湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
湖南省师大附中20XX届高三上学期第一次月考数学(文)试题
湖南省师大附中20XX届高三上学期第一次月考数学（文）试题湖南省师大附中2021届高三上学期第一次月考数学（文）试题（考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6．页。
时量120分钟。
满分50分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={y|y=2x，x成立的x的取值集合．?2（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向下平移17．（本小题满分12分）为了解学生家长对师大附中实施现代教育教改实验的建设性意见，学校决定用分层抽样的方法，从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行座谈．已知高一、高二、高三年级的家长蠢员会分别有54人、18人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中应分别抽取的家长人数；（II）若从已经抽取的6人中再随机选取3人加入教改课题组，求这3人中至少有一人是高三学生家长的概率． 18．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，BC=CC1=2，点E在棱AB 上．（I）证明：B1C⊥C1E；（Ⅱ）若四棱锥E—B1BCC1的体积为4，求异面直线AA1与C1E所成的角． 319．（本小是满分13分）已知数列{an}满足:a1?aa2???n?2n?1(n?N*). 2n（I）求数列{an}的通项公式；2n2?n,数列{bn}的前n项和为Sn．若对一切n?N*,都有Sn?M 成立（M为（Ⅱ）设bn?an正整数），求M的最小值．·3·20·（本小题满分13分）已知圆C：（x-a）2+（y-a-2）2=9，其中a为实常数．（I）若直线l：x+y-4=0被圆C截得的弦长为2，求a的值；（Ⅱ）设点A（3，0），0为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|=2 |MO|，求a的取值范围． 21．（本小题满分13分）已知函数f(x)?a?12x（I）证明：+当x>0时，f（x）≥91n x－18x+7；（Ⅱ）试推断是否存在实数t，使过点A（1，t）可作曲线y=f（x）的3条切线?若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．3·4··5·。
湖南师大附中2015届高三月考试卷(二)数学文试题含解析
湖南师大附中2015届高三月考（二）数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁R N等于（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，0）C．[1，3）D．（0，1）解答：解：由M={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，又N={x|2x＜2}={x|x＜1}，全集U=R，所以∁R N={x|x≥1}．所以M∩（∁R N）={x|﹣1＜x＜3}∩{x|x≥1}=[1，3）．故选C．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，是基础的运算题．2．设复数Z满足（2+i）•Z=1﹣2i3，则复数Z对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解答：解：∵（2+i）•Z=1﹣2i3，∴．∴复数Z对应的点的坐标为（），位于第一象限，故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知命题p：“∀x∈R，2x＜3”；命题q：“∂x0∈R，sinx0+cosx0=2”，则（）A．p假，q真B．“p∧q”真C．“p∨q”真D．“p∧q”假解答：解：命题p：“∀x∈R，2x＜3”是假命题，当x=2时就不成立．命题q：“∂x0∈R，sinx0+cosx0=2是假命题，对任意的x∈R，sinx+cosx=sin（x+），∴“p∧q”为假命题．故选：D点评：本题考查了命题的判断属于基础题．4．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）A．2 B．3C．4D．5解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．9解答：解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．则=18．故选：C．点评：做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题．6．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．解答：解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A点评：对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为（）A．1064 B．1065 C．1067 D．1068考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当k=9时满足条件k≤n，S=1067，k=10时不满足条件k≤n，输出S的值为1067．解答：解：执行程序框图，有n=9k=1，S=0满足条件k≤n，S=3，k=2满足条件k≤n，S=9，k=3满足条件k≤n，S=20，k=4满足条件k≤n，S=40，k=5满足条件k≤n，S=77，k=6满足条件k≤n，S=147，k=7满足条件k≤n，S=282，k=8满足条件k≤n，S=546，k=9满足条件k≤n，S=1067，k=10不满足条件k≤n，输出S的值为1067．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．8．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出ϕ，即可求解f（）的值．解答：解：因为f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜ϕ＜π，所以ϕ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=cos=．故选：D．点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．9．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C．+1 D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意M的坐标为M（），代入椭圆方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意M的坐标为M（），代入椭圆方程可得∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．点评：本题考查双曲线与圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，1）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p（m，n），运用导数，求出切线的斜率，再由图象观察即可得到k的取值范围．解答：解：函数f（x）=，画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p（m，n），由于（log2x）′=，即切线的斜率为=k，又n=km，n=log2m，解得m=e，k=，则k＞0时，直线与曲线有交点，则0＜k，综上，可得实数k的取值范围是：（﹣∞，]．故选C．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，考查运用导数求切线的斜率，属于中档题．二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）11．在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：点P（2，）化为，即．直线ρcos（x﹣）=0化为，化为+y=0．∴点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离d==．故答案为：．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．12．在区间[﹣π，π]内随即取一个数记为x，则使得sinx≥的概率为．的区间长度，即可求得概率．≥[≥故答案为：．，13．若点P（x，y）满足则点P（x，y）到坐标原点O的距离的最大值为．的距离的最大值为=故答案为：14．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，∠DAB=60°，=3，则•的值是3．，可得=+，解：∵∴=，=∴•（）=﹣﹣﹣，可得=+，=，是解答的关键，属于中档题．15．已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）则（1）f（5，6）=26，（2）f（m，n）=2m﹣1+2（n﹣1）．三、解答题（本题共6小题，75分）16．（12分）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（I）先由正弦定理把sinA+sinB=sinC转化成边的关系，进而根据三角形的周长两式相减即可求得AB．（2）由△ABC的面积根据面积公式求得BC•AC的值，进而求得AC2+BC2，代入余弦定理即可求得cosC的值，进而求得C．解答：解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，得：AB=1．（Ⅱ）由△ABC的面积=BC•ACsinC=sinC，得BC•AC=，∴AC2+BC2=（AC+BC）2﹣2AC•BC=2﹣=，由余弦定理，得，所以C=60°．点评：本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识．此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年高考的一个重点，但难度一般不大，是高考的一个重要的得分点．17．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？K2=．考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．解答：解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15 45 6025周岁以下组15 25 40合计30 70 100所以可得K2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．点评：本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A C 1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D为AB的中点．（1）求证：BC1∥面A1DC；（2）若AA1=，求二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接AC1，与AC1交于点E，连接ED，由已知得DE∥BC1，由此能证明BC1∥面A1DC．（2）由已知得∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角，由此能求出二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小．解答：（1）证明：连接AC1，与AC1交于点E，连接ED，则E为AC1的中点，又点D是AB中点，则DE∥BC1，而DE⊂平面A1DC，BC1不包含于面A1DC，∴BC1∥面A1DC．（2）解：∵二面角A1﹣CD﹣B的平面角与二面角A1﹣CD﹣A的平面角互补，又∵CD⊥AB，CD⊥AA1，∴CD⊥面ADA1，∴CD⊥A1D，∴∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角，在Rt△A1AD中，∵AA1==AD，∴∠A1DA=45°，∴二面角A1﹣CD﹣A的平面角的大小为45°，∴二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小为135°．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的平面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（13分）已知数列．（1）若存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请求出λ的值；（2）在（1）的条件下，求出数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的定义建立条件关系即可求出λ的值；（2）根据等差数列的前n项和S n．即可求解．解答：解：（1）假设存在实数λ符合题意．则必为与n无关的常数，∵=，要使是与n无关的常数，则．故存在实数λ=﹣1．使得数列为等差数列．（2）由（1）可得，∴，∴，∴a n=（n+1）2n+1令b n=（n+1）2n且前n项和为T n，∴…①…②①﹣②得=2n﹣1﹣（n+2）2n+1=﹣n•2n﹣1，∴．∴点评：本题主要考查数列的递推公式，以及等差数列数，要求熟练掌握相应的通项公式和前n项和公式，以及利用错位相减法求熟练的和，考查学生的计算能力．20．（13分）已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．（2）利用条件x0是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明f（x0）≤．解答：解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴当a≥时，f'（x）≥0在定义域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜时，f'（x）=0时，x=，≤0⇔a≥0，∴0≤a＜时，f（x）在（0，+∞）单调递增；＞0⇔a＜0，∴a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）可知当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．∴当x=时，函数f（x）有极小值，∴x0=＞0，∴⇒a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+alnx0=+x0﹣（+x0）lnx0，记g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，则g′（x）=﹣（2x+1）lnx，列表分析如下：x （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣g（x）增极大值减∴g（x）max=g（x）极大值=g（1）=，∴f（x0）≤．点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题．对于参数问题要注意进行分类讨论．21．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a﹣c）求得e的范围．（3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．解答：解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．。
湖南省师大附中高三数学第一次月考试题 文(含解析)湘
湖南师大附中2015届高三第一次月考文科数学试卷【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【题文】1．已知a 是实数，a ＋i1－i是纯虚数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．－ 2 【知识点】复数代数形式的运算. L4【答案解析】A 解析：因为()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++--==+--+是纯虚数，所以102a -=，即1a =，故选A.【思路点拨】先把原复数化简，再令实部等于0即可解得a 的值.【题文】2．极坐标方程2cos 4sin r q q ＝所表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一条抛物线 D ．一条双曲线【知识点】极坐标方程.N3【答案解析】C 解析：把2cos 4sin r q q ＝两边同时乘以r 可得：22cos 4sin r q r q ＝，又因为cos ,sin x y r q r q ==，代入可得24x y =,表示一条抛物线,故选C.【思路点拨】把原式变形，再把cos ,sin x y r q r q ==代入即可化简.【题文】3．设集合A ＝{x|x>－1}，B ＝{x|x≥1}，则“x∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1<x≤1B ．x ≤1C ．x>－1D ．－1<x<1 【知识点】集合的运算.A1 【答案解析】D 解析：因为集合A ＝{x|x>－1}，B ＝{x|x≥1}，所以x ∈A 且x ∉B 可得－1<x<1. 故选D.【思路点拨】利用交集与补集的运算即可. 【题文】4．如果函数f(x)＝sin(π2x ＋θ)(0<θ<π)是最小正周期为T 的偶函数，那么( )A ．T ＝4π，θ＝π2B ．T ＝4，θ＝π2C ．T ＝4，θ＝π4D ．T ＝4π，θ＝π4【知识点】函数的周期性；函数的奇偶性.B4 B5【答案解析】B 解析：由周期的公式可得：242T p p==，若为偶函数，则q 必为2p 的奇数倍，而在0q p <<中只有2p满足题意，所以2p q =，故选B. 【思路点拨】先利用公式求出周期，再结合偶函数的性质得到2pq =即可.【题文】5．已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是( ) A ．若α∥b ，β∥b ，则α∥β B ．若α∥a ，α∥b ，则a ∥b C ．若a ⊥α，b ⊥β，则α∥β D ．若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β 【知识点】 空间中线线、线面间的位置关系. G4 G5【答案解析】D 解析：对于A ：若α∥b ，β∥b ，则α∥β或相交，故A 错误； 对于B ：若α∥a ，α∥b ，则a 与b 平行、相交或异面.故B 错误； 对于C ：明显错误；对于D ：若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β，正确. 故选D.【思路点拨】依据定理、公理依次排除即可.【题文】6．若ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4},则对于函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 应有( )A ．f(5)<f(2)<f(－1)B ．f(5)<f(－1)<f(2)C ．f(－1)<f(2)<f(5)D ．f(2)<f(－1)<f(5)【知识点】函数的单调性；函数的对称性.B3 B5【答案解析】B 解析：因为ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4}，可知：0a <，28b a ca ì-=ïïíï=-ïî，解得：2,8b ac a =-=-，代入()2f x ax bx c ＝＋＋，即()228f x ax ax a --＝，所以()()228f x a x x --＝，表示开口方向向下，对称轴为1的抛物线，则函数在()1,+?递减，所以()()()532f f f <<，而由对称性可得：()()31f f =-，所以()()()512f f f <-<，故选B.【思路点拨】先由不等式的解集判断出a 的符号以及与b ，c 的关系，再由单调性得到的关系为()()()532f f f <<，而由对称性可得：()()31f f =-即可得解.【题文】7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定 【知识点】余弦定理.C8【答案解析】A 解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c2＝a2＋b2，a ＋b>c.新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.【思路点拨】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c2＝a2＋b2，a ＋b>c.新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正即可判断.【题文】8．若1a <1b <0，则下列不等式中不正确的是( )A ．ab<b2B ．a ＋b<abC ．a2>b2 D.b a ＋ab >2【知识点】比较大小.E1【答案解析】C 解析：令1,2a b =-=-代入检验可排除A,B,D ；故选C. 【思路点拨】利用排除法与赋值法相结合可得结果.【题文】9．已知an ＝logn ＋1(n ＋2)(n∈N *)，观察下列运算：( ) a1·a2＝log23·log34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·……·log78 ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·……·lg 8lg 7＝3；……. 若a1·a2·a3·……·ak (k∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”， 试确定当a1·a2·a3·……·ak ＝2 014时，“企盼数”k 为 A ．22 014＋2 B ．22 014 C ．22 014－2 D ．22 014－4 【知识点】对数的运算.B7【答案解析】C 解析： a1·a2·a3·……·ak＝lg （k ＋2）lg 2＝2 014⇒lg(k ＋2)＝lg 22 014⇒k ＝22 014－2.【思路点拨】由新定义计算a1·a2·a3·……·ak 后再解方程即可.【题文】10．过点(－2，0)的直线l 与抛物线y ＝x22相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l 的斜率k 等于( ) A ．－16 B ．－14 C.14 D.12【知识点】导数的几何意义；抛物线的性质.B11 H7【答案解析】C 解析：对抛物线y ＝x22，y′＝x ，l 的方程是y ＝k(x ＋2)代入y ＝x22得：x2－2kx －4k ＝0，设两个交点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k2＋16k>0x1x2＝－4k ，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2＝－1.∴k＝14且满足Δ>0.【思路点拨】设出直线方程再与抛物线方程联立转化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及判别式求出12x x ，然后结合在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即可得到结果.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取___个． 【知识点】分层抽样.I1【答案解析】12 解析：用分层抽样的方法抽取的比例为4012005=，所以从二等品中应抽取 160125?，故答案为12.【思路点拨】分层抽样的特点是按比例进行抽取，先计算出抽取的比例，在计算从二等品中应抽取的个数即可.【题文】12．阅读右边的框图填空：若a ＝0.80.3，b ＝0.90.3，c ＝log50.9，则输出的数是___．【知识点】程序框图；指数函数、对数函数的性质.B6 B7 L1【答案解析】b(或0.90.3)解析：因为由指数函数、对数函数的性质可知：0.30.350.80.9log 0.9<0a b c ＝>0，＝>0，＝，且a b>，根据框图的流程指向可得输出的结果为b ，故答案为b(或0.90.3).【思路点拨】先根据指数函数、对数函数的性质判断出a ，b ，c 的大小关系，再由框图的流程指向可得输出的结果.【题文】13．若直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切，则k 的值是____． 【知识点】直线与圆的位置关系.H4【答案解析】±解析：因为直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切，所以圆心()2,0到直线的距离1d r ===，解得k =?，故答案为±.【思路点拨】直线y ＝kx 与圆x2＋y2－4x ＋3＝0相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程解之即可.【题文】14．设函数f(x)＝x(ex ＋1)＋12x2，则函数f(x)的单调递增区间为____．【知识点】函数的单调性与导数的关系.B12 【答案解析】[)1,-+?解析：因为函数f(x)＝x(ex ＋1)＋12x2，所以其导函数为：()()()111x x x f x e x e x x e ¢=++?=++，又因为求其单调递增区间，所以()0f x ¢³，即()()110xx e ++?，解得：1x ?，故答案为[)1,-+?.【思路点拨】先求导，再利用()0f x ¢³解不等式即可.【题文】15．当n 为正整数时，定义函数N(n)表示n 的最大奇因数．如N(3)＝3，N(10)＝5，….记S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)． 则(1)S(3)＝____；(2)S(n)＝____. 【知识点】函数值的求解.B1【答案解析】22； 4n ＋23 解析：由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n －1)＝2n －1.又S(0)＝N(1)＝1.(1)S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)] ＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋40＋S(0)＝22.(2)S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)] ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n －1)]， ∴S(n)＝4n －1＋S(n －1)(n≥1)，∴S(n)＝4n －1＋4n －2＋…＋41＋40＋1＝4n ＋23.【思路点拨】（1）由题意可得，S （3）=N （1）+N （2）+N （3）+…+N （8），分别寻求每一项的值，然后可求;（2）先根据题意求出当n=1时，S （1）=N （1）+N （2），S （2）=N （1）+N （2）+N （3）+N （4），S （3）=N （1）+N （2）+N （3）+N （4）+…+N （8），S （4）=N （1）+N （2）+N （3）+N （4）+…+N （16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)已知函数f(x)＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos2ωx ＋1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求当x∈(0，π2]时f(x)的值域．【知识点】二倍角公式；三角函数的最值.C4 C6【答案解析】(1) ω＝2. (2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 解析：(1)f(x)＝3sin ωxcos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＋1＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32.∵ω>0，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2. (6分)(2)由(1)得：f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32., ∵0<x ≤π2，∴π6<2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，∴1≤f (x)≤52，∴f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52. (12分)【思路点拨】(1)先利用二倍角公式化简，再利用周期公式求出ω即可；(2)结合单调性求出最值.【题文】17．(本题满分12分) 某中学高三(1)班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：(1)求表中a 、b 、c 的值；(2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样的方法从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，则在第二组学生中应抽取多少人？(3)已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【知识点】频率分布表；分层抽样；古典概型.I1 I2 K2 【答案解析】 (1) a ＝17，b ＝0.34，c ＝0.12. (2)4 (3) P ＝35.解析： (1)由表知5＋10＋12＋a ＋6＝50， 则a ＝17，b ＝1750＝0.34，c ＝650＝0.12. (4分)(2)因为10×2050＝4，所以在第二组学生中应抽取4人． (7分)(3)从5名学生中随机抽取2人有10种取法(可列举出来)，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有6种(也列举出来)，则所求概率P ＝610＝35. (12分)【思路点拨】(1) 根据总数为50 先求a 的值，再计算b ，c 即可(2) 按比例抽取即可，(3)列举出从5名学生中随机抽取2人的所有情况，再找出满足题意的情况，代入公式即可. 【题文】18．(本题满分12分)如图，已知三棱锥P －ABC 中，PC⊥平面ABC ，AB⊥BC， PC ＝BC ＝4，AB ＝2，E 、F 分别是PB 、PA 的中点． (1)求证：侧面PAB⊥侧面PBC ；(2)求三棱锥P －CEF 的外接球的表面积．【知识点】面面垂直的判定；组合体.G5 G8 【答案解析】(1)见解析 (2) 17π. 解析：(1)∵PC⊥平面ABC ，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC ，AB ⊂侧面PAB ， 故侧面PAB⊥侧面PBC. (6分)(2)∵PC＝BC ＝4，E 为PB 的中点，∴CE⊥PB， 而侧面PAB 垂直侧面PBC 于PB ，∴CE⊥EF. 由E 、F 分别是PB 、PA 的中点有EF∥AB， 则EF⊥侧面PBC.故EC 、EF 、EP 两两垂直， (9分)三棱锥P －CEF 的外接球就是以EC 、EF 、EP 为长、宽、高的长方体的外接球，易求得EC ＝EP ＝22，EF ＝1，其外接球的直径是8＋8＋1＝17，故所求三棱锥P —CEF 的外接球的表面积是4π⎝ ⎛⎭⎪⎫1722＝17π. (12分)【思路点拨】(1) PC⊥平面ABC ，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC ，AB ⊂侧面PAB ， 故侧面PAB⊥侧面PBC. (2)由已知得到三棱锥P －CEF 的外接球就是以EC 、EF 、EP 为长、宽、高的长方体的外接球即可求出结果. 【题文】19．(本题满分13分)已知函数f(x)＝13x3＋12ax2－(a ＋2)x ＋b(a ，b∈R)在[－1，1]上是减函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)设12<a<1，若对任意实数u 、v∈[a－1，a]，不等式|f(u)－f(v)|≤2912恒成立，求实数a的最小值．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求最值.B12 【答案解析】(1) a≥－12. (2) 34解析： (1)由函数f(x)＝13x3＋12ax2－(a ＋2)x ＋b(a ，b∈R)在[－1，1]上是减函数得：x∈[－1，1]时，f′(x)＝x2＋ax －a －2≤0恒成立． (3分)∴⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝1＋a －a －2≤0f′（－1）＝1－a －a －2≤0，可得a≥－12. (6分)(2)∵12<a<1，∴－12<a －1<0，∴[a－1，a]⊂[－1，1]，故f(x)在[a －1，a]上是减函数， (7分)∴fmax＝f(a －1)＝13(a －1)3＋12a(a －1)2－(a ＋2)(a －1)＋b ，fmin ＝f(a)＝13a3＋12a3－a(a ＋2)＋b.依条件有fmax －fmin≤2912，∴fmax－fmin ＝－2a2＋52a ＋53≤2912， (11分)即8a2－10a ＋3≥0， a≥34或a≤12， ∵12<a<1，∴amin＝34. (13分) 【思路点拨】(1) 转化为x∈[－1，1]时，f′(x)＝x2＋ax －a －2≤0恒成立的问题即可；(2)结合已知条件得到f(x)在[a －1，a]上是减函数，再利用fmax －fmin≤2912即可得到结果.【题文】20．(本题满分13分)如图，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，0(c 是双曲线的半焦距)，双曲线虚轴的下端点为B.过双曲线的右焦点F(c ，0)作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，若点D 满足2OD →＝OF →＋OP →(O 为原点)，且A 、B 、D 三点共线．(1)求双曲线的离心率；(2)若a ＝2，过点B 的直线l 交双曲线的左、右支于M 、N 两点， 且△OMN 的面积S △OMN ＝26，求l 的方程．【知识点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．H6 H8 【答案解析】(1) 34 (2) y ＝±24x －1.解析：(1)∵B(0，－b)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，0，易求得P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b2a .∵2OD →＝OF →＋OP →，即D 为线段FP 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b22a . (3分)又A 、B 、D 共线．而AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c ，－b ，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a2c ，b22a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a2c ·(－b)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b22a ，得a ＝2b ， (5分)∴e＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋14＝52. (6分) (2)∵a＝2，而e ＝52，∴b2＝1， 故双曲线的方程为x24－y2＝1.① (7分)∴B 点的坐标为(0，－1)，设l 的方程为y ＝kx －1，② ②代入①得(1－4k2)x2＋8kx －8＝0，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1－4k2≠0Δ＝64k2＋32（1－4k2）>0x1·x2＝84k2－1<0，得：k2<14. (9分)设M 、N 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 则x1＋x2＝8k4k2－1.而S△OMN＝12|OB|(|x1|＋|x2|)＝12|x1－x2|＝12（x1＋x2）2－4x1·x2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 4k2－12－324k2－1＝22·1－2k21－4k2＝26， (11分) 整理得24k4－11k2＋1＝0，解得：k2＝18或k2＝13(舍去)．∴所求l 的方程为y ＝±24x －1. (13分) 【思路点拨】(1) 欲求双曲线的离心率，只需找到含a ，c 的齐次式，由已知，易求P 点坐标，根据2OD →＝OF →＋OP →(O 为原点)，可判断D 点为FP 的中点，再根据已知可找到a ，b 的关系，进而转化为含a ，c 的等式，即可求出离心率e 的值．（2）当a=2时，根据（1）中所求离心率，可求出b 的值，进而求出双曲线方程，根据直线MN 过B 点，设出直线MN 的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2，△OMN 被y 轴分成两个三角形，分别求出面积，再相加，即为△OMN 的面积，让其等于题目中所给的值，可得到关于直线l 的斜率k 的方程，解出k 即可． 【题文】21．(本题满分13分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4y ≥0y ≤nx （n∈N *）所表示的平面区域为Dn ，记Dn 内整点的个数为an(横纵坐标均为整数的点称为整点)．(1)n ＝2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式；(3)记数列{an}的前n 项的和为Sn ，试证明：对任意n∈N * 恒有S122S2＋S232S3＋…＋Sn （n ＋1）2Sn ＋1<512成立．【知识点】等差数列的前n 项和；不等式的证明.D2 E7 【答案解析】(1)25 (2) 10n ＋5. (3)见解析 解析： (1)D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点， ∴a2＝5×9＋52＝25. (3分)(另解：a2＝1＋3＋5＋7＋9＝25)(2)直线y ＝nx 与x ＝4交于点P(4，4n)， 据题意有an ＝5×（4n ＋1）＋52＝10n ＋5. (6分)(另解：an ＝1＋(n ＋1)＋(2n ＋1)＋(3n ＋1)＋(4n ＋1)＝10n ＋5) (3)Sn ＝5n(n ＋2)． (8分) ∵Sn （n ＋1）2Sn ＋1＝n （n ＋2）（n ＋1）2（n ＋1）（n ＋3）＝1（n ＋1）（n ＋3）·n （n ＋2）（n ＋1）2<1（n ＋1）（n ＋3），∴S122S2＋S232S3＋…＋Sn （n ＋1）2Sn ＋1<12×4＋13×5＋…＋1（n ＋1）（n ＋3）(11分) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n ＋1－1n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3<512. (13分)【思路点拨】(1) 根据已知条件画出图形即可；(2) 借助于等差数列的前n 项和公式即可；(3)先利用裂项相消法，再结合放缩法即可.。
湖南师大附中2015届高三月考试卷
湖南师大附中2015届高三月考试卷(三)数学（理科）命题：湖南师大附中高三数学备课组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{|0}P y y =≥，且P Q Q =，则集合Q 可能是 （ ）A ．2{|1}y y x =+ B ．{|2}xy y = C ．{|1}y y gx = D ．∅【答案】C2.函数()412x xf x +=的图象 （ ）A.关于原点对称B.关于直线y=x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称【答案】D3．下列结论中错误．．的是 ( ) A ．设命题p ：x R ∃∈，使220x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，都有220x x ++≥ B ．若,x y R ∈，则“x y =”是“2()2x y xy +≤取到等号”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∧q 为假命题，则命题p 与q 都为假命题 D ．命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为真命题 【答案】C4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为 （ ） A. 4 B. 16 C. 256 D. 3log 16 【答案】C5．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若M 在以线段F 1 F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 BCD【答案】A7．已知a r 、b r 、c r 均为单位向量，且满足a r ·b r =0，则（a r +b r +c r ）·（a r +c r）的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B8．某市政府调查市民收入与旅游愿望时，采用独立检验法抽取3000人，计算发现K 2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信)A. 99.5% B ．97.5% C ．95% D ．90% 【答案】B9.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 （ ）A .()0,+∞B . ()(),03,-∞+∞C .()(),00,-∞+∞ D .()3,+∞【解析】构造函数()e ()e ,xxg x f x =⋅-'''()e ()e ()e e ()()10,x x x x g x f x f x f x f x ⎡⎤=⋅+⋅-=+->⎣⎦因为所以()e ()e xxg x f x =⋅-是R 上的增函数，又因为(0)3g =，所以原不等式转化为()(0)g x g >，解得0x >.故选A.10．若存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列,周期为T .已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>, 11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩,关于下列命题：①当34m =时，52a =；②若m =则数列{}n a 是周期为3的数列；③若34a =,则m 可以取3个不同的值；④m Q ∃∈且[]4,5m ∈,使得数列{}n a 的周期为6.其中真命题的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】对于①，当34m =时，易求得234541,,3,23a a a a ====，故①为真；对于②，当m =23411,1,a a a a ===，∴数列{}n a 是周期为3的数列，故②为真；对于③，由题意得22332201111a a a a a a<≤⎧>⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩或，3214,54a a =∴=或，又11221101111a a a a a a<≤⎧>⎧⎪⎨⎨==-⎩⎪⎩或且1a m =，51645m ∴=或或，故③为真；对于④，当=45m 或时，显然数列{}n a 不是周期数列，当()4,5m ∈时,要使得数列{}n a 的周期为6，必有711,14a a m m =-=-即,此时m Q ∉,故④为假命题.应选C. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =________. 【答案】2 12．已知二项式3(ax 展开式中各项的系数和为64，则a =_________. 【答案】313．在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为_________．【答案】314．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则其公比q 为 ____________. 【答案】-2第13题PABCDE15．已知()||xf x x e =⋅，方程()2()()10f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为______________.【解析】()||x f x x e =⋅=(0)(0)xxxe x xe x ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩，0x ≥当时，'()0x xf x e xe =+≥恒成立， ()f x ∴在(0,)+∞递增，0x <当时，'()(1),x f x e x =-+此时()f x 在(,1)-∞-上递增，在 (1,0)-上递减，所以()f x 在(,0)-∞上有一个最大值为1(1)f e-=，要使方程()2()()10f x tf x t R ++=∈有四个实根，令()m f x =，则方程210m tm ++=应有两个不等实根，且一个根在1(0,)e内，另一个根在1(,)e +∞内，再令2()1g x m tm =++，(0)10g =>，则只需1()0g e<，解得21e t e +<-. 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）某学校为准备参加市运动会，对本校高一、高二两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”．(1)如果从所有的运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共10人，则应抽取“合格”的人数是多少？(2)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员来自高一队的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．解：(1)根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是101303=，所以应抽取“合格”的人数为12×143=人． ……………4分 (2)依题意，X 的取值为0,1,2. 则 P (X ＝0)＝C 28C 212＝2866＝1433，P (X ＝1)＝C 14C 18C 212＝3266＝1633，高二高一P (X ＝2)＝C 24C 212＝666＝111.因此，X 的分布列如下：10分 ∴E (X )＝0×1433＋1×1633＋2×111＝2233＝23. ………………………………12分17.（本题满分12分）在ABC ∆中，三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,设函数()2cos 2f x x x =+， 且()22Af =．（1）若cos cos sin a B b A c C +=，求角B 的大小；（2）记()||g AB AC λλ=+，若||||3AB AC ==，试求()g λ的最小值．解：(1)由题设条件知f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由正弦定理，知 cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=故2sin()sin A B C +=, 即2sin sin C C =因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又因为0C π<<,所以2C π=, …………3分因为()22A f =，得3A π=, 所以()6B AC ππ=-+=. ………………………6分(2) 2222||()||2||||cos ||AB AC AB AC AB AB AC A AC λλλλ+=+=++又||||3AB AC ==，3A π=. ………………………………9分所以22||(1)||(1AB AC AB λλλ+=++==故12λ=-时，()||g AB AC λλ=+.………………………………12分另解：记AB AC AP λ+=,则P 是过B 与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，所以()g λ的最小值即点A 到直线l .18.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，对角线AC 与BD 交于点O ，3OA =，1OD =，CD =SO ⊥面.ABCD（1）求证：SA BD ⊥；（2）若四棱锥S ABCD -的体积8V =， 求二面角A SB C --的平面角的正弦值. 解：（1）因为1OD =，底面ABCD 为等腰梯形， 所以，1OC =，又CD =OC OD ⊥，即AC BD ⊥，又SO ⊥面ABCD ，则BD SO ⊥， 而SA SO A =，故BD ⊥面SOA ，故SA BD ⊥. ………………………5分 （2）因为底面ABCD 为等腰梯形，且AC BD ⊥，则面积182S AC BD =⋅=， 则四棱锥S ABCD -的体积18 3.3V S SO SO ==⋅⇒= …………………7分 法一（向量法）、建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0)O ，(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(1,0,0)C -，(0,0,3)S ，于是(3,0,3),(0,3,3)SA SB =-=-，(1,0,3).SC =--令面SAB 的法向量1(,,1)n x y =，由1103303300n SA x y n SB ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，则1(1,1,1)n =再令面SBC 的法向量2(,,1)n x y =，由110330300n SB y x n SC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩，则2(3,1,1)n =-，设二面角A SB C --的平面角为θ，则121233cos n n nn θ⋅==⋅， 故sin 33θ=. ………………………………12分ABCDSOyABC DSOH法二（几何法）、作OH SB ⊥于点H ，连接AH 、CH由题设条件（或用三垂线定理）可证,AH SB CH SB ⊥⊥，则A H C ∠为二面角A SB C --的平面角。
湖南省师大附中2015届高三数学第一次月考试题 理(含解析)
某某省师大附中2015届高三数学第一次月考试题 理（含解析）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知集合M ＝{ |x x2－2x<0}，N ＝{ |x x<a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值X 围是()A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0] 【知识点】子集的运算.A1 【答案解析】A 解析：因为2M {|x 2x 0}|02x x x ＝－，N ＝{ |x x<a}，M ⊆N ，所以2a，故选A.【思路点拨】先化简集合M ，再利用M ⊆N 即可.【题文】2．下列四个命题p1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x < ⎝ ⎛⎭⎪⎫13xp2：∃x ∈(0，1)，log 12x>log 13x p3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x p4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x 其中的真命题是()A ．p1，p3B ．p1，p4C ．p2，p3D ．p2，p4【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】D 解析：对应命题p1可，分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图：由图象 可知：∀x ∈（0，+∞），⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，所以命题p1错误．p2：作出对数函数y1＝12logx，y2＝13logx的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数y1＝12logx，y2＝(12)x的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，13）时，13logx＞1，(12)x＜1，所以恒有13logx＞(12)x成立，所以命题P4正确．故选D．【思路点拨】分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．【题文】3．在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出()A．10 B．11 C．512 D．1 024【知识点】程序框图．L1【答案解析】D 解析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；n=3，s=1，k=1，k≤n，是，s=1×2=2；k=2，k≤n，是，s=2×2=4= 22；k=3，k≤n，是，s=4×2=8= 32；…k=11，k≤n，否，输出s= 102．故选：D ．【思路点拨】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【题文】4．将函数f(x)＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为() A ．－π4 B.π4 C.3π4 D.5π4【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】C 解析：化简得sin cos 2sin 4y x xx，根据图象平移规律可得平移后函数2sin 4yx，又所得函数图象关于原点对称，∴4k，（k ∈Z ）,∴4k（k ∈Z ），当k=1时，取最小值为34,故选C.【思路点拨】化简得sin cos 2sin 4y x xx，根据图象平移规律可得平移后函数2sin 4y x，又所得函数图象关于原点对称解得取最小值为34.【题文】5．若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧y≥2||x －1y≤x＋1，则z ＝x ＋3y 的最大值为()A ．9B ．11C ．12D ．16 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y ，得133z y x ＝，平移直线133z y x ＝，由图象可知当133z y x ＝，经过点C 时，直线截距最大，此时z最大．由211y x yx 得23x y ，即C （2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11， 故选：B ．【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．【题文】6．不全相等的五个数a 、b 、c 、m 、n 具有关系如下：a 、b 、c 成等比数列，a 、m 、b 和b 、n 、c 都成等差数列，则a m ＋cn ＝()A ．－2B ．0C ．2D ．不能确定 【知识点】等差、等边数列.D2 D3【答案解析】C 解析：不妨令1,2,4,a b c 则3,32mn ，代入可得2a c m n，故选C.【思路点拨】不妨令1,2,4,a bc 则3,32mn ，代入可得结果.【题文】7．已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 、y 的正半轴上(含原点)滑动，则OB →·OC →的最大值是() A ．1 B.22C ．2 D. 5 【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用．F3【答案解析】C 解析：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=2-θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（2-θ）=cosθ+sinθ，yB=sin （2-θ）=cosθ，故OB →=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C （sinθ，cosθ+sinθ），即OC →=（sinθ，cosθ+sinθ），∴OB →·OC →=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，故OB →·OC →的最大值是2，故答案是 2．【思路点拨】令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上，可得出B ，C 的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 【题文】8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为() A.34 B.32C. 3 D ．2 3【知识点】三视图.G2【答案解析】D 解析：如图所示，四面体为棱长为2的正四面体，2142sin 60232S.【思路点拨】根据题意转化为正方体内的正四面体，可知其棱长再求面积即可.【题文】9．若曲线C1：x2＋y2－2x ＝0与曲线C2：y(y －mx －m)＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞【知识点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．H3 H4【答案解析】B 解析：曲线C1：(x －1)2＋y2＝1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C2：y ＝0，或者y －mx －m ＝0，直线y －mx －m ＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C2图象为x 轴与恒过定点(－1，0)的两条直线．作图分析：k1＝tan 30°＝33，k2＝－tan 30°＝－33，又直线l1(或直线l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m ＝k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33. 【思路点拨】由题意可知曲线C1：x2+y2-2x=0表示一个圆，曲线C2：y （y-mx-m ）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y-mx-m=0要有2个交点，根据直线y-mx-m=0过定点，先求出直线与圆相切时m 的值，然后根据图象即可写出满足题意的m 的X 围．【题文】10．已知集合A ＝{}x |x ＝a0＋a1×3＋a2×32＋a3×33，其中ai ∈{}0，1，2()i ＝0，1，2，3且a3≠0，则A 中所有元素之和等于()A ．3 240B ．3 120C ．2 997D ．2 889 【知识点】数列的求和;分类计数原理.J1D4【答案解析】D 解析：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法(均可取0，1，2)，a3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A 中含有a0项的所有数的和为(0＋1＋2)×18；同理可得集合A 中含有a1项的所有数的和为(3×0＋3×1＋3×2)×18； 集合A 中含有a2项的所有数的和为(32×0＋32×1＋32×2)×18； 集合A 中含有a3项的所有数的和为(33×1＋33×2)×27； 由分类计数原理得集合A 中所有元素之和：S ＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(32×0＋32×1＋32×2)×18＋(33×1＋33×2)×27＝18(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2 187＝2 889.故选D. 【思路点拨】由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A 中所有元素之和．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．【题文】11．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A＝60°，则cos B ＝____．【知识点】正弦定理.C8【答案解析】63解析：∵在△ABC 中，a=15，b=10，A=60°，由正弦定理可得01510sin60sin B ，解得sinB=33．又因为b<a ，所以B<A，则6cos 3B，故答案为63.【思路点拨】先利用正弦定理求得sinB ，再利用平方关系解得cos B 即可.【题文】12．如右图，椭圆x216＋y212＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为____．【知识点】椭圆的应用；与二面角有关的立体几何综合题．H5 G11【答案解析】3 解析：连接A1O ∵A1 O ⊥y 轴，A O ⊥y 轴， ∴∠A1 O A2为两个面的二面角．|A1 O |=a=4，O F|=c=2，∴cos∠A1 O A2= 12c a ，∴∠A1 O A2= 3，故答案为3.【思路点拨】连接A1 O 根据椭圆的性质可知A1 O ⊥y 轴，A2 O ⊥y 轴，推断出∠A1 O A2为所求的二面角，利用椭圆的方程求得a 和c ，即|A1 O |和| O F|的值，进而在Rt△A1 O A2中利用求得cos∠A1 O A2进而求得∠A1 O A2． 【题文】13．若f(x)＋⎠⎛01f(x)dx ＝x ，则f(x)＝__ _．【知识点】定积分.B13【答案解析】x －14 解析：因为⎠⎛01f(x)dx 是个常数，不妨设为m ，所以f(x)＝x －m ，其原函数F(x)＝12x2－mx ＋C(C 为常数)，所以可得方程m ＝12－m ，解得m ＝14.故f(x)＝x －14.【思路点拨】根据已知条件设f(x)＝x －m 代入求出m 即可.【题文】14．在函数f(x)＝aln x ＋(x ＋1)2()x>0的图象上任取两个不同的点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，总能使得f(x1)－f(x2)≥4(x 1－x2)，则实数a 的取值X 围为__． 【知识点】函数的性质及应用；导数的概念及应用．B12【答案解析】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立，也就是 a≥()2x （1－x ）max ＝12.【思路点拨】由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立, 由此构造关于a 的不等式，可得实数a的取值X 围．【题文】15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，……，若按此规律继续下去，则a5＝____，若an ＝145，则n ＝___.【知识点】归纳推理．M1【答案解析】35,10解析：第一个有1个实心点， 第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点， …第n 个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=3(1)2n n +n 个实心点， 故当n=5时，3(1)2n n +n=30+5=35个实心点． 若an=145，即3(1)2n n +n=145，解得n=10故答案为：35，10．【思路点拨】仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及an=145时，n 的值即可．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】16．(本题满分12分) 设f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π6－2cos2π8x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象关于直线x ＝1对称，求当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时y ＝g(x)的最大值．【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．C3 C5【答案解析】(1) 8 (2) 32解析：(1)f(x)＝sinπ4xcos π6－cos π4xsin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3，故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(6分)(2)法一：在y ＝g(x)的图象上任取一点(x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g(x))． 由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－π4x －π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3，当0≤x≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3 ，因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 上的最大值为ymax ＝3cos π3＝32.(12分)法二： 因区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值．由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π3.当23≤x≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为ymax ＝3sin π6＝32.(12分)【思路点拨】（1）f （x ）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f （x ）的最小正周期；（2）在y=g （x ）的图象上任取一点（x ，g （x ）），根据f （x ）与g （x ）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f （x ）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g （x ）的最大值． 【题文】17．(本题满分12分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A 、B 、C 三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A 、B 、C 测试的概率为分别为15、13、12， 且通过各次测试的事件相互独立．(1)若甲选手先测试A 项目，再测试B 项目，后测试C 项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望(用p1、p2、p3表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．K5 K6【答案解析】(1) 即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115 (2) 按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．解析：(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝415， 故甲选手能通过海选的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝1115.(3分)若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝415，即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115.(5分)(2)依题意，ξ的所有可能取值为1、2、3.P(ξ＝1)＝p1，P(ξ＝2)＝(1－p1)p2，P(ξ＝3)＝(1－p1)(1－p2)p3. 故ξ的分布列为ξ 1 2 3Pp1(1－p1)p2(1－p1)(1－p2)p3(8分)Eξ＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)p3(10分)分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B 的顺序参加测试时，Eξ的值，得甲选手按C→B→A 的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．(12分) 【思路点拨】（1）求出甲同学不能通过海选的概率，利用对立事件的概率公式，可求甲同学能通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率不变；（2）ξ的可能取值为1，2，3，求出相应概率，可得分布列与期望；利用参加海选测试次数少的选手进入正赛，可得结论． 【题文】18．(本题满分12分)如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为5，CE 垂直于⊙O 所在的平面，BD∥CE，CE ＝4，BC ＝6，且BD ＝1，cos ∠ADB ＝101101. (1)求证：平面AEC⊥平面BCED ；(2)试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．G10【答案解析】(1)见解析 (2) 存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121.解析：(1)证明：∵BD⊥平面ABC ∴BD⊥AB，又因为 BD ＝1，cos∠ADB＝101101. 故AD ＝101，AB ＝10＝直径长，(3分)∴AC⊥BC.又因为EC⊥平面ABC ，所以EC⊥BC.∵AC∩EC＝C ，∴BC⊥平面ACE ，又BC ⊂平面BCED ， ∴平面AEC⊥平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4)． 则AD →＝(－8，6，1)，DE →＝(0，－6，3)，设DM →＝λDE →＝λ(0，－6，3)＝(0，－6λ，3λ)，0<λ<1 故AM →＝AD →＋DM →＝(－8, 6－6λ，1＋3λ) 由(1)易得平面ACE 的法向量为CB →＝(0，6，0)， 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝|AM →·CB →||AM →|·|CB →|＝36－36λ64＋36（1－λ）2＋（1＋3λ）2·6＝22121，解得λ＝13.(10分)所以存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)法二：(几何法)如图，作MN⊥CE 交CE 于N ，连接AN ，则MN⊥平面AEC ，故直线AM 与平面ACE 所成的角为∠MAN，且MN⊥AN，NC⊥AC.设MN ＝2x ，由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121， 得AM ＝21x ，所以AN ＝17x.另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN ＝x ，NC ＝4－x 而AC ＝8，故Rt△ANC 中，由AN2＝AC2＋NC2 得17x2＝64＋(4－x)2，∴x＝2，∴MN＝4，EM ＝2 5所以存在点M ，且EM ＝25时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)【思路点拨】（1）由已知易得AB 是⊙O 的直径，则AC⊥BC 由线面垂直的判定定理可得CE⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理可得平面AEC⊥平面BCDE ；（2）方法一：过点M 作MN⊥CE 于N ，连接AN ，作MF⊥CB 于F ，连接AF ，可得∠MAN 为MA 与平面ACE 所成的角，设MN=x ，则由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，我们可以构造关于x 的方程，解方程即可求出x 值，进而得到点M 的位置．方法二：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz ，求出平面ABC 的法向量和直线AM 的方向向量（含参数λ），由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，根据向量夹角公式，我们可以构造关于λ的方程，解方程即可得到λ值，进而得到点M 的位置． 【题文】19．(本题满分13分)等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．⎝ ⎛⎭⎪⎫5436108201216(1)求此数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn ＝3an －()－1nlg an ，求数列{bn}的前n 项和Sn. 【知识点】数列的求和；等比数列的性质．D3 D4【答案解析】(1) an ＝3·2n－1 (2) Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n －1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.解析：(1)经检验，当a1＝5或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列；故有a1＝3，a2＝6，a3＝12，等比数列公比q ＝2， 所以an ＝3·2n－1.(5分)(2)由an ＝3·2n －1得bn ＝3an －()－1nlg an ＝9×2n －1－(－1)n []lg 3＋（n －1）lg 2.所以Sn ＝9(1＋2＋…＋2n －1)－⎣⎡⎦⎤()－1＋()－12＋…＋()－1n(lg 3－lg 2)－[]－1＋2－3＋…＋（－1）nn lg 2(9分)n 为偶数时，Sn ＝9×1－2n 1－2－n 2lg 2＝9(2n －1)－n2lg 2.n 为奇数时，Sn ＝9×1－2n 1－2＋(lg 3－lg 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n lg 2＝9(2n －1)＋n －12lg 2＋lg 3.所以， Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n －1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.(13分)【思路点拨】(1)先检验再利用等比数列的通项公式即可；（2）分情况讨论即可. 【题文】20．(本题满分13分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM →·OQ →的最大值．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8 【答案解析】(1) x28＋y24＝1. (2) 2 3.解析：(1)在C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2中，令y ＝0得F(2，0)，即c ＝2，令x ＝0，得B(0，2)，b ＝2， 由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：x28＋y24＝1.(4分)(2)法一：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx （x －1）2＋（y －1）2＝2得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x ＝0，∴x1＝2＋2k 1＋k2，∴OM →·OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x12，kx12·(x2，kx2)＝12(x1x2＋k2x1x2)＝221＋k 1＋2k2(k>0). (9分)＝22（1＋k ）21＋2k2＝22k2＋2k ＋11＋2k2.设φ(k)＝k2＋2k ＋11＋2k2，φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2，令φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2>0，得－1<k<12.又k>0，∴φ(k)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．∴当k ＝12时，φ(k)max＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，即OM →·OQ →的最大值为2 3.(13分)法二：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)OM →·OQ →＝(OC →＋CM →)·OQ →＝OC →·OQ → ＝(1，1)·(x2，kx2)＝(1＋k)x2＝221＋k1＋2k2(k>0)(9分)＝22（1＋k ）21＋2k2.设t ＝1＋k(t>1)，则（1＋k ）21＋2k2＝t22t2－4t ＋3＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －232＋23≤32.当且仅当1t ＝23时，(OM →·OQ →)max ＝2 3.(13分)【思路点拨】(1) 在圆（x-1）2+（y-1）2=2中，令y=0，得F （2，0），令x=0，得B （0，2），由此能求出椭圆方程． (2) 依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2) ，把直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系代入，再结合基本不等式即可.【题文】21．(本题满分13分)已知函数f(x)＝ex －ax2－2x －1(x∈R)． (1)当a ＝0时，求f(x)的单调区间；(2)求证：对任意实数a<0，有f(x)>a2－a ＋1a.【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数结合函数的单调性证明不等式.B3 B12 【答案解析】(1) (－∞，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，＋∞)是f(x)的单调增区间． (2)见解析。
湖南师大附中2015届高三月考试卷(五)
湖南师大附中2015届高三月考试卷（五）高三2011-05-16 09:04湖南师大附中2015届高三月考试卷（五）语文湖南师大附中高三语文备课组组稿试题卷共7道大题，21道小题，共10页。
时量150分钟，满分150分。
得分：一、语言文字运用（12分，每小题3分）1．下列词语中加点字的读音，全都不相同的一组是A.创举呛人沧海桑田怆然泪下B.妖娆蹊跷饶有兴味百折不挠C.洒脱哂笑风吹日晒两栖动物D.瞳孔潼关招摇撞骗灯影幢幢2．下列各句中，有两个错别字的一句是A.俄罗斯国防部长谢尔久科夫在接受“俄罗斯24小时”电视频道的专访时表示，希望与北约就欧洲导弹防御系统的整体发展规模进行蹬商并达成协议。
且新《价格违法行为行政处罚规定》细化了对多种价格违法行为的认定，加大了对操纵市场价格，造成商品价格较大副度上涨等违法行为的处罚力度。
C．高考前家长往往会对考生关怀倍至，却不知道这样做容易给孩子带来无形的压力，引起孩子的焦躁情绪，而焦躁的心情有可能直接影响高考的发挥。
D．这张画运笔拘谨，主题比较杂乱，显得粗糙和幼稚，但它的色彩搭配很和谐，层次感强，构图别出新裁。
你把它贬得一无是处，这未免也太过分了。
3．下列各句中，没有语病的一句是A．普通高中新课程在课程结构上进行了重大调整，课程结构的多样化对学生自主选择课程提供了条件，但是同时也给学校课程的设置增加了难度。
B．中央经济工作会议明确释放出积极稳健、审慎灵活的宏观经济政策信号，并着重提出，2011年一定要把稳定物价总水平放在一个更为突出的位置。
C．气候变化是当今全球面临的重大挑战，拯救地球家园，遏制气候变暖，是人类共同的使命，每个国家和民族、每个企业和个人，都应行动起来。
D.长沙、株洲、湘潭城市群建设的启动，对道路、交通、媒体、通讯等行业提出了新要求，与此相关，长沙商业圈无疑也将面对重新洗牌的问题。
4．将下列句子排列成一副对联，最恰当的一项是①人惟八千②众才一旅③孙策以天下为三分④项籍用江东之子弟A.①②③④B.③②④①C.④①③②D.①③②④二、文言文阅读（(22分。
湖南省师大附中2014届高三上学期第一次月考数学(文)试题 word版含答案
湖南师大附中2014届高三月考试卷（一）数学（文）试题（考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6．页。
时量120分钟。
满分50分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={y|y=2x ，x<1），N=（x|y=ln （1--x ），y ∈R ），则M N=A ．（0，1）B ．（一∞，1）C （O ，2）D ．（一∞，2） 2．命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是A ．对任意x ∈R ，210x x -+≤B ．不存在2,10x R x x ∈-+>使C ．存在2,10x R x x ∈-+>使D ．存在2,10x R x x ∈-+≤使3．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是 A ．2个 B ．3个 C 4个 D ．5个4．设椭圆中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 在椭圆上．若椭圆的离心率为12，△PF 1F 2的周长为12，则椭圆的标准方程是A ．22143x y +=B ．2211612x y += C ．22134x y += D ．2211216x y += 5．已知tan （2)2,sin 2cosx a αα-=+则= A ．1 B ．35 C ．一15 D ．一356．如果实数x ，y 满足 1020,10x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩则目标函数z=4x+y 的最大值为A ．52B ．3C ．72D ．47．已知两个非零向量e 1，e 2不共线，设向量121212,2,32,AB e ke CB e e CD e e =-=+=-若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值为A ．3B ．—3C ．—2D ．2 8．在区间（0，1）上任取两个数x ，y ，则事件“x+y<43"发生的概率是 A ．29 B ．59 C ．49 D ．799．如果函数(x y e e =为自然对数的底数）的图象与直线y=x--a 有公共点，则实数a 的取值范围是A ．（一∞，一e]B ．（一∞，一1]C ．（一∞，0]D ．（一∞，1]二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．10．设a ∈R ，复数1a i z i+=-．若z 为纯虚数，则a= ． 11．执行如图所示饰程瘴榧涸-!如果输入a=1，则输出的“的值为 ．12．在极坐标系中，已知点F （1，0），O 为极点，点M 在曲线C ：24cos ,||2,||sin MF MO θρθ===上若则 ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b ，c ，若sin A=2sin B ，且,则角C 的大小为 ．．15．如图，记棱长为1的正方体为C 1，以C 1各个面的中心为顶点的正八面体为C 2，以C 2各个面的中心为顶饿的正方体为C 3，以C 3各个面的中心为顶点的正八面体为C 4，…，以此类推．设正多面体C n （n ∈N*）的棱长为a n 。
湖南省师大附中高三数学月考(五)试题 文
湖南师大附中2015届高三月考（五）数学（文）试题（考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集U=R ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==<-=x y x B x x x A 11|},|1||{，则图中阴影部分表示的 集合是A ．{x|x≥1} B.{}21|<≤x x C ．{x ｜0<x≤1} D ．{x|1≤1}2．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=1,1,12)(2x ax x x x f x ，若a f f 4))0((=，则实数a 的值为A.21 B ．54C ．2D ．9 3．已知命题p ：若x∈R，则21≥+xx ，命题q ：若0)1(1≥-x g ，则x≥2，则下列各命题中是假命题的是 A ．q p ∨ B ． q p ∨⌝)( C ． q p ∧⌝)(D ． )()(q p ⌝∧⌝4．已知平面区域内的点（x ，y ）满足约束条件,0520402⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-y x y x y x 则目标函数z=2x+y 的最大值是 （C ） A5 B ．7 C ．23 D ．25 5．下列推理是归纳推理的是 （B ）A.A 、B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，则点P 的轨迹是椭圆 B ．由13,11-==n a a n ，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积2r π，猜想出椭圆12222=+by a x 的面积S=πabD ．点O 为直线AB 外一点，由2=+可知点C 为线段AB 的中点6．右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长 为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是 A .6π B ．8π C. l2π D ．24π7．已知O 为△ABC 外一点，D 为BC 边上一点，且02=-+OD OB OC ，若AB=3,AC=5．则=BC AD . A ．－8B ．8C ．－ 2D ．28·已知椭圆)012222>>=+b a by a x （的右焦点为F ，上顶点为B ，右顶点为A ，M 为椭圆上一点，满足MF⊥FA，如果△OMA（O 为原点）的面积是△OMB 的面积的2倍，则椭圆的离心率为A ．21B ．22C ．33 D ．55 9．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当x∈[一2，0]时1)22()(-=x x f ，若茌区间（一2，6）内关于x 的方程)0(0)2(1)(>=+-a x og x f a 且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数“的取值范围是 A ．)1,41( B ．（1，4）C ．（1,8）D ．（8，+∞）10．已知正项数列{a n }满足0)1(1221=+-+++n n m n a a a a n ，且a 1=1，不等式“a 1．a 2+a 2+a 3+…+a n ·a n+1≥m 对任意n∈N *恒成立．则实数m 的取值范围是A （一∞，21] B·（一∞，21） C ．（一∞，1] D ．（一∞，1） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上。
湖南省师大附中高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)
湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]2．（5分）给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p43．（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）A．10 B．11 C．512 D．1 0244．（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．﹣B．C．D．5．（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A．9 B．11 C．12 D．166．（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b 和b、n、c都成等差数列，则+=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．不能确定7．（5分）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．8．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．29．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10．（5分）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a i∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a3≠0，则A中所有元素之和等于（）A．3 240 B．3 120 C．2 997 D．2 889二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．12．（5分）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．13．（5分）若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=．14．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为．15．（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=，若a n=145，则n=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．17．（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、，且通过各次测试的事件相互独立．（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．18．（12分）如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．19．（13分）等比数列a n中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=3a n﹣（﹣1）n lga n，求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．21．（13分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2x﹣1（x∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：对任意实数a＜0，有f（x）＞．湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据N以及M为N的子集，确定出a的范围即可．解答：解：由M中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M=（0，2），∵N={x|x＜a}，且M⊆N，∴a≥2，则a的范围为[2，+∞）．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型；数形结合．分析：分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．解答：解：对应命题p1可，分别作出函数的图象如图：由图象可知：∀x∈（0，+∞），，所以命题p1错误．p2：作出对数函数的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，）时，，所以恒有成立，所以命题P4正确．故选D．点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想．3．（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）A．10 B．11 C．512 D．1 024考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图写出每次循环s，k的取值，即可确定输出s的值．解答：解：运行程序，有s=1；k=1第1次循环：s=2，k=2第2次循环：s=4，k=3第3次循环：s=8，k=4第4次循环：s=16，k=5第5次循环：s=32，k=6第6次循环：s=64，k=7第7次循环：s=128，k=8第8次循环：s=256，k=9第9次循环：s=512，k=10第10次循环：s=1024，k=11输出s的值为1024．故答案为：D．点评：本题主要考察框图和程序算法，属于基础题．4．（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．﹣B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：由题意可得，将函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得函数为y=sin（x++φ）为奇函数，则φ的最小值为，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的奇偶性，属于基础题．5．（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A．9 B．11 C．12 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y，得，平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大．由得，即C（2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b 和b、n、c都成等差数列，则+=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．不能确定考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，从而+====2．解答：解：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，∴+==[]===2．故选：C．点评：本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（5分）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1，故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAx=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ．故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，•的最大值是2，故选C．点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题．8．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．解答：解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．点评：本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：圆的一般方程；圆方程的综合应用．专题：压轴题；数形结合．分析：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．解答：解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线．10．（5分）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a i∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a3≠0，则A中所有元素之和等于（）A．3 240 B．3 120 C．2 997 D．2 889考点：计数原理的应用；数列的求和．专题：综合题；排列组合．分析：由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．解答：解：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法（可取1，2），由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2=18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为（0+1+2）×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为（3×0+3×1+3×2）×18；集合A中含有a2项的所有数的和为（32×0+32×1+32×2）×18；集合A中含有a3项的所有数的和为（33×1+33×2）×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S=（0+1+2）×18+（3×0+3×1+3×2）×18+（32×0+32×1+32×2）×18+（33×1+33×2）×27 =18（3+9+27）+81×27=702+2 187=2 889．故选D．点评：本题考查数列的求和，考查分类计数原理与分步计数原理的应用，考查分类讨论与转化思想的综合应用，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可求得 sinB=，再由 b＜a，可得 B为锐角，cosB=，运算求得结果．解答：解：由正弦定理可得=，∴sinB=，再由 b＜a，可得 B为锐角，∴cosB==，故答案为：．点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinB=，以及B为锐角，是解题的关键．12．（5分）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．考点：椭圆的应用；循环结构；二面角的平面角及求法．专题：综合题；压轴题．分析：确定椭圆中的几何量，确定二面角的平面角，利用点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，可求得cos∠A2OF1=，即可求得结论．解答：解：由题意，椭圆中a=4，c=，∠A2OF1为二面角的平面角∵点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点∴在直角△A2OF1中，cos∠A2OF1=∴∠A2OF1=即二面角的大小为故答案为：点评：本题考查椭圆与立体几何的综合，考查面面角，解题的关键是确定二面角的平面角．13．（5分）若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=x﹣．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：利用待定系数法结合积分的基本运算即可得到结论．解答：解：因为f（x）dx是个常数，不妨设为m，所以f（x）=x﹣m，其原函数F（x）=x2﹣mx+C（C为常数），所以可得方程m=﹣m，解得m=．故f（x）=x﹣．故答案为：x﹣点评：本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．14．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为a≥．考点：导数的几何意义．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，由f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），可得≥4，即函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2）连续的斜率不小于4，即导数值不小于4，由此构造关于a的不等式，可得实数a的取值范围．解答：解：不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，∵f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），∴≥4，∵f（x）=alnx+（x+1）2，（x＞0）∴f′（x）=+2（x+1）∴+2（x+1）≥4，∴a≥﹣2x2+2x∵﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+≤∴a≥，故答案为：a≥点评：本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2）的几何意义，是解答的关键．15．（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=35，若a n=145，则n=10．考点：归纳推理．专题：图表型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a n=145时，n的值即可．解答：解：第一个有1个实心点，第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点，…第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n﹣1）+1=+n个实心点，故当n=5时，+n=+5=35个实心点．若a n=145，即+n=145，解得n=10故答案为：35，10．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．解答：解：（1）f（x）=sin xcos﹣cos xsin=sin x﹣cos x=（sin x ﹣cos x）=sin（x﹣），∵ω=，∴f（x）的最小正周期为T==8；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x）），由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2﹣x）=sin[（2﹣x）﹣]=sin[﹣x﹣]=cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为g max=cos=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、，且通过各次测试的事件相互独立．（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）先求出甲选手不能通过海选的概率，再由对立事件概率计算公式能求出甲选手能通过海选的概率．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．解答：解：（1）依题意，甲选手不能通过海选的概率为：（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，故甲选手能通过海选的概率为：1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，故无论按什么顺序，其能通过海选的概率都是．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）=p1，P（ξ=2）=（1﹣p1）p2，P（ξ=3）=（1﹣p1）（1﹣p2）×1，∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3P p1（1﹣p1）p2（1﹣p1）（1﹣p2）Eξ=p1+2（1﹣p1）p2+3（1﹣p1）（1﹣p2）p3，分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B的顺序参加测试时，Eξ的值几时甲选手按C→B→A的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A的顺序参加测试更有利用于进入正赛．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．18．（12分）如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得BD⊥AB，AD=，AB=10=直径，由此能证明平面AEC⊥平面BCED．（2）以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．解答：（1）证明：∵BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB，又∵BD=1，cos，∴AD=，AB=10=直径，∴AC⊥BC，又EC⊥平面ACE，BC⊂平面BCED，∴平面AEC⊥平面BCED．（2）解：存在．如图，以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，则A（8，0，0），B（0，6，0），D（0，6，1），E（0，0，4），=（﹣8，6，1），=（0，﹣6，3），设=λ=（0，﹣6λ，3λ），0＜λ＜1，故=+=（﹣8，6﹣6λ，1+3λ），由（1）得平面ACE的法向量为=（0，6，0），设直线AM与平面CE所成角为θ，则sinθ===，解得．∴线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（13分）等比数列a n中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=3a n﹣（﹣1）n lga n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，得b n=3a n﹣（﹣1）n lga n=9×2n﹣1﹣（﹣1）n[lg3+（n﹣1）lg2]，由此能求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）经检验，当a1=5或a1=4时，不可能得到符合题意的等比数列，∴a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，∴．（2）由，得b n=3a n﹣（﹣1）n lga n=9×2n﹣1﹣（﹣1）n[lg3+（n﹣1）lg2]，∴S n=9（1+2+…+2n﹣1）﹣[（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）n]（lg3﹣lg2），n为偶数时，S n=9×+（lg3﹣lg2）﹣（）lg2=9（2n﹣1）+．n为奇数时，=9（2n﹣1）+．∴S n=．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．20．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，2），由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则==x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，由此能求出的最大值．解答：解：（Ⅰ）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，令y=0，得F（2，0），即c=2，令x=0，得B（0，2），即b=2，∴a2=b2+c2=8，∴椭圆Γ的方程为：．（Ⅱ）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则==（1，1）•（x0，y0）=x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，令△≥0，得16b2﹣12（12b2﹣8）≥0，解得﹣2．又点Q（x0，y0）在第一象限，∴当时，取最大值2．点评：本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想．21．（13分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2x﹣1（x∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：对任意实数a＜0，有f（x）＞．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；导数的综合应用．分析：（1）求出函数f（x）的导函数f′（x），解出f′（x）＞0和f′（x）＜0，从而求出函数f（x）的单调区间；（2）构造新的函数，判断函数的单调性求出函数的最值，从而证明不等式．解答：解：（1）当a=0时，f（x）=e x﹣2x﹣1（x∈R），∵f′（x）=e x﹣2，且f′（x）的零点为x=ln2，∴当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0即（﹣∞，ln2）是f（x）的单调减区间，（ln2，+∞）是f（x）的单调增区间．（2）由f（x）=e x﹣ax2﹣2x﹣1（x∈R）得，f′（x）=e x﹣2ax﹣2，记g（x）=e x﹣2ax﹣2（x∈R），∵a＜0，∴g′（x）=e x﹣2a＞0，即f′（x）=g（x）是R上的单调递增函数，又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=e﹣2a﹣2＞0，故R上存在唯一的x0∈（0，1），使得f′（x0）=0，且当x＜x0时，f′（x）＜0；当x＞x0时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，则f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax0﹣1，再由f′（x0）=0得ex0=2ax0+2，将其代入前式可得，f（x）min =，又令h（x0）==﹣a，由于﹣a＞0，对称轴，而x0∈（0，1），∴h（x0）＞h（1）=a﹣1，又＞0，∴h（x0）＞，故对任意实数a＜0，都在f（x ）＞．点评：本题是一道导数的综合题，考查了，利用导数求函数的单调区间，等价转化思想，不等式的证明．难度中等．- 21 -。
2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
湖南师大附中高三数学第一次月考试题 文(含解析)
2012-2013学年湖南师大附中高三第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．，斜角为=2．（5分）（2012•北京模拟）当a=3时，下面的程序段输出的结果是（）IF a＜10 THENy=2+aELSEy=a*a3．（5分）某几何体的正视图和侧视图均为如图所示，则该几何体的俯视图可能是（）4．（5分）设函数，且函数f（x）为偶函数，则g（﹣2）=（）为偶函数，5．（5分）设集合A=（﹣∞，a]，B=（b，+∞），a∈N，b∈N，且A∩B∩N={2}，则a+b的6．（5分）函数，g（x）=3x﹣1，则不等式f[g（x）]≥0的解①②，解得7．（5分）点，则x2+y2的取值范围是（）表示的可行域为：=的取值范围8．（5分）如图，有一条长为a的斜坡AB，它的坡角∠ABC=45°，现保持坡高AC不变，将坡角改为∠ADC=30°，则斜坡AD的长为（）CAC=∴|AC|=|AC|=∴sin30°===∴|AD|=9．（5分）德国数学家洛萨•科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．现在请你研究：如果对正整数n（首项），按照上述规则实施变换（1可以二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分．10．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．cosC==C=故答案为：11．（5分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ﹣1 ．12．（5分）（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0 ．13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b﹣3，f（x）的图象恒过点（2，0），则a2+b2的最小值为．），，时，的最小值为故答案为：．14．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则= 3．，代入==，=1|==||=15．（5分）已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表下列关于函数f（x）的命题；①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．其中真命题为②（填写序号）三、解答题；本大题共6小题，共75分．16．（12分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f（x）在[﹣，]上的值域．+sin2x+﹣≤2x+≤2k+﹣+，]）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤2x+，17．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各侧棱都垂直于底面，AC=AA1=4，AB=5，BC=3．（1）证明：BC⊥AC1；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．AM=2，sin∠ABM=所成角的正弦值为18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a3=5，S3=9（1）求首项a1和公差d；（2）若存在数列{b n}，使a1b1+a2b2+L+a n b n=5+（2n﹣3）2n+1对任意正整数n都成立，求数列{b n}的前n项的和T n．）由题意可得，解得=1+19．（13分）某玩具生产厂家接到一生产伦敦奥运吉祥物的生产订单，据以往数据分析，若生产数量为x万件，则可获利﹣lnx+万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数，且m∈（0，1）．（1）若美元贬值指数m=，为使得企业生产获利随x的增加而增长，该企业生产数量应在什么范围？（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x万件产品需增加生产成本万美元，已知该企业生产能力为x∈[4，10]，试问美元贬值指数m在什么范围内取值才能使得该企业生产每件产品获得的平均利润不低于0.3美元？时，都有，分离参数，确定函m=lnx+时，都有+﹣+﹣，则+﹣+﹣∴0＜m≤20．（13分）已知直线l：y=x+m与椭圆相交于不同的两点A，B，点M（4，1）为定点．（1）求m的取值范围；（2）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．代入椭圆，可得与椭圆相交于不同的两点，==21．（13分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+（1）求f′（1），f（0）以及f（x）的单调区间；（2）令h（x）=f（x）﹣x3﹣﹣e x，若对h（x）在x∈（1，3）单调递增，求a的取值范围．x+x+x+x++，∴1﹣a≥，∴1﹣a≥。
湖南师大附中2013届高三第一次月考试卷文科数学试题
湖南师大附中2013届高三第一次月考试卷数学（文）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线0ax by c k αα++==的斜率倾斜角为,则sin =A ．BCD ．12-2．当3a =时，下面的程序段输出的结果是A ．9B ．3C ．5D ．6 3．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是A ．（1），（3）B ．（1），（3），（4）C ．（1），（2），（3）D ．（1），（2），（3），（4）4．设函数2(0)()()(0)x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩，且函数()f x 为偶函数，则(2)g -=A ．6B ．—6C ．2D ．—25．设集合(,],(,),,,{2},A a B b a N b N A B N a b =-∞=+∞∈∈=+且则的值是A ．2B ．3C ．4D ．56．函数3()8,()31,[())0x f x x g x f g x =-=-≥则不等式A ．[1,)+∞B ．[ln3,)+∞C ．[1，ln3]D ．3[log 2,)+∞7．点0(,)0,240x x y y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩满足条件则22x y +的取值范围是A ．[4,)+∞B ．[16,)+∞C．[)5+∞ D ．16[,)5+∞ 8．如图，有一条长为a 的斜坡AB ，它的坡角∠ABC=45°，现保持坡高AC 不变，将坡角改为∠ADC=30°， 则斜坡AD 的长为 A ．a BCD ．2a9．德国数学家洛萨·科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n ，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1。
如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1。
湖南省师大附中高三数学文科第一次月考试卷
湖南省师大附中2007—2008学年高三第一次月考数学试题（文科）时量：120分钟 满分：150分参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的体积公式334R V π=球，球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．使函数13)(23+-=x x x f 为减函数的区间是（ ）A ．（2，+∞）B ．（－∞，2）C ．（－∞，0）D ．（0，2）2．已知函数xx f --=11)(的定义域M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则N M ⋂=（ ）A ．}1|{->x xB ．}1|{<x xC ．}11|{<<-x xD ．φ3．给出如下三个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad=bc ； ②设11 .0,><≠∈abb a ab R b a ，则若，则； ③若|)(|2log )(2x f x x f x，则==是偶函数. 其中不正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③ 4．函数)20(3)(≤<=x x f x 的反函数的定义域为（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，1）C ．]9,1(D ．),9[+∞ 5．曲线)35,1(2313---=在点x y 处切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°6．设)1(l o g )()(21+=-x x f x f是函数的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ ）A ．0B ．1C ．3log 2D ．2 7．命题“若1112<<-<x x ，则”的逆否命题是（ ）A ．若1112-≤≥≥x x x 或，则 B ．若1112<<<-x x ，则C ．若1112>-<>x x x ，则或D ．若1112≥-≤≥x x x ，则或8．已知)(x f 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期为2，且当||)()1,1[x x f x =-∈时，，则函数)(x f y =的图象与函数y=x 4log 的图象的交点个数为 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．89．已知对任意实数x ，有0)(0)(0)()(),()(>'>'>=--=-x g x f x x g x g x f x f ，时，，且，则0<x 时（ ）A ．0)(0)(>'>'x g x f ，B ．0)(0)(<'>'x g x f ，C ．0)(0)(>'<'x g x f ，D ．0)(0)(<'<'x g x f ，10．已知定义域为R 的函数),8()(+∞在x f 上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．)7()6(f f >B ．)9()6(f f >C ．)9()7(f f >D ．)10()7(f f >二、填空题：本大题共5小题，每小题5人，共25分，把答案填写在题中的横线上. 11．若关于),4()1,(01+∞⋃--∞>+-的解集为的不等式x ax x ，则实数a = . 12．已知函数=-⎩⎨⎧>≤-=))2((0,log 0,2)(2f f x x x x x f ，则13．函数x x x f 62)(3+=在区间[－1，2]上的最小值是 14．将函数ax y +=3的图象向左平移一个单位得曲线C ，若曲线C 关于原点对称，则a = 15．已知)(x f 是定义在R 上的函数，给出下列两个命题：p ：若4))(()(212121=+≠=x x x x x f x f ，则；q ：若0)()()](2,(,21212121>--≠-∞∈x x x f x f x x x x ，则，则使命题“p 且q ”为真命题的函数)(x f 可以是 三、解题答题：本大题共6个小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于x =2对称，且当时，)2,2(-∈x1)(2+-=x x f ，求)()2,6(x f x 时，--∈的表达式.17．（本题满分12分）设函数.|4||12|)(--+=x x x f （Ⅰ）解不等式2)(>x f （Ⅱ）求函数y=)(x f 的最小值. 18．（本小题满分12分）已知三个集合，，}01|{}023|{22=-+-==+-=a ax x x B x x x A }02|{2=+-=bx x x C ，问同时满足A C A A B =⋃⊂≠，的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b ；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分12分）设定义在R 上的函数1)(0)(>>x f x x f 时，，满足当，且对任意的R y x ∈,，有0)(>x f ，2)1()()()(=⋅=+f y f x f y x f ，.（Ⅰ）求)0(f ；（Ⅱ）求证：函数)(x f 为R 上的单调增函数； （Ⅲ）解不等式：4)3(2>-x x f .20．（本小题满分题13分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（53≤≤a ）的管理费，预计当每件产品的售价为)119(≤≤x x 元时，一年的销售量为2)12(x -万件.（Ⅰ）求分公司一年利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q（a ）.21．（本小题满分14分） 已知函数0)1()0(023)(2>⋅=++++=f f c b a c bx ax x f ，，若. 求证： （Ⅰ）方程0)0(=f 有实数根； （Ⅱ）12-<<-ab； （Ⅲ）设21,x x 是方程0)(=x f 的两个实根，则.32||3321<-≤x x参考答案一、选择题1—5 DCBCB 6—10 DDABD 二、填空题11．4 12．2 13．－8 14．－115．只须满足2)(=x x f 的图象关于直线对称，且在]2,(-∞上为增函数即可. 如m x x f m x x f +--=+--=|2|)()2()(2或等.16．（本题满分12分）解：∵)(x f 是定义在R 上的偶函数，∴)()(x f x f =-， 又图象关于x=2对称，∴)()4(x f x f -=+∴)()4(x f x f =+，∴y=)(x f 是以4为周期的周期函数， 当，时，)2,2(4)2,6(-∈+--∈x x ∴1)4()4(2++-=+x x f ∴).2,6(1)4()4()(2--∈++-=++x x x f x f ， 17．（本题满分12分）解：令|4||12|--+=x x y ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<---≤--=4 5421 33215x x x x x x y ，，，作出函数|4||12|--+=x x y 的图象，它与直线y=2的交点为（－7，2）和（35，2）. 所以),35()7,(2|4||12|+∞⋃--∞>--+的解集为x x . （Ⅱ）由函数|4||12|--+=x x y 的图象可知，当21-=x 时，取得最小值29-. 另外，本题（Ⅰ）也可以直接解分段不等式得到其解集；（Ⅱ）由函数的单调性得每一区间上的最小值，其中最小的为函数的最小值. 18．（本小题满分12分）解：∵}0)1)(1(|{},2,1{}023|{2=+--===+-=a x x x B x x x A ， 又∵A B ≠⊂ ∴211==-a a 即∵A C A C A ⊆∴=⋃, 则C 中的元素有以下三种情况：（1）若C=φ时，即方程022=+-bx x 无实根.∴.2222082<<-∴<-=∆b b ，（2）若C={1}或C={2}，即方程022=+-bx x 有两个相等的实根. ∴.22082±=∴=-=∆b b ，此时C={2}或C={－2}，不合题意，舍去.（3）若C={1，2}时，则b=1+2=3，而两根之积恰好等于2.综上所述，存在实数a=2，－22<b<22或a=2，b=3满足题中条件. 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）令)1()0()10(10f f f y x ⋅=+==时，，∵1)0(2)1(=∴=f f ，（Ⅱ）任取.0)(1)(0,112122121>>-∴>-<∈x f x x f x x x x R x x ，，，则，且 ∴)(])[()()(111212x f x x x f x f x f -+-=-0)(]1)([)()()(1121112>⋅--=-⋅-=x f x x f x f x f x x f∴)()(21x f x f <∴)(x f 为R 上的单调增函数.（Ⅲ）∵4)1()1()2(2)1(=⋅=∴=f f f f ，∴21,23)2(4)3(22<<∴>-∴=>-x x x f x x f ，∴不等式的解集为（1，2）. 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：]11,9[,)12)(3(2∈---=x x a x L（Ⅱ）化简得：).3218)(12(x a x L -+-='令123260=+=='x a x L 或得（不合题意，舍去）. ∵.328326853≤+≤∴≤≤a a ，在a x 326+=两侧L ′的值由正变负， 所以（1）当]11,9[29393268在时，即L a a <≤<+≤上是减函数.∴).6(9)912)(39()9(2max a a L L -=---== （2）当a x L a a 326]11,9[,5293283269+=≤≤≤+≤上于在时即处取最大值. 即：32max)313(4)]326(12)[3326()326(a a a a a L L -=+---+=+=所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=529 ,)313(4293 ),6(9)(3a a a a a Q答：若293≤≤a ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值 Q （a ）=9（6－a ）（万元）；若529≤≤a ，则当每件售价为)326(a +元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=4（3－a 31）3（万元）.21．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）若a=0，则b=－c0)23()1()0(2≤-=++=c c b a c f f 与已知矛盾，所以0≠a∵方程0232=++c bx ax 的判别式0]43)21[(4)3(4222>+-=-=∆c c a ac b故方程0)(=x f 有实根.（Ⅱ）由0)23(0)1()0(>++>c b a c f f ，得 由条件0=++c b a ，消去c ，得0)2)((<++b a b a∵0)2)(1(,02<++∴>aba b a ∴12-<<-ab（Ⅲ）由条件知ab a ac x x a b x x 33,322121+-==-=+ ∴31)23(944)()(221221221++=-+=-a b x x x x x x∵12-<<-a b∴.32||3394)(3121221<-≤⇒<-≤x x x x。
湖南师大附中高三数学第一次月考试题 文(含解析)
2012-2013学年湖南师大附中高三第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线ax+by+c=0的斜率k=﹣，斜角为a，则sina=（）A．﹣B．C．D．﹣考点：直线的斜率．专题：计算题．分析：首先由斜率和倾斜角的关系以及倾斜角的范围求出α，然后根据特殊角的三角函数值得出结果．解答：解：∵直线ax+by+c=0的斜率k=﹣，斜角为α∴tanα=﹣又∵0≤α＜π∴α=120°∴sinα=故选：B．点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出直线的倾斜角是解题的关键．2．（5分）（2012•北京模拟）当a=3时，下面的程序段输出的结果是（）IF a＜10 THENy=2+aELSEy=a*aPRLNT y．A．9B．3C．5D．6考点：伪代码．专题：阅读型．分析：根据a的值判定选择代入相应的解析式，从而求出y的值，即可得到结论．解答：解：根据伪代码可知当a＜10时y=2+a而3＜10，则y=2+3=5所以输出5故选C．点评：本题主要考查了伪代码，以及选择结构，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．3．（5分）某几何体的正视图和侧视图均为如图所示，则该几何体的俯视图可能是（）A．（1），（3）B．（1），（3），（4）C．（1），（2），（3）D．（1），（2），（3），（4）考点：简单空间图形的三视图．专题：证明题．分析：由该几何体的正视图和侧视图均为已知图所示，所以该几何体是由上下两部分组成的，其上面是一个球，而下面可能是①直四棱柱；②第二个是不可能的，不满足球的位置在中间；③圆柱．根据长对正，宽相等的原则，底面的左右和上下应该是相等的④中正（或等腰）三角形显然不满足．据此可得出答案．解答：解：由该几何体的正视图和侧视图均为已知图所示，所以该几何体是由上下两部分组成的，其上面是一个球，而下面可能是①直四棱柱，③圆柱．②第二个是不可能的，不满足球的位置在中间；④根据长对正，宽相等的原则，底面的左右和上下应该是相等的，④中正（或等腰）三角形显然不满足．故该几何体的俯视图（1）、（2）、（3）皆有可能．故选C．点评：由已知该几何体的正视图、侧视图正确得出原几何体的形状是解决问题的关键．4．（5分）设函数，且函数f（x）为偶函数，则g（﹣2）=（）A．6B．﹣6 C．2D．﹣2考点：偶函数；函数的值．专题：计算题．分析：根据偶函数关于y轴对称可知g（﹣2）与当x=2时的函数值相等即可求解解答：解：∵为偶函数，令h（x）=x+x2则g（﹣2）=h（2）=6故选A点评：本题主要考查了偶函数的定义的简单应用用，属于基础试题5．（5分）设集合A=（﹣∞，a]，B=（b，+∞），a∈N，b∈N，且A∩B∩N={2}，则a+b的值是（）A．2B．3C．4D．5考点：交集及其运算．专题：计算题；阅读型．分析：由题意可知集合A和集合B有一个公共的自然数元素2，要使A∩B∩N={2}，且a∈N，b∈N，只有a=2，b=1．解答：解：因为集合A=（﹣∞，a]，B=（b，+∞），a∈N，b∈N，且A∩B∩N={2}，则2∈A，2∈B，且A、B中仅有一个公共自然数元素，这样应有b＜a，所以a=2，b=1，此时集合A=（﹣∞，2]，B=（1，+∞），有A∩B∩N={2}，所以a+b=3．故选B．点评：本题考查了交集及其运算，考察了数形结合思想，是基础题．6．（5分）函数，g（x）=3x﹣1，则不等式f[g（x）]≥0的解集为（）A．[1，+∞）B．[ln3，+∞）C．[1，ln3] D．[log32，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得①，或②．分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．解答：解：由题意可得①，或②．由①可得，解得x≥1．解②可得，解得 x∈∅．综上可得，不等式的解集为{x|x≥1}∪∅={x|x≥1}，故选A．点评：本题主要考查其它不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．7．（5分）点，则x2+y2的取值范围是（）A．[4，+∞）B．[16，+∞）C．D．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：画出约束条件表示的可行域，确定目标函数取得的特殊点，求出范围即可．解答：解：约束条件表示的可行域为：显然x2+y2的最小值是原点到直线2x+y﹣4=0的距离的平方，d2==，所以x2+y2的取值范围．故选D．点评：本题考查解得的线性规划的应用，明确目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合与计算能力．8．（5分）如图，有一条长为a的斜坡AB，它的坡角∠ABC=45°，现保持坡高AC不变，将坡角改为∠ADC=30°，则斜坡AD的长为（）A．a B．C．2a考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：依题意，AC=，在直角三角形ADC中，∠ADC=30°，由三角函数的概念可求得AD 的长．解答：解：∵在等腰直角三角形ABC中，斜边|AB|=a，∴|AC|=，又在直角三角形ADC中，∠ADC=30°，|AC|=，∴sin30°===，∴|AD|=a．故选B．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，求得AC=是关键，考查分析与计算能力，属于基础题．9．（5分）德国数学家洛萨•科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．现在请你研究：如果对正整数n（首项），按照上述规则实施变换（1可以多次出现）后的第八项为1，则n的所有可能的对值为（）A．2，3，16，20，21，128 B．2，3，16，21C．2，16，21，128 D．3，16，20，21，64考点：数列的应用．专题：综合题；新定义；点列、递归数列与数学归纳法．分析：我们可以从第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出n的所有可能的取值．解答：解：如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128故选A．点评：本题考查的知识点是数列的应用，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分．10．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．考点：余弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．解答：解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜B＜π，所以C=．故答案为：点评：本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于基础题目．11．（5分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ﹣1 ．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案解答：解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为﹣1点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．12．（5分）（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．解答：解：y′=3x2﹣1令x=1得切线斜率2所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1）即2x﹣y+1=0故答案为：2x﹣y+1=0点评：本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b﹣3，f（x）的图象恒过点（2，0），则a2+b2的最小值为．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将（2，0）代入二次函数解析式中，得到a与b的等量关系，利用a表示出b，代入a2+b2中，得到关于a的二次函数，配方可得a2+b2的最小值．解答：解：把（2，0）代入二次函数解析式得：4+2a+b﹣3=0，即2a+b=﹣1，解得：b=﹣1﹣2a，则a2+b2=a2+（﹣1﹣2a）2=5a2+4a+1=5（a+）2+，所以当a=﹣，b=﹣时，a2+b2的最小值为．故答案为：．点评：本题主要考查了利用二次函数的性质求最值，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则= 3．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得，=，代入|2|====可求解答：解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法15．（5分）已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表x ﹣1 0 4 5f（x） 1 2 2 1f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示下列关于函数f（x）的命题；①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．其中真命题为②（填写序号）考点：命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：观察函数y=f′（x）的图象知：求出极值点，比较端点值，可以求出值域；在区间[﹣1，0）和（2，4）内，f′（x）＞0，在（0，2）上是减函数，由此能求出f（x）的单调递增区间；结合函数的图象和表格知：函数f（x）的定义域[﹣1，5]内，在x=0处取极大值f（0）=2，在x=2处取极小值f（2），在x=4处取极大值f（4）=2，再由f（﹣1）=1．f（5）=1，由此即可求出f（x）的最值；根据函数的单调性求出了f（x）的值域y=f（x）﹣a有零点，得f（x）=a，根据a的范围进行判断；解答：解：∵f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：∴观察图象知：在区间[﹣1，0）和（2，4）内，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间是[﹣1，0]和[2，4]；在（0，2）和（4，5）有f′（x）＞0，f（x）为减函数；故②正确；两个极大值点：结合函数的图象知：函数f（x）的定义域[﹣1，5]内，在x=0处取极大值f（0）=2，在x=2处取极小值f（2），在x=4处取极大值f（4）=2，又∵f（﹣1）=1．f（5）=1，∴f（x）的最大值是2．最小值为f（2），故①错误；当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为：t=5，故③错误；求函数y=f（x）﹣a的零点：可得f（x）=a，因为不知最小值的值，无法进行判断，故④错误；故答案为②；点评：本题考查函数的单调区间和极大值的求法，解题时要认真审题，仔细观察图象，熟练掌握导数的应用．三、解答题；本大题共6小题，共75分．16．（12分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f（x）在[﹣，]上的值域．考点：二倍角的余弦；函数的值域；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）将f（x）解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，第三项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可得出f（x）的值域．解答：解：（1）f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+），∵ω=2，∴T=π，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴≤sin（2x+）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，]．点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各侧棱都垂直于底面，AC=AA1=4，AB=5，BC=3．（1）证明：BC⊥AC1；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）由AC=4，AB=5，BC=3，知AC⊥BC，由三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱都垂直于底面，知平面A1ACC1⊥平面ABC，BC⊥平面A1ACC1，由此能证明BC⊥AC1．（2）由AA1=AC=4，知四边形A1ACC1是正方形，故A1C⊥AC1，AC1⊥平面A1BC，所以∠ABM 为AB与平面A1BC所成的角，由此能求出直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．解答：解：（1）∵AC=4，AB=5，BC=3，则AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱都垂直于底面，∴平面A1ACC1⊥平面ABC，BC⊥平面A1ACC1，∵A1C⊂平面A1ACC1，∴BC⊥AC1．（2）∵AA1=AC=4，∴四边形A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1，∵BC⊥AC1，BC∩A1C=C，∴AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C交于点M，连接BM，则∠ABM为AB与平面A1BC所成的角，在Rt△ABM中，AM=2，AB=5，sin∠ABM=，∴直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为．点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a3=5，S3=9（1）求首项a1和公差d；（2）若存在数列{b n}，使a1b1+a2b2+L+a n b n=5+（2n﹣3）2n+1对任意正整数n都成立，求数列{b n}的前n项的和T n．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式，进行求解；（2）已知a1b1+a2b2+L+a n b n=5+（2n﹣3）2n+1，可以把等式两边n换为n﹣1，然后两式相减，可以推出b n的通项公式，再求出数列{b n}的前n项的和T n．解答：解：（1）由题意可得，解得；（2）由题意得，当n≥2时，有a1b1+a2b2+…+a n b n=5+（2n﹣3）2n+1，①又a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=5+（2n﹣5）2n，②①﹣②得，a n b n=5+（2n﹣3）2n+1﹣[5+（2n﹣5）2n]=（2n﹣1）2n，∴当n≥2时，b n=2n，又当n=1时，a1b1=5+（2×1﹣3）22=1，∴b1=1；∴b n=；当n≥2时，T n=1+4+8+…+2n=1+=2n+1﹣3，又当n=1时，T1=1，符合上式，T n=2n+1﹣3；点评：此题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质，前n项求和的问题，是一道中档题，计算时要仔细；19．（13分）某玩具生产厂家接到一生产伦敦奥运吉祥物的生产订单，据以往数据分析，若生产数量为x万件，则可获利﹣lnx+万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数，且m∈（0，1）．（1）若美元贬值指数m=，为使得企业生产获利随x的增加而增长，该企业生产数量应在什么范围？（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x万件产品需增加生产成本万美元，已知该企业生产能力为x∈[4，10]，试问美元贬值指数m在什么范围内取值才能使得该企业生产每件产品获得的平均利润不低于0.3美元？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）先确定利润函数，再求导，利用导数大于0，即可求得结论；（2）由题意x∈[4，10]时，都有，分离参数，确定函数的最值，即可得到结论．解答：解：（1）若美元贬值指数m=，则企业获得利润是f （x ）=﹣lnx+﹣0.1x （x ＞0）∴f′（x ）=﹣=令f′（x ）＞0，可得x 2﹣0.5x ﹣5≥0，∵x＞0，∴x≥2.5 即x≥2.5时，企业生产获利随x 的增加而增长；（2）x ∈[4，10]时，都有∴x∈[4，10]时，m≤﹣+﹣，令g （x ）=﹣+﹣，则＞0∴g（x ）=﹣+﹣在[4，10]上为增函数 ∴g（x ）=﹣+﹣在[4，10]上的最小值为∴0＜m≤时，该企业生产每件产品获得的平均利润不低于0.3美元．点评： 本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导是关键．20．（13分）已知直线l ：y=x+m 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，点M （4，1）为定点．（1）求m 的取值范围；（2）若直线l 不过点M ，求证：直线MA ，MB 与x 轴围成一个等腰三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系． 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）直线方程代入椭圆方程，利用判别式大于0，即可求m 的取值范围； （2）证明直线MA 、MB 的倾斜角互补，即可证得结论． 解答： （1）解：直线l ：y=x+m 代入椭圆，可得5x 2+8mx+4m 2﹣20=0∵直线l ：y=x+m 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，∴△=64m 2﹣20（4m 2﹣20）＞0，∴﹣5＜m ＜5；（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=∴k1+k2=+====0∴直线MA、MB的倾斜角互补，故直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，属于基础题．点评：21．（13分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+（1）求f′（1），f（0）以及f（x）的单调区间；（2）令h（x）=f（x）﹣x3﹣﹣e x，若对h（x）在x∈（1，3）单调递增，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）对函数进行求导，再使导函数的自变量为1，即得f′（1），f（0）然后令导函数大于0求出x的范围，即可得到答案．（2）先求函数h（x）的导函数，又由函数f（x）在区间（1，3）上是单调递增，则函数的导函数≥0恒成立，列出不等式，求出解集即可到得到a的取值范围．解答：解：由于f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+，则f′（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）+x，令x=1得，f（0）=1，则f（x）=f′（1）e x﹣1﹣x+，∴f（0）=f′（1）e﹣1 则f′（1）=e，得到f（x）=e x﹣x+，则g（x）=f′（x）=e x﹣1+x，g′（x）=e x+1＞0，所以y=g（x）在x∈R上单调递增，则f′（x）＞0=f′（0）⇔x＞0，f′（x）＜0=f′（0）⇔x＜0，所以f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）．（2）由（1）知，h（x）=f（x）﹣x3﹣﹣e x=﹣x3+﹣x，∴h’（x）=﹣3x2+（1﹣a）x﹣1≥0对x∈（1，3）恒成立，（1﹣a）x≥3x2+1，∵x∈（1，3），∴1﹣a≥令φ（x）=，，∴1﹣a≥，∴点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．掌握不等式恒成立时所取的条件．。
湖南省师大附中高三数学第一次月考试卷(文科)
湖南师大附中高三月考试卷(一)文科数学湖南师大附中高三数学备课组组稿 命题人：贺仁亮 审题人：贺忠良 彭萍时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合A=｛x x x 92-＜0｝，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧*∈N y y4则A ∩B 中元素个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ． 3个2．nxx )1(+的各项系数之和为16，则展开式中系数最大的项是 A ．6 B ．6x C ．x 4 D ． x4或4x 3．过点P(一1，0)作圆C ：(x 一1)2+(y 一2)2=1的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C三点的圆方程是A ．4)12=-+y x （２ B ．2)12=-+y x （２ C ．2)122=+-y x （ D ．4)122=+-y x （ 4．函)(x f y =的图象过原点且它的导函数)(x f y '=)的图象是如图所示的一条直 线，则)(x f y =的图象的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知)(,13)(R x x x f ∈+=，若︱4)(-x f ︱＜a 的充分条件是1-x ＜b(a,b ＞0)，则a ，b 之间的关系是 A ． 3b a ≤B ．3a b ≤C ．b ＞3aD ．a ＞3b 6．已知函数)(1x f y -=的图象过点(1，0)，则函数)2(-=x f y 的图象一定过点A ．(0，3)B ．(0，一1)C ．(2，1)D ．(一2，1)7．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量，n 维向量可用 (１x ，２x ，３x ，４x ，…，n x )表示．设=a (1a ，2a ，3a ，4a ，…，n a )，设=b (1b ，2b ，3b ，4b ，…，n b )，a 与b 夹角θ的余弦值为22221222212211cos nnnn bb b a a a b a b a b a +⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=θ．当两个n 维向量，=a （1，1，1，…，1），=b (1-，1-，1，1，…，1)时，=θcosA ．n n 1- B ．n n 3- C ．n n 2- D ． nn 4- 8．若二面角M 一l 一N 的平面角大小为32π，直线m ⊥平面M ，则平面N 内的直线与m 所成角的取值范围是 A ．A[6π，2π] B ．[4π，2π] C ．[3π，2π] D ． [0，2π] 9．设椭圆12222=+n y m x ，双曲线12222=-ny m x ，抛物线x n m y )(2+=２，(其中m>n>0)的离心率分别为 e 1，e 2，e 3，则A ．e 1 e 2> e 3B ．e 1 e 2< e 3C ．e 1 e 2=e 3D ．e 1 e 2与e 3大小不确定10．某中学生为了能观看2008年奥运会，从2001年起，每年8月8日到银行将自己积攒的零用钱存人a元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年奥运会开幕时(此时不再存钱)将所有的存款及利息全部取回，则可取回钱的总数(元)为 A ．7)1(p a +B ．8)1(p a +C ．[])1()1(7p p p a +-+D ．[])1()1(8p p pa +-+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．11．一次奥运会比赛中，有男运动员560人，女运动员420人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为280的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽 人． 12．在△ABC 中，若a=7，b=8，cosC=1413，则最小角的余弦值为 ． 13．以抛物线x y42=的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A(一1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是 ．14．在2008年北京奥运火炬传递活动中，某地的奥运火炬接力传递路线共分8段，传递活动分别由8名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．(用数字作答) 15．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：(1)斜边的中线长等于斜边边长的一半；(2)两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；(3)斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质(至少一条)： 。
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湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣1 B．1C．D．2．（5分）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（）A．一条直线B．一个圆C．一条抛物线D．一条双曲线3．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜14．（5分）如果函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，那么（）A．T=4π，θ=B．T=4，θ=C．T=4，θ=D．T=4π，θ=5．（5分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（）A．若α∥b，β∥b，则α∥βB．若α∥a，α∥b，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β6．（5分）若ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（5）＜f（﹣1）＜f（2）C． f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）7．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．a b＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞29．（5分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算：a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log78=••…•=3；…．若a1•a2•a3•…•a k（k∈N*）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1•a2•a3•…•a k=2 014时，“企盼数”k为（）A．22014+2 B．22014C．22014﹣2 D．22014﹣410．（5分）过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取个．12．（5分）阅读框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是．13．（5分）若直线y=kx与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则k的值是．14．（5分）函数f（x）=x（e x+1）+x2，则函数f（x）的单调增区间为．15．（5分）当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n），则（1）S（3）=．（2）S（n）=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求当x∈（0，]时f（x）的值域．17．（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．18．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积．19．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设＜a＜1，若对任意实数u、v∈[a﹣1，a]，不等式|f（u）﹣f（v）|≤恒成立，求实数a的最小值．20．（13分）如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足，．（1）求双曲线的离心率；（2）若a=2，过点B作直线l分别交双曲线的左支、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OMN=，求l的方程．21．（13分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣1 B．1C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得所给的复数为，再根据它为纯虚数，可得a﹣1=0，且a+1≠0，由此求得a的值．解答：解：a是实数，且==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故选B．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是（）A．一条直线B．一个圆C．一条抛物线D．一条双曲线考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用即可把极坐标方程化为直角坐标方程，即可判断出．解答：解：极坐标方程ρcos2θ=4sinθ化为ρ2cos2θ=4ρsinθ，∴x2=4y．因此极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是一条抛物线．故选：C．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题．3．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；集合．分析：判断“x∈A且x∉B”成立的充要条件要分别说明必要性与充分性．解答：解：∵集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，又∵“x∈A且x∉B”，∴﹣1＜x＜1；又由﹣1＜x＜1时，满足x∈A且x∉B．故选D．点评：本题考查了充要条件的求法，要分别说明必要性与充分性．属于基础题．4．（5分）如果函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，那么（）A．T=4π，θ=B．T=4，θ=C．T=4，θ=D．T=4π，θ=考点：三角函数的周期性及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，可得结论．解答：解：根据函数f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜π）是最小正周期为T的偶函数，可得T==4，且θ=，故选：B．点评：本题主要考查正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．5．（5分）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是（）A．若α∥b，β∥b，则α∥βB．若α∥a，α∥b，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，则α∥βD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若α∥b，β∥b，则α与β相交或平行，故A错误；若α∥a，α∥b，则a与b相交、平行或异面，故B错误；若a⊥α，b⊥β，则α与β相交或平行，故C错误；若a⊥α，a⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．点评：本小题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间想象能力和思维能力的培养．6．（5分）若ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（5）＜f（﹣1）＜f（2）C． f（﹣1）＜f（2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由于ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，可知；﹣2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．得到=﹣2，=﹣8．因此函数f（x）=ax2+bx+c=a=a（x﹣1）2﹣9a．可知：a＜0，抛物线开口向下，且对称轴为x=1．当x≥1时，函数f（x）单调递减．即可得出．解答：解：∵ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，∴﹣2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．∴﹣2+4=，﹣2×4=．化为=﹣2，=﹣8．∴函数f（x）=ax2+bx+c=a=a（x2﹣2x﹣8）=a（x﹣1）2﹣9a．∵a＜0，抛物线开口向下，且对称轴为x=1．∴当x≥1时，函数f（x）单调递减，∴f（5）＜f（3）＜f（2），f（3）=f（﹣1），∴f（5）＜f（﹣1）＜f（2）．故选：B．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．7．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．解答：解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A点评：考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力．8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．a b＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞2考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于＜＜0，可得b＜a＜0，因此b2＞a2，即可得出．解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，因此C不正确．故选：C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9．（5分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算：a1•a2=log23•log34=•=2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log78=••…•=3；…．若a1•a2•a3•…•a k（k∈N*）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1•a2•a3•…•a k=2 014时，“企盼数”k为（）A．22014+2 B．22014C．22014﹣2 D．22014﹣4考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得lg（k+2）=lg 22014，由此能求出k．解答：解：由已知得a1•a2•a3•…•a k==2 014，lg（k+2）=lg 22014，解得k=22014﹣2．故选：C．点评：本题考查“企盼数”k的求法，是中档题，解题时要注意对数性质的合理运用．10．（5分）过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．解答：解：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，设两个交点是A（x1，y1），B（x2，y2），则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=﹣1．∴k=且满足△＞0．故选：C．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取12个．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：∵在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，∴二等品中应抽取个，故答案为：12点评：本题主要考查分层抽样的应用，建立比例关系是解决本题的关键．12．（5分）阅读框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是b（或0.90.3）．考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质比较0.80.3，0.90.3，log50.9三个数的大小，由框图即可确定输出的数．解答：解：指数函数和对数函数的图象和性质可知0.80.3＜0.90.3，且0.90.3＞log50.9，执行框图流程可知输出的数为：b（或0.90.3）故答案为：b（或0.90.3）．点评：本题主要考查流程图和算法以及指数函数、对数函数的图象和性质，属于基础题．13．（5分）若直线y=kx与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则k的值是±．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先根据圆的方程求出圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值．解答：解：圆x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心、半径等于1的圆．根据圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得k=±．故答案为：±．点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=x（e x+1）+x2，则函数f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞）（注：[﹣1，+∞）也可）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：只需在定义域内解不等式f′（x）＞0，注意定义域的书写形式．解答：解：f′（x）=e x+1+xe x+x=（e x+1）（x+1），令f′（x）＞0，得x＞﹣1，∴函数f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题，求f（x）的增区间只需解f′（x）＞0，求减区间只需解f′（x）＜0，注意单调区间为定义域的子集．15．（5分）当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n），则（1）S（3）=22．（2）S（n）=．考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：（1）由题意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8），分别寻求每一项的值，然后可求（2）先根据题意求出当n=1时，S（1）=N（1）+N（2），S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4），S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8），S（4）=N（1）+N（2）+N （3）+N（4）+…+N（16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求解答：解：（1）由题意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22 （2）由题意可得，当n=1时，S（1）=N（1）+N（2）=1+1=2当n=2时，S（2）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）=[N（1）+N（3）]+N（2×1）+N（4×1）=（1+3）+1+1=22+2当n=3时，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8）=[N（1）+N（3）+N（5）+N（7）]+[N（2）+N（6）]+[N（4）+N（8）]=（1+3+5+7）+（1+3）+（1+1）=24+22+2当n=4，S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（16）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（6）+N（10）+N（14）]+[N（4）+N（8）+N（12）+N（16）]=（1+3+5+7+9+11+13+15）+（1+3+5+7）+（1+1+3+1）=64+16+6=26+24+22+2n=5，S（5）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（32）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（31）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（30）]+[N（4）+N （8）+…N（32）]=（1+3+5++…+31）+（1+3+5+…+15）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=256+64+22=28+26+24+22+2∴S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2n）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（2n﹣1）]+[N（2）+N（6）+N（10）+…N（2n﹣2）]+[N（4）+N（8）+…N（2n）]=22n﹣2+22n﹣4+…+22+2==2=故答案为：22，点评：本题以新定义为载体，主要考查了函数的函数值的求解，解题的关键是根据前几项的值寻求函数值出现的规律三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求当x∈（0，]时f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2ωx+）+，由此根据周期为π求得ω的值．（2）当x∈（0，]时，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．解答：解：（1）f（x）=sinωxcosωx++1=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+．∵ω＞0，∴T==π，∴ω=2．（2）由（1）得：f（x）=sin（2ωx+）+，∵0＜x≤，∴＜2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴1≤f（x）≤，即f（x）的值域是[1，]．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．17．（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，再求b、c的值；（2）先求抽取比例，根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数；（3）计算从5名学生中随机抽取2人的取法种数和恰好抽到1名男生和1名女生的取法种数，利用古典概型概率公式计算．解答：解：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，b==0，34，c==0.12；（2）∵分层抽样的抽取比例为，∴在第二组学生中应抽取10×=4人；（3）从5名学生中随机抽取2人共有=10种取法，恰好抽到1名男生和1名女生的取法有=6种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=．点评：本题考查了古典概型的概率计算，考查了组合数公式的应用，解题的关键是读懂频率分布表．18．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，PC=BC=4，AB=2，E、F分别是PB、PA的中点．（1）求证：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积．考点：平面与平面垂直的判定；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得AB⊥PC，AB⊥BC，从而AB⊥侧面PBC，由此能证明侧面PAB⊥侧面PBC．（2）由已知得CE⊥PB，CE⊥EF．从而EF⊥侧面PBC，故EC、EF、EP两两垂直，从而三棱锥P﹣CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，由此能求出三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积．解答：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC，AB⊂侧面PAB，故侧面PAB⊥侧面PBC．（6分）（2）解：∵PC=BC=4，E为PB的中点，∴CE⊥PB，而侧面PAB垂直侧面PBC于PB，∴CE⊥EF．由E、F分别是PB、PA的中点有EF∥AB，则EF⊥侧面PBC．故EC、EF、EP两两垂直，（9分）三棱锥P﹣CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，由已知得EC=EP=2，EF=1，其外接球的直径是=，故所求三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积是=17π．（12分）点评：本题考查侧面PAB⊥侧面PBC的证明，考查三棱锥P﹣CEF的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（13分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设＜a＜1，若对任意实数u、v∈[a﹣1，a]，不等式|f（u）﹣f（v）|≤恒成立，求实数a的最小值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知得x∈[﹣1，1]时，f′（x）=x2+ax﹣a﹣2≤0恒成立，由此能求出a≥﹣．（2）由已知得＜a＜1，﹣＜a﹣1＜0，[a﹣1，a]⊂[﹣1，1]，f（x）在[a﹣1，a]上是减函数，从而得到f max﹣f min≤，由此能求出实数a的最小值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b，∴f′（x）=x2+ax﹣a﹣2，由函数f（x）=x3+ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）在[﹣1，1]上是减函数得：x∈[﹣1，1]时，f′（x）=x2+ax﹣a﹣2≤0恒成立．（3分）∴，解得a≥﹣．（6分）（2）∵＜a＜1，∴﹣＜a﹣1＜0，∴[a﹣1，a]⊂[﹣1，1]，故f（x）在[a﹣1，a]上是减函数，（7分）∴f max=f（a﹣1）=（a﹣1）3+a（a﹣1）2﹣（a+2）（a﹣1）+b，f min=f（a）=a3+a3﹣a（a+2）+b．依条件有f max﹣f min≤，∴f max﹣f min=﹣2a2+a+≤，（11分）即8a2﹣10a+3≥0，a≥或a≤，∵＜a＜1，∴a min=．（13分）点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．20．（13分）如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足，．（1）求双曲线的离心率；（2）若a=2，过点B作直线l分别交双曲线的左支、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OMN=，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．专题：综合题；转化思想．分析：（1）欲求双曲线的离心率，只需找到含a，c的齐次式，由已知，易求P点坐标，根据，可判断D点为FP的中点，再根据可找到a，b的关系，进而转化为含a，c的等式，即可求出离心率e的值．（2）当a=2时，根据（1）中所求离心率，可求出b的值，进而求出双曲线方程，根据直线MN过B点，设出直线MN的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2，△OMN被y轴分成两个三角形，分别求出面积，再相加，即为△OMN的面积，让其等于题目中所给的值，可得到关于直线l的斜率k的方程，解出k即可．解答：解：（1）∵B（0，﹣b）∵，即D为线段FP的中点．，∴，即A、B、D共线．而，，∴，得a=2b，∴（2）∵a=2，而，∴b2=1，故双曲线的方程为…①∴B、的坐标为（0，﹣1）设l的方程为y=kx﹣1…②②代入①得（1﹣4k2）x2+8kx﹣8=0由题意得：得：设M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）则而==整理得24k4﹣11k2+1=0，解得：或（舍去）∴所求l的方程为点评：本题主要考查了双曲线离心率的求法，以及直线与双曲线位置关系的应用．21．（13分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{a n}的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论．解答：解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（3分）（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有a n==10n+5．（6分）（另解：a n=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）S n=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。