2008年广州市高二数学竞赛试卷

2008年广州市高二数学竞赛试卷

考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；

⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内． 1．若集合{}a a a -2,有4个子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ． {}2,0 B ．{∈≠a a a ,0R

}

C ．{∈≠a a a ,2R

} D ．{0≠a

a 且∈≠a a ,2R

}

2 已知函数()⎩⎨⎧<≤-≤≤-=.

01,

2,10,

12x x x x f x

则)]5.0([-f f 等于( )

A ．5.0-

B ．1-

C ．5.0

D ．1

3．在空间直角坐标系xyz O -中，点D C B A 、、、的坐标分别为A ()001，，、

B ()020，，、

C ()042，，、()221--，，

D ，则三棱锥BCD A -的体积是（ ）

A ．2

B ．3

C ．6

D ．10 4. 已知直线012=+-y x 与圆()()5

12

2

=

-+-b y a x ∈b a ,(R )有交点, 则

1222

2++-+b a b a 的最小值是 ( )

A ．5

1 B ．

5

4 C ．

5

9 D ．

5

14

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上． 5. △ABC

的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、, 若

︒

===6024A b a ，，, 则=C cos .

6．已知直角梯形ABCD 的顶点坐标分别为()()()()3,1,1,3,0,2,1,D C B a A ，

则实数a 的值是 .

7. 在数列}{n a 中，1a ＝2，∈=++n a a n n (11N )*，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则

3029282S S S -+的值为 .

8．已知C B A 、、三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，若=++OC r OB q OA p 0， ∈r q p ,,R ，则=++r q p .

9．一个非负整数的有序数对(,)m n ，如果在做m n +的加法时不用进位，则称(,)m n 为“奥运数对”，m n +称为“奥运数对”(,)m n 的和，则和为2008的“奥运数对”的个数有___________个.

10.如图1所示, 函数()x f y =圆弧, 则不等式()()x x f x f +-<2

三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程． 图1 11．（本小题满分15分）

已知函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,a b ∈R ，0ω>)的部分图象如图2所示． (1) 求,,a b ω的值；

（2）若关于x 的方程[]2

3()()0f x f x m -+=在2(,

)x π

π∈-

内有解,求实数m 的取值

范围．

图2

12．（本小题满分15分）

如图3所示, 在三棱柱ABC C B A -111中, ⊥1AA 底面ABC ，,BC AC ⊥ 21===CC BC AC .

（1）若点F E D 、、分别为棱CA B C CC 、、111的中点，求证：⊥EF 平面BD A 1；

23

π76

πy

O

1

-

D

B 1

C 1

A 1

F

E C

B

A

(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱ABC C B A -111的某一

条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法，

并写出拼接后的长方体的表面积（不必计算过程）.

图3

13．（本小题满分20分）

已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 是椭圆L ：2

2

118

9

x

y

+

=上不同的两点，线段A B 的中点为

(2,1)M .

（1）求直线A B 的方程；

（2）若线段A B 的垂直平分线与椭圆L 交于点C 、D ，试问四点A 、B 、C 、D 是否在

同一个圆

上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.

14．（本小题满分20分）

已知在数列}{n a 中，11=a ，d qa a n n +=-+1212(d ∈R ,q ∈R 且q ≠0,∈n N *). （1）若数列}{12-n a 是等比数列，求q 与d 满足的条件；

（2）当0d =，2q =时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1

次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、

向上、向左、向下的方向交替地运动，设第n 次运动的位移是n a ，第n 次运动后，质点到达点(,)n n n P x y ,求数列{}n x n 4⋅的前n 项和n S .

15．（本小题满分20分）

已知函数()∈--=b a bx ax x x f ,(ln 2R ，且)0≠a .

（1）当2=b 时，若函数()x f 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当0>a 且12=+b a 时，讨论函数()x f 的零点个数.