二项分布 导学案
二项分布教学设计情境引入
二项分布教学设计情境引入在一家制造电子产品的工厂中，质量控制团队正在测试新开发的产品。
他们想要确定产品的合格率，以便在市场上推出。
为了进行测试，他们在进行了一系列的实验后，发现每个产品有10%的概率不合格。
质量控制团队成员决定采取一个随机样本来测试产品。
他们选取了一个由100个产品组成的批次，然后进行检查，以确定批次中不合格产品的数量。
教学设计：1. 引入二项分布的概念- 提醒学生实际情境中的问题：质量控制团队如何确定批次中的不合格产品数量？- 引导学生思考：如果我们知道每个产品不合格的概率，如何推断出整个批次中不合格产品的数量？- 引入二项分布的概念：二项分布是一种离散概率分布，用于描述在一系列独立的伯努利试验（即每个试验只有两个可能结果）中成功事件（如不合格产品）发生的次数。
2. 说明二项分布的特征- 解释：在二项分布中，有两个参数，即试验的次数（n）和每个试验中成功事件的概率（p）。
- 形式化定义：设X为批次中不合格产品的数量，则X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)。
3. 二项分布的计算公式和概率表格- 计算公式：X~B(n,p)的概率质量函数为P(X=k) = C(n,k) * p^k *(1-p)^(n-k)，其中，C(n,k)表示从n个产品中选取k个不合格产品的组合数。
- 展示概率表格：给出一个示例概率表格，其中包含了不同参数组合下的概率值。
引导学生研究表格，观察参数组合对概率的影响。
4. 实际应用案例- 继续使用前面的情境：质量控制团队测试了一个由100个产品组成的批次，发现其中有15个产品不合格。
希望学生利用二项分布计算概率来确定该批次中不合格产品数量为15的概率。
- 引导学生思考解决问题的步骤：确定参数n和p的值，计算P(X=15)的概率。
- 让学生通过计算得出结果，并与实际情况进行对比。
5. 提示拓展思考- 引导学生思考其他可能的情景，例如如果改变参数p（产品的不合格概率）会如何影响不合格产品数量的分布。
导学案2：二项分布
例2. 设某保险公司吸收 人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司元，若意外死亡，公司将赔偿 元。如果已知每人每年意外死亡的概率为 ，问：该公司赔本及盈利额在 元以上的概率分别有多大？
三、当堂检测（课堂检测部分见课件）
四、课堂小结
五、作业布置：
A组：1、设3次独立重复试验中，事件A发生的概率相等，若已知A至少发生一次的概率等于19/27，求事件A在一次试验中发生的概率。
2、有10门炮同时各向目标各发一枚炮弹,如果每门炮的命中率都是,则目标被击中的概率约是多少？
3、一批产品共有100个,次品率为3% ,从中有放回抽取3个恰有1个次品的概率是多少？
B组：一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布。
六、课后反思
七、拓展延伸：
（点击高考、05年江苏卷）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ，假设两人射击是否击中目标是互不影响的，每人各次射击是否击中目标互相之间也没有影响。（1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率。
（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
课
题
二项分布
学
习
目
标
1、能知道n次独立重复试验的模型（n重伯努利试验）及其意义；
2、会用二项分布来解决一些简单的实际问题。
重点
二项分布模型
难点
二项分布的实际意义
学 习 过 程
课堂笔记
一、知识链接
独立重复试验的定义：
二项分布导学案
【课题】二项分布导学案【学习目标】1.理解二 项分布，并能解决一些简单的实际问题；2。
能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算. 【学习重点】二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题； 【学习难点】二项分布模型的构建. 【问题导学】掷一枚图钉，针尖向上的概率为p ，则针尖向下的概率为1p -问题（1）:第1次、第2次、第3次…第n 次针尖向上的概率是多少? 问题（2）：用(1,2,3,,)i A i n =… 表示第i 次掷得针尖朝上的事件，这n 次试验相互独立么？ 问题（3）：若连续抛掷3次，3次中恰有1次针尖向上，有几种情况？ 问题（4）：每种情况的概率分别是多少？ 问题（5）：这3次中恰有1次针尖向上的概率是多少？ 问题（6）：连续掷n 次，恰有k 次针尖向上的概率是多少？ 根据上述问题，你能得出那些结论？ 【知识链接】1、独立重复试验的定义：在同样条件下进行的重复做n 次的试验称为n 次独立重复试验. 特点：（1）在同样条件下重复地进行的一种试验； （2）各次试验之间相互独立，互相之间没有影响；（3）每一次试验只有两种结果，即某事要么发生，要么不发生，并且任意一次试验中发生的概率都是一样的.2、独立重复试验的概率公式：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k == ,此时称随机变量X 服从 ，记作 ，并称p 为 . 思考：对比这个公式与表示二项式定理的公式，你能看出它们之间的联系吗？ 令1q p =-，得到随机变量X 的概率分布如下：kn k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+-- 中的各项的值.【效果检测】例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)例2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025． 因此，次品数ξ例3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴P (ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P (ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫⎝⎛=77761． ∴P (ξ>3)=P(ξ=4)+P (ξ=5)=388813例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈ 答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯-450.80.80.4100.328=+≈+≈答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为 []551(0)(1)P P P =-+≈ 答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37． 点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次 记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75n n P P =-=-．由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg 4 4.82lg 4n ≥≈，∴n 至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次，∴从低层到顶层停不少于3次的概率3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k kk C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12．记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”， 记事件C =“甲打完5局才能取胜”． ①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=．③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++， 又因为事件A 、B 、C 彼此互斥，故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=．答：按比赛规则甲获胜的概率为12．例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=， （1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． ∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n nn n P B P C ==-= ∴()1()10.2n P B P B =-=-． 由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n <，两边取常用对数得，lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-，∴lg 22 1.69902.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥．答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． （2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384例2：某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =． ∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75n nP P =-=-． 由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈，∴n 至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次.例3：某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量~(2,5%)B ξ，所以22(0)(15%)0.9025P C ξ==-= 1112(1)(5%)(15%)0.095P C ξ==⨯-= 222(2)(5%)0.0025P C ξ===因此，次品数ξ的概率分布是【课堂检测】【课堂小结】通过本堂课你学到了什么，有哪些疑问？。
7.4.1二项分布 学案-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册
7.4.1 二项分布 第7章 -2021-2022学年平邑一中高二学案导学（人教A 版2019选择性必修第三册）知识点展示： 知识点1 伯努利试验(1)概念：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．(2)我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．(3)n 重伯努利试验的共同特征 ①同一个伯努利试验重复做n 次； ②各次试验的结果相互独立． 知识点2 二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n .如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p ).一般地，可以证明：如果X ～B (n ，p )，那么E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ). 典例分类解析题型1 n 重伯努利试验【例1】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率．(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． [解] (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P (A 1)＝1－P (A －1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (B 2)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫341×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝38， 由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16.【感悟】n 重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n 重伯努利试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 重伯努利试验的概率公式求解，最后利用乘法或加法公式计算．【变式训练题】1．操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是23，且各次投篮是否投中相互独立．(1)求其中恰好有4名同学投中的概率； (2)求其中至少有4名同学投中的概率．[解] (1)∵每位同学投中篮筐的概率都是23，且各次投篮是否投中相互独立， ∴其中恰好有4名同学投中的概率 P ＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝80243. (2)其中至少有4名同学投中的概率 P ＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝112243. 题型2 二项分布【例2】 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X ，求X 的分布列； (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．[解] (1)由题意得，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，即P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝827， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49，P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝⎛⎭⎪⎫1－131＝29， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫1－130＝127. 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P8274929127(2)，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133×13＝1602 187. 【感悟】(1)当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p . (2)解决二项分布问题的两个关注点：①对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，必须在满足“伯努利试验”时才能应用，否则不能应用该公式．②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．【变式训练题】2．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是互相独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．[解] (1)根据题意得，ξ服从二项分布ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0，1，…，5. ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 5 P32243802438024340243102431243(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13，k＝0，1，2，3，4.P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235.故η的分布列为η 0 12 3 4 5 P13294278811624332243题型3 二项分布的均值与方差【例3】 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中a k (k ＝2，3，4，5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，求X 的数学期望E (X )及方差D (X ).[解] 法一(定义法)：由题意知X 的可能取值分别为0，1，2，3，4，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23.X ＝0表示这4个数字都是0，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181；X ＝1表示这4个数字中有一个为1，则P (X ＝1)＝C 14·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881； 同理P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481； P (X ＝3)＝C 34·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281；P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681.所以X 的分布列如下：X0 1 2 3 4P181 881 2481 3281 1681数学期望E (X )＝0×181＋1×881＋2×2481＋3×3281＋4×1681＝83.D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－832×181＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－832×881＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－832×2481＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－832×3281＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－832×1681＝89.法二(结论法)：随机变量X 的值是出现1的个数，由题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (X )＝4×23＝83.D (X )＝4×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝89.【感悟】用二项分布求解实际应用题的步骤(1)判断随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p ).(2)根据二项分布公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，…，n )求出分布列． (3)求二项分布X ～B (n ，p )的均值可用公式E (X )＝np 求解，求方差可用公式D (X )＝np (1－p )来求解．【变式训练题】3．某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客中奖的奖券张数为X ，求X 的分布列，均值及方差．(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y 元，用X 表示Y ，并求Y 的数学期望．[解] (1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12.∴P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，其分布列为 X0 1 2 3 4P116 14 38 14 116∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴E (X )＝4×12＝2. D (X )＝4×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝1.(2)由题意可得Y ＝2 300－100X ，∴E (Y )＝E (2 300－100X )＝2 300－100E (X )＝2 300－100×2＝2 100.即所求变量Y 的数学期望为2 100元．当堂达标题1．(多选题)下列随机变量X 服从二项分布的有( ) A.投掷一枚均匀的骰子5次，X 表示点数为6出现的次数B.某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数D.某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X 表示下载n 次数据电脑被病毒感染的次数【解析】A 中试验出现的结果只有两种，点数为6和点数不为6，且每次试验中概率都为16(出现6点)符合二项分布．B 中X 的取值不确定，不是二项分布．C 中，进行五局比赛相当于做了5次伯努利试验，X 服从二项分布，D 中被感染的次数X ～B (n ，0.3).2．(多选题)若X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，则P (X ＝4)等于( )A.C 410⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－126B ．C 610⎝ ⎛⎭⎪⎫126⎝⎛⎭⎪⎫1－124C.⎝ ⎛⎭⎪⎫124D ．C 410⎝ ⎛⎭⎪⎫124【解析】X 服从二项分布，所以P (X ＝4)＝C 410⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫1－126或C 610⎝ ⎛⎭⎪⎫126⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124. 3．将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率( )A.716 B ．1532 C ．12D ．1732【解析】根据题意，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况： ①正面出现3次，反面出现2次，其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫125， ②正面出现4次，反面出现1次，其概率为C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫125， ③正面出现5次，其概率为C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125， 共有三种情况，这三种情况是互斥的，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是10⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝12.4．若随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 等于________． 【解析】由X ～B (40，p )，知E (X )＝40p ＝16，故p ＝0.4.5．设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k(k ＝0，1，2，3，4，5)，则D (3ξ)等于________．【解析】由题意知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以D (ξ)＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝109，D (3ξ)＝32D (ξ)＝9×109＝10.。
概率与统计 第七课时 二 项 分 布 导学案-江苏省高邮市第一中学2021届高三数学一轮复习
第七课时 二 项 分 布【学习目标】理解二项分布X ～B(n ，p)的特点，会计算n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率，并能解决一些简单的实际问题． 【预习单】1. 在一次投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.3122. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A. 13 B. 25 C. 23 D. 453. 在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是6581，则事件A 在一次试验中出现的概率是 Ｗ.4. 已知X ～B ⎪⎭⎫⎝⎛31,6，则P （X ＝2）＝ Ｗ.5. 甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为 Ｗ. 【活动单】一、相互独立事件发生的概率例1 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710，三名同学是否当选互不影响，且相互独立. （1） 求甲、乙、丙三名同学恰有一名同学当选的概率； （2） 求甲、乙、丙三名同学至多有两名同学当选的概率.变式1：在本例的条件下，求甲、乙、丙三名同学中恰有两名当选的概率. 变式2：在本例的条件下，求甲、乙、丙三名同学中至少有一名当选的概率.二、n次独立重复试验的概率求法例2一个射手每次击中目标的概率为P＝35，求他在4次射击中下列事件发生的概率.（1）命中一次；（2）命中两次.变式1：在本例的条件下，求：（1）恰在第三次命中目标的概率；（2）刚好在第二次、第三次两次击中目标的概率.变式2：在本例的条件下，求：（1）至少命中一次的概率；（2）至多命中两次的概率.三、独立性及二项分布的应用例3某中学生心理咨询中心服务电话的接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列.变式：在本例的条件下，求他们中至少一人成功咨询的概率.第七节 二 项 分 布【学习目标】理解二项分布X ～B(n ，p)的特点，会计算n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率，并能解决一些简单的实际问题．【预习单】1. 在一次投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.312 【答案】 A【解析】 由题意，得同学3次测试满足X ～B （3，0.6），该同学通过测试的概率为C 23（0.6）2×（1－0.6）＋C 33（0.6）3＝0.648.2. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A. 13B. 25C. 23D. 45 【答案】 B【解析】 设“甲获得冠军”为事件A ，“比赛进行了三局”为事件B ，则P （A ）＝23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027，P （AB ）＝23×13×23＋13×23×23＝827，所以所求概率为P （B|A ）＝P （AB ）P （A ）＝827÷2027＝25.3. 在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是6581，则事件A 在一次试验中出现的概率是 Ｗ.【答案】 13【解析】 设事件A 发生的概率为P ，则1－（1－P ）4＝6581，解得P ＝13.4. 已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P （X ＝2）＝ Ｗ. 【答案】 80243 【解析】P （X ＝2）＝C 26×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.5. 甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为 Ｗ.【答案】 12【解析】 设“从甲袋中取白球”为事件A ，则P （A ）＝812＝23.设“从乙袋中取白球”为事件B ，则P （B ）＝612＝12.取得同色球为AB ＋A B ，则P （AB ＋A B ）＝P （AB ）＋P （A B ）＝P （A ）·P （B ）＋P （A ）·P （B ）＝23×12＋13×12＝12. 【活动单】一、相互独立事件发生的概率例1 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710，三名同学是否当选互不影响，且相互独立.（1） 求甲、乙、丙三名同学恰有一名同学当选的概率； （2） 求甲、乙、丙三名同学至多有两名同学当选的概率.【解析】 设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则P （A ）＝45，P （B ）＝35，P （C ）＝710.（1） 因为事件A ，B ，C 相互独立，则甲、乙、丙三名同学恰有1名同学当选的概率为P （A ）·P （B ）·P （C ）＋P （A ）·P （B ）·P （C ）＋P （A ）·P （B ）·P （C ）＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.（2） 甲、乙、丙三名同学至多有两名同学当选的概率为1－P （ABC ）＝1－P （A ）·P（B ）·P （C ）＝1－45×35×710＝83125. 变式1：在本例的条件下，求甲、乙、丙三名同学中恰有两名当选的概率. 【解析】 因为事件A 、B 、C 相互独立，则甲、乙、丙三名同学恰有两名当选的概率为P ＝P （A ）·P （B ）·P （C ）＋P （A ）·P （C ）·P （B ）＋P （A ）·P （B ）·P （C ）＝45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋45×710×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×710＝36250＋56250＋21250＝113250.变式2：在本例的条件下，求甲、乙、丙三名同学中至少有一名当选的概率. 【解析】 “甲、乙、丙三名同学至少有一名当选”与事件“甲、乙、丙三名同学都不当选”为对立事件，故甲、乙、丙三名同学至少有一名当选的概率为1－P （A B C ）＝1－P （A ）·P （B ）·P （C ） ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝122125.二、 n 次独立重复试验的概率求法例2 已知一个射手每次击中目标的概率为P ＝35，求他在4次射击中下列事件发生的概率.（1） 命中一次； （2） 命中两次.【解析】 （1） 命中一次的概率为P ＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－353＝96625.（2） 命中两次的概率为P ＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝216625.变式1：在本例的条件下，求： （1） 恰在第三次命中目标的概率；（2） 刚好在第二次、第三次两次击中目标的概率. 【解析】 （1） 恰在第三次命中目标的概率为 P ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－353＝35×8125＝24625.（2） 在第二次、第三次两次击中目标的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝36625.变式2：在本例的条件下，求： （1） 至少命中一次的概率； （2） 至多命中两次的概率.【解析】 （1） 至少命中一次的概率为 P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－354＝609625.（2） 至多命中两次的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－354＋C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－353＋C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝328625.三、独立性及二项分布的应用例3 某中学生心理咨询中心服务电话的接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列.【解析】 由题意，得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，34， 所以P （X ＝k ）＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ⎝ ⎛⎭⎪⎫143－k （k ＝0，1，2，3）， 所以P （X ＝0）＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫340×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164， P （X ＝1）＝C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝964，P （X ＝2）＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14＝2764， P （X ＝3）＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，所以X 的分布列为变式：. 【解析】 P （X ≥1）＝1－P （X ＝0）＝1－164＝6364.。
高中数学2.4二项分布导学案苏教版选修23
2.4 二项分布独立重复试验及二项分布1．一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)＝p＞0，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．预习交流下列随机变量服从二项分布吗？如果服从，其参数各为多少？(1)100件产品有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，取得不合格品的件数；(2)一个箱子内有三个红球，两个白球，从中依次取2个球，取得白球的个数．提示：(1)服从二项分布，其参数n＝3，p＝3100；(2)不服从二项分布，因为每次取得白球的概率不相同．一、独立重复试验概率的求法某气象站天气预报的准确率为80%，计算，(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．2次准确的概率为：P＝C250.82×0.23＝0.051 2≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的反面为“5次预报都不准确或只有1次准确”．其概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C050.25＋C150.81×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99. (3)说明1,2,4,5次恰有1次准确．所以P ＝C 140.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞碟得2分，击中一个飞碟得1分，不击中飞碟得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为23，第二枪命中率为13，该运动员进行2轮比赛．(1)求该运动员得4分的概率为多少？(2)若该运动员所得分数为X ，求X 的分布列？ 解：(1)记“运动员得4分”为事件A ，则P (A )＝23×13×23×13＝481.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝P (X ＝4)＝481；P (X ＝1)＝P (X ＝3)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2081；P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝3381；∴X(1)有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．并且独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果，发生与不发生、成功与失败等．(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题. 二、二项分布的实际应用某大厦的一部专用电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X 的分布列．思路分析：每位乘客在每一层下电梯的概率都是13，服从二项分布，利用二项分布的概率公式求解．解：考查每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，5位乘客即5次独立重复试验．即X ～B ⎝ ⎛⎪⎫5，1，也就是P (X ＝k )＝C k 5 ⎛⎪⎫1k ⎛⎪⎫25－k，k ＝0,1,2,3,4,5.从而X 的分布列如表：某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率．(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．解：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A .因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”．所以事件A 发生的概率为P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427.(2)记“这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．由题意得P (B 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (B 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.由于事件B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B 发生的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为某一事件的某一类型，最后选用相应的恰当的公式去求解．1．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，则k ＝__________.答案：2解析：依题意有C k5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫125－(k ＋1)，所以C k 5＝C k ＋15，∴k ＝2. 2．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝__________.(用式子表示)答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫161⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫568解析：由题意知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，16， ∴P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫161⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫568.3．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (X ＝k )最大时，k ＝__________. 答案：1或2解析：依题意P (X ＝k )＝C k5×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)．可以求得P (X ＝0)＝32243，P (X ＝1)＝80243，P (X ＝2)＝80243，P (X ＝3)＝40243，P (X ＝4)＝10243，P (X ＝5)＝1243，故当k ＝1或2时，P (X ＝k )最大．4．某处有供水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的概率为110，随机变量X 表示同时被打开的水龙头的个数，则P (X ＝3)＝__________.答案：0.008 1解析：由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，110，∴P (X ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫1103⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＝0.008 1.5．在甲、乙两个队的乒乓球比赛中，比赛的规则是“五局三胜制”，现有甲、乙两队获胜的概率分别为23和13.(1)若前2局乙队以2∶0领先，求最后甲、乙两队各自获胜的概率； (2)求乙队以3∶2获胜的概率．解：(1)由于前2局乙队以2∶0领先，即乙队已经赢了2局，所以甲队要想获胜，须在余下的3局中全部获胜，才能最终获胜，所以甲队获胜的概率是P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827；从而乙队获胜的概率为P 2＝1－P 1＝1－827＝1927.(2)依题意，乙队以3∶2获胜时，第五局必为乙队获胜，且在前4局中乙队有2局获胜(甲队也有2局获胜)，故乙队以3∶2获胜的概率为P ＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×13＝881.。
超几何分布及二项分布二轮复习教学设计及导学案
超几何分布及二项分布二轮复习教学设计及导学案【导学案】课题名称：超几何分布及二项分布学科：数学年级：高一教学时间：2课时教学目标：1.理解超几何分布和二项分布的概念与特点。
2.掌握超几何分布和二项分布的计算方法。
3.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。
教学重点：1.超几何分布和二项分布的概念与特点。
2.超几何分布和二项分布的计算方法。
教学难点：1.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。
教学准备：1.教师准备PPT。
2.学生铅笔、橡皮、作业本。
教学过程：Step 1 导入新课（5分钟）1.让学生回顾前一节课的内容，回答几个问题：什么是离散型随机变量？如何计算离散型随机变量的期望？2.引入本节课的新内容，告诉学生本节课要学习和复习超几何分布和二项分布。
Step 2 课堂教学（55分钟）1.引导学生回忆超几何分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。
提醒学生注意超几何分布中的各个参数的含义和计算方法。
2.引导学生回忆二项分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。
提醒学生注意二项分布中的各个参数的含义和计算方法。
3.给学生讲解超几何分布和二项分布的计算方法，并通过例题进行演示。
帮助学生掌握计算过程和技巧。
4.给学生出几道练习题，让学生独立完成，并在课堂上逐题讲解答案和解题思路。
帮助学生巩固所学知识。
Step 3 课堂小结（5分钟）1.总结本节课的重点内容，强调超几何分布和二项分布的概念和特点。
2.提醒学生进行课后复习，并解答学生的问题。
Step 4 课后作业（2分钟）1.布置适量的课后作业，巩固学生对超几何分布和二项分布的理解和掌握。
2.提醒学生及时批改作业，并预习下节课内容。
备注：以上为教学设计概要，具体教学内容及时间可根据实际情况灵活调整。
4.2.3二项分布与超几何分布(第1课时) 导学案-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修
4.2.3 二项分布与超几何分布导学案第1课时n次独立重复试验与二项分布班级：姓名：小组：小组评价：教师评价：【预习目标】自主研读教材，理解n次独立重复试验的模型；理解二项分布；能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.【使用说明】1. 按照导学案的提示自主研读教材，用红笔进行勾画，同时独立完成导学案；2. 独立完成导学案，找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【学习目标】1. 理解n次独立重复试验的模型.2. 理解二项分布.3. 能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.【知识回顾】1、离散型随机变量的分布列2、离散型随机变量的分布列的性质3、求离散型随机变量的分布列的步骤4、两点分布【情境与问题】为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？【抽象概括，形成概念】定义：n次独立重复试验：在相同的条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．【尝试与发现】已知某种药物对某种疾病地治愈率为34，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈．（1）这能否看成独立重复试验？（2）求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率；（3）求出恰有3个患者被治愈的概率；（4）设有X人被治愈，求X的分布列．【抽象概括，形成概念】定义：二项分布：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p ，记q=1-p ,且n 次独立重复试验中出现“成功”的次数为X ，则X 的取值范围是{0,1,2,,,}k n ，，而且P(X=)=,k=0,1,,n,k k n knk C p q -因此X 的分布列如下表所示．1kn00nn C p q 111n n C p q - k k n k n C p q - 0n n n C p q001110()n n n k k n k n n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++中对应项的值，因此称X 服从参数n,p 的二项分布，记作(,)X B n p ．比如，上述尝试与发现中的随机变量X 服从参数4，34的二项分布，即3(4,)4X B ，服从二项分布的随机变量，其概率分布可用图直观地表示，如图所示．【题型探究】例1.为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，能正常工作的设备数为X ． （1）写出X 的分布列；（2）求出计算机网络不会断掉的概率．例2.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元；活过65岁时，保险公司不赔偿．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.8．随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三人的总金额为Y万元．（1）指出X服从的分布；（2）写出Y与X的关系；（3）求(300)P Y ．求二项分布的分布列的一般步骤(1)判断所给试验是否是相互独立试验．(2)建立二项分布模型．(3)求出相应概率．(4)写出分布列．【巩固练习】1．若100件产品中有5件次品，从中有放回地抽取10件，其中次品数X～B(n，p)，则有()A．n＝5，p＝0.05B．n＝10，p＝0.05C．n＝5，p＝0.95 D．n＝10，p＝0.952．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)＝()A．C810×0.88×0.22B．C810×0.82×0.28C．0.88×0.22D．0.82×0.283．一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.12125 B.48125 C.16125 D.961254．一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球(拿后放回袋中)记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分．(1)求拿2次得分不小于1分的概率；(2)求拿4次所得分数ξ的分布列．【体系构建】画出本课题的思维导图【学习评价】内容评价标准星数总数学习过程认真参与所有“做一做”“想一想”等，获得3颗星问题解决解决一个问题获得一颗星体系构建构建体系获得1-2颗星4.2.3 二项分布与超几何分布训练案第1课时n次独立重复试验与二项分布书P79 A组2，4，B组1，51、A-2一个车间有5台同类型的且独立工作的机器，假设每天启动时，每台机器出故障的概率均为0.1.设某天启动时，出故障的机器数为X.(1)写出X的分布列；(2)求该天机器启动时，至少有3台机器出现故障的概率.2、A-4张明从家坐公交车到学校的途中，会通过3个有红绿灯的十字路口，假设在每个十字路口遇到红灯的概率均为0.25，而且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.设X为张明在途中遇到的红灯数，求随机变量X的分布列.3、B-1已知某气象站天气预报的准确率为80%，求3次预报中：(1) 恰有2次预报准确的概率；(2) 至少有2次预报准确的概率；(3) 恰有2次预报准确且其中第3次预报准确的概率.4、B-5设某种疾病的发病率为0.001，且每个人是否患有这种疾病是相互独立.已知一个单位有1000名员工，求这个单位至少有1人患有这种疾病的概率.5、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是( ) A．[0.4，1] B．(0，0.4]C．(0，0.6] D．[0.6，1]6、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是( )A.13B.23C.14D.25。
二项分布导学案
（2）设选做第23题的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
2.某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表
班级
一
二
三
四
人数
3
2
3
4
（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率．
(1)设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
(2)条件概率具有的性质：
①__________________；
②如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝________________.
2．相互独立事件
(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B____________.
（Ⅰ）若比赛6局，求A队至多获胜4局的概率；
（Ⅱ）若采用“五局三胜”制，求比赛局数ξ的分布列和数学期望
重难突破
探究1.甲、乙两名射击运动员，分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求
(1)两人都射中的概率；
(2)两人中恰有一人射中的概率；
(3)两人中至少一人射中的概率；
(4)两人中至多一人射中的概率．
变式1.甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人全做错的概率是.
(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．
探究2.甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；(2)比赛打满七局的概率；(3)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列．
二项分布导学案
(3)各次试验是__________的．
用X表示这n次试验成功的次数，则P(X＝k)＝________ (k＝0,1,2，…，n)
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数的n，p的二项分布，简记为__________.
二、课堂合作探究：
探究二项分布的概率求法
问题1投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为
q＝1－p，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？
问题2问题1中若连续掷一枚图钉n次，恰好出现k次(k≤n)针尖向上的概率又是多少？它与二项式定理有何联系？
三、精讲互动：
例1某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，(结果保留两个有效数字)(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率．
§4二项分布导学案
编号
授课时间
班级
姓名
课型
新授课
备课人
白益成
审核人
王立民
学习
目标
1．理解二项分布．
2．能利用二项分布解决一些简单的实际问题．
重点
难点
重点：二项分布的理解与应用
难点：二项分布的应用
学
习
过
程
与
方
法
一、自主学习：（学生阅读P49---P50）
二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
(1)每次试验只有______________的结果，可以分别称为“成功和“失败”
四、当堂检测
1、已知一个射手每次击中目标的概率为p＝，求他在4次射击中下列事件发生的概率．(1)命中一次；(2)恰在第三次命中目标；(3)命中两次；(4)刚好在第二次、第三次两次击中目标．
高中数学第2章概率第6课时二项分布1导学案苏教版选修23
二项分布（1）【教学目标】（1）理解n 次独立重复试验的模型（n 重伯努利试验）及其意义．（2）理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题．【问题情境】1．射击n 次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率p 是不变的；2．抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，每一次抛掷可能出现“5”，也可能不出现“5”，而且每次掷出 “5”的概率p 都是16； 3．种植n 粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是67%． 上述试验是由瑞士数学家雅·伯努利首先研究的，所以我们将上述试验称为伯努利试验．伯努利试验有何特征？如何研究随机变量的概率分布？【合作探究】问题1. 分析上述3个试验，列出伯努利试验满足的条件．问题2. 在情境1中，若射击3次，设随机变量X 是射中目标的次数，求X 的概率分布．问题3. 在n 次独立重复试验中，如果每次试验事件A 发生的概率为p ，那么在这n 次试验中，事件A 恰好发生k (n k ≤≤0)次的概率是多少？与二项式定理有何联系？1. n 次独立重复试验：一般地，由____次试验构成，且每次试验____________，每次试验的结果____________，即A 与A ，每次试验中=)(A P _____，我们将这样的试验称为______________，或________．2. 二项分布：若随机变量X 的分布列为==)(k X P __________________，其中10<<p ， 1=+q p ，n k ,,2,1,0 =，则称X 服从________________，记作____________．【展示点拨】例1：求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率．体验成功：随机抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，求恰好出现k 次“向上的点数为5”的概率．例2．某气象站天气预报的准确率为%80，计算：（保留2个有效数字）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第三次预报准确的概率．例3．批量较大的一批产品中有30%的一级品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求：（1）取出的5个样品中恰有2个一级品的概率；（2）取出的5个样品中至少有2个一级品的概率．（3）设5个样品中含有一级品的个数为X,求X的概率分布．【学以致用】1.某种灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯泡使用1000h后，至多只坏1个的概率．2. 甲、乙、丙3人独立地破译一密码，每人译出此密码的概率均为0.25，设随机变量X表示译出此密码的人数．(1)写出X的分布列；(2)密码被译出的概率是多少？。
高中数学 2.2.2《独立重复试验与二项分布》导学案 新人教A版选修2-3
高中数学选修2-3 2.2.2《独立重复试验与二项分布》导学案姓名: 班级：_________ 组别：_________ 组名:【学习目标】1.知道n 次独立重复试验模型及二项分布的特点，并能解答一些简单的实际问题2.能进行一些与n 次独立重复试验模型及二项分布有关的概率的计算3.会区别二项分布与两点分布【重点难点】重点：n 次独立重复试验模型及二项分布的特点难点：独立重复试验与二项分布的应用【知识链接】1. 相互独立事件的定义2. 相互独立事件同时发生的概率公式【学习过程】请阅读课本第56页的内容，尝试回答以下问题：知识点一 n 次独立重复试验及其概率问题1.在研究随机现象时，经常要在相同的条件下重复做大量的试验来发现规律.例如，研究投掷硬币结果的规律，需做大量的投掷硬币试验.条件相同时，在n 次重复投掷硬币的过程中，各次试验的结果会相互影响吗？条件不同时呢？问题2.在 的条件下 做的n 次试验称为n 次独立重复试验．问题3.独立重复试验是____________________的一种试验，在这种是试验中每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.问题4.投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p ，则针尖向下的概率为p q -=1，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？问题5.如果在一次试验中事件A 发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为____________________．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项请阅读课本第57页的内容，尝试回答以下问题：知识点二 二项分布问题1.一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是P ,则)(k X P ==___________________(n k ,,2,1,0 =).此时称随机变量X 服从二项分布，记作__________，并称P 为成功概率.问题2.二项分布与两点分布有何联系？问题3.某同学投篮命中率为6.0，他在6次投篮中命中的次数X是一个随机变量，X～B（________），故他投中2次的概率是．变式：击中次数少于3次的概率是多少？例2．将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数X的分布列？变式：抛掷一颗骰子5次，向上的点数是2的次数有3次的概率是多少？例3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？【基础达标】A1.某学生通过计算初级水平测试的概率为21，他连续测试两次，则恰有1次获得通过的概率为（ ）． A ．31 B ． 21 C ．41 D ．43 A2．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为 （ ）．A ．3)1(p -B ．31p -C ．)1(3p -D ．)1()1()1(223p p p p p -+-+-B3.若某射击手每次射击击中目标的概率是9.0，每次射击的结果相互独立，那么在他连续4次的射击中，第1次未击中目标，但后3次都击中目标的概率是多少？B4.如果生男孩和生女孩的概率相等，求有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率．C5.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？D6．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为6.0，乙胜的概率为4.0，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？【课堂小结】1. 知识小结：（1）独立重复事件的定义；（2）二项分布的特点及其概率公式．2.方法小结：【当堂检测】A1．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率为( ) ．A ．2.0B ．41.0C ． 74.0D ． 67.0A2．某种植物种子发芽的概率为7.0，则4颗种子中恰好有3颗发芽的概率为 ．B3．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7.0，那么在这段时间内吊灯能照明的概率是多少？【学习反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
高中数学第二章概率4二项分布导学案北师大版选修2_3113034
§ 二项分布自主整理进行次试验，如果满足以下条件：（）每次试验只有相互的结果，可以分别称为“”和“”；（）每次试验“成功”的概率均为，“失败”的概率均为；（）各次试验是相互独立的.设表示这次试验中次数,则() (其中可以取).一个随机变量的分布列如上所述，称服从参数为，的二项分布，简记为.高手笔记.二项分布的识别策略()凡是所考虑的试验可以看作是一个只有两个可能结果和的试验的次独立重复,则次试验中发生的次数就服从二项分布.()凡是服从二项分布的随机变量一定只取有限个实数为其值,否则,随机变量不服从二项分布.例如:某射手射击击中目标的概率为,从开始射击到击中目标所需的射击次数.分析:本例中的试验虽然满足:①一次试验结果只有两个,“击中”和“不击中”;②各次试验是相互独立的,且每次试验“击中”发生的概率都是.但是的取值不是有限个,而是无限个,即,…,故本例中不服从二项分布.事实上服从几何分布,其分布列为()()· (,…).()凡服从二项分布的随机变量在被看作观察次试验中某事件发生的次数时,此事件在每次观察中出现的概率相等,否则不服从二项分布.例:()有一批产品共有件,其中件次品,采用不放回抽样方法,用表示(≤且≤ )次抽取中出现次品的件数.()有一批产品共有件,其中件次品,采用放回抽样方法,用表示(≤且≤)次抽取中出现次品的件数.()中不服从二项分布,而服从超几何分布,()(,…)()中服从二项分布,因为“放回”抽样能保证第一次、第二次、第三次、……抽取时抽到次品的概率为..对()() (,…)的理解与认识如果次试验中,事件发生的概率是,那么发生的概率就是.由于在次试验中事件要么发生,要么不发生,所以在次独立重复试验中恰好发生次,则在另外的次中没有发生,但发生.因为()()，所以公式()()恰好为［()］展开式中的第项，这一点充分揭示了排列组合、二项式定理和概率三者之间的密切联系.名师解惑.“恰有次发生”和“某指定的次发生”的区别剖析：对于独立重复试验来说，恰有次发生实质上是种彼此互斥事件的情况，其概率为(),而某指定的次发生是指某指定的试验要发生，另外的试验则不发生，其概率为().例:社会福利组织定期发行某种奖券,每券元,中奖率为,某人购买张奖券,如果没有中奖,下次再继续购买张,直到中奖为止,求此人购买次数的分布列.解:购买奖券次数的可能取值为全体自然数,事件“”表示“此人购买第张奖券,前张都没有独立重复试验是指在相同的条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都有两种结果（事件要么成功要么失败），并且在任何一次试验中，事件发生的概率是均等的.在本题中中奖之前是一定要发生“不中奖”这一事件,因此为独立事件,而不是次独立重复试验.这一点很易引起误解,一定要区分开..区别“事件恰好发生次”与“最后一次一定是事件发生”的差异剖析：在次独立重复试验中事件发生的概率为,如果表示事件在次独立重复试验中事件发生的次数，则事件“恰好发生次”的概率是（）()，而“最后一次一定是事件发生”暗含在前次试验中事件应出现次，此时事件发生的概率为（）()().例:甲、乙两队进行比赛,单局比赛甲队胜乙队的概率为,比赛实行五局三胜制为本场比赛的局数,求的概率分布列.解:单局比赛甲队胜乙队的概率为,则乙队胜甲队的概率为,比赛三局结束有两种情况:甲队胜三局或乙队胜三局,因而有()；比赛四局结束有两种情况:前三局中甲胜局,第四局甲胜或前三局中乙胜局,第四局乙胜,因而()×××××× ;比赛五局结束有两种情况:前四局中甲胜局乙胜局,第五局甲胜或乙胜()×××××× .在本题中,获胜的队都是最后一局要取得胜利,也就是说事件在最后一次要发生,前次试验中事件发生次,因此在计算二项分布的概率时应先计算前次试验中事件发生次的概率(),然后再乘上最后一次事件发生的概率即可.讲练互动【例】在件产品中有件次品,连续抽次,每次抽个,求:()不放回抽样时,抽到次品数的分布列;()放回抽样时,抽到次品的分布列(保留三位有效数字).分析：首先确定和的可取值,然后求出每种取值下的随机事件的概率,列出对应表格即为分布列.解:()不放回抽样,抽到的次品数,而()，()(),故的分布列为:故的分布列为:。
苏教版数学高二《二项分布(2》精品导学案
（2）至少关闭一家煤矿的概率．（精确到 ）
例4 粒种子分种在甲、乙、丙 个坑内，每坑 粒，每粒种子发芽的概率为 ，若一个坑内至少有 粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（1）求甲坑不需要补种的概率；（2）求 个坑中需要补种的坑数 的分布列；（3）求有坑需要补种的概率．（精确到 ）
（2）设 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求 的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
例3某安全生产监督部门对 家小型煤矿进行安全检查（安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是 ，整改后安检合格的概率是 ，计算：
（1）求射手在 次射击中，至少有两次连续击中目标的概率；
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；
（3）设随机变量 表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求 的分布列．
例2一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ．
（1）设 为这名学生在途中遇到的红灯次数，求 的分布列；
⑶某气象站天气预报的准确率为80%，计算:（结果保留到小数点后面第2位）
①5次预报中恰有2次准确的概率；
②5次预报中至少有2次准确的概率；
③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
四、回顾小结
五、课后作业课本 页第10题
三、课堂精练
⑴甲、乙两排球队比赛，已知在一局比赛中，甲队胜的概率为2/3,没有平局．若采用5局3胜制比赛，先胜三局者为胜，甲获胜的概率是多少？
⑵实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛，规定5局3胜制（即5局
二项分布--导学案
3.某机器正常工作的概率是 ,5天内有4天正常工作的概率是。
4.已知随机变量X～Ｂ（５， ），求Ｐ（X＝３）
总结与提升
某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数 的概率分布．
课题
二项分布
编写
屈永军
审核
李婵平
使用时间
学习
目标
1、理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；
2、能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算
重点
二项分布有关的概率的计算
难点
二项分布有关的概率的计算
一
教
材
助
读
自学教材二项分布
二、预习自测
在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()．
A．[0.4,1]B．(0,0.4]C．(0,0.6]D．[0.6,1]
一、基础知识探究
二项分布:
在n次独立重复试验中，每次试验只有_____结果，可分别称为____和_____,每次试验成功的概率为P,则失败的概率为______,且各次试验相互独立,用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝____________________________.此时称随机变量X服从参数为n,p的二项分布．
例3．在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一选择相互之间没有影响.
（1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
2025年高考数学一轮复习-11.6-二项分布与超几何分布【导学案】
2025年高考数学一轮复习-11.6-二项分布与超几何分布【课程标准】1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.【必备知识精归纳】一、二项分布1.伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X 表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= p k(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)当n=1时,随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).二、超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)= - -,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.三、正态分布1.定义-( - ) ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,若随机变量X的概率分布密度函数为f(x则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.3.3σ原则(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【基础小题固根基】教材改编易错易混1,2,43,51.(教材变式)已知X~B(20,p),且E(X)=6,则D(X)等于()A.1.8B.6C.2.1D.4.2【解析】选D.因为X服从二项分布X~B(20,p),所以E(X)=20p=6,得p=0.3,故D(X)=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.2.(教材变式)在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品的个数,则P(X=2)=.【解析】由题意得P(X=2)=C32C72C104=310.答案:3103.(对二项分布意义不理解致误)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】选A.3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C32×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C32×0.62×(1-0.6)+0.63= 0.648.4.(教材提升)某班有50名同学,一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102).已知P(100<X≤110)=0.34,估计该班学生数学成绩在120分以上的有人.【解析】因为考试的成绩X服从正态分布N(110,102),所以该正态曲线关于X=110对称,因为P(100<X≤110)=0.34.所以P(X>120)=P(X≤100)=12×(1-0.34×2)=0.16.所以该班数学成绩在120分以上的人数约为0.16×50=8.答案:85.(二项分布应用不准致误)在一次招聘中,主考官要求应聘者从20道备选题中一次性随机抽取5道题,并独立完成所抽取的5道题,乙能正确完成每道题的概率为45,且每道题完成与否互不影响,记乙能正确完成的题数为Y,则Y的数学期望为.【解析】由题意知Y~B5,45,所以E(Y)=5×45=4.答案:4二项分布[典例1](1)出租车司机从饭店到火车站途中经过6个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.则这位司机在途中遇到红灯数X 的均值为,方差为.【解析】X的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6,这位司机经过一个交通岗就是一次试验,有遇到红灯和未遇到红灯两个结果,X=k(k∈N,k≤6)的事件相当于6次独立重复经过一个交通岗的试验,恰有k次遇到红灯的事件,于是得随机变量X~B6,13,所以E(X)=6×13=2,D(X)=6×13×1-13=43.答案:243(2)(2022·福州模拟)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能拿奖的概率都是23,那么在本次运动会上:①求该运动员至少能拿2项奖的概率;②若该运动员能拿奖的项目数为X,求X的分布列及均值.【解析】①依题意知,该运动员在每个项目上“能拿奖”为独立事件,并且每个事件发生的概率相同.设该运动员能拿奖的项目数为随机变量ξ,“该运动员至少能拿2项奖”为事件A,则有P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=C3223213+C33233=2027;②由①可知,X~B3,23,则P(X =0)=C301-233=127,P(X=1)=C31·23·1-232=29,P(X=2)=C32·232·1-23=49,P(X=3)=C33·233=827,所以X的分布列为X0123P1272949827所以均值E(X)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.(或E(X)=3×23=2)【方法提炼】1.求n重伯努利试验概率的三个步骤(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验.(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.2.求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.【对点训练】张先生家住H小区,他在C科技园区工作,从家开车到公司上班有L1,L2两条路线(如图),L1路线有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L2路线有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;(2)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望;(3)若张先生想在上班的途中,“平均遇到红灯次数最少”,则张先生应从上述两条路线中选择哪条上班路线,并说明理由.【解析】(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件,则P(A)=C30×123+C31×12×122=12.所以走L1路线,最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意,知X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=1-34×1-35=110,P(X=1)=34×1-35+1-34×35=920,P(X=2)=34×35=920.随机变量X的分布列为X012P110920920E(X)=110×0+920×1+920×2=2720.(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y服从二项分布,即Y~B3,12,所以E(Y)=3×12=32.因为E(X)<E(Y),所以张先生应选择L2路线上班.【加练备选】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品的质量指标值落在区间[75,85]内的频率;(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X,求X的分布列与数学期望.【解析】(1)设落在区间[75,85]内的频率为x,则落在区间[55,65),[65,75)内的频率分别为4x和2x.依题意得(0.004+0.012+0.019+0.030)×10+4x+2x+x=1,解得x=0.05.所以落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复试验,所以X服从二项分布B(n,p),其中n=3.由(1)得,落在区间[45,75)内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得p=0.6.因为X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C30×0.60×0.43=0.064,P(X=1)=C31×0.61×0.42=0.288,P(X=2)=C32×0.62×0.41=0.432,P(X=3)=C33×0.63×0.40=0.216.所以X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216所以X的数学期望为E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8(或直接根据二项分布的均值公式得到E(X)=np=3×0.6=1.8).超几何分布[典例2](1)某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语.现选派3人到法国的学校交流访问,则恰有2人会法语的概率为;既会法语又会英语的人数X的均值为.【解析】设事件A为“选派的3人中恰有2人会法语”,则P(A)=C52C21C73=47.方法一:依题意知X的取值为0,1,2,3,P(X=0)=C43C73=435,P(X=1)=C42C31C73=1835,P(X=2)=C41C32C73=1235,P(X=3)=C33C73=135,所以X的分布列为X0123P43518351235135所以E(X)=0×435+1×18+2×1235+3×135=97.方法二:E(X)=3×37=97.答案:4797(2)从某校高三年级中随机抽取100名学生,对其视力情况进行统计(两眼视力不同,取较低者统计),得到如图所示的频率分布直方图,已知从这100人中随机抽取1人,其视力在[4.1,4.3)的概率为110.①求a,b的值;②若高校B专业的报考资格为任何一眼裸眼视力不低于5.0,已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层随机抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学,4人中有资格(仅考虑视力)报考B专业的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列.【解析】①由频率分布直方图的性质,得×0.2=110,( +0.75+1.75+ +0.75+0.25)×0.2=1,解得b=0.5,a=1.②在[4.9,5.1)中,共有15人,其中5人裸眼视力不低于5.0,在这15人中,抽取3人,在[5.1,5.3)中,共有5人,抽取1人,随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,P(ξ=1)=C103C50C153=2491,P(ξ=2)=C102C51C153=4591,P(ξ=3)=C101C52C153=2091,P(ξ=4)=C100C53C153=291,所以ξ的分布列如下ξ1234P249145912091291【方法提炼】超几何分布的特点(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X 的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.【对点训练】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如图).(1)根据频率分布直方图,求上述抽取的40件产品中质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X 为质量超过505克的产品数量,求X 的分布列,并求其均值;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X 的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布.P(X=0)=C120C282C402=63130,P(X=1)=C121C281C402=2865,P(X=2)=C122C280C402=11130,所以X的分布列为X012P63130286511130所以X的均值为E(X)=0×63130+1×2865+2×11130=35;(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为310.从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2重伯努利试验,质量超过505克的产品数量Y的可能取值为0,1,2,且Y~B2,310,P(Y=k)=C2 ×1-3102-k×310k,所以P(Y=0)=C20×7102=49100,P(Y=1)=C21×310×710=2150,P(Y=2)=C22×3102=9100.所以Y的分布列为Y012P4910021509100正态分布角度1正态分布的性质[典例3](1)设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且-( -10)28(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是()f(xA.10与8B.10与2C.8与10D.2与10【解析】选B.因为f(xe-( -10)28,所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.-( - )22 2(x∈R,i=1,2,3)的图象(2)(2023·深圳模拟)已知三个正态密度函数φi(x如图所示,则()A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3【解析】选D.由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分散,曲线越“矮胖”,σ越小,总体分布越集中,曲线越“瘦高”,则σ1=σ2<σ3.实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),亦可知σ1=σ2<σ3.(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是()A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等【解析】选D.对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确,不符合题意;对于B,由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确,不符合题意;对于C,由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确,不符合题意;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D 错误,符合题意.【方法提炼】利用正态分布性质解题的关键点对X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意义不清楚,特别是对μ的认识不清楚,就会在解题时无从下手.这里μ是随机变量X的均值,σ是标准差,x=μ是正态密度曲线的对称轴.角度2正态分布的概率计算[典例4](1)(2023·运城模拟)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为()A.0.8B.0.4C.0.3D.0.2【解析】选D.因为ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),所以曲线的对称轴是直线x=1,又ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,根据正态曲线的性质,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为P(ξ≥2)=1-0.62=0.2.(2)(2022·安阳模拟)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64),则成绩在140分以上的考生所占的百分比约为()(参考数据:P(μ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.997)A.0.3%B.0.23%C.1.5%D.0.15%【解析】选D.依题意,得μ=116,σ=8,所以μ-3σ=92,μ+3σ=140.而服从正态分布的随机变量在[μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比约为1-99.7%2=0.15%.(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=.【解析】因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.答案:0.14【方法提炼】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.(2)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态密度曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用:①对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);②P(X<x0)=1-P(X≥x0);③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).角度3正态分布的综合应用[典例5](1)为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩x近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为;如果成绩大于135分的为特别优秀,那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有人.(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95)【解析】因为数学成绩x服从正态分布N(100,17.52),则P(100-17.5≤x≤100+17.5)=P(82.5≤x≤117.5)≈0.68,所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为P(x<82.5)=1- (82.5≤ ≤117.5)2≈1-0.682=0.16.又P(100-17.5×2≤x≤100+17.5×2)=P(65≤x≤135)≈0.95,所以数学成绩特别优秀的概率为P(x>135)=1- (65≤ ≤135)2≈1-0.952=0.025.又P(x<82.5)=P(x>117.5)≈0.16,则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.16×0.025≈13.答案:0.1613(2)为了解某年龄段人群的午休睡眠时间,随机抽取了1000名该年龄段的人作为被调查者,统计了他们的午休睡眠时间,得到如图所示的频率分布直方图.①求这1000名被调查者的平均午休睡眠时间 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);②由直方图可以认为被调查者的午休睡眠时间Y服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取被调查者的平均午休睡眠时间 和方差s2,那么这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟的人数估计有多少?③如果用这1000名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午休睡眠情况,现从全市所有该年龄段的人中随机抽取5人,记午休睡眠时间不超过73.09分钟的人数为X,求E(X)(精确到0.01).附:(i)s2=212.75,212.75≈14.59.(ii)Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】①由题意知,第一组至第六组的区间中点值分别为35,45,55,65,75,85,对应的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.15,0.15,0.1.所以 =35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.15+85×0.1=58.5(分钟),所以这1000名被调查者的平均午休睡眠时间 =58.5分钟.②由题意得Y~N(58.5,14.592),则P(43.91≤Y≤73.09)=P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.6827,所以P(Y>73.09)=P(Y<43.91)≈1-0.68272= 0.15865,所以这1000名被调查者中午休睡眠时间低于43.91分钟的估计有0.158 65×1000≈159(人).③在全市该年龄段人中抽取午休睡眠时间不超过73.09分钟的人的概率P≈1-0.15865=0.84135,由题意得X~B(5,0.84135),所以E(X)=5×0.84135≈4.21.【方法提炼】解决正态分布问题有三个关键点(1)对称轴x=μ.(2)标准差σ.(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.提醒只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【对点训练】1.(2023·常州模拟)若随机变量X~B(3,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.657,P(0<Y<2)=p,则P(Y>4)等于()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8【解析】选A.由题意,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.657,解得p=0.3,则P(0<Y<2)=0.3,所以P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0<Y<2)=0.2.2.在某校高三年级的高考全真模拟考试中,所有学生考试成绩的取值X(单位:分)是服从正态分布N(502,144)的随机变量,模拟“重点控制线”为490分(490分及490分以上都是重点),若随机抽取该校一名高三考生,则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为()(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.6827B.0.65865C.0.84135D.0.34135【解析】选C.X~N(502,144),则σ=12,因为P(502-12≤X≤502+12)≈0.6827,所以P(X<490)≈1-0.68272=0.15865,即P(X≥490)≈1-0.15865=0.84135.3.对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N0,2 ,为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要测量次.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545)【解析】根据正态曲线的对称性知要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,则(μ-2σ,μ+2σ)⊂(-0.5,0.5),又μ=0,σ所以0.所以n≥32.答案:32【加练备选】1.已知随机变量ξ~N(μ,σ2),有下列四个命题:甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2);乙:P(ξ>a)=0.5;丙:P(ξ≤a)=0.5;丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2).如果只有一个假命题,则该命题为()A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选D .由于乙、丙的真假性相同,所以乙、丙都是真命题,故a =μ;根据正态密度曲线的对称性可知,甲:P (ξ<μ-1)>P (ξ>μ+2)为真命题;P (μ<ξ<μ+1)>P (μ+1<ξ<μ+2),所以假命题是丁.2.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P (X ≥1)及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 =116∑ =116xi =9.97,s.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i =1,2, (16)用样本平均数 作为μ的估计值,用样本标准差s 作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-3σ≤Z ≤μ+3σ)≈0.9973,0.997316≈0.9577,0.008≈0.09.【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9973,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0027,故X~B (16,0.0027).因此P (X ≥1)=1-P (X =0)=1-0.997316≈0.0423;X 的数学期望E (X )=16×0.0027=0.0432.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0027,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由 =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02.因此μ的估计值为10.02.∑ =1162=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为0.008≈0.09.。
超几何分布与二项分布二轮复习教学设计课题与导学案
高三二轮复习教学设计1 超几何分布与二项分布知识与技能：1、进一步了解并熟悉超几何分布与二项分布产生的实际背景，理解超几何分布的导出过程，理解独立重复试验与二项分布的关系，进一步建构并完善知识体系与结构；2、明确两种分布基本特征，能正确区分两种分布，能准确运用两种概率分布分析解决实际问题；3、训练提升运算能力、数学阅读与理解能力，分析与解决实际问题的能力。
过程与方法：1、通过自主学习，熟化基本知识与思想方法，完成知识体系建构；2、借助实例，通过合作与探究学习，在讨论交流中实现对两种分布本质特征的再认识，完善知识结构，达到深刻理解与准确应用。
情感态度与价值观：以学生考试中的正、误两种解答导入，引发学生对问题与解决方法的关注度，激发学生积极主动参与数学思维活动；通过主动探究、合作学习、相互交流，形成良好地思维习惯和理性思考问题的思维品质；借助高考真题的解析，增强学习的自信心，增强学生敢于超越并勇于超越的自我激励与竞争进取的意志品质。
教学重点：二项分布与超几何分布的辨别与应用教学难点：二项分布与超几何分布的区别与运用教学媒体：多媒体教学方法：讨论探究与讲授相结合课型：复习课教学流程和情境设计学案1 超几何分布与二项分布导学目标：1.明确两种分布基本特征，能正确区分两种分布.2.能准确运用两种概率分布分析解决实际问题.自主梳理一、超几何分布的概念与基本公式1. 总产品数N 件，次品M 件，从中取n 件，其中含次品X 件，则X ~H(n ，M ，N).2. 概率与均值公式：()),min(2,1,0,)(n M k C C C k X P nNkn MN k M ===--，.N nM EX = 3. 判断一个随机变量是否服从超几何分布的关键要素二、n 次独立重复试验的特征每次试验相同条件、相互独立、两种结果（发生与不发生）、事件发生概率不变.三、二项分布的的概念与基本公式1. n 次独立重复试验中，事件A 发生概率为p ，事件A 发生的次数为X ，则X~B(n ，p).2. 概率与均值公式：.)2,1,0(,)1()(np EX n k p p C k X P kn k k n ==-==-，3. 判断一个随机变量是否服从二项分布的关键要素四、课前热身袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球。
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二 、 例 3．在一次数学考试中，第 22,23,24 题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题， 知 识 设 5 名考生选做这三题的任意一题的可能性均为 1 ，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学 应 3 用 生的选择相互之间没有影响 . 探 究 （1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率； （2）设选做第 23 题的人数为 ，求 的分布列
第
周
二项分布: 在 n 次独立重复试验中，每次试验只有_____结果，可分别称为____和_____,每次试验成功的 概率为 P,则失败的概率为______,且各次试验相互独立, 用 X 表示这 n 次试验中成功的次数，则 P(X＝k)＝____________________________.此时称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布．
一 、 基 础 知 识 探 究
记作____________．
例 1.某家中安装了 3 台天然气报警器,它们彼此独立,且发生漏气时每台报警的概率均为 0.9,求发
生漏气时,下列事件的概率: (1)3 台都没报警,(2)恰有 1 台报警,(3) 至少有 1 台．一个袋中有 6 个黑球 4 个白球，这些球除颜色外完全相同，有放回的依次取出 3 个球，求
检
测
案
No 56
神木七中 2013--2 014 学年度数学选修 2-3 导学案 学生姓名：____ 班级：___ 第___ 组
第
周
1． 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券， 每人购买 1 张， 则前 3 个购买者中， 恰有一人中奖的概率为 （
）
3 ( A) C10 0.72 0.3
1 ( B ) C3 0.72 0.3
(C )
3 10
(D)
1 3 A72 A3 3 A10
2．每次试验的成功率为 p(0 p 1) ，重复进行 10 次试验，其中前 7 次都未成功而后 3 次都成功的概
率为（
）
3 3 ( B ) C10 p (1 p)3
3 3 ( A) C10 p (1 p)7
(C ) p3 (1 p)7
一 教 材 助 读
自学教材二项分布
二 、 预 习 自 测
在 4 次独立重复试验中， 随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的 概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( )．
A．[0.4,1]
B．(0,0.4]
C．(0,0.6]
D．[0.6,1]
No 56
神木七中 2013--2 014 学年度数学选修 2-3 导学案 学生姓名：____ 班级：___ 第___ 组
( D ) p7 (1 p)3
。
3.某机器正常工作的概率是
4 ,5 天内有 4 天正常工作的概率是 5
4.已知随机变量 X～Ｂ（５，
1 ） ，求Ｐ（X＝３） 3
总 结 与 提 升
某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%．现从一批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 的概率分布．
No 56
神木七中 2013--2 014 学年度数学选修 2-3 导学案 学生姓名：____ 班级：___ 第___ 组
第
周
课题 编写
二 项 分 布
屈永军
目标
审 核
李婵平
使 用 时 间
学习 重点 难点
1、理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问 题； 2、能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算 二项分布有关的概率的计算 二项分布有关的概率的计算