(天津专版)高考数学母题题源系列专题13应用均值不等式求最值文

母题十三 应用均值不等式求最值

【母题原题1】【2018天津，文13】 已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则1

28

a

b +

的最小值为 ． 【答案】

14

综上可得128a b +

的最小值为14

． 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 【母题原题2】【2017天津，文13】

若,a b ∈R ，0ab >，则

44

41a b ab

++的最小值为___________． 【答案】4

【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=，当且仅当222a b =且1

2ab =，即22a b =号．

【考点】均值不等式

【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）2

2

,,2a b R a b ab ∈+≥，当且仅当a b =时取等

号；（2）,a b R +

∈，a b +≥，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号

成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值．若是使用2次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立． 【母题原题3】【2015天津，文12】

已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值． 【答案】4

【解析】()()()()22

222222

log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤===

⎪⎝⎭

当2a b =时取等号，结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==

【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用．

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件，注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理，使之可用基本不等式来解决，若多次使用基本不等式，必须保持每次取等的一致性．

【命题意图】 高考对本部分内容重点用基本不等式求最值．

【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种正用；一种是逆用． 【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下三步：

第一步：选基本不等式的形式()220,0,

2,2

a b

a b a b ab a b +>>≥≥∈R ＋． 第二步：选相当于公式中字母,a b 的代数式 第三步：下结论． 【方法总结】

1．基本不等式：

2

a b

+≥（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>． （2）等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 （1）a 2

＋b 2

≥2ab (a ，b ∈R )； （2）b a ＋a b

≥2(a ，b 同号)； （3）ab ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；

（4）

a 2＋

b 22

≥⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2

，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术

平均数大于或等于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则

（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) （2）如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2

4

．(简记：和定积最大)

1．【2018 ）

A 【答案】C

【名师点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，属于中档题．解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件，配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答．

2．【2018取最小值时，

（）

A ．2

B 【答案】C

c

，能够发现当前的式子满足积为定值，从而得到和取最小值时，是当

，接着将

C．

【名师点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，在求解的过程中，可以发现式子中有三个未知数，

利用题的条件，逐步转化，首先将c化成关于

次式，配方求得结果．

3．【2018天津河北区二模】若正数a，b）

A．1 B．6 C．9 D．16

【答案】B

不等式可求得最小值．

的最小值为6．故选B．

【名师点睛】利用基本不等式求最值的类型及方法

（1）若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．

（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．

4．【2018）

A 【答案】C

【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

5．【2018天津七校联考】已知点()4,2(0,0)a b a b >>在圆2

2

:4C x y +=和圆()()22

:224M x y -+-=的公

共弦上，则

12

a b

+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】D

【解析】圆2

2

:4C x y +=和圆()()22

:224M x y -+-=的公共弦方程为

44440+y=24a+2b=2,2a+b=1x y x -+-=∴∴，

()12124244448b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，选D ． 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

6．【2018 ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 【答案】C