高一数学上册§3.3 等差数列的前n项和(1)(学案)

高一数学上册§3.3 等差数列的前n 项和（1）（学案）

授课人：龙泉中学 肖雪

【学习目标】1.能推导等差数列前n 项和公式，并把握该公式的结构特征；

2.会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题；

3.通过公式的推导及运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维

规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法。

【学习重点】1.等差数列前n 项和公式的推导和公式意义特征的理解与把握；

2.前n 项和公式的熟练运用。

【学习过程】

一、学习准备：

1.等差数列的通项公式为：=a n

2.在等差数列{}n a 的性质：（1）若A,B,C 成等差，则B= ；

（2）若m+n=p+q,则 =+a a n m

3. 可能同学们在小学时就已经听老师讲过了高斯以下的故事：

大数学家、天文学家高斯读小学时（10岁时）,有一次老师有事，为了消磨时间给全班同学出了一道题目：计算1+2+…100=?”让老师没想不到的是，才过了两分钟,而且正当大家还在进行：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯却一口说出了答案： “1+2+3+…+100=5050！”他如此快速地得出了正确结论，使得老师和同学们既佩服又惊诧：“他是运用什么方法这么快就得出了结果？”

我们现在知道1，2，3，…，100，…就是我们刚学过的等差数列。求1+2+3+…+100等于多少就是求这个等差数列前100项的和。同学们可能已经知道了高斯所用的方法了。但他所用的方法是否对求任意的等差数列前n 项和都成立？我们今天就来研究这些问题。

二、自主探究

（一）公式的探究学习

1．高斯算法研究

阅读教材第128页后思考下面的问题。

想一想：（1） 高斯是用什么方法快速算出结果的？

（2） 这个方法用到了等差数列的哪一条性质？

（3） 若用高斯的算法计算1+ 2+3+4+5+……+n=？则要考虑些什么问题？

（4）高斯算法的实质是什么？若设S 100=1+2+3+…+100，你能否把高斯的算法过

程作些改进以避免以上问题？（由此看来，高斯的算法也不是最优的呢！）

提示：把

S 100=1+2+3+…+100倒过来写成S 100=100+=99+…+3+2+1再把两者结合起

来看。

2 . 等差数列前n 项和公式的探究

请利用你改进后的方法作下列计算：

1）1+ 2+3+4+5+……+999+1000=？ 2) 1+3+5……+9999+10001=？

3) 1+2+3+……+(n-1)+n= ？

一般地，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，如何求?321=++++=n n a a a a S 提示：我们通常会运用基本量思想，将各项用1a 和d 表示，得

+++++=)2()(111d a d a a S n ……+[d n a )1(1-+]再利用以上方法。

结论：等差数列{}n a 前n 项和的公式为：

=S n （1）

在公式（1）中。若用基本量1a 和d 替代

n a ，会得到公式的另一种形式为： =S n （2）

想一想：1. 公式（1）推导的方法是利用了等差数列的什么性质？根据推导方法的特点能否给他取个恰当的名字？

2．公式（1）、（2）各有何特征？

2．在什么条件下用公式（1）？在什么条件下用公式（2）？

3．你能写出公式（1）、（2）的几种变型形式吗？

（二）公式应用巩固

1.例题学习

请阅读教材第129-131页例1-例4.

要求：请认真审读完例题题目时，先独立解答，再看书上解题过程，并与自己的解答进行比较看谁的解答和解题叙述更好。

想一想：1.例1代表了那种类型的习题。它运用的是那个公式解答的？在用该公式时必须先知道什么？

2.例2代表了哪种类型的习题？是运用的那个公式解答的？在用该公式时必须先知道什么？解题的思路是什么？

3.例3代表了哪种类型的习题？解题步骤是什么？

4.例4代表了哪种类型的习题？解题的思路、方法是什么？

2，巩固练习

练习一. 计算：

（1） 2+4+6+......+2n （2）1+3+5+......+(2n-1)

（3） 1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

想一想：做第(3)小题有些什么方法？有什么需要特别注意的地方？

练习二. 教材第131页《练习》 第1题，第3、4、5、6题。

想一想：这几个练习题分别代表了哪几种类型？有何解题规律？

练习三.根据下列各题的条件，求相应的等差数列{a n }的有关未知数：

（1）1a =20，n a =54，n S =999，求d 及n ；

（2）d =

31，n =37，n S =629，求1a 及n a ； （3）d =2，n =15，n a =-10，求1a 及n S ；

（4）设n S 表示等差数列

{}n a 的前n 项和，且=9S 27，=n S 240，若294=-n a ，求项数n.

想一想：这几个练习题分别代表了哪种类型的习题？它有何解题规律？解题中用到了什么数学思想方法？

三、反思拓展

1.这节课学习了哪些知识？运用了哪些数学思想和方法？

2.我们知道，数列是一个特殊的函数。通项公式是关于项数n 的一次函数。从函数的观点来看，前n 项和公式是关于n 的什么函数？反之是否成立？ 这个问题同学们课后思考，下一节课上讲述你的研究成果。

【达标检测】（请补充，不要多，各个类型有一个即可，5个题为宜，主要检查本节内容学习情况）

【作业】 教材第132页习题的1，2，3题。

【资源链接】请阅读《步步高》第70-71页的“学法指导”，“考点一”“考点二”和“方法小结”。