安徽省六安市第一中学2020届高三上学期周末检测(一)数学(理)试题(扫描版)
六安一中 2020 届高三年级理科数学周末测试
21、（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ln x mx 2 nx 1 的图象在 x 1 处的切线过点 ( 1 , 1 ) ． 22
（1）讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）若函数 g(x) f (x) x 1(m 0) 有两个极值点 x1 ，x2 ．证明：g x1 g x2 3 2 ln 2 ．
的对称点为 R ，证明直线 NR 过定点.
23、选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数 f (x) x2 x 1 ，且 m, n R ．
（1）若 m 2n 2 ，求 f (m) 2 f (n) 的最小值，并求此时 m, n 的值； （2）若| m n | 1，求证:| f (m) f (n) | 2(| m | 1) ．
A．4
B．7
C．8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．9
12 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 An ， Bn 是 圆 x2 y2 n2 上 两 个 动 点 ， 且 满 足
OAn
OBn
n2 2
（
n
N*
），设
An
，
Bn
到直线
x
3y n(n 1) 0 的距离之和的最大
值为 an
，若数列{ 1 an
四面体向下的一面出现偶数}；事件 B {第二个四面体向下的一面出现奇数}；C {两个
四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}.给出下列说法：
① P( A) P(B) P(C) ；
② P( AB) P( AC) P(BC) ；
③ P( ABC) 1 ； 8
④ P( A)P(B)P(C) 1 ， 8
且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数（ ）
2020年6月安徽省六安市第一中学2020届高三毕业班高考适应性考试数学(理)试题(解析版)】
绝密★启用前安徽省六安市第一中学2020届高三毕业班下学期高考适应性考试数学(理)试题(解析版)2020年6月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 已知{}1A x Z x =∈>-，集合{}2log 2B x x =<，则A B =（ ） A. {}14x x -<< B. {}04x x << C. {}0,1,2,3 D. {}1,2,3【答案】D【解析】【分析】先求解集合B 再求A B 即可. 【详解】{}04B x x =<<,∵{}1A x Z x =∈>-,∴{}1,2,3A B =,故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的不等式求解以及交集的运算,属于基础题.2. 设复数()1z bi b R =+∈，且234z i =-+，则z 的虚部为（ ）A. 2iB. 2i -C. 2D. 2- 【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的充要条件求出复数z ，从而得到z 的共轭复数，即可得解；【详解】解：因为()1z bi b R =+∈所以221234z b bi i =-+=-+，∴2b =，∴12z i =+，∴12z i =-，故z 的虚部为2-，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条件，属于基础题.3. 对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩的中位数为130；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】C【解析】【分析】根据折线图逐项判断：①甲同学的最高成绩是130，故不可能是中位数；②根据甲同学成绩折线图提供的数据，即可估计该同学的平均成绩；③乙同学的数学成绩。
六安市一中2020年3月高一数学第一次检测卷附答案解析
六安市一中2020年3月高一数学第一次检测卷一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<2．已知0.22020a =，20200.2b =，0.22020log c =，则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．在ABC V 中，tan tan tan tan A B A B +=，则角C 等于（ ） A ．23π B ．3π C ．56π D ．6π 4．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．345．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 总有()()3f x f x +=-，则()9f -的值为（ ） A ．3B ．0C ．32D ．92-7．已知函数122(()log 35)x f x ax =-+在(1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(8,6)-- B ．(,6]-∞- C ．[8,6]-- D ．(8,6]--8．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v，则λ=（ ）A ．13B ．12C ．3D ．29．若函数()sin ,,1,,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,0-10．已知非零实数,a b 满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b >B ．1133a b >C ．11a b< D ．1122log log a b <11．化简：4sin140tan 40︒-︒的值为（ ） A ．1B ．3CD12．已知函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,4a a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()a R ∈上的最大值为1y ，最小值为2y ，则12y y -的取值范围是（ ）A．1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B．⎡⎣C．12⎡-⎢⎣D．,12⎤⎥⎣⎦二、填空题13．已知()sin 2cos παα-=，则sin 2α=______．14．已知函数()21f x -的定义域为()2,0-，则()f x 的定义域为______． 15．将函数()y f x =的图象上所有点向右平移16个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大到原来的π倍，得到函数y x =的图象，则()y f x =的解析式为______．16．函数cos 112cos x y x+=-的值域为______．三、解答题17．已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()0f x =00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求0cos2x 的值．18．已知函数()()241log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭． （1）求18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）求函数()f x 的单调递减区间．19．已知函数1()421x x f x a a +=-⋅++ （1）若2a =，求不等式()0f x <的解集； （2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值()h a .20．已知函数()cossin 2cos 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）若函数()f x 的一条对称轴为0x x =，求0tan x 的值； （2）若[]0,x π∈，求函数()f x 的最值．21．已知函数()()()2sin 10,0f x x ωϕωϕπ=++><<，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π． （1）若函数()f x 为偶函数，求函数()f x 的对称中心； （2）若()1f x >对于任意的,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，求ϕ的取值范围．22．已知函数()2x f x xe e =-的零点分别为1x ，2ln 1x -．（1）求12x x 的值；（2）求证：2122ex x e +>．解析六安市一中2020年3月高一数学第一次检测卷一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.2．已知0.22020a =，20200.2b =，0.22020log c =，则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】根据指数函数与对数函数的性质求解. 【详解】由指数函数的性质得0.22020a =1>，0<20200.2b =1< 由对数函数的性质得0.22020log c =0<所以c b a <<. 故选：D 【点睛】本题主要考查指对冪比较大小，还考查理解辨析的能力，属于基础题.3．在ABC V 中，tan tan tan tan 33A B A B ++=，则角C 等于（ ）A ．23π B ．3π C ．56π D ．6π 【答案】D【解析】根据tan tan tan A B A B ++=，利用()tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++=-⋅求解. 【详解】因为tan tan tan tan 33A B A B ++=， 所以())tan tan 1tan tan 3tan 1tan tan 1tan tan A B A B A B A B A B ⋅-++===-⋅-⋅， 因为()tan tan C A B =-+= 所以6C π=.故选：D 【点睛】本题主要考查两角和正切公式的变形应用，还考查运算求解的能力，属于中档题. 4．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A【解析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解.【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=，又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为18.【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题. 5．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析函数的定义域、奇偶性以及函数值的正负变化，排除错误选项可得答案. 【详解】 由3cos 1()x f x x+=，可得()()f x f x -=-， 故()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A.当π02x <<时，()0f x >；当11cos 3x -≤<-时，()0f x <，排除C,D. 故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象的特征，排除错误选项得到答案.6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 总有()()3f x f x +=-，则()9f -的值为（ ） A ．3 B ．0 C ．32D ．92-【答案】B【解析】根据()()3f x f x +=-，得到6T =，再结合奇偶性求解. 【详解】因为()()3f x f x +=-， 所以()()6f x f x +=， 所以6T =所以()()()9300f f f -==-= 故选：B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.7．已知函数122(()log 35)x f x ax =-+在(1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(8,6)--B ．(,6]-∞-C ．[8,6]--D ．(8,6]--【解析】将问题转化为函数235y x ax =-+在(1,)-+∞上递增,且0y >在(1,)-+∞上恒成立,再根据对称轴与区间的关系和min 0y ≥可得答案. 【详解】因为函数122(()log 35)x f x ax =-+在(1,)-+∞上是减函数, 所以函数235y x ax =-+在(1,)-+∞上递增,且0y >在(1,)-+∞上恒成立,所以123a--≤-⨯,且23(1)(1)50a ⨯--⋅-+≥, 所以86a -≤≤-.故选:C 【点睛】本题考查了対数型复合函数的单调性, 将问题转化为函数235y x ax =-+在(1,)-+∞上递增,且0y ≥在(1,)-+∞上恒成立,是解题关键,本题属于中档题.8．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v，则λ=（ ）A ．13B ．12C ．3D ．2【答案】B【解析】根据2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()BABC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v求解. 【详解】因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v，所以1122,+3333AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r ，因为AD DC λ=u u u v u u u v ，所以λ=12， 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.9．若函数()sin ,,1,,x x a f x x a x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,0-【解析】根据函数()1sinx x a f x x a x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，，，的值域为[]11-，，则111x -≤≤成立，而对任意[],sin 1,1x R x ∈∈-恒成立，再结合x a >求解.【详解】因为函数()1sinx x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，，，的值域为[]11-，， 而111x-≤≤时，解得1x ≥或1x ≤-， 又因为对任意[],sin 1,1x R x ∈∈-恒成立， 如图所示：所以1a ≥ 故选：C 【点睛】本题主要考查分段函数的性质，还考查运算求解的能力，属于中档题. 10．已知非零实数,a b 满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b > B ．1133a b >C ．11a b< D ．1122log log a b <【答案】B【解析】根据非零实数a b ，满足a a b b >，取12a b ==-，验证. 【详解】因为非零实数a b ，满足a a b b >，当12a b ==-，时，排除A ，C ，D ，而B 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，还考查了特殊值法的应用，属于基础题.11．化简：4sin140tan 40︒-︒的值为（ ） A ．1B ．3CD【答案】D【解析】利用三角恒等变换求解. 【详解】4sin140tan40︒-︒，sin 404sin 40cos 40=-ooo， 2sin80sin 40cos 40-=o oo， 2cos10s50cos 40co -=o oo， ()2cos10s 6010cos 40co --=o o o o，3cos1022cos 40=o oo，()1030cos 40+==o o o故选：D 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．已知函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,4a a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()a R ∈上的最大值为1y ，最小值为2y ，则12y y -的取值范围是（ ）A．1⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．⎡⎣C．12⎡-⎢⎣ D．,12⎤⎥⎣⎦【答案】C【解析】根据区间长度是4π，正好为函数的周期的14，则函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在4a a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调时，12y y -最大，当函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在4a a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上对称时，12y y -最小，然后求解.【详解】因为函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()4a a a R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值为1y ，最小值为2y ，而区间长度为4π，正好为函数的周期的14，所以当函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在4a a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调时，则12y y -最大，不妨设递增，则最大值为sin 23a π⎛⎫-- ⎪⎝⎭5sin 26a π⎛⎫- ⎪⎝⎭212a π⎛⎫- ⎪⎝⎭≤ 当函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在4a a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上对称时，则12y y -最小， 此时不妨设7sin 21812f a a ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则722122k k Z ππαπ-=+∈，， 则322,34k k Z ππαπ-=+∈，所以sin 232πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以12y y -最小值为12-. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知()sin 2cos παα-=，则sin 2α=______． 【答案】45【解析】根据()sin 2cos παα-=，利用诱导公式得到sin 2cos αα=，解得tan α，再代入2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα===++求解.【详解】因为()sin 2cos παα-=，所以sin 2cos αα=，解得tan 2α=， 所以2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++. 故答案为：45【点睛】本题主要考查三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．已知函数()21f x -的定义域为()2,0-，则()f x 的定义域为______．【答案】()5,1--【解析】根据函数()21f x -的定义域为()20-，，得到20x -<<，进而得到5211x -<-<-，再根据函数的定义域的定义求解.【详解】因为函数()21f x -的定义域为()20-，， 所以20x -<<，所以5211x -<-<-，则()f x 的定义域为()51--，. 故答案为：()51--，【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.15．将函数()y f x =的图象上所有点向右平移16个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大到原来的π倍，得到函数y x =的图象，则()y f x =的解析式为______．【答案】()6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】利用逆向思维，按照图象变换从函数y x =的图象入手先伸缩，再平移.【详解】将函数y x =的图象，纵坐标不变，横坐标缩为到原来的1π，得到y x π=，再将图象上所有点向左平移16个单位，得到166y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：()6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.16．函数cos 112cos x y x+=-的值域为______． 【答案】(][),20,-∞-+∞U【解析】将函数cos 112cos x y x +=-，变形为1cos 12y x y -=+，再根据cos 1x ≤求解. 【详解】 因为函数cos 112cos x y x +=-， 所以1cos 12y x y-=+， 因为1cos 112y x y-=≤+， 解得2y ≤-或0y ≥.故答案为：(][)20-∞-⋃+∞，， 【点睛】本题主要考查三角函数的值域，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()03f x =，00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求0cos2x 的值．【答案】（1）π；（2）46+【解析】（1）将()()44cos sin 2sin cos f x x x x x =--转化为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再利用公式求周期.（2）根据()03f x =，解得01cos 243x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用角的变换由0000cos 2cos 2cos 2sin 244244x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解.【详解】（1）()()44cos sin 2sin cos f x x x x x =--，()()2222cos sin cos sin sin2x x x x x =+--，cos2sin224x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， ∴22T ππ==，∴()f x 的最小正周期为π.（2）因为()03f x =，0243x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得01cos 243x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为002x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，052,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 243x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以00004cos 2cos 2cos 2sin 2442446x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的性质和求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知函数()()241log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求18f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求函数()f x 的单调递减区间．【答案】（1）5；（2）(.【解析】（1）根据函数()()241log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入18x =求解. （2）转化()()()()242211log 2log log 2log 122f x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，令2log t x =，()()1212u t t =-+，根据复合函数的单调性求解.【详解】（1）因为函数()()241log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以241111log 2log 8882f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()()()332221log 22log 25152--⎛⎫=-⋅+=-⋅-= ⎪⎝⎭. （2）()()()()242211log 2log log 2log 122f x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 令2log t x =，()()1212u t t =-+， 由复合函数的单调性得：211log 22t x ≤⇒≤，解得0<≤x ∴单调递减区间为(0 【点睛】本题主要考查对数函数求值以及与对数函数有关的复合函数问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．已知函数1()421x x f x a a +=-⋅++（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值()h a .【答案】（1）2(0,log 3)（2）253,2()1,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩【解析】(1)将2a =代入再把2x 看成整体，函数()f x 转化为二次函数，解一元二次不等式，最后求出不等式的解集；(2)当[1,2]x ∈时, [2,4]t ∈,结合函数221y t at a =-++的图象和性质对a 进行讨论,可得答案.【详解】（1）设2(0,)x t =∈+∞,则22,()430a f x t t ==-+<,解得:13t <<,即123x <<,20log 3x <<,∴不等式()0f x <的解集为2(0,log 3).（2）当[1,2]x ∈时, 2[2,4]x t =∈, 2()21()f x t at a g t =-++=的对称轴为t a =,当2a ≤时,()g t 在[2,4]上单调递增,min ()(2)53g t g a ==-.当4a ≥时, ()g t 在[2,4]上单调递减, min ()(4)177g t g a ==-当24a <<时,()g t 在[2,]a 上单调递减, ()g t 在单调递增，2min ()()1g t g a a a ==-++.综上可得: 函数()f x 在区间[1,2]上的最小值，253,2()1,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，换元法，指数函数的图象和性质，难度中档.20．已知函数()cos sin 2cos 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）若函数()f x 的一条对称轴为0x x =，求0tan x 的值；（2）若[]0,x π∈，求函数()f x 的最值．【答案】（1）12；（2）max 12y =+，min 0y =. 【解析】（1）利用三角恒等变换将函数转化为()()()1,tan 22f x x ϕϕ=++=再利用对称轴方程求得0x ，再求0tan x .（2）根据[]0x π∈，，得到[],x ϕϕϕπ+∈+，再由tan 2ϕ=，得到,32ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的性质求解.【详解】 （1）函数()cos sin 2cos 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2cos sin 2cos 222x x x =+， 1sin cos 12x x =++，()()sin 1,tan 22x ϕϕ=++=， 对称轴02x k k Z πϕπ+=+∈，，解得02x k k Z πϕπ=-+∈，，011tan tan tan 22tan 2x k ππϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫=-+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为[]0x π∈，，所以[],x ϕϕϕπ+∈+，因为tan 2ϕ=，所以,32ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3,32ππϕπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当2x πϕ+=时，()f x 1+ 当x π=时，()f x 取得最小值0.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数()()()2sin 10,0f x x ωϕωϕπ=++><<，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π．（1）若函数()f x 为偶函数，求函数()f x 的对称中心；（2）若()1f x >对于任意的,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，求ϕ的取值范围．【答案】（1）(),142k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）,32ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）根据函数()()2sin 1f x x ωϕ=++图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，得到22T ππωω==⇒=，再根据()f x 为偶函数求得ϕ，然后求对称中心.（2）根据()1f x >对于任意的64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，恒成立，转化为()sin 20x ϕ+>对于任意的64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，恒成立求解.【详解】 （1）因为函数()()2sin 1f x x ωϕ=++图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π． 所以22T ππωω==⇒=又∵()f x 为偶函数2k πϕπ⇒=+，取2πϕ=，()2sin 212cos212f x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， ∴22x kx π=+，解得42k x ππ=+， 所以对称中心为()142k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. （2）()()()12sin 211sin 20f x x x ϕϕ>⇒++>⇒+>， ∵232x ππϕϕϕ⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，， ∴2322k k ππϕπϕππ⎧≤-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩ 解得2232k k πππϕπ+≤≤+又∵()0ϕπ∈，，∴32ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知函数()2x f x xe e =-的零点分别为1x ，2ln 1x -．（1）求12x x 的值；（2）求证：2122ex x e +>．【答案】（1）312x x e =；（2）详见解析.【解析】（1）求导()()1xf x x e '=+，当1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，当1x >-时，()0f x '>，()f x 递增，根据0x <时，()0f x <恒成立，得到()f x 只有一个零点，即12ln 1x x =-，再根据1210x x e e -=，两者联立求解.（2）根据（1）知321e x x =，当1x >-时， ()f x 递增，由12211022f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()22220f e e =->，得到11,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()322e g x ex e x=+-，证()min 0g x ≥即可. 【详解】（1）()()1xf x x e '=+， 当1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，当1x >-时，()0f x '>，()f x 递增，因为0x <时，()0f x <，所以()f x 只有一个零点，所以12ln 1x x =-，又因为1210x x e e -=，所以121x e e x =， 两边取对数得112ln x x =-，所以122ln ln 1x x -=-，即12ln 3x x =，解得312x x e =.（2）由（1）知321e x x =，当1x >-时， ()f x 递增， 而12211022f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()22220f e e =-> 所以11,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()322e g x ex e x=+- 所以()()223220e x e e g x e e x x -'=-=+<所以()g x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，所以()()()22202e e g x g ->=>， 所以322e ex e x+>， 即2122ex x e +>.【点睛】本题主要考查导数与函数的零点和证明不等式问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.。