河南省中原名校豫南九校高三数学一轮复习质量检测试题理

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中原名校2019-2020学年高三下学期质量考评一数学理科试题(带答案解析)

组别
频数
5
30
40
50
45
20
10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值
19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
14．中，角的对边分别为，且成等差数列，若，，则的面积为__________．
15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．

河南省中原高三数学下学期第一次联考试题理(扫描版)

高三数学下学期第一次联考试题理（扫描版）理科数学试题参考答案一、选择题：二．填空题：【13】 72 【14】 ±1 【15】 3 【16】 ①③三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1n =时，112S a a ==+.………………………………………1分当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=.…………………………………………………3分因为{}n a 是等比数列，所以111221a a -=+==，即11a =，1a =-.…………5分所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=*()n ∈N .…………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1(21)(21)2n n n b n a n -=-=-⋅.则23111325272(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⋅ . ①2312123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ . ②①-②得 2111222222(21)2n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅ …………………9分 2112(222)(21)2n n n -=++++--⋅114(21)(21)2n n n -=+---⋅(23)23n n =--⋅-.…………………………………………………12分所以(23)23n n T n =-⋅+.……………………………………………………………13分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====． ………………4分（Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．所以ξ的可能取值为0,1,2，则 ………………………………………6分242662(0)155C P C ξ====，1142268(1)15C C P C ξ===，22261(2)15C P C ξ===．所以，ξ的分布列为…………………………10分所以，28120125151E ξ=⨯+⨯+．……………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //．……2分因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………3分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………4分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………5分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………6分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．…………7分设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以(301)EA =-u u u r ，，，(440)AC =-u u u r ，，．设平面EAC 的法向量为()n x y z =r ，，，则有0n EA n AC ìï=ïíï=ïîr u u u r g r u u ur g 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(113)n =r ，，． ………………9分易知平面ABCD 的法向量为(01)v =r，0，． ………………10分所以cos ,11n v n v n v<>=v v v v g v v ． ………………11分因为二面角与两平面的法向量所成角相等或互补，而由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角，所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………12分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //．由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ．因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz M -．设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以(301)EA =-u u u r ，，，(440)AC =-u u u r ，，．设平面EAC 的法向量为()n x y z =r ，，，则有00n EA n AC ìï=ïíï=ïîr u u u r g r u u u r g 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(113)n =r ，，． ………………9分易知平面ABCD 的法向量为(01)v =r，0，． ………………10分所以cos ,11n v n v n v<>=v v v v g v v ． ………………11分因为二面角与两平面的法向量所成角相等或互补，而由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角，所以二面角B AC E--的余弦值为11113-． ………………12分 20.（本小题满分12分）解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0)，0)为焦点，长半轴长为2 的椭圆．……………………………………………………………………………3分故曲线C 的方程为2214x y +=． …………………………………………………5分（Ⅱ）存在△AOB 面积的最大值. …………………………………………………6分因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．则整理得 22(4)230m y my +--=．…………………7分 22(2)12(4)0m m ∆=++>．设1122()()A x y B x y ，，，．解得1y =，2y =．则21||y y -= 因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-21=． ………………………10分设1()g t t t =+，t =t ≥．则()g t在区间)+∞上为增函数．所以()3g t ≥．所以2AOB S ∆≤0m =时取等号，即max ()2AOB S ∆=．所以AOB S ∆．………………………………………………………………12分21．（本小题满分12分）（1）依题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-++=-+a x a a x f x f a x aa x f x f x x x xln 2)1()(2)(ln )1(2)(2)(解之得a x a x f x ln )(-=……4分（2）a a a a a x f xx ln )1(ln ln )('-=-=当x ＞0时()0f x '> 当x ＜0时()0f x '<∴()f x )在(,0)-∞上递减在(0,)+∞上递增∴min ()f x ＝f (0) ＝1 ……8分（3）由（2）得 ln 1x a x a -≥恒成立，令a ＝e ，则1x e x +≥在1xe x +≥中令x ＝－n k （k ＝1，2，…n -1） ∴1－n k ≤n ke - ∴(1)n k k e n--≤∴（1－n 1）n ≤e －1 （1－n 2）n ≤e －2 …（1－n n 1-）n ≤e －(n －1)，（nn ）n＝1∴（n n ）n ＋（n n 1-）n ＋（n n 2-）n ＋…＋（n1）n ≤1＋e －1＋e －2＋…＋e－(n －1)＝1-e e 1])1(1[11)1(1＜--=--e e e ee n n ……12分 22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》【证明】(1)连结BC,∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. 。

豫南九校2025届数学高三第一学期期末考试试题含解析

豫南九校2025届数学高三第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cmD ．()2454cm3．已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π- B ．0 C ．3π D ．23π4．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（）A ．2B 15C ．3D ．35．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（） A ．55B ．35C ．79D ．2356．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．37．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能8．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25，则m =（） A ．1B ．2C ．5D ．39．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.810．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（） A ．2B ．4C ．12D ．811．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（） A ．（1，＋∞） B ．（1，2） C ．[2，＋∞） D ．[1，＋∞）12．已知11()x x f x ee x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（）A ．[)1,+∞B ．[)0,+∞C ．(],0-∞D ．(],1-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年中原名校即豫南九校高三上第一次质检数学试理科配套精选

2021-2021学年河南省中原名校〔即豫南九校〕高三〔上〕第一次质检数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题．每题5分．在每题给出的四个选项中．只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕：如图，集合U为全集，那么图中阴影局部表示的集合是〔〕A．∁U〔A∩B〕∩C B．∁U〔B∩C〕∩A C．A∩∁U〔B∪C〕D．∁U〔A∪B〕∩C2．〔5分〕∈C，假设关于实系数一元二次方程a2bc=0〔a，b，c∈R，a≠0〕有一根为1i．那么该方程的另一根为〔〕A．﹣1i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．13．〔5分〕函数f〔〕=e1e1﹣，那么满足f〔﹣2〕＜e21的的取值范围是〔〕A．＜3 B．0＜＜3 C．1＜＜e D．1＜＜34．〔5分〕数列{a n}为正项等比数列，且a1a32a3a5a5a7=4，那么a2a6=〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．〔5分〕市场调查发现，大约的人喜欢在网上购置家用小电器，其余的人那么喜欢在实体店购置家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购置的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为．现工商局12315 接到一个关于家用小电器不合格的投诉，那么这台被投诉的家用小电器是在网上购置的可能性是〔〕A． B． C． D．6．〔5分〕：inαcoβ=，那么co2αco2β的取值范围是〔〕A．[﹣2，2]B．[﹣，2] C．[﹣2，] D．[﹣，]7．〔5分〕某篮球运发动6场比赛得分如表：〔注：第n场比赛得分为a n〕n123456a n1012891110在对上面数据分析时，一局部计算如图算法流程图〔其中是这6个数据的平均数〕，那么输出的的值是〔〕A． B．2 C． D．8．〔5分〕：，那么a6=〔〕A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．4489．〔5分〕某多面体的三视图如下图，每一小格单位长度为，那么该多面体的外接球的外表积是〔〕A．27πB．πC．9πD．π10．〔5分〕抛物线C：2=4，过抛物线C焦点F的直线交抛物线C于A、B两点〔点A在第一象限〕，且交抛物线C的准线于点E．假设=2，那么直线的斜率为〔〕A．3 B．2 C． D．111．〔5分〕设r是方程f〔〕=0的根，选取0作为r的初始近似值，过点〔0，f〔0〕〕做曲线=f〔〕的切线，的方程为=f〔0〕f'〔0〕〔﹣0〕，求出与轴交点的横坐标1=0﹣，称1为r的一次近似值．过点〔1，f〔1〕〕做曲线=f〔〕的切线，并求该切线与轴交点的横坐标2=1﹣，称2为r的二次近似值．重复以上过程，得r的近似值序列，其中，n1=n﹣，称为r的n1次近似值，上式称为牛顿迭代公式．是方程2﹣6=0的一个根，假设取0=2作为r的初始近似值，那么在保存四位小数的前提下，≈〔〕A． B．2.4495 C． D．12．〔5分〕函数f〔〕=在定义域〔﹣∞，∞〕上是单调增函数，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，]B．[，∞〕 C．[，]D．〔，〕二、填空题〔每题5分，共202113．〔5分〕，n〕，〔m＞0，n＞0〕，S四边形OAFB=bc，由双曲线和圆的对称性可得，cn=bc，即n=b，将A的坐标代入双曲线的方程可得，﹣=1，可得m=a，由直径所对的圆周角为直角，可得OAAC=﹣1，即有•=﹣1，可得a2﹣acb2=0，由b2=c2﹣a2，化为3a2﹣2acc2=0，可得c=a，e==．故答案为：．16．〔5分〕：f〔〕=，假设方程[f〔〕]2﹣f〔〕a=0有四个不等的实根，那么a的取值范围是．【解答】解：由f〔〕=，得f〔〕=．当≥0时，由f〔〕=，得f′〔〕=，当∈[0，1〕时，f′〔〕＞0，f〔〕单调递增，当∈〔1，∞〕时，f′〔〕＜0，f〔〕单调递减，当＜0时，由f〔〕=﹣，得f′〔〕=＜0，f〔〕单调递减，作出函数f〔〕=的图象如图：令f〔〕=m，假设方程[f〔〕]2﹣f〔〕a=0有四个不等的实根，那么关于m得方程一个根在〔0，〕内而另一个根大于．∴，解得0＜a＜．∴a的取值范围是：．故答案为：．三、解答题：〔17～21题每题12分；22、23题二选一10分〕17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．：〔1﹣tanA〕〔1﹣tanB〕=2．〔1〕求角C；〔2〕假设b=2，c=4，求△ABC的面积S．△ABC【解答】解：〔1〕∵〔1﹣tanA〕〔1﹣tanB〕=2，整理可得：tanAtanB﹣1=tanAtanB，∴tanC=tan[π﹣〔AB〕]=﹣=﹣=1，∵C∈〔0，π〕∴C=．〔2〕∵b=2，c=4，由〔1〕可得C=，∴由正弦定理，可得：inB===，∵b＜c，可得：B=，A=π﹣B﹣C，∴△ABC的面积S=bcinA=in〔〕=．△ABC18．〔12分〕如图，在四棱锥1，23〕24m﹣4=0．那么，=．∴，．∵23=4，得m=．∴直线2的方程为或．即或．21．〔12分〕：f〔〕=〔2﹣〕ea〔﹣1〕2〔a∈R〕〔1〕讨论函数f〔〕的单调区间：〔2〕假设对任意的∈R，都有f〔〕≤2e，求a的取值范围．【解答】解：〔1〕f′〔〕=〔1﹣〕e2a〔﹣1〕=〔﹣1〕〔2a﹣e〕，当a≤0时，函数在〔﹣∞，1〕上递增，在〔1，∞〕上递减；当时，函数在〔﹣∞，n2a〕，〔1，∞〕上递减，在〔n2a，1〕上递增；当时，函数在〔﹣∞，1〕，〔n2a，∞〕上递减，在〔1，n2a〕上递增；当时，函数在R上递减；〔2〕由对任意的∈R，f〔〕≤2e，即〔2﹣〕ea〔﹣1〕2≤2e，当=1时，ea〔﹣1〕2≤2e，恒成立，当≠1时，整理得：a≤，对任意∈R恒成立，设g〔〕=，求导g′〔〕==，令g′〔〕=0，解得：=1±，当=1附近时，当＞1，g′〔〕＞0，当1＜＜1，f′〔〕＜0，∴当=1时取极小值，极小值为，当=1﹣附近时，当＞1﹣，g′〔〕＞0，当＜1﹣，g′〔〕＜0，当=1﹣时取极小值，极小值为，由＜，∴g〔〕的最小值为，由题意对任意的∈R，都有f〔〕≤2e，即a≤f〔〕，最小值∴a的取值范围〔﹣∞，]．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，那么按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在直角坐标系中，直线的参数方程为〔t为参数〕．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2inθ．〔1〕在直角坐标系中，假设以过原点的直线的倾斜角α为参数，求出曲线C的参数方程．〔2〕求直线与曲线C相交弦的最小值．【解答】解：〔1〕曲线C的极坐标方程为ρ=2inθ，即ρ2=2ρinθ，利用互化公式可得：22=2，配方为：2〔﹣1〕2=1，圆心C〔0，1〕，半径r=1．可得参数方程：．〔θ为参数〕．〔2〕直线的参数方程为〔t为参数〕，可得直线经过定点in≥3恒成立，而f〔〕≥|a﹣1|=|a1|，故|a1|≥3，解得：a≥2或a≤﹣4．。

河南省豫南九校高三第一次联考理科数学试题含解析

河南省豫南九校高三下学期第一次联考试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故.2. 复数 (为虚数单位），则（）A. 2B.C. 1D.【答案】C【解析】3. 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故选：B4. 抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】化为标准方程得，故焦点坐标为.5. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数经伸长变换得，再作平移变换得，故选：B．6. 某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体在正方体内如下图所示，其表面积为7. 《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的的值为33，则输出的的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】，开始执行程序框图，，再执行一行，退出循环，输出，故选C.8. 已知直三棱拄中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示,设分别为和的中点，则夹角为和夹角或其补角(因异面直线所成角为，可知，；作中点Q，则为直角三角形；∵，中，由余弦定理得，∴，∴；在中,；在中，由余弦定理得又异面直线所成角的范围是，∴与所成角的余弦值为故选C.点睛：求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.9. 已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：关于直线的对称点为，连接交直线于点，则椭圆的长轴长的最小值为，所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.考点：1、椭圆的离心率；2、点关于直线的对称.10. 已知的三个内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B.....................11. 在的展开式中，项的系数等于264，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，必须，，的系数为，解得，所以.【点睛】本题主要考查多项式的展开式，考查定积分计算.由于本题多项式的次方的式子中，有一个，这个数的指数很大，采用二项式定理展开，写出通项的后可知它的指数一定是，才能使得存在的项，由此可求得，进而求得的值，最后求得定积分.12. 已知实数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将原式作如下变形得：.由此可构造函数：.不妨设，可得，由知，时，，时，，所以（当且仅当时取“”）.即解得，故.【点睛】本题主要考查构造函数并利用导数证明求解不等式.首先观察已知所给的不等式，左边是一个整式的形式，右边是两个对数的和，将两个对数的真数相加，发现和左边有点类似，故将不等式左边变为右边的形式，从而构造函数利用导数来解决本题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数满足则的最大值为__________．【答案】1【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值为.14. 已知向量满足，则向量在方向上的投影为__________．【答案】【解析】由，得，故在方向上的投影为.15. 已知直线过圆的圆心，则的最小值为__________．【答案】【解析】圆心为，则代入直线得，即.不妨设，则.16. 下列结论：①若，则“”成立的一个充分不必要条件是“，且”；②存在，使得；③若在上连续且，则在上恒正；④在锐角中，若，则必有；⑤平面上的动点到定点的距离比到轴的距离大1的点的轨迹方程为.其中正确结论的序号为_________．(填写所有正确的结论序号）【答案】①②【解析】①由于，所以，当且仅当时取等号.故是的充分不必要条件.②，不等式成立，故正确.③可以小于零，但是必须有大于零的部分，且的曲线围成的面积比的曲线围成的面积大，所以不正确.④由，所以，所以.⑤按定义可得轨迹方程，但还有这一部分.综上，选①②.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设正项等比数列，，且的等差中项为.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）利用基本元的思想将已知转化为的形式列方程组解出，由此得到通项公式.（2）化简，是个等差数列，求得其前项和为，利用裂项求和法可求得的值，代入不等式，利用分离常数法可求得.【试题解析】（1）设等比数列的公比为，由题意，得解得所以（2）由（1）得，∴，∴若恒成立，则恒成立，则，所以.18. 四棱锥中，底面为矩形，.侧面底面.（1）证明：；（2）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）设中点为，连接，由已知，所以，根据面面垂直的性质定理，有平面，以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，计算可得证.（2）设，利用直线和平面所成角为，计算，再利用平面和平面的法向量计算二面角的余弦值.【试题解析】解：（1）证法一：设中点为，连接，由已知，所以，而平面平面，交线为故平面以为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，并设，则所以，所以.证法二：设中点为，连接，由已知，所以，而平面平面，交线为故平面，从而①在矩形中，连接，设与交于，则由知，所以所以，故②由①②知平面所以.（2）由，平面平面，交线为，可得平面，所以平面平面，交线为过作，垂足为，则平面与平面所成的角即为角所以从而三角形为等边三角形，（也可以用向量法求出，设，则，可求得平面的一个法向量为，而，由可解得）设平面的一个法向量为，则，，可取设平面的一个法向量为，则，，可取于是，故二面角的余弦值为.19. 某地区某农产品近几年的产量统计如下表:（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；（2）若近几年该农产品每千克的价格(单位:元）与年产量满足的函数关系式为，且每年该农产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区年该农产品的产量；②当为何值时，销售额最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）①7. 56②【解析】【试题分析】（1）将数据代入回归直线方程计算公式，可求得回归直线方程.（2）①将代入（1）所求得方程，可求得对应的预测值. ②求得销售额的表达式为，利用二次函数对称轴可求得其最大值.【试题解析】解：（1）由题，，，，所以，又，得，所以关于的线性回归方程为.（2）①由（1）知，当时，，即该农产品的产量为7. 56万吨.②当年产量为时，销售额(万元），当时，函数取得最大值，又因，计算得当，即时，即销售额最大.20. 已知点，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与线段交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率不为0的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）由于，所以的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线的斜率存在时，设出直线方程和点的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线的方程，求得其纵截距为，即过.验证当斜率不存在是也过.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.【试题解析】解：（1）由已知得：，所以又,所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点轨迹方程是.（2）当存在时，设直线，，则，联立直线与椭圆得，得，∴，∴，所以直线，所以令，得，，所以直线过定点，（当不存在时仍适合）所以的面积，当且仅当时，等号成立.所以面积的最大值是.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点，而圆心恰好是，由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质可知动点的轨迹为椭圆.21. 设函数.（1）当时，恒成立，求的范围；（2）若在处的切线为，求的值.并证明当)时，.【答案】（1）（2）见解析【解析】【试题分析】（1）当时，由于，故函数单调递增，最小值为.（2）利用切点和斜率为建立方程组，解方程组求得的值.利用导数证得先证，进一步利用导数证，从而证明原不等式成立.【试题解析】解：由，当时，得.当时，，且当时，，此时.所以，即在上单调递増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由题意得，所以.又在切线上.所以.所以.所以.先证，即，令，则，所以在是增函数.所以，即.①再证，即，令，则，时，，时，，时，.所以在上是减函数，在上是增函数，所以.即，所以.②由①②得，即在上成立.【点睛】本小题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式.第一问由于题目给出，并且导函数没有含有，故可直接有导数得到函数的单调区间，由此得到函数的最小值，令函数的最小值大于或等于零，即可求得的取值范围，从而解决了不等式恒成立问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）将圆的极坐标方程展开后两边乘以转化为直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义求得的取值范围.【试题解析】解：（1）∵圆的极坐标方程为，∴，又∵，，∴，∴圆的普通方程为（2）设，故圆的方程，∴圆的圆心是，半径是2，将代入得，又∵直线过，圆的半径是2，∴，∴，即的取值范围是.23. 选修4-5：不等式选讲已知均为实数.（1）求证：；（2）若，求的最小值.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【试题分析】（1）利用分组分解法将原不等式变形为从而得证.（2）因为，所以.【试题解析】证明：（1）法一：，所以.法二：，所以.（2）证明：因为 (由柯西不等式得）所以，当且仅当即时，有最小值.。

河南省豫南名校2022-2023学年高三上学期9月质量检测试题数学理科试卷

3
(2) 2 3 + 6
【18 题答案】
【答案】(1)0, 2 ；
(2){m∣m 11}.
【19 题答案】
【答案】(1)
f
(x)
=
2sin
2x
+
3
(2) a − 2 3 【20 题答案】
【答案】(1) f ( x) (0, 2) 上单调递增,在 (2, +) 上单调递减；
(2)
0,
1 2
(1)若 x = 1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 的单调区间；
(2)若关于 x 的方程 f (x) =1+ ln a 恰有一个解,求 a 的取值范围.
22.已知函数 f ( x) = sin x cos 2x , g ( x) = a + cos x sin 2x .
(1)求 g ( x) 在 (0, π) 上的极小值点；
0
称#所以)'#/3(/(''!%#(=0'%0! /'!
!-!+!设经过# 天后#%进步%的值是%退步&的值的!---倍#则!---='!%-!#(#'!!###即'-!! !# ((#'!---#所以
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的外部#所以%& 在%"$' 的外部&是%%"$' 为钝角三角形&的充要条件!
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河南省豫南九校联考高三(上)期末数学试卷(理科)

河南省豫南九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|y=log2x，y∈Z}，B={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4}B．{2，4，6，8}C．{1，2，4，8}D．{2，4，8}2．设复数z满足（﹣1+3i）z=2（1+i），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：“∃x0∈R，x02﹣2x0+3≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”，命题q：椭圆+=1的一个焦点坐标为（3，0），则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∨q4．为了得到函数y=1﹣2sin2（x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．已知一个路口的红绿灯，红灯的时间为35秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为60秒，老王开车上班要经过3个这样的路口，则老王遇见两次绿灯的概率为（）A． B． C． D．6．函数f（x）=的图象可能是下列图形中的（）A． B． C． D．7．已知向量||=3，•=，|+|=，则向量在上的投影为（）A． B． C． D．28．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．99．已知实数x，y满足不等式组，若直线y=k（x+1）把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1：2，则k=（）A．B．C．D．=（n∈N*），则=（）10．已知数列{a n}满足a1=，a n+1A．2015 B．2016 C．2017 D．201811．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为抛物线C2：y2=2px的焦点F，且点F到双曲线的一条渐近线的距离为，若双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P（x0，2），则该双曲线的离心率e为（）A．B．2 C．D．1+12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，且f（x）=，若函数y=f（x）﹣x（t＞0）至少有9个零点，则t的取值范围为（）A．（0，）B．（0，54﹣24]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围为．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．15．（x+﹣2）6的展开式中，x的系数为．16．已知函数f（x）=，若对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，恒有af（1）≥|f（x1）﹣f（x2）|成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，且b=4．（1）求角B；（2）求△ABC的面积的最大值．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a5=2a3+a4，且S5=62．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．19．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等（1）求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率（2）用ξ表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，M，N分别为BC，PA的中点（1）求证：BN∥平面PDM（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△F1AB的面积的最大值．22．已知函数f（x）=alnx﹣（a+1）x﹣（1）当a＜﹣1时，讨论f（x）的单调性（2）当a=1时，若g（x）=﹣x﹣﹣1，证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的图象上方（3）证明： ++…+＜（n∈N*，n≥2）河南省豫南九校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|y=log2x，y∈Z}，B={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4}B．{2，4，6，8}C．{1，2，4，8}D．{2，4，8}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，结合对数运算，再由交集定义即可得到所求．【解答】解：集合A={x|y=log2x，y∈Z}={x|x＞0，且为2的偶次幂}，B={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B={2，4，8}．故选：D．2．设复数z满足（﹣1+3i）z=2（1+i），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．【解答】解：由（﹣1+3i）z=2（1+i），得=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．已知命题p：“∃x0∈R，x02﹣2x0+3≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”，命题q：椭圆+=1的一个焦点坐标为（3，0），则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∨q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判定命题p、q的真假，再根据复合命题的真值表判定．【解答】解：命题p：“∃x0∈R，x02﹣2x0+3≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+3＞0”，是真命题；命题q：椭圆+=1的交点在y轴上，一个焦点坐标为（0，3），是假命题；故p∧q为假命题；￢p∧q为假命题；￢p∨q为假命题；p∨q为真命题；故选：D．4．为了得到函数y=1﹣2sin2（x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简可得函数解析式y=sin[2（x+）]，再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵y=1﹣2sin2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=cos2（x+）=1﹣2sin2（x﹣）的图象，故选：D．5．已知一个路口的红绿灯，红灯的时间为35秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为60秒，老王开车上班要经过3个这样的路口，则老王遇见两次绿灯的概率为（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】先求出遇到绿灯的概率，再求出老王遇见两次绿灯的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为35+5+60=100秒，设绿灯为事件A，满足条件的事件是绿灯的时间为60秒，根据等可能事件的概率得到：P（A）=，∴老王遇见两次绿灯的概率为=．故选C．6．函数f（x）=的图象可能是下列图形中的（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用x的范围，判断函数的值的范围，然后利用函数的导数，判断函数的单调性即可．【解答】解：函数f（x）=，可知x＜0，y＜0；当x＞0时，函数f′（x）=，令f′（x）=0，可得x=1．当x∈（0，1），f′（x）＜0，函数f（x）=是减函数，x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）=是增函数，函数图象B，A满足，C，D不正确；当x＜0时，函数f′（x）=＜0，函数是减函数，所以B正确，A不正确．故选：B．7．已知向量||=3，•=，|+|=，则向量在上的投影为（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|+|=两边平方计算||，根据向量的数量积的定义计算向量的夹角的余弦值，再代入投影公式计算．【解答】解：∵|+|=，∴||2+2+||2=，即9+3+||2=，∴||=，设的夹角为θ，则=||||cosθ，即=3×cosθ，∴cosθ=．∴向量在上的投影为||cosθ=3×=．故选：B．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件S＞1，即可得到n的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，S=0执行循环体，S=，n=3不满足条件S＞1，执行循环体，S=+，n=4不满足条件S＞1，执行循环体，S=++，n=5不满足条件S＞1，执行循环体，S=+++，n=6不满足条件S＞1，执行循环体，S=++++=，n=7满足条件S＞1，退出循环，输出n的值为7．故选：B．9．已知实数x，y满足不等式组，若直线y=k（x+1）把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1：2，则k=（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据面积比是1：2，即可确定k的值．【解答】解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分），A（0，1），B（1，﹣1），∵直线y=k（x+1）过定点C（﹣1，0），∴C点在平面区域ABC内，∴点A到直线y=k（x+1）的距离d上=，点B到直线y=k（x+1）的距离d下=，∵直线y=k（x+1）把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1：2，∴2×=，解得k=故选：A=（n∈N*），则=（）10．已知数列{a n}满足a1=，a n+1A．2015 B．2016 C．2017 D．2018【考点】数列递推式．【分析】a1=，a n+1=（n∈N*），取倒数可得：=2，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=，a n+1=（n∈N*），∴=2，∴数列是等差数列，首项为3，公差为2．∴=3+2（n﹣1）=2n+1，则==7+2×1005+1=2018．故选：D．11．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为抛物线C2：y2=2px的焦点F，且点F到双曲线的一条渐近线的距离为，若双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P（x0，2），则该双曲线的离心率e为（）A．B．2 C．D．1+【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出b，通过交点坐标，代入抛物线以及双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为抛物线C2：y2=2px的焦点F，可得=c，点F到双曲线的一条渐近线bx+ay=0的距离为，可得，b=，双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P（x0，2），可得：24=2px0，，可得：a2c2=4，b2=3，可得a=1，c=2．双曲线的离心率为：2．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，且f（x）=，若函数y=f （x）﹣x（t＞0）至少有9个零点，则t的取值范围为（）A．（0，）B．（0，54﹣24]C．（0，）D．（0，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，得周期T=3，函数y=f（x）﹣x（t＞0）的零点，就是y=f（x ）与y=的交点，作出两个函数的图象，利用图象确定函数零点的个数，求出t的取值范围．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）﹣f（x）=0，∴周期T=3画出函数f（x）在[﹣1，10]的图象，如图所示，当直线y=相切于点A（x0，y0）时刚好9个零点，当x∈（8，10）时，f（x）=﹣（x﹣9）2+1，所以过点A的切线方程为y﹣y0=﹣2（x0﹣9）（x﹣x0）∵切线过原点，﹣y0=﹣2（x0﹣9）（﹣x0），又∵y0=﹣（x0﹣9）2+1，解得x0=4，，=f′（x）=﹣2（x﹣9）=18﹣8，t的取值范围为（0，54﹣24]故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围为（2，6）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】将圆的方程转化为标准方程，求出圆心和半径．再求出圆心到直线的距离，把此距离减去、加上半径，即可得到圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=8．∴圆心C（1，﹣2），半径r=2．∴圆心C（1，﹣2）到直线x﹣y+5=0的距离为d==4，∴圆x2+y2﹣2x+4y﹣3=0上的点到直线x﹣y+5=0的距离的取值范围为（2，6）．故答案为：（2，6）．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是+．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图是半个圆锥与三棱锥的组合体，由图中数据，可得几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，直观图是半个圆锥与三棱锥的组合体，由图中数据，可得V=+=+，故答案为+．15．（x+﹣2）6的展开式中，x的系数为﹣792．【考点】二项式系数的性质．【分析】化（x+﹣2）6=，利用展开式的通项公式求出展开式中x的系数．【解答】解：∵（x+﹣2）6=，展开式的通项公式=••=（﹣1）r••x6﹣r，T r+1令6﹣r=1，得r=5，∴T6=（﹣1）5•x=﹣792x，∴展开式中x的系数为﹣792．故答案为：﹣792．16．已知函数f（x）=，若对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，恒有af（1）≥|f（x1）﹣f（x2）|成立，则实数a的取值范围是[e2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】求出f（x）的导数，求得在区间[﹣1，2]上的单调性，可得最值，即有|f（x1）﹣f（x2）|≤f （x）max﹣f（x）min=e，由恒成立思想，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）=，当﹣1≤x≤0时，f′（x）≤0，f（x）递减；当0＜x≤2时，f′（x）＞0，f（x）递增．则f（0）取得极小值，且为最小值0，f（﹣1）﹣f（2）=﹣=e﹣＞0，则f（x）的最大值为f（﹣1）=e，即有|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=e，对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，恒有af（1）≥|f（x1）﹣f（x2）|成立，即为a•≥e，解得a≥e2．则a的取值范围是[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，且b=4．（1）求角B；（2）求△ABC的面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由=，且b=4．利用正弦定理可得=，化简再利用余弦定理即可得出．（2）由（1）可得：ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，解得ac≤16．即可得出．【解答】解：（1）∵=，且b=4．∴=，化为：a2+c2﹣16=ac．∴cosB===．又B∈（0，π），解得B=．（2）由（1）可得：ac=a2+c2﹣16≥2ac﹣16，解得ac≤16．当且仅当a=c=4时取等号．==4，∴S△ABC∴△ABC的面积的最大值为4．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a5=2a3+a4，且S5=62．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设公比为q（q＞0），由a5=2a3+a4，且S5=62，得到关于a1，q方程组，解得即可，（2）根据数列求和公式，以及裂项求和，和放缩法即可证明【解答】解：（1）设公比为q（q＞0），由a5=2a3+a4，且S5=62，得，解得a1=2，q=2，∴a n=2n，（2）由（1）可知a n=2n+1，S n==2（2n﹣1），S n+1=2（2n+1﹣1），∴b n===（﹣），∴T n= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣），∵n+1≥2，∴≤，∴（1﹣）≥，且（1﹣）＜，∴≤T n＜．19．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等（1）求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率（2）用ξ表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设事件A表示“取出的4支球拍上的数字互不相同”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣．（2）由题意可得ξ=2，3，4，5．则P（ξ=2）=．P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=．【解答】解：（1）设事件A表示“取出的4支球拍上的数字互不相同”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=．（2）由题意可得ξ=2，3，4，5．则P（ξ=2）==．P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==．∴ξ的分布列为：∴E（ξ）=+3×+4×+5×=．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，M，N分别为BC，PA的中点（1）求证：BN∥平面PDM（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD中点E，连接BE，NE，则BE∥MD，NE∥PD，利用面面平行，证明线面平行；（2）利用面积关系，求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．【解答】（1）证明：取AD中点E，连接BE，NE，则BE∥MD，NE∥PD，∵BE∩NE=E，MD∩PD=D，∴平面BEN∥平面MDP，∵BN⊂平面BEN，∴BN∥平面PDM（2）解：连接EP，EC，则PE=3，EB=2，EC==2∴PB=，PC=，∴cos∠PAB==﹣，cos∠PDC==﹣，∴sin∠PAB=，sin∠PDC=，∴平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为，大小为arccos．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△F1AB的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的焦点，离心率e，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为x=ty+1，代入2x2+3y2=6得得（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性，结合已知条件能求出△F1PQ面积的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴2c=2，c=1，又∵e=，∴，∵a2=b2+c2，∴椭圆C的标准方程为：．（2）设直线l的方程为x=ty+1，代入2x2+3y2=6得得（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，∴y1+y2=，y1y2=，△F1AB的面积s=2c•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|=，令u=∈[1，+∞），则s==，∵y=2u+在[1，+∞）上是增函数，∴当μ=1，即t=0时，△F1AB的面积的最小值是．22．已知函数f（x）=alnx﹣（a+1）x﹣（1）当a＜﹣1时，讨论f（x）的单调性（2）当a=1时，若g（x）=﹣x﹣﹣1，证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的图象上方（3）证明： ++…+＜（n∈N*，n≥2）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由已知得x＞0，f′（x）=﹣（a+1）+，根据a=﹣2，﹣1＜a＜﹣2，a＞﹣2，利用导数性质分类讨论，能求讨论f（x）的单调性．（2）a=1时，f（x）=lnx﹣2x﹣，g（x）=﹣x﹣﹣1，设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，F′（x）=﹣1=，利用导数性质推导出f（x）＜g（x）恒成立，由此能证明g（x）的图象恒在f（x）图象的上方（3）由lnx﹣x+1≤0 （x＞0），设K（x）=lnx﹣x+1，则K′（x）=﹣1=．从而≤1﹣．令x=n2，得，从而，由此能证明++…+＜（n∈N*，n≥2）【解答】解：（1）∵函数f（x）=alnx﹣（a+1）x﹣，∴x＞0，f′（x）=﹣（a+1）+=，∵a＜﹣1，由f′（x）＞0，得[﹣（a+1）x﹣1]（x﹣1）＞0，当a=﹣2时，由f′（x）＞0，得x≠1，增区间为（﹣∞，1]，[1，+∞），无减区间；当﹣1＜a＜﹣2时，由f′（x）＞0得，x＞﹣或x＜1，增区间为（0，1]，[﹣，+∞），减区间为[1，﹣]；当a＞﹣2时，由f′（x）＞0得，x＜﹣或x＞1，增区间为（0，﹣]，[1，+∞），减区间为[﹣，1]．证明：（2）a=1时，f（x）=lnx﹣2x﹣，g（x）=﹣x﹣﹣1，设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，F′（x）=﹣1=，∵当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0∴F（x）≤F（1）=0，即f（x）＜g（x）恒成立，∴g（x）的图象恒在f（x）图象的上方．（3）由（2）知lnx﹣x+1≤0 （x＞0），设K（x）=lnx﹣x+1，则K′（x）=﹣1=．当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；∴x=1为k（x）的极大值点，∴k（x）≤k（1）=0．即lnx﹣x+1≤0，∴lnx≤x﹣1．由上知lnx≤x﹣1，又x＞0，∴≤1﹣．∵n∈N，n≥2，令x=n2，得，∴，+∴++…+≤（1﹣）= [n﹣1﹣（）]＜ [n﹣1﹣（）]===（n∈N*，n≥2）∴++…+＜（n∈N*，n≥2）2017年2月28日。

高考数学复习优质试题(附经典解析)38

高三（上）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．（5分）已知x∈C，若关于x实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0）有一根为1+i．则该方程的另一根为（）A．﹣1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．13．（5分）已知函数f（x）=e1+x+e1﹣x，则满足f（x﹣2）＜e2+1的x的取值范围是（）A．x＜3 B．0＜x＜3 C．1＜x＜e D．1＜x＜34．（5分）已知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为．现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．6．（5分）已知：sinα+cosβ=，则cos2α+cos2β的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣，2]C．[﹣2，]D．[﹣，]7．（5分）某篮球运动员6场比赛得分如表：（注：第n场比赛得分为a n）在对上面数据分析时，一部分计算如图算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的s的值是（）A．B．2 C．D．8．（5分）已知：，则a6=（）A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．4489．（5分）某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是（）A．27πB．πC．9πD．π10．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E．若=2，则直线l 的斜率为（）A．3 B．2 C．D．111．（5分）设r是方程f（x）=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））做曲线y=f（x）的切线l，l的方程为y=f（x0）+f'（x0）（x﹣x0），求出l 与x轴交点的横坐标x1=x0﹣，称x1为r的一次近似值．过点（x1，f（x1））做曲线y=f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1﹣，称x2为r的二次近似值．重复=x n﹣，称为r的n+1次近似以上过程，得r的近似值序列，其中，x n+1值，上式称为牛顿迭代公式．已知是方程x2﹣6=0的一个根，若取x0=2作为r 的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，≈（）A．2.4494 B．2.4495 C．2.4496 D．2.449712．（5分）已知函数f（x）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．[，]D．（，）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则=．14．（5分）某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买3本，硬皮笔记本至少买2本，则不同的选购方式共有种．15．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），其右焦点为F（c，0），O 为坐标原点，以OF为直径的圆交曲线C于A、B两点，若S=bc，则四边形OAFB双曲线C的离心率e=．16．（5分）已知：f（x）=，若方程[f（x）]2﹣f（x）+a=0有四个不等的实根，则a的取值范围是．三、解答题：（17～21题每题12分；22、23题二选一10分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；．（2）若b=2，c=4，求△ABC的面积S△ABC18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAD ⊥平面ABCD，PA⊥AB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若PA=PD=AD=DC，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P（|X﹣μ|＜σ）=0.683，P（|X﹣μ|＜2σ）=0.954，P（|X﹣μ|＜3σ）=0.997．20．（12分）设M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l1：x=3的距离的比是常数，（1）求点M的轨迹曲线C的方程：（2）过定点F的直线l2交曲线C于A、B两点，以O、A、B三点（O为坐标原点）为顶点作平行四边形OAPB，若点P刚好在曲线C上，求直线l 2的方程．21．（12分）已知：f（x）=（2﹣x）e x+a（x﹣1）2（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调区间：（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，求a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）在直角坐标系中，若以过原点的直线的倾斜角α为参数，求出曲线C的参数方程．（2）求直线l与曲线C相交弦的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：f（x）=|x+a|+|x﹣1|（1）当a=1时，求不等式f（x）＜3的解集；（2）若对任意的x∈R，f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年河南省中原名校（即豫南九校）高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选C．2．（5分）已知x∈C，若关于x实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0）有一根为1+i．则该方程的另一根为（）A．﹣1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．1【解答】解：根据实系数一元二次方程虚根成对原理可知：该方程的另一根为1﹣i．故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=e1+x+e1﹣x，则满足f（x﹣2）＜e2+1的x的取值范围是（）A．x＜3 B．0＜x＜3 C．1＜x＜e D．1＜x＜3【解答】解：∵f（x）=e1+x+e1﹣x =，令t=e x，可得y=e（t+），内函数t=e x为增函数，而外函数y=e（t+）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴函数f（x）=e1+x+e1﹣x 的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）．又f（x）=e1+x+e1﹣x为偶函数，∴由f（x﹣2）＜e2+1，得f（|x﹣2|）＜f（1），得|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．故选：D．4．（5分）已知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，∴a1a3+2a3a5+a5a7==（a2+a6）2=4，∵数列{a n}为正项等比数列，∴a2+a6=2．故选：B．5．（5分）市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为．现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．【解答】解：∵大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器合格率约为，故网上购买的家用小电器被投诉的概率为×（1﹣）=，又∵实体店里的家用小电器的合格率约为．∴实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为（1﹣）×（1﹣）=，故工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P==，故选：A6．（5分）已知：sinα+cosβ=，则cos2α+cos2β的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣，2]C．[﹣2，]D．[﹣，]【解答】解：∵sinα+cosβ=，可得：cosβ=﹣sinα，∵﹣1≤﹣sinα≤1．可得：≤sinα≤1．那么：cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（cos2β﹣sin2α）=2（cosβ+sinα）（cosβ﹣sinα）=2×（﹣2sinα）=﹣6sinα，∵sinα∈[，1]，则：﹣6sinα∈[﹣6，﹣3]，∴cos2α+cos2β=﹣6sinα∈[﹣，]．故选：D．7．（5分）某篮球运动员6场比赛得分如表：（注：第n场比赛得分为a n）在对上面数据分析时，一部分计算如图算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的s的值是（）A．B．2 C．D．【解答】解：由已知得，=10，n=1时，s=0；n=2时，s=0+4=4；n=3时，s=4+4=8，依此类推，执行6次循环体后n=7，结束循环s=10．此时==．故选：C．8．（5分）已知：，则a6=（）A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．448【解答】解：令t=x﹣1，则，故，故选：A．9．（5分）某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是（）A．27πB．πC．9πD．π【解答】解：由三视图，可得，该几何体是底面为正方形的直三棱锥，补形可得（如图）正方体．正方体边长为a=3，外接球半径r===∴外接球的表面积S=4πR2=27π．故选：A．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E．若=2，则直线l 的斜率为（）A．3 B．2 C．D．1【解答】解：分别过A和D两点做AD、BC垂直于准线，交准线于D、C两点垂足分别为D，C，由=2，则B为AE的中点，丨AB丨=丨BE丨，则丨AD丨=2丨BC丨，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BC丨，∴丨AB丨=3丨BC丨，∴丨BE丨=3丨BC丨，则丨BE丨=2丨BC丨，tan∠CBE==2，直线l的斜率k=tan∠AFx=tan∠CBE=2，故选：B．11．（5分）设r是方程f（x）=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））做曲线y=f（x）的切线l，l的方程为y=f（x0）+f'（x0）（x﹣x0），求出l 与x轴交点的横坐标x1=x0﹣，称x1为r的一次近似值．过点（x1，f（x1））做曲线y=f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1﹣，称x2为r的二次近似值．重复=x n﹣，称为r的n+1次近似以上过程，得r的近似值序列，其中，x n+1值，上式称为牛顿迭代公式．已知是方程x2﹣6=0的一个根，若取x0=2作为r 的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，≈（）A．2.4494 B．2.4495 C．2.4496 D．2.4497【解答】解：f（x）=2x，x n=x n﹣=x n﹣=+．+1x0=2时，x1=+==2.5．x2===2.45，x3==≈2.4495．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．[，]D．（，）【解答】解：由于函数f（x）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e﹣a，解得a≥．排除A，D，当a=2时，x=1可得e x﹣2x2=e﹣2；2a+lnx=4＞e﹣2，显然不成立．排除B．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则=6．【解答】解：设=，=，=t则=﹣=﹣，2=4=2，•=2×2×cos60°=2∴=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t又∵+=+∴•﹙+﹚=[﹙1﹣t﹚+t]•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]•+t2 =﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为614．（5分）某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买3本，硬皮笔记本至少买2本，则不同的选购方式共有7种．【解答】解：根据题意，设买x本软皮笔记本，y本硬皮笔记本，则有，当x=3时，y可取的值为2、3、4；当x=4时，y可取的值为2、3；当x=5时，y可取的值为2；当x=6时，y可取的值为2；当x≥7时，由于y≥2，此时6x+7y≥56，不能满足题意；共7种不同的选购方式；故答案为：7．15．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），其右焦点为F（c，0），O 为坐标原点，以OF为直径的圆交曲线C于A、B两点，若S=bc，则四边形OAFB双曲线C的离心率e=．【解答】解：可设A（m，n），（m＞0，n＞0），S四边形OAFB=bc，由双曲线和圆的对称性可得，cn=bc，即n=b，将A的坐标代入双曲线的方程可得，﹣=1，可得m=a，由直径所对的圆周角为直角，可得k OA k AC=﹣1，即有•=﹣1，可得a2﹣ac+b2=0，由b2=c2﹣a2，化为3a2﹣2ac+c2=0，可得c=a，e==．故答案为：．16．（5分）已知：f（x）=，若方程[f（x）]2﹣f（x）+a=0有四个不等的实根，则a的取值范围是．【解答】解：由f（x）=，得f（x）=．当x≥0时，由f（x）=，得f′（x）=，当x∈[0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜0时，由f（x）=﹣，得f′（x）=＜0，f（x）单调递减，作出函数f（x）=的图象如图：令f（x）=m，若方程[f（x）]2﹣f（x）+a=0有四个不等的实根，则关于m得方程一个根在（0，）内而另一个根大于．∴，解得0＜a＜．∴a的取值范围是：．故答案为：．三、解答题：（17～21题每题12分；22、23题二选一10分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；．（2）若b=2，c=4，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）∵（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2，整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣=﹣=1，∵C∈（0，π）∴C=．（2）∵b=2，c=4，由（1）可得C=，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜c，可得：B=，A=π﹣B﹣C，=bcsinA=sin（+）=．∴△ABC的面积S△ABC18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAD ⊥平面ABCD，PA⊥AB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若PA=PD=AD=DC，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，在平面PAD内过P作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AB，又PA⊥AB，PO∩PA=P，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，又底面ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设PA=PD=AD=DC=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，）．∴，，．设平面PAB的一个法向量为，平面PBC的一个法向量为，由，取，得；由，取，得．∴cos＜＞===．由图可知，二面角A﹣PB﹣C的平面角为钝角，其余弦值为．19．（12分）在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P（|X﹣μ|＜σ）=0.683，P（|X﹣μ|＜2σ）=0.954，P（|X﹣μ|＜3σ）=0.997．【解答】解：（1）设参赛学生的成绩为X，因为X～N（70，100），所以μ=70，σ=10，则：==，16÷0.023≈696（人）．因此，此次参赛学生的总数约为696人．（2）由P（X≥80）=P（X≤60）====0.1585，得696×0.1585≈110．因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人．20．（12分）设M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l1：x=3的距离的比是常数，（1）求点M的轨迹曲线C的方程：（2）过定点F的直线l2交曲线C于A、B两点，以O、A、B三点（O为坐标原点）为顶点作平行四边形OAPB，若点P刚好在曲线C上，求直线l 2的方程．【解答】解：（1）由题意得，则3[（x﹣1）2+y2]=（x﹣3）2，即2x2+3y2=6，∴，故曲线C的方程为；（2）设直线l2的方程为x=my+1，P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0．则，=．∴，．∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，即2m2+3=4，得m=．∴直线l 2的方程为或．即或．21．（12分）已知：f（x）=（2﹣x）e x+a（x﹣1）2（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调区间：（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=（1﹣x）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（2a﹣e x），当a≤0时，函数在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减；当时，函数在（﹣∞，ln2a），（1，+∞）上递减，在（ln2a，1）上递增；当时，函数在（﹣∞，1），（ln2a，+∞）上递减，在（1，ln2a）上递增；当时，函数在R上递减；（2）由对任意的x∈R，f（x）≤2e x，即（2﹣x）e x+a（x﹣1）2≤2e x，当x=1时，e x+a（x﹣1）2≤2e x，恒成立，当x≠1时，整理得：a≤，对任意x∈R恒成立，设g（x）=，求导g′（x）==，令g′（x）=0，解得：x=1±，当x=1+附近时，当x＞1+，g′（x）＞0，当1＜x＜1+，f′（x）＜0，∴当x=1+时取极小值，极小值为，当x=1﹣附近时，当x＞1﹣，g′（x）＞0，当x＜1﹣，g′（x）＜0，当x=1﹣时取极小值，极小值为，由＜，∴g（x）的最小值为，，由题意对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，即a≤f（x）最小值∴a的取值范围（﹣∞，]．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）在直角坐标系中，若以过原点的直线的倾斜角α为参数，求出曲线C的参数方程．（2）求直线l与曲线C相交弦的最小值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1，圆心C（0，1），半径r=1．可得参数方程：．（θ为参数）．（2）直线l的参数方程为（t为参数），可得直线l经过定点P．当直线l⊥CP时，直线l与曲线C相交弦的弦长最短为2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：f（x）=|x+a|+|x﹣1|（1）当a=1时，求不等式f（x）＜3的解集；（2）若对任意的x∈R，f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣1|，x≥1时，x+1+x﹣1＜3，解得：x＜1.5，﹣1＜x＜1时，x+1+1﹣x＜3，成立，x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+1＜3，解得：x＞﹣1.5，故不等式的解集是：（﹣1.5，1.5）；（2）若对任意的x∈R，f（x）≥3恒成立，即f（x）min≥3恒成立，而f（x）≥|x+a﹣x+1|=|a+1|，故|a+1|≥3，解得：a≥2或a≤﹣4．。

2017-2018学年河南省中原名校(即豫南九校)高三(上)第一次质检数学试卷(理科)

2017-2018学年河南省中原名校（即豫南九校）高三（上）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．（5分）已知x∈C，若关于x实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0）有一根为1+i．则该方程的另一根为（）A．﹣1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．13．（5分）已知函数f（x）=e1+x+e1﹣x，则满足f（x﹣2）＜e2+1的x的取值范围是（）A．x＜3 B．0＜x＜3 C．1＜x＜e D．1＜x＜34．（5分）已知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为．现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．6．（5分）已知：sinα+cosβ=，则cos2α+cos2β的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣，2]C．[﹣2，]D．[﹣，]7．（5分）某篮球运动员6场比赛得分如表：（注：第n场比赛得分为a n）在对上面数据分析时，一部分计算如图算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的s的值是（）A．B．2 C．D．8．（5分）已知：，则a6=（）A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．4489．（5分）某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是（）A．27πB．πC．9πD．π10．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E．若=2，则直线l 的斜率为（）A．3 B．2 C．D．111．（5分）设r是方程f（x）=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））做曲线y=f（x）的切线l，l的方程为y=f（x0）+f'（x0）（x﹣x0），求出l 与x轴交点的横坐标x1=x0﹣，称x1为r的一次近似值．过点（x1，f（x1））做曲线y=f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1﹣，称x2为r的二次近似值．重复=x n﹣，称为r的n+1次近似以上过程，得r的近似值序列，其中，x n+1值，上式称为牛顿迭代公式．已知是方程x2﹣6=0的一个根，若取x0=2作为r 的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，≈（）A．2.4494 B．2.4495 C．2.4496 D．2.449712．（5分）已知函数f（x）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．[，]D．（，）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则=．14．（5分）某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买3本，硬皮笔记本至少买2本，则不同的选购方式共有种．15．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），其右焦点为F（c，0），O=bc，则为坐标原点，以OF为直径的圆交曲线C于A、B两点，若S四边形OAFB双曲线C的离心率e=．16．（5分）已知：f（x）=，若方程[f（x）]2﹣f（x）+a=0有四个不等的实根，则a的取值范围是．三、解答题：（17～21题每题12分；22、23题二选一10分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；．（2）若b=2，c=4，求△ABC的面积S△ABC18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAD ⊥平面ABCD，PA⊥AB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若PA=PD=AD=DC，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P（|X﹣μ|＜ς）=0.683，P（|X﹣μ|＜2ς）=0.954，P（|X﹣μ|＜3ς）=0.997．20．（12分）设M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l1：x=3的距离的比是常数，（1）求点M的轨迹曲线C的方程：（2）过定点F的直线l2交曲线C于A、B两点，以O、A、B三点（O为坐标原点）为顶点作平行四边形OAPB，若点P刚好在曲线C上，求直线l 2的方程．21．（12分）已知：f（x）=（2﹣x）e x+a（x﹣1）2（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调区间：（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，求a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）在直角坐标系中，若以过原点的直线的倾斜角α为参数，求出曲线C的参数方程．（2）求直线l与曲线C相交弦的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：f（x）=|x+a|+|x﹣1|（1）当a=1时，求不等式f（x）＜3的解集；（2）若对任意的x∈R，f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年河南省中原名校（即豫南九校）高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选C．2．（5分）已知x∈C，若关于x实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0）有一根为1+i．则该方程的另一根为（）A．﹣1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．1【解答】解：根据实系数一元二次方程虚根成对原理可知：该方程的另一根为1﹣i．故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=e1+x+e1﹣x，则满足f（x﹣2）＜e2+1的x的取值范围是（）A．x＜3 B．0＜x＜3 C．1＜x＜e D．1＜x＜3【解答】解：∵f（x）=e1+x+e1﹣x =，令t=e x，可得y=e（t+），内函数t=e x为增函数，而外函数y=e（t+）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴函数f（x）=e1+x+e1﹣x 的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）．又f（x）=e1+x+e1﹣x为偶函数，∴由f（x﹣2）＜e2+1，得f（|x﹣2|）＜f（1），得|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．故选：D．4．（5分）已知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，∴a1a3+2a3a5+a5a7==（a2+a6）2=4，∵数列{a n}为正项等比数列，∴a2+a6=2．故选：B．5．（5分）市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为．现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．【解答】解：∵大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器合格率约为，故网上购买的家用小电器被投诉的概率为×（1﹣）=，又∵实体店里的家用小电器的合格率约为．∴实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为（1﹣）×（1﹣）=，故工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P==，故选：A6．（5分）已知：sinα+cosβ=，则cos2α+cos2β的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣，2]C．[﹣2，]D．[﹣，]【解答】解：∵sinα+cosβ=，可得：cosβ=﹣sinα，∵﹣1≤﹣sinα≤1．可得：≤sinα≤1．那么：co s2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（cos2β﹣sin2α）=2（cosβ+sinα）（cosβ﹣sinα）=2×（﹣2sinα）=﹣6sinα，∵sinα∈[，1]，则：﹣6sinα∈[﹣6，﹣3]，∴cos2α+cos2β=﹣6sinα∈[﹣，]．故选：D．7．（5分）某篮球运动员6场比赛得分如表：（注：第n场比赛得分为a n）在对上面数据分析时，一部分计算如图算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的s的值是（）A．B．2 C．D．【解答】解：由已知得，=10，n=1时，s=0；n=2时，s=0+4=4；n=3时，s=4+4=8，依此类推，执行6次循环体后n=7，结束循环s=10．此时==．故选：C．8．（5分）已知：，则a6=（）A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．448【解答】解：令t=x﹣1，则，故，故选：A．9．（5分）某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是（）A．27πB．πC．9πD．π【解答】解：由三视图，可得，该几何体是底面为正方形的直三棱锥，补形可得（如图）正方体．正方体边长为a=3，外接球半径r===∴外接球的表面积S=4πR2=27π．故选：A．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E．若=2，则直线l 的斜率为（）A．3 B．2 C．D．1【解答】解：分别过A和D两点做AD、BC垂直于准线，交准线于D、C两点垂足分别为D，C，由=2，则B为AE的中点，丨AB丨=丨BE丨，则丨AD丨=2丨BC丨，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BC丨，∴丨AB丨=3丨BC丨，∴丨BE丨=3丨BC丨，则丨BE丨=2丨BC丨，tan∠CBE==2，直线l的斜率k=tan∠AFx=tan∠CBE=2，故选：B．11．（5分）设r是方程f（x）=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））做曲线y=f（x）的切线l，l的方程为y=f（x0）+f'（x0）（x﹣x0），求出l 与x轴交点的横坐标x1=x0﹣，称x1为r的一次近似值．过点（x1，f（x1））做曲线y=f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1﹣，称x2为r的二次近似值．重复以上过程，得r的近似值序列，其中，x n=x n﹣，称为r的n+1次近似+1值，上式称为牛顿迭代公式．已知是方程x2﹣6=0的一个根，若取x0=2作为r 的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，≈（）A．2.4494 B．2.4495 C．2.4496 D．2.4497=x n﹣=x n﹣=+．【解答】解：f（x）=2x，x n+1x0=2时，x1=+==2.5．x2===2.45，x3==≈2.4495．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．[，]D．（，）【解答】解：由于函数f（x）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e﹣a，解得a≥．排除A，D，当a=2时，x=1可得e x﹣2x2=e﹣2；2a+lnx=4＞e﹣2，显然不成立．排除B．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则=6．【解答】解：设=，=，=t则=﹣=﹣，2=4=2，•=2×2×cos60°=2∴=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t又∵+=+∴•﹙+﹚=[﹙1﹣t﹚+t]•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]•+t2 =﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为614．（5分）某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本，根据需要软皮笔记本至少买3本，硬皮笔记本至少买2本，则不同的选购方式共有7种．【解答】解：根据题意，设买x本软皮笔记本，y本硬皮笔记本，则有，当x=3时，y可取的值为2、3、4；当x=4时，y可取的值为2、3；当x=5时，y可取的值为2；当x=6时，y可取的值为2；当x≥7时，由于y≥2，此时6x+7y≥56，不能满足题意；共7种不同的选购方式；故答案为：7．15．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），其右焦点为F（c，0），O=bc，则为坐标原点，以OF为直径的圆交曲线C于A、B两点，若S四边形OAFB双曲线C的离心率e=．【解答】解：可设A（m，n），（m＞0，n＞0），S四边形OAFB=bc，由双曲线和圆的对称性可得，cn=bc，即n=b，将A的坐标代入双曲线的方程可得，﹣=1，可得m=a，由直径所对的圆周角为直角，可得k OA k AC=﹣1，即有•=﹣1，可得a2﹣ac+b2=0，由b2=c2﹣a2，化为3a2﹣2ac+c2=0，可得c=a，e==．故答案为：．16．（5分）已知：f（x）=，若方程[f（x）]2﹣f（x）+a=0有四个不等的实根，则a的取值范围是．【解答】解：由f（x）=，得f（x）=．当x≥0时，由f（x）=，得f′（x）=，当x∈[0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜0时，由f（x）=﹣，得f′（x）=＜0，f（x）单调递减，作出函数f（x）=的图象如图：令f（x）=m，若方程[f（x）]2﹣f（x）+a=0有四个不等的实根，则关于m得方程一个根在（0，）内而另一个根大于．∴，解得0＜a＜．∴a的取值范围是：．故答案为：．三、解答题：（17～21题每题12分；22、23题二选一10分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；．（2）若b=2，c=4，求△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）∵（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2，整理可得：tanAtanB﹣1=tanA+tanB，∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣=﹣=1，∵C∈（0，π）∴C=．（2）∵b=2，c=4，由（1）可得C=，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜c，可得：B=，A=π﹣B﹣C，=bcsinA=sin（+）=．∴△ABC的面积S△ABC18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAD ⊥平面ABCD，PA⊥AB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若PA=PD=AD=DC，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，在平面PAD内过P作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AB，又PA⊥AB，PO∩PA=P，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，又底面ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设PA=PD=AD=DC=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，）．∴，，．设平面PAB的一个法向量为，平面PBC的一个法向量为，由，取，得；由，取，得．∴cos＜＞===．由图可知，二面角A﹣PB﹣C的平面角为钝角，其余弦值为．19．（12分）在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P（|X﹣μ|＜ς）=0.683，P（|X﹣μ|＜2ς）=0.954，P（|X﹣μ|＜3ς）=0.997．【解答】解：（1）设参赛学生的成绩为X，因为X～N（70，100），所以μ=70，ς=10，则：==，16÷0.023≈696（人）．因此，此次参赛学生的总数约为696人．（2）由P（X≥80）=P（X≤60）====0.1585，得696×0.1585≈110．因此，此次竞赛获奖励的学生约为110人．20．（12分）设M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l1：x=3的距离的比是常数，（1）求点M的轨迹曲线C的方程：（2）过定点F的直线l2交曲线C于A、B两点，以O、A、B三点（O为坐标原点）为顶点作平行四边形OAPB，若点P刚好在曲线C上，求直线l 2的方程．【解答】解：（1）由题意得，则3[（x﹣1）2+y2]=（x﹣3）2，即2x2+3y2=6，∴，故曲线C的方程为；（2）设直线l2的方程为x=my+1，P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0．则，=．∴，．∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，即2m2+3=4，得m=．∴直线l 2的方程为或．即或．21．（12分）已知：f（x）=（2﹣x）e x+a（x﹣1）2（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调区间：（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=（1﹣x）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（2a﹣e x），当a≤0时，函数在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减；当时，函数在（﹣∞，ln2a），（1，+∞）上递减，在（ln2a，1）上递增；当时，函数在（﹣∞，1），（ln2a，+∞）上递减，在（1，ln2a）上递增；当时，函数在R上递减；（2）由对任意的x∈R，f（x）≤2e x，即（2﹣x）e x+a（x﹣1）2≤2e x，当x=1时，e x+a（x﹣1）2≤2e x，恒成立，当x≠1时，整理得：a≤，对任意x∈R恒成立，设g（x）=，求导g′（x）==，令g′（x）=0，解得：x=1±，当x=1+附近时，当x＞1+，g′（x）＞0，当1＜x＜1+，f′（x）＜0，∴当x=1+时取极小值，极小值为，当x=1﹣附近时，当x＞1﹣，g′（x）＞0，当x＜1﹣，g′（x）＜0，当x=1﹣时取极小值，极小值为，由＜，∴g（x）的最小值为，，由题意对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，即a≤f（x）最小值∴a的取值范围（﹣∞，]．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）在直角坐标系中，若以过原点的直线的倾斜角α为参数，求出曲线C的参数方程．（2）求直线l与曲线C相交弦的最小值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1，圆心C（0，1），半径r=1．可得参数方程：．（θ为参数）．（2）直线l的参数方程为（t为参数），可得直线l经过定点P．当直线l⊥CP时，直线l与曲线C相交弦的弦长最短为2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：f（x）=|x+a|+|x﹣1|（1）当a=1时，求不等式f（x）＜3的解集；（2）若对任意的x∈R，f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣1|，x≥1时，x+1+x﹣1＜3，解得：x＜1.5，﹣1＜x＜1时，x+1+1﹣x＜3，成立，x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+1＜3，解得：x＞﹣1.5，故不等式的解集是：（﹣1.5，1.5）；（2）若对任意的x∈R，f（x）≥3恒成立，即f（x）min≥3恒成立，而f（x）≥|x+a﹣x+1|=|a+1|，故|a+1|≥3，解得：a≥2或a≤﹣4．。

河南省中原、豫南九校联考高考数学一模试卷理(含解析)

河南省中原名校、豫南九校联考2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（∁R P）∩Q等于( ) A．[2，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．（2，3] D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）2．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )A．i B．﹣C．i D．3．记数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2（a n﹣1），则a2=( )A．4 B．2 C．1 D．﹣24．“m＜0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．在（+）12的展开式中，x项的系数为( )A．C B．C C．C D．C6．双曲线tx2﹣y2﹣1=0的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为( ) A．B．C．D．7．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．8．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈[﹣，a]，若f（x）的值域是[﹣，1]，则实数a的取值范围是( )A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，π]9．如图所示的程序框图中输出的结果为( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣10．O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线三点，动点P满足：=+λ（+），λ∈[﹣1，2]，已知λ=1时，||=2，则•+•的最大值为( )A．﹣2 B．24 C．48 D．9611．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为( ) A．B．C．1 D．12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设五个数值31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的方差是__________．14．在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为__________．15．表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为__________．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB 的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．19．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量X是以这三点为顶点的三角形的面积．（1）求概率P（X=）；（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=ln（x+），且f（x）在x=处的切线方程为y=g（x）．（1）求y=g（x）的解析式；（2）证明：当x＞0时，恒有f（x）≥g（x）；（3）证明：若a i＞0，且a i=1，则（a1+）（a2+）…（a n+）≥（）n（1≤i≤n，i，n∈N*）四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f（x）≤3x．河南省中原名校、豫南九校联考2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（∁R P）∩Q等于( ) A．[2，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．（2，3] D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用；集合．分析：由一元二次不等式的解法求出集合P，由对数函数的性质求出集合Q，再由补集、交集的运算分别求出∁R P和（∁R P）∩Q．解答：解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合P={x|﹣1≤x≤2}，由log2（x﹣1）≤1=得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，则Q={x|1＜x≤3}所以∁R P={x|x＜﹣1或x＞2}，且（∁R P）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]，故选：C．点评：本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题．2．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( ) A．i B．﹣C．i D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简后即可求得复数的虚部．解答：解：∵z1=1﹣i，z2=+i，∴==．∴的虚部为．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．记数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2（a n﹣1），则a2=( )A．4 B．2 C．1 D．﹣2考点：数列的求和；数列递推式．专题：计算题．分析：先根据题设中递推式求得a1，进而根据S2=2（a2﹣1）求得答案．解答：解：∵S1=2（a1﹣1），∴a1=2∵a1+a2=2（a2﹣1），∴a2=4故选A点评：本题主要考查了数列求和问题．属基础题．4．“m＜0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用特殊值法，令m=0，代入可以求出函数f（x）=m+log2x（x≥1）的零点，从而进行判断；解答：解：∵m＜0，函数f（x）=m+log2x（x≥1），又x≥1，log2x≥0，∵y=log2x在x≥1上为增函数，求f（x）存在零点，要求f（x）＜0，必须要求m＜0，∴f（x）在x≥1上存在零点；若m=0，代入函数f（x）=m+log2x（x≥1），可得f（x）=log2x，令f（x）=log2x=0，可得x=1，f（x）的零点存在，∴“m＜0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点”充分不必要条件，故选A；点评：此题以对数函数为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．5．在（+）12的展开式中，x项的系数为( )A．C B．C C．C D．C考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x项的系数．解答：解：（+）12的展开式的通项公式为 T r+1=•，令6﹣=1，求得 r=6，故x项的系数为，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．6．双曲线tx2﹣y2﹣1=0的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为( ) A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，将双曲线化成标准形式求出渐近线为y=x，从而y=x与直线x﹣2y+1=0平行算出t=4．由此得到双曲线的方程，进而算出它的离心率．解答：解：∵双曲线tx2﹣y2﹣1=0，即tx2﹣y2=1，∴双曲线的渐近线为y=x，∵一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，∴渐近线的斜率为，即=，得t=双曲线的方程为，得a=2，b=1，c==∴此双曲线的离心率为e=故选：B点评：本题给出含有字母的双曲线，在其渐近线与已知直线平行的情况下求双曲线的离心率．着重考查了直线的位置关系、双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．7．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．8．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈[﹣，a]，若f（x）的值域是[﹣，1]，则实数a的取值范围是( )A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，π]考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值范围，由x+∈[﹣，]时f（x）的值域是[﹣，1]，可知≤a+≤，可解得实数a的取值范围．解答：解：∵x∈[﹣，a]，∴x+∈[﹣，a+]，∵x+∈[﹣，]时f（x）的值域是[﹣，1]，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈[，π]．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．9．如图所示的程序框图中输出的结果为( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当i=2014时，退出循环，输出a 的值为2．解答：解：执行程序，有i=1，a=2i=2，a=﹣1i=3，a=i=4，a=2i=5，a=﹣1…a的取值周期为3，∵2013=3×671∴i=2013时，a的值与i=3时一样，即a=∴i=2014时，a=2．故选：A．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．10．O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线三点，动点P满足：=+λ（+），λ∈[﹣1，2]，已知λ=1时，||=2，则•+•的最大值为( ) A．﹣2 B．24 C．48 D．96考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积，以及数量的加减运算，以及二次函数的性质即可求出最大值解答：解：由满足：=+λ（+），得=λ（+），当λ=1时，由||=2，得+=，∴|+|=2，又•+•=•（+）=•（+﹣）=﹣λ（+）•（+﹣2λ（+）），=λ（2λ﹣1）（+）2=4（2λ2﹣λ）=8（λ﹣）2﹣2，∵λ∈[﹣1，2]，∴当λ=2时，有最大值，最大值为24，故选：B．点评：本题考查向量的加减运算，两个向量的数量积，体现了等价转化的数学思想，属于中档题11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为( ) A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|AB|的范围，即可得到答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2，得到|AB|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故选A．点评：本题主要考查抛物线的应用和解三角形的应用，考查基本不等式，考查了计算能力、分析问题和解决问题的能力．12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值范围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈[n，n+1]，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+2=f（x﹣2）+3=…=f（x﹣n）+n+1=（x﹣n）2+n+1，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈[1，2]时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈[2，3]时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．∵当x∈[1，2]时，由得：x2﹣（k+2）x+2=0，令△=0，得：k=．由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2．∴k的取值范围为（）．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设五个数值31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的方差是4．考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：计算题；概率与统计．分析：根据数据31，37，33，a，35的平均数是34，求出a的值，从而求出这组数据的方差．解答：解：∵数据31，37，33，a，35的平均数是34，∴=34，∴a=34；∴这组数据的方差是：s2=×[（31﹣34）2+（37﹣34）2+（33﹣34）2+（34﹣34）2（35﹣34）2]=[9+9+1+0+1]=4；故答案为：4．点评：本题考查了求数据的平均数与方差的问题，可以直接利用平均数与方差的公式计算，得出正确结果．14．在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为1．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：先画出不等式组（a为常数）表示的平面区域，再由三角形面积公式即可解得．解答：解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．解得A（﹣2，2）、B（a，a+4）、C（a，﹣a），直线x﹣y+4=0与x+y=0与y轴组成的三角形面积为•2•4=4＜9．所以a＞0所以S△ABC=×（2a+4）×（a+2）=9，解得a=1或a=﹣5（舍去）．故答案为：1．点评：本题主要考查如何画出二元一次不等式组表示的平面区域．15．表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为2．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：导数的概念及应用；空间位置关系与距离．分析：设出圆柱的高为h，底面半径为r，由表面积公式，求出r与h的关系，写出圆柱的体积V的解析式，求出V取最大时的h与r的比值．解答：解：设该圆柱的高为h，底面半径为r，∴表面积为2πr2+2πrh=6π，即r2+rh=3，∴h=；∴圆柱的体积为V=πr2h=πr2•=πr（3﹣r2）=3πr﹣πr3，∴V′=3π﹣3πr2，令V′=0，解得r=1，此时V最大；此时h==2，∴==2．故答案为：2．点评：本题考查了圆柱体的表面积与体积公式的应用问题，解题时应利用公式建立函数解析式，利用导数求函数解析式的最值，是综合题．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可．解答：解：由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=[1+（n﹣1）d2]﹣[1+（n﹣1）d1]=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n ﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．故答案为：1．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB 的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB 利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；（2）分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°∴△DAB为等边三角形…又∵E为AB的中点∴AB⊥DE又∵PD∩DE=D∴AB⊥底面PDE…∵AB∥CD∴CD⊥底面PDE…解：（2）如图，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系∴…．∴∴…∴∴…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．19．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量X是以这三点为顶点的三角形的面积．（1）求概率P（X=）；（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）符合古典概型，利用概率公式求解；（2）由题意三角形的三边不可能都是正方体的棱，从而分别求概率及面积，从而列分布列及数学期望．解答：解：（1）从正方体的8个顶点中任取3个点，共有=56种情况，∵正方体的棱长为1，故若三点为顶点的角形的面积为，则该三角形的两边为正方体的相邻的棱，故共有8•=24个，故P（X=）==；（2）显然，三角形的三边不可能都是正方体的棱，若恰有一边为棱，则对于每一条棱，只有2种选择，故2×12=24种，面积为；P（X=）==；故都不是棱，则为正三角形，面积为；P（X=）=1﹣﹣=；则分布列是XP（X）E（X）=+×+×=．点评：本题考查了古典概型的判断与概率公式的应用及数学期望的求法，属于基础题．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．可得x0=x1+x2，y0=y1+y2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d==即可得出．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1．即可得出．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得a=2，b2=2，∴椭圆M的方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．∴x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．∵点P在椭圆M上，∴，∴+=1，化为2m2=1+2k2，满足△＞0．又点O到直线l的距离d====．当且仅当k=0时取等号．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2，0），直线l的方程为x=±1，∴点O到直线l的距离为1．∴点O到直线l的距离的最小值为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=ln（x+），且f（x）在x=处的切线方程为y=g（x）．（1）求y=g（x）的解析式；（2）证明：当x＞0时，恒有f（x）≥g（x）；（3）证明：若a i＞0，且a i=1，则（a1+）（a2+）…（a n+）≥（）n（1≤i≤n，i，n∈N*）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到切线的斜率k=，再求出f（）的值，代入直线方程的点斜式得答案；（2）令t（x）=f（x）﹣g（x），求导后得到导函数的零点，进一步得到函数的极小值点，求得说明；（3）由（1）知，求出f（x）在处的切线方程，然后证明，得到，进一步得到=，则结论得证．解答：（1）解：由f（x）=ln（x+），得，∴切线的斜率k=．又f（）=ln，∴f（x）在x=处的切线方程为y﹣，即y=g（x）=；（2）证明：令t（x）=f（x）﹣g（x）=，∵．∴当0＜x＜时，t′（x）0，∴．故t（x）≥0，即；（3）证明：由（1）知，，故f（x）在处的切线方程为，即．先证，令h（x）=（x＞0），∵==．∴0＜x＜时h′（x）0．∴．∴，∵a i＞0，∴．∴=．∴（a1+）（a2+）…（a n+）≥（）n ．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，对于（3）的证明，关键在于对的证明，体现了数学转化思想方法，本题对于学生的计算能力要求过高，是难度较大的题目．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值范围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的范围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

河南省中原名校豫南九校高三上学期第四次质量考评数学(理)Word版含答案

中原名校豫南九校2016—2017学年第四次质量考评高三数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}(){}22|40,|log 12A x N x x B x N x =∈-≥=∈+≥，则A B =A.{}2,3B.{}3,4C. {}4,5D.{}5,62.已知)i z ⋅=（i 为虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的 A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列四个命题：1:p 任意,20x x R ∈>；2:p 存在,x R ∈210x x ++<；3:p 任意,x R ∈sin 2x x <；4:p 存在,x R ∈2cos 1x x x >++.其中真命题是A.12,p pB. 23,p pC. 34,p pD.14,p p4.若直线20x ay +-=与以()()3,1,1,2A B 为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是A. ()2,1-B.()(),21,-∞-+∞C.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭5.要得到函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象A. 向左平移6π个单位长度B. 向右平移6π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度 6.已知等差数列{}n a 的公差0,n d S ≠，是其前n 项和，若236,,a a a 成等比数列，且1017a =-，则2n n S 的最小值是 A. 12- B. 58- C. 38- D. 1532-7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 94+B. 102+C. 112+D. 112+8.已知实数,x y 满足250,350,50,x y x y kx y k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数13z x y =+的最小值的7倍与27z x y =+的最大值相等，则实数k 的值为A. 2B. 1C.1-D. 2-9.在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥,点M 是侧面11ABB A 内的一点，若MC 与平面ABC 所成的角为30，MC 与平面11ACC A 所成的角也是30，则MC 与平面11BCC B 所成的角的正弦值为 A. 1210.函数sin 333x x x y -=-的图象大致为11.如果直线()70,0ax by a b +=>>和函数()1log 0,1m y x m m =+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终在圆()()221125x b y a +-++-=的内部或圆上，则b a 的取值范围是 A. 34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.340,,43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦12.已知函数()2,03,0x x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是A. 7,116⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 17,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 191,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 171,16⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知两个平面向量,a b 满足1,221a a b =-=，且a 与b 的夹角为120，则 b = .14.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”.如图所示，“海宝”从圆心出发，先沿北偏西12sin 13θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭方向行走13米到点A 处，再沿正南方向行走14米到点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B,C 都在圆T 上.则在以线段BC 中点为坐标原点O ，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中，圆T 的标准方程为 .15. 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若1,6,8,5AB BC AB BC AA ⊥===，则V 的最大值为 .16. 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>若()111122,,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55625.S a a =+=（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围.18.（本题满分12分）设ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m b c a n B C A C =-=-+，且.m n ⊥（1）求角A 的大小；（2）若2,a c B ==，求ABC ∆的面积.19.（本题满分12分）已知函数()()21ln .f x a x x =++ （1）当0a ≥时，解关于x 的不等式()2f x a >；（2）若对任意()4,2a ∈--及[]1,3x ∈，恒有()2ma f x a ->成立，求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=a ，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =， E,F 分别为AD,PA 的中点，在BC 上有且仅有一个点Q,使得.PQ QD ⊥（1）求证：平面//BEF 平面PDQ ；（2）求二面角E BF Q --的余弦值.21.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的半径为5，且圆M 与圆22:0N x y Ey +-=外切，切点为()2,4.A（1）求E 及圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（3）设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围.22.（本题满分12分）已知函数()2.x f x e a x b x =++ （1）当0,1a b ==-时，求()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在点()()(),01P t f t t <<处的切线为l ，直线l 与y 轴相交于点Q ，若点Q 的纵坐标恒小于1，求实数a 的取值范围.。

2020届中原名校高三下学期质量考评一数学理科试题(含答案解析)

组别
频数
5
30
40
50
45
20
10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
A．( ，0)B．( ，0)C．(0， )D．(0， )
二、填空题
13．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________．
14．中，角的对边分别为，且成等差数列，若，，则的面积为__________．
15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．
18．如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值
19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：

河南省豫南九校高三数学下学期第一次联考试题理

河南省豫南九校2018届高三数学下学期第一次联考试题理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2210,10A x x B x x =-≥=-≤，则A B ⋂=（）A ．{}1x x ≥-B ．{}1x x ≥C ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭2.复数)2018z i i i =+ (i 为虚数单位），则z =（）A ．2B ．1 D 3.27log cos4π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．1-B ．12-C ．12D4.抛物线20)2(x p y p =>的焦点坐标为（）A ．,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，则所得函数图像的解析式为（） A ．5sin 224x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．5sin 212x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ． 7sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A 1BC ．1D ．327.《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的d 的值为33，则输出的i 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．78. 已知直三棱拄111ABC A B C -中，1120,21AB C A B B C C C ∠=︒===，，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A B C D 9.已知两定点()1,0A -和()1,0B ，动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（）A B C D 10.已知ABC ∆的三个内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2sin 126A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2a =，则ABC ∆的面积的最大值为（）A C D ．11.在1220182017a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数等于264，则()02a x e x dx +⎰等于（）A ．23e +B ．24e +C ．1e +D ．2e + 12.已知实数,x y 满足()()3ln 23ln 235x y x y x y -≤+-+-+，则（） A ．125 B ．145 C ．167 D ．187第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为．14.已知向量,a b 满足()2,3a a b a =-=-，则向量b 在a 方向上的投影为． 15. 已知直线(2)20,ax by a b -=>>0过圆224210x y x y +-++=的圆心，则4121a b +++的最小值为． 16.下列结论：①若00x y >>,，则“2x y +=2x =，且1y =”； ②存在1,0a x >>，使得log x a a x <；③若()f x 在[),a b 上连续且()0ba f x dx >⎰，则()f x 在[),ab 上恒正；④在锐角ABC ∆中，若()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则必有2A B =； ⑤平面上的动点P 到定点()1,0F 的距离比P 到y 轴的距离大1的点P 的轨迹方程为24y x =. 其中正确结论的序号为．(填写所有正确的结论序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设正项等比数列{}n a ，481a =，且23,a a 的等差中项为()1232a a +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若321log n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，n T 为数列{}n c 的前n 项和，若n T n λ<恒成立，求λ的取值范围.18. 四棱锥P ABCD -中，底面ABCD为矩形，2AB BC PA PB ==，.侧面PAB ⊥底面ABCD.（1）证明：PC BD ⊥；（2）设BD 与平面PAD 所成的角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值. 19.某地区某农产品近几年的产量统计如下表:（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程y bt a =+；（2）若近几年该农产品每千克的价格v (单位:元）与年产量y 满足的函数关系式为4.50.3v y =-，且每年该农产品都能售完.①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区()20187t =年该农产品的产量； ②当()17t t ≤≤为何值时，销售额S 最大？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n t y t y t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑，a y bt =-.20.已知点()1F ，圆(222:16F x y +=，点M 是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与线段2MF 交于点N . （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB '∆面积的最大值. 21.设函数()sin x f x e a x b =++.（1）当[)1,0,a x =∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；（2）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求a b 、的值.并证明当()0,x ∈+∞)时，()ln f x x >.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),P x y 是直线l 与圆面24cos 3πρθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭y +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知,,x y z 均为实数.（1）求证：432122x x x +≥+；（2）若236x y z ++=，求222x y z ++的最小值.试卷答案一、选择题1-5: DCBBB 6-10: ACCAB 11、12：AC 二、填空题 13. 1 14. 12 15.9416.①② 三、解答题17. （1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由题意，得()34121111813a a q a q a q a a q ⎧==⎪⎨+=+⎪⎩ 解得133a q =⎧⎨=⎩所以 113n n n a a q -==（2）由（1）得213log 321n n b n -==-，()()1212122n n n n n b b S n +-⎡⎤+⎣⎦=== ∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， ∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 若21n n T n n λ=<+恒成立，则()*121n N n λ>∈+恒成立，则max 121n λ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，所以13λ>.18.解：（1）证法一：设AB 中点为O ，连接PO ，由已知PA PB =，所以PO AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB 故PO ⊥平面ABCD以O 为原点，OP 为z 轴，OB 为y 轴，如图建立空间直角坐标系，并设PO h =，则()()))0,0,,0,1,0,,1,0P h B C D-所以()()2,1,,2,2,0PC h BD =-=-0PC BD ⋅=，所以PC BD ⊥.证法二：设AB 中点为O ，连接PO ，由已知PA PB =，所以PO AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB 故PO ⊥平面ABCD ，从而BD PO ⊥ ①在矩形ABCD 中，连接CO ，设CO 与BD 交于M ，则由::CD CB BC BO =知BCD OBC ∆∆，所以BCO CDB ∠=∠ 所以90BCM CBM CDB CBM ∠+∠=∠+∠=︒，故BD CO ⊥ ② 由①②知BD ⊥平面PCO 所以PC BD ⊥.（2）由AD AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，可得AD ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ，交线为PA过B 作BH PA ⊥，垂足为H ，则BH ⊥平面PADBD 与平面PAD 所成的角即为角BDH ∠所以BH =从而三角形PAB 为等边三角形，PO =（也可以用向量法求出PO ，设()0,0,P h ，则()())0,1,0,0,1,0,1,0A B D--，可求得平面PAD 的一个法向量为()0,,1p h =-，而()2,2,0BD =-，由c o s,s i n45p B D =︒可解得h =设平面BPC 的一个法向量为m ，则00m BP m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，()()0,1,3,2,0,0BP BC =-=，可取()m =设平面DPC 的一个法向量为n ，则00n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，()()2,1,3,0,2,0DP DC =-=，可取(3,0,n =-于是10cos ,m n =-，故二面角B PC D --的余弦值为. 19.解：（1）由题，123456 3.56t +++++==， 6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()()()()()()61 2.50.4 1.50.300.50.1 1.50.2 2.50.4 2.8ii i tty y =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯+⨯=∑，()()()()6222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5ii t t =-=-+-+-+++=∑所以 2.80.1617.5b ==，又a y bt =-，得70.16 3.5 6.44a =-⨯=，所以y 关于t 的线性回归方程为0.16 6.44y t =+.（2）①由（1）知0.16 6.44y t =+，当7t =时，0.167 6.447.56y =⨯+=，即2018年该农产品的产量为7. 56万吨.②当年产量为y 时，销售额()()3234.50.3100.3 4.510S y y y y =-⨯=-+⨯(万元），当7.5y =时，函数S 取得最大值，又因{}6.6,6.7,7,7.1,7.2,7.4,7.56y ∈，计算得当7.56y =，即7t =时，即2018年销售额最大.20.解：（1）由已知得：1NF NM =，所以1224NF NF MN NF +=+=又12F F =所以点N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点N 轨迹方程是22142x y +=.（2）当k 存在时，设直线():10AB y kx k =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()22,B x y '-，联立直线AB 与椭圆得22241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，得22(12420)k x kx ++-=， ∴()21221228140412212k k x x k x x k ⎧∆=+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩， ∴1212AB y y k x x '-=+，所以直线()121112:y y AB y y x x x x -'-=-+，所以令0x =，得122112x y x y y x x +=+，()()122112121211212x kx x kx kx x x x x x +++==+=++，所以直线AB '过定点()0,2Q ，（当k 不存在时仍适合）所以PAB '∆的面积12221212PQB PQA k S S S x x k '∆∆=-=+=+212k k=≤+k =时，等号成立.所以PAB '∆面积的最大值是2. 21．解：由()sin x f x e a x b =++，当1a =时，得()cos x f x e x '=+.当[)0,x ∈+∞时，[]1,cos 1,1x e x ≥∈-，且当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时 1x e >. 所以()cos 0x f x e x '=+>，即()f x 在[)0,+∞上单调递増，所以()()min 01f x f b ==+，由()0f x ≥恒成立，得10b +≥，所以1b ≥-. （2）由()sin x f x e a x b =++得 ()cos x f x e a x '=+，且()01f b =+.由题意得()001f e a '=+=，所以0a =. 又()0,1b +在切线10x y --=上.所以0110b ---=.所以2b =-. 所以()2x f x e =-.先证21x e x ->-，即10()0x e x x -->>，令()1()0x g e x x x =-->，则()10x x e g '=->，所以()g x 在()0,+∞是增函数.所以()0(0)g x g >=，即21x e x ->-.① 再证1ln x x -≥，即1ln 0(0)x x x --≥>，令()1ln x x x ϕ=--，则()111x x x xϕ-'=-=， ()0x ϕ'=时，1x =，()0x ϕ'>时，1x >，()0x ϕ'< 时，01x <<.所以()x ϕ在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()()min 10x ϕϕ==.即1ln 0x x --≥，所以1ln x x -≥.②由①②得2ln x e x ->，即()ln f x x >在()0,+∞上成立. 22．解：（1）∵圆C 的极坐标方程为24cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴2214cos 4cos 32πρρθρθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵222x y ρ=+，cos ,sin x y ρθρθ==，∴222x y x +=-，∴圆C 的普通方程为2220x y x ++-=（2）设z y =+，故圆C 的方程2220x y x ++-=()(2214x y ⇒++=，∴圆C的圆心是(-，半径是2，将112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入z y =+得z t =-，又∵直线l过(C -，圆C 的半径是2， ∴22t -≤≤，∴22t -≤-≤y +的取值范围是[]2,2-.23.证明：（1）法一：432)(22)1x x x ++-（ 3()(21)11)(x x x x =--+-3 121()()x x x =---3=()(1221)x x x x --+-2()[(1]2(1)1)x x x x =--+-2212()2()1x x x -++=2211()21022x x ⎡⎤⎛⎫=++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以432122x x x +≥+.法二：432)(22)1x x x ++-（ 43242221x x x x x =-++-+ ()()2222110x x x =-⋅+-≥，所以432122x x x +≥+.（2）证明：因为623x y z =++ (由柯西不等式得）所以222187x y z ++≥，当且仅当23y z x ==即369,,777x y z ===时，222x y z ++有最小值187.。

河南省中原名校高三数学下学期第一次联考试卷理(含解析)-人教版高三全册数学试题

中原名校2015-2016学年下期高三第一联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{|20152016},{20161}A x x B x x =-≤≤=-<，则AB =（）A ．(2015,2016)B ．(2015,2016]C ．[2015,2016)D ．(2016,2015)- 2、函数()11sin 2tan cos 2223f x x x π=+的最小正周期为（） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 3、已知复数z 满足23(2)1234(i z i i i i +=+++为虚数单位），则z 的共轭复数是（） A ．6255i + B ．6255i - C ．6255i -+ D ．6255i -- 4、“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3737S S +=，则31119a a +=（） A ．47 B ．73 C ．37 D ．746、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于,A B 两点，若OAB ∆的面积为133bc，则双曲线的离心率为（） A ．52 B ．53 C 13 D 13 7、某市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所示，已知12:00时至16:00时的销售额为90万元，则10时至12时销售为（）A ．120万元B ．100万元C ．80万元D ．60万元8、如图，在直角梯形ABCD 中，22,AB AD DC E ==为BC 边上一点，3,BC EC F =为AE 中点，则BF =（）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+9、运行如图所示的程序，若输入x 的值为256，则输出的y 值是（） A ．3 B ．-3C ．13 D ．13- 10、已知5511()()ax bx a b+-+的展开式中含2x 与3x 的项的系数的绝对值之比为1:6，则22a b +的最小值为（） A ．6 B ．9 C ．12 D ．1811、如图，1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点1111,,,,S A B C D 在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．916π B ．2516π C ．4916π D ．8116π 12、在数列{}n a 中，113,2n n a a a -==+ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 单调递增 C ．数列{}n a 先递减后递增 D ．数列{}n a 先递增后递减第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第二次联考理科数学试题(1)

一、单选题1. 若复数满足（是虚数单位），则在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.若圆与圆外切，则实数的值是（）A．B．C ．24D ．163. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称作陀罗，闽南语称为“干乐”，北方称为“冰尜”或“打老牛”，以前多用木头制成，现在多为塑料或金属制.玩时可用绳子缠绕，用力抽绳，使它起立旋转.现有一陀螺，其三视图如图所示，其中俯视图中的为正三角形，则该陀螺的体积为（）A．B．C．D．4. “φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若实数满足，则的最大值为（）A．B ．8C ．3D ．46.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 已知抛物线上一点，为其焦点，直线交抛物线的准线于点.且线段的中点为，则（）A．B．C．D．8. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（单位：cm 3）（）河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第二次联考理科数学试题(1)河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第二次联考理科数学试题(1)二、多选题三、填空题A．B．C．D ．39.已知函数，则下列说法正确的是（）A ．的值域为B ．的图像关于点中心对称C．的最小正周期为D．的增区间为（）10.已知是两个事件，且，则事件相互独立的充分条件可以是（）A．B．C．D．11.在中，D ，E 分别是线段BC 上的两个三等分点（D ，E 两点分别靠近B ，C 点），则下列说法正确的是（）A．B ．若F 为AE的中点，则C ．若，，，则D．若，且，则12.已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（）A ．是递增数列B．C ．当，或17时，取得最大值D．13.已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是__________．14. 已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，则的最小值为___________.15. 在正三棱柱中，D 为棱AB 的中点，与交于点E ，若，则CD与所成角的余弦值为___．四、解答题16. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．（1）求实数k的值并判断的单调性；（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．17. 如图，曲线G的方程为，.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，F为棱的中点，P为棱上一点．(1)求证：平面；(2)当P到平面的距离为时，求线段的长．19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点.（1）确定E的位置，使平面；（2）设，，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值.20. 发展清洁能源，是改善能源结构、保障能源安全、推进生态文明建设的重要任务.十三五以来，我国加快调整能源结构，减少煤炭消费、稳定油气供应、大幅增加清洁能源比重，风电、光伏等可再生能源发电效率不断提高.据资料整理统计我国从2015年到2019年的年光伏发电量如表：年份20152016201720182019编号x12345年光伏发395665117817752243电量（亿千瓦时）其中.（1）请用相关系数r说明是否可用线性回归模型拟合年光伏发电量y与x的关系；（2）建立年光伏发电量y关于x的线性回归方程，并预测2021年年光伏发电量（结果保留整数）.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为, ,21.已知的内角，，的对边分别为，，，且，．(1)求角；(2)若，，求的面积．。