2019期八年级上册数学北师大版专题提高讲义 第1讲勾股定理 (无答案)精品教育.doc

第一讲：勾股定理及其运用

◆【知识考点梳理】

1、勾股定理，又称商高定理、毕达哥拉斯定理或毕氏定理。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

定理：在直角三角形中，两直角边平方之和等于斜边的平方；在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222a b c +=；

注意：（1）运用勾股定理的条件是在直角三角形中；（2）认准斜边；

2、勾股定理的逆定理----运用定理判断三角形为直角三角形

在ABC ∆中，若222a b c +=，则90C ∠=︒；

注意体会：公式的变形式。若222a c b =+，则90A ∠=︒

补充公式：ch ab =（b a ,是直角三角形的直角边边长，c 是斜边边长，h 是斜边上的高）

3、勾股定理的应用：注意体会建立直角三角形模型，运用勾股定理建立方程求解。

4、思想方法归纳：

（1）方程思想；（2）数学建模思想；（3）转化类比思想；（4）分类讨论思想； ◆【考点聚焦、方法导航】

【考点题型1】-----直角三角形中由已知的边长求未知边的长度

【例1】在ABC ∆中，90C ∠=，直角边为a 、b ，斜边为c 。

1、（1）若5a =，12b =，则c = ；（2）若25c =，15b =，则a = ；

2、若:3:4a b =，20c =，则a = ，b = ；

【例2】在Rt ABC ∆中，090C ∠=，030A ∠=。

（1）若10AB =，则BC = ，2AC = ；（2）若1BC =，则2AC = ；

【例3】在Rt ABC ∆中，090C ∠=，0

45A ∠=。

（1）若10AB =，则2BC = ；（2）若22AC =，则AB = 。 ◆方法点拨：认清斜边，运用直角三角形三边的关系建立方程求线段的长；

【考点题型2】---利用勾股定理解决实际问题

【例4】如图所示：若将长方形纸片沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，

小河

10 40

20 40

出发点 70 终止点

展开后得到一个等腰三角形，则展开后的三角形的周长是（ ）

【例5】（最短距离问题）

1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，

则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 ； 1题图 2题图 训练1题图

2、如图：等边ABC ∆的边长为4，AD 是BC 边上的中线，M 上一点，且1AE =，则2()EM CM +的最小值为 ；◆目标训练1：

1、如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，他位于小屋B 的西8km 北7km 处，他把马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是 km 。

2、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米。小明到达的终止点与原出发点的距离是 米。

◆方法点拨： 【考点题型3】----直角三角形的判定（勾股定理的逆定理运用） 【例6】三角形的三边为,,a b c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）

A 、::8:16:17a b c =

B 、222a b c -=

C 、2()()a b c b c =+-

D 、::13:5:12a b c =

【例7】阅读理解：已知,,a b c 为ABC ∆的三边，且满足222244

a c

b

c a b -=-，试判断ABC ∆的形状。

解：∵222244a c b c a b -=- ①

∴ABC ∆为直角三角形。

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；

（2）错误的原因是 ；（3）本题正确的结论是 ；

【考点题型4】---利用勾股定理建立方程求线段的长度

【例8】如图，某学校（A 点）与公路（直线l ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．

【例9】已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，

点E 在BC 边上，将CDE ∆沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点C '处。

（1）求DE C '∠的度数； （2）求DE C '∆的面积；

◆目标训练2：

1、已知如图：长方形ABCD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则ABE ∆的面积为（ ）

A 、23cm

B 、24cm

C 、26cm

D 、212cm

2、如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，，已知15DA km =，10CB km =，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D

两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？

◆方法小结：

◆【创新思维与能力拓展】

1.如图：ABC ∆中，20AB AC ==，32BC =，D 是BC

上一点，

且AD AC ⊥，则BD 的长为

； 2.（13凤阳）如图1，ABC ∆在AB 、AC 边上，此时BD CF =，BD CF ⊥成立。（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（090θ︒<<︒）时，如图2，BD CF =成立

吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45︒时，如图3，延长BD 交CF 于点G 。 ① 、求证：BD CF ⊥； ② 、当4AB =，AD =时，求线段BG 的长。

图1 姓名：A 组---夯实基础 1、1、下列条件中，能判定ABC ∆为直角三角形的是（ ） 2、如图4，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯。 3、直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为 ；

4、ABC ∆中，15AB =，13AC =，高12AD =，则ABC ∆的周长为 ； B 组---能力拓展

1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该三角形的面积为（ ）

2、若ABC ∆的三边,,a b c 满足222

200121620a b c a b c +++=++，则ABC ∆为 三角形；

A D E

B C

图13.3

图13.2图13.1F E D C

A A