八年级数学反比例函数的图象与性质2(1)

合集下载

八年级数学反比例函数的图象与性质2(1)

图象在一、三象限；在每一象限内，y 随x的增大而减少.
4 3 1 y ,y ,y x x x
图象在二、四象限；在每一象限内，y 随x的增大而增大.
通过对上述图象的观察，完成下列表格：
形状双曲线所在象限一、三象限增减性（在每随x的增大一象限内）而减少即是轴对称，对称性又是中心对称与x、y轴不相交是否相交
k 一次函数y=kx-k与反比例函数 y 在同一直角 x 坐标系内的图象大致是（）
C
A
B
C
D
Байду номын сангаас
先假设某个函数图象已经画好，再确定另外的是否符合条件.
1、分别举出具有下列特征的反比例函数： 2 、如图， P1、P2、P3是双曲线上的三点，（ 1 ）图象分布在第一、三象限；过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形（ 2）图象在每一个象限内，随x 的增大而增大 . △ P1A1O、△ P2A2O、 △ Py A O ，设他们的 3 3 面积分别是S1、S2、S3.则（ D ）
9.2反比例函数的图象与性质（2）
y
o
x
请画出下列6个反比例函数的图象：
1 1 4 4 3 3 y , y , y , y , y , y . x x x x x x
1 y x
1 y x
4 y x
4 y x
你能将这6个反比例函数图象进行分类吗？
4 3 1 y , y ,y x x x
k y (k 0) x
双曲线二、四象限
k y (k 0) x
随x的增大而增大即是轴对称，又是中心对称
不相交
反比例函数双曲线.
k y x

辅导讲义1(反比例函数图像及性质)

下列函数中，反比例函数有 ()11y -= ②11y x =+ ③21
y x
= ④13y x = ⑤()0k y k x =< 实战演练] ．如果函数2
22
k
k y kx +-=是反比例函数，那么k 的值为
为坐标原点. 已知反比例函数轴于点B ，且△AOB 的面积为，且AB ∥第14题图 B O A
4.（甘肃兰州）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点221k k y x
++=的图像上。

若点A 的坐标为（－2，－2），则k 的值为（）
A ．1
B ．－3
C ．4
D ．1或－3
y
B
第5题图第6题图
8.（福建福州）如图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是（ A ．2y x = B ．4y x = C ．3y x
=- D ．12y x =
9.（河北）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作P Q ∥x 轴交图象于点y 随x 的增大而增大
M
P Q
第
上的点（不与A、B重合）,过点
B OD面积是S2、△P OE
第15题图。

考点05 反比例函数的图像和性质(解析版)

考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式ky x=（k 是常数，k ≠0）kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为-1典例引领变式拓展故答案为：2．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领根据图象可知，114x x>+的解集是-正确的有②③；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．2．如图，点(1,2)A 和点(,)B a b 是反比例函数右侧，则下列说法中，不正确的是（A ．该反比例函数解析式B ．矩形OCBD 的面积为C ．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且【详解】解：根据题意，10k ->，解得1k <，∴0k =满足题意，故选：D ．变式拓展二、填空题三、解答题把上表中的坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的(1)请在该平面直角坐标系中作出(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y与x之间的函数关系，并求②求2y关于x的函数表达式；（2）①观察表格可知，1y 是x 设1k y x=，把()30,10代入得：1030k =，∴300k =，∴612x ≤≤．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式k y x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例引领【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，题关键．利用平行四边形的面积公式得出得出k 的值．【详解】∵将该函数图像向上平移x 【答案】52【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y 轴平行，()1,B m ，D【答案】8 yx =【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点是解题的关键．先根据坐标与图形得到A【答案】5 yx =-【分析】本题考查反比例函数图像的性质，键．变式拓展【答案】28【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，即可得出答案．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴90DAB ABC ∠∠==【答案】24a <<【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx=中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领A ．4-B ．6【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，题的关键．利用APC 与PBD 相似即可解决问题．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD ⊥PDB PCA ∴∠=∠，PD x 轴，BPD PAC ∴∠=∠，APC PBD ∴ ∽，∴AC PC PD BD=．二、填空题【答案】-3【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，的面积是是解答此题的关键．作AD OB ⊥OA =12OB ，然后通过证得AOD BOA ∽何意义即可求得k 的值．∵Rt OAB 中，30ABO ∠=︒，∴OA =12OB ，∵90ADO OAB ∠∠==︒，AOD BOA ∠∠=∴AOD BOA ∽，∴214AOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，【答案】5-【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接AB y ∥轴，得ABC 和AB y ∥轴，ABC ∴ 和AOB ∆关于AB 边上的高相等，52ABC AOB S S ∆∆∴==，根据反比例函数比例系数的几何意义得：变式拓展（1）用含m 的代数式表示（2）若3OMN S =△，则【答案】24m k =90OAB ∠=︒，∴N 点的横坐标为m ，反比例函数()0k y x x=>的图象过点N ，∴N 点的纵坐标为4m ， OME OAN S S =△△，OMN OME OAN MEAN MEAN S S S S S=+-=△△△梯形梯形，3OMN S =△，三、解答题【答案】(2,4)C 或(8,1)C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形设点8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过点∵点A 、C 在反比例函数∴1842AOE COF S S ∆∆==⨯=，当04m <<时，则AOE S ∆∴6ACFE AOC S S ∆==梯形，k=【答案】6【分析】本题考查了反比例函数⊥轴，垂足为点E，连接等．作AE x到三角形AOB的面积，两个面积之和为⊥轴，垂足为点【详解】解：作AE x，AE x⊥轴，AB AC=∴=，BE CE，=5OC OB(1)求k和m的値；(2)当8x≥时，求函数值【答案】(1)10k=，m(2)5 04y<≤．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领（1）若2k =，4b =-，则（2）若CE DE =，则b 与【答案】12k +【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，系是解此题的关键．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点⊥轴于点E，过点CB作BE x()DE=---=，证明AD∥132联立43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1131x y =-⎧⎨=⎩，2113x y =-⎧⎨=⎩，∴()3,1A -，()1,3B -，二、解答题(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接OA OB ，，求OAB 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式m kx b x+<【答案】(1)6y x =，y ＝x ＋1(2)52AOB S =对于1y x =+，当0y =时，=1x -；当0x =∴()1,0C -，()0,1D ∴1,OC =1,OD =∴111112*********AOB S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ （3）解：由图象可知：不等式m kx b x+<的解集为：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点【答案】(1)反比例函数解析式为y =(2)点E 坐标为()2,3-．变式拓展(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式【答案】(1)y x =--(2)6(3)<4x -或02x <<【分析】（1）先把点A 代入反比例函数解析式，即可求出（2）先求出直线y =-（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：∵(A(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求【答案】(1)一次函数解析式1y x 4=-(2)32ABE S =△【分析】（1）利用点A 的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点待定系数法可求出一次函数的解析式；当点P在BC上运动时，则PB∵2sin ==2PH B PB ，即PH =∴(1132822y DB PH =⋅=⨯⋅()304;x x ⎧≤≤由图像可得，函数图像有最大值为（3）解：根据函数图像可得：当【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求a ，k 的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式1102k x x+-≥的解集(3)如图2，直线CD 过点A ，与反比例函数图像交于点C ，与x 轴交于点,OA OC ，求OAC 的面积．【答案】(1)4a =，12k =；(2)4x ≥(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在y轴上取一点N，当(3)将直线1y向下平移2围．根据函数图象可得：当11．如图，在平面直角坐标系例函数2myx=（m为常数，且(1)求反比例函数与一次函数的解析式．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，坐标．【答案】(1)8 yx =(2)()4,2 C90∠=∠=∠=ABO BOE AEO∴四边形ABOE是矩形，∴==，OB AE2OE AB==45，∠=︒ADO∴ 是等腰直角三角形，AED∴==，DE AE4。

反比例函数的图象与性质(2)

反比例函数的图象与性质(2)
1.2 反比例函数的图象与性质（2）
复习题：
1．反比例函数的图象经过点（－1，2），那幺这个反比例函数的解析式为，图象在第象限，
它的图象关于成中心对称．
2．反比例函数的图象与正比例函数的图象
交于点A（1，m），则m＝，反比例函数的解析式为
，这两个图象的另一个交点坐标是．二、四原点2(－1,－2)
反比例函数的图象：ABCDABCD 减少每个象限增大每个象限
第三象限
第一象限-1.2-1.51.51.2
第二象限
第四象限1.21.5-1.5-1.2
1．用“＞”或“＜”填空：
（1）已知和是反比例函数的两对自变
量与函数的对应值．若，则．（2）已知和是反比例函数的两对自变
量与函数的对应值．若，则．>>>>
2．已知（），（），（）是反比例函数
的图象上的三个点，并且，则。

八年级数学反比例函数的图解和性质

三、练习
（一）填空

1、当m 时，反比例函数y=(1-2m)/x的图象在一、三象限。 2、若反比例函数y=K/x的图象在二、四象限，则直线y=kx-3不经过第象限。 3、当k>0时，反比例函数y=(k+1)/x的图象在象限。 4、当k<0时，反比例函数y=-k/x的图象在象限。 5、反比例函数y=（k2 +1）/x的图象在象限。
-2
2
-3
3
-6
6
6
-6
3
-3
2
-2
1.5
-1.5
… … …
Y=3/x … Y=-3/x …
-0.75 -1
0.75 1
-1.5 -3
1.5 3
3
-3
1.5
2
0.75
-1.5 -2 -0.75
… …
y y﹦6∕x y＝－6/x
y
o
x
o
x
gx = hx =
6 x 数的概念 1、什么是反比例函数？其自变量的取值范围是什么，你能说明为什么吗？ 2、试举出几个反比例的例子。
反比例函数定义：
形如Y=K/X（K≠0）的函数叫反比例函数。注意反比例函数的另两种形式：y=kx-1 xy=k (k≠0)
回顾：一般反比例函数解析式中有几个待定系数？需要几组X和Y 的对应值可以求出其解析式？例 1：已知Y与X的平方成反比例，并且当X=3时，Y=4；求X=6时， Y的值.
下列（）是函数y=kx-k和y=k/x的大致图象
y
o x
y y o x o x
y o
x
A
B
C

17.1.2反比例函数的图象和性质(第二课时)教学设计

第二课时一、教学目标知识与技能1、使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质2、能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题过程与方法体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的性质。

情感、态度与价值观体会分类讨论思想、数形结合思想的运用。

在动手作图中体会其中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯。

二、教学重、难点重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题难点：学会从图象上分析、解决问题三、教学准备多媒体，作图工具四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学过程(一)复习回顾，引入新课首先复习上节课所学的内容：1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？讲授新课：3、作函数图象的步骤：列表、描点、连线。

4、反比例函数图象和性质：①反比例函数的图象是由两支双曲线组成的（通常称为双曲线）。

②当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

③反比例函数的图象与坐标轴不相交，它们都不过原点。

④反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形；也是轴对称图形。

3、反比例函数x ky =的图象，当k>0时,在每一个象限内，y 的值随x 的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y 的值随x 的增大而增大。

此活动中，教师应重点关注： ①学生能否顺利地完成解答；②学生是否能将反比例函数的图象和性质结合起来理解。

(二)例题分析例1、已知反比例函数的图象经过点A （2，6）。

这个函数的图象分布在哪些象限？随自变量的增大如何变化？点B （3,4）、C （544,212--）和D （2，5）和是否在这个函数图象上？在此活动中教师应重点关注：①是否理解反比例函数解析式的确定就是值的确定；②点是否在图象上，只需将点的横、纵坐标代入解析式，看是否符合解析式，即可判断。

26.1.2 反比例函数的图象和性质人教版教案设计

《反比例函数的图象与性质》教学设计教学环节（二）师生活动类比探究1.例2 画出反比例函数6yx与12yx的图象。

（我们用什么方法画反比例函数的图象呢？有哪些步骤？）分析：所要画的图象是反比例函数的图象，自变量的取值范围是x≠0，怎样取值比较恰当呢？x…-12-6-4-3-2-11236yx…-1.5-26212yx…-1-2-4-6124观察反比例函数6yx与的图象，回答下列问题：(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化?你能由他们的解析式说明理由吗？(3)对于反比例函数(0)ky kx,考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？2.画一画：回顾我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(0)ky kx的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(0)ky kx的图象和性质吗？请你借鉴画反比例函数6yx的图象的经验，在同一平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并说一说该函数图象的特征。

3.想一想：反比例函数6yx与6yx的图象有什么共同特点？有什么不同点？不同点由什么决定？他们有什么联系？12yx6yx教学环节（四）师生活动基础闯关1.反比例函数5yx的图象大致是（）2.已知反比例函数4kyx若函数的图象位于第一三象限，则k_____________;若在每一象限内，y随x增大而增大,请写出一个符合条件的k的值：4.画出函数4yx的图象：(1)列表(填空)：(2)描点连线：(3)由图象可知，函数4yx也由条曲线组成，分别位于第象限，试猜想：3yx的图象位于第象限.x…-8 -5 -4 -2 -1 1 2 4 5 8 …y……设计意图检验学生对本课知识的掌握及应用情况。

通过练习，既培养学生思维的敏捷性，又激发学生的参与和竞争意识.在回答过程中，教师给予适当评讲，并积极调动学生的参与热情，让整个课堂充满活跃的气氛.教学环节（五）师生活动中考链接1.已知k<0,则函数12,ky kx yx在同一坐标系中的图象大致是( )思考：把条件“k<0”改为“k≠0”结果还是一样吗？2.已知反比例函数)0≠(kxky－=的图象在第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.函数kyx与)0≠(2kkkxy－=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）4.(2017江西)如图，直线)0≠(11kxky=与双曲线2(0)ky xx相交于点P(2,4).已知点A(4,0),B(0,3)，连接AB，将AOBRt△沿OP 方向平移，使点O移动到点P，得到''PBA△ .过点A'作'A C y轴交双曲线于点C。

《反比例函数的图象和性质》说课稿.doc

《反比例函数的图象和性质》说课稿以下是"反比例函数的图象和性质"(第一课时)说课稿，希望大家喜欢!一、教材分析：主要从地位与作用，教学目标，重点难点三方面进行阐述。

(一)地位与作用：本节教材是在学生理解反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学的，是本章学习的重点，为后面学习实际问题与反比例函数及画二次函数图象奠定基础。

(二)教学目标：根据课改"以学生为主体，激活课堂气氛，充分调动起学生参与教学过程"的精神。

在教学设计上，我设想通过使用多媒体课件创设情境，在掌握反比例函数相关知识的同时激发学生的学习兴趣和探究欲望，引导学生积极参与和主动探索。

因此把教学目标确定为：知识目标：学会用描点法作反比例函数的图象，能结合函数图象进行探索 . 理解并掌握反比例函数的性质。

能力目标：培养学生的作图能力，观察 . 分析 . 归纳能力，渗透数形结合的数学思想方法，逐步形成解决问题的一些基本策略。

情感目标：在动手实践 . 合作交流中，培养学生的团结协作精神，通过利用函数图象探索反比例函数的性质，让学生体验到数学活动中充满了探索与创造，培养了学生的创新意识。

(三)教学重点，难点：因为通过本节学习使学生会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质，所以确定本节的重点为：反比例函数图象的画法及探究反比例函数的性质;因为反比例函数的图象有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难。

据此确定本节课的难点为：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析.华罗庚教授曾深刻指出："数无形，少直观;形无数，难入微 . "为了突出重点、突破难点。

我让学生动手操作，积极参与并主动探索函数性质，利用多媒体教学帮助学生直观地理解反比例函数的性质二、教法学法分析( 一 ) 教法分析鉴于教材特点及八年级学生的年龄特点、心理特征和认知水平，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、小组讨论、合作探究相结合的教学方式.在课堂教学过程中努力贯彻"教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心"的教学思想，通过引导学生观察、分析和动手操作，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程.( 二 ) 学法分析在教学过程中，学生掌握一种方法远比学会一个知识点重要的多。

八年级数学反比例函数的图象和性质2

第五章
2.反比例函数的图象与性质
复习回顾
1.反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是一个怎样的图象？
反比例函数的图象是双曲线 2.反比例函数的图象的位置与k有怎样关系？
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
3 反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
x2
y1 A(x1,y1)
B(x2,y2)
y2
观察反比例函数 y 2 , y 4 , y 6
xxx
的图象，回答下列问题：
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一象限内，y的值随x值的增大而减小。
如果k=－2, －4,－6,那么函数的图象有又什么共同特征？
y
k x
不能与x轴、y轴相交。
因为x≠0，所以不与y轴相交；因为y ≠0，所以不与x轴相交。
结论：图像的两个分支无限接近x轴和 y轴，但永远不会与X轴、y轴相交。
4、将反比例函数的图象绕原点旋转 180°后，
5、将反比例函数的图象沿着直线y=x或直线y=-x折叠后，两部分图象能重合吗？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第四象限； x<0 时，图象在第二象限。
如果k=－2, －4,－6,那么函数的图象有又什么共同特征？
原力，使我们变成行义的人，以真诚涵摄了现实的人，则不足为奇的恋爱，因容纳而与恒河等长，生命因
观察反比例函数 y 2 , y 4 , y 6
xxx
的图象，回答下列问题：
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？第一、三象限内。

八年级暑假同步讲义：第15讲反比例函数的图像及性质

1 / 13反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x =，其中k是不等于0的常数．2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 称也叫做比例系数． 3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．反比例函数的图像及性质知识结构模块一：反比例函数的概念知识精讲内容分析2/ 13【例1】下列变化过程中的两个变量是否成反比例？为什么？（1）被除数为100，变量分别是除数r 和商q ；（2）三角形面积S 一定时，三角形一边上的长a 和这条边上的高h ；（3）一位男同学练习1000米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度v （米/秒）和跑完全程所用时间t （秒）；（4）完成工作量Q 一定时，完成工作量所需的时间t 与工人人数n （假设每个工人的工作效率相同）.【难度】★【例2】一个长方体的体积是20 cm 3，它的长是y cm ，宽是5 cm ，高是x cm .写出长y 与高x 之间的函数关系式. 【难度】★【例3】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？（1）23y x = (2) 1y x -= (3) 3xy =（4）3y x = （5）27y x =+ （6）y =8x +7【难度】★【例4】已知y 是x 的反比例函数，且3x =-时，2y =，那么y 关于x 的函数解析式是________．【难度】★例题解析【例5】已知y4x =时，2y =-，求y 与x 的函数解析式．【难度】★【例6】若函数231(2)m m y m x -+=-是反比例函数，则m 的值为________．【难度】★★【例7】如果2212n n n n y x+++=是反比例函数，那么n 的值是________．【难度】★★【例8】已知y 是x的反比例函数，且当2x =时，2y =，那么当1y =+时，x的值是________．【难度】★★【例9】如果变量1x和变量y 成正比例，变量1y 和变量z 成反比例，那么变量x 和z 成________比例关系．【难度】★★【例10】已知反比例函数22++=k xk y ，求k 的值，并求当x =2时的函数值【难度】★★【例11】已知12y y y =+，若1y 与x 正比例，2y 与x 成反比例函数，且当2x =时，14y =，当3x =时，1293y =，求y 与x 间的函数关系式．【难度】★★【例12】已知12y y y =+，若1y 与1x -正比例，2y 与1x +成反比例，且当0x =时5y =-，当2x =时1y =；（1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当3y =-时，x 的值．【难度】★★★【例13】已知：正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数，且正比例函数的图像过点-，求反比例函数的解析式．【难度】★★★5 / 13二、反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支．三、反比例函数的性质 1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．【例14】已知反比例函数8y x =和8y x=- 列表：取自变量x 的一些值，根据反比例函数的解析式，填写下表x ...... (8)y x =…… …… 8y x=-…………描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接【难度】★例题解析知识精讲模块二：反比例函数的图像和性质【例15】已知反比例函数3y x=-，那么当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________．【难度】★【例16】若反比例函数的图像经过点(25)-，，那么函数图像在________象限．【难度】★【例17】已知反比例函数2k y x-=，其图象在第一、第三象限内，则k 的取值范围是________．【难度】★【例18】函数135k y x --=的图像在一、三象限，那么k 的取值范围是________．【难度】★【例19】已知函数ky x=的图象不经过第一、三象限，则y kx =-的图象经过第_______象限．【难度】★★【例20】反比例函数25(2)m y m x -=+在它的图像所在的每个象限内，y 随x 的增大而_______．【难度】★★【例21】如果反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像在第二、四象限，那么正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过哪几个象限？【难度】★★【例22】若正比例函数(0)y kx k =≠，与反比例函数(0)my m x=≠的图像没有交点，那么k 与m 满足关系式可以是________．【难度】★★【例23】已知反比例函数1y x=-的图像上有两点11()A x y ，、22()B x y ，，且12x x <，那么下列结论正确的是（）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．1y 与2y 的大小关系无法确定【难度】★★【例24】反比例函数4y x=-的图像上一点的横坐标是3，那么这点到x 轴的距离是________．【难度】★★【例25】已知反比例函数21k y x+= （1）若该函数图像经过点(21)-，，求k 的值；（2）若该函数图像在每一象限内y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．【难度】★★【例26】直线y kx =(k ＞0)与双曲线交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，求122127x y x y -的值．【难度】★★【例27】反比例函数2y x=的图像上一点A ，过A 点分别作x 轴、y 轴垂线，垂足为B 、C ；（1）求矩形ABOC 的面积；（2）当点A 沿双曲线移动时（1）中矩形面积有变化吗？为什么？【难度】★★xy 4=【例28】已知：点A 、B 是函数3y x=-图像上关于原点对称的任意两点，AC ∥y 轴， BC ∥x 轴，求△ABC 的面积．【难度】★★★【例29】反比例函数xky =(0)k <的图像经过点()A m ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ， △AOB 的面积为3，求k 和m 的值．【难度】★★★【例30】已知：反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A ，B 两点，若点A 在第二象限，且点A 的横坐标为-3，且AD ⊥x 轴，垂足为D ，△AOD 的面积是4．（1）写出反比例函数的解析式；（2）求出点B 的坐标；（3）若点C 的坐标为（6，0），求△ABC 的面积．【难度】★★★9 / 13【习题1】下列问题中的两个变量是否成反比例？如果是，可以用怎样的数学式来表示？（1）平行四边形的面积为20平方厘米，变量分别是平行四边形的一条边长a （厘米）和这条边上的高h （厘米）；（2）一位男同学练习一千米长跑，变量分别是男生跑步的的平均速度v （米秒）和跑完全程所用时间t （秒）. 【难度】★【习题2】下列函数是不是反比例函数？为什么？（1）13y x =-；（2）4xy =；（3）15y x =-；（4）2(0)ay a a x =≠为常数，；（5）1y x π= ；（6）21y x = ．【难度】★【习题3】若函数223()k k y k k x --=+是反比例函数，则k 的值是________．【难度】★随堂检测【习题4】在同一平面直角坐标系内，分别画出下列函数的图像．（1）4y x =；（2）4y x =-．求：（1）这两个函数的图像分别位于哪几个象限内？（2）在每一象限内，随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大，纵坐标y 是怎样变化的？（3）图像的每支都向两方无限延伸，它们可能与x 轴、y 轴相交吗？为什么？【难度】★★【习题5】已知正比例函数y kx =与反比例函数xky -=6图像的一个交点坐标是（1，3），则反比例函数的解析式是________．【难度】★★【习题6】已知反比例函数xk y 1+=，11()x y ，、22()x y ，为其图像上的两点，若当120x x <<时，12y y >，则k 的取值范围是________．【难度】★★【习题7】若点(34)，是反比例函数221m m y x++=图像上一点，则此函数图像必经过点（） A .(34)-， B .(26)-， C .(43)-， D . (26)，【难度】★★【习题8】已知M 是反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点，MA x ⊥轴于点A ，若 4AOMS =V ，则这个反比例函数的解析式是（）A ．8y x =； B ．8y x =-； C ．8y x =或8y x =-； D ．4y x =或4y x=-. 【难度】★★11 / 13八年级暑假班【习题9】已知122y y y =+，若1y 与(1)x +正比例，2y 与x 成反比例函数，且当1x =时，1y =-；当3x =-时，3y =，求y 与x 间的函数关系式．【难度】★★【习题10】已知第三象限内的点B （3m ，m ）在反比例函数的图像上，且10OB =，而点A （1，y ）也在双曲线上，求反比例函数的解析式，并求出△AOB 的面积．【难度】★★★【习题11】 11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点P 1、P 2在4y x=（x ＞0）的图像上，斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，求点A 2的坐标．【难度】★★★【习题12】两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图像如图所示，点P 在k y x=的图像上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图像于点B ，当点P 在ky x=的图像上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形P AOB 的面积不会发生变化； ③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．【难度】★★★班假暑级年八12/ 13【作业1】反比例函数ay x=的图像在第二、四象限，则a ________．【难度】★【作业2】当n =________时，函数224(3)n n y n x --=-是反比例函数．【难度】★【作业3】函数21(1)m y m x -=-是反比例函数，且图像经过第二、四象限，则m =________．【难度】★【作业4】已知反比例函数13ky x-=，当k ________时，它的图像在第二、四象限，此时，在每个象限内，y 随x 的增大而________．【难度】★【作业5】已知长方形的面积为20平方厘米，它的一边长为x 厘米，求这个边的邻边长y （厘米）关于x （厘米）的函数解析式，并写出这个函数的定义域．【难度】★★【作业6】反比例函数ky x=的图像上有两点111()p x y ，，222(,)p x y ，若120x x <<，12y y >，则k ________0，图像经过第________象限．【难度】★★课后作业【作业7】在平面直角坐标系内，从反比例函数ky x=(0)k ≠上一点作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴围成面积为3的矩形，求函数解析式．【难度】★★【作业8】（1）已知y 与2x -成反比例，当4x =时，3y =，求5x =时，y 的值；（2）已知y 与2x 成反比例，并当3x =时，2y =，求 1.5x =时，y 的值．【难度】★★【作业9】已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与2x 成反比例，当2x =与3x =时，19y =，求y 关于x 的函数解析式．【难度】★★★【作业10】点A 是反比例函数6y x=的图像上的一点，AB ⊥y 轴于点B ，求△AOB 的面积．【难度】★★★。

6.2反比例函数的图象与性质(二1)

总结串联
k 你能试着说说反比例函数 y 的共同特征吗？ x
k 反比例函数 y 的图象 x 当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
实际运用巩固新知
1 1 1.下列函数： ① y ；② y 2 x x 3 ③ y ； x
1 2.已知点A（-1， y1）、B（-2，y2 ）在双曲线 y x 上，则 y y(填“>、<或=”）．
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分层达标评价矫正
B层：
(2, y1 )、 (1, y2 )、（-1, y3）、(-2, y4 ) 1 都在反比例函数 y x 的图象上，比
已知
y3 与 y4 的大小．较 y1 、 y2 、
（3）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
k 考察当K=-2，-4，-6时，反比例函数 y x 的图象，回答下列问题：
设问质疑探究尝试
（ 1 ）函数图象分别位于哪几个象限内？（ 2 ）在每一个象限内，随着 x值的增大， y的值（ 3 ）反比例函数的图象可能与 x轴相交吗？是怎样变化的？能说明这是为什么吗？可能与y轴相交吗？为什么？
④ ；
7 y x
中
（1）图象位于二、四象限的有（2）在每一象限内，随的增大而增大的有（3）在每一象限内，随的增大而减小的有
；；．
实际运用巩固新知
m2 y 2.若函数 x
y 随 x的的图象在其象限内，
．
增大而增大，则 m的取值范围是
B( x2, y2 )
实际运用巩固新知
3.点 A( x1, y1 )

反比例函数的图象与性质

第2课时§反比例函数的图象与性质教学目标1、进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作反比例函数的图象2、体会函数的三种表示方法的相互转换,对函数进行认识上的整合3、逐步提高从函数图象中获得信息的能力,探索并掌握反比例函数的主要性质教学重点和难点重点：反比例函数图象的性质难点：反比例函数图象的性质教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题在七、八年级的时候,我们学习了一次函数、正比例函数的图象和性质;这节课,我们来学习反比例函数的图象和性质;二、师生共同研究形成概念1、复习旧知识复习一次函数、正比例函数的图象和性质、复习象限、作函数图象的一般步骤;2、作反比例函数的图象☆做一做书本P 134 作反比例函数图象学生第一次作这样的图象,先让学生自己尝试作图,然后再讲解;列表：给出自变量的一系列数值,由关系式算出相应的因变量的值；描点：以所列表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出相应的点；连线：用光滑的曲线顺次连结各点3、注意点☆议一议书本P 135 议一议这里应结合学生的体会进行讨论;1）列表时,自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对数值,这样既可简化计算,又便于描点；2）列表、描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样方便连线;1）如果在列表时所选取的数值不同,那么图象的形状是否相同2）连线时能否连成折线为什么必须用光滑的曲线连接各点3）曲线的发展趋势如何☆ 想一想书本P 135 想一想1）图象分别都是由两支曲线组成的；2）它们都不与坐标轴相交；3）两个函数图象自身都是轴对称图形；4）它们各自都有两条对称轴;4、讲解例题例1 作出下列反比例函数的图象; 1x y 2=； 2x y 3=； 3x y 2-=； 4xy 3-=; 分析：四个小组每个小组作一个,为下面讲解函数的性质作准备;5、反比例函数的图象的性质反比例函数xk y =的图象是由两支曲线组成的; 当0>k 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当0<k 时,两支曲线分别位于第二、四象限内6、讲解例题例2 已知反比例函数的图象经过点2 ,3;1求反比例函数的解析式；2判断点3-,2-是否在函数图象上；3判断点1-,6是否在函数图象上；4点1 ,a 在图象上,求a ;三、随堂练习1、书本 P 136、139 随堂练习2、练习册 P 44四、小结反比例函数图象的画法及性质;五、作业书本 P 141 习题六、教学后记。

八年级数学反比例函数的图象与性质2(1)