连续型随机变量的概率分布
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1.6 概率论——连续型随机变量的概率分布
41 48
例2：设随机变量 X的概率密度 f ( x)为
f
(
x)
4 x
3
0 x1
0 else
(1)求常数 a，使 P( X a) P( X a)
(2)求常数 b，使 P( X b) 0.05 解：(1) 由于 P( X a) 0, 因此有
P(X a) P(X a) 1
从而由题设得 P( X a) 0.5,且有 0 a 1
解： 由p.d. f .的性质，
f ( x)dx
e2xdx 1
2
0
P( X 2)
f ( x)dx
2e2 xdx e4
2
2
P(X
a2
2
X
a2)
P(X
a2, P(XX a2 a2)2)P(X P(X
a2 2) a2)
2e 2 xdx
a2 2
2e2 xdx
e4
a2
e (
y )2
2 d(
y )1 2
泊松积分： e x2 dx ，
概率论
概率论
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
概率论
正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为 Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊 的重要地位。
概率论
§1.6 c.r.v.的概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
c.r.v.X所有可能取值充满一个区间, 对 这种类型的随机变量, 不能象d.r.v.那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概 率分布, 而是通过给出 “概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式.
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
2.3连续型随机变量的分布密度
42-5
二、概率密度函数的性质
(1) f (x) 0
(2) f (x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
42-6
(3) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0. 即 P{X=a}=0（a为任意实数）.
证 取 x > 0 ，因为
P(X s t X s) P(X t)
事实上
P(X s t X s) P(X s t, X s) P(X s t)
P(X s)
P(X s)
1 P(X s 1 P(X
t) s)
1 F(s t) 1 F(s)
e(st) es
et
P(X
t)
故又把指数分布称为“永远年轻”的分布
解 这是一个几何概型. 设乘客到达汽车站的时刻 为X，他到站后的第一辆公共汽车到站时刻为t0 ，则 前一辆车离去的时刻为t0-5 . 据题意，X服从 [t0-5, t0] 上的均匀分布，其密度函数为
42-19
求乘客候车时间不超过3 min的概率，即求X落在区 间内的概率
均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽 车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩 擦会有一定的磨损. 轮胎的圆周长为2r，则刹车时与 地面接触的点的位置X应服从[0, 2r]上的均匀分布， 即 X～Ｕ[0, 2r] ，即在 [0, 2r] 上任一等长的小区间 上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮 胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白 均匀分布的含义了.
42-22
例5 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位： h）服从指数分布E(0.002). ，求： （1）该热水器在100 h内需要维修的概率是多少？ （2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？
连续型概率分布
连续型概率分布连续型概率分布是概率论中的一个重要概念，用于描述连续随机变量的可能取值范围及其对应的概率。
与离散型概率分布相比，连续型概率分布在数轴上的每一个点都有概率密度函数与之对应，而不是直接给出某个点的概率。
本文将介绍几种常见的连续型概率分布，包括均匀分布、正态分布和指数分布。
一、均匀分布均匀分布是一种简单而常见的连续型概率分布，它假设随机变量在一定的范围内取值的概率是相同的。
在数学上，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别表示均匀分布的下界和上界。
图表上，均匀分布的概率密度函数在[a, b]区间内的取值是一个常数，且在[a, b]之外为0。
这意味着在[a, b]区间内的任意一个子区间上，概率密度的积分就是该子区间的长度除以[a, b]之间的总长度。
二、正态分布正态分布是统计学中最重要的连续型概率分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布在自然界和社会科学中的广泛应用使得它成为了研究的重点。
正态分布的概率密度函数可以写作：f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))其中，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，其峰值位于μ处，标准差决定了曲线的形状。
正态分布具有许多重要的特性，如68-95-99.7法则，即大约68%的概率密度位于一个标准差范围内，95%位于两个标准差范围内，99.7%位于三个标准差范围内。
三、指数分布指数分布是描述连续随机事件发生的时间间隔的概率分布。
例如，某个服务台上的顾客到达时间间隔、两次地震发生的间隔等，都可以用指数分布来描述。
指数分布的概率密度函数可以写作：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的概率密度函数在区间[0, +∞)上递减，且总面积等于1。
指数分布还有一个重要的特性是无记忆性，即已经等待了一段时间后，再等待一段时间的概率与一开始等待这段时间的概率是相等的。
第三节连续型随机变量及其概率密度
则称X服从0 1分布.
这时X的分布函数为：
F(x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
2. 二项分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，，n，且分布律为：
P(X
k)
C
k n
pk qnk，k
0，1，，n，0
p
1，q
1
p，
则称X服从二项分布， 记为：X～B(n，p). 3. 泊松分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，2,，且分布律为：
2
Acos
xdx
2 A sin
x
2
0
2 A，
2A 1，
(2) (3)
P(0 X
当x
2
时4，) F
( x042)故12coAsxxdf12x(.t)d12t
sin
x
4
0
x
0dt
2 4
.
0.
当
2
x
2
时，
F
(
x)
2 0dt
x
2
1 2
cos
tdt
1 2
(sin
x
1).
当x
2
时，F
6
三、几种常见的连续型分布
1. 均匀分布：设X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b，
0， 其它.
则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为 X～U[a，b].
0， x a，
易求X的分布函数为
F
(
x
)
x b
a a
，a
1， x
连续型随机变量的分布)
定义
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。 若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚 开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其 概率密度函数呈钟形曲线，具有对称 性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段 时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量， 我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相 等。其概率密度函数（PDF）是一个常数， 分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。 若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚 开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其 概率密度函数呈钟形曲线，具有对称 性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段 时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量， 我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相 等。其概率密度函数（PDF）是一个常数， 分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值
连续型随机变量分布函数
连续型随机变量分布函数连续型随机变量的分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）在概率论和统计学中起着重要的作用。
它描述了随机变量小于等于一些特定值的概率，并且通过求导可以得到连续型随机变量的概率密度函数（probability density function，简称PDF）。
设X是一个连续型随机变量，其具有一个实数范围和一个局部累积概率的函数F(x)。
F(x)定义为：F(x)=P(X≤x)其中，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率。
任何连续型随机变量的分布函数都满足以下三个基本性质：1.非负性：对于任意的实数x，F(x)≥0。
2.单调性：对于任意的实数x1，x2且x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。
3. 有界性：极限limx→∞F(x)=1，limx→-∞F(x)=0。
除了这些基本性质外，CDF还具有以下重要特性：1. 右连续性：F(x)在其定义域上是右连续的，即对于任意实数x，有limh→0F(x+h)=F(x)。
2.概率性：对于任意实数a和b（a<b），有P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)。
3. 导数：如果分布函数F(x)在一些点x上可导，则其导数即为对应的概率密度函数f(x)，即f(x)=dF(x)/dx。
根据这些性质，我们可以使用CDF来计算连续型随机变量在特定取值范围内的概率。
例如，对于正态分布，我们可以使用标准正态分布的CDF 来计算落在一些区间内的概率。
从数学角度来看，连续型随机变量的分布函数F(x)是一个增加的、连续的、非降的函数。
在实际应用中，我们经常使用F(x)来计算概率或者根据已知的分布函数反推随机变量的取值范围。
总之，连续型随机变量的分布函数是一种重要的概率工具，它提供了描述和计算随机事件概率的基础。
通过分布函数，我们可以了解随机变量的特性以及它们在不同取值范围内的概率分布。
在实际应用中，我们可以根据分布函数来进行各种统计分析，进一步推断和解释观测数据的特征和规律。
连续型随机变量的分布【概率论及数理统计PPT】
1
dx =1
3
1 1 x 2
? 思考: P(-1/2<X<2)=
课堂练习
1.
证明
f
(x)
x a
e x2 2a
0
x0 x0
(a>0)
是某一个随机变量X的密度函数。
x 0 x 1
2.设随机变量X~ f ( x ) ax b 1 x 2
0
对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数
f(x) , x (,) ,使得对任意 a b , 有
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量，称 f(x)为 X 的 概率密度函数，简称为概率密度或密度函数.
(III) 概率密度函数的性质
1 o f (x) 0
小
(由 ex2 dx 可得） 0
0μ
x
σ大
(2)概率密度图形是以x=μ为对称轴的R上的连续函数,
在x=μ点f(x)取得最大值; (3)若σ固定,μ改变,密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变;
若μ 固定, σ改变,σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峭.
例8. 设随机变量 X~U(2 ,5). 现在对 X进行三次独立 观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
若
e x
X ~ f (x)
x0
0 x0
正态分布
一般正态分布
X ~N(μ,σ2)
定义:称 随机变量 X服从参数为 μ,σ2的正态分布, σ>0，
μ是任意实数，若
(x)2
f(x)
X ~ f (x)
e , 1
2 2
连续型随机变量及其概率分布
若考虑老化，则X服从威布尔分布
3. 正态分布的定义 若r.v X 的概率密度为
其中 和 都是常数， 任意， >0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.
记作
X 的分布函数为
4. 正态分布
密度函数图形的特点
a. 正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线. f (μ+c)=f (μ-c)
特点是“两头小，中间大，左右对称”.
注意：
是一个概率为0的事件，
而不一定是不可能事件
对连续型 r.v X,有
进一步有 如
例2 设随机变量X 的概率密度为
求(1)常数k； （2）X 的分布函数； （3）P(1< X <7/2).
解：（1）由密度函数的性质
（2） 当x<0时，
当
时
当
时
当x>4时，
故随机变量X的分布函数为 （3）
例3 设连续型随机变量X 的分布函数为
b. 决定了图形的中心位置， 决定了图形 中峰的陡峭程度.
称为位置参数 称为形状参数
c. 在x=μ处达到最大值:
当x→ ∞时，f(x) → 0,
d. 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来 越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
e. x = μ σ 为f (x)的两个拐点的横坐标。
年降雨量、同龄人身高、在正常条件下 各种产品的质量指标——如零件的尺寸；纤 维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗 长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂 直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从 正态分布.
求 （1）常数C值； （2）X 取值于（0.3，0.7）内的概率；
（3）X 的密度函数的表达式。
解：（1）由连续性知： 即 C=1
3. 正态分布的定义 若r.v X 的概率密度为
其中 和 都是常数， 任意， >0， 则称X服从参数为 和 的正态分布.
记作
X 的分布函数为
4. 正态分布
密度函数图形的特点
a. 正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线. f (μ+c)=f (μ-c)
特点是“两头小，中间大，左右对称”.
注意：
是一个概率为0的事件，
而不一定是不可能事件
对连续型 r.v X,有
进一步有 如
例2 设随机变量X 的概率密度为
求(1)常数k； （2）X 的分布函数； （3）P(1< X <7/2).
解：（1）由密度函数的性质
（2） 当x<0时，
当
时
当
时
当x>4时，
故随机变量X的分布函数为 （3）
例3 设连续型随机变量X 的分布函数为
b. 决定了图形的中心位置， 决定了图形 中峰的陡峭程度.
称为位置参数 称为形状参数
c. 在x=μ处达到最大值:
当x→ ∞时，f(x) → 0,
d. 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来 越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
e. x = μ σ 为f (x)的两个拐点的横坐标。
年降雨量、同龄人身高、在正常条件下 各种产品的质量指标——如零件的尺寸；纤 维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗 长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂 直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从 正态分布.
求 （1）常数C值； （2）X 取值于（0.3，0.7）内的概率；
（3）X 的密度函数的表达式。
解：（1）由连续性知： 即 C=1
连续型随机变量及其概率分布
解：由归一性可知
0Leabharlann 34xf ( x)dx 0dx kxdx (2 )dx 0dx
0
3
2
4
0 1 kx2 3 (2x 1 x2 ) 4 0 1
20
43
k1 6
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
二、分布函数与概率密度函数
0
例2
设连续型随机变量X
:
F
1、连续型随机变量与密度函数的概念
对于随机变量X，若存在非负可积函数f ( x)( x R)
使得随机变量X 取值任意区间 a, b的概率为
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称概率密度.
f(x) 几何定义
0a
x b
一、连续型随机变量及其密度函数
lim
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间 (x, x x] 上的概率与区间长度 x 之比的
极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于
线密度.
二、分布函数与概率密度函数
6、连续型随机变量密度函数的意义.
f ( x) F ( x) lim P( x X x x)
x x
lim
f (t )dt 0
x0 x
由此可以得到如下结论：
由P(A)=0, 不能推出
由P(B)=1, 不能推出 B=S
二、分布函数与概率密度函数
4、连续型随机变量任意区间内的概率求法 由于连续型随机变量X ,x R, P( X x) 0 a, b R, a b P(a X b) P(a X b) P(a X b)
连续型随机变量及其概率分布
aБайду номын сангаас
b
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正 态 分 布 ， 记 为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分 布曲线
1
曲线 f x 关于 轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0
1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若 随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布， 记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
b
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f (x) （4）在 f (x) 的连续点 x 处， F(x)=
注:
（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. (2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概
P X = a=. 0 (3) 率均为0. 即
P X a F ( a ) l i m F ( a x ) = F ( a ) F ( a ) = 0
例. 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 ( 1 X 2 ) 及 P( X 1) 和 P
3 e 3 x x 0 解： X 的概率密度 f ( x ) x 0 0
P ( x X x ) xd )x 1 2 f(
x 1
3 P ( X 1 ) fx ( ) d x 3 e d x e 1 1 3 x
, 正 态 分 布 ， 记 为
2
X ~N ( ,2)
具有下述性质 fx :
正态分 布曲线
1
曲线 f x 关于 轴对称；
P μ X μ h P μ hX μ h 0
1 时 , 取最大值 f( ) 2 x 2
常见的连续型随机变量
1. 均匀分布
定义：若 随机变量 X的概率密度为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
f ( x)
1 b a
a
b
则称X在区间[ a, b]上服从均匀分布， 记作 X ～ U(a, b)
X的分布函数为：
1 , a x b f (x) ba , 其它 0
连续型随机变量及其概率分布
0,
t 0, t 0.
7
二、连续型随机变量的密度函数 随机变量X 在区间( x, x x)上的平均概率分布密度:
P( x X x x) x
随机变量X 在点 x 处的概率分布密度(或概率密度)为:
P( x X x x)
f ( x) lim
x0
x
连续型随机变量的分布函数F x 与概率密度f x 有如下关系：
复习
§2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
基本事件
二、随机变量的分布函数
F(x) PX x
X ()
(1) 0 F(x) 1 (2) F(x) 是单调不减的函数；
(3) F() 1 F() 0
(4) F(x) 是右连续的函数.
(5) Px1 X x2 F(x2 ) F(x1 )
P(10 X 30) P(40 X 60) 30 1 dx 60 1 dx 2 .
10 60
40 60 3
19
均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽 车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩 擦会有一定的磨损. 轮胎的圆周长为2r，则刹车时与 地面接触的点的位置X应服从[0, 2r]上的均匀分布， 即 X～Ｕ[0, 2r] ，即在 [0, 2r] 上任一等长的小区间 上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮 胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白 均匀分布的含义了.
对任意实数 x ，有
x
F(x) f (t)dt
则 X 称为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数
或分布密度函数，简称为概率密度或密度函数.
利用上述定义，我们可以很容易地推出概率密度的性质
11
t 0, t 0.
7
二、连续型随机变量的密度函数 随机变量X 在区间( x, x x)上的平均概率分布密度:
P( x X x x) x
随机变量X 在点 x 处的概率分布密度(或概率密度)为:
P( x X x x)
f ( x) lim
x0
x
连续型随机变量的分布函数F x 与概率密度f x 有如下关系：
复习
§2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
基本事件
二、随机变量的分布函数
F(x) PX x
X ()
(1) 0 F(x) 1 (2) F(x) 是单调不减的函数；
(3) F() 1 F() 0
(4) F(x) 是右连续的函数.
(5) Px1 X x2 F(x2 ) F(x1 )
P(10 X 30) P(40 X 60) 30 1 dx 60 1 dx 2 .
10 60
40 60 3
19
均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽 车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩 擦会有一定的磨损. 轮胎的圆周长为2r，则刹车时与 地面接触的点的位置X应服从[0, 2r]上的均匀分布， 即 X～Ｕ[0, 2r] ，即在 [0, 2r] 上任一等长的小区间 上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮 胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白 均匀分布的含义了.
对任意实数 x ，有
x
F(x) f (t)dt
则 X 称为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数
或分布密度函数，简称为概率密度或密度函数.
利用上述定义，我们可以很容易地推出概率密度的性质
11
连续型随机变量的概率分布
均匀分布的分布函数为 ：
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
xb
如, 每隔10分钟发车一辆,乘客等车的时间 X~U(0,10) 读数采用四舍五入法,设最小刻度为1,则误差 Y~U(-0.5,0.5)
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例1: 某站点从8点到10点有一班车随机到达, 一 乘客9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。
x2
e 2,
x
2
( ( x)为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
性质： (i) (0) 0.5
(ii) ( x) 1 ( x)
(x)
由图形对称性
P(X x) P(X x)
( x) 1 ( x)
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179 (3) 0.9987
更一般的 P( X G) f ( x)dx
G
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（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P(X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) x 0 0 注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
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(3) N (, 2)与N (0,1)的联系
定理：若X ~ N (, 2) , 则 X ~ N (0,1)
证明：设Z X 则Z的分布函数为:
FZ ( x)
P（Z
x）
P（X
x）
P{X x} FX ( x)
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
xb
如, 每隔10分钟发车一辆,乘客等车的时间 X~U(0,10) 读数采用四舍五入法,设最小刻度为1,则误差 Y~U(-0.5,0.5)
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例1: 某站点从8点到10点有一班车随机到达, 一 乘客9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。
x2
e 2,
x
2
( ( x)为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
性质： (i) (0) 0.5
(ii) ( x) 1 ( x)
(x)
由图形对称性
P(X x) P(X x)
( x) 1 ( x)
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179 (3) 0.9987
更一般的 P( X G) f ( x)dx
G
上页 下页 返回
（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P(X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) x 0 0 注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
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(3) N (, 2)与N (0,1)的联系
定理：若X ~ N (, 2) , 则 X ~ N (0,1)
证明：设Z X 则Z的分布函数为:
FZ ( x)
P（Z
x）
P（X
x）
P{X x} FX ( x)
2.4 连续型随机变量的概率分布
p P{ X 10} 10
即： Y ~ B( 5, e 2 ).
1 e dx e 5
x 5
x 5 10
e 2
至少有一次未得到服务而离开的概率为：
P{Y 1} 1 P{Y 0}
1 C
0 5
e 1 e
2 0 2
a F ( x ) bx ln x cx d d
求：(1) 系数a，b，c，d ;
x1 1 x e xe
(2) X落在区间(2 , 3)内的概率。 (3) X的概率密度。
(1) 利用分布函数性质 F ( ) 1和 F ( ) 0 解： 以及连续型随机变量的分布函数的连续性计算
xe
xe
be e 1 1
由此得：a 0, b 1, c 1, d 1
0 F ( x ) x ln x x 1 1
x1 1 x e xe
(2)
P{2 X 3} F (3) F (2) 1 (2ln 2 1) 2 2ln 2
0 x
F ( x)
x
-
f ( t )dt
x 1 x 0
x 1
x
若x 1
-1 -
F( x )
0
x
-
f ( t )dt
1
= 0 dt -1 (1 t )dt 0 (1 t )dt 1 0 dt 1
所以
x
0 2 (1 x ) 2 F(x) 2 1 x x 2 2 1
(3)
f ( x ) F ( x )
连续型随机变量的分布
图10-4
图10-5
连续型随机变量的分布
例4
解
（1）p
x
1， 0 ，
0x 其他
1；
（2）P0.25 X 0.75
0.75
dx
0.5
；
0.25
（3）P X 0.3
0.3 p xdx
0.3
dx 0.3.
0
连续型随机变量的分布
2. 指数分布
定义4
如果随机变量 X 的概率密度为
p
x
2 1
1 1 8 64
7. 64
4
连续型随机变量的分布
2.连续型随机变量的分布函数
定义2
设 X 为连续型随机变量，则函数F x P{ X
)称为连续型随机变量 X 的分布函数 .
x } x p t dt( x
由微积分知识可知，当函数 p x在 x 处连续，则有F x p x.
连续型随机变量的分布
e
x
x 0 0，
0
x0
则称X 服从参数为 l 的指数分布，记为X ~ E (l)，其相应的分布函数为
F
x
1 e 0 ，
x
，
x x
0 0
.
连续型随机变量的分布
p x与F x的图像分别如图10-6和图10-7所示 .
图10-6
图10-7
指数分布常用来作为各种“寿命”分布的计算.例如电子计算机的寿命、无线电元件的寿命、 随机服务系统中的服务时间等，都常被假定服从指数分布.因此指数分布在可靠性分析和排队 论等领域中有着广泛的应用.
连续型随机变量的分布
例5
解
因为P X 1 000 P X 1 000 1，所以P X 1 000 1 P X
连续型随机变量的分布函数
连续型随机变量的分布函数引言连续随机变量是概率论中的重要概念之一，其取值范围是一段连续的实数区间。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的分布函数是一个实函数，描述了随机变量取值小于等于某一实数的概率。
本文将介绍连续型随机变量的分布函数的定义、性质以及常见的连续分布函数。
一、连续型随机变量的分布函数定义在概率论中，对于一维连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P为概率函数，表示X取值小于等于x的概率。
分布函数F(x)具有以下性质：1.F(x)是自变量x的单调不减函数；2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3.当x→负无穷时，F(x)→0；当x→正无穷时，F(x)→1。
二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，即：f(x) = dF(x)/dx概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值下的概率密度。
概率密度函数具有以下性质：1.f(x)是非负函数，即对于所有x，有f(x)≥0；2.连续型随机变量所有可能取值的概率密度函数在取值范围上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。
通过概率密度函数可以计算出在某个区间内连续型随机变量的取值概率，即概率密度函数在该区间上的积分。
三、常见的连续分布函数1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，其概率密度函数在一个区间内全等于常数，即：f(x) = 1/(b-a)，a≤x≤b，否则 f(x) = 0其中a和b是区间的上下界。
均匀分布的分布函数是线性的，在区间[a,b]内为0，在区间左侧小于a时为0，在区间右侧大于b时为1。
均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最具代表性的连续型随机变量分布之一，也称为高斯分布。
连续型随机变量的分布与例题讲解
分析设学生考试成绩X~N( )，首先应求出 及 之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。
解设学生成绩X~N( )，由题设知应有
从而得
即
查表得 解之得
故知，X~N( )
又设该大学实录线为a，由题设知：
即
查表得
即是说该大学的实录线约为512分。
（三）对数正态分布
定义：若随机变量X的概率密度函数为
=2×=
引理若 则
证 的分布函数为
令 得 可知
基 本 内 容
备 注
于是，若 则它的分布函数 可写成：
对于任意区间 ，有
注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。
例如，设X~N(1,4)，则
例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,X~N(500,25),求:
1) f(x)≥0
2)
3)
特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 （但{X=x}并不一定是不可能事件）
因此P(a≤X≤b)= P(a<X<b)= P(a≤X<b) = P(a<X≤b)=F(b)-F(a)
4）若f(x)在点x处连续，则
分布函数性质
i) 0≤F(x)≤1；
ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；
记为 相应的概率密度函数和分布函数分别记为
易知 。
即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例3设随机变量X~N(0,1)，查表计算：
(1) P(X≤；(2) P(X>；(3) P(|X|<.
解(1)P(X≤=Φ=
(2)P(X> =1- P(X≤=1-Φ=
解设学生成绩X~N( )，由题设知应有
从而得
即
查表得 解之得
故知，X~N( )
又设该大学实录线为a，由题设知：
即
查表得
即是说该大学的实录线约为512分。
（三）对数正态分布
定义：若随机变量X的概率密度函数为
=2×=
引理若 则
证 的分布函数为
令 得 可知
基 本 内 容
备 注
于是，若 则它的分布函数 可写成：
对于任意区间 ，有
注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。
例如，设X~N(1,4)，则
例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,X~N(500,25),求:
1) f(x)≥0
2)
3)
特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 （但{X=x}并不一定是不可能事件）
因此P(a≤X≤b)= P(a<X<b)= P(a≤X<b) = P(a<X≤b)=F(b)-F(a)
4）若f(x)在点x处连续，则
分布函数性质
i) 0≤F(x)≤1；
ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；
记为 相应的概率密度函数和分布函数分别记为
易知 。
即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例3设随机变量X~N(0,1)，查表计算：
(1) P(X≤；(2) P(X>；(3) P(|X|<.
解(1)P(X≤=Φ=
(2)P(X> =1- P(X≤=1-Φ=
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a
f
( x)dx
0 f ( x)dx 0a f ( x)dx
1 2
a
0
f
( x)dx
二、 常见的 c.r.v.
例7：若 c.r.v.X
~
f
(x)
0
a xb else
确定常数 ，设[c, d] [a, b],求 P(c X d)
解：
f
(
x)dx
abdx
(b
a)
1
1
4 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F( x) f ( x).
概率论
请注意:
c.r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
PX a 0 .
故有 P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
概率论
例1 设随机变量X具有概率密度
kx,
(2) 由于 P( X b) 0.05, 有 0 b 1
而 P( X b) b14x3dx 1 b4 0.05 b 4 0.95
例2：图中的折线表示连续y型随机变量 X的密度函数
f ( x)的图形。
0.5
to
3
x
(1)试确定t的值；(2)写出X的密度函数；(3)求P(2 X 1)
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4 其它
（1）确定常数k;（2）求X的分布函数F ( x)；
（3）求P1
X
7
2
概率论
kx,
解
f (x)
2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4 其它
(1) 由
f ( x)dx
1得k
1
6
x
0
34
概率论
F
x
x
f
t
dt
,
x
(2) 分布函数
0,
x0
xx dx,
概率论
一、 c.r.v.及其p.d.f.的定义
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) ,
x , ,使得对任意实数 x , 有
F
x
x
f
t dt
P
X
x
则称 X为c.r.v, 称 f (x) 为 X 的p.d.f，简称为
概率密度 .
c.r.v的分布函数在R上连续
概率论
概率密度的性质:
例5：若 c.r.v.X ~ F ( x) CB Ae x
x0 0 x1
D
Ae(
x
1)
x1
求：(1) A, B,C, D的值；(2) X的概率密度；(3) P( X 1) 3
解：(1) 由F() 0 C 0
由F() 1 D 1 因为F( x)是连续函数，故在x 0, x 1两点处连续, 有
解：(1)由密度函数的性质知f ( x)与 x轴围成的面积等于1 于是有 0.5 t 0.5 0.5 3 0.5 1 t 1
(2) 两点(1,0), (0,0.5)所在的直线方程为y 0.5x 0.5 两点(3,0), (0,0.5)所在的直线方程为 y 1 x 0.5
6 0.5x 0.5 1 x 0
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
概率论
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
(2) X的概率密度函数为
0.5e x f ( x) F ( x) 0
0.5e ( x1)
x0 0 x1
x1
(3) P( X 1) 1 P( X 1) 1 F(1) 1
3
3
32
例6：设r.v.X的密度函数 f (x)为偶函数，
试证明：对任意a
0,
有F
(a)
1
F
(a)
1 2
0a
f
(
解： 由p.d. f .的性质，
f ( x)dx
e2xdx 1
2
0
P( X 2)
f ( x)dx
2e2 xdx e4
2
2
P(X
a2
2
X
a2)
P(X
a2, P(X
X
a2 a2)
2)
P(X P(X
a2 2) a2)
2e 2 xdx
a2 2
2e2 xdx
e4
a2
概率论
c.r.v.X所有可能取值充满一个区间, 对 这种类型的随机变量, 不能象d.r.v.那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概 率分布, 而是通过给出 “概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式.
下面我们就来介绍对c.r.v.的描述方法.
0 6
F ( x)
3 x dx
x 2 x dx,
06
3 2
0 x3 3 x4
1,
x4
x0
x
x
3 x4x
概率论
即分布函数
0,
x0
x2
,
0 x3
F(x)
12 3
2x
x2 4
,
3 x4
1,
x4
（3）P 1
X
7
2
F
7 2
F
1
41 48
例2：设随机变量 X的概率密度 f ( x)为
x)dx
证明：
F (a)
a
f
(
x
)dx
xt
a
f
( t )( dt )
a
f
( t )dt
a
f
( t )dt
( t )dt
1
F (a)
因为f
( x)是偶函数，所以0
f
( x)dx
0
f
( x)dx
而
0 f ( x)dx 0 f ( x)dx 1
0
f
( x)dx
1 2
因此
1
F (a)
lim F( x) C A A, lim F( x) B A B
x0
x0
lim F( x) B, lim F( x) D A 1 A B 1 A
x1
x1
由上述两式得 A B 1 于是有 2
0.5e x F ( x) 0.5
1 0.5e ( x1)
x0 0 x1
x1
f
(
x)
4 x
3
0 x1
0 else
(1)求常数 a，使 P( X a) P( X a)
(2)求常数 b，使 P( X b) 0.05 解：(1) 由于 P( X a) 0, 因此有
P(X a) P(X a) 1
从而由题设得 P( X a) 0.5,且有 0 a 1
而 P( X a) 0a4x3dx a4 0.5 a 4 0.5
于是，密度函数为f
(
x
)
1 6
x
0.5
0 x3
0
(3)
P(2
X
1)
1
2
f
( x)dx
else 0 ( x 1 )dx 1 2 2
1
(
x
1 )dx
0 62
2/3
例4
: 已知c.r .v. X
~
f
(x)
e 2 x
x0
0
x0
确定常数， 并计算P( X 2), P( X a2 2 X a2 ),(a为常数)