0,1] 上的一个确定的常数 p 附近摆动，并且随着
试验次数 n 的增大，越来越稳定地趋于 p 。 如何从理论上说明这一现象？
P { 5 0 X 5 0 0 5 0 } P { |x 5 0 0 | 5 0 }
1
250 502
0.9
二 . 大数定律
贝努里大数定律
定理2 设 Y n 是 n 重 B e r n o u l l i 试 验 中 事 件 A 发 生 的 次 数 ，
p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 ， 则 对 任 意 的 0 有
推论： 设 相 互 独 立 的 随 机 变 量 X1,X2 ,Xn, 服从相同
的 分 布 ， 且E ( X i) ,D ( X i) 2 ,i 1 ,2,
则 对 任 意 > 0 ， 有
lni m Pn 1in1
Xi 0
推论说明，若对同一随机现象进行反复观测，则其平
切比雪夫不等式与大数定律ppt课件
的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .
如取 = 3
P{| X E(X ) | 3} 2 0.111 9 2
可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .
大数定律的客观背景
大量随机试验中
事件发生的频率稳定于某一常数 测量值的算术平均值具有稳定性
依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 弱些，它具有某种不确定性.
定理2的另一种叙述形式
设随机变量X1，X 2 , , X n , 相互独立，且具
有相同的数学期望和方差：E( X k ) = m, D( X k ) = 2
(k = 1, 2,
)，则序列X
=
1 n
n k =1
X k依概率收敛于m，即
一个常数.若对于任意正数，有
lim
n
P{|
Yn
a
|
}
=
1
则称序列Y1,Y2, Yn , 依概率收敛于a.记为
Yn P a.
请注意 :
X n依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件 X n X 的概率很大，接近于1； 并不排除事件 X n X 的发生，而只是说他发生的
可能性很小.
n
P{|
1 n
n i =1
Xi
m
|
} = 1
E(Xk ) D(Xk )
=m =2
E( X ) = m lim
n
P{|
1 n
n i =1
Xi
m
|
}
=1
k
大数定律以严格的数学形式表达了随机现
象最根本的性质之一：
第45讲 切比雪夫不等式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式1第五章大数定律及中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式3第五章大数定律及中心极限定理§0切比雪夫不等式§1 大数定律§2中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式4§5.0 切比雪夫不等式四川大学第45讲切比雪夫不等式5第45讲切比雪夫不等式四川大学牟尼沟四川大学第45讲切比雪夫不等式6切比雪夫(1821~1894)ЧебышёвChebyshev俄罗斯数学家、力学家。
他一生发表了70多篇科学论文，内容涉及数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面。
他证明了贝尔特兰公式，自然数列中素数分布的定理，大数定律的一般公式以及中心极限定理。
四川大学第45讲切比雪夫不等式15例子四川大学第45讲切比雪夫不等式16-四川大学第45讲切比雪夫不等式24例5 证明方差的性质4 ( 教材103页(第41讲) )：设()0{()}1D X P XE X =⇔==证充分性（教材103页）{()}1P X E X ==则22[()]{}1P X E X ==2()X 2]E X=⨯2[()]E X =22()()[()]D X E X E X =-0=四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式26例6 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯开灯的概率都是0.7。
假设电灯开、关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800与7200盏之间的概率。
解用X 表示在夜晚开着的电灯的盏数，则X 服从参数n =10000, p =0.7的二项分布。
(k =0, 1, …, n ){}P X k =(1)kk n k n C p p -=-{68007200}P X <<100007199100006801(0.7)(0.3)k k k k C -==∑计算量太大。
下面用切比雪夫不等式估计概率四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式28例7 一机床加工长为50cm 的零件，由于随机扰动，零件长度有一定误差。