2017高考备考之推理与证明

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2017版高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第四节基本不等式课件文

取不到，可利用函数的单调性求解.
答案大－1
突破利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但
可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.
1 解析若 x＝x ，则 x＝1∉[2，＋∞)，函数 f(x)在[2，＋∞)上 1 5 单调递增，所以最小值为 f(2)＝2＋＝ . 2 2 5 答案 2
[当在分母中使用基本不等式或式子前有负号时，注意不等号方向的改变]
x (2)若 x＞0，则 y＝ 2 有最______值为________. x ＋x＋4
3 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝4时等号成立. 3 3 ∵4∈0，2， 3 9 ∴函数 y＝4x(3－2x) 0<x<2 的最大值为2.
(2)法一由 2x＋8y－xy＝0，得 y(x－8)＝2x. 2x ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， x－8 （2x－16）＋16 2x ∴x＋y＝x＋＝x ＋ x－8 x－8 16 16 ＝(x－8)＋＋10≥2 （x－8）× ＋10＝18. x－8 x－8 16 当且仅当 x－8＝，即 x＝12 时，等号成立. x－8 ∴x＋y 的最小值是 18.
1 解析 x＞0，y＝ 4 ≤ x＋x ＋1 2
1 4 x·x＋1
1 ＝5.
4 当且仅当 x＝x 即 x＝2 时等号成立.

高中高考数学理科真题汇编解析：第十四章推理与证明.docx

2017 年高考数学理科真题汇编解析：第十四章推理与证明第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理1.（ 2017 全国 2 卷理科 7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老成的成．老：你四人中有2 位秀， 2 位良好，我在甲看乙、丙的成，乙看丙的成，丁看甲的成．看后甲大家：我是不知道我的成．根据以上信息，（）.A ．乙可以知道四人的成B ．丁可以知道四人的成C ．乙、丁可以知道方的成D ．乙、丁可以知道自己的成1．解析四人所知只有自己看到，老所及最后甲的．甲不知道自己成→ 乙、丙中必有一一良（若两，甲会知道自己成；两良亦然） .乙看了丙成，知道自己的成→ 丁看甲，甲、丁中也一一良，丁知道自己的成．故D.2.（ 2017 全国 1 卷理科 12）几位大学生响国家的号召，开了一款用件 . 激大家学数学的趣，他推出了 “解数学取件激活”的活 . 款件的激活下面数学的答案：已知数列 1， 1， 2， 1， 2，4， 1， 2， 4， 8，1， 2， 4， 8， 16 ， ⋯ ，其中第一是20 ，接下来的两是20 ， 21 ，再接下来的三是 20 ， 21 ， 22 ，依此推 .求足如下条件的最小整数 N ： N100 且数列的前 N 和 2的整数 .那么款件的激活是（） .A. 440B. 330C. 220D. 1102. 解析首第1 ，接下来两第2 ，再接下来三第3 ，以此推．n 1 nn 1 n100第 n 的数 n ， n的数和2，由意得，N100 ，令2，1 2nn1得 n ≥ 14 且 n N *13 之后，第 n 的和 122，即 N出在第， n 共的和2 1 2n2n12 nNn 1n1 n，若要使前 N和 2 的整数， 2的和 2k12与2 n互相反数，即2k12n kN *，n ≥ 14， k log2n 3 ，得 n 的最小 n 29 ，k 5 ，29129 N25 440则.故选 A.题型 149归纳推理——暂无题型150类比推理——暂无题型 151 演绎推理第二节证明。

2017届高考数学大一轮第六章不等式与推理证明第3课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理

1．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，
B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限
额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4
万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元
A(吨) B(吨)
甲乙原料限额
32
12
12
8
B．16万元
C．17万元
主干回顾夯基固源考点研析题组冲关素能提升学科培优
课时规范训练
第3课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
1．(2015·高考湖南卷)若变量x，y满足约束条件
x2＋x－y≥y≤－11，，则z＝3x－y的最小值为(
)
y≤1.
A．－7 C．1
B．－1 D．2
解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝3x－
y可化为y＝3x－z，其斜率为3，纵截距为－z，平移直线y＝3x知
当直线y＝3x－z经过点A时，其纵截距最大，z取得最小值．由
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有的点组成的平面区域 (半平面) 不含边界直线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)含有边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有的点(x，y)，使得Ax
解析当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此 m＜0.

2017高考数学(理)试题汇编第十四章推理与证明

第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理1.（2017全国2卷理科7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）.A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 1．解析四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知道自己成绩→乙、丙中必有一优一良（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）.乙看了丙成绩，知道自己的成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知道自己的成绩．故选D.2.（2017 全国1卷理科12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数100N N >：且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）.A.440B.330C.220D.110 2. 解析设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +，由题意得，100N >，令()11002n n +>，得14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112nn -=--，n 组总共的和为()12122212nn n n +--=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数，即()*21214k n k n -=+∈N ，≥，()2log 3k n =+，得n 的最小值为295n k ==，，则()2912954402N ⨯+=+=.故选A.题型149 归纳推理——暂无题型150 类比推理——暂无题型151 演绎推理第二节证明。

(整理)高考金牌数学复习17第十七章推理与证明.

第十七章推理与证明★知识网络★第1讲合情推理和演绎推理★知识梳理★1.推理根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.2、合情推理:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

★重难点突破★重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性问题1<；….对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为．点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（222||ab AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]=点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3★热点考点题型探析★考点1 合情推理题型1 用归纳推理发现规律[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

2017版高考数学一轮总复习课件：第七章第五节推理与证明

(1)解当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1， a21＋2a1－2＝0.∴a1＝ 3－1(a1>0). 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1，将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2>0).同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*).
证明 (1)由于 x≥1，y≥1，所以要证明 x＋y＋x1y≤1x＋1y＋xy，只需证 xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
第二十五页，编辑于星期六：十九点五十八分。
将上式中的右式减左式，得 [y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1). 因为 x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立.
第十四页，编辑于星期六：十九点五十八分。
(5)已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式 f(2n)＞n2 时，f(2k＋1)比 f(2k)多的项数是________. 解析 f(2k)＝1＋12＋13＋…＋21k，
f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k，故多了 2k 项. 答案 2k
2.合理推理
归纳推理
类比推理
由某类事物的部分对象具有某些由两类对象具有某些类似特征和其中
特征，推出该类事物的全部对象都
定义
一类对象的某些已知特征，推出另一
具有这些特征的推理，或者由个

高考数学(理)(全国通用)复习高考试题分类汇编：推理与证明(含解析)

高考数学真题推理与证明

12.2推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2017课标Ⅱ理,7,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案D本题主要考查逻辑推理能力.由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩;丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D.2.(2014北京理,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人答案B设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n≥4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.因此:n<4,即n≤3.当n=3时,评定结果分别为“优秀,不合格”“合格,合格”“不合格,优秀”,符合题意,故n=3,选B.3.(2012江西理,6,5分)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199答案C解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,代入后三个等式中符合,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故选C. 解法二:令a n=a n+b n,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,……得a n+2=a n+a n+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选C.评析本题考查了合情推理和递推数列,考查了推理论证和运算求解能力.4.(2016北京,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B 解法一:假设袋中只有一红一黑两个球,第一次取出后,若将红球放入了甲盒,则乙盒中有一个黑球,丙盒中无球,A 错误;若将黑球放入了甲盒,则乙盒中无球,丙盒中有一个红球,D 错误;同样,假设袋中有两个红球和两个黑球,第一次取出两个红球,则乙盒中有一个红球,第二次必然拿出两个黑球,则丙盒中有一个黑球,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球,C 错误.故选B.解法二:设袋中共有2n 个球,最终放入甲盒中k 个红球,放入乙盒中s 个红球.依题意知,甲盒中有(n-k)个黑球,乙盒中共有k 个球,其中红球有s 个,黑球有(k-s)个,丙盒中共有(n-k)个球,其中红球有(n-k-s)个,黑球有(n-k)-(n-k-s)=s 个.所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多.故选B.5.(2017北京文,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为 . 答案 ①6 ②12解析设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得{x >y,y >z,2z >x,且x,y,z 均为正整数.①当z=4时,8>x>y>4,∴x 的最大值为7,y 的最大值为6, 故女学生人数的最大值为6.②x>y>z>x 2,当x=3时,条件不成立,当x=4时,条件不成立,当x=5时,5>y>z>52,此时z=3,y=4. ∴该小组人数的最小值为12.6.(2016山东文,12,5分)观察下列等式: (sin π3)-2+(sin2π3)-2=43×1×2;(sin π5)-2+(sin 2π5)-2+(sin 3π5)-2+(sin 4π5)-2=43×2×3; (sin π7)-2+(sin2π7)-2+(sin 3π7)-2+…+(sin 6π7)-2=43×3×4; (sin π9)-2+(sin 2π9)-2+(sin 3π9)-2+…+(sin 8π9)-2=43×4×5;…… 照此规律,(sin π2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+(sin 3π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2= .答案4n(n+1)3解析观察前4个等式,由归纳推理可知(sinπ2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2=43×n×(n+1)=4n(n+1)3. 评析本题主要考查了归纳推理,认真观察题中给出的4个等式即可得出结论.7.(2015福建理,15,4分)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *),其中x k (k=1,2,…,n)称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组:{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k 等于 . 答案 5解析设a,b,c,d ∈{0,1},在规定运算法则下满足:a ⊕b ⊕c ⊕d=0,可分为下列三类情形:①4个1:1⊕1⊕1⊕1=0,②2个1:1⊕1⊕0⊕0=0,③0个1:0⊕0⊕0⊕0=0,因此,错码1101101通过校验方程组可得: 由x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,∴1⊕1⊕0⊕1≠0; 由x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,∴1⊕0⊕0⊕1=0; 由x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,∴1⊕0⊕1⊕1≠0, ∴错码可能出现在x 5,x 7上,若x 5=0,则检验方程组都成立,故k=5.若x 7=0,此时x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7≠0,故k ≠7. 综上分析,x 5为错码,故k=5.评析本题主要考查推理,考查学生分析、解决问题的能力,属中等难度题. 8.(2015陕西文,16,5分)观察下列等式 1-12=121-12+13-14=13+14 1-12+13-14+15-16=14+15+16 ……据此规律,第n 个等式可为 . 答案 1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n+1+1n+2+ (12)解析规律为等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1,2,…,2n,分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-12+13-14+…+12n -1-12n ;等式右边共有n 项且分母分别为n+1,n+2,...,2n,分子为1,即为1n+1+1n+2+ (12).所以第n 个等式可为1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n+1+1n+2+ (12). 9.(2014课标Ⅰ,理14,文14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 . 答案 A解析由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B 城市,乙没有去过C 城市,因此三人去过的同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B 城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A. 10.(2014陕西理,14,5分)观察分析下表中的数据:多面体面数(F) 顶点数(V)棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E 所满足的等式是 . 答案 F+V-E=2解析观察表中数据,并计算F+V 分别为11,12,14,又其对应E 分别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2. 11.(2014北京文,14,5分)顾客请一位工艺师把A,B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:原料时间工序粗加工精加工原料A 9 15 原料B621则最短交货期为个工作日. 答案 42解析工序流程图如图所示:则最短交货期为6+21+15=42个工作日.12.(2014安徽文,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;…,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= .答案14解析由BC=2√2得AB=a 1=2⇒AA 1=a 2=√2⇒A 1A 2=a 3=√2×√22=1,由此可归纳出{a n }是以a 1=2为首项,√22为公比的等比数列,因此a 7=a 1×q 6=2×(√22)6=14.13.(2013安徽理,14,5分)如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n =a n .若a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的通项公式是 .答案 a n =√3n -2解析记△OA 1B 1的面积为S,则△OA 2B 2的面积为4S. 从而四边形A n B n B n+1A n+1的面积均为3S. 即得△OA n B n 的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S.∴a n 2=3n-2,即a n =√3n -2.评析 △OA n B n 的面积构成一个等差数列,而△OA n B n 与△OA 1B 1的面积比为a n 2,从而得到{a n}的通项公式.本题综合考查了平面几何、数列的知识.考点二直接证明与间接证明1.(2014山东理,4,5分)用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x 3+ax+b=0没有实根 B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A 因为“方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x 3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x 3+ax+b=0没有实根.2.(2015北京理,20,13分)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解析 (1)6,12,24.(2)证明:因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数. 由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36, 所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数. 类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数.从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数. 综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. (3)由a 1≤36,a n ={2a n -1,a n -1≤18,2a n -1-36,a n -1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1-36,a 1>18,所以a 2是2的倍数,从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}, 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 不是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}, 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.考点三数学归纳法1.(2017浙江,22,15分)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n+1+ln(1+x n+1)(n ∈N *). 证明:当n ∈N *时,(1)0<x n+1<x n ; (2)2x n+1-x n ≤x n x n+12; (3)12n -1≤x n ≤12n -2.证明本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性基础知识,不等式及其应用,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力. (1)用数学归纳法证明:x n >0. 当n=1时,x 1=1>0.假设n=k 时,x k >0,那么n=k+1时,若x k+1≤0,则0<x k =x k+1+ln(1+x k+1)≤0,矛盾,故x k+1>0. 因此x n >0(n ∈N *).所以x n =x n+1+ln(1+x n+1)>x n+1.因此0<x n+1<x n (n ∈N *).(2)由x n =x n+1+ln(1+x n+1)得,x n x n+1-4x n+1+2x n =x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1).记函数f(x)=x 2-2x+(x+2)ln(1+x)(x ≥0),f '(x)=2x 2+xx+1+ln(1+x)>0(x>0). 函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1)=f(x n+1)≥0,故2x n+1-x n ≤x n x n+12(n ∈N *). (3)因为x n =x n+1+ln(1+x n+1)≤x n+1+x n+1=2x n+1,所以x n ≥12n -1.由x n x n+12≥2x n+1-x n 得1x n+1-12≥2(1x n -12)>0, 所以1x n -12≥2(1x n -1-12)≥…≥2n-1(1x 1-12)=2n-2, 故x n ≤12n -2.综上,12n -1≤x n ≤12n -2(n ∈N*).方法总结 1.证明数列单调性的方法.①差比法:作差a n+1-a n ,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断其符号. ②商比法:作商a n+1a n ,判断an+1a n与1的大小,同时注意a n 的正负. ③数学归纳法.④反证法:例如求证:n ∈N *,a n+1<a n ,可反设存在k ∈N *,有a k+1≥a k ,从而导出矛盾. 2.证明数列的有界性的方法.①构造法:构造函数,求函数的值域,得数列有界. ②反证法. ③数学归纳法. 3.数列放缩的方法.①裂项法:利用不等式性质,把数列的第k 项分裂成某数列的相邻两项差的形式,再求和,达到放缩的目的. ②累加法:先把a n+1-a n 进行放缩.例:a n+1-a n ≤q n,则有n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)≤a 1+q+q 2+…+q n-1.③累乘法:先把a n+1a n 进行放缩.例:an+1a n≤q(q>0), 则有n ≥2时,a n =a 1·a2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1≤a 1q n-1(其中a 1>0).④放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列{a n}放缩成等比数列{b n},求和后,再进行适当放缩.2.(2014重庆理,22,12分)设a1=1,a n+1=√a n2-2a n+2+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{a n}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a2=2,a3=√2+1.由题设条件知(a n+1-1)2=(a n-1)2+1.从而{(a n-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(a n-1)2=n-1,即a n=√n-1+1(n∈N*).解法二:a2=2,a3=√2+1,可写为a1=√1-1+1,a2=√2-1+1,a3=√3-1+1.因此猜想a n=√n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即a k=√k-1+1,则a k+1=√(a k-1)2+1+1=√(k-1)+1+1=√(k+1)-1+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以a n=√n-1+1(n∈N*).(2)解法一:设f(x)=√(x-1)2+1-1,则a n+1=f(a n).令c=f(c),即c=√(c-1)2+1-1,解得c=14.下用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=√2-1,所以a2<14<a3<1,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1.故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=14.解法二:设f(x)=√(x -1)2+1-1,则a n+1=f(a n ). 先证:0≤a n ≤1(n ∈N *).①当n=1时,结论明显成立. 假设n=k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数, 从而0=f(1)≤f(a k )≤f(0)=√2-1<1.即0≤a k+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立. 再证:a 2n <a 2n+1(n ∈N *).②当n=1时,a 2=f(1)=0,a 3=f(a 2)=f(0)=√2-1,有a 2<a 3,即n=1时②成立. 假设n=k 时,结论成立,即a 2k <a 2k+1. 由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k+1=f(a 2k )>f(a 2k+1)=a 2k+2, a 2(k+1)=f(a 2k+1)<f(a 2k+2)=a 2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <√a 2n 2-2a 2n +2-1, 即(a 2n +1)2<a 2n 2-2a 2n +2,因此a 2n <14.③又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a 2n )>f(a 2n+1), 即a 2n+1>a 2n+2,所以a 2n+1>√a 2n+12-2a 2n+1+2-1,解得a 2n+1>14.④综上,由②、③、④知存在c=14使a 2n <c<a 2n+1对一切n ∈N *成立.评析本题考查由递推公式求数列的通项公式,数学归纳法,等差数列等内容.用函数的观点解决数列问题是处理本题的关键.。

2017年直击新课标高考数学(文科)1.第一章集合简易逻辑与推理证明

第一章集合简易逻辑与推理证明一、2017年最新考试大纲1。

集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系。

②能用自然语言、图形语言、几何语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。

(2) 集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中,了解全集与空集的含义。

(3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会要求给定及子集的补集.③能使用韦恩（Venn)图表达集合的关系与运算。

2．常用逻辑用语（1）命题及其关系①理解命题的概念。

②了解“若p，则q"形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

(2）简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且"、“非"的含义。

(3）全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义。

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.二、真题汇编1。

【2016全国卷1文1】设集合A={1，3,5，7}，B={x｜2≤x≤5},则A∩B=（）A．｛1，3} B．{3，5｝C．{5，7}D．{1，7｝2。

【2016全国卷2文1】已知集合A=｛1，2,3｝，B={x｜x2＜9｝,则A∩B=（)A．｛﹣2，﹣1，0，1，2，3｝B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1,2，3｝D．{1,2｝3。

【2016全国卷3文1】设集合A=｛0，2，4，6，8，10}，B={4,8｝,则∁A B=（）A．{4，8｝B．{0,2，6｝C．｛0，2，6，10｝D．｛0，2,4，6,8，10}4。

【2015新课标1文1】已知集合A={x|x=3n+2，n∈N｝，B=｛6，8，10，12,14｝,则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．25。

【2015新课标2文1】已知集合A={x｜﹣1＜x＜2}，B={x｜0＜x ＜3}，则AUB=（）A．(﹣1，3）B．(﹣1,0）C．（0，2) D．（2，3）6.【2014新课标1文1】已知集合M={x｜﹣1＜x＜3},N={x|﹣2＜x ＜1},则M∩N=（）A．（﹣2,1) B．(﹣1,1）C．(1,3）D．（﹣2，3）7。

2017年全国卷高考数学复习专题——推理与证明

2017年全国卷高考数学复习专题——推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2014北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人答案 B2.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案 A3.(2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.答案F+V-E=24.(2014北京,20,13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T 1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)解析(1)T1(P)=2+5=7,T 2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d 时,T 2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T 2(P)≤T 2(P'). 所以无论m=a 还是m=d,T 2(P)≤T 2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T 5(P)值最小,T 1(P)=10,T 2(P)=26,T 3(P)=42,T 4(P)=50,T 5(P)=52. 考点二直接证明与间接证明5.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程x 3+ax+b=0没有实根B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A考点三数学归纳法6.(2014安徽,21,13分)设实数c>0,整数p>1,n∈N *. (1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p >1+px; (2)数列{a n }满足a 1>c 1,a n+1=p -1p a n +cpa n 1-p.证明:a n >a n+1>c 1. 解析 (1)证明:用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x 2>1+2x,原不等式成立. ②假设p=k(k≥2,k∈N *)时,不等式(1+x)k >1+kx 成立.当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k >(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x. 所以p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p >1+px 均成立. (2)证法一:先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n=1时,由题设a 1>c 1p 知a n >c 1p成立. ②假设n=k(k≥1,k∈N *)时,不等式a k >c 1成立. 由a n+1=p -1pa n +c p a n 1-p易知a n >0,n∈N *.当n=k+1时,a k +1a k=p -1p+c p a k -p=1+1p ca kp -1 .由a k >c 1>0得-1<-1p <1p ca kp -1 <0.由(1)中的结论得a k +1a kp = 1+1p ca kp -1 p>1+p·1p c a kp -1 =ca kp .因此a k +1p>c,即a k+1>c 1.所以n=k+1时,不等式an >c1p也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式an >c1p均成立.再由a n+1a n =1+1pca n p-1可得a n+1a n<1,即an+1<an.综上所述,an >an+1>c1,n∈N*.证法二:设f(x)=p-1p x+cpx1-p,x≥c1p,则x p≥c,并且f '(x)=p-1p +cp(1-p)x-p=p-1p1-cx>0,x>c1p.由此可得, f(x)在[c 1p,+∞)上单调递增.因而,当x>c 1p时, f(x)>f(c1p)=c1p,①当n=1时,由a1>c1>0,即a1p>c可知a 2=p-1pa1+cpa11-p=a11+1pca1p-1<a1,并且a2=f(a1)>c1p,从而a1>a2>c1p.故当n=1时,不等式an >an+1>c1成立.②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak >ak+1>c1p成立,则当n=k+1时, f(ak )>f(ak+1)>f(c1p),即有a k+1>a k+2>c1p.所以n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n,不等式an >an+1>c1均成立.7.(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf '(x),x≥0,其中f '(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.解析由题设得,g(x)=x1+x(x≥0).(1)由已知,g1(x)=x1+x,g2(x)=g(g1(x))=x1+x1+x=x1+2x,g 3(x)=x1+3x,…,可得gn(x)=x1+nx.下面用数学归纳法证明.①当n=1时,g1(x)=x1+x,结论成立.②假设n=k 时结论成立,即g k (x)=x1+kx . 那么,当n=k+1时, g k+1(x)=g(g k (x))=g k (x )1+gk(x )=x 1+kx1+x =x1+(k +1)x ,即结论成立.由①②可知,结论对n∈N +成立.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥ax1+x 恒成立. 设φ(x)=ln(1+x)-ax1+x (x≥0), 即φ'(x)=11+x -a (1+x )2=x +1-a (1+x )2,当a≤1时,φ'(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立), ∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0, ∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a≤1时,ln(1+x)≥ax1+x 恒成立(仅当x=0时等号成立). 当a>1时,对x∈(0,a -1]有φ'(x)<0, ∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减, ∴φ(a-1)<φ(0)=0.即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥ax 1+x不恒成立,综上可知,a 的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=12+23+…+nn +1, n-f(n)=n-ln(n+1),比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n -ln(n+1). 证明如下:证法一:上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln(n+1), 在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>x 1+x ,x>0. 令x=1n ,n∈N +,则1n +1<lnn +1n.下面用数学归纳法证明. ①当n=1时,12<ln 2,结论成立.②假设当n=k 时结论成立,即12+13+…+1k +1<ln(k+1). 那么,当n=k+1时,1 2+13+…+1k+1+1k+2<ln(k+1)+1k+2<ln(k+1)+ln k+2k+1=ln(k+2),即结论成立.由①②可知,结论对n∈N+成立.证法二:上述不等式等价于12+13+…+1n+1<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>x1+x,x>0.令x=1n ,n∈N+,则ln n+1n>1n+1.故有ln 2-ln 1>12,ln 3-ln 2>13,……ln(n+1)-ln n>1n+1,上述各式相加可得ln(n+1)>12+13+…+1n+1.结论得证.证法三:如图,nxx+1dx是由曲线y=xx+1,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而1 2+23+…+nn+1是图中所示各矩形的面积和,∴12+23+…+nn+1>nxx+1dx=n1-1x+1dx=n-ln(n+1),结论得证.8.(2014江苏,23,10分)已知函数f0(x)=sin xx(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1π2+π2f2π2的值;(2)证明:对任意的n∈N*,等式 nfn-1π4+π4f nπ4=22都成立.解析(1)由已知,得f1(x)=f '(x)=sin xx'=cos xx-sin xx2,于是f2(x)=f' 1(x)=cos xx'-sin xx2'=-sin xx-2cos xx2+2sin xx3,所以f1π2=-4π2, f2π2=-2π+16π3.故2f1π2+π2f2π2=-1.(2)证明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f(x)+xf '(x)=cosx,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin x+π2,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin x+3π2,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin x+nπ2对所有的n∈N*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin x+kπ2.因为[kfk-1(x)+xfk(x)]'=kf 'k-1(x)+fk(x)+xf 'k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),sin x+kπ2'=cos x+kπ2· x+kπ2'=sin x+(k+1)π2,所以(k+1)fk (x)+xfk+1(x)=sin x+(k+1)π2.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin x+nπ2对所有的n∈N*都成立.令x=π4,可得nfn-1π4+π4fnπ4=sinπ4+nπ2(n∈N*).所以 nfn-1π4+π4f nπ4=22(n∈N*).9.(2014重庆,22,12分)设a1=1,an+1=a n2-2a n+2+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n <c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a2=2,a3=2+1.再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而{(an-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(an -1)2=n-1,即an=n-1+1(n∈N*).解法二:a2=2,a3=2+1,可写为a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k 时结论成立,即a k = k -1+1,则a k+1= (a k -1)2+1+1= (k -1)+1+1= (k +1)-1+1. 这就是说,当n=k+1时结论成立. 所以a n = n -1+1(n∈N *).(2)解法一:设f(x)= (x -1)2+1-1,则a n+1=f(a n ). 令c=f(c),即c= (c -1)2+1-1,解得c=14. 下用数学归纳法证明加强命题a 2n <c<a 2n+1<1.当n=1时,a 2=f(1)=0,a 3=f(0)= 2-1,所以a 2<14<a 3<1,结论成立. 假设n=k 时结论成立,即a 2k <c<a 2k+1<1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a 2k+1)>f(1)=a 2,即1>c>a 2k+2>a 2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a 2k+2)<f(a 2)=a 3<1. 故c<a 2k+3<1,因此a 2(k+1)<c<a 2(k+1)+1<1. 这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c 存在,其中一个值为c=14.解法二:设f(x)= (x -1)2+1-1,则a n+1=f(a n ). 先证:0≤a n ≤1(n∈N *).① 当n=1时,结论明显成立.假设n=k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数, 从而0=f(1)≤f(a k )≤f(0)= 2-1<1.即0≤a k+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立. 再证:a 2n <a 2n+1(n∈N *).②当n=1时,a 2=f(1)=0,a 3=f(a 2)=f(0)= -1,有a 2<a 3,即n=1时②成立. 假设n=k 时,结论成立,即a 2k <a 2k+1. 由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k+1=f(a 2k )>f(a 2k+1)=a 2k+2, a 2(k+1)=f(a 2k+1)<f(a 2k+2)=a 2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n∈N *成立.由②得a2n<a2n2-2a2n+2-1,即(a2n +1)2<a2n2-2a2n+2,因此a2n <14.③又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a2n )>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2,所以a2n+1>a2n+12-2a2n+1+2-1,解得a2n+1>14.④综上,由②、③、④知存在c=14使a2n<c<a2n+1对一切n∈N*成立.。

2017年高考第二轮复习(文数)专题十七推理与证明

2017年高考第二轮复习(文数)专题十七推理与证明1．(2012·江西，5，易)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．921．B 观察可得，不同整数解的个数可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，所以不同整数解的个数为4＋(20－1)×4＝80.2．(2013·浙江，10，中)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎨⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥22．C 由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab ≥4知，正数a ，b 中至少有一个大于等于2.由c ＋d ≤4知，c ，d 中至少有一个小于等于2，故选C.3．(2012·大纲全国，12，中)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．33．B 由反射角等于入射角，利用三角形的相似比，准确画图如图，碰撞的顺序是E →F →G →R →M →N →E .故选B.4．(2015·浙江，8，中)设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t .( ) A ．若t 确定，则b 2唯一确定 B ．若t 确定，则a 2＋2a 唯一确定 C ．若t 确定，则sin b2唯一确定 D ．若t 确定，则a 2＋a 唯一确定4．B 若t 确定，则t ＝|sin b |，b 有无数个解，则b 2亦有无数解，A 错； t ＝|a ＋1|，t 确定，则t 2确定，(a ＋1)2确定，即a 2＋2a ＋1确定．∴a 2＋2a 确定，B 正确；t ＝|sin b |，t 确定时，b 有无数个解，则b 2亦有无数个解．∴sin b2不唯一，C 错．由选项B 可知D 错．5．(2016·山东，12，易)观察下列等式： ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝ 43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝ 43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________．5．【解析】由题意知，各个等式中的第一项中角的规律为π2×1＋1，π2×2＋1，π2×3＋1，…，对应的等式的右边分别为43乘两个连续的正整数，第一个因子分别为1，2，3，….故答案为43n (n ＋1)．【答案】 43n (n ＋1)6．(2016·课标Ⅱ，16，难)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．6．【解析】丙卡片上的数字之和不是5，故丙不能拿2和3卡片．若甲拿2和3卡片，由于甲与乙卡片上相同的数字不是2，故乙只能拿1和3卡片，此时丙只能拿1和2卡片，乙与丙卡片上相同的数字是1，与题意矛盾．若乙拿2和3卡片，由于甲与乙卡片上相同数字不是2，故甲只能拿1和3卡片，此时丙拿1和2卡片，符合要求．【答案】 1和37．(2016·四川，15，难)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．7．【解析】 ①不正确．若A (x ，y )，则A 的伴随点是A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，设A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2的伴随点是P (m ，n )，∴m ＝－x x 2＋y 2x 2＋y 2（x 2＋y 2）2＝－x ≠x ，∴A ′的伴随点不是A .②若A (x ，y )在单位圆上，则x 2＋y 2＝1，则A 的伴随点是A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，即A ′(y ，－x )，而y 2＋x 2＝1，∴A ′在单位圆上，②正确．③若A (x ，y )，则其伴随点为A ′⎝ ⎛yx 2＋y 2，⎭⎪⎫－x x 2＋y 2，A 关于x 轴的对称点B (x ，－y )，则其伴随点为B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，显然A ′，B ′关于y 轴对称，③正确．④使用特殊值法．例如y ＝1这条直线，则A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)，而这三个点的伴随点分别是A ′(1，0)，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，而这三个点不在同一条直线上．下面给出严格证明：设点P (x ，y )在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，P 点的伴随点为P ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y x 2＋y 2，y 0＝－x x 2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 0x 20＋y 20，y ＝x 0x 20＋y 20，代入直线方程，即A ·－y 0x 20＋y 20＋B ·x 0x 20＋y 20＋C ＝0，化简得－Ay0＋Bx0＋C(x20＋y20)＝0.当C＝0时，C(x20＋y20)是一个常数，P′的轨迹是一条直线；当C≠0时，C(x20＋y20)不是一个常数，P′的轨迹不是一条直线．所以，共线点的“伴随点”不一定共线．故④错误．【答案】②③8．(2013·陕西，13，易)观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，……照此规律，第n个等式可为________________________．8．【解析】从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．【答案】(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)9．(2014·课标Ⅰ，14，中)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．9．【解析】由丙可知，乙至少去过一个城市；由甲可知，甲去过A，C且比乙多，且乙没有去过C城市，故乙只去过A城市．【答案】A10．(2014·北京，14，中)顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：则最短交货期为10．【解析】 ①若先加工原料A ，则交货期为 9＋15＋21＝45(个)工作日；②若先加工原料B ，则交货期为6＋21＋15＝42(个)工作日．所以最短交货期为42个工作日．【答案】 4211．(2012·湖北，17，难)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测： (1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________(用k 表示)．11．【解析】 (1)由图可知a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)(n ∈N *)．所以a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n . 累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （1＋n ）2.当n ＝4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…时， a n 能被5整除，即b 2＝a 5，b 4＝a 10，b 6＝a 15，b 8＝a 20，…，所以b 2k ＝a 5k (k ∈N *)．所以b 2 012＝a 5×1 006＝a 5 030.(2)由(1)可知b 2k －1＝a 5k －1＝12×5k (5k －1)＝5k （5k －1）2.【答案】 (1)5 030 (2)5k （5k －1）212．(2012·福建，20，12分，中)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数； ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 12．解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明：方法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋ sin 30° sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 方法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－ 12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.类比推理是高考考查的知识点之一，近几年来，高考中直接考查的题目较少，一般以填空题、选择题的形式出现，难度中等，分值为5分．1(1)(2016·山东菏泽模拟，14)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N )，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N )，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N )，则可以得到b m ＋n ＝________________．(2)(2016·山东临沂质检，13)如图所示，若从点O 所作的两条射线OM ，ON 上分别有点M 1，M 2与点N 1，N 2，则三角形面积之比S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP ，OQ 和OR 上分别有点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，则类似的结论为________________．【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，则等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中b n ＝b 1q n －1. ∵a m ＋n ＝nb －man －m，∴b m ＋n ＝n －m d n c m . (2)本题是把二维的面积关系，推广到三维的体积关系： 111222O PQR O P Q R V V --＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2.【答案】 (1)n －m d n c m (2) 111222O PQ R O P Q R V V --＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2,(1)分析等差数列、等比数列的区别→分析原命题特征→得到新命题 (2)弄明白题中所给平面上的结论→把此原理应用于空间→ 类比出相应空间中的结论类比推理的应用方法及步骤进行类比推理时应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．类比推理常见的情形有：平面与空间类比，低维与高维类比，等差数列与等比数列类比，数的运算与向量运算类比，实数集的性质与复数集的性质类比，圆锥曲线间的类比等．类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．归纳推理是高考重点考查的内容之一，主要考查根据已知的关系归纳出一般性的结论．高考中一般以填空题的形式出现，难度中等，分值为5分．在复习中，要掌握归纳推理的特点，运用归纳推理的思维过程进行推理．2(1)(2015·陕西，16)观察下列等式：1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为________________．(2)(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N(n，3)＝12n2＋12n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝32n2－12n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．【解析】(1)由前3个式子可知，第i行所得的结果一定是i个数之和且第一个数的分母为i＋1，∴第n个等式应写为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.(2)已知各式可化为如下形式：N(n，3)＝12n2＋12n＝3－22n2＋4－32n，N(n，4)＝n2＝4－22n2＋4－42n，N(n，5)＝32n2－12n＝5－22n2＋4－52n，N(n，6)＝2n2－n＝6－22n2＋4－62n，由归纳推理可得N(n，k)＝k－22n2＋4－k2n，故N(10，24)＝24－22×102＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.【答案】(1)1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(2)1 000,题(1)通过观察、联想、对比，再进行归纳．观察已知等式可知，第n个等式左边共有2n项，其中奇数项为正，偶数项为负，等式右边共有n项，与左边的后n项相同且均为正，可得答案．题(2)的关键是观察已知式子的规律并改写形式，归纳可得N(n，k)＝k－22n2＋4k2n ，把n ＝10，k ＝24代入可得．常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．(3)解决数的归纳问题关键是明确等式两边对应项的各自特点及各行、各列相邻数或相邻项之间的关系．由归纳推理所得的有限项所表示的规律不一定适合于一般项，若要验证其正确性，需进行具体计算或严格证明．演绎推理是高考重点考查的内容之一，推理的基本模式和思维过程贯穿于数学解题过程的始终．高考中选择题、填空题、解答题均会涉及．在复习中，要了解演绎推理的特点，掌握演绎推理的基本模式——三段论的思维过程．3(2015·福建三明调研，20，12分)数列{an }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n .(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(2)由(1)可知，S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n＋1＝4(n＋1)·S n－1n－1＝4·n－1＋2n－1·S n－1＝4a n(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有S n＋1＝4a n.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论及题中的已知条件)演绎推理还可以定义为结论在普遍性上不大于前提的推理，或结论在确定性上同前提一样的推理．应用演绎推理的过程中一定要注意大小前提都正确，此前提下得到的结论才正确．(2016·山东临沂质检，2)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误C因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．,演绎推理的应用方法(1)在应用三段论推理来证明问题时，首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．(2)用三段论证明的基本模式是：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．注意：在证明的过程中，往往大前提不写出来．1．(2016·山东枣庄一模，9)已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 016(x)＝()A．sin x＋cos x B．－sin x－cos xC．sin x－cos x D．－sin x＋cos x1．C[考向2]f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，f6(x)＝f5′(x)＝cos x－sin x，…，可知f n(x)是以4为周期的函数，∵2 016＝504×4，∴f2 016(x)＝f4(x)＝sin x－cos x．故选C.2．(2015·河南焦作二模，10)给出下列类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则实数a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．32．C[考向1]①在复数集C中，若两个复数满足a－b＝0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等，故①正确；②在有理数集Q中，若a＋b2＝c＋d2，则(a－c)＋(b－d)2＝0，易得a＝c，b＝d.故②正确；③若a，b∈C，当a ＝1＋i，b＝i时，a－b＝1>0，但a，b是两个虚数，不能比较大小，故③错误．故3个结论中，有两个是正确的．故选C.3．(2016·河北衡水中学一模，5)某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件可以判断偷珠宝的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁3．A[考向3]假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A.4．(2016·河北石家庄二模，10)已知数列{a n}：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a99＋a100的值为()A.3724B.76C.1115D.7154．A [考向2]将数列进行重新分组为⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫21，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫31，22，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫41，32，23，14，…，则a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724.故选A.5．(2016·湖南长沙二模，6)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.127D.1645．C [考向1]从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切球与外接球球心，则AE ＝33a ，DE ＝63a .设OA ＝R ，OE ＝r ，则OA 2＝AE 2＋OE 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2，∴R ＝64a ，r ＝612a ，∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1，故正四面体P -ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2之比等于127，故选C.6．(2016·河南洛阳一模，14)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，则m的值为________．6．[考向2]【解析】根据23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9…中若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首个数为m2－m＋1.∵m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，∴m2－m＋1＝73，解得m＝9.【答案】97．(2016·河南三市调研，16)如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，…，第n群，…，第n群恰好有n 个数，则第n群中n个数的和是________．12 346 58121071624201493248402818117．[考向2]【解析】观察可得每群的第1个数1，2，4，8，16，…构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以第n群的第1个数是2n－1，第n群的第2个数是3×2n－2，…，第n群的第n－1个数是(2n－3)×21，第n群的第n个数是(2n －1)×20，所以第n群的所有数之和为2n－1＋3×2n－2＋…＋(2n－3)×21＋(2n－1)×20，根据错位相减法求其和为3×2n－2n－3.【答案】3×2n－2n－38.(2016·广东湛江一模，13)将集合{2s＋2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的三角形数表，将数表中位于第i行第j列的数记为b ij(i≥j＞0)，则b43＝________．35 69 10 12 … … … …8．[考向2]【解析】由三角形数表可知： b 11＝3＝20＋21， b 21＝5＝20＋22， b 22＝6＝2＋22， b 31＝9＝20＋23， b 32＝10＝21＋23， b 33＝12＝22＋23， ……按此规律可知：b 43＝22＋24＝20. 【答案】 209．(2016·湖北黄冈二模，20，12分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c .若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证： (1)a >0且－2<ba <－1；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根． 9．[考向3]证明：(1)∵f (0)>0，f (1)>0， ∴c >0，3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0，再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0， ∴－2<ba <－1.(2)方法一：∵抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a，3ac －b 23a ，－2<b a <－1，∴13<－b 3a <23. 又∵f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ＝－a 2＋c 2－ac 3a <0，∴方程f (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 3a 与⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根．方法二：∵f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝－14a <0， ∴抛物线与x 轴的两个交点落在区间(0，1)内，即方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根．方法三：∵Δ＝4b 2－12ac ＝4(a 2＋c 2－ac )>0， ∴方程f (x )＝0有两个实根．设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2b 3a >0，x 1x 2＝c3a >0，故两根为正．又∵(x 1－1)＋(x 2－1)＝－2b3a －2<0， (x 1－1)(x 2－1)＝3a ＋2b ＋c3a>0， ∴两根均小于1，命题得证．1．(2014·山东，4，易)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根1．A “方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．2．(2016·浙江，20，15分，中)设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1]，证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34＜f (x )≤32.2．证明：(1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，所以f (x )>34. 综上，34<f (x )≤32.3．(2014·辽宁，21，12分，中)已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x 1＋sin x ＋2xπ－1.证明：(1)存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1>π.3．证明：(1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x >0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数．又f (0)＝－π－2<0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π22－4>0，∴存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2x π－1.令t ＝π－x ，记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t－2πt ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）.由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )<0，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，u ′(t )>0.在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫x 0，π2时，u (t )<0， ∴u (t )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1，u (x 0)<0知存在唯一t 0∈(0，x 0)使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0，∴存在唯一x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0.∵x 1＝π－t 0，t 0<x 0，∴x 0＋x 1>π.4．(2013·湖南，21，13分，难)已知函数f (x )＝1－x 1＋x 2e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2<0. 4．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2e x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－2x －1（1＋x 2）2＋1－x 1＋x 2e x ＝－x [（x －1）2＋2]（1＋x 2）2e x .当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x <1时，由于1－x 1＋x 2>0，e x>0，故f (x )>0；同理，当x >1时，f (x )<0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0，1)．下面证明：∀x ∈(0，1)，f (x )<f (－x )，即证1－x 1＋x 2e x <1＋x 1＋x 2e －x .此不等式等价于(1－x )e x －1＋xe x<0. 令g (x )＝(1－x )e x －1＋xe x ，则g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)．当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，从而g (x )<g (0)＝0. 即(1－x )e x －1＋xe x <0.所以∀x ∈(0，1)，f (x )<f (－x )．而x 2∈(0，1)，所以f (x 2)<f (－x 2)，从而f (x 1)<f (－x 2)．由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1<－x 2，即x 1＋x 2<0.5．(2013·江苏，19，16分，难)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S n k ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 5．证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d .(1)由c ＝0，得b n ＝S nn ＝a ＋n －12d . 又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ， D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有 An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎨⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0.①②③由②③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0. 若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0. 又因为cd 1＝0，所以c ＝0.6．(2013·湖北，20，13分，难)如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1，同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3，过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1-A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． (1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S .在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1-A 2B 2C 2的体积V )时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算．已知V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．6．解：(1)证明：依题意A 1A 2⊥平面ABC ，B 1B 2⊥平面ABC ，C 1C 2⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2.又A 1A 2＝d 1，B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1<d 2<d 3，所以四边形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1均是梯形．由AA 2∥平面MEFN ，AA 2⊂平面AA 2B 2B ，且平面AA 2B 2B ∩平面MEFN ＝ME ，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又点M ，N 分别为AB ，AC 的中点，则点D ，E ，F ，G 分别为A 1B 1，A 2B 2，A 2C 2，A 1C 1的中点，即DE ，FG 分别为梯形A 1A 2B 2B 1，A 1A 2C 2C 1的中位线，因此 DE ＝12(A 1A 2＋B 1B 2)＝12(d 1＋d 2)， FG ＝12(A 1A 2＋C 1C 2)＝12(d 1＋d 3)，而d 1<d 2<d 3，故DE <FG ，所以中截面DEFG 是梯形． (2)V 估<V .证明如下：由A 1A 2⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得A 1A 2⊥MN . 而EM ∥A 1A 2，所以EM ⊥MN ，同理可得FN ⊥MN .由MN 是△ABC 的中位线，可得MN ＝12BC ＝12a ，即为梯形DEFG 的高，因此S 中＝S 梯形DEFG ＝12⎝ ⎛d 1＋d 22＋⎭⎪⎫d 1＋d 32·a 2＝a 8(2d 1＋d 2＋d 3)，即V 估＝S 中·h ＝ah8(2d 1＋d 2＋d 3)．又S ＝12ah ，所以V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ＝ah6(d 1＋d 2＋d 3)．于是V －V 估＝ah 6(d 1＋d 2＋d 3)－ah8(2d 1＋d 2＋d 3) ＝ah24[(d 2－d 1)＋(d 3－d 1)]．由d 1<d 2<d 3，得d 2－d 1>0，d 3－d 1>0，即V －V 估>0，故V 估<V .分析法在高考中一般不会单独考查，但是分析法的解题思路在高考中是常用的，选择题、填空题、解答题都有可能出现．在平时复习时，要熟悉分析法的特点及书写形式．1(2013·江苏，21，10分)已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【证明】要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立，只需证2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0，即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0，从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立， ∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .1.(2015·江苏南通模拟，21，10分)已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2. 1．证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋ 2.∵a >0，故只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即证a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即证a 2＋1a 2≥2，它显然成立， ∴原不等式成立．2．(2016·山东临沂一模，16，12分)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.2．证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得 b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．于是原等式成立．,用分析法证明不等式时，一定要按照分析法的格式书写．利用分析法证明时应注意的问题(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．(2)应用分析法的关键是保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写．高考中，经常以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法的原理，结合具体问题考查学生解决问题的能力．在平时复习时，要灵活运用题目的已知条件及设问中所得到的结论，将分析法和综合法结合起来灵活运用．2(2013·北京，20，13分)给定数列a1，a2，…，a n，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为A i，后n－i项a i＋1，a i＋2，…，a n的最小值记为B i，d i＝A i－B i.(1)设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，…，d n－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，d n－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，a n－1是等差数列．【解析】(1)当i＝1时，A1＝3，B1＝1，故d1＝A1－B1＝2，同理可求得d2＝3，d3＝6.(2)证明：因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，…，a n是递增数列．因此，对i＝1，2，…，n－1，A i＝a i，B i＝a i＋1.于是对i＝1，2，…，n－1，d i＝A i－B i＝a i－a i＋1＝a1(1－q)q i－1.因此d i≠0且d i＋1d i＝q(i＝1，2，…，n－2)，即d1，d2，…，d n－1是等比数列．(3)证明：设d为d1，d2，…，d n－1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i≤B i＋1，d>0，所以A i＋1＝B i＋1＋d i＋1≥B i＋d i＋d>B i＋d i＝A i.又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列．因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)．又因为d 1＞0，B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i . 又d i ＋1－d i ＝d ，因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．思路点拨：(1)利用构造法，分别判断sin x 与22x ，sin x 与x 的大小关系；(2)利用比较法或构造函数，通过导数求解范围．,(1)d 1，d 2，d 3的值可根据所给定义进行求解；(2)需根据题意求出d n 的通项后利用定义证明；(3)利用等差数列的定义证明．(2013·辽宁，20，12分)(1)证明：当x ∈[0，1]时，22x ≤sin x ≤x ；(2)若不等式ax ＋x 2＋x32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：记F (x )＝sin x －22x ，则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，F ′(x )>0，F (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1时，F ′(x )<0，F (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，1上是减函数．又F (0)＝0，F (1)>0，所以当x ∈[0，1]时，F (x )≥0，即sin x ≥22x .记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0，1)时，H ′(x )＝cos x －1<0，所以H (x )在[0，1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x .综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0，1]． (2)方法一：因为当x ∈[0，1]时， ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x2≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫24x 2＝(a ＋2)x ，所以，当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立．下面证明，当a >－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立．因为当x ∈[0，1]时， ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x2≥(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －23（a ＋2），所以存在x 0∈(0，1)⎝ ⎛如x 0取a ＋23和12⎭⎪⎫ 中的较小值满足ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4>0，即当a >－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤0对x ∈[0，1]不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．方法二：记f (x )＝ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)·cos x －4，则f ′(x )＝a ＋2x ＋3x 22＋2cos x －2(x ＋2)·sin x .记G (x )＝f ′(x )，则G ′(x )＝2＋3x －4sin x －2(x ＋2)cos x .当x ∈(0，1)时，cos x >12，因此G ′(x )<2＋3x －4×22x －(x ＋2)＝(2－22)x <0. 于是f ′(x )在[0，1]上是减函数，因此，当x ∈[0，1]时，f ′(x )<f ′(0)＝a ＋2，故当a ≤－2时，f ′(x )<0，从而f (x )在[0，1]上是减函数，所以f (x )≤f (0)＝0，即当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立．下面证明，当a >－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立．由于f ′(x )在[0，1]上是减函数，且f ′(0)＝a ＋2>0，f ′(1)＝a ＋72＋2cos 1－6sin 1，当a ≥6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)≥0，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，因此f (x )在[0，1]上是增函数，故f (1)>f (0)＝0；当－2<a <6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)<0.又f ′(0)>0，故存在x 0∈(0，1)使f ′(x 0)＝0，则当0<x <x 0时，f ′(x )>f ′(x 0)＝0，所以f (x )在[0，x 0]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f (x )>f (0)＝0.所以当a >－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．综合法证题的思路综合法与分析法综合应用的注意点(1)综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与结合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写，这一点在立体几何中应用最为明显．同时，在数列、三角函数、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题．(2)对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证．反证法是间接证明数学问题的一种方法，是高考考查的重点内容之一，在试题中一般是以选择题或解答题(其中的一问)的形式出现，难度为中高档．3(2013·陕西，17，12分)设{a}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．【解析】(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1. ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．解题(1)时一定要对等比数列的公比能否等于1进行讨论；解题(2)时要注意等比数列首项a 1≠0.(2013·北京，19，14分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，则AC 与OB 相互垂直平分．由于O (0，0)，B (0，1)，所以设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，则t ＝±3，故|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形，因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2， y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k ，因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ＝－14≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．,用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立；(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾；(3)否定反设，得出原命题结论成立．常见词的否定词使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：1．(2015·山东烟台一模，6)用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )。

系统集成2017高考数学理一轮总复习教案：第十四章推理与证明 Word版含解析

第十四章推理与证明高考导航考纲要求备考策略1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的基本模式：“三段论”；能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法；了解分析法与综合法的思考过程、特点.4.了解反证法的思考过程、特点.5.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.推理与证明是数学的基本思维过程，高考中一般以选择或填空的形式考查归纳推理和类比推理，有时也以解答题的形式考查演绎推理、反证法、数学归纳法等.复习时采用以下应对策略：1.归纳和类比是两种重要的合情推理模式，故在复习中，以掌握基础知识、基本方法为出发点，切不可盲目加大难度；要夯实基础，努力完善自己的认知结构.2.演绎推理是数学中严格证明的工具.在完成详细的证明之前，先要推测证明的思路.复习时要站在数学思想方法的高度，对多年来所学习的数学知识和数学方法做较为系统的梳理和提升，用推理方法培养自己解决问题的意识.3.养成良好思维习惯，要重视对合情推理的训练，加强合情推理与演绎推理的综合应用.4.结合立体几何证明深刻理解综合法的思考过程、特点和论证格式，通过不等式的证明领会分析法、数学归纳法的原理等.,知识网络14.1 合情推理与演绎推理考点诠释重点：利用归纳与类比进行推理，利用“三段论”进行推理与证明. 难点：利用归纳与类比推理来发现结论并形成猜想命题.典例精析题型一运用归纳推理发现一般性结论【例1】观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A.28B.76C.123D.199 【思路分析】先观察各等式的变化规律，再归纳出一般结论.【解析】C.记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7； f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现，f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.【方法归纳】归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的.观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.归纳推理的一些常见形式：一是具有共同特征型，二是递推型，三是循环型(周期性).【举一反三】1.将正整数1,2,3，……，n ，……，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i 行、第j 列的数可用(i ，j )表示，则2 016可表示为 (37,18) .【解析】因为第一行有a 1＝3个数，第二行有a 2＝6个数，所以每一行的数字个数组成以3为首项，3为公差的等差数列，所以第n 行有a n ＝3＋3(n －1)＝3n 个数，由求和公式可得前n 行共n (3＋3n )2个数，经检验可得第36行的第1个数为36×(3＋3×36)2＝1 998，按表中的规律可得第37行共3×37＝111个数，第一个为1999，所以2016为第37行的第18个数，故答案为(37,18).题型二运用类比推理拓展新知识【例2】(1)给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①若“a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②若“a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”.其中类比得到的结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论.【思路分析】(1)利用实数、复数、有理数的特点可作出判断；(2)三角形类比空间中的四面体(三棱锥)，三条边上的高类比四个面上的高，点到三边的距离类比点到平面的距离，根据此类比情况求解.【解析】(1)C.当a ，b ∈R 时，a －b ＝0得a ＝b ；当a ，b ∈C 时，a －b ＝0，即两个复数相等，故有a ＝b 成立，故①正确.对于②中，a ＋b i ＝c ＋d i 显然有实部相等，虚部也相等成立，当a ，b ∈Q 时，a ＋b 2＝c ＋d 2，则(a －c )＋(b －d )2＝0是有理数.故a －c ＝0同时b －d ＝0，即a ＝c ，b ＝d ，故②正确.③显然错误，因为两个复数如果不全是实数显然不能比较大小.(2)设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥ABCD 四个面上的高，P 为三棱锥ABCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d .于是我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.【方法归纳】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：【举一反三】2.椭圆中有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋y b 2＝0上.类比上述结论得到正确的结论：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线上.【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为双曲线上斜率为1的弦的两端点，则y 1－y 2x 1－x 2＝1，且x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减得：(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，即x 1＋x 2a 2－y 1＋y 2b2＝0，设A ，B 的中点为(x ，y )，则x a 2－yb2＝0.题型三运用“三段论”进行演绎推理【例3】(1)证明函数f (x )＝－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数； (2)当x ∈[－5，－2]时，f (x )是增函数还是减函数？【思路分析】(1)证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数f (x )满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1，x 2，且x 1< x 2，f (x 1)<f (x 2)，小前提是函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈(－∞，1]，结论是满足增函数定义；(2)关键是[－5，－2]与f (x )的增区间或减区间的关系.【解析】(1)证明：任取x 1，x 2∈(－∞，1]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)，因为x 1<x 2≤1，所以x 2＋x 1－2<0，因为f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，于是，根据“三段论”可知， f (x )＝－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数. (2)因为f (x )在(－∞，1]上是增函数，而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间，所以f (x )在[－5，－2]上是增函数.【方法归纳】演绎推理是推理证明的主要途径，而“三段论”是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.用“三段论”进行证明的关键是找出正确的大前提与小前提.【举一反三】3.已知函数f (x )＝ln ax －x －a x(a ≠0).(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！.【解析】(1)由题意f ′(x )＝x －ax 2. 当a ＞0时，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数， f min (x )＝f (a )＝ln a 2，无最大值.当a ＜0时，函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a )上是减函数，在(a,0)上是增函数， f min (x )＝f (a )＝ln a 2，无最大值.(2)证明：取a ＝1，由(1)知，f (x )＝ln x －x －1x ≥f (1)＝0，故1x ≥1－ln x ＝ln ex，取x ＝1,2,3，…，n ，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e ＋ln e 2＋…＋ln e n ＝ln e nn ！.体验高考(2015山东)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，＝.C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1【解析】4n－1.由题知C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－1＝4n－1.2n－1【举一反三】(2015福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*)，其中x k(k＝1,2，…，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1 101 101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5.【解析】设a，b，c，d∈{0,1}，在规定运算法则下满足：a b c d＝0，可分为下列三类情形：①4个1：1111＝0，②2个1：1100＝0，③0个1：0000＝0，因此，错码1 101 101通过校验方程组可得：x5x6x7＝1101≠0；xx3x6x7＝1001＝0；xx 1x3x5x7＝1011≠0.所以错码可能出现在x1，x4，x5上.若x5＝0，则检验方程组都成立，故k＝5.若x1为错码，或x4为错码，经检验均不合题意.综上分析，x5为错码，故k＝5.14.2 直接证明与间接证明考点诠释重点：能运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题.难点：根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题.典例精析题型一运用综合法证明【例1】证明不等式：x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz.【思路分析】所要证明的不等式左右两边是和的形式，利用不等式a2＋b2≥2ab，然后再求和即可.【证明】因为x 2＋y 2≥2xy ，y 2＋z 2≥2yz ，x 2＋z 2≥2xz ，所以2x 2＋2y 2＋2z 2≥2xy ＋2yz ＋2xz ，所以x 2＋y 2＋z 2≥xy ＋yz ＋xz .【方法归纳】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.【举一反三】1.已知x ＋y ＋z ＝1，求证：x 2＋y 2＋z 2≥13.【证明】因为x 2＋y 2≥2xy ，x 2＋z 2≥2xz ，y 2＋z 2≥2yz ，所以2x 2＋2y 2＋2z 2≥2xy ＋2xz ＋2yz .所以3x 2＋3y 2＋3z 2≥x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2xz ＋2yz .所以3(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝1.所以x 2＋y 2＋z 2≥13.题型二运用分析法证明【例2】已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 【思路分析】利用分析法.【证明】要证12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)＞tan x 1＋x 22，只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2＞tan x 1＋x 22，只需证明sin(x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2＞sin(x 1＋x 2)1＋cos(x 1＋x 2).由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π). 所以cos x 1cos x 2＞0，sin(x 1＋x 2)＞0，1＋cos(x 1＋x 2)＞0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)＞2cos x 1cos x 2，即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2＞2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)＜1. 由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2，知上式显然成立，因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立. 【方法归纳】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径；(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件. 【举一反三】2.设a ，b 为正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.【证明】要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立. 又因为a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立.只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立.而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立，由此命题得证. 题型三运用反证法证明【例3】已知a >0，b >0，a ＋b >2，求证：1＋a b ，b ＋1a 中至少有一个小于2.【思路分析】用反证法证明.【证明】假设1＋b a ，1＋a b 都不小于2，则1＋b a ≥2，1＋ab ≥2.因为a >0，b >0，所以1＋b ≥2a,1＋a ≥2b ，所以1＋1＋a ＋b ≥2(a ＋b )，即2≥a ＋b . 这与已知a ＋b >2矛盾，故假设不成立. 即1＋b a ，1＋ab中至少有一个小于2. 【方法归纳】一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定命题、唯一性命题、存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明形式比较困难而往往用反证法.【举一反三】3.已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1).(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列.【解析】(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n ).令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n＝34·⎝⎛⎭⎫23n －1，故1－a 2n ＝34·⎝⎛⎭⎫23n －1⇒a 2n ＝1－34·⎝⎛⎭⎫23n －1. 又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝＝(2)证明：假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立.所以2·14·⎝⎛⎭⎫23s －1＝14·⎝⎛⎭⎫23r －1＋14·⎝⎛⎭⎫23t －1，两边同乘3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列.体验高考(2015福建)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝kx (k ∈R ).(1)证明：当x ＞0时，f (x )＜x ；(2)证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意的x ∈(0，x 0)，恒有f (x )＞g (x )；(3)确定k 的所有可能取值，使得存在t ＞0，对任意的x ∈(0，t )，恒有|f (x )－g (x )|＜x 2. 【解析】(1)证明：令F (x )＝f (x )－x ＝ln(1＋x )－x ，x ∈[0，＋∞)，则有F ′(x )＝11＋x －1＝－x x ＋1，当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递减.故当x ＞0时，F (x )＜F (0)＝0，即当x ＞0时，f (x )＜x . (2)证明：令G (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－kx ，x ∈[0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x ＋1－k ＝－kx ＋(1－k )x ＋1. 当k ≤0时，G ′(x )＞0，故G (x )在(0，＋∞)上单调递增，G (x )＞G (0)＝0，故任意正实数x 0均满足题意.当0＜k ＜1时，令G ′(x )＝0，得x ＝1－k k ＝1k－1＞0，取x 0＝1k －1，对任意x ∈(0，x 0)，有G ′(x )＞0，从而G (x )在(0，x 0)上单调递增，所以G (x )＞G (0)＝0，即f (x )＞g (x ).综上，当k ＜1时，总存在x 0＞0，使得对任意x ∈(0，x 0)，恒有f (x )＞g (x ).(3)当k ＞1时，由(1)知，∀x ∈(0，＋∞)，g (x )＞x ＞f (x )，故|f (x )－g (x )|＝g (x )－f (x )＝kx －ln(1＋x )＞kx －x ＝(k －1)x . 令(k －1)x ＞x 2，解得0＜x ＜k －1.从而得到，当k ＞1时，对于x ∈(0，k －1)，恒有|f (x )－g (x )|＞x 2，故满足题意的t 不存在.当k ＜1时，取k 1＝k ＋12，从而k ＜k 1＜1，由(2)知，存在x 0＞0，使得对任意的x ∈(0，x 0)，f (x )＞k 1x ＞kx ＝g (x )，此时|f (x )－g (x )|＝f (x )－g (x )＞(k 1－k )x ＝1－k2x .令1－k 2x ＞x 2，解得0＜x ＜1－k2，此时f (x )－g (x )＞x 2.记x 0与1－k 2中的较小者为x 1，当x ∈(0，x 1)时，恒有|f (x )－g (x )|＞x 2，故满足题意的t 不存在.当k ＝1时，由(1)知，x ＞0时，|f (x )－g (x )|＝g (x )－f (x )＝x －ln(1＋x )，令M (x )＝x －ln(1＋x )－x 2，x ∈[0，＋∞)，则有M ′(x )＝1－11＋x －2x ＝－2x 2－x x ＋1.当x ＞0时，M ′(x )＜0，所以M (x )在[0，＋∞)上单调递减，故M (x )＜M (0)＝0. 故当x ＞0时，恒有|f (x )－g (x )|＜x 2，此时，任意正实数t 均满足题意. 综上，k ＝1.【举一反三】(2015湖北)已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝⎛⎭⎫1＋1n na n (n ∈N *)，e 为自然对数的底数.(1)求函数f (x )＝1＋x －e x 的单调区间，并比较⎝⎛⎭⎫1＋1n n与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b n a 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜e S n . 【解析】(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x . 当f ′(x )＞0，即x ＜0时，f (x )单调递增；当f ′(x )＜0，即x ＞0时，f (x )单调递减.故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). 当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即1＋x ＜e x .令x ＝1n ，得1＋1n＜e ，即⎝⎛⎭⎫1＋1n n ＜e.① (2)b 1a 1＝1×⎝⎛⎭⎫1＋111＝1＋1＝2； b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2×2×⎝⎛⎭⎫1＋122＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32×3×⎝⎛⎭⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2…b na 1a 2…a n ＝(n ＋1)n .②下面用数学归纳法证明②.(Ⅰ)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立.(Ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，②成立，即b 1b 2…b ka 1a 2…a k＝(k ＋1)k .当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，②也成立.根据(Ⅰ)(Ⅱ)，可知②对一切正整数n 都成立.(3)证明：由c n 的定义，②，算术－几何平均不等式，b n 的定义及①得≤b 11×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b n n (n ＋1)＝b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＋b 2⎣⎡12×3＋13×4＋…＋⎦⎥⎤1n (n ＋1)＋…＋b n ·1n (n ＋1)＝b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＋…＋b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＜b 11＋b 22＋…＋b n n＝⎝⎛⎭⎫1＋111a 1＋⎝⎛⎭⎫1＋122a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋1n n a n ＜e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n ，即T n ＜e S n .14.3 数学归纳法考点诠释重点：数学归纳法的基本思想与证明步骤；运用数学归纳法证明与自然数n (n ∈N *)有关的数学命题.难点：理解数学归纳法的思维实质，特别是第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明.典例精析题型一用数学归纳法证明等式或不等式【例1】是否存在常数a ，b ，c ，使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立？若存在，求出a ，b ，c 并证明；若不存在，试说明理由.【思路分析】对于存在性问题，先假设存在，对n 取特殊数值1,2,3时得三个方程，解出a ，b ，c ，然后利用数学归纳法证明.【解析】假设存在a ，b ，c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立.当n ＝1时，a (b ＋c )＝1；当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6；当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：当n ＝1时，显然成立；假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)；则当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3)＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1].因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1，使等式对一切n ∈N *都成立. 【方法归纳】用数学归纳法证明等式(或不等式)，关键点在于“先看项”，弄清等式(或不等式)两边各有多少项，初始值n 是多少.同时观察由n ＝k 到n ＝k ＋1，等式(或不等式)两边变化的项，并利用归纳假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.【举一反三】1.函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标.(1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3；(2)求数列{x n }的通项公式.【解析】(1)用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3.①当n ＝1时，直线PQ 1的方程为y －5＝f (2)－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，又x 1＝2，所以2≤x 1＜x 2＜3.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即2≤x k ＜x k ＋1＜3.当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝3＋4x k 2＋x k. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1. 由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1＜4－52＋3＝3； x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1＞0，即x k ＋1＜x k ＋2. 所以2≤x k ＋1＜x k ＋2＜3，即当n ＝k ＋1时，结论成立.所以，对任意的正整数n,2≤x n ＜x n ＋1＜3.(2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n 2＋x n. 设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝⎛⎭⎫1b n ＋14，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列. 因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1. 题型二用数学归纳法证明整除性问题【例2】已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使得对任意的n ∈N *，都有m 整除f (n )？若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【思路分析】首先取n ＝1,2,3，计算出f (1)，f (2)，f (3)，观察猜想出最大的m 值，然后利用数学归纳法证明.【解析】由f (1)＝36，f (2)＝108，f (3)＝360，猜想：f (n )能被36整除，下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除.则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝(2k ＋9)·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由假设知3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36 整除，又3k －1－1是偶数，故18(3k －1－1)也能被36 整除.即n ＝k ＋1时结论也成立.故由①②可知，对任意正整数n 都有f (n )能被36整除.由f (1)＝36知，36是整除f (n )的最大值，即存在自然数m ，使得对任意的n ∈N *，都有m 整除f (n )，且最大的m 值是36.【方法归纳】与正整数n 有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明.在证明n ＝k ＋1结论也成立时，要注意“凑形”，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.【举一反三】2.用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除.【证明】(1)当n ＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即(3k ＋1)·7k －1能被9整除，则当n ＝k ＋1时，[3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1＝(3k ＋1)·7k ＋1－1＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k －1＋6(3k ＋1)·7k ＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k －1＋9·(2k ＋3)·7k .由于(3k ＋1)·7k －1和9·(2k ＋3)·7k 都能被9整除，所以(3k ＋1)·7k －1＋9·(2k ＋3)·7k 能被9整除，即当n ＝k ＋1时，命题也成立，故(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除.题型三数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.【思路分析】(1)数列{a n }的各项均为正数，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，所以可根据解方程求出a 1，a 2，a 3；(2)观察a 1，a 2，a 3，猜想出{a n }的通项公式a n ，然后再证明.【解析】(1)由S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1. 因为a n ＞0，所以a 1＝1，由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1.又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *).证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立.②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时猜想成立，即a k ＝k －k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛ k －k －1＋ ⎭⎪⎫1k －k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时猜想成立.由①②知，a n ＝n －n －1(n ∈N *).【方法归纳】解“归纳—猜想—证明”题的关键环节(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础；(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论；(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.【举一反三】3.已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27. 又因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9.所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1. 因为T n ＝1－12b n ，b 1＝23，当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，因为b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －⎝⎛⎭⎫1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·(13)n －1＝23n . 所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . (2)因为S n ＝1＋(2n －1)2·n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2；当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3；当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，则1b 3<S 4；当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，得1b 4>S 5. 猜想：当n ≥4时，1b n>S n ＋1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝4时，不等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k 2>(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时， 1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立. 由①②可知，n ∈N *，n ≥4时，1b n>S n ＋1成立. 综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1；当n ≥4时，1b n >S n ＋1.体验高考(2015江苏)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明.【解析】(1)f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *).下面用数学归纳法证明： ①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立； ②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立； 2)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1 ＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立； 3)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立； 4)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋k ＋13，结论成立； 5)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k 3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－13，结论成立； 6)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1 ＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－23，结论成立. 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.【举一反三】(2015北京)已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…).记集合M ＝{a n |n ∈N *}.(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；(3)求集合M 的元素个数的最大值.【解析】(1)6,12,24.(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数.所以不妨设a k 是3的倍数.由a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…)可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数. 如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数.如果k ＞1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数.类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数.从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数. (3)由a 1≤36，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n －1，a n －1≤18，2a n －1－36，a n －1＞18，可归纳证明a n ≤36(n ＝2,3，…). 因为a 1是正整数，a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 1，a 1≤18，2a 1－36，a 1＞18，所以a 2是2的倍数，从而当n ≥3时，a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 是3的倍数，因此，当n ≥3时，a n ∈{12,24,36}.这时M 的无素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 不是3的倍数，因此当n ≥3时，a n ∈{4,8,16,20,28,32}.这时M的元素个数不超过8.当a1＝1时，M＝{1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.。

2017年高考数学题分类汇编(17)推理与证明

2017年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第17部分:推理与证明一、填空题： 1．（2010年高考陕西卷理科12）观察下列等式：,104321,6321,321233332333233=+++=++=+，根据上述规律，第五个等式．．．．．为____________.【解析】（方法一）∵所给等式左边的底数依次分别为2,1；3,2,1； ;4,3,2,1，右边的底数依次分别为 ,10,6,3（注意：这里1046,633=+=+），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为6,5,4,3,2,1，右边的底数为216510=++.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为233333321654321=+++++.（方法二）∵易知第五个等式的左边为333333654321+++++，且化简后等于441，而221441=，故易知第五个等式为233333321654321=+++++.二、解答题：1.(2010年高考数学湖北卷理科20） (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足: 112a =, ()()11312111n n n n a a a a ++++=--,()101nn n a a+≥；数列{}nb 满足：nb=21n a +-2n a （n ≥1）. (Ⅰ)求数列{}na ，{}nb 的通项公式;(Ⅱ)证明:数列{}nb 中的任意三项不可能成等差数列.2. （22）（2010年高考全国卷I理科22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答．．．．．．．无效．．）已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-. （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查. 【解析】（Ⅱ）12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得用数学归纳法证明：当2c >时1n n a a +<. （ⅰ）当1n =时，2111a c a a =->，命题成立；3．（2010年高考四川卷理科22）（本小题满分14分）设11x xa f (x )a +=-（0a >且1a ≠），g (x )是f (x )的反函数.（Ⅰ）设关于x 的方程求217a tlog g(x )(x )(x )=--在区间[2，6]上有实数解，求t 的取值范围；（Ⅱ）当a ＝e （e 为自然对数的底数）时，证明：2221nk g(k )n(n )=>+∑；（Ⅲ）当0＜a ≤12时，试比较1nk f (k )n=∣-∣∑与4的大小，并说明理由.4．（2010年高考江苏卷试题23）（本小题满分10分）已知△ABC 的三边长都是有理数。

推理与证明(高三复习精简版)

合情推理与演绎推理一、合情推理(归纳推理、类比推理两类)1. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．例：三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n 2)·180°.2. 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．例：由圆x2 + y2 = r2的面积S = πr2，推断：椭圆+=1(a>b>0)的面积S = πab二、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．考点一：三种推理形式的辨析例1 下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ②③④ B. ①③⑤ C. ②④⑤ D. ①⑤变式1-1 下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③李锋某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n -2)·180°. A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②④练习1-1下面给出了四个类比推理：（1）由“若a ，b ，c ∈R 则(ab )c =a (bc )”类比推出“若a ，b ，c 为三个向量，则(a ·b )·c =a ·(b ·c )”；（2）“b a ,为实数，若022=+b a ，则0==b a ”类比推出“21z ,z 为复数，若0z z 2221=+，则0z z 21==”；（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”. 上述四个推理中，结论正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个考点二：演绎推理的应用例2 (2017年全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则()A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩变式2-1 (2017四川四市诊断)学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是.变式2-2 (2017·福建漳州5月质检)甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知. 3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是. 乙练习2-1(2017·东北三省四市一模)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀.当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是. 丙练习2-2（14年福建卷）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：a ≠2，b=2，c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c= . 201练习2-3（14年新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________. A练习2-4（17年北京卷）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．6②该小组人数的最小值为__________．12考点三：类比、归纳推理中的猜想例3（2016山东卷）观察下列等式：(sinπ3)-2+(sin2π3)-2=43×1×2；(sinπ5)-2+(sin2π5)-2+(sin3π5)-2+(sin4π5)-2=43×2×3；(sinπ7)-2+(sin2π7)-2+(sin3π7)-2+…+(sin6π7)-2=43×3×4；(sinπ9)-2+(sin2π9)-2+(sin3π9)-2+…+(sin8π9)-2=43×4×5；……照此规律，(sinπ21n+)-2+(sin2π21n+)-2+(sin3π21n+)-2+…+(sin2π21nn+)-2=. 43n(n+1)练习3-1 (2017·苏州模拟)已知f (x )=e x x，f 1(x )=f ′(x )，f 2(x )= [f 1(x )] ′，…，f n +1(x )=[f n (x )] ′，n ∈N *，经计算：f 1(x )=1ex x -，f 2(x )=2e x x -，f 3(x )=3e xx-，…，照此规律，则f n (x )= ； ()()1enx x n--练习3-2(2017·潍坊市一模)观察式子1+<，1++<，1+++<，…，则可归纳出1+++…+< .练习3-3 (12年江西卷)观察下列各式：a +b =1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，…，则a 10+b 10=（） C A ．28 B ．76 C ．123 D ．199考点四：演绎推理中的三段论例4 正弦函数是奇函数，f (x )=sin(x 2+1)是正弦函数，因此f (x )=sin(x 2+ 1)是奇函数，以上推理( ) CA. 结论正确B. 大前提不正确C. 小前提不正确D. 全不正确练习4-1命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) CA. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论”，但大前提错误D. 使用了“三段论”，但小前提错误直接证明与间接证明1．综合法（1）定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法．（2）综合法的思维框图：用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n ）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：1P Q ⇒（）→12Q Q ⇒（）→23Q Q ⇒（）→.........n Q Q ⇒（）2．分析法（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止．这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．（2）分析法的思维框图：1Q P ⇐（）→12P P ⇐（）→23P P ⇐（）→.........得到一个明显成立的条件. 3．反证法（1）定义：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．（2）应用反证法证明数学命题的一般步骤： ①分清命题的条件和结论． ②做出与命题结论相矛盾的假设．③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果． ④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．考点一：反证法的应用例1 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3+ax +b =0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) AA. 方程x 3+ax +b =0没有实根B. 方程x 3+ax +b =0至多有一个实根C. 方程x 3+ax +b =0至多有两个实根D. 方程x 3+ax +b =0恰好有两个实根练习1-1 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”正确的反设为( ) BA. a ，b ，c 中至少有两个偶数B. a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C. a ，b ，c 都是奇数D. a ，b ，c 都是偶数考点二：分析法的应用例2 设a = - ，b = - ，c = - ，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A A. a >b >c B. b >c >a C. c >a >b D. a >c >b练习2-1 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a >b >c ，且a +b +c =0，求证a ac b 32<-”索的因应是( ) C A. a -b >0B. a -c >0C. (a -b )(a -c )>0D. (a -b )(a -c )<0。

热点21 推理与证明-2017年高考数学二轮核心考点总动员含解析精品

2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点21 推理与证明【热点考法】本热点考题类型为选择填空题或解答题，并与平面几何、立体几何、解析几何、三角函数、数列等相结合考查推理与证明思想方法的应用，考查对新概念的理解和新概念的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、阅读理解新概念及应用新概念解决问题能力、转化与化归思想，其难度较多是中等题，分值为5至10分.【热点考向】考向一逻辑推理【解决法宝】1.合情推理与演绎推理的区别．归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先把已知的部分个体适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的结论．（3）演绎推理是由一般到特殊的推理．数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确的，一定要注意推理过程的正确性与完备性．2.合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先把已知的部分个体适当变形根据，再通过对这些个体的观察、分析、比较，发现它们的相同性质或变化规律，找出它们之间的联系，从这些相同性质或变化规律推出一个明确表述的一般命题，从而归纳出一般结论，对所得的一般性命题进行检验． (2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．例1【甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末】将正整数排列如下：则在表中数字2013出现在（）A ．第44行第78列B ．第45行第78列C ．第44行第77列D ．第45行第77列【分析】根据题意确定出第n 行有2n ﹣1个数字，根据前n 行数字个数确定出数字2013所在的行，进而确定出所在的列即可．【解析】例2【2017届湖北省武汉市武昌区高三1月调研】一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【分析】利用合情推理知识即可判定出结论.【解析】这四人的供词中，都提到乙，我们假设乙是犯罪，那么，甲和丙的供词是真话，乙和丁的供词是假话，符合题意.假设成立.如果我们假设其他人为罪犯，如丙，那么，说真话的就有甲、乙、丁三人；如果丁是罪犯，那么，说真话的只有甲；如果罪犯是甲，说真话的只有丙；后面三个假设都与题目要求不符合，假设不成立.答：罪犯是乙.例3【2017届河北定州中学高三月考1】已知三角形的三边分别为,,a b c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为()12s a b c r =++；四面体的四个面的面积分别为1234,,,s s s s ，内切球的半径为R ．类比三角形的面积可得四面体的体积为（）A. ()123412V s s s s R =+++ B. ()123413V s s s s R =+++ C. ()123414V s s s s R =+++ D. ()1234V s s s s R =+++ 【分析】将边与面类比、内切圆的半径与内切球的半径类比、面积与体积类比即可求出结论.【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．类比三角形的面积可得四面体的体积为：)(314321S S S S R V +++=．故选D.考向二间接证明【解决法宝】用反证法证明数学命题步骤如下：第一步，分清命题“q p ⇒”的条件和结论；第二步，作出与结论q 相反的假设q ⌝；第三步，由p 和q ⌝出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步，断定矛盾结果的原因在于开始所作的假设q ⌝不真，于是结论q 成立，从而证明了命题q p ⇒为真.所说的矛盾结果，通常是指推出的结果和已知公理、已知定义、已知定理、已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.例4 【2017届河北武邑中学高三上学期月考2】在用反证法证明命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()()222a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证时假设正确的是（）A ．假设()()()222a b b c c a ---、、都小于1B ．假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1C ．假设()()()222a b b c c a ---、、都不大于1D ．以上都不对【分析】“不全大于”其反面为“都不大于”，即可写出其假设【解析】根据反证法的概念可知，命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()22a b b c --、、()2c a -不可能都大于1”时，反证时假设因为“假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1”，故选D ．考向三数学归纳法【解决法宝】1.数学归纳法主要用于证明与整数有关的数学问题，分两步进行：(i)证明当n 取第一个值0n (*0N n ∈)时命题成立．(ii)假设n ＝k (k ≥0n ，k ∈N*)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立．2. 在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一是“凑”假设，二是“凑”结论，关键是明确n ＝k ＋1时证明的目标，充分考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时命题形式之间的差异和联系，利用拆、添、并、放、缩等方法，或从)(k P 出发拼凑)1(+k P ，或从)1(+k P 中分离出)(k P ，再进行局部调整；也可以寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡，切实掌握“观察-归纳-猜想-证明”这一特殊到一般的推理方法.并且在递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．例5【2017届山东省实验中学高三第一次诊断】已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+（k R ∈）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：ln 2ln 3ln (1)3414n n n n -+++<+…（*n N ∈，且2n ≥）．【分析】（1）先求导数1()1f x k x '=--，再确定导函数在定义区间上零点情况：当k ≤0时，导函数恒大于零，为增函数；当k ＞0时，由一个零点x= ，先减后增（2）不等式恒成立问题，一般转化Wie 对应函数最值问题，即max ()0f x ≤，结合（1）的单调性情况，可得k ＞0且f （）=ln ≤0解得k ≥1，（3）利用导数证明不等式，一般方法为构造恰当函数，利用其增减性进行证明：因为k=1时，f （x ）≤0恒成立，即ln （x ﹣1）＜x ﹣2，令21x n -=，则222ln ln 1ln 11112n n n n n n n n -<-⇒<-⇒<++，代入叠加得证【解析】（I ）∵f （x ）=ln （x ﹣1）﹣k （x ﹣1）+1，（x ＞1）∴f ′（x ）= ﹣k ，当k ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，当k ＞0时，令f ′（x ）=0，得x=当f ′（x ）＜0，即1＜x ＜时，函数为减函数，当f ′（x ）＞0，即x ＞时，函数为增函数，综上所述，当k ≤0时，函数f （x ）在（1，+∞）为增函数，当k ＞0时，函数f （x ）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．（Ⅱ）由（1）知，当k ≤0时，f ′（x ）＞0函数f （x ）在定义域内单调递增，f （x ）≤0不恒成立，当k ＞0时，函数f （x ）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．当x=时，f （x ）取最大值，f （）=ln ≤0 ∴k ≥1，即实数k 的取值范围为[1，+∞）考向四新定义【解决法宝】一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决．结合高等数学的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中．此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能．这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题．结合其他学科的题目，主要是介绍数学知识在其他学科或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数学模型，因而题中文字、信息较多．学生必须准确地把握题意、理顺线索、分析相应数学模型与数学知识的内在联系，结合学生已有的知识和能力进行推理、运算． “新定义”型的问题，通常是选取合适的数学背景，把新定义、新运算、新符号等巧妙的融入高考试题中来，虽然它的构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强，到处都体现出新意，但是，它考查的还是基本知识和基本技能，解题的关键在于全面准确理解题意，科学合理的推理运算．因此，“新题”不一定是“难题”，只有夯实基础，掌握好双基，以不变应万变才是我们取胜的法宝．例6【湖南永州市2017届高三第一次模拟，16】函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]m n D ⊆，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；（2）()f x 在[,]m n 上的值域为[2,2]m n ，则称区间[,]m n 为函数()y f x =的“完美区间”.下列函数中存在“完美区间”的是________（只需填符合题意的函数序号）.①2()f x x =； ②12()log f x x =； ③()x f x e =； ④1()3f x x x=-+. 【分析】首先需对给定的新定义进行读取与理解，从题给定义寻找问题的突破口：①函数在区间[,]m n 单调；②函数满足m m f 2)(=，且方程的根必须有两根，其中小根为m ，大根为n .由此，可得可对各函数解析式进行一一的验证，并假设存在“完美区间”，通过方程根的情况进行判断，最后检验函数的单调性.【热点集训】1.【2017届黑龙江虎林一中高三文上学期月考三】用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设（）A．三个内角都不大于60B．三个内角都大于60C. 三个内角至多有一个大于60D．三个内角至多有两个大于60【答案】B【解析】命题的反面是：三个内角都大于60，故选B.2.【2017届辽宁葫芦岛普通高中高三文上学期考试二】在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语．乙是法国人，还会说日语．丙是英国人，还会说法语．丁是日本人，还会说汉语．戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为（）A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊 C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁【答案】D【解析】这道题实际上是一个逻辑游戏，首先要明确解题要点：甲乙丙丁戊5个人首尾相接，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流，而且4个备选答案都是从甲开始的，因此，我们从甲开始推理．思路一：正常的思路，根据题干来作答．甲会说中文和英语，那么甲的下一邻居一定是会说英语或者中文的，以此类推，得出答案．思路二：根据题干和答案综合考虑，运用排除法来解决，首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，B，C不成立，乙不能和甲交流，A错误，因此，D正确．3.【2017届湖南师大附中高三文上学期月考四】已知1log (2)n n a n +=+（*n N ∈），观察下列算式：1223lg3lg 4log 3log 4lg 2lg3a a ⋅=⋅=⋅2=；123456a a a a a a 237log 3log 4log 8=⋅…lg3lg 4lg83lg 2lg3lg 7=⋅=…；若122016m a a a =…（*m N ∈），则m 的值为（）A ．201622+B ．20162C ．201622-D ．201624-【答案】C 【解析】因为12231lg3lg 4lg(2)log 3log 4log (2)lg 2lg3lg(1)m m m a a a m m ++=+=⋅+… lg(2)2016lg 2m +==,所以有2log (2)2016m +=,201622m =-,选C. 4.【2017届辽宁庄河市高级中学高三9月】观察下列各等式：5325434+=--，2622464+=--，7127414+=--，102210424-+=---，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（）A ．()82484n n n n -+=---B ．()()()15121414n n n n ++++=+-+- C ．()42444n n n n ++=-+- D ．()()1521454n n n n +++=+-+- 【答案】A【解析】各等式可化为：()585254854-+=---，()282224824-+=---，()787274874-+=---． ()1081021048104-+=---，可归纳得一般等式：()82484n n n n -+=---，故选项为A. 5.【2017届安徽皖南八校高三理联考二】中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由定义知: 千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A 6.【2017届辽宁庄河市高级中学高三12月月考】已知如下等式：;30282624222018;161412108;642++=++++=++=+……以此类推，则2018会出现在第（）个等式中.A.33B.30C.31D.32【答案】C【解析】因173132100922018+⨯==÷,故依据所给等式左右两边的数字特点及个数特征,数2018应在第31个等式中,故应选C.7.【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，11】观察下列各式：211122ni i n n ==+∑，2321111326n i i n n n ==++∑，34321111424n i i n n n ==++∑，454311111 52330ni i n n n n ==++-∑，…， 11211211n k k k k k k k k k i ia n a n a n a n a n +--+--==++++∑…，可以推测，当10k =时，129a a a +++…等于（）A ．922B ．911 C.12 D ．111【答案】A【解析】根据题中所给的等式归纳推测：当n k =时，11211k k k k a a a a a +--+++++=…， 111k a k +=+，12k a =.所以当10k =时，111011 112a a ==，. 所以12910119122a a a a a +++=--=….选A.8.【2017届江西南昌市高三新课标一轮复习一】观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，…，则1010a b +=（）A ．28B ．76C ．123D ．199【答案】C【解析】观察规律不难看出76,47,29,18,119988776655=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a ,故1231010=+b a ,应选C.9.【湖北黄石2017届高三9月调研，12】定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()f x 是[],a b 上的“双中值函数”，已知函数()322f x x x m =-+是[]0,2a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（）A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,124⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,128⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A10.【2017届湖南师大附中高三理上学期月考三】将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序.若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”.“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（）A ．4B ．6 C. 8 D ．10【答案】C【解析】“3阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有222⨯⨯共8种，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶色序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若8n =，则必需包含全部共8个“3阶色序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件.故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点.11.【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考，11】给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导函数，()''f x 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()y f x =的“拐点”.已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00 M x f x ，，则点M （）A ．在直线3y x =-上B ．在直线3y x =上 C.在直线4y x =-上 D ．在直线4y x =上【答案】B【解析】()()00'34cos sin ''4sin cos 0 4sin cos 0f x x x f x x x x x =++=-+=-=，，，所以()003f x x =，故()()00 M x f x ，在直线3y x =上.故应选B.12.【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，12】已知函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y F x =在区间[],a b 同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数2x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是（）A ．(]0.2B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,24,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】易知|2|xy t =-与1|()|2x y t =-在[1,2]上单调性相同，当两个函数单调递增时，|2|x y t =-与1|()|2x y t =-的图象如图1所示，易知22log 1log 1t t ≤⎧⎨-≤⎩，解得122t ≤≤；当两个函数单调递减时，|2|xy t =-的图象如图2所示，此时|2|xy t =-关于y 轴对称的函数1|()|2x y t =-不可能在[1,2]上为减函数．综上所述，122t ≤≤，故选C ．13.【河北衡水中学2017届高三摸底联考，16】如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4（从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是．【答案】194【解析】则题意可知，前19行共有119191902+⨯=，所第20行从左到右的数字依次为191,192,193,194,，所以第4个数为194.14.【江西九江地区2017届高三七校联考，14】设A ，B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⊗=∈且}x A B ∉，已知2{|2,02}M y y x x x ==-+<<，1{|2,0}x N y y x -==>，则M N ⊗=_________.【答案】1(0,](1,)2+∞【解析】2{|2,02}(0,1]M y y x x x ==-+<<=，11{|2,0}(,)2x N y y x -==>=+∞，1(0,),(,1]2M N M N =+∞=U I 所以1(0,](1,)2M N ⊗=+∞U15.【河北省唐山一中2017届高三上学期12月调研考试数学试题】用数学归纳法证明：)12(312)()2)(1(-⨯⨯⨯⨯=+++n n n n n n （+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的代数式为_______________.【答案】()221k +16.【河北邯郸2017届9月联考，15】6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区. 已知下面四种说法都是正确的.⑴甲轻型救援队所在方向不是C 方向，也不是D 方向； ⑵乙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； ⑶丙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； ⑷丁轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是D 方向；此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向，有下列判断： ①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向.其中判断正确的序号是 . 【答案】③.17.【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一），15】所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、完美数）.如：6123=++；28124714=++++；4961248163162124248=++++++++.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如12622=+，23428222=++，……，按此规律，8128可表示为．【答案】6712222+++…【解析】因为681282127=⨯，又由1212712n-=-，解得7n =．所以6681282(122)=⨯+++…＝6712222+++…．18.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，16】将三项式()21nx x ++展开，当1,2,3,n =时，得到如下左图所示的展开式，右图所示的广义杨辉三角形：()0211xx ++= 第0行 1()12211x x x x ++=++ 第1行 1 1 1 ()2243212321x x x x x x ++=++++ 第2行 1 2 3 21()32654321367631x x x x x x x x ++=++++++ 第3行 1 3 6 7 63 1()42876543214101619161041xx x x x x x x x x ++=++++++++ 第4行 1 4 10 16 1916 10 4 1 ……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k 行共有21k +个数．若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为75，则实数a 的值为___________．【答案】2【解析】()521x x ++展开式中系数为1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1，所以在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为15+3075 2.a a =⇒=19.【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,16】函数()f x ，()g x 的定义域都是D ，直线0x x =（0x D ∈），与()y f x =，()y g x =的图象分别交于A ，B 两点，若||AB的值是不等于0的常数，则称曲线()y f x =，()y g x =为“平行曲线”，设()ln x f x e a x c =-+（0a >，0c ≠），且()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，(1)g e =，()g x 在区间(2,3)上的零点唯一，则a 的取值范围是．【答案】23,ln 2ln 3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】在为()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，所以函数()g x 是由函数()f x 的图象经过上下平移得到的，即()()ln x g x f x h e a x c h =+=-++，又(1)ln1g e a c h e c h e =-++=++=，所以0c h +=，即()ln x g x e a x =-，()ln 0xg x e a x =-=得()ln xe a h x x==，则()g x 在区间(2,3)上有唯一零点等价于函数()y h x =与函数y a =有唯一交点，()21(ln )()ln x e x x h x x -'=，当2x >时，()0h x '>，函数()h x 在区间(2,3)上单调递增，所以函数()y h x =与函数y a =有唯一交点等价于(2)(3)h a h <<，即23ln 2ln 3e e a <<，即a 的取值范围是23,ln 2ln 3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 20.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,21】（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点3(1,)2.若点00(,)M x y 在椭圆C上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求AOB ∆的面积.【答案】(1) 22143x y +=；（2（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y，则12,22x x P Q ⎛⎛ ⎝⎝，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得0OP OQ ⋅=，即1212043x x y y += （1）………………（6分）由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消除y 整理得：()()222348430k x mk m +++-=，由()()222264163430k m k m ∆=-+->，得22340k m +->，而()2121222438,3434m mkx x x x k k -+=-=++ （2）………………（7分）()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=+ （3）将（2）（3）代入（1）得：()()()()2222243340434434m m k k k --+=++，即22243m k -=，………………（8分）又1AB =，………………（9分）原点O 到直线:l y kx m =+的距离d =，………………（10分）12AOBS AB d ∆∴==，………………（11分）把22243m k -=代入上式得AOB S ∆AOB S ∆………………（12分） 21.【天津六校2017届高三上学期期中联考，18】已知函数21()2ln ()2f x x ax x a R =-+∈，(1,)x ∈+∞.（1）若函数()f x 有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）对于函数()f x ，1()f x ，2()f x ，若对于区间D 上的任意一个x ，都有12()()()f x f x f x <<，则称函数()f x 是函数1()f x ，2()f x 在区间D 上的一个“分界函数”.已知21()(1)ln f x a x =-，22()(1)f x a x =-，问是否存在实数a ，使得函数()f x 是函数1()f x ，2()f x 在区间(1,)+∞上的一个“分界函数”？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（1），记，依题意，在区间上有且只有一个零点，∴，得实数的取值范围是；………………………………5分（Ⅱ）若函数是函数，在区间上的一个“分界函数”，则当时，恒成立，且恒成立，…………………………………………6分记，则，若，即：当时，，单调递减，且，∴，解得；…………………………………………8分若，即：的图象是开口向上的抛物线，存在，使得，从而，在区间上不会恒成立，…………………10分记，则，∴在区间上单调递增，由恒成立，得，得. 综上，当时，函数是函数，在区间上的一个“分界函数”. ……………………………13分22.【2017届江苏徐州等四市高三11月模拟考】设*n ∈N ，()372n n f n =+-．（1）求(1)f ，(2)f ，(3)f 的值；（2）证明：对任意正整数n ，()f n 是8的倍数．【答案】（1）(1)8f =，(2)56f =，(3)368f =．（2）详见解析【解析】（1）代入求出(1)8f =，(2)56f =，(3)368f =．……………………3分（2）①当1n =时，(1)8f =是8的倍数，命题成立．…………………………4分②假设当n k =时命题成立，即()372k kf k =+-是8的倍数，那么当1n k =+时，11(1)3723(372)4(71)k k k k kf k +++=+-=+-++，因为71k +是偶数，所以4(71)k+是8的倍数，又由归纳假设知3(372)k k+-是8的倍数，所以(1)f k +是8的倍数，所以当1n k =+时，命题也成立．根据①②知命题对任意*n ∈N 成立．…………………………………………10分。

备战2017高考数学(精讲+精练+精析)专题13.2推理与证明试题理(含解析)

专题2 推理与证明〔理科〕【三年高考】1.【2021高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1与2，1与3，2与3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙卡片后说：“我与乙卡片上一样数字不是2〞，乙看了丙卡片后说：“我与丙卡片上一样数字不是1〞，丙说：“我卡片上数字之与不是5〞，那么甲卡片上数字是．【答案】1与3【解析】由题意分析可知甲卡片上数字为1与3，乙卡片上数字为2与3，丙卡片上数字为1与2.2．【2021 高考山东，理11】观察以下各式：照此规律，当n ∈N 时，【答案】14n -3.【2021 江苏高考，23】集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素个数.〔1〕写出(6)f 值；〔2〕当6n ≥时，写出()f n 表达式，并用数学归纳法证明.【解析】〔1〕()613f =．〔2〕当6n ≥时，()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩〔t *∈N 〕．下面用数学归纳法证明：①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立；②假设n k =〔6k ≥〕时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 根底上新增加元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：1〕假设16k t +=，那么()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立；2〕假设161k t +=+，那么6k t =，此时有()()112123k k f k f k k +=+=++++()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立； 3〕假设162k t +=+，那么61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立；4〕假设163k t +=+，那么62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 5〕假设164k t +=+，那么63k t =+，此时有()()1122223k k f k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；6〕假设165k t +=+，那么64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥自然数n 均成立．4.【2021高考北京版理第8题】学生语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀〞“合格〞“不合格〞.假设学生甲语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，那么称“学生甲比学生乙成绩好〞.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩一样、数学成绩也一样两位学生，那么这组学生最多有〔〕A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人【答案】B【解析】用A 、B 、C 分别表示优秀、及格与不及格，依题意，事件A 、B 、C 中都最多只有一个元素，所以只有AC ，BB ，CA 满足条件，应选B.5.【2021高考福建卷第15题】假设集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且以下四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确，那么符合条件有序数组),,,(d c b a 个数是_________.【答案】66. 【2021全国1高考理第14题】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过城市为__________【答案】A【解析】3由丙说可知，乙至少去过A,B,C 中一个城市，由甲说可知，甲去过A,C 且比乙去过城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C 城市，故乙只去过A 城市．7. 【2021山东高考理第4题】用反证法证明命题“设b a ,为实数，那么方程02=++b ax x 至少有一个实根〞时，要做假设是〔〕A.方程02=++b ax x 02=++b ax x 至多有一个实根02=++b ax x 02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A8.【2021陕西高考理第14题】观察分析下表中数据：多面体面数〔F 〕顶点数〔V ) 棱数〔E )三棱锥 56 9 五棱锥 66 10 立方体 6 8 12 猜测一般凸多面体中，E V F ，，所满足等式是_________.【答案】2F V E +-=【解析】①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,10F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：6,8,12F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜测一般凸多面体中，E V F ，，所满足等式是：2F V E +-= 故答案为2F V E +-=【三年高考命题回忆】纵观前三年各地高考试题, 高考对本局部知识考察主要在合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中合情推理、演绎推理几乎涉及数学方方面面知识，代表研究性命题开展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该局部命题方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新高考中都会涉及与渗透，但单独出题可能性较小.【2021年高考复习建议与高考命题预测】推理与证明是数学根底思维过程，也是人们学习与生活中经常使用思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题过程中，合情推理具有猜测结论与发现结论、探索与提供思路作用，有利于创新意识培养.证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷归纳过程，根据归纳原理转化为有限特殊〔直接验证与演绎推理相结合〕过程，要很好地掌握其原理并灵活运用.推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生知识与能力要求较高，是对学生思维品质与逻辑推理能力，表述能力全面考察，可以弥补选择题与填空题等客观题缺乏，是提高区分度，增强选拔功能重要题型，因此在最近几年高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现. 预测2021年高考将会有题目用到推理证明方法.复习建议：推理证明题主要与其它知识结合到一块，属于知识综合题，解决此类题目时要建立合理解题思路.【2021年高考考点定位】高考考察：合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法〔理科〕等内容，其中推理中合情推理、演绎推理几乎涉及数学方方面面知识，代表研究性命题开展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该局部命题方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新高考中都会涉及与渗透，但单独出题可能性较小；【考点1】合情推理与演绎推理【备考知识梳理】(1)定义：根据已有事实，经过观察、分析、比拟、联想，再进展归纳、类比，然后提出猜测推理叫做合情推理．(2)合情推理可分为归纳推理与类比推理两类：①归纳推理：由某类事物局部对象具有某些特征，推出该类事物全部对象具有这些特征推理，或者由个别事实概括出一般结论推理．简言之，归纳推理是由局部到整体、由个别到一般推理；归纳推理分类常见归纳推理分为数归纳与形归纳两类a.数归纳包括数字归纳与式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间关系，同时还要联系相关知识，如等差数列、等比数列等；b.形归纳主要包括图形数目归纳与图形变化规律归纳．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征与其中一类对象具有某些特征，推出另一类对象也具有这些特征推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊推理．类比推理分类:类比推理应用一般为类比定义、类比性质与类比方法a.类比定义：在求解由某种熟悉定义产生类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；b.类比性质：从一个特殊式子性质、一个特殊图形性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间联系与区别，深入思考两者转化过程是求解关键；c.类比方法：有一些处理问题方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题求解中，注意知识迁移．(1)定义：从一般性原理出发，推出某个特殊情况下结论推理叫做演绎推理．演绎推理特征是：当前提为真时，结论必然为真.(2)模式：三段论①大前提——一般原理；②小前提——所研究特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出判断．(3)特点：演绎推理是由一般到特殊推理．【规律方法技巧】1. 归纳推理与类比推理之区别：(1)归纳推理是由局部到整体，由个别到一般推理．在进展归纳时，要先根据局部个体，把它们适当变形，找出它们之间联系，从而归纳出一般结论．(2)类比推理是由特殊到特殊推理，是两类类似对象之间推理，其中一个对象具有某个性质，那么另一个对象也具有类似性质．在进展类比时，要充分考虑对象性质推理过程，然后类比推导类比对象性质．从思维过程指向来看，演绎推理是以某一类事物一般判断为前提，而作出关于该类事物判断思维形式，因此是从一般到特殊推理．数学中演绎法一般是以三段论格式进展．三段论由大前提、小前提与结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理一个特殊情形，结论那么是大前提与小前提逻辑结果．3.应用合情推理应注意问题：(1)在进展归纳推理时，要先根据局部个体，把它们适当变形，找出它们之间联系，从而归纳出一般结论．(2)在进展类比推理时，要充分考虑对象性质推理过程，然后类比推导类比对象性质．注意：归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．(1)归纳推理一般步骤：①通过观察个别情况发现某些一样性质；②从一样性质中推出一个明确表述一般性命题(猜测)；③检验猜测．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理一般步骤：①找出两类事物之间相似性或一致性；②用一类事物性质去推测另一类事物性质，得出一个明确命题(猜测)；③检验猜测．观察、比拟→联想、类推→猜测新结论 (1)演绎推理是由一般到特殊推理，其最常见形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三局部组成．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理与特殊情况内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确大前提．一般地，假设大前提不明确时，一般可找一个使结论成立充分条件作为大前提．6.归纳推理是由局部到整体，由个别到一般推理，在进展归纳时，要先根据局部个体，把它们适当变形，找出它们之间联系，从而归纳出一般结论,归纳推理所得结论不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象认知过程，是发现一般规律重要方法．类比推理是由特殊到特殊推理，是两类类似对象之间推理，其中一个对象具有某个性质，那么另一个对象也具有类似性质.在进展类比时，要充分考虑对象性质推理过程，然后类比推导类比对象性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被外表现象迷惑，否那么会犯机械类比错误．演绎推理是由一般到特殊推理，数学证明过程主要是通过演绎推理进展，只要采用演绎推理大前提、小前提与推理形式是正确，其结论一定是正确，一定要注意推理过程正确性与完备性.【考点针对训练】1. 【2021届山西省榆林市二模】观察以下等式：照此规律，n n a b -= ________.()2,n n N ≥∈【答案】()()1221n n n n a b a a b ab b -----+++【解析】由规律知，右边为两个式子积，一个因式为()a b -，另一个式子，为n 各数与，每个数次数为1n -次，a 按降幂，b 按升幂，所以n n a b -=()()1221n n n n a b a a b ab b -----+++2. 【2021届湖北省沙市中学高三下第三次月考】在平面直角坐标系xOy 中，满足221,0,0x y x y +≤≥≥点(,)P x y 集合对应平面图形面积为4π；类似，在空间直角坐标系O xyz -中，满足2221x y z ++≤，0,0,0x y z ≥≥≥点(,,)P x y z 集合对应空间几何体体积为〔〕A ．8πB ．6πC ．4πD ．3π【答案】B【考点2】直接证明与间接证明【备考知识梳理】1．直接证明(1)综合法：利用条件与某些数学定义、公理、定理等，经过一系列推理论证，最后推导出所要证明结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法思维特点是：由因导果，即由条件出发，利用数学定理、性质与公式，推出结论一种证明方法.框图表示：P ⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn ⇒Q(2)分析法：从要证明结论出发，逐步寻求使它成立充分条件，直至最后，把要证明结论归结为判定一个明显成立条件(条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法思维特点是：执果索因；分析法书写格式：要证明命题Q为真，只需要证明命题1P为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题P为真，而P为真，故命题Q必为真框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立条件. 2．间接证明反证法：要证明某一结论A是正确，但不直接证明，而是先去证明A反面〔非A〕是错误，从而断定A是正确，即反证法就是通过否认命题结论而导出矛盾来到达肯定命题结论，完成命题论证一种数学证明方法.【规律方法技巧】1. 明晰三种证题一般规律(1)综合法证题一般规律：用综合法证明命题时，必须首先找到正确出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般处理方法是广泛地联想条件所具备各种性质，逐层推进，从而由逐步推出结论．(2)分析法证题一般规律：分析法思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法语言表达，下一步是上一步充分条件．(3)反证法证题一般规律：反证法证题实质是证明它逆否命题成立．反证法主要依据是逻辑中排中律，排中律一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一讨论过程中，A与非A有且仅有一个是正确，不能有第三种情况出现．2.综合法证题思路：3.分析法证题技巧：(1)逆向思考是用分析法证题主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解关键．(2)证明较复杂问题时，可以采用两头凑方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．4.反证法证明问题一般步骤:(1)反设：假定所要证结论不成立，而设结论反面(否认命题)成立；(否认结论)(2)归谬：将“反设〞作为条件，由此出发经过正确推理，导出矛盾——与条件、定义、公理、定理及明显事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾原因在于“反设〞谬误．既然原命题结论反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾结论.5.反证法是一种重要间接证明方法，适用反证法证明题型有：(1)易导出与矛盾命题；(2)否认性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些根本定理；(6)必然性命题等.【考点针对训练】1. 【2021届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟】数列{}n a 满足：()()21121,1n n n a a a a n N n *+==+∈+. 〔1〕证明：；〔2〕求证：.【解析】〔1〕()21112011n n n n n a a a a a a n ++-=>⇒>>≥+,可得：()()12211111n n n a a a n n +=+≥+++.〔2〕()121111n n n n nn a a a a a a n +++-=+,所以：()()()221111111111011111n n n n n n a a a a a a n n n n n n +++<<⇒-=<<=-++++,累加得：111111111n n a n a a n ++-<-⇒<++,另一方面由n a n ≤可得：原式变形为. 所以：()()()()2211111111112121211n n n n a n a a a n n n n n n n +++-=>==-+++++++ 累加得()111211111213n n n a a a n n +++->-⇒>++. 2. 用反证法证明命题“假设0a b c ++≥，0abc ≤，那么,,a b c 三个实数中最多有一个小于零〞反设内容为〔〕A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零【答案】C【解析】反证法证明时，首先假设要证命题结论反面成立，即反设为,,a b c 三个实数中至少有两个小于零【考点3】数学归纳法【备考知识梳理】1. 一系列有限特殊事例得出一般结论推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考察对象是涉及事物全体或局部可分为完全归纳法与不完全归纳法．2．数学归纳法：设{}n p 是一个与正整数相关命题集合，如果：①证明起始命题1p (或0p )成立；②在假设k p 成立前提下，推出1k p +也成立，那么可以断定{}n p 对一切正整数成立．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k N *∈，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立；③由①②得出结论．【规律方法技巧】1. 明确数学归纳法两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关命题证明方法，它们表述严格而且标准，两个步骤缺一不可．第一步是递推根底，第二步是递推依据，第二步中，归纳假设起着“条件〞作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否那么就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论〞．2. 用数学归纳法证明等式应注意问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值0n值．(2)由n k=到1=+时，除考虑等式两边变化项外还要充分利用n k=时式子，即充n k分利用假设，正确写出归纳证明步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推根底不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．[来3. 数学归纳法证明不等式注意问题(1)当遇到与正整数n有关不等式证明时，应用其他方法不容易证，那么可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式关键是由n k=成立，推证1=+时也成立，证明时用n k上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比拟法、放缩法等证明．4. “归纳——猜测——证明〞模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜测出一般性结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关命题中有着广泛应用．其关键是观察、分析、归纳、猜测，探索出一般规律．5. 使用数学归纳法需要注意三个问题在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中作用是：第一步是递推根底，第二步是递推依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点0n，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；(3)第二步证明关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由n k=到1=+时命题变化n k情况．6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列前几项，通过观察项与项数关系，猜测出数列通项公式，再用数学归纳法进展证明，初步形成“观察—归纳—猜测—证明〞思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法应用，放缩方向应朝着结论方向进展，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法到达证明目．【考点针对训练】1.用数学归纳法证明不等式“241321...2111>++++n n n 〔n ＞2〕〞过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式左边〔〕A ．增加了一项12k 1+（）B ．增加了两项112k 12k 1+++（） C ．增加了一项12k 1+（），又减少了一项1k 1+ D ．增加了两项112k 12k 1+++（），又减少了一项1k 1+【答案】D【解析】当1+=k n 时，不等式左边为2211211......3121++++++++++k k k k k k ，比拟k n =时，增加了，但也减少了11+k ，应选D. 2. 【2021届江苏省清江中学高三上学期12月月考】*∈+=N n x x f n n ,)1()(. 〔1〕假设),(3)(2)()(654x f x f x f x g ++=求)(x g 中含2x 项系数；〔2〕假设n p 是)(x f n 展开式中所有无理项系数与，数列}{n a 是由各项都大于1数组成数列，试用数学归纳法证明：)1()1)(1()1(2121n n n a a a a a a p +⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅.【解析】〔1〕654654)1(3)1(2)1()(3)(2)()(x x x x f x f x f x g ++++=++=，∴)(x g 中含2x 项系数为.564510132464544=++=++C C C【应试技巧点拨】1．逻辑推理即演绎推理，就是从一般性前提出发，通过推导即“演绎〞，得出具体陈述或个别结论过程.演绎推理逻辑形式对于理性重要意义在于，它对人思维保持严密性、一贯性有着不可替代校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳与溯因三种方式.2.归纳推理是由局部到整体，由个别到一般推理，在进展归纳时，要先根据局部个体，把它们适当变形，找出它们之间联系，从而归纳出一般结论,归纳推理所得结论不一定可靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象认知过程，是发现一般规律重要方法．常见归纳推理分为数归纳与形归纳两类：(1)数归纳包括数归纳与式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间关系，同时还要联系相关知识，如等差数列、等比数列等；(2)形归纳主要包括图形数目归纳与图形变化规律归纳. 归纳推理一般步骤:①通过观察个别情况发现某些一样性质；②从一样性质中推出一个明确表述一般性命题(猜测〕.3．类比推理是由特殊到特殊推理，是两类类似对象之间推理，其中一个对象具有某个性质，那么另一个对象也具有类似性质.在进展类比时，要充分考虑对象性质推理过程，然后类比推导类比对象性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被外表现象迷惑，否那么会犯机械类比错误．是一种重要间接证明方法，适用反证法证明题型有：(1)易导出与矛盾命题；(2)否认性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些根本定理；(6)必然性命题等.证明问题一般步骤:(1)反设； (2)归谬； (3)立论.注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾结论. 二年模拟1. 设,,(,0),a b c ∈-∞那么〔〕A ．都不大于2-B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-【答案】C【解析】因为,,(,0)a b c ∈-∞，所以111111()()()()a b c a b c b c a a b c-+++++=--+--+--≥2226++=，所以1116a b c b c a+++++≤-，所以值中至少有一个不大于2-，应选C ． 2.【2021届河南省八市高三4月质检】*1log (2)()n n a n n N +=+∈，观察以下算式：1223lg 3lg 4log 3log 42lg 2lg 3⋅=⋅=⋅=a a ；123456a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅237log 3log 4log 8=⋅ lg 3lg 4lg83lg 2lg 3lg 7=⋅=，…；假设*1232016()⋅⋅=∈m a a a a m N ，那么m 值为〔〕A ．201622+B ．20162C ．201622-D ．201624-【答案】C【解析】由题意：1223lg 3lg 4log 3log 42lg 2lg 3⋅=⋅=⋅=a a ；123456a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅237log 3log 4log 8=⋅ lg 3lg 4lg83lg 2lg 3lg 7=⋅=，…；12345613142315log 3log 4log 16a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ lg 3lg 4lg1616,lg 2lg 3lg15=⋅=…；据此可知，*1232016()⋅⋅=∈m a a a a m N ，那么m 值为201622-.3. 【2021届河北省衡水中学高三一模】定义：分子为1且分母为正整数分数成为单位分数，我们可以把1分拆为假设干个不同单位分数之与.如：1111111111111,1,1236246122561220=++=+++=++++，依次类推可得：11111111111111++++++26123042567290110132156m n =++++++，其中,,m n m n N +≤∈.设1,1x m y n ≤≤≤≤，那么最小值为〔〕A ．232B ．52C ．87D ．343 【答案】C【解析】由题意得，13,4520m n ==⨯=，那么，因为1,1x m y n ≤≤≤≤，所以1,13y x ==时，有最小值，此时最小值为87，应选C.4. 【2021届湖北省黄冈中学高三5月一模】在一个俱乐部里，有老实人与骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们与俱乐部四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？〞这四个人答复如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子〞；第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子〞；第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子〞；第四个人说：“我是老实人〞.请判断一下，第四个人是老实人吗？ .〔请用“是〞或“否〞作答〕【答案】是【解析】依据题设条件可知前三个人说法都是在撒谎,因说别人是骗子都是不老实,所以依据题设中规那么第四个人说是真话,即第四个人是老实人,所以应填是.5. 【2021届山东省潍坊一中高三三轮冲刺模拟】(0,)x ∈+∞，观察以下各式：类比得：，那么a = ．【答案】n n【解析】此题由算术—几何均值不等式.1212....n n n a a a n a a a +++≥改编而来.观察两式可知 a 即为x x 被分成n 项x n,乘积可得 n a n = 故答案应该填n n . 6. 【2021届宁夏六盘山高中高三四模】对于函数()f x 给出定义：设()f x '是函数()y f x =导数，()f x ''是函数()f x '导数，假设方程()0f x ''=有实数解0x ，那么称点00(,())x f x 为函数()y f x =“拐点〞.某同学经过探究发现：任何一个三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算 1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++= . 【答案】20217. 【2021届江苏省清江中学高三考前一周】如图甲所示，在直角ABC 中，C A ⊥AB 、D C A ⊥B ，D 是垂足，那么有2AB =BD BC ⋅，该结论称为射影定理．如图乙所示，在三棱锥BCD A-中，D A ⊥平面ABC ，AO ⊥平面CD B ，O 为垂足，且O 在BCD 内，类比直角三角形中射影定理，那么有．【答案】2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅【解析】从题中条件不难发现：图甲中C A ⊥AB 对应图乙中D A ⊥平面C AB ，图甲中D C A ⊥B 对应图乙中AO ⊥平面CD B ，因此在类比结论中，图甲中边AB 对应图乙中面C AB ，图甲中边C B 对应图乙中面CD B ，图甲中边D B 对应图乙中面C BO .8. 【2021届湖北省沙市中学高三下第三次月考】在平面直角坐标系中，△ABC 顶点A 、B 分别是离心率为e 圆锥曲线焦点，顶点C 在该曲线上．一同学已正确地推得：当m ＞n ＞0时，有e ⋅〔sinA+sinB 〕=sinC ．类似地，当m ＞0、n ＜0时，有e ⋅〔〕=sinC ．【答案】sin sin sin e A B C -=9．【2021届浙江省杭州市高三第二次质检】设数列{}n a 满足11a =，*()n N ∈. 〔1〕求证：22123n n a a +≤-≤；〔2〕求证：.【解析】因为11a =及，所以1n a ≥2221211()2n n n n n a a a a a +=+=++，所以221212(2,3]n n na a a +-=+∈，即22123n n a a +≤-≤. 〔2〕由〔1〕得221123n n a a n +<-≤,所以212131n n a n ++<≤+，即22132(2)n n a n n -<≤-≥，当1n =时，也满足，所以22132n n a n -<≤-.所以1213121[,]3221n n n a n n a a n n ++=+∈--. 10.【2021届吉林省毓文中学高三高考热身】如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 直线AM ,AN 分别与圆O 交于M ,N 两点．。

新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略专题四数列、推理与证明第4讲推理与证明练习文

第4讲推理与证明1．(2016·山东)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43n (n ＋1)解析观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.2．(2016·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．答案 1和3解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.热点一归纳推理1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． 2．归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论例1 (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (8,12)＝____________.(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有______________________．答案 (1)288 (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 (1)原已知式子可化为N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，由归纳推理可得N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n ，故N (8,12)＝12－22×82＋4－122×8＝288.(2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．跟踪演练1 (1)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A ．48,49B ．62,63C ．75,76D ．84,85(2)观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________. 答案 (1)D (2)1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)解析 (1)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D 符合条件．(2)观察所给等式的左侧和右侧并归纳推理，可以得到答案．热点二类比推理1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． 2．类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论例2 (1)已知结论：“在正△ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是△ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A —BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A ，B 分别是离心率为e 的圆锥曲线x 2m ＋y 2n＝1的焦点，顶点C 在该曲线上．一同学已正确地推得：当m >n >0时，有e ·(sin A ＋sin B )＝sin C ．类似地，当m >0，n <0时，有e ·(________)＝sin C . 答案 (1)C (2)|sin A －sin B |解析 (1)如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM－MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .∵△ABC 的顶点A ，B 分别是离心率为e 的圆锥曲线x 2m ＋y 2n＝1的焦点，顶点C 在该曲线上，∴m >0>n 时，曲线是双曲线，离心率e ＝c2m .由双曲线定义得|b －a |＝2m ，得e |b －a |＝c . 由正弦定理，得e |sin A －sin B |＝sin C .思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．跟踪演练2 (1)若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则数列{S nn}为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d2.类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项积为T n ，则数列________为等比数列，通项为______．(2)若点P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过点P 0作该椭圆的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.那么对于双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为____________________．答案 (1){n T n } nT n ＝b 1·(q )n －1(2)x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 (1)因为在等差数列{a n }中前n 项和为S n ，且写成了S nn ＝a 1＋(n －1)·d2，所以在等比数列{b n }中应研究前n 项积T n 开n 次方的形式．等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，类比可得：数列{n T n }为等比数列，通项为nT n ＝b 1·(q )n －1.(2)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过点P 1，P 2的切线的方程分别为x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2xa2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，所以x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)都在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.热点三直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法．例3 已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1) (n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1. (1)解由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n.b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1)＝－2n<0，所以b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用．跟踪演练3 (1)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．于是原等式成立．(2)已知等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d >0.①若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m成等比数列，求整数m 的值；②求证：对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列．①解 ∵a 1＝1，d ＝2，∴a 4＝7，a m ＝2m －1. ∵1a 21，1a 24，1a 2m成等比数列，∴(172)2＝1m －2，∴(2m －1)2＝492.∵a 1>0，d >0，∴m ＝25.②证明假设存在m ∈N *，使1a 2m ，1a 2m ＋1，1a 2m ＋2成等差数列，即2a 2m ＋1＝1a 2m ＋1a 2m ＋2，∴2a 2m ＋1＝1a m ＋1－d2＋1a m ＋1＋d2＝2a 2m ＋1＋2d 2a 2m ＋1－d 22，化简，得d2＝3a2m＋1.又a1>0，d>0，∴a m＋1＝a1＋md>d，∴3a2m＋1>3d2>d2，与d2＝3a2m＋1矛盾，因此假设不成立，故原命题得证.1．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，(22,23,24,25,26,27,28)，…分别计算各组包含的正整数的和，如下所示：S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，…试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2 015＝________.押题依据数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想的应用等，考查考生归纳猜想能力以及对逻辑推理证明步骤的掌握程度．答案 1 0084解析由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；……猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.∴S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2 015＝1 0084.2．已知下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x3≥4，…，则第n 个不等式为________________．押题依据根据n 个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大．答案 x ＋n nxn ≥n ＋1解析已知所给不等式的左边第一个式子都是x ，不同之处在于第二个式子，当n ＝1时，为1x ；当n ＝2时，为4x 2；当n ＝3时，为27x3；……显然式子中的分子与分母是对应的，分母为x n ，分子是n n，所以不等式左边的式子为x ＋n nxn ，显然不等式右边的式子为n ＋1，所以第n 个不等式为x ＋n nxn ≥n ＋1.3．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，证明：数列{S n }不是等比数列．押题依据反证法是一种重要的证明方法，对含“至多”“至少”等词语的命题用反证法十分有效，近几年高考时有涉及．证明假设{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)．因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与q ≠0矛盾，故{S n }不是等比数列．A 组专题通关1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数；②三角函数是周期函数；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②①答案 B解析根据“三段论”：“大前提”⇒“小前提”⇒“结论”可知：①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数“结论”．故“三段论”模式排列顺序为②①③.故选B. 2．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 答案 C解析假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都大于－2，即a ＋1b >－2，b ＋1c>－2，c ＋1a>－2，将三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，又因为a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6，所以假设不成立，故选C.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”的索因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0答案 C解析由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0可得b ＝－a －c ，a >0，c <0.要证b 2－ac <3a ，只要证(－a －c )2－ac <3a 2，即证a 2－ac ＋a 2－c 2>0，即证a (a －c )＋(a ＋c )·(a －c )>0，即证a (a －c )－b (a －c )>0，即证(a －c )·(a －b )>0.故求证“b 2－ac <3a ”索的因应是(a －c )(a －b )>0，故选C.4．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一个人说了真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁答案 A解析假如甲说了真话，则乙、丙、丁都说了假话，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠宝，显然矛盾，故甲说了假话，即甲是小偷，故选A. 5．设a ，b ∈R ，定义：M (a ，b )＝a ＋b ＋|a －b |2，m (a ，b )＝a ＋b －|a －b |2，则下列式子错误的是( )A ．M (a ，b )＋m (a ，b )＝a ＋bB ．m (|a ＋b |，|a －b |)＝|a |－|b |C ．M (|a ＋b |，|a －b |)＝|a |＋|b |D ．m (M (a ，b )，m (a ，b ))＝m (a ，b ) 答案 B解析 ∵M (a ，b )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，m (a ，b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，∴m (M (a ，b )，m (a ，b ))＝m (a ，b )，D 正确；M (a ，b )＋m (a ，b )＝a ＋b ，A 正确；m (|a ＋b |，|a －b |)＝min{|a ＋b |2，|a －b |2}＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |， ab <0，|a －b |， ab ≥0，B 错误；M (|a ＋b |，|a －b |)＝max{|a ＋b |2，|a －b |2}＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |＝|a |＋|b |，ab ≥0，|a －b |＝|a |＋|b |，ab <0，C 正确．故选B.6.如图，在单位圆中，用三角形的重心公式G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)研究内接正三角形ABC (点A 在x 轴上)，有结论：cos 0＋cos2π3＋cos 4π3＝0.有位同学，把正三角形ABC 按逆时针方向旋转α角，这时，可以得到的一个结论是____________________________．答案 cos α＋cos(2π3＋α)＋cos(4π3＋α)＝0解析在把正三角形ABC 按逆时针方向旋转α角的过程中，三个角始终相差2π3，所以得到cos α＋cos(2π3＋α)＋cos(4π3＋α)＝0.7．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之．问底子(每层三角形边茭草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数)，则本问题中三角垛底层茭草总束数为________．答案 120解析由题意，第n 层茭草束数为 1＋2＋…＋n ＝n n ＋2， ∴1＋3＋6＋…＋n n ＋2＝680，即为12[16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1)]＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，即有n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17， ∴n ＝15，∴n n ＋2＝120.8．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn)．若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．答案332解析由题意知，凸函数满足f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn)，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解方法一 (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.方法二 (1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.10．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b2≥9a 2＋b 2； (2)求证：m ≥72.证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b2≥9a 2＋b 2成立，只需证(1a 2＋4b2)(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b2≥4.根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b2≥2b 2a 2·4a 2b 2＝4成立，所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1，由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72.又因为a 2＋b 2＝m －2>0.所以m >2，故m ≤－1舍去，所以m ≥72.B 组能力提高11．已知正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段长度的平方和是( )A.1 0232 048a 2B.1 023768a 2C.5111 024a 2D.2 0474 096a 2答案 A解析由题意可知，这只小虫爬行的第一条线段长度的平方为a 21＝(12a )2＝14a 2，第二条线段长度的平方为a 22＝(24a )2＝18a 2，第三条线段长度的平方为a 23＝(14a )2＝116a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以该数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－1210]1－12＝1 023a 22 048.故选A. 12．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．答案 8解析由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8.13．如图(1)，已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长交对边分别于点A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1.请运用类比思想，如图(2)所示，在空间四面体V —BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长分别交四个面于点E ，F ，G ，H ，用“体积法”可得的类似结论为________________．答案OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝1 解析利用类比推理，面积类比体积．14．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．(1)试给出f (4)，f (5)的值，并求f (n )的表达式(不要求证明)； (2)证明：1f＋1f＋1f＋…＋1fn <43. (1)解 f (4)＝37，f (5)＝61. 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， f (4)－f (3)＝37－19＝3×6， f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n ＋2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. (2)证明当k ≥2时，1f k ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13(1k －1－1k )．所以1f＋1f＋1f＋…＋1fn <1＋13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n)] ＝1＋13(1－1n )<1＋13＝43.。

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