福建省罗源第一中学2018届高三5月校考数学(理)试题+Word版含答案

2017---2018学年度第二学期罗源一中 高中 三 年 数学（理） 科试卷完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题意要求的.1．已知集合{}1<=x x A ,{}1ln <∈=x N x B ，则()=⋂B A C R （ ）A. {}2B. {}2,1C. {}3,2D. {}3,2,1 2．已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-，()1,0-，则=+221z z z （ ） A. i 22+ B.i 22- C. i +-2 D. i --2 3．已知角θ的终边经过点()3,2-，将角θ的终边顺时针旋转43π后得到角β， 则=βtan （ ） A. 51-B. 5C. 51D. 5- 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 43+πB. 44+πC. 46+πD. 48+π5．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法， 其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

” 下图是该算法的程序框图，如果输入102a =， 238b =， 则输出的a 值是( )A. 68B. 17C. 34D. 366．已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在点A ，使1230F AF ∠=，且线段1AF的中点在y 轴上，则双曲线的离心率是（ ）A.32+7．若函数()0)2sin(3)sin()(>++-=ωωπωπx x x f 满足2)(1-=x f ，0)(2=x f 且21x x -的最小值为4π，则函数)(x f 的单调递增区间为（ ） A. ()Z k k k ∈+-]62,652[ππππ B. ()Z k k k ∈+-]122,1252[ππππ C. ()Z k k k ∈+-]6,3[ππππ D. ()Z k k k ∈+-]12,125[ππππ8．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为43， 各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A.31 B. 52 C. 32 D. 54 9．已知函数()y g x =满足()()2g x g x +=-，若()y f x =在()()2,00,2-⋃上为偶函数，且其解析式为()()2log ,02{ ,20x x f x g x x <<=-<<，则()2017g -的值为( )A. −1B. 0C.12 D. 12- 10．某地区一模考试数学成绩x 服从正态分布()2,90σN ，且()2.070=<x P .从该地区参加一模考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩，数学成绩在]110,70[的人数记作随机变量ξ，则ξ的方差为( )A. 2B. 2.1C. 2.4D. 3 11．若3log 6=a ，5log 10=b ，7log 14=c ,则( )A. c b a >>B. a c b >>C. b c a >>D. a b c >>12．设F E ,分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱DC 上两点，且1,2==EF AB ，给出下列四个命题：①三棱锥EF B D 11-的体积为定值； ②异面直线11B D 与EF 所成的角为045； ③⊥11B D 平面EF B 1； ④直线11B D 与平面EF B 1所成的角为060. 其中正确的命题为（ ）A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.13．设x ，y 满足约束条件210{210 10x y x y x y +-≤++≥-+≥，则23z x y =-的最大值为__________14．已知()0,32=，()2,0=,R t t ∈=,最小时，t =____15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的端点()0,P b 、()0,Q b -，长轴的一个端点为M ，AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若,PA PB 的斜率之积等于14-， 则P 到直线QM 的距离为__________16．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且6a =， 4sin 5sin B C =，当2A C =时，若G 为ABC ∆的重心，则GAB ∆的面积为__________三、解答题：（本大题6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知公比为3的等比数列{}n a 满足)(3*2121N n a a a a n n n n ∈=-++λ．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）记n S 为{}n a 的前n 项和，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a S 的前n 项和n T ．18．如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上,且BC BF 41=.若将AED ∆,CFD ∆ 分别沿FD ED ,折起，使C A ,两点重合于点M ,如图2.(1)求证:⊥EF 平面MED ;(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值.19．已知点M 到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l ： 240x y +-=，交轨迹C 于A 、B 两点， O 为坐标原点，试在轨迹C 的AOB 部分上求一点P ，使得ABP ∆的面积最大，并求其最大值.20．从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm ) 组成一个样本，且将纤维长度超过315mm 的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:(1)根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）；(2)从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率； (3)用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根， 求其中一级棉花根数X 的分布列及数学期望.21．已知函数x x x f ln )(=，x e ax x x g )3()(2-+-=，（R a ∈）（1）当4=a 时，求函数)(x g y =在0=x 处的切线方程；（2）如果关于x 的方程)(2)(x f e x g x=在区间],1[e e上有两个不等实根，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)0(sin 2cos 2>=a a θθρ ，过点)2,1(--P 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 222221（t 为参数），l 与C 交于B A ,两点.(1) 求C 的直角坐标方程和l 的普通方程； (2) 若PB AB PA ,,成等差数列，求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数35)(+--=x x x f . （1）解关于x 的不等式1)(+≥x x f ；（2）记函数)(x f 的最大值为m ，若m ab b a e e e b a -=⋅>>44,0,0，求ab 的最小值.罗源一中2018届高三5月校考数学（理科）参考答案1．B 【解析】因为,所以； 因为所以,选B.2．A 【解析】分析：首先确定复数，然后结合题意进行复数的混合运算即可.详解：由题意可得：，则：，，据此可得：.3．A 【解析】由三角函数的定义可得，又，所以.4．B 【解析】分析：由三视图可知该组合体为个球和半个圆柱，计算各面面积求和即可.详解：由三视图易知，该组合体为：上面是个球，下面是半个圆柱.表面积为：.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“长对正，高平齐，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 5．C 【解析】依据题设中提供的算法流程图可知：当102,238a b == 时，,136a b b b a <=-=，此时102,1a b ==，则,34a b b b a <=-=；这时102,3a b ==，,68a b a a b >=-=，此时68,34a b ==， ,34a b a a b >=-=，这时34a b ==，输出34a =，运算程序结束。

6．C 【解析】分析：因为线段1AF 的中点在y 轴上，在12AF F ∆中， 由三角形中位线性质可得到2AF y轴，进而得到2AF x ⊥轴。

在直角12AF F ∆中， 1230F AF ∠= ， 12||2F F c =，用边角关系推出112|AF|=2|FF |=4c ， 212|AF ，再由双曲线定12|AF|-|AF |2a =，得到,a c 关系，进而可求离心率。

详解：因为线段1AF 的中点在y 轴上，又因为点O 为线段12FF 的中点，由三角形中位线性质可知2AF //y 轴，所以2AF x ⊥轴，所以21AF F =90︒∠。

因为1230F AF ∠= ，所以112|AF|=2|FF |=4c ， 212|AF 。

因为点A 在双曲线右支上，由双曲线定义可得12|AF|-|AF |2a =，所以(42,2c a c a -=∴=，所以2c e a ====+ 点睛：离心率两大考点：求值、求取值范围。

解题过程注意,,a b c 的关系。

（1）直接根据题意建立,a c 的等式或不等式求解； （2）借助平面几何关系建立,a c 的等式或不等式求解； （3）利用圆锥曲线的相关细则建立,a c 的等式或不等式求解； （4）运用数形结合建立,a c 的等式或不等式求解；7．D 【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解： ，根据题中条件满足 且的最小值为，所以有，所以，从而有，令，整理得，从而求得函数的单调递增区间为.点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.8．A 【解析】分析：这是一个条件概率，所以先计算P(A)和P(AB),再代入条件概率的公式即得解.详解：设甲获得冠军为事件A,比赛进行了三局为事件B,则P(AB)=，P(A)=所以点睛：(1)本题主要考查条件概率，意在考查条件概率的基础知识的掌握能力.(2)本题主要注意审题识别概率类型，条件概率一般有“在发生的情况下”这样的关键概念和信息,本题就有“在甲获得冠军的情况下，”这样的关键信息.9．B 【解析】分析：由题意()()2g x g x +=-，得到函数()g x 是周期为4的函数，进而可求得()2017g - 的值．详解：由题意可得： ()()()24g x g x g x =-+=+，即函数()g x 是周期为4的函数，则()()()()()2201720174504111log 10g g g f f -=-+⨯=-=-===．点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，对于函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度： （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．10．C 【解析】由正态分布知，每个人数学成绩在的概率为，所以10个学生数学成绩在的人数服从二项分布B （10,0.6），所以方差为.点睛：正态分布问题可根据正态曲线的对称性来求落在某区域的概率，其对称轴为，所以落在对称轴两侧的概率分别为，从而知道的概率，进而解决问题.11．D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是，因此三者可化为的形式，该函数为上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：，，，令，则在上是单调增函数.又，所以即.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小. 12．A 【解析】 由题意得，如图所示，①中，三棱锥的体积的为，所以体积为定值；②中，在正方体中，，所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，即，所以这正确的；③中，由②可知，直线与不垂直，所以面不成立，所以是错误的；④中，根据斜线与平面所成的角，可知与平面所成的角，即为011130=∠C D B ，所以不正确．13．5【解析】分析：根据约束条件作出平面区域，化23z x y =-为233zy x =-，从而结合图象，即可求得最大值．详解：由约束条件210{210 10x y x y x y +-≤++≥-+≥作出平面区域如图所示：化23z x y =-为233zy x =-，由210{ 210x y x y +-=++=，解得()1,1A -. 由图可得，当直线233z y x =-经过点A 时，直线233zy x =-在y 轴上的截距最小， 此时z 有最大值，即()max 21315z =⨯-⨯-=.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．【解析】分析：由，可得,求出，可得，利用二次函数的性质可得结果.详解：，得，，当时，有最小值，故答案为.点睛：本题主要考查平面向量的运算及利用二次函数求最值，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 15．b 554或a 552 【解析】不妨设椭圆()()000,,,P b A x y ，则B 点坐标为()00,x y --，则0000b 14y y b x x ---⨯=，由于2200221x y a b +=，则2214b a -=-，则b 12a =，不妨设(),0M a ，直线QM 方程为0bx ay ab --=，则P 到直线QM 的距离为a b b a b b b a ab d 552554452122222===⎪⎭⎫⎝⎛+=+=.点睛：椭圆常用结论：若点,A B 是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，若直线,PA PB 的斜率都存在，并分别记为,PA PB k k ，那么,PA PB k k 之积是与点P 位置无关的定值22b a-.16．475【解析】当2A C =时，有正弦定理cos 3sin sin sin2sin a c a c c C A c C c =⇒=⇒= ，结合54b c =由余弦定理可得，22225562cos 3626cos ,4,544c b ab C c c C c b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯∴== ⎪⎝⎭4,5,6c b a ===，则由海伦公式可得ABC ∆的面积为4715，若G 为ABC ∆的重心，则GAB ∆ 的面积为475.17．【解析】（Ⅰ）由，令，得，由已知数列的公比，可得，故，解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，所以，所以.18．【解析】（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面（2）解：由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，则， 令，则，，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为点睛：该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是线面垂直的判定，一定要把握好线面垂直的判定定理的条件，注意勾股定理也是证明线线垂直的好方法，二是求线面角，利用空间向量来求解，即直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，求得结果.19．【解析】（1）因为点M 到点F(1,0) 的距离比到y 轴的距离大1，所以点M 到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x ＝－1的距离由抛物线定义知道，点M 的轨迹是以F 为焦点，m 为准线的抛物线或x 轴负半轴 设轨迹C 的方程为： 22y px = ，12p= , 轨迹C 方程为： 24y x =， 或()00y x =≤ .（2）设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）, P （x 0,y 0）,直线l 化成斜截式为 122y x =-+,当直线l 的平行线与抛物线相切时△ABP 的面积最大,由图知P 点在第四象限.抛物线在x 轴下方的图象解析式： ()y f x ==-()f x '=()012f x '==-，解得04x =， 04y =-,所以P 点坐标()4,4-,P 点到l的距离d ==, A ，B 两点满足方程组24{ 122y xy x ==-+ 化简得224160x x -+=.x 1,x 2 为该方程的根. 所以121224,?16x x x x +== ,AB === ,1122ABP S AB d ∆∴==⨯=点睛：本题解题关键在于要熟悉抛物线定义，然后第二问先要分析出什么时候可以使三角形面积达到最大，此题显然是与直线平行且与抛物线相切时，最后按照三角形面积公式一一求出所需条件即可20．【解析】：(1) 1.乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度(或:乙种棉花的纤维长度普遍大于甲种棉花的纤维长度).2.甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散.(或:乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中(稳定)，甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花的纤维长度的分散程度更大.)3.甲种棉花的纤维长度的中位数为307.乙种棉花的纤维长度的中位数为318.4.乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近).甲种棉花的纤维长度除一个特殊值(352) 外，也大致对称，其分布较均匀.(2) 记事件为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，其中恰有3根一级棉花”.则(3) 由题意知，的可能取值是0,1,2,其相应的概率为,,,所以的分布列为点睛：该题考查的是有关统计的问题，在解题的过程中，注意对茎叶图的分析角度要找对，对平均值、离散程度、中位数知道怎么找，明确对应的事件的个数，注意分布列的求法，先确定可取值，再求对应的概率，之后借用公式求得期望值.21．【解析】（1）当时，，.，故切线的斜率为，∴切线方程为：，即；（2）由，可得，.设（），∴，∴，随的变化情况如下表：∴实数的取值范围为.点睛：1.利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点处的切线”和“曲线过某点的切线”的不同；2.在已知函数有解求有关参数问题时，往往分离参数，将问题转化为求函数的值域问题，可以避免较为繁琐的讨论．22．【解析】：（1）由，两边同乘，得化为普通方程为将消去参数，得直线的普通方程为（2）把代入，整理得，，由，得或，，∴，,,成等差数列，PB PA AB +=∴2由的几何意义得21212t t t t +=-且021>t t ，即21212t t t t +=-21212214)(2t t t t t t +=-+∴ ，即011032=--a a ，解得3725±=a 又，3725+=∴a 点睛：该题考查的是坐标系与参数方程的有关问题，涉及的考点有极坐标方程与直角坐标方程的转换，参数方程与普通方程的转化，还有直线与曲线相交有关线段的长度借用直线的参数方程中参数的几何意义来完成，这样可以简化解题步骤，并且还容易理解，再者，该题需要保证直线与抛物线有两个交点，此时判别式大于零就显得尤为重要. 23．【解析】（1）当时，由，得，所以；当时，由，得，所以；当时，由，得，无解.综上可知，，即不等式的解集为. （2）因为，所以函数的最大值.因为，所以.又，，所以， 所以，即.所以有.又，所以，，即的最小值为.点睛：本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。