连续型随机变量的概率分布

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1.6 概率论——连续型随机变量的概率分布

不大于t，即在t长的时间内至少发生一次故障，即X(t) 1,
反之，若X(t) 1，说明在t长的时间内发生了故障，即相邻
两次故障的时间间隔T t，因此有 F (t ) P(T t ) P[ X (t ) 1]
因为 P[ X (t ) k] (t )k et , k 0,1,2,
k!
2.指数分布：如果随机变量 X的概率密度为
f
(
x)
e x
0
x0 x0
其中 0，则称 X服从参数为的指数分布。记为X ~ E( ).
容易验证： f ( x)dx
e xdx 0
e x
0
1
Note1:
1
表示X的平均取值;(后面证明)
1 ex x 0
F(x) 0
x0
请大家记住!
于是所求概率为P 1 (e0.2 )10 0.865
例 8：假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故
障的次数 X(t)服从参数为t的泊松分布
(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； (2)求设备无故障工作8小时的概率； (3)求在设备已无故障工作8小时的情形下，再无故障工作8小时的概率。解：(1)求概率分布，由题目所给的条件，求T的分布函数。当t 0时，由于T是非负的随机变量，故有F (t) P(T t) 0 当t 0时，事件“T t”表示相邻两次故障的时间间隔

连续性随机变量及其概率分布

1 e 2
( x )2 2 2
, x ,
其中和 ( >0 )都是常数, 则称X服从参数为和σ 2 的正态分布或高斯分布. 记作
2 f x dx 1; 3 曲线 f ( x ) 关于 x 对称； f ( x ) 4 函数 f x 在 ( , μ] 上单调增加,
cl
b 则称X在区间(a, b)上服从均匀分布，记作 X ～ U (a , b )
均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等。
a
P c X c l

c
1 l dx ba ba

15
10
30 1 1 1 dx dx 25 30 30 3
记作 X ～ e( λ) 或 E ( λ )
指数分布常用于各种 “寿命”分布的近似，例如，电子元件的寿命，轮胎的寿命，电话的通话时间等。
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
2014/10/22
若X 服从参数为 λ 的指数分布, 则其分布函数为
2 . 指数分布(The (Negative) Exponential Distribution) 若 r .v. X具有概率密度

第三节常见连续型随机变量的概率分布.

16
高尔顿钉板试验
这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布
的密度曲线。
17
定义如果随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
，

x

2
其中 0 , 则称 X 服从参数为, 的正态分布,
记为 X ~ N(, 2) .
Leabharlann Baidu

这个公式把一般正态变量的概率计算转换为标准
正态分布来计算.
(Φ() 0,Φ() 1)
P{X a} Φ(a ) , P{X a} 1 Φ(a )

27
例4 设 X ~ N (3,4) , 求 :(1) P{3 X 5}, (2)P{ X 2} .
设 X ~ E()，对s 0, t 0 ，有
P{X s t | X s} P{X t}
证
P{ X s}

f ( x)dx
e x dx
s
s
e x e s ，
s
8
P{ X s} e s ，
P{ X s t X s} P{ X s t}
(3) P{ X 1}, (4) P{ X 2} 解 (1) P{0 X 1} Φ(1) Φ(0)

连续型随机变量及其概率分布

一、连续型随机变量及其密度函数
2、概率密度函数的性质
1o 2o
f ( x) 0

f ( x )dx 1
【注】这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某连续型X 概率密度的充要条件
f(x) 面积为1
x
0
二、分布函数与概率密度函数
1、分布函数是研究随机变量概率分布的统一工具
离散型随机变量：
a A B 1, A B arcsin 2 a
二、分布函数与概率密度函数
1 解之得 A , 2
1 B .
x a, 0, 1 1 x 所以 F ( x ) arcsin , a x a , a 2 x a. 1,
二、分布函数与概率密度函数
0 x3 kx 例1 设连续型随机变量X f ( x ) 2 x 3 x4 2 其它 0 求：常数k (2)F ( x ) (3) P (1 X 7 ) (1) 2
解：由归一性可知
x f ( x )dx 0dx 0 kxdx 3 (2 2 )dx 4 0dx 3 4 1 2 1 2 1 0 kx (2 x x ) 0 1 k 6 2 4 0 3 0 3 4
二、分布函数与概率密度函数
解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 所以F ( x ) 连续,

连续型随机变量的概率分布.

P(0 X 1.6) (1.6 1) ( 0 1)
2
2
(0.3) (0.5) 0.3094
例3: 公交车门的高度是按成年男子与车门碰头的概率在0.01以下来设计的。设男子身高（单位:cm）X~N(170 , 62),问车门高度应如何确定？
解: 设车门高度为 h厘米,则"碰头"“X h” P(X h) 0.01P(X h) 0.99
2
20
2

F
(
x)

1
1 2
ex, 1 e
x
x ,
0 x0
2
二、几种重要连续型随机变量的分布
1、均匀分布
定义：若随机变量X的概率密度为
1 f (x) b a
0
a xb 其它
则称X在区间（a，b）上服从均匀分布．记为 X~U( a , b )

2 cexdx 1 c 1
0
2
(2)P(0 X 1) 1 1 e x dx 02
1 1exdx 1 (1 e1)
20
2
x
(3)F (x) f (t)dt
当 x 0 时，F (x) x f (t)dt
(3) 查表求标准正态分布的概率值 (4) 一般正态分布的标准化 (5) 标准正态分布的上α分位点

2.4 连续型随机变量的概率分布

3. 正态分布 (1) 定义 P48 设连续型随机变量X的概率密度为
f( x)
1 2πσ
e

( x μ )2 2σ 2
, x
其中 , ( > 0)为常数，则称X服从参数为 ,2的正态分布（或高斯分布）, 记为X～N(, 2). 分布函数为
F( x )
2. 指数分布(P47) 设连续型随机变量X的概率密度为
λe λ x f ( x )＝ 0
x0 , 其中 λ 0 为常数， x0
则称X服从参数为 λ 的指数分布，记为 X ~ E ( ) 分布函数为： 1 e λ x , x 0 F( x )＝ x0 0,
X 的分布函数为
F( x ) f ( t ) dt
x

a -
x -
0dt
x a
xa
1 dt ba
x 1 dt 0dt b ba
0dt
a xb xb

a -
0dt
b
a
0, x a, 即 xa 0 xa xa , a x b, F( x ) , a xb ba ba 1 xb 1 xb
解 P{2 X 4}= Φ 4 2 Φ 2 2 σ σ 2 2 Φ Φ(0) Φ 0.5 0.3 σ σ

连续型随机变量的分布)

均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
概率密度函数
贝塔分布的概率密度函数具有幂函数和Beta函数的乘积形式，形状参数控制分布的形状。
性质
贝塔分布具有共轭先验性，即在贝叶斯统计中，如果先验分布和后验分布都是贝塔分布，则先验分布和后验分布具有相同的数学形式。
威布尔分布
定义
威布尔分布是一种三参数连续型概率分布，常用于描述寿命、失效时间等具有非负偏态分布的随机变量。
关系
PDF和CDF是描述连续型随机变量的两个重要工具，它们之间存在微分和积分的关系。具体来说， PDF是CDF的导数，即f(x) = F'(x)；反之，CDF是PDF从负无穷大到x 的积分，即F(x) = ∫f(t)dt。
02
均匀分布
定义及性质
定义
均匀分布是指在一个特定区间内，每一个子区间被取到的概率都是相等的。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例

连续型随机变量的分布与应用

连续型随机变量的分布与应用连续型随机变量是概率论与数理统计中重要的研究对象之一，它与离散型随机变量相辅相成，被广泛应用于各个领域。本文将探讨连续型随机变量的分布特性以及在实际问题中的应用。

一、连续型随机变量的定义与性质

连续型随机变量是在一定范围内取任意实数值的随机变量。与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以是实数区间内的任意一个点，且其概率密度函数可用来描述其分布特性。

1. 概率密度函数

对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个性质：（1）非负性：对于任意x，有f(x) ≥ 0；

（2）归一性：∫f(x)dx = 1。

2. 分布函数

连续型随机变量的分布函数F(x)定义为X ≤ x的概率，即F(x) =

P(X ≤ x)。由于连续型随机变量无论取任何具体值的概率都是0，因此F(x)可用概率密度函数进行求解。

二、常见的连续型随机变量分布

在概率论与数理统计中，涉及到很多形式不同的连续型随机变量分布。下面介绍几种常见的分布类型及其特点。

1. 均匀分布

均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，它在给定区间上的密度函数是常数。均匀分布常用于模拟实验、随机抽样等场景。

2. 正态分布

正态分布，又称高斯分布，是自然界中许多现象的分布模型。它以其钟形曲线而著名，均值、方差是正态分布的两个重要参数。正态分布在统计推断、假设检验等方面有广泛的应用。

3. 指数分布

指数分布广泛应用于描述一些事件的持续时间或间隔时间，如设备寿命、电话呼叫等。它具有无记忆性质，也就是说未来的发生与过去无关，仅与当前时刻有关。

连续型随机变量分布函数

连续型随机变量的分布函数（cumulative distribution function，

简称CDF）在概率论和统计学中起着重要的作用。它描述了随机变量小于

等于一些特定值的概率，并且通过求导可以得到连续型随机变量的概率密

度函数（probability density function，简称PDF）。

设X是一个连续型随机变量，其具有一个实数范围和一个局部累积概

率的函数F(x)。F(x)定义为：

F(x)=P(X≤x)

其中，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率。任何连续型随机变量的

分布函数都满足以下三个基本性质：

1.非负性：对于任意的实数x，F(x)≥0。

2.单调性：对于任意的实数x1，x2且x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。

3. 有界性：极限limx→∞F(x)=1，limx→-∞F(x)=0。

除了这些基本性质外，CDF还具有以下重要特性：

1. 右连续性：F(x)在其定义域上是右连续的，即对于任意实数x，

有limh→0F(x+h)=F(x)。

2.概率性：对于任意实数a和b（a<b），有P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)。

3. 导数：如果分布函数F(x)在一些点x上可导，则其导数即为对应

的概率密度函数f(x)，即f(x)=dF(x)/dx。

根据这些性质，我们可以使用CDF来计算连续型随机变量在特定取值范围内的概率。例如，对于正态分布，我们可以使用标准正态分布的CDF 来计算落在一些区间内的概率。

从数学角度来看，连续型随机变量的分布函数F(x)是一个增加的、连续的、非降的函数。在实际应用中，我们经常使用F(x)来计算概率或者根据已知的分布函数反推随机变量的取值范围。

连续型随机变量及其概率分布

则称 X 在[a, b]上服从均匀分布，记为 X～U[a, b]
（2）分布函数为
0
F
(
x)
x b
1
a a
xa axb
bx
（3）对于a c < d b
（3)表明，若X~U[a,b],则X取值与[a,b]上的任意小区间上的概率，与小区间的长度成正比，而与小区间的位置无关.
一般地，设D是数轴上一些不相交的区间之和，若X的概率密度为
（1）
Hale Waihona Puke Baidu
这两条性质是判定一个
函数 f(x)是否为某r.v. X的
概率密度函数的充要条件.
（2）
f (x)
面积为1
o
x
(3) P (a < X b)=F(b)F(a) (4) 在 f (x) 的连续点处，有证明：
两边取极限，有
(5) 设x为 f(x)的连续点，当x >0且较小时,则有
P(x< X x+x ) = F(x+x)-F(x)
例5 某市高校高等数学统考, 假定考生成绩 X ~ N(, 2). 现已知80分以上者占总人数的33%, 40分
以下者占总人数的8%, 求考生的及格率. 解：由题意知：
又因为
查表得解得
及格率为
例6 一桥长60m, 以桥的中点为原点,沿着桥的方向引入坐标轴. 一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥, 假定弹着点的坐标X ~ N(0, 100 2).

连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量的分布

（一）连续型随机变量及其概率密度函数

1.定义：对于随机变量X 的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x ，有()()x

F x f t dt -∞

⎰

，则称X 为连续性随机变量，f(x)称为X

的概率密度函数，简称概率密度。

注：F (x )表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。

2 .密度函数f(x)的性质：注：f (x )不是概率。

1) f(x )≥0

2) ()1f x dx

3) 21

x 1

221x {x x }

f (x)x

(x )(x )P X

d F F

特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即{}0.

P X

x （但{X =x }并不一定是不可能事件）

因此 P(a ≤X ≤b)= P(a<X<b)= P(a ≤X<b) = P(a<X ≤b)=F(b)-F(a )

4）若f (x )在点x 处连续，则()().F x f x '= 分布函数性质

i) 0≤F(x )≤1；

ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；

ⅲ) 当x 1≤x 2时，F(x 1)≤F(x 2)；（单调性）

iv) F(x )是连续函数

注：iv)与离散型随机变量不同，

离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。例1 设随机变量X 的分布函数为F(x )=A+B arctanx,

求（1）系数A ，B （2）P(-1<X<1)；（3）密度函数f(x )

分析：主要是应用分布函数的性质。解（1）由F(-∞)=0,F(+∞)=1得

连续型随机变量及其概率分布

x x
lim
f (t )dt 0
x0 x
由此可以得到如下结论：
由P(A)=0, 不能推出
由P(B)=1, 不能推出 B=S
二、分布函数与概率密度函数
4、连续型随机变量任意区间内的概率求法由于连续型随机变量X ,x R, P( X x) 0 a, b R, a b P(a X b) P(a X b) P(a X b)
b
P(a X b) F (b) F (a) a f ( x)dx
总之：连续型随机变量X
P( X D) f ( x)dx D
二、分布函数与概率密度函数
5、连续型随机变量分布函数与密度函数关系.
连续型随机变量X
由于F ( x) P( X x)
x
f (t)dt
x
F ( x) ( f (t )dt ) f ( x)
lim
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间 (x, x x] 上的概率与区间长度 x 之比的
极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于
线密度.
二、分布函数与概率密度函数
6、连续型随机变量密度函数的意义.
f ( x) F ( x) lim P( x X x x)
F(a) lim F( x) , xa
即

2.4 连续型随机变量的概率分布

x 1 -1 x 0 0 x 1 x 1
x
1

0

1

x
1 1 （ 3） P { X } 2 2 1 1 F ( ) F ( ) 2 2
0.75
注：若没有求分布函数，则
1 1 1 P{ X } 2 1 f ( x )dx 即可 2 2 2
5
0.5167
二、三种常用的连续型随机变量及其分布 P46 1. 均匀分布(P46) 设连续型随机变量X在有限区间 (a,b)内取值，且其概率密度为
1 f ( x ) b a 0 a xb 其它
则称 X 在区间(a,b)上服从均匀分布.记为
X ~ U ( a ,b )
X 的分布函数为
F( x ) f ( t ) dt
x

a -
x -
0dt
x a
xa
1 dt ba
x 1 dt 0dt b ba
0dt
a xb xb

a -
0dt
b
a
0, x a, 即 xa 0 xa xa , a x b, F( x ) , a xb ba ba 1 xb 1 xb
第四节连续型随机变量的概率分布
一、连续型随机变量及其概率密度二、三种常用的连续型随机变量及其分布

1.6 连续型随机变量的概率分布

P 2 P ( T 8 ) 1 F ( 8 ) e 8
(3)求在设备已无8小故时障的工情作形下，障工作 8小时的概率。
P 3 P (T 1T 6 8 ) P [T ( P 1 (T ) 6 8 (T ) 8 )] P(T1)6 1F (1)6 e8 P(T8) 1F (8)
0.5ex F(x)0.5
10.5e(x1)
x0 0x1
x1
(2) X的概率密度函数为
0.5ex f(x)F(x)0
0.5e(x1)
x0 0x1
x1
( 3 )P (X 1 ) 1 P (X 1 ) 1 F (1 ) 1
3
3 32
下面我们就来介绍对c.r.v.的描述方法.
概率论
一、 c.r.v.及其p.d.f.的定义
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) ,
x,,使得对任意实数 x, 有
FxxftdtPXx
则称 X为c.r.v, 称 f (x) 为 X 的p.d.f，简称为
(2)两( 点 1,0)(,0,0.5)所在的直 y0.线 5x0方 .5 程两(3 点 ,0)(,0,0.5)所在的直 y线 1x 方 0.5程为
0.5x0.5 6 1x0 于是，密f(度 x) 函 6 1x数 0.5为0x3
(3 )P ( 2 X 1 ) 1 2f(x )0 d x 0 1(2 x1 2)edx l se0 1(6 x1 2)dx

连续型随机变量的分布

0
1 000
1
e3
0.7165 .
1 000 ，由于
连续型随机变量的分布
3. 正态分布
正态分布在概率论和数理统计的理论研究中占有重要的地位，一方面是因为在自然现象及实际应用中，大量的随机变量都服从或近似服从正态分布，如测量误差、学生的考试成绩、物价的变动、职工的收入、某地区一年的降雨量、射击时弹着点与靶心的距离等.另一方面，只要某个随机变量是大量相互独立的随机因素的和，而且每个因素的个别影响都很微小，那么这个随机变量也可以认为服从或近似服从正态分布.
1
xdx
x 2 xdx 1 (2x 1 x2 ) x
1 x2 2x 1；
0
1
2
21
2
当x
2时，F x P(X
x) x p xdx 1；
于是
0 ，
x0
1
x2
，
0
f
x
2 1
x2
2x
1，
1
2
x 1 .
x2
1 ，
x2
连续型随机变量的分布
（2）P X 1 1 P X 1 1 F 1 1 1 1 .
2 1
1 1 8 64
7. 64
4
连续型随机变量的分布
2.连续型随机变量的分布函数
定义2
设 X 为连续型随机变量，则函数F x P{ X

连续型随机变量的分布函数

引言

连续随机变量是概率论中的重要概念之一，其取值范围是一段连续的实数区间。与离散型随机变量不同，连续型随机变量的分布函数是一个实函数，描述了随机变量取值小于等于某一实数的概率。本文将介绍连续型随机变量的分布函数的定义、性质以及常见的连续分布函数。

一、连续型随机变量的分布函数定义

在概率论中，对于一维连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：

F(x) = P(X ≤ x)

其中P为概率函数，表示X取值小于等于x的概率。分布函数F(x)具有以下性质：

1.F(x)是自变量x的单调不减函数；

2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；

3.当x→负无穷时，F(x)→0；当x→正无穷时，F(x)→1。

二、连续型随机变量的概率密度函数

对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，即：

f(x) = dF(x)/dx

概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值下的概率密度。概率密度函数具有以下性质：

1.f(x)是非负函数，即对于所有x，有f(x)≥0；

2.连续型随机变量所有可能取值的概率密度函数在取值范围上的积分等于1，

即∫f(x)dx = 1。

通过概率密度函数可以计算出在某个区间内连续型随机变量的取值概率，即概率密度函数在该区间上的积分。

三、常见的连续分布函数

1. 均匀分布（Uniform Distribution）

均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，其概率密度函数在一个区间内全等于常数，即：

f(x) = 1/(b-a)，a≤x≤b，否则 f(x) = 0

连续型随机变量的概率分布

1.6 概率论——连续型随机变量的概率分布

连续性随机变量及其概率分布

第三节 常见连续型随机变量的概率分布.

连续型随机变量及其概率分布

连续型随机变量的概率分布.

2.4 连续型随机变量的概率分布

连续型随机变量的分布)

连续型随机变量的分布与应用

连续型随机变量分布函数

连续型随机变量及其概率分布

连续型随机变量的分布与例题讲解

连续型随机变量及其概率分布

2.4 连续型随机变量的概率分布

1.6 连续型随机变量的概率分布

连续型随机变量的分布

连续型随机变量的分布函数

第三节常见连续型随机变量的概率分布.