2018年高三最新 第一次阶段性测试答案 精品

江苏省南菁高级中学2018届高三数学第一次阶段性测试卷答案
一、填空题（每题5分，共30分，请将答案填在答案卷题号相应处）
1、5；
2、34；
3、（0，1]；
4、a ≥－3；
5、充分不必要；
6、650；
7、2 ；
8、25
； 9、⎣⎡⎦⎤1 −20 1 ； 10、 2 ； 11、8； 12、5； 13、(－13
，0)； 14、3 二、解答题（共6题，满分90分）
15. (14分) 解：由已知得：{}13A x x =-≤≤，{}22B x m x m =-+≤≤． ………………4分 (Ⅰ)∵[]0,3A B =,
∴20,2m m -=⎧⎨+⎩
≥3, …………………………………………6分 ∴2,1.m m =⎧⎨⎩
≥ ∴2m =． ……………………………………………8分 (Ⅱ) C R B ={x|x <m −2 或x >m +2} ……………………………………………10分 ∵A ⊆C R B,
∴23m ->,或21m +<-， ……………………………………………12分 ∴5,m > 或3m <-． ……………………………………………14分
16.（16分）（1）设投入t （t 百万元）的广告费后增加的收益为f (t )（百万元），则有
f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0＜t ≤3)，
所以当t ＝2百万元时，f (t )取得最大值4百万元．
即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大． …………………6分
（2）设用技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为 (3－x )(百万元)，
则增加的收益为 g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13
x 3＋4x ＋3 (0≤x ≤3)， 所以g '(x )＝－x 2＋4．令g '(x )＝0，解得x ＝2，或x ＝－2(舍去）．
又当0≤x ＜2时，g '(x )＞0，当2＜x ≤3时，g '(x )＜0．
故g (x )在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．所以当x ＝2时，g (x )取最大值，
即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大． ……16分
17. (16分)(1)由lg5=a+c ，得lg2=1−a −c ∴lg6=lg2+lg3=1+a −b −c 满足表中数值，
也就是lg6在假设下是正确的。

………………………4分
(2)假设lg3=2a -b 是错误的，即lg3≠2a -b ，∴lg9=2 lg3≠2(2a -b )，lg27=3 lg3≠3(2a -b ) 于是lg9，lg27也均是错误的，这与“有且只有两个是错误的”矛盾，故假设不成立，
∴lg3的对数值是正确的。

………………………8分
(3) lg1.5是错误的，正确值应为3a −b+c −1 ……………………12分
lg7是错误的，正确值应为2b+c ……………………16分 理由：由(2)知lg3一定对，则lg9, lg27都对。

若lg5错，则lg6, lg8均错（不符），所以lg5对的，可得lg2=1−a −c, 即有lg6, lg8均对的。

∴lg1.5=lg3−lg2=3a −b+c −1, ∴表中lg1.5是错的。

又易知lg7是错的，∵2(a+c )=2lg5=lg25≠lg7, 事实上lg7=lg14−lg2=2b+c
18. (14分)解：（1）x ,y 可能的取值为1, 2, 3, 12≤-∴x ，2≤-x y ，
3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ．因此，随机变量ξ的最大值为3．
有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，9
2)3(==∴ξP ． 答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为9
2．……………………6分 （2）ξ的所有取值为3,2,1,0．
0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，
1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．
91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，9
2)2(==ξP ． 则随机变量ξ的分布列为：
因此，数学期望9
93929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………14分
19. (14分)
（1）∵ρ
2 －4ρ(cos θ+sin θ)＋6=0, ∴x 2＋y 2－4(x +y )＋6＝0；
即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0 ………………… ……4分
圆的标准方程为：(x －2)2＋(y －2)2
＝2, ∴参数方程为22x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)…… 6分
(2）设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦=88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故8,8.a b c d +=⎧⎨+=⎩
a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故22,2 4.a b c d -+=-⎧⎨-+=⎩
联立以上两方程组解得a =6，b =2，c =4，d =4，故M =6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．…………………………10分 ∴M 的特征多项式为2()(6)(4)81016f λλλλλ=---=-+，∴另一个特征值为2λ= ……12分
设M 的另一个特征向量是e 2x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则M e 2=62244x y x x y y +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
，解得20x y +=。

……14分
20．(16分)（1）显然g (x ) =2x +1 (0≤x ≤1) 满足①x ∈[0, 1]， f (x )≥2；②f (1)=3；
若x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1，则g (x 1+x 2)－[g (x 1)+g (x 2)]=2x 1+x 2－2x 1－2x 2－1=(2x 1－1)(2x 2－1)－2≥－2 即g (x 1+x 2)≥g (x 1)+g (x 2)−2成立，故为理想函数。

……………… 4分
（2）设x 1, x 2∈[0, 1], x 1<x 2, 则x 2−x 1∈(0, 1]
∴f (x 2)=f [(x 2−x 1)+x 1]≥f (x 2−x 1)+f (x 1)−2
∴f (x 2)－f (x 1)≥f (x 2−x 1)－2≥0, ∴f (x 1)≤f (x 2)
则当0≤x ≤1时，f (0)≤f (x )≤f (1)，
在③中，令x 1=x 2=0, 得f (0)≤2，由②得f (0)≥2， ∴f (0)=2 当x =1时，f (1)=3，
∴当x =0时，f (x )取得最小值2，当x =1时，f (x )取得最大值3 …………………10分
（3）对x∈(0，1]，总存在n∈N，
1
2n+1<x≤
1
2n, 由(2)及该同学的结论，得f (x)≤f (
1
2n)≤
1
2n+2,
又2x+2>2·1
2n+1+2= 1
2n+2, ∴f (x)<2x+2
综上所述，对一切x∈(0，1]，都有f (x)<2x+2 ………………………16分。