沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.6 三角形、梯形的中位线(1) 教案
沪教版八年级数学 第二学期第二十二章 四边形第三节 梯形22.6 三角形、梯形的中位线教学设计
3、方法提炼： 构造“8”字型全等，化归为三角形中位线问题。
4、练习： 已知：如图，BD 是△ABC 的外角平分线，BD⊥AD 于点 D，E 是 AC 的中点。
求证：(1)DE∥BC，（2） DE = 1 (AB + BC) .
2
A
A
D
E
D
E
还成立吗？
D
A
D
AD
BC , EF = 1 (BC + AD) 2
G
A
E
F
E
F
FE
学生B探究，得图出4结论： C B
G
C
B
C
1/4
（1）当 AD BC 时， EF BC , EF = 1 (BC − AD) ； 2
（2）当 AD BC 时， EF BC , EF = 1 ( AD − BC) ； 2
O M
B
图3
D 4/4
梯形变成了三角形，如图 3，这时原来的边 AD 退缩为一点，它的长度可记为 0.与此同时，原平行四
边形中的线段 EF 相应地变成梯形中位线，再变成三角形中位线。
在整个过程中，总是保持 EF BC , EF = 1 (BC + AD) .
2
A
D
A
D
A(D)
E
F E
F
E
F
B
C 图1
B
图2
C
B
图3
C
2、思考：若 A、D 两点继续相向运动，其他条件保持不变，如图 4，那么 EF
A
E
D
B
C
图2
（3）如图 3，BD 是△ABC 中∠ABD 的内角平分线，CE 是△ABC 中∠ACB 的外角平分线，其它条
沪教版空中课堂八下第22章三角形中位线(1)。
G
F
GF 1 AB 2
DG 1 OC 2
一组邻边相等
A D O
B E
四、习题训练
变式3
AB⊥OC
顺次联结对角线互相垂直的四边形四条边的中点，所得的四边形是 矩形 ．
顺次联结四边形四条边的中点
C
四边形DEFG是平行四边形 线段GF是△CAB的中位线 线段DG是△AOC的中位线
G
QF
AB⊥OC GF∥AB DG∥OC
初中数学 八年级 第二学期 《四边形》
22.6 三角形、梯形的中位线（１）
一、情境引入
一、情境引入
一、情境引入
A
D
E
F
G (A)
B
C
一、情境引入
A
D
E
F
G (A)
B
C
A
D B
E
F
C G (A)
一、情境引入
过AC的中点E，沿平行于BC的直线分割
一、情境引入
A
过AC的中点E，沿平行于BC的直线分割
DF∥BC DF=BC
A
D
E
F
B
C
A
D
E
F
B
C
只要证明四边形DBCF是平行四边形．
二、新知讲授
延长DE至点F，使EF=DE，联结CF．
A
D
E
F
B
C
√ 只要证明四边形DBCF是平行四边形． √ 只需要证明BD∥CF且DB=CF． √ 只需要证明∠A=∠ECF ，AD=CF． √ 只需要证明△ADE≌△CFE．
D
1E
23
四四边边形形DDBBCCFF是是平平行行四四边边形形吗．？
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.6 《梯形中位线 》 教案
EBC ADFEBCAD FDA E《梯形中位线 》教案 〖教学目标〗1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线性质.2．能够运用梯形中位线的概念及性质进行有关的计算和证明.3．经历“操作-观察-猜想-验证”的探索过程，进一步感受数学中的化归思想．、 〖教学重点〗梯形中位线及其性质的应用 〖教学难点〗梯形中位线性质的证明 教学过程： 一、知识回顾1.三角形中位线定理：△ABC 中，D 、E 分别为AB 、 AC 边上的中点，则DE//BC DE=1/2BC （位置关系、数量关系） 2.其它衍生结论：△ADE 与△ABC 的周长比为1:2 ，面积比为1:4...... 二、学习新知（一）概念：联结梯形两腰的中点的线段 ，叫梯形中位线如图：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 为AB 、CD 的中点，则EF 为梯形ABCD 的中位线概念辨析：识别下图中EF 是否为梯形的中位线HFE B C AD（二）学生操作：度量EF 、AD 、BC ，AD+BC ，∠B ∠AEF （三）类比猜测：EF 与AD 、BC 的关系：位置关系 EF//AD//EF 数量关系 EF=1/2(AD+BC) (五）分析证明：(六）得出新知：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半即：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 为AB 、CD 的中点，则 EF//AD//EF EF=1/2(AD+BC) （七）巩固练习1．一个梯形的上底长4 cm ，下底长6 cm ，则其中位线长为 cm ．2．一个梯形的上底长10 cm ，中位线长16 cm ，则其下底长为 cm ． 3．已知梯形的中位线长为6 cm ，高为8 cm ，则该梯形的面积为________ cm 2 4．已知等腰梯形的周长为80 cm ，中位线与腰长相等，则它的中位线长cm ．三、应用新知例题7、一把梯子部分如图所示,已知：AB//CD//EF//GH ,AC=CE=EG,BD=DF=FH,AB=0.3m ，CD=0.4m,求EF 、GH 的长。
沪教新版 八年级(下)第22章 四边形 22.6 三角形、梯形的中位线定理讲义 含解析
八年级第二学期第22章四边形22.6 三角形、梯形的中位线一．选择题（共6小题）1．如图，若DE是ABC∆的中位线，ABC∆的周长为1，则ADE∆的周长为()A．1B．2C．12D．142．如果以三角形的一个顶点和其三边的中点为顶点的四边形是正方形，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．两直角边不等的直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于( )A．23B．56C．54D．354．已知ABC∆的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为()A．12011B．12012C．201112D．2012125．如图，在ABC∆中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结GE，若FGE∆的面积为8，则ABC∆的面积为()A ．32B ．48C ．64D ．726．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大二．填空题（共12小题）7．等腰梯形的周长为30cm ，中位线长为8cm ，则腰长为 cm ．8．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米． 9．在梯形ABCD 中，//AD BC ，如果4AD =，10BC =，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，那么EF = ．10．已知一个三角形各边的比为2:3:4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm ，那么原三角形最短的边的长为 cm ．11．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，点F 在边BC 上，AF 与DE 相交于点G ，如果110AFB ∠=︒，那么CGF ∠的度数是 ．12．已知在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB =厘米，4AD =厘米，高12AH =厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米．13．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD BC =，对角线AC BD ⊥，且52AC =梯形ABCD 的中位线的长为 ．14．如图，已知ABC∠的角平分线BE交AC于点E，//DE BC，如果点D是边∆中，ABCAB的中点，8AB=，那么DE的长是．15．如图所示，在Rt ABC∠=︒，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、∆中，90ACBEF=，则AB=．BC的中点，若116．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，15BC=，9CD=，∠=︒，则ADC∠的度数为．EF=，50AFE617．已知：如图，在ABC∠=︒，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，ACB∆中，90若8CE=，则DF的长是．18．如图，在ABCACB∠=︒，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，∆中，90使2AB=，则DN=．BC CD=，连接DM、DN、MN．若6三．解答题（共8小题）19．在梯形ABCD 中，//AD BC ，延长CB 到点E ，使BE AD =，连接DE 交AB 于点M ．若N 是CD 的中点，且5MN =，2BE =．求BC 的长．20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是中位线，AF 平分BAD ∠．求证：2AB EF =．21．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AB =，30C ∠=︒，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，作//DP AB 交EF 于点G ，90PDC ∠=︒，求线段GF 的长度．22．已知：如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且1()2EF AD BC =+．求证：//AD BC ．23．如图，AE 平分BAC ∠，交BC 于点D ，AE BE ⊥，垂足为E ，过点E 作//EF AC ，交AB于点F．求证：点F是AB的中点．24．如图，在ABC∆中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）12AB=，9AC=，求四边形AEDF的周长；（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．25．如图，在等边ABC∆中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使12CF BC=，连结CD和EF．（1）求证：CD EF=；（2）猜想：ABC∆的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．26．如图，在ABC∆中，AE平分BAC∠，BE AE⊥于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：1()2EF AC AB=-；（2）如图2，ABC∆中，9AB=，5AC=，求线段EF的长．参考答案一．选择题（共6小题）1．如图，若DE 是ABC ∆的中位线，ABC ∆的周长为1，则ADE ∆的周长为( )A ．1B ．2C ．12D ．14解：DE Q 是ABC ∆的中位线，ABC ∆的周长为1， 12DE BC ∴=，12AD AB =，12AE AC = ADE ∴∆的周长为12． 故选：C ．2．如果以三角形的一个顶点和其三边的中点为顶点的四边形是正方形，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．两直角边不等的直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解：如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的中点，且四边形ADFE 是正方形．Q 点D 、F 分别是边AB 、BC 上的中点， 12DF AC ∴=． 同理12EF AD =． 又Q 四边形ADFE 是正方形， DF EF ∴=，90A ∠=︒， AC AB ∴=，ABC ∴∆是等腰直角三角形．故选：D ．3．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于( )A ．23B ．56C ．54 D ．35解：根据题意做出图形，过A 作BC 边的高AE ， 由题意得：6BC AD -=， 则3BE =， 5AB =Q ，224AE AB AE ∴=-=，又Q 面积为24， ∴1()242AD BC AE +=g ， 代入AE 可得：62AD BC+=， 故等腰梯形的中位线长度为6，则该等腰梯形的纵横比4263==．故选：A ．4．已知ABC ∆的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为( )A ．12011B ．12012C ．201112 D ．201212解：Q 连接ABC ∆三边中点构成第二个三角形， ∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1:2， ∴它们相似，且相似比为1:2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1:2， 即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：21:2， 以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为20111:2， ABC ∆Q 周长为1，∴第2012个三角形的周长为20111:2．故选：C ．5．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上任一点，点F ，G ，E 分别是AD ，BF ，CF 的中点，连结GE ，若FGE ∆的面积为8，则ABC ∆的面积为( )A ．32B ．48C ．64D ．72解：G Q ，E 分别是BF ，CF 的中点， GE ∴是BFC ∆的中位线，12GE BC ∴=， FGE ∆Q 的面积为8， BFC ∴∆的面积为32，Q 点F 是AD 的中点，ABF BDF S S ∆∆∴=，FDC AFC S S ∆∆=， ABC ∴∆的面积2BFC =∆的面积64=，故选：C ．6．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大解：连接AQ ，Q 点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E Q ，F 分别是AP ，PQ 的中点， 12EF AQ ∴=， ∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．二．填空题（共12小题）7．等腰梯形的周长为30cm ，中位线长为8cm ，则腰长为 7 cm ． 解：Q 上底+下底+两腰=周长，中位线长12=（上底+下底）， 282∴⨯+腰长30=， ∴腰长7cm =，故答案为：7．8．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 7 厘米．解：梯形的中位线长1(59)72=⨯+=（厘米） 故答案为：7．9．在梯形ABCD 中，//AD BC ，如果4AD =，10BC =，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，那么EF = 7 ．解：E Q ，F 分别是边AB ，CD 的中点， EF ∴为梯形ABCD 的中位线， 11()(410)722EF AD BC ∴=+=+=． 故答案为7．10．已知一个三角形各边的比为2:3:4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm ，那么原三角形最短的边的长为 8 cm ．解：由题意，设三边分别为2xcm ，3xcm ，4xcm ，则各边中点所得的三角形的边长分别为xcm ，1.5xcm ，2xcm 则 1.5218x x x ++=， 解得4x =， 28x cm ∴=原三角形最短的边的长为8cm ； 故答案为：8．11．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，点F 在边BC 上，AF 与DE 相交于点G ，如果110AFB ∠=︒，那么CGF ∠的度数是 40︒ ． 解：110AFB ∠=︒Q ，180********AFC AFB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，Q 点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点， DE ∴是ABC ∆的中位线，∴点G 是AF 的中点，CG GF ∴=，180218027040CGF AFC ∴∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：40︒．12．已知在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB =厘米，4AD =厘米，高12AH =厘米，那么这个梯形的中位线长等于 9 厘米．【解答】解：过D 作DM BC ⊥于M ，AH BC ⊥Q ， //AH DM ∴，90AHM ∠=︒，//AD BC Q ，∴四边形AHDM 是矩形，12AH DM ∴==厘米，4AD HM ==厘米， 由勾股定理得：222213125BH AB AH =-=-=（厘米）， 同理5CM =（厘米），14BC BH HM CM ∴=++=厘米，∴梯形ABCD 的中位线长是41492+=（厘米）， 故答案为：9．13．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD BC =，对角线AC BD ⊥，且52AC =梯形ABCD 的中位线的长为 5 ．解：过C作//CE BD交AB的延长线于E，//AB CDQ，//CE BD，∴四边形DBEC是平行四边形，CE BD∴=，BE CD=Q等腰梯形ABCD中，AC BD CE AC=∴= AC BD⊥Q，//CE BD，CE AC∴⊥ACE∴∆是等腰直角三角形，52AC=Q，210 AE AB BE AB CD AC∴=+=+==，∴梯形的中位线152AE==，故答案为：5．14．如图，已知ABC∆中，ABC∠的角平分线BE交AC于点E，//DE BC，如果点D是边AB的中点，8AB=，那么DE的长是4．解：BEQ平分ABC∠，ABE CBE∴∠=∠，//DE BCQ，DEB ABE∴∠=∠，ABE DEB∴∠=∠，BD DE ∴=，D Q 是AB 的中点，AD BD ∴=， 142DE AB ∴==， 故答案为：415．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若1EF =，则AB = 4 ．解：E Q 、F 分别为MB 、BC 的中点，22CM EF ∴==，90ACB ∠=︒Q ，CM 是斜边AB 上的中线，24AB CM ∴==，故答案为：4．16．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，15BC =，9CD =，6EF =，50AFE ∠=︒，则ADC ∠的度数为 140︒ ．解：连接BD ，E Q 、F 分别是边AB 、AD 的中点，//EF BD ∴，212BD EF ==，50ADB AFE ∴∠=∠=︒，22225BD CD +=，2225BC =，222BD CD BC ∴+=，90BDC ∴∠=︒，140ADC ADB BDC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：140︒．17．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 的中点，若8CE =，则DF 的长是 8 ．解：90ACB ∠=︒Q ，E 是AB 的中点，216AB CE ∴==，D Q 、F 分别是AC 、BC 的中点，182DF AB ∴==， 故答案为：8．18．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使2BC CD =，连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，则DN = 3 ．解：连接CM ，90ACB ∠=︒Q ，M 是AB 的中点，132CM AB ∴==，MQ、N分别是AB、AC的中点，12MN BC∴=，//MN BC，2BC CD=Q，MN CD∴=，又//MN BC，∴四边形DCMN是平行四边形，3DN CM∴==，故答案为：3．三．解答题（共8小题）19．在梯形ABCD中，//AD BC，延长CB到点E，使BE AD=，连接DE交AB于点M．若N是CD的中点，且5MN=，2BE=．求BC的长．解：//AD BCQ，A MBE∴∠=∠，ADM E∠=∠，在AMD∆和BME∆中，A MBEAD BEAMD E∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AMD BME ASA∴∆≅∆；MD ME∴=，ND NC=，12MN EC∴=，22510EC MN∴==⨯=，1028BC EC EB∴=-=-=．BC ∴的长是8．20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是中位线，AF 平分BAD ∠．求证：2AB EF =．【解答】证明：AF Q 平分BAD ∠，BAF DAF ∴∠=∠，EF Q 是中位线，//EF AD ∴，EFA FAD ∴∠=∠，EFA EAF ∴∠=∠，EF AE ∴=，2AB AE =Q ，2AB EF ∴=．21．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AB =，30C ∠=︒，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，作//DP AB 交EF 于点G ，90PDC ∠=︒，求线段GF 的长度．解：//AD BC Q ，//DP AB ，∴四边形ADPB 是平行四边形．Q 点E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，////EF BC AD ∴，∴四边形ADGE 和四边形EGPB 都是平行四边形，1122DG GP DP AB ∴===． 4AB =Q ，30C ∠=︒，90PDC ∠=︒，282PC AB GF ∴===，∴线段GF 的长度是4．22．已知：如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且1()2EF AD BC =+．求证：//AD BC ．【解答】证明：取BD 的中点H ，连接EH 、FH ，E Q ，F 分别是AB ，CD 的中点， EH ∴是ABD ∆的中位线，FH 是BCD ∆的中位线，12EH AD ∴=，//EH AD ，12FH BC =，//FH BC ， 1()2EH FH AD BC ∴+=+， 1()2EF AD BC =+Q ， EH FH EF ∴+=，E ∴、F 、H 三点共线，////AD EF BC ∴，故//AD BC ．23．如图，AE 平分BAC ∠，交BC 于点D ，AE BE ⊥，垂足为E ，过点E 作//EF AC ，交AB 于点F ．求证：点F 是AB 的中点．【解答】证明：AE Q 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，//EF AC Q ，FEA CAD ∴∠=∠，BAD FEA ∴∠=∠，FA FE ∴=，AE BE ⊥Q ，90BEF AEF ∴∠+∠=︒，90ABE BAE ∠+∠=︒Q ，ABE BEF ∴∠=∠，FB FE ∴=，FB FA ∴=，即点F 是AB 的中点．24．如图，在ABC ∆中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．（1）12AB =，9AC =，求四边形AEDF 的周长；（2）EF 与AD 有怎样的位置关系？证明你的结论．解：（1）AD Q 是高，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，E Q 、F 分别是AB 、AC 的中点，12ED EB AB ∴==，12DF FC AC ==， 12AB =Q ，9AC =，12AE ED ∴+=，9AF DF +=，∴四边形AEDF 的周长为12921+=；（2）EF AD ⊥，理由：DE AE =Q ，DF AF =，∴点E 、F 在线段AD 的垂直平分线上， EF AD ∴⊥．25．如图，在等边ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使12CF BC =，连结CD 和EF ．（1）求证：CD EF =；（2）猜想：ABC ∆的面积与四边形BDEF 的面积的关系，并说明理由．解：（1）D Q 、E 分别为AB 、AC 的中点， DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， 12CF BC =Q ， DE FC ∴=，//DE FC Q ，∴四边形DCFE 是平行四边形， CD EF ∴=；（2）猜想：ABC ∆的面积=四边形BDEF 的面积，理由如下： DE Q 为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC = ADE ∴∆的面积DEC =∆的面积， ∴四边形DCFE 是平行四边形， DEC ∴∆的面积ECF =∆的面积， ADE ∴∆的面积ECF =∆的面积， ABC ∴∆的面积=四边形BDEF 的面积．26．如图，在ABC ∆中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC 的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：1()2EFAC AB=-；（2）如图2，ABC∆中，9AB=，5AC=，求线段EF的长．【解答】（1）证明：在AEB∆和AED∆中，90BAE DAEAE AEAEB AED∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AEB AED ASA∴∆≅∆BE ED∴=，AD AB=，BE ED=Q，BF FC=，111()()222EF CD AC AD AC AB∴==-=-；（2）解：分别延长BE、AC交于点H，在AEB∆和AEH∆中，90BAE HAEAE AEAEB AEH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AEB AED ASA∴∆≅∆BE EH∴=，9AH AB==，BE EH=Q，BF FC=，11()222EF CH AH AC∴==-=．。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.6 三角形的中位线 教案
课题：三角形的中位线教学目标1、理解三角形中位线的概念，知道三角形中位线和中线的区别。
2、经历三角形中位线性质的探索过程，掌握三角形中位线定理，体会转化的思想方法，并能运用该定理进行简单的计算和论证，解决一些实际问题。
3．通过对问题的探索，学生提高分析问题与解决问题的能力，体验数学学习的探索性和乐趣。
状态分析教学内容分析教学重点：掌握三角形中位线定理及其推导，并能应用定理进行简单的计算和证明。
教学难点：三角形中位线定理证明中添加辅助线的思想方法。
内容分析：本节课是九年制义务教育初二第二学期三角形的中位线的第一课时。
本节课以“探”为主，第二节课以“用”为主。
三角形中位线的概念和三角形中位线定理，是三角形非常重要的概念与定理，它揭示了连结三角形任意两边中点所得的线段与第三边的位置关系和倍分关系，是学习梯形中位线定理必不可少的基础知识。
因此正确理解三角形中位线概念和性质是学好本节的关键。
针对本班学生的知识结构和心理特征，选择引导探索法，从生活实际引入课题，通过学生自主探索，合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
学生分析学生已学习了三角形的中线、角平分线、高和平行四边形和特殊的平行四边形的判定及其性质，会运用已学知识进行几何证明及计算，有一定的数形结合能力和探究能力,但若遇需添加辅助线加以证明较困难。
教学准备制作多媒体课件、尺、量角器教学过程教学步骤教师教学活动设计学生学习活动设计设计意图情景引入小小设计师：为响应虹桥枢纽地区西部会展板块的有序发展,现将部分村庄拆迁后组建成三个新小区(如图所示），现在请你帮忙设计一条马路，使三个小区到马路的距离相等，马路应如何建造？思考并简述理由从实际问题出发，激发学生学习兴趣，引入新授。
AB CD EmF HG。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.6 梯形的中位线 教案
学科数学课题22.6 ⑵梯形的中位线执教人班级时间地点教学目标1．理解梯形的中位线概念．2．掌握梯形的中位线的性质定理，会运用这个定理进行简单的几何计算和论证．3．经历探索梯形中位线性质的过程，体会转化的思想方法．能以运动变化的观点认识三角形的中位线、梯形中位线之间的区别和联系．教学重点难点重点：梯形中位线定理.难点：梯形中位线性质定理的证明.教学设计教学环节教学过程设计意图一复习引入复习三角形中位线（1）线段MN叫△ABC的什么？（2）这样的中位线有几条？（3）线段MN与BC有什么关系？为引出课题，以及猜想并证明梯形中位线做铺垫二新知探究1、概念的形成和巩固（1）让学生根据几何画板引入过程，自己用文字概括出梯形中位线的定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）操作：在梯形ABCD中，AD∥BC，作梯形ABCD的中位线MN培养学生归纳概括的能力突出概念中的“要素”—“两腰”B CA D2、梯形中位线的性质探索（1） 猜一猜：应用几何画板测量得出如下猜想 ①梯形的中位线平行于两底 ②梯形中位线的长度等于两底和的一半 （2）证一证：已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AM =MB ，DN =NC ． 求证：MN //BC ，且MN =12(AD+BC )．证明：联结AN 并延长AN 交BC 的延长线于E, ∵N 为CD 的中点 ∴DN=CN ∵AD ∥BC∴∠DAN=∠E, ∠D=∠ECN ∴△ADN ≌△ECN ∴AN=NE,AD=CE 又∵M 为AB 中点 ∴ MN ∥BE 且MN=12BE ∵BE=BC+CE=BC+AD∴MN ∥BC 且梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 符号语言在梯形ABCD 中，AD //BC由AM =MB ，DN =NC ，得MN 是梯形ABCD 的中位线． 则MN // AD // BC ，且MN =12(AD+BC )1()2MN BC AD =+NMA CBD三新知应用例1 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AE=EG=GP=PC，BF=FH=HQ=QD，AB=6，EF=7，求GH、PQ、CD的长．例2 已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，点E为AB的中点，AD+BC=DC求证：DE⊥EC梯形中位线定理的基本应用，用于解决有简单实际背景的几何计算转化思想的渗透四课堂小结谈谈这节课你的收获？学生自己小结本节课所学到的知识，培养学生的概括能力五作业布置1、《练习册》22.6 ⑵2、试一试：已知：梯形ABCD中，AD∥BC．①E 为AB中点②DE平分∠ADC③CE平分∠BCD④AD＋BC＝DC．请选择其中两个条件作为已知，剩余的两个条件作为结论设计一道证明题．EB CA DQPFEHGC DBA。
沪教版八年级下册数学导学案22.6(1)
22.6（1）三角形的中位线一、学习说明【学习目标】1．理解三角形的中位线概念，知道三角形的中线和中位线的区别.2．经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法.3．掌握三角形中位线的性质定理，能运用三角形中位线定理进行计算和论证. 【学习重难点】掌握三角形中位线定理，并能应用定理进行计算和证明；二、智慧启航（一）操作引入试一试：一张三角形纸片，用一条平行于这个三角形一边的直线，把它分割成一个梯形和一个小三角形.你能使所得的梯形和小三角形恰好拼成一个平行四边形吗？●如果能，那么这条用于分割的直线与三角形另外两边的交点在什么位置？●像这样，联结三角形两边的中点的线段叫做 .思考：一个三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线有什么区别？（二）探索新知（课本p97）1、猜测：三角形的中位线与三角形第三边的数量、位置．．．．．关系如何？2、证明：已知：如图点D,E分别是△ABC边AB,AC的中点，求证：分析：以点E为旋转中心，把△ADE旋转180度，只要证明它与梯形DBCE拼成的图形是平行四边形，就可以证明所得结论了。
证：延长DE至点F，使得DE＝EF，联结CF，C BFB归纳：三角形中位线定理： 用符号语言表示：（三）例题解析1、如图：点O 是△ABC 内任意一点，D,E,F,H 分别是求证：四边形DHFE 是平行四边形.分析：要证明四边形DEFG 是平行四边形，需要利用平行四边形的判定定理，根据有关中点的条件， 可运用三角形的中位线定理来解决2、证明：顺次联结四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.三、智慧乐园： 记录你在预习过程中的困惑．．、需要引起注意．．．．．．的地方．．．(可在书写过程中红笔标注)，并在课堂上提出。
预习评价：自评（ ） 教师评（ ）CBB。
《22.6三角形、梯形的中位线》作业设计方案-初中数学沪教版上海八年级第二学期
《三角形、梯形的中位线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业旨在加深学生对三角形和梯形中位线概念的理解，熟练掌握中位线的性质和定理，并能够运用这些知识解决实际问题。
通过作业练习，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、作业内容1. 基础练习：- 识别三角形和梯形的中位线，并能够准确画出。
- 理解并记忆中位线的性质和定理，包括中位线长度等于底边的一半等。
- 通过简单图形判断中位线与其他线段的位置关系。
2. 应用练习：- 利用中位线定理解决有关长度、角度的计算问题。
- 运用中位线的性质解决实际生活中的问题，如建筑、设计等。
3. 拓展练习：- 通过复杂图形分析，加深对中位线定理的理解和应用。
- 探索中位线与其他几何知识的联系，如与相似三角形、全等三角形等的关系。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 作业中的每个问题都要有明确的解题步骤和思路，不能只写答案。
3. 画图要准确，标注要清晰，字体工整。
4. 对于不会做的问题，要思考并记录下自己的思路和疑问。
四、作业评价1. 评价标准：- 答案准确性：是否正确理解题目要求，答案是否准确无误。
- 解题思路：是否有清晰的解题思路，步骤是否完整。
- 画图能力：图形是否准确，标注是否清晰。
- 字体工整：作业书写是否规范、整洁。
2. 评价方式：- 教师批改：教师批改作业，给出评分和评语。
- 同学互评：学生之间互相交换作业进行批改，学习他人优点。
五、作业反馈1. 对于学生在作业中普遍出现的问题，教师将在课堂上进行讲解和纠正。
2. 对于学生的优秀作业和解题思路，将在班级内进行展示和表扬，鼓励学生互相学习。
3. 学生应根据教师的评语和同学的建议，反思自己的学习过程，找出不足并加以改进。
4. 鼓励学生将作业中的疑问和困惑记录下来，以便在课堂或课后向老师提问。
通过以上作业设计方案，旨在通过不同层次的练习，使学生能够全面、系统地掌握《三角形、梯形的中位线》这一课时的知识点，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
八年级数学下册22.3.6三角形、梯形中位线教案沪教版五四制
3．梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段
注意：（1）不是连结两底中点，是连接两腰的中点；（2）梯形的中线是唯一的
4．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
二、例题讲解
（2）当原四边形对角线对，它的中四边形是菱形。
（3）当原四边形对角线对，它的中四边形是正方形。
5．已知等腰梯形的对角线互相垂直，高为10cm，则中位线等于。
6．等腰梯形的中位线长为5cm，腰长为5cm，其周长等于
7．如图，梯形ABCD中，AD//BC，中位线EF分别与BD、AC交于点G、H，若AD=6，BC=10，求GH的长。
求证：（1）ME//ND；（2）ME=ND。
例4．如图，在 中，AB=5，AC=3，AM平分 ，N为BC中点，求MN的长。
例5．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AC、BD的中点。求证：（1）EF//BC，（2） 。
例6．四边形ABCD中，E、F为对边AD、BC中点，求证： 。
例7．如图，在菱形ABCD中， BAD= ，AB的垂直平分线交对角线AC于F，E为垂足，连接DF，则 CDF的度数是多少？
11．如图，已知在 ABC中，AE=2EC，F为AB中点。BE、FC交于点O。求证：（1）FO=CO（2）EO= BE。
家庭作业
1．如图，在□ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证： 。
2．如图，在 中，D为BC边上的中点，E、F为AB的三等分点。求证： 。
3．如图，已知四边形ABCD中，AC和BD于点F和G，AC和BD交于F点。求证：EF=EG。
沪科版数学八年级下册《三角形的中位线定理》教学设计1
沪科版数学八年级下册《三角形的中位线定理》教学设计1一. 教材分析《三角形的中位线定理》是沪科版数学八年级下册的一章内容。
本章主要介绍了三角形的中位线定理及其应用。
通过学习本章内容，学生能够理解和掌握三角形中位线的性质，并能运用中位线定理解决一些相关的几何问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经学习了三角形的基本概念和性质，如三角形的内角和定理、三角形的边长关系等。
学生对于几何图形的观察和分析能力已经有了一定的基础，但可能对于一些抽象的概念和定理的理解还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察和操作活动来加深对中位线定理的理解。
三. 教学目标1.理解三角形的中位线定理，并能运用其解决相关问题。
2.培养学生的观察和分析能力，提高其几何思维能力。
3.培养学生合作学习和自主学习的能力，提高其学习兴趣。
四. 教学重难点1.重难点：三角形的中位线定理的理解和运用。
2.难点：对于一些特殊情况的分析和解决。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察和操作活动，让学生自主发现中位线定理的性质和应用。
2.问题驱动法：通过设计一些具有挑战性的问题，激发学生的思考和探索欲望。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，共同解决问题，提高学生的沟通和合作能力。
六. 教学准备1.教具准备：几何画板、直尺、圆规、三角板等。
2.教学素材准备：相关的几何题目和案例。
3.教学环境准备：教室里需要有足够的空间进行操作活动。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生介绍三角形的中位线定理的背景和意义，激发学生的学习兴趣。
引导学生回顾之前学习过的三角形的基本概念和性质，为新知识的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过几何画板或者实物模型，向学生展示三角形的中位线定理的证明过程。
引导学生观察和分析中位线的性质，让学生自主发现中位线定理。
3.操练（15分钟）教师设计一些具有代表性的题目，让学生运用中位线定理进行解答。
《22.6三角形、梯形的中位线》作业设计方案-初中数学沪教版上海八年级第二学期
《三角形、梯形的中位线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生能够掌握三角形、梯形的中位线概念及其性质，并能够运用这些知识解决简单的几何问题。
通过作业的练习，提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、作业内容1. 理解中位线的定义及性质：（1）要求学生理解中位线的定义，明确其在几何图形中的作用。
（2）掌握中位线的性质，包括在三角形和梯形中的位置特征及其对相关边长的分割规律。
2. 巩固三角形中位线知识：（1）布置相关练习题，包括但不限于给出三角形的边长或角度信息，找出三角形的中位线及长度。
（2）引导学生在练习中观察、思考并归纳中位线与其他几何量（如周长、面积等）之间的关系。
3. 拓展梯形中位线应用：（1）结合梯形图形，引导学生探究梯形中位线的特点及其在解题中的应用。
（2）设计一些实际问题的解决过程，如利用梯形中位线性质解决建筑工程中的测距问题等。
三、作业要求1. 独立思考：学生在完成作业过程中应独立思考，独立完成，严禁抄袭。
2. 理解深入：要求学生不仅掌握基本的概念和性质，还要深入理解其背后的几何原理和逻辑关系。
3. 练习多样：作业内容应涵盖基础题、提高题和拓展题，满足不同层次学生的需求。
4. 规范书写：要求学生书写规范，步骤清晰，答案准确。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的准确性、思路的清晰性、解题的规范性等方面进行评价。
2. 评价方式：采用教师批改、同学互评等方式进行评价，及时反馈学生作业情况。
3. 反馈形式：针对学生的错误进行讲解和指导，对优秀作业进行展示和表扬。
五、作业反馈1. 学生自评：学生完成作业后进行自我评价，找出自己的不足和需要改进的地方。
2. 教师点评：教师对学生的作业进行详细点评，指出学生的优点和不足，给出改进建议。
3. 同学互评：鼓励同学之间互相评价作业，取长补短，共同进步。
4. 后续辅导：针对学生在作业中出现的普遍问题，进行课堂讲解和辅导。
八年级数学下册22.6三角形、梯形的中位线(1)教案沪教版五四制(new)
三角形、梯形的中位线
课前练习B(1）
操作将一张三角形纸片剪一刀（使剪痕平行于三角形的一
2
新课探索一（3）
新课探索二
一个三角形有几条中位线线.
如图,CA=AD,CB=BE，若DE=40m,
课堂小结：
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
《22.6三角形、梯形的中位线》作业设计方案-初中数学沪教版上海八年级第二学期
《三角形、梯形的中位线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过练习和实践，使学生能够：1. 掌握三角形、梯形中位线的概念和性质。
2. 学会运用中位线定理解决相关问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理解中位线的定义及基本性质：让学生通过预习教材和课堂讲解，明确三角形和梯形中位线的定义，并掌握中位线与两边中点的关系及其对边长的性质。
2. 练习中位线定理的应用：设计一系列练习题，包括选择题、填空题和解答题，让学生运用中位线定理解决与三角形、梯形相关的线段长度、角度等问题。
3. 强化空间想象能力：布置一些需要学生想象空间位置关系的题目，如画图题，让学生在纸上绘制出三角形和梯形的中位线，并标注相关数据。
4. 拓展延伸：介绍一些与中位线相关的实际应用问题，如建筑、机械设计等，拓展学生的视野。
三、作业要求针对上述作业内容，学生应按照以下要求完成：1. 独立完成作业：要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 认真审题：仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案错误。
3. 规范答题：书写工整，步骤清晰，答案准确。
对于计算题，要写出必要的计算过程。
4. 及时反馈：遇到问题时，应主动查阅教材或向老师请教，确保问题得到及时解决。
四、作业评价教师将对学生的作业进行以下评价：1. 准确性：评价学生答案的正确性。
2. 规范性：评价学生答题的规范性，如书写、步骤等。
3. 创新性：鼓励学生运用所学知识，尝试解决一些实际问题或拓展延伸问题，以培养学生的创新思维。
4. 反馈性：对学生的错误进行针对性反馈，帮助学生查漏补缺。
五、作业反馈作业反馈环节是提高学生学习效果的重要环节，本课时作业的反馈包括：1. 教师批改：教师对学生的作业进行批改，指出错误并给出正确答案。
2. 学生自查：学生根据教师的批改意见，自查作业中的错误并改正。
3. 课堂讲解：在下一课时，教师对共性问题进行讲解，帮助学生掌握解题方法。
沪教版八年级数学说课稿 三角形的中位线说课稿
沪教版八年级数学说课稿三角形的中位线说课稿
“三角形的中位线”说课教案
今天我说课的题目是“三角形的中位线”。
本节课选自上海教育出版社出版的《九年制义务教育课本》八年级第二学期。
这一节课是本册书第二十六章第六节的内容。
下面我就从以下四个方面——教材分析、教材处理、教学方法和教学手段、教学过程的设计向大家介绍一下我对本节课的理解与设计。
一、教材分析
分析本节课在教材中的地位和作用,以及在分析数学大纲的基础上确定本节课的教学目标、重点和难点。
首先来看一下本节课在教材中的地位和作用。
1、“三角形的中位线”，是初中几何的一个非常重要的知识点，它具有计算和证明等多种灵活的运用；它是继四边形，尤其是前一阶段刚学的特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等）之后的又一个非常重要的几何知识。
初中阶段要培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力以及让学生根据一些现实模型，把它转化成数学问题，从而培养学生的数学意识，增强学生对数学的理解和解决实际问题的能力。
逻辑思维能力的培养主要是在初二阶段完成的。
“三角形的中位线”作为几何计算和推理论证的重要一环,是初中几何的一个基础环节,它直接关系到学生对几何计算、几何论证等内容的进一步学习。
2、就第二十六章而言,“三角形的中位线”也是本章的一个重点。
因为在三。
【沪教版】八年级数学下册教案22.6三角形梯形的中位线三
在整个过程中,平行四边形中的线段EF,相应地变成梯形的中位线,再变成三角形的中位线.(当点A与点D重合时,AD的长度可记为0).
因此在整个过程中,总保持EF∥BC,EF= (BC+AD).
思考如果A、D两点继续相向运动,其它条件保持不变,如图,那么EF∥BC,EF= (BC+AD)还成立吗?
重点
熟练掌握并灵活运用三角形中位线与梯形中位线性质．
难点
能适当添加辅助线，灵活运用性质于解题．
教学
准备
直角三角形、等腰三角形的相关定理．
学生活动形式
讨论，交流，总结，练习
教学过程
设计意图
课题引入：
课前练习一
1.填空:(1)顺次联结菱形各边中点得到的四边形是___形;(2)顺次联结等腰梯形各边中点得到的四边形是____形;(3)顺次联结对角线_________的四边形各边中点得到的四边形是正方形.
2. (1)等腰梯形的中位线长为a,腰长为b,则等腰梯形的周长为______; (2)梯形的中位线长为m,上底为n,则下底为______; (3)梯形的中位线长为12cm,上、下两底差为4cm,则上底为___cm,下底为___cm.
课前练习二
3.如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD.E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是EB、EC的中点.求证:四边形EGFH是菱形.
复习学生容易出现问题的中点四边形；
复习梯形中位线．让学生思考，导引通过画图解决问题.
通过练习，复习三角形中位线性质及菱形判定．学生练习，教师讲解.
部分学生可能对数量关系一时难以作出判断，
利用梯形中位线数量关系的证明方法，引导学生发现此情况下的数量关系
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.6 (1)三角形的中位线 教案
一、创设情境，引入新课二、自主探索，探求新知问题1：（PPT出示）如图：A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？你能想出一个测量的办法吗？三角形中位线的概念：1、提问：我们已经学过的三角形中有哪些重要的线段？几何画板演示，复习类比三角形的中线，引入三角形的中位线，让学生感知两者的区别，从而得出中位线的名称及定义。
（出示课题）2、概念辨析思考：下列图形中，哪些是三角形的中位线？AB CD E（1）（2）EDAB C DAB C3、三角形中位线的性质探究：猜想：三角形的中位线DE与边BC有怎样的位置关系和数量关系？几何画板演示猜想的正确性。
运用推理证明猜想：如图，点D、E分别是ΔABC边AB、AC的中点求证：DE//BC，DE=21BC归纳三角形中位线定理，分别用文字语言和数学符学生观察图片，思考解决的办法并交流，带着问题进入本课内容。
学生根据作图进行归纳表述中位线的定义。
形成中位线的概念并理解中线与中位线的区别。
学生通过观察操作思考并大胆说出自己的猜想。
让学生初步感知猜想的正确性。
学生通过操作独立思考后分组交流完成证明过程。
EAB CD四、课堂小结点O在△ABC外部时，构成四边形AOBC，四边中点不变，则结论是否改变，为什么？变式训练2：如果E,F,G,H分别是平行四边形、矩形、等腰梯形、菱形、正方形各边的中点，那么联结各边的中点，所得的四边形EFGH是什么图形，你发现了什么？拓展1：已知：如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA三边的中点。
求证：中位线DF和中线AE互相平分。
通过本节课的学习，你有哪些收获？拓展2：已知：如图，在RT△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，BC=20，AC=10，求线段DM的长。
小组合作完成五、作业布置练习册22.6（1）FEDAB CAC BDM一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.6 三角形、梯形的中位线(1) 课件
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边）．
A
同理：EF∥AB，
∴四边形DEFA是平行四边形（平行四边形的定义）.
∴中位线DE和中线AE互相平分
D
F
（平行四边形的对角线互相平分）.
适时小结： 已知两边中点构造三角形的中位线是
常用的添辅助线的方法之一.
B
E
C
课堂小结
通过本课的学习你有何收获？
切换几何画板
课堂练习
已知：如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA三边的中点. 求证：中位线DE和中线AE互相平分.
分析：
A
A
A
A
D
F
D
F
D
F
D
F
B
E
C
B
E
C
E
B
E
C
课堂练习
已知：如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA三边的中点.
求证：中位线DF和中线AE互相平分.
证明：联结ED、EF.
猜想并归纳三角形中位线的性质.
答：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
如何证明你的猜想.
学习三角形中位线定理
已求知证：：D如E图∥，B在C，△且ABDCE中，1 ABDC.=BD，AE=CE． 2
证明：延长DE至点F，使EF=DE，联结CF.
∵AE=EC，∠2=∠3，
∴△ADE ≌△CFE， ∴AD=CF，∠A=∠1，
DE∥BC, DE 1 BC. 2
GF∥BC,GF 1 BC. 2
GF∥DE,GF DE.
如何证明？
例题讲解
例题6 已知：如图，点O是△ABC内任意一点，D、E、F、G分 别是OB、 OC、AC、AB的中点． 求证：四边形DEFG是平行四边形．
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.6 三角形的中位线 教案
一、基本信息二、教学设计决问题的方法、小组合作探究交流的经验。
教学目标1、复习三角形的中位线概念、三角形中位线的性质定理；能运用三角形中位线定理进行“中点四边形”的探究.2、经历探究“中点四边形”变化规律的过程，体会化归的数学思想，提升“寻找规律”有助于“理解变化”的认知.3、通过探究交流活动，进一步积累团队合作经验，提高数学归纳、表达能力.设计思路设计课前、课中两个探究活动，提供学生充分的活动空间与时间，同时借助技术应用，让学生在解决问题、交流成果的过程中，总结经验、反思方法、提升能力。
教学过程教学环节活动过程设计意图课前（一）布置课前活动1、活动内容：【活动1】探究性质（1）观察图1，猜想中位线DE与边BC之间的位置关系和数量关系，并请证明结论.（2）结合活动1，写出解决问题的过程．．、方．法．、心得体会．．．．.【活动2】阅读“作品”2、活动要求：（1）由组长负责，合作完成【活动1】，并自选反馈形式，通过数字教材的云笔记，上经历探索三角形中位线性质的过程，体会化归的思想方法.图图1交教师.（2）独立完成【活动2】，通过小组交流形式对其他组的合作探究活动成果进行点评.（二）教师分享学生“作品”.流转笔记一分享交流部分小组点评其他组的合作探究活动成果. 通过交流活动，积累团队合作经验，提高数学归纳、表达能力.二复习巩固1、定义、定理（1）三角形中位线的定义：在三角形中，联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.（2）三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.2、符号语言：在△ABC中，因为AD=DB，AE=EC，所以DE//BC，DE =BC.规范文字语言、图形语言、符号语言的表述.三应用探究合作探究活动探究主题——“中点四边形”变化规律1、活动内容：【活动1】“中点四边形”是平行四边形教材P98 练习4经历探究“中点四边形”变化规律的过程，体会研究问题的一般方法，提升“寻找规律”有助于“理解变化”的认知.图一次探索……一份自豪……五布置作业1、补充和完善《学习单》，上传到数字教材的云笔记.2、完成《合作学习单》3、完成《梯形的中位线》课前活动单黑板标题——三角形的中位线一、三角形中位线的定义：两边中点线段二、三角形中位线性质定理：在△ABC中，因为AE=EB，AG=GC，所以EG//BC，EG =BC.位置关系数量关系三、探究活动——“中点四边形”已知：如图，在四边形ABCD中，AE=EB，BF=FC，CG=GD，DH=HA.求证：四边形EFGH是平行四边形.中点四边形任意四边形平行四边形？？详案师：课前，同学们通过阅读材料，已经知道了——联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.【动作：课件】【说：在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的中点，联结DE，那么线段DE图1 就是△ABC的一条中位线】师：我们还以小组合作的形式进行了三角形中位线性质定理的探究活动，下面请部分小组来汇报展示一下他们的合作探究历程.***组***组……师：同学们通过小组合作探究的形式，经历了猜想——论证的学习过程，期间，遇到过困难、也碰到过“瓶颈”，但同学们都想办法尽力去解决了，最后以小报、PPT等形式进行了活动小结，并上传了数字教材平台。
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22.6三角形、梯形的中位线（1）
教学目标：
1．经历三角形中线的复习和直角三角形纸片拼图过程，理解三角形的中位线概念．
2．经历探索三角形中位线定理的过程，掌握三角形中位线的性质定理．
3．经历三角形中位线性质定理的应用过程，感悟图形的分解与组合、化归的数学思想． 教学重点与难点：
教学重点：三角形的中位线定理及运用．
教学难点：三角形的中位线定理的证明．
教学过程：
一、复习旧知，引出课题
1．三角形中的有关线段
三角形中的有关线段有哪些？ 三角形中的高、角平分线、中线分别有几条？
如果联结三角形中的任意两边的中点，这条线段也是三角形中的一条重要线段，如何命名？它有什么性质？
教学设计意图：从学生熟悉的三角形中的有关线段入手，温习旧知，设置问题，如果联结三角形中任意两边的中点，这条线段如何命名呢，自然生成三角形中位线的概念和言简意赅地引出课题．
2．三角形中位线的概念
联结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．
三角形的中位线有几条？它和三角形的中线有什么差异？
教学设计意图：对三角形的中位线的概念进行定义，继续进行提问，对比三角形的中线，深化三角形的中位线和中线的文字语言和图形语言的差异．
二、新知探究
1．拼图操作，猜想三角形中位线的性质定理
将手中的四个形状大小完全相同的三角形拼接为一个三角形或者四边形，如何拼，说出你的拼接方法．
教学设计意图：在数学拼图活动中，学生拼出的三角形、四边形有五种，其中拼出的三角形帮助我们进一步巩固三角形中位线的概念，进而猜想出三角形中位线的性质．并且拼出的其中一个四边形为我们论证三角形的中位线性质定理作出铺垫．
2．画图操作，验证三角形中位线的性质定理
已知△ABC ，边BC=6厘米，∠B=70°．取线段AB 、AC 的中点D 、E ，联结线段DE ． 思考：线段DE 和线段BC 有什么位置和数量关系，为什么？
教学设计意图：在数学画图等操作活动中，学生通过测量角度和线段的长度，进一步验证三角形中位线的性质．
3．几何论证，得到三角形中位线的性质定理
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示定理.
∵ AD =BD ，AE =CE ，
∴DE 为三角形ABC 的中位线，（三角形中位线的概念）
∴ DE ∥BC ，且BC DE 2
1 （三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）． 教学设计意图：经历观察、猜想、验证、论证等课题性质研究一般过程，引导学生能够掌握
G F E D C
B O
F D A C 三角形中位线性质定理的证明思路和证明方法，进而掌握三角形中位线的性质．
三、新知应用
练习1：如图，已知AD=BD,AE=EC,
（1）当DE=2时， BC= .（2）当BC=m 时，DE= .
教学设计意图：初步应用三角形中位线的性质解决简单与三角形中位线有关的计算．两个小题也呈现出递进的关系，从数字到字母，体现函数思想．
例题1 已知，如图，点O 是△ABC 内任意一点，
D 、
E 、
F 、
G 分别是线段OA 、OB 、BC 、CA 的中点， 求证：四边形DEFG 为平行四边形. 教学设计意图：应用三角形中位线的性质解决简单与三角形中位线有关的证明．感悟图形的
组合与分解，如何将分散的条件集中起来，让学过的定理得到呈现．
变式：当点O 为△ABC 外任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由.
教学设计意图：将点O 从形内移动到形外，引导学生进一步感悟运动变化过程中的“变与不变”，并且进一步引导学生思考思考，如果点O 运动到与边AB 平行的某条直线CX 上时，结论是不成立的，这一特例．
练习2：如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是三边AB 、BC 、AC 中点，
求证：中位线DF 和中线AE 互相平分.
教学设计意图：将三角形的中线与中位线放在一个图形中，证明它们互相平分，综合应用三角形的中线、中位线、平行四边形的判定与性质定理解决问题．在问题解决的过程中，继续感悟图形的组合与分解，体会化归的数学思想．
（备用：求证：顺次联结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.）
四、课堂小结
这节课你学到了哪些知识，还有什么收获，请分享.
五、布置作业
1.阅读教材96,97，并完成练习册2
2.6（1）.
2.拓展作业：在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，
（1）如果DE ∥BC ，D 、E 不是AB,AC 的中点，DE 与BC 有什么数量关系？
（2）如果M 、N 分别为BD 、CE 的中点，那么线段MN 和线段DE 、BC 有什么数量和位置关系？ 教学设计意图：通过课堂小结，梳理与巩固三角形中位线的概念及性质，通过练习册进一步巩固三角形中位线的性质，进而借助拓展作业，为后续三角形一边的平行线的学习和梯形的中位线的学习留出新的生长点．
教学设计说明
《三角形的中位线》一课时，是《三角形、梯形的中位线》的一部分内容。
按照教材编排体系来说，它是即三角形中的有关线段中的一条，也是梯形中的一条重要线段。
对于后续的三角形的一边的平行线和平行线分线段成比例定理的学习埋下生长点，也是三角形一边的平行线和平行线分线段成比例定理的特例。
一、关于教学目标的设定
教学目标是一节课的教学活动的指导思想，呈现的是一节课的活动主线。
所以教学目标设定基本上遵照了本课时的教学流程和预设目标。
例如教学引入环节，考虑到教材的引入是一般到特殊，并且从充要条件等角度来考虑，初中八年级的学生是不完全适应情景引入的。
对教材进行建构和解构后，我基于中位线为三角形两边中点联结得到的线段出发，从七年级下册三角形一课时的三角形中的有关线段如高、角平分线和中线出发，引导学生回顾旧知，进而启发学生思考如果联结三角形两边的中点得到的线段何命名呢，从而引出课题，从而设计了教学目标1。
类比等腰三角形的研究一般过程（概念、性质和判定），引导学生思考，中位线有什么性质呢？引导学生用3、4、5的直角三角形进行拼图进一步巩固中位线概念的同时猜想中位线的性质，进而引导学生操作画图、测量等过程进一步验证中位线的性质，最后师生一起论证中位线的性质，获得新知，从而设计了教学目标2。
通过系列练习和例题，巩固中位线的性质定理。
在问题解决的过程中，引导学生对图形进行组合分解，发现定理，感悟归化的数学思想，提升他们的数学核心素养，从而设计了教学目标3。
二、教学过程的设计
1．复习旧知，引出课题
教学设计意图为从学生熟悉的三角形中的有关线段入手，温习旧知，设置问题，如果联结三角形中任意两边的中点，这条线段如何命名呢，自然生成三角形中位线的概念和言简意赅地引出课题．
2．三角形中位线的概念
教学设计意图为对三角形的中位线的概念进行定义，继续进行提问，对比三角形的中线，深化三角形的中位线和中线的文字语言和图形语言的差异．
3．新知探究
3.1拼图操作，猜想三角形中位线的性质定理
教学设计意图为在数学拼图活动中，学生拼出的三角形、四边形有五种，其中拼出的三角形帮助我们进一步巩固三角形中位线的概念，进而猜想出三角形中位线的性质．并且拼出的其中一个四边形为我们论证三角形的中位线性质定理作出铺垫．
3.2画图操作，验证三角形中位线的性质定理
教学设计意图为在数学画图活动中，学生通过测量角度和线段的长度，进一步验证三角形中位线的性质．
3.3几何论证，得到三角形中位线的性质定理
教学设计意图为经历猜想、验证、论证等课题性质研究一般过程，引导学生能够掌握三角形中位线性质定理的证明思路和证明方法，进而掌握三角形中位线的性质．
4.新知应用
练习1教学设计意图为初步应用三角形中位线的性质解决简单与三角形中位线有关的计算．两个小题也呈现出递进的关系，从数字到字母，体现函数思想．
例题1教学设计意图为应用三角形中位线的性质解决简单与三角形中位线有关的证明．感悟图形的组合与分解，如何将分散的条件集中起来，让学过的定理得到呈现．变式1教学设计意图为将点O从形内移动到形外，引导学生进一步感悟运动变化过程中的“变与不变”，并且进一步引导学生思考思考，如果点O运动到与边AB平行的某条直线CX上时，结论是不成立的，这一特例．
练习2教学设计意图为将三角形的中线与中位线放在一个图形中，证明它们互相平分，综合应用三角形的中线、中位线、平行四边形的判定与性质定理解决问题．在问题解决的过程中，继续感悟图形的组合与分解，体会化归的数学思想．
5.课堂小结与布置作业
教学设计意图为引导学生梳理与巩固三角形中位线的概念及性质，对课时的学习内容形成反思、进行数学建模，提升数学核心素养。
进而借助拓展作业，为后续三角形一边的平行线的学习和梯形的中位线的学习留出新的生长点．
教无定法，贵在得法。
这节课的实际教学过程尚存在诸多不足，盼请批评指正。