圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)

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圆的基本概念与计算知识点总结

圆的基本概念与计算知识点总结圆是数学中重要的几何形状之一，其基本概念和计算知识点对于数学学习和实际应用具有重要意义。本文将对圆的基本概念及与其相关的计算知识点进行总结，并以清晰简洁的方式呈现。

1. 圆的定义与性质

圆是由平面上到定点的所有点构成的集合，其中定点称为圆心，到圆心距离相等的点构成的线段称为半径。圆的性质包括： - 圆的半径相等；

- 圆的直径是通过圆心的任意两点之间的线段，并且直径是半径的两倍；

- 圆的周长是沿着圆的边缘走一圈所经过的距离，计算公式为C = 2πr，其中C代表周长，r代表半径；

- 圆的面积是圆内部区域的大小，计算公式为A = πr^2，其中A

代表面积。

2. 弧长与扇形面积

弧是圆上两点之间的一部分，与弧相对应的圆心角是以圆心为顶点、弧为边的角。在计算中，我们可以利用圆的性质求解弧长和扇形面积：

- 弧长是弧上的一段长度，计算公式为L = 2πr * (θ/360°)，其中L 代表弧长，r代表半径，θ代表对应的圆心角；

- 扇形面积是由圆心、圆上一段弧和两个半径所构成的区域，计算公式为S = (θ/360°) * πr^2，其中S代表扇形面积，r代表半径，θ代表

对应的圆心角。

3. 圆的切线与切线定理

切线是与圆相切且与半径垂直的直线，切点是切线与圆相交的点。切线定理是指切线与半径的关系：

- 切线与半径的交点处，切线与半径垂直；

- 切线上的切点与半径的连线是切点上的切线；

- 切线长的平方等于切点到圆心距离的平方；

- 直径上的垂直于直径的直线是切线。

4. 弦与弦长

弦是圆上的线段，连接圆上的任意两点。弦的长度称为弦长，弦

圆的有关概念及性质

第29章圆知识体系复习(一)
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圆的有关概念及性质
本章知识结构图
圆的基本性质
圆
圆的对称性
弧、弦圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与圆心角的关系
与圆有关的位置关系
正多边形和圆
有关圆的计算
点和圆百度文库位置关系
切线
直线和圆的位置关系
∴直线l是⊙O的切线.
要点、考点聚焦
圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
中考题型：这部分题目变化灵活，在历年各地中考试题中均占有较大比例，就考查的形式来看，不仅可以单独考查，而且往往与几何前几章知识以及方程、函数等知识相结合.
1、如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为 _______.
要点、考点聚焦
(4)圆周角
定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
E
F
H
G
正方形
22cm

圆的基本性质

一：基本概念：

圆的定义：

1．描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．

2．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．

3．圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O

⊙“，读作”圆O“．

4．同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．

注意：同圆或等圆的半径相等．

弦和弧

1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．

2．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．

3．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

4．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B

、为端点的圆弧记作 AB，读作弧AB．

5．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

6．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

二：垂径定理：

1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．推论1：⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

三：圆周角定理:

圆心角和圆周角

1．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

中考数学总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(提高)

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

—知识讲解（提高）

责编：常春芳

【考纲要求】

1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；

2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、圆的有关概念及性质

1．圆的有关概念

圆、圆心、半径、等圆；

弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；

三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．

要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

2．圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

圆具有旋转不变性．

3．圆的确定

不在同一直线上的三个点确定一个圆．

要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

4．垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．

5．圆心角、弧、弦之间的关系

圆的基本概念和性质—知识讲解

圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）

【学习目标】

1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；

2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；

3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义及性质

1.圆的定义

(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

要点诠释：

①定点为圆心，定长为半径；

②圆指的是圆周，而不是圆面；

③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

2.圆的性质

①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释：

①圆有无数条对称轴；

②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.

3.两圆的性质

两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.

圆的知识点总结

（一）圆的有关性质

［知识归纳］

1.圆的有关概念：

圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；

弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；

圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆; 圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

2.圆的对称性

圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都長它的对称轴，圆有无数条对称轴；

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

圆具有族转不变性。

3.圆的确定

不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4.垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

推论1

（1）平分弦（不長直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可

推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不長直径）;

④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5.圆心角、弧、弦.弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或

小学数学知识归纳理解圆的概念和基本性质

小学数学知识归纳理解圆的概念和基本性质在小学数学中，圆是一个非常重要的概念。它在我们日常生活中随处可见，比如轮胎、钟表的表面等等。理解圆的概念和基本性质对于小学生的数学学习至关重要。本文将对圆的概念和基本性质进行归纳和理解。

一、圆的概念

圆是平面上的一种特殊的图形，它由与一个固定点距离相等的所有点组成。这个固定点被称为圆心，这个固定距离称为半径。

根据圆的定义，我们可以知道，圆是没有直线边界的，它是由无穷多个点组成的。而且，如果我们连接任意两个圆心以及与圆心连线上的两个点，我们会发现这条线段的长度是相等的。

二、圆的基本性质

1. 半径和直径

在圆中，我们会经常遇到两个重要的长度单位，即半径和直径。半径是从圆心到圆上任意一点的距离，而直径则是通过圆心的两个点之间的距离。容易发现，直径是半径的两倍。

2. 圆的周长

圆的周长是围绕圆的一条线段。我们可以使用一个特殊的符号π（读作“派”）来表示周长与直径的比值。这个数值在数学中是一个常数，约等于3.14159。

根据这个概念，我们可以知道圆的周长等于直径乘以π。即周长 = 直径× π，或者简单地记作C = πd，其中C表示周长，d表示直径。

3. 圆的面积

除了周长，圆的面积也是一个很重要的性质。面积是指圆所占据的平面内部的大小。同样地，我们可以使用π来表示面积与半径平方的比值。

圆的面积等于半径的平方乘以π。即面积 = 半径² × π，或者简单地记作A = πr²，其中A表示面积，r表示半径。

4. 弧长和扇形

在圆上，我们可以选择连接两个点，形成一个弧。这个弧和直径之间的关系是：弧长等于直径与圆心角（弧所对的圆心角）的乘积除以360。

圆的基本概念与性质知识点总结

圆的基本概念与性质知识点总结圆是几何学中的一个基本概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。它具有许多独特的性质和特点，本文将为你总结圆的基本概念以及其相关的性质知识点。

1. 圆的定义

圆是平面上一组距离相等的点的集合。其中，距离相等的点叫做圆心；与圆心距离相等的线段叫做半径；连接圆上任意两点的线段叫做弦；通过圆心并且连接圆上某一点的线段叫做半径。

2. 圆的性质

2.1 圆的半径性质

- 圆上任意两点间的弦相等，并且等于半径的长度。

- 半径垂直于弦，并且平分弦。

- 圆上相等弧所对的弦相等。

- 以圆心为端点的弧叫做半圆，圆心角为180°。

2.2 圆的直径性质

- 直径是圆上任意两点间的最长弦，等于半径的两倍。

- 直径的中点即为圆心。

- 圆上的半径与直径垂直，并且被直径平分。

2.3 圆的面积性质

- 圆的面积公式为：A = πr²（其中，A表示面积，r表示半径）。

- 圆的面积只与半径有关，与圆心角和弦长无关。

2.4 圆的弧长性质

- 弧长公式为：L = 2πr（其中，L表示弧长，r表示半径）。

- 弧长与圆心角成正比，即弧长等于圆心角度数与周长的比值。

3. 圆的相关定理

3.1 切线定理

- 切线是与圆相切的直线，切点在圆上。

- 切线与半径垂直。

3.2 弧度制与度制的转换

- 弧度制是以半径等于1的圆的圆心角作为单位，记作rad。

- 度制是以圆心角为单位，记作°。

- 弧度制与度制的转换关系为：1° = π/180 rad。

4. 圆的应用领域

- 在几何学中，圆被广泛运用于计算圆的面积、周长和弧长等。

- 在物理学中，圆被用于描述物体的运动轨迹和行星的绕轨道运动等。

第01讲圆的基本概念和性质(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第01讲圆的基本概念和性质

1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；

2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧

等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；

3.通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.

知识点1：圆的定义及性质

圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形

成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

知识点2 ：圆的有关概念

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。

⏜，读作圆弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB

弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

《圆的基本性质》全章复习与巩固（提高）

责编：康红梅

【学习目标】

1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.

2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.

3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.

4. 理解圆内接四边形的性质.

5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.

6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角

1．圆的定义

（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.

（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2.点与圆的位置关系

判定一个点P是否在⊙O上

设⊙O的半径为，OP=，则有

点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.

要点诠释：

点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.

3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

4．与圆有关的角

圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.

圆的基本性质与计算公式(知识点总结)

圆的基本性质与计算公式（知识点总结）

圆是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和计算公式。本文

将从不同的角度来总结和介绍圆的基本性质和计算公式，以帮助读者

更好地理解和应用这些知识。

一、圆的基本概念和性质

1. 定义：圆是由平面上任意一点到一个固定点的距离等于常数的所

有点的集合。

2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。

3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。

4. 直径：通过圆心的一条线段，两个端点在圆上的线段称为直径，

直径等于半径的两倍。

5. 弦：在圆上任意两点之间的线段称为弦，圆的直径也是一种特殊

的弦。

6. 弧：在圆上两点之间的一段弧，圆心夹的角称为圆心角，它等于

所对圆弧的一半。

7. 切线：与圆相切于圆上一点的直线称为切线，切线与半径的夹角

为90度。

二、圆的计算公式

1. 圆的周长：周长即圆的周长，用C表示，由于圆是一个闭合曲线，所以其周长是所有弧长的总和。周长计算公式为C = 2πr，其中π取近

似值3.14。

2. 圆的面积：面积是圆所包围的平面区域，用A表示，计算公式为

A = πr²。

3. 弧长：弧长是指圆上一段弧的长度，用字母L表示。弧长的计算

公式为L = 2πr(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。

4. 扇形面积：扇形是由圆心和两个弧上的点组成的区域，扇形面积

即扇形所包围的平面区域，用字母S表示。扇形面积的计算公式为S = 0.5πr²(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。

5. 弓形面积：弓形是由圆上的弧和圆心到弧的两条切线组成的区域，弓形面积即弓形所包围的平面区域，用字母A表示。弓形面积的计算

圆的定义及对称性

C 圆的定义与圆的对称性

【知识要点】

（一）圆的有关概念 1.圆的基本概念

定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做

圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性：

(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;

(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.

(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。

注：圆中有无数条直径 6.圆弧：

(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂

,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.

(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂

(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。说明：

（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：

初中数学知识归纳圆的基本概念

初中数学知识归纳圆的基本概念初中数学知识归纳——圆的基本概念

圆，作为几何学中重要的基本形状，广泛应用于数学和实际生活中

的各种计算和应用中。了解圆的基本概念是学习更高级圆相关知识的

基础。本文将从圆的定义、元素、性质等方面进行归纳和总结，帮助

读者全面掌握圆的基本概念。

一、圆的定义

圆可以定义为平面上所有离一个固定点（圆心）的距离都相等的点

的集合。在数学中，圆可以用圆心的坐标和半径来表示，记作C(O,r)。

其中，C表示圆心，O表示坐标原点，r表示半径。

二、圆的元素

1. 圆心（C）：即圆的中心点，整个圆的位置和形状都由圆心决定。

2. 圆周：圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。圆心到圆上任意两

点的线段叫做弦。根据弦是否经过圆心分为直径和弦两种，其中直径

是通过圆心的弦。

3. 圆上的点：圆上的点与圆心的距离都相等，用r表示。

4. 弧：圆上两点之间的弧是从一个点到另一个点沿圆周所经过的路径，弧的长度可以用角度或者弧度来表示。

三、圆的性质

1. 圆与直径之间的关系：圆上任意三点确定的弦都垂直于直径，并

且直径是弦的中垂线。

2. 弧度和角度：圆心角所对应的弧长与半径之比叫做弧度。圆周的

长度是360°或2π弧度。圆心角的度数和弧度数可以通过一定的换算关

系相互转换。

3. 圆的面积和周长：圆的面积可以通过半径r计算，公式为S = π *

r²，其中π是一个重要的数学常数，约等于3.14159。圆的周长也可以

通过半径r计算，公式为C = 2π * r。

4. 切线：切线是与圆相切于圆上某一点的直线，切线与半径的夹角

为90度。对于任意切点，通过切点的切线只有一条。

圆的基本性质复习课中考复习

A
B
知识点3：圆周角定理及推论
圆周角的性质(3)
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于 900(直角)。 900的圆周角所对的弦是圆的直径..
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
知识点3：圆周角定理及推论
1．如图，BC 为直径，∠ABC＝35°，则∠AOC＝ 70° ，∠ACB ＝ 55° ，∠D＝ 55° ．
CD的长为(C)
A. 15
B．2 5
C．2 15
D．8
4．(2018·威海)如图，⊙O的半径为5，AB为弦，
点C为的中点．若∠ABC＝30°，则弦AB的长
为( D)
A. 1
2
B．5
C. 5 3
2
D．5 3
知识点2：圆的对称性——垂径定理及推论
5．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是A︵C的中点，OE 交弦 AC 于点 D.若 AC＝8 cm，DE＝2 cm，则 OD 的长为 3 cm ．
等于( D )
A．180°－2α
B．2α
C．90°＋α
D．90°－α
3．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E.
若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于( B )
A．42°
B．28°
C．21°

圆的基本性质知识点及典型例题

圆的基本性质

一、知识点梳理

★知识点一：圆的定义及有关概念

1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关概念：弦、直径; 弧、等弧、优弧、劣弧、半圆; 弦心距 ; 等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直

径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

★知识点二：平面内点与圆的位置关系：

r 表示圆的半径， d 表示同一平面内点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内。

例 1、如图，在Rt△ ABC中，直角边AB3，BC4，点E，F分别是BC ，

AC的中点，以点 A 为圆心，AB的长为半径画圆，则点 E 在圆 A 的 _________ ，点

F在圆 A 的 _________．

例

2、在直角坐标平面内，圆

的半径为，圆心

的坐标为 (1， 4) ．试判断

点 P(3， 1) 与圆 O 的位置关系．

例 3、下列说法中，正确的是。

（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是直径；（3）半径相等的两个半圆是等弧；（ 4）一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段优弧。

例 4、有下列四个命题：（ 1）直径相等的两个圆是等圆；（ 2）长度相等的两条弧是等弧；（ 3）圆中最大的弦是通过圆心的弦；（4）一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是。★知识点三：

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦（）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧。

圆的基本概念知识点总结

圆是几何学中的基本图形之一，具有许多独特的特性和应用。本文将对圆的基本概念进行详细总结，包括圆的定义、元素、性质以及相关的公式和应用。

一、圆的定义

圆是指平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。固定点被称为圆心，固定距离被称为半径。

二、圆的元素

1. 圆心（Center）：圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。

2. 半径（Radius）：半径是从圆心到圆上任意点的距离，通常用字母r表示。

3. 直径（Diameter）：直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，直径的长度等于半径的两倍。

4. 弦（Chord）：弦是圆上两点之间的线段。

5. 弧（Arc）：弧是圆上两点之间的一段曲线。

三、圆的性质

1. 圆上任意点到圆心的距离都相等。

2. 圆的直径是圆上最长的弦，它同时也是圆的两条半径中的最长线段。

3. 任意圆上的弧都对应一个唯一的中心角，中心角的顶点是圆心，

相应的弧上所有点到圆心的距离相等。

4. 圆上任意两条弧所对应的圆心角相等，则这两条弧的长度也相等。

5. 圆上的切线垂直于半径，且切点在半径的延长线上。

6. 圆内任意两点的连线都在圆的内部。

7. 圆内切正多边形的中心与圆心重合。

四、圆的公式

1. 圆的周长（Circumference）公式：C = 2πr，其中π取近似值3.14。

2. 圆的面积（Area）公式：A = πr²。

五、圆的应用

1. 圆在几何学中常用于描述轮胎、光学透镜等物体的形状。

2. 圆的运动学应用包括描述物体的圆周运动和圆周速度的计算。

3. 圆在建筑设计中常用于设计圆形大厅、圆形会议室等空间。

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