小学奥数周期问题
小学奥数周期问题
周期问题
一、知识要点
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
二、精讲精练
【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？
【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。
练习1：
1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？
2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？
7=0.……，小数点后面第100个数字是多少？
【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？
【思路导航】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；
（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的12/47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的20/47；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的15/47。
周期问题奥数专题
周期问题奥数专题
第一部分
1、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的3倍还多1，将个位数与十位数对调，得到一个新的两位数，这两个两位数的差是450求这个两位数。
2、一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的2倍。如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数。
3、有一个六位数，其中左边三个数字相同，右边三个数字是三个连续自然数。六个数字之和恰好等于末尾的两位数。这个六位数是多少?
4、张家的门牌号码是一个三位数，而且三个数字都不相同，但知道三个数字的和是6，你说说他家的门牌号码是多少?(把所有可能的情况都写出来)
5、罐中装有许多1分，2分和5分的硬*，小明从罐中取出三枚，小亮也取出三枚，然后取出的六枚硬*仅有两种面值，并且小亮比小明多3分钱，那么他们取出的总钱数最多有几分?
6、把自然数中的偶数2、4、6、8……依次排成5列，把最左边的一列叫做第一列，从左边往右边依次编号，那么290出现在第几列?482呢?
2468
16141210
18202224
32302826
34363840
48464442
7、今将能用5除，没有余数的数作为a组，用5除余l的数作b 组，用5除余2、3、4的数，分别作为c组、d组、e组。
(1)试求b组中的某数与d组中的某数之和，属于哪一组?
(2)试求c组中的某数与e组中的某数之积，属于哪一组?
(3)试求五组中各取一数相加，和属于哪一组?
第二部分
1．请你根据下列各个数之间的关系，在括号里填上恰当的数
（1）1，5，9，13，17，（）
小学四年级奥数-周期问题
周期问题（一）
我们知道，一年有12个月，从一月开始，一月、二月、三月、……十二月；每周有七天，从星期一开始，星期
一、星期二、……星期天。在日常生活中有许多类似这样重复出现的现象，一些数、图形的变化也是周而复始地循环出现的，我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。解答这类题目只有找到规律，才能获得正确的方法。
例1．●●○●●○●●○……
上面黑、白两色小球按照一定的规律排列着，其中第90个是（ ）
例2．有同样大小的红、白黑珠共150个，按先5个红的，再4个白的，再3个黑的排列着。第144个珠是什么颜色？
例3．有249朵花，按5朵红花、9朵黄花、13朵绿花的顺序排列，最后一朵花是什么颜色的？
例4．有同样大小的红、黄、蓝弹子共180个，按先4个红的，再2个黄的，再3个蓝的排列着。三种颜色的弹子各有多少个？
例5．
上表中，将每列上下两
个字组成一组，例如，第一组为（共，社），第二组为（产，会），那么，第128组是（ ）
练习与思考
1．根据图中物体的排列规律，填空。
(2)□○△□○△……
第55个是（ ）
2.把1～100号的卡片依次发给小红、小芳、小华、小明四个人，已知1号发绘小红，16号发给谁？38号呢？
3．四（1）班六位同学在进行报数游戏，他们围成一圈，小娟报“1”，小华报“2”，小丽报“3”，小勇报“4”，小强报“5”，小琳报“6”，每位报的数总比前一位多1。“72”是谁报的？“190”呢？
4．一些黑白珠子按一定规律排列（如图），如果这些珠子共有50个，则倒数第六个珠子是什么颜色？
●●●○●●●○●●●○……
五年级奥数—周期问题
第六讲周期问题
例1、国庆节，路旁挂起一排彩灯，小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏，那么第80盏灯应是什么颜色？
练习：1、有同样大小的红、白、黑三种颜色的珠子共180个，按5个红的，4个白的，3个黑的排列。问第158个珠子是什么颜色的？其中黑珠子共有多少个？
2、第11周举一反三1第3题。
例2、2003年的元旦是星期三，2005年的元旦是星期几？
练习：3、以今天为标准，算一算再过92天是星期几？
4、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，
已知今年是龙年，那么2034年时什么年？
例3、下表中每列上一个汉字和下一个字母组成一组。例如，第一组是（我A），第二组是（们B），…。问：第82组是什么？
练习：5、第11周举一反三4第3题。
6
7、将偶数2，4，6，8，……按下图依次排列，2014出现在哪一列？
A B C D E
8 6 4 2
10 12 14 16
24 22 20 18
26 28 30 32
… … … …
… … … …
作业：1、2008年6月30日是星期一，北京奥运会8月8日开幕，那天是星期几？
2、有A 、B 、C 、D 四条直线（如图），从直线A 开始，按直线方向从1开始依次在A 、B 、C 、D 上写自然数1，2，3，…
（1）106在哪条直线上？
（2）直线B 上第56个数是多少？
B C A D 1
12 11
10
9 8
7
6 5 4 3 2
二年级奥数第六讲周期问题
第六讲周期问题
智慧屋
在日常生活中，有一些事物总是按照一定的规律不断重复出现，比如一年四季周而复始，白天黑夜不断轮回……这些就属于周期问题的范畴。解决周期问题最主要的是找出多少个为一个周期（也叫一个循环）
例1、一串珠子这样排列：
○○◎◎◎○○◎◎◎○○◎◎◎……第20个珠子是什么样子的？
同步演练1
有40面小旗按红、黄、蓝、绿的顺序排列，最后一面是什么颜色的？
例2、有同样大小的珠子90粒，按3粒红、2粒黄、4粒绿这样的顺序串起来，最后一粒珠子什么颜色？
同步演练2 同学们跳集体舞，按2个男生2个女生的顺序排队，第28个同学是男生还是女生？
例3 同学们做了120朵花，并把这些花按2朵红、3朵蓝、1朵黄的顺序串了起来，第27朵是什么颜色的？
同步演练3
小强把一些玻璃珠按3红1蓝2黄1绿的顺序排列起来，第52颗是什么颜色的？
例4、刚刚把12枚硬币按2枚壹角、1枚伍角的顺序排列起来，正好排完。这些硬币中有多少枚壹角的？多少枚伍角的？
同步演练4
元旦的彩灯按3红、2绿、1紫的顺序装配，一共用了36个灯泡，每种颜色的灯泡用了多少个？
形成平台：
1、一堆围棋按“三白五黑”的顺序排列起来，排到第34颗时，一共用了多少颗白色的？
2、某年的十月一日是星期一，那么十月三十日是星期几？
家庭作业：
1、1+2+7+1+2+7+1+2+7+…+1+2+7＝？（共36个数相加）
2、有一盒乒乓球，按“两白两黄”的顺序取出，取出7次后，还有5个白的。这一盒乒乓球共有多少个？
哈佛思维训练：甜蜜的情侣
劳莱其和女朋友卡布萨特别喜欢散步。他们一起散步的时候，劳莱其总是牵着卡布萨的手，两个人并排走。劳莱其走路迈的步子大一些，所以卡布萨迈步子的速度要快一点，劳莱其走两步时，卡布萨可以走三步。这样两个人走路的速度是一样的。那么，如果两个人同时迈右脚开始走路，到他们同时迈左脚那一时刻，劳莱其需要走多少步？
五年级奥数：周期问题
五年级奥数：周期问题
专题简析：
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖、每周的七天等等。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算。
例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。
（1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△……
分析与解答：
第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20÷2=10，即“□△”重复出现10次，所以第20个图形是△。第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现，20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△”，所以第20个图形是△。
例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。
（1）第129个数是多少？
（2）这129个数相加的和是多少？
分析与解答：
（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列，那么一个循环就是4个数，则129÷4=32…1，可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第129个数是5。（2）每组四个数之和是5+6+4+2=17，所以，这129个数相加的和是17×32＋5=549。
例3：假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？
A B C D
(完整版)小学五年级奥数周期问题
第三讲 周期问题
知识要点：
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复地出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。
例1、有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿化的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？
分析：这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，即5＋9＋13=27（朵）花为一周期，不断循环。
练习、7
1＝0.142857142857…小数点后面第100个数字是多少？
例2、下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？
分析：因为每相邻的3个数字之和为17，从左数起第一位数字与第二、三位数字之和为17，第二、三位数字与第四位数字之和也是17，所以第四位数字是8。这样，就找到一条规律：从左向右每3位一循环，每隔两位必出现一个相同的数字。
练习、下面是一个8位数，每3个相邻数字之和都是14，你知道问号表示的数
例3、
2012年6月1日是星期五，问9月1日是星期几？
分析：一个星期有7天，因此7天为一个周期。
2013年1月1日是星期二，2013年的6月1日是星期几？
例4、将奇数如下图所示排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，问2001所在的列以哪个字母作为代表？
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
…………
…………
分析：这些数按每8个数一组有规律地排列着（两行一组）。2001是这些数中的第1001个数。
练习、
将偶数2,4,6,8,…按下图依次排列，2014出现在哪一列？
12道小学奥数专题之周期问题
12道小学奥数专题之周期问题
12道小学奥数专题之周期问题
1．2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？
2．100个3相乘，积的个位数字是几？
3．3×3×3×3×3×3……×3(23个3),积的个位数字是几/
4.100个2相乘,积的个位数字是几?
5.A B C A B C A B ……
万事如意万事如意……
上表中,第一列两个符号组成一组,如第一组” A万”,第二组” B 事”,……问第20组是什么?
6.课外活动中,有4个同学在进行报数游戏,他们围成一圈,甲报1,乙报2,丙报3,丁报4,每个人报的`数总比前一个人多1,问45是谁报的?123呢?
7.有一列数按”432791864327918643279186……”排列,那么前后54个数字之和是多少?
8.小红买了一本童话书,每两页文字之间有3页插图,也就是说3页插图前后各有1页文字.如果这本书有128页,而第一页是文字,这本童话书共在插图多少页?
9.校门口摆了一排花.每两盆菊花之间摆3盆月季花.共摆了112盆花,如果第一盆花是菊花,那么共摆了多少盆月季花?
10.同学们做早操,36个同学排成一列,每两个女生中间有两个男生,第一个是女生,这列队伍男生有多少人?
11.一个圆形花圃周长30米,沿周围每隔3米插一面红旗,每两面红旗之间插两面黄旗,花圃周围共插黄旗多少面?
12．将a,b,c按一定规律排列成abacbabacbabacbabacbab……最后一个是c，并且一共出现了32个c。a,b各有多少个？
小学奥数-周期问题
第十一讲周期问题（一）
世间万物；千奇百怪；运动变化；千姿百态.可这貌似“杂乱无章”的世界却受到各式各样的规律支配着.在这些规律中；有一种最常见的规律就是从形形色色的周期现象中提炼出来的规律.
如果某一事物的变化具有周期性；那么；该事物在经历一段变化后；又会呈现原俩的状态.我们把事物所经历的这一段；叫该事物变化的周期.例如；在自然数列中；各位数字变化的周期是10；星期日出现的周期是7（天）；用动物记年的走器是12（年）等等.
在数学中；我们把与周期性有关的数学问题叫做周期问题.解答这类问题；要抓住一下几点：
1.找出规律；发现周期现象.
2.把要求的问题和某一周期的变化相对应；以求得问题解决.
例1 有249朵花；按5朵红花；9朵黄花；13朵绿花的顺序轮流排列；最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中；红花、黄花、绿花各有多少朵？
例2 1997年元旦是星期三；那么；同年12月1日是星期几？
例3 国庆节；路旁挂起了一盏盏彩灯；小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏.那么；第80盏灯应是什么颜色的？
例4 7 1998 表示1998个7连乘；它的结果末位上的数字是几？
例5 下面是一个11位数；每3个相邻数字之和都是17；你知道“？”表示的数字是几吗？
6
思考与练习
1.把 1\7化成小数；请回答：
（1）小数点后面第80个数字是几？
（2）小数点后面前80个数字的和是多少？
2.把1\81化成小数后；小数点后面100位数字之和是多少？
3.今天是星期一；从明天开始第1800天是星期几？
4.有同样大小的红珠、白珠、黑株共有160个？按4个红株；3个白株；2个黑株的顺序排列着.黑株共有几个？第101个株子是什么颜色？
三年级奥数题及答案：周期问题
这篇《三年级奥数题及答案:周期问题》，是⽆忧考特地为⼤家整理的，希望对⼤家有所帮助！ 把⼀根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段?
答案：对折⼀次: 2*2-1=3段
对折⼆次:4*2-3=5段
对折三次:8*2-5=11段
绳⼦被折成8股,因此相当于未对折时被剪8⼑,应该成9段吧
⼀⽅⾯三折以后成8股，中间⼀剪成16;
另⼀⽅⾯，第⼀折产⽣1个弯头，第⼆折产⽣2个弯头，第三折产⽣4个弯头;
最后剪成：16-1-2-4=9根。
三年级奥数第专题周期问题
三年级奥数第专题周期问
题
Revised by Hanlin on 10 January 2021
第五讲周期问题（一）
〖知识要点〗
1、什么是周期问题？
在日常生活中有一些按照一定的规律不断重复的现象，如人的十二生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期七天等等。像这样常碰到的有一定循环出现的问题，我们称为周期问题。
2、解题步骤：
（1）观察、分析数、图形或事物的变化是否重复循环出现并具有周期性。
（2）每几个数循环一次，谁开始谁结束，周期长度是多少。
（3）每个循环节按什么次序排列。
（4）利用除法算式求出余数，根据余数得出正确的结果。
〖例题精讲〗
例1、两个小朋友比赛智力，一位小朋友画出了一组图形（排列如下），根据排列的规律。请算出第60个图形是（），第121个图形是（）。
〔分析与解答〕：每3个图形为一组，称为一个周期。60÷3=30(组)，没有余数，说明30个图形里刚好有30个周期。（即为）
121÷3＝40（组）……1（个），说明121个图形中含有40个周期多1个，所以第121个图形就是重复40个周期后的第1个图形。
〖我真行1〗
按照“数学奥林匹克比赛数学奥林匹克比赛数学奥林匹克比赛……”依次排列，第100个字是（）。
例2、黑珠、白珠共202个，穿成一串（如下图所示），在这串珠子中，最后一个珠子是（）颜色的，这种颜色的珠子共有（）个。
……202÷4=50……2（黑色）50+1=51（个）
〖我真行2〗
有一些灯泡按照“一黄三红四白”的顺序排列，第30个灯泡是（）色，第260个灯泡是（）色。
例3、一个小朋友写了这样一列数“4、1、3、2、4、1、3、2、4、1、3、2……”，你能很快算出这列前54个数字之和是多少吗？
小学四年级奥数(周期问题)
小学四年级奥数(周期问题)
小学四年级奥数第8讲周期问题
知识方法：
我们在日常生活和研究中会发现很多现象都是按照一定规律不断重复出现的，这种现象叫周期现象。周期是指重复出现一次的时间或个数。
在研究这些周期问题时，我们需要仔细审题，找出循环一次的个数和规律。如果有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，可以用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。
重点点拨：
例1：所有自然数排列起来，49应该排在第几个循环及哪个字母下面？
分析与解：这些自然数是按从小到大5个数一个循环，我们可以根据这些数除以5所得的余数来判断。49÷5=9…4，因
此49应该排在第10个循环第4个字母D下面。
例2：用1，2，3，4这四张卡片可以组成不同的四位数，第20个是多少？
分析与解：每个数字在千位上都出现6次，一共可以组成24个不同的四位数，以6次为一周期。20÷6=3……2，应是第
四周期中的第2个数，千位上是4的数从小到大是4123，4132，4213等，所以第20个数是4132.
例3：一个11位数，每三个相邻的数字之和都是24，求
每一位数上的数字分别是多少？
分析与解：我们把从左边算起的第一数记做a1(a1=8)，依
次编号为a1，a2，……a11.每三个相邻数字和都是24可知，
a1+a2+a3=a2+a+a4=a+a1+a3=24.因为a1=8，所以a2+a3=16，
而a2+a3+a1=24，所以a4=8，同理a7=8，a10=8，由此可见这
个数字的周期是3.因为a11=9，所以a9=7，由此可知这列数
小学奥数周期性问题
小学奥数——周期性问题
例1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____
【解析】
因为7X4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了 31+30+31+1=93(天).
因为93¸7=13…2，所以这年6月1日是星期二.
本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.
例2 时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是_____.
【解析】分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小时,1991 X 24=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.
小贴士
在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.
仔细观察题中数表. 1 2 3 4 5 (奇数排)第一组 9 8 7 6 (偶数排)
10 11 12 13 14 (奇数排)第二组 18 17 16 15 (偶数排)
19 20 21 22 23 (奇数排)第三组 27 26 25 24 (偶数排)
小学奥数专题周期问题
有两个人到海边去玩,突然被一阵浪 卷走了。被卷走的那个人叫小明，请 问剩下的那个人叫什么？
答案：当然是叫救命啊
小强数学只差6分就及格，小明数学也 只差6分就及格了，但小明和小强的分 数不一样，为什么？ 答案：一个是54分，一个是0分
• 日食: 当月球运行到地球和太阳之 间，并且三个星球正好或接近排 成一条直线，月球挡住了我们观 察太阳的视线。 观测日食时不能直视太阳， 否则会造成失明。
其实泰勒斯就是从之前的日食记录中找到了 日食发生的周期，根据周期做出的预言
在日常生活中，有一些现象 是按照一定的规律周而复始，不断 重复出现。比如：一年有12个月， 从一月开始到十二月；一星期 有7天，从星期日开始到星期 六结束等等。我们把这种特殊的 规律问题称为周期问题。
那么，亲爱的同学 们，你们还能找到生 活中其它的周期问题 吗？
第二行周期：4
（1）460÷3=153（组） 小 ……1（个） 460÷4=115（组） 动
第460组是（小，动）
2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 · · · · ·
· · · · 上 海 世 博 会上 海 世 博 会 ·
上表中，将每列上下两个汉字组成一组， 第一组是（2，上），第二组是（0， 海）……，第100组是什么？
2012年10月1日是星期一， 那么，2013年1月1日，是 星期几？
92 ÷7=13（周） … …1（天） 周二
三年级奥数简单的周期问题
周期问题练习题
姓名：
1、小明问小刚：“今天是星期五，再过31天是星期几？”
2、一个星期7天，小朋友上学5天，星期六、日都休息。而每年1月都是31天。如果这个月的5号是星期天，问1月31号是上学还是在家休息？
3、有一堆棋子按二黑三白的规律往下排，第47个是什么颜色的棋子？
4、按下面的方法摆60个三角形，最后一个三角形是什么颜色？
5、小明放学回家准备开灯做作业，他拉了开关，灯没有亮，连续拉了10次，灯都没有亮。原来电线被刮断了。你知道电线修好时，小明家的电灯亮不亮？
6、有同样大小的红白黑珠共96个，按先5个红，再4个白，再3个黑的顺序排列着，问黑珠共有多少个？
7、刘老师把54张牌依次发给甲、乙、丙、丁4个同学，最后一张牌发给了谁？
8、国庆期间，公园挂彩灯按“红、黄、白、绿”的顺序，挂了32盏彩灯，第32盏是什么颜色？有几盏黄色彩灯？
人教版四年级上册数学奥数 周期问题(课件)
小结与提示 本题中，要注意天数的计算方法，既不能多算，也不能少算。一般在计算日期时，如果在一个 月内、我们可以直接用后面的日期减前面的日期；如果隔了月份，就再加上一月的天数。
【例题5】我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪 12种动物按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年， 第三年就是虎年…。如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年？
【思路导航】 一共有12种动物，因此12为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、猪、 鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环，从公元2年到 公元2001年共经历了2000年（算头不算尾），2000÷12=166…8，从狗年开 始往后数8年，公元2001年是蛇年。
实践与应用
【练习4】 P126 2016年植树节是星期六，则2017年植树节是星期几？
【例5】 10个2连乘的积的个位上是几？
【分析与解答】 这道题很简单，只要把10个2连乘起来，不就知道积的个位上的数字了吗？这个方法虽行得通， 但太麻烦，假如有100个2连乘，那该怎么算啊？我们应该找出积的个位上的变化规律。 对，这道题只要求出积的个位上的数字，就可以利用列表的方法找出积的个位上的变化规律。 从表中可以清楚地看出，积的个位上的数字以2，4，8，6为一个周期。 我来解答：10÷4=2（组）…2（个），所以，10个2连乘的积的个位上是4。 小结与提示 当求许多个相同的数相乘的积的个位上的数字时，一个一个求积太麻烦，我们不妨过列表 一一列举，这样就能发现规律。即使100个相同的数相乘，也能快速解答。
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周期问题
典型例解
[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？
●●○●●○●●○…
【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。
解答 90÷3=30，正好有30个周期。
101÷3=33……2，有33个周期还多2个。
所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。
答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋
[举一反三1]
①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4…第129个数是多少？
②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？
③△△○△△○△△○…其中第99个是什么图形？
[例2]
7
20277777⨯⨯⨯⨯⨯⨯积的个位数字是几？
相乘为1个周期。202个7相乘中含有多少个这样的周期？余数是几？如果余数是1，那么积的个位数字是7；如果余数是2，那么积的个位数字是9；如果余数是3，那么积的个位数字是3；如果没有余数，那么积的个位数字是1。
[解答]202÷4=50（周）……2（个）
答：202个7连乘，积的个位数字是9。
[举一反三2]
①
2
100122222个⨯⨯⨯⨯的积的个位数字是几?
②
4
2003444个⨯⨯⨯积的个位数字是几？
③
9
201199999个⨯⨯⨯⨯⨯的积的个位数字是几？
[例3]25÷74的商的小数点后面第80位是几？小数点后面前80个数字之和是多少？
[分析]先找出25÷74的商，25÷74=0.3378378378…，从小数点后第二个数字开始，3,7,8这三个数字依次重复不断地出现，即循环节有三个数字组成：3,7,8，即25÷74=0.3378,显然这道题的周期是3(3,7,8)。
（1）要求小数点后第80位数字，先去掉第一个数字，还剩下80—1=79（个）数字，再算一算79个数字里有几个这样的周期；79÷3=26……1，则小数点后面第80个数字是“3”。
（2）小数点后面前80个数字之和应由三部分组成；第一个数字3,26个周期中的数字和，最后一个数字3，把这三部分加起来，即可求得小数点后面80个数字之和。
[解答]（1）这道题的周期是3（3,7,8）
80—1=79（个）
79÷3=26 (1)
所以，小数点后第80位数字是3。
（2）小数点后面前80个数字之和。
3＋（3＋7＋8）×26＋3
=3＋468＋3
=474
答：小数点后面第80位数字是3，小数点后面前80个数字之和是474。
[举一反三3]
①2÷13的商的小数点后面第2005位上的数字是多少？
②2÷7的商的小数点后面第2000位上的数字是多少？
③4÷7的商的小数点后面第2011位上的数字是多少？
[例4]有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
的末位数字的周期为3（1，8，5）。
[解答]（1）1111÷3=370 (1)
（2）（1111—1）÷3=370
所以，这个数除以6的余数是1，商的末位数字是5。
[举一反三4]
①
5
300855555个÷，余数是几，商的末位数是几？
②7222222
2006÷
个的余数是几，商的末位数是几？
③有一个2005位数，个位数字都是1，这个数除以6的余数是多少？
[例5]有一根200厘米长的绳子上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将绳子逐段剪短。长度是1厘米的短绳子有多少根？
[分析]两种染色方法的方向不同，若能将两种染色方法统一，则容易找出染色的规律。因为200被5整除，所以不管按哪种方向染色，两种染色结果都相同。因此我们可以看作两次都是自左向右染色。6和5的最小公倍数是30，即在30,60，90,120,150,180的地方同时染色，所
以30厘米为一个周期，每一周期的染色情况如下图所示：
从上图可以看出：一个周期内有2根长度是1厘米的绳子，200里面有6个周期还多20厘米，最后20厘米中有1根长度是1厘米的绳子。
[解答]这道题的周期是30厘米。
200÷30=6 (20)
2×6＋1
=12＋1
=13（根）
答：长度是1厘米的短绳子有13根。
[举一反三5]
①张华在一根长80米的木棍上，从左到右每隔3米染上一个红点，从右到左每隔5米染上一个红点，然后沿红点将木棍切开，那么，长度是2的短木棒有多少根？
②李健在一根长60分米的彩带上，从左到右每隔3分米染上一个红点，同时从右到左每隔4分米染上一个红点，然后沿红点将彩带剪开，一共有多少根短彩带？
③在一根肠110厘米的木棍上，从左到右每隔4厘米染上一个红点，同时从右到左每隔5厘米染上一个红点，然后沿红点将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？
【整合集训】
①有同样大小的红、白、黑珠子共90个，按先3个红的后2个白的，再1个黑的顺序排列。其中白珠子有多少个？第68个珠子是什么颜色？