【人教版】2020届高三数学上学期期中联考试题文新人教版

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高三数学第一次联考试题文试题

卜人入州八九几市潮王学校局部重点2021届高三第一次联考文科数学考试时间是是：2021年11月l3日下午3：00—5：00试卷总分值是：150分一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，1．不等式12035x x ->+的解集是 A ．31(,)52-B ．1(,)2+∞ C ．31(,)(,)52-∞-+∞D ．13(,)(,)25-∞-+∞ 2．假设2tan ,0(2)log (),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，那么(2)(2)4f f π+⋅-=A ．1-B ．1C ．2D ．2-3．函数()y g x =的图象如以下列图所示，那么函数0.3log ()y g x =的图象大致是4．将容量为100样本数据，按由小到大的顺序排列后，分成8组，如下表所示那么第3组的频率和累积频率分别为 A ． B ．114和137C ．0.03和0.06D ．314和6375．E 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足0PA PB PC ++=，设||||AP PE λ=，那么λ名的值是A ．2B ．1C ．12D6．设,αβ是两个不重合的平面，在以下条件中，可判断平面,αβ平行的是A ．,m n 是平面α内两条直线，且m β，n βB ．,αβ都垂直与平面γC ．α内不一共线的三点到β的间隔相等D ．,m n 是两条异面直线，,m n αβ⊂⊂，且m β，n α7．向量1(cos ,)2aθ=，那么cos 2θ等于A 32B ．14-C ．12-D ．128．设32()log (f x x x =+，那么对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．设O 为坐标原点，点(4,3)A ，点(,0)B x 在x 轴正半轴上挪动，()l x 表示AB 的长，那么△ABC 中两边长的比值()xl x 的最大值为 A ．43B ．34C ．35D ．5310．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个程度放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球〔小球的半径不计〕，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是A ．4aB ．2()a c -C ．2()a c +D ．以上答案均有可能二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分，把答案填在答题卡相应位置上． 11．采用简单随机抽样，从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a 前三次未被抽到，第四次被抽到的概率为．12．以下列图〔1〕中的图像对应的函数为y=f(x)，那么以下列图〔2〕中的图像对应的函数()y f x =在以下给出的四个式子中，只可能是．〔请填上你认为正确之答案的序号〕①(||)y f x =②|()|y f x =③(||)y f x =-④(||)y f x =-13．数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，那么n a =14．A 、B 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，满足2AF FB =，3||OABSAB =，那么p 的值是15．双曲函数是一类在物理学上具有非常广泛应用的函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质，下面给出双曲函数的定义：双曲正弦函数：2x xe e shx --=，双曲余弦函数：2x xe e chx -+=，那么函数2()y chx shx =+的值域为．三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 16．〔本小题总分值是12分〕函数2()23sin sin 23f x x x =-++．〔1〕求函数()f x 的最小正周期和最小值；〔2〕在给出的直角坐标系中，用描点法画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图像．17．〔本小题总分值是12分〕如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正力形，∠PAD=900，且PA=AD=2，E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点。

北京市第四中学2020届高三上学期期中测试数学试题含答案

参考答案A C A BB C B D D B 11．2-；12．13；13．1；14．5，10；15．]2,1()1,21[ ；16．2，()2311]332n k a n ππ+=-+（k ∈N ）．17．解：（Ⅰ）bx x x a x f ++-⋅=23cos 3cos (sin )(2bx x a +++⨯-⨯=2322cos 132sin 21(=b x a +-⋅)32sin(π………4分)(,,0x f R x a ∈> 的递减区间是)](1211,125[Zk k k ∈++ππππ…………6分（Ⅱ）32,3[32],0[2]2,0[πππππ-∈-∴∈∴∈x x x ]1,23[)32sin(-∈-∴πx ∴函数)(x f 的最小值是223-=+-b a ，最大值3=+b a 解得23,2-==b a …………………13分18．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由已知得3162q =，解得2q =，则112n n n a a q -==；…………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得38a =，532a =，则38b =，532b =，设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11612b d =-⎧⎨=⎩，从而1612(1)1228n b n n =-+-=-，则{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-．…………………13分19．解：（Ⅰ）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时该企业每年消耗的电费，由,得，则；…………………6分（Ⅱ）因为18000.5(5) 2.5 2.557.55F x x =++-≥=+，当且仅当，即时取等号，即当为55平方米时,取得最小值为57.5万元．…………………13分20．解：（Ⅰ）因为2cos cos c b B a A -=，所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=．在△ABC 中，sin 0C ≠．所以1cos 2A =，3A π∠=；…………………7分（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a =所以2220220b c bc bc +-=≥-，所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=”．所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤．所以三角形面积的最大值为．…………………13分21．解：（Ⅰ）函数1()ln 1a f x x ax x-=-+-()a ∈R ，定义域：(0,)+∞，………………1分2222111(1)(1)()a ax x a x ax a f x a x x x x --++---+-'=--==………………2分（1）当0a =时，21()x f x x-'=，令()0f x '=，则1x =，则有，x(0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x ]极小值Z 则此时()f x 的单增区间：(1,)+∞，单减区间：(0,1)，………………3分（2）当0a ≠时，21(1)()()a a x x a f x x ----'=，令()0f x '=，则1x =或1a x a -=，则有，①当0a <时，111(0,)a x a a-==-∉+∞，则有，x(0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x ]极小值Z 则此时()f x 的单增区间：(1,)+∞，单减区间：(0,1)，………………5分②当102a <<时，1111a x a a -==->，则有，x(0,1)11(1,1)a -11a -1(1,)a -+∞()f x '-0+0-()f x ]极小值Z 极大值]则此时()f x 的单增区间：1(1,1)a -，单减区间：(0,1)，1(1,)a -+∞，……………7分③当12a =时，221(1)2()0x f x x --'=≤，当且仅当1x =时，等号成立，……………8分则此时()f x 的单减区间：(0,)+∞，综上所述：当0a ≤时，()f x 的单增区间：(1,)+∞，单减区间：(0,1)，当102a <<时，()f x 的单增区间：1(1,1)a -，单减区间：(0,1)，1(1,)a -+∞，当12a =时，()f x 的单减区间：(0,)+∞，……………9分（Ⅱ）当14a =时，由（Ⅰ）得x(0,1)1(1,2)()f x '-0+()f x ]极小值Z 则有min 1()(1)2f x f ==-，………………10分由题知：只需存在[]1,2x ∈，使21()242g x x bx =-+≤-即可，……………11分则有存在[]1,2x ∈，使922b x x ≥+，当[]1,2x ∈时，29922(10x x x'+=-<恒成立，∴917112[,]42x x +∈，则有1724b ≥，……………13分∴178b ≥．………………14分22．解：（Ⅰ）数对(1,2)是的“友好数对”，按如下方式填表：第1行0369 (2)14710…第3行25811…数对(1,3)不是的“友好数对”，理由如下：取n =0，则0，0+1=1，0+3=3不同行，不妨0在第一行，1在第二行，3在第三行.取n =1，则1，1+1=2，1+3=4不同行，所以2，4均不在第二行，且在不同行；取n =3，则3，3+1=4，3+3=4不同行，即4不在第三行，所以4在第一行，因为1,2,4不同行，所以2在第三行，即2与3同行.又取n =2，则2，2+1=3，2+3=5不同行，矛盾；（Ⅱ）存在满足条件的正整数，使得数对( , )是的“友好数对”.取 =6，按如下方式填表：第1行01291011 (2)345121314…第3行678151617…（第1行填写被9除余0，1，2的数，第2行填写被9除3，4，5的数，第3行填写被9除6，7，8的数.）（Ⅲ） =2 .。

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2020届高三上学期期中考试数学(文)试题

2019年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学（文科）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足121ii z -=+，则z =（）ABCD2．若函数()f x =与()()ln 1g x x =+的定义域分别为M 和N ，则M N =（） A ．{}11x x -<< B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<≤D ．{}11x x -≤≤3．已知0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 0.2b =，b c a =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<4．已知等差数列{}n a 的前3项和为30，后3项和为90，且前n 项和为200，则n =（） A ．9 B ．10C ．11D ．125．函数()1ln 1xf x x -=+的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．6．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知145a =，112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤，则2020S =（） A ．1009 B ．50485C ．1010D ．505457．已知()0,πα∈，且3sin 5α=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．17-B ．7C ．17-或7- D ．17或7 8．若非零向量a 、b 满足a b =且()2a b b +⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6 9．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为自豪的发现．现有一底面半径与高的比值为1:2的圆柱，则该圆柱的体积与其内切球的体积之比为（）A ．43B ．32C ．2D ．8310．已知O 、A 、B 为平面内三点，满足5OA OB ==，点C 在直线AB 上，且min 3OC =，则()tOA OB t +∈R 的最小值为（）A ．245 B ．4 C ．165 D ．12511．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c o s b c B B a +=，3b =，点D 是ABC △的重心，AD =ABC △的外接圆半径为（）AB ．3C D12．已知函数212y x =的图象在点2001,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线为直线l ，若直线l 与函数ln y x =，()0,1x ∈的图象相切，则0x 必满足条件（）A ．001x <<B ．01x <<C 0x <D 02x < 二、填空题：13．曲线()20x y x e --=在点()0,2-处的切线方程为________．14．若函数()2ln f x mx x x =+-在定义域内有递减区间，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()π3f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤对x ∀∈R 恒成立，且()π2f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是________． 16．若m 、n 表示直线，α、β、γ表示不同平面，下列四个命题：①m αβ=，n α⊂，m n ⊥，则αβ⊥；②m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；③m αγ=，n βγ=，m n ∥，则αβ∥；④m αβ=，n 与α、β所成的角相等，则m n ⊥．其中真命题的有________．（请填入编号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，每个试题考生都必须作答．17．设命题p ：不等式2515x x a a ++->-对x ∀∈R 恒成立；命题q ：方程2680ax x a -+-=有两不同正根．当命题p 和命题q 不都为假命题时，求实数a 的取值范围．18．已知正项等差数列{}n a 满足259a a +=，3420a a ⋅=，等比数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S c =-，其中c 是常数．（1）求c 以及数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．在三角形ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且)3sin sin 2BB B +=．（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC △面积的最大值．20．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且π3ABC ∠=，E 是DP 中点．（1）证明：PB ∥平面ACE ；（2）若AP PB =2AB PC ==，求三棱锥C PAE -的体积．21．为庆祝建国70周年，某高中准备设计一副宣传画，要求画面面积为24840cm ，画面高与宽的比为()1a a <，画的上下部分各留出5cm 的空白，左右部分各留出8cm 的空白．（1）当25a =时，该宣传画的高和宽分别为多少？（2）如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张面积最小，并求出此时a 的值．22．已知函数()sin f x ax x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其中a 为常数．（1）若函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求a 的取值范围；（2）当1a ≤时，证明：()316f x x ≤．2019年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高三数学（文科）参考答案13．x ＋y ＋2＝0 14．1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 15．2,36k k ππ⎡⎤-+π-+π⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 16．②三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．∵|x ＋5|＋|x-1|≥6，∴a 2-5a-6＜0，解得-1＜a ＜6；∵方程ax 2-6x ＋a-8＝0有两不同正根，∴a ≠0，利用判别式和韦达定理可得：()1212364806080a a x x a a x x a ⎧-->⎪⎪⎪+=>⎨⎪⎪-⋅=>⎪⎩解得8＜a ＜9， ∵p ∨q 为真，∴a ∈（-1,6）∪（8,9）．18．（1）∵数列{a n }为正项等差数列，∴公差d ＞0，∵a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝9，又a 3·a 4＝20，∴a 3＝4，a 4＝5，即可得a n ＝n ＋1；∵S n ＝2n -c …①当n ＝1时，b 1＝2-c ，当n ≥2时，S n-1＝2n-1-c …②①-②即可得b n ＝2n-1，n ≥2，又∵{b n }为等比数列，∴b 1＝20＝1＝2-c ，即可得c ＝1，∴b n ＝2n-1，n ∈N *；（2）由题意得c n ＝（n ＋1）2n-1，T n ＝2·20＋3·21＋…＋（n ＋1）·2n-12T n ＝2·21＋…＋n ·2n-1＋（n ＋1）·2n-T n ＝2＋21＋22＋…＋2n-1-（n ＋1）·2nT n ＝n ·2n19．（123cos sin 2B B B +=12cos 212B B -=， ∴sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝，即可得262B ππ-=，∴3B π=；（2）∵b 3B π=，由余弦定理得2231cos 22a c B ac +-==，即可得a 2＋c ＝3＋ac ≥2ac ，∴ac ≤3，∴11sin 322ABC S ac B =≤⋅=△ 20．（1）连接BD 交AC于F ，连接EF∵四边形ABCD 为菱形，∴F 为AC 中点，那么EF ∥PB又∵EF ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴PB ∥平面ACE ；（2）由勾股定理易知AP ⊥BP 且△ABC 为正三角形，∵E 为DP中点，∴12C PAE P ACD V V --=，取AB 中点M ，连接PM 、CM ，由几何性质可知PM ＝1，CM =又∵PC ＝2，∴PC 2＝PM 2＋MC 2，即PM ⊥MC ，∵PM ⊥AB ，∴PM ⊥平面ABCD ，∴111232P ACD V -=⋅⋅⋅，∴12C PAE P ACD V V --==． 21．（1）设画面的高为2x cm ，则宽5x cm ，由题意得10x 2＝4840，解得x ＝22， ∴该画的高为：44＋10＝54 cm ，宽为：110＋16＝126 cm ；（2）设画面的高为x cm ，则宽为4840cm x ，根据题意得 ()48401016S x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4840050001650006760x x =++≥+= 当且仅当484016x x =即x ＝55时等号成立，此时宽为484088x =， ∴555888a ==． 22．（1）求导得f'（x ）＝a-cosx ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ①当f （x ）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调递减函数时，即f'（x ）＝a-cosx ≤0恒成立，又∵cosx ∈[0,1]，∴a ≤（cosx ）min ＝0；②当f （x ）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调递增函数时，即f'（x ）＝a-cosx ≥0恒成立，又∵cosx ∈[0,1]，∴a ≥（cosx ）max ＝1；综上所述：当a ≤0时，f （x ）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调递减函数；当a ≥1时，f （x ）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调递增函数；（2）要证()316f x x ≤，只需证31sin 06ax x x --≤恒成立，令()31sin 6g x ax x x =--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()21cos 2g x a x x '=--，令()21cos 2h x a x x =--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则h'（x ）＝sinx-x ，易证当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sinx ≤x ， ∴h'（x ）＜0，即h （x ）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减， ∴h （x ）≤h （0）＝a-1≤0，即g'（x ）≤0，∴g （x ）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，∴g （x ）≤g （0）＝0即31sin 06ax x x --≤，命题得证．（方法不唯一，酌情给分）。

福建省百校2024届高三上学期期中联考数学试卷(含解析)

福建省百校2024届高三上学期期中联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．图中的阴影部分表示的集合为( )A. B. C. D.2．若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．函数的部分图象为( )A.B.C.D.4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度（单位：米）约为( )A B C()U A B C ð()U A B C ð()U A B Cð1Z 2Z 12Z Z -1Z 2Z ()21cos 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭A.3B.4C.D.5．已知数列满足，且，若，则正整数k 为( )A.13B.12C.11D.10.点P在线段CD 上，则的取值范围是( )A. B. C. D.7．已知直线是函数图像相邻的两条对称轴，将的图像.若在上恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知，，，则( )A. B. C. D.二、多项选择题9．设正实数a ，b 满足，则下列说法正确的是( )的最小值为2D.的最小值为210．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则( ))61)31{}n a 1112n n n n n a a a a ++--=21a =-816k a a =2PA PB ⋅[]1,2-2⎤⎦[]3,4[]1,0-x =4π3x =()()π4sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(f x ()g x ()g x (),m m -7π11π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦7π13π,1212⎛⎤⎥⎝⎦5π13π,1212⎛⎤⎥⎝⎦5π11π,1212⎛⎤⎥⎝⎦0.11a e = 1.11.1b = 1.11c =a b c>>a c b>>b a c>>b c a>>2a b +=22a b +()()π2sin ,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f xA ．函数在上单调递增BC.函数的图象关于点成中心对称D.函数在上单调递减11．如图，在长方体中，E ，F 分别是棱，的中点，点P 在侧面内，且，，则三棱锥外接球表面积的取值可能是( )A. B. C. D.12．已知数列满足，，则下列说法正确的有( )B.C.若D.三、填空题13．已知，则______.()f x 3π,π2⎛⎫-- ⎪⎝⎭()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2021π2023π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -1224AD AB AA ===AD 11B C 11A ADD (BE BP yBF x x =+)y ∈R 1P BB F -10π20π12π44π{}n a 11a =()12ln 11n n n a a a +=++5<2211n n n a a a +-≤+2n ≥1111n i i a =≤<+∑()()1ln 121ln 2nn i i a =+≤-∑πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,44⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭14．已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为______.15．已知数列，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______.四、双空题16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点.”在ABC 中，，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，则______；若的最大值为______.五、解答题17．已知函数，将个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称.（1）求函数的解析式；（2）若关于x 的方程在上恰有两个实数根，求实数a 的取值范围.18．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m 的最小值，若不存在说明理由.19．设数列前n 项和满足.a bb =π,3b =()a b a -⊥ a b{n a ()2222n na a n n *+++=∈N L ()214n n b a n n λ=--+{}n b λ60A =︒1O 2O 3O 13O AO ∠=12O O O ()()()π2cos 22x x f x ϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭(f x ()f x ()f x a =π5,π612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()ln 1x a a f x x =-+∈R ()f x 2a =-()m m *∈N ()()1f x m x ≤+{}n a n S n n S a +=*∈N（1）证明：数列为等比数列；，求数列的前n 项和.20．如图，在四棱锥中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，，平面平面ABCD .（1）证明：平面平面PAB ；（2）若，，，直线PB 与平面MCD 所成角的正弦值为的体积.21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE .（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时的值.22．已知函数.11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭11n S n =-+()()111n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭n T P ABCD -PD AB ⊥PAD ⊥CDM ⊥//AD BC 24AD BC =<2AB =MCD -()()()sin 0,0,0,πy A x A ωϕωϕ=+>>∈[]4,0x ∈-()1,2B -//CD EF POE θ∠=θ()sin cos f x x x x =+（1）求在的单调区间与最值；（2）当，证明：有且仅有两个零点. ()f x[]π,πx∈-a>()()212g x f x ax=-()g x参考答案1．答案：B解析：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是B 的元素，也是A 的元素，不是C 的元素”，故阴影部分所表示的集合是.故选：B.2．答案：D解析：先验证充分性：令，满足是纯虚数，但是不满足，互为共轨复数，所以充分性不成立；再验证必要性：令，满足，互为共轭复数，但是不满足是纯虚数，所以必要性不成立，所以“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．答案：C解析：，定义域为R ，为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A ，D ；令，则，，故有无数个零点，故排除B.故选：C.4．答案：C解析：如图：由题意可得，，()U A B C ð14i Z =22i Z =12Z Z -1Z 2Z 121Z Z ==1Z 2Z 12Z Z -12Z Z -1Z 2Z 21e ()1cos cos 1e 1e x x xf x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭1e ()cos()()1exxf x x f x ---∴-=⋅-=-+()f x ∴()0f x =2x k π=+πk ∈Z 30FCD ∠=︒75ADE ∠=︒24CD =直角三角形中，的长度为米，故选：C.5．答案：B 解析：由已知可得，，以上各式累加可得，又，代入，即，解得故，令，解得.故选：B.6．答案：D解析：如图，O 为圆心，连接，18075105ADC ∴∠=︒-︒=︒1803010545CAD ∠=︒-︒-︒=︒ACD △sin 30AD=︒AD ∴=ADB ()()sin sin 9075sin 4530AB AD ADB ︒︒︒︒=⨯∠=-=-()1sin 45cos30cos 45sin 3062︒︒︒︒⎫=-==⎪⎪⎭AB ∴6)0211112a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭21112n n a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭10122111111111221222212n n n n a a ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=++⋯⋯+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-21a =-021111212a a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭1111a --=1a =22n n a -=-262162k --=-⨯12k =OP则因为点P 在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，则，即的取值范围是.故选：D.7．答案：A解析：由题意可知，则，故，令，解得，由图像可知解得故选A 项.8．答案：A解析：下面先证明，(且).记，则，()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+ 2222()||4PO PO OB PO OA OA OB PO PO OB OA OA PO =+⋅+⋅+⋅=+⋅+-=- CD ||2CD =d ==||2PO ≤≤23||4PO ≤≤ 21||40PO -≤-≤ PA PB ⋅[]1,0-(f x 4536ππ=-==π=2ω=()f x =4sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭()4sin 24sin 2666g x x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2()6x k k π-=π∈Z ()212k x k ππ=+∈Z 0,11,127,12m m m ⎧⎪>⎪π⎪-≥-⎨⎪π⎪>⎪⎩712m π<≤ln 1x x <-0x >x l ≠()ln (1)f x x x =--1()1f x x'=-令，得：；令，得：；函数在上单增，在上单减，所以对任意，都有，即恒成立，所以对任意且，都有，即恒成立，故，故，构造函数，则故当时，单调递增，故，即，综上.故选：A.9．答案：ABD 解析：10．答案：CD解析：根据函数的图象以及圆C 的对称性，可得M ，N 两点关于圆心对称，所以，于是，由及，得由于所以，，故半径为当时，，，因为在区间()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞0x >()(1)0f x f ≤=ln 1x x ≤-0x >1x ≠()(1)0f x f <=ln 1x x <-1.1ln1.1 1.1(1.11)0.11<⨯-=a b >1.1()(1)(1.11)g x x x =+-+0.10.1() 1.1(1) 1.1 1.1(1)1g x x x ⎡⎤=+-=+-⎣⎦0x >()f x 1.1 1.1(0.1)(10.1)(1.10.11) 1.1 1.110f =+-⨯+=->b c >a b c >>()2sin()f x x ωϕ=+(,0)C c 3c π=22622T c ωωππππ=+=⇒=⇒=2ω=,06A π⎛⎫- ⎪⎝⎭()()033k k k k ϕϕππ-+=+π∈⇒=+π∈Z Z ||ϕ<=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)f =||CM =≠3,2x π⎛⎫∈--π ⎪⎝⎭852,333x πππ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭sin y x =85,33ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上先减后培，所以原函数在上先减后增，故A 错误；，故C 正确；当时，，即，此时为减函数，故D 正确.故选：CD.11．答案：BCD解析：如图，连接，，，易证四边形是平行四边形，则点在线段上，取的中点G ，连接，，分别取，的中点，，连接，易知三棱锥外接球的球心O 在直线上，连接，，，，设三棱锥外接球的半径为R ，则，因为，所以，所以，所以.则当P 与E 重合时，此时三棱锥当P 与重合时，此时三棱锥，故三棱锥外接球表面积的取值范围是.12．答案：BCD3,2π⎛⎫--π ⎪⎝⎭22sin()03f π⎛⎫-=-π= ⎪⎝⎭20212023,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦202320252,366x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦792336,336366x πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦()f x EF 1D E 1D F 1BED F PD 1D E 11A D AG GF BF AG 1O 2O 12O O 12O O OB OP 2O E 2O P 1P BB F -222221122R OO O B OO O P =+=+124AD AB AA ===122O O =12O B O E ==2222112|2|2R OO OO EP =+=-++21114OO EP =+11OO =1P BB F -1D 13OO =1P BB F -1P BB F -[]12π44π，解析：对于A ：，，，，故A 错误；对于B ：，要证，则证，即证，即证，令，则，，设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，恒成立，，故B 正确；易知足遂增数列，所以，则，，则11a =()12ln 11n n n a a a -=++()2112ln 1121(01)13a a a ∴=++=⨯++=()3222ln 116ln 37a a a =++=+31222(6ln 37)3ln 3 3.513a a a +∴==+++ln 3ln e 1>= 3ln 33∴>31223ln 3 3.5 6.5a a a ∴=+>+()12ln 11n n n a a a -=++ 2211n n n a a a --≤+()22ln 1121n n na a a ++≤+ln 1n n a a +≤ln 10n n a a +-≤n a x =ln 10x x +-≤0x >()ln 1f x x x =+-11()1x f x x x-'∴=-=01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()(1)ln 110f x f ∴≤=+-=ln 10n n a a ∴+-≤2211n n n a a a +∴-≤+{}n a 11n a a ≥=ln 11n a +≥()12ln 1121n n n n a a a a -=++≥+()1121n n a a -+≥+2≥，即，所以而当时，则有故C 正确；令函数则所以在上单调递减，所以当时，，则，所以所以，D 正确.故选：BCD.解析：因为11221121n n n a aa a ---+⋅⋯⋅≥+()111212n n n a a -+≥+=≤2111111111221111222212nn n n i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭≤+++==-<+-∑ 2n ≥112111111ni i a a a =≥+=+++∑()2ln g x x x =-2222121()10x x g x x x x -+-'=--=≤()g x (0,)+∞1x ≥()(1)0g x g ≤=11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭()2211112112112n n n n n n n n a a a a a a a a +-⎡⎤⎛⎫≤-++=++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()()1ln 1ln 1n n a a -+≤+()()()()12121ln 1ln 12ln 1ln 1n n n a a a a ---++⋅≤++ ()()111ln 12ln 12ln 2n n n a a --∴+≤+=()()()11ln 1122ln 221ln 2nn n i i a -=+≤++⋯+=-∑,44αππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5,1212αππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭故，所以14．答案：解析：15．答案：解析：由题意可得时，，当，即，对也成立，则，，，若数列为单调道壇数列，则恒成立，即化为恒成立.设当时，，当时，为递减数列，即可得cos 06απ⎛⎫+> ⎪⎝⎭cos 6απ⎛⎫+== ⎪⎝⎭sin sin cos 3266αααπ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14⎫⎪⎪⎭3,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1n =12a =n ≥(1)1n n =--=2nn a =1n =2n n a =*n ∈N ()2214n n b n n λ=--+{}n b 1n n b b +>()()12221(1)4(1)214n n n n n n λλ+--+++>--+λ>*∈N n c =111212352222n n n n n n n nc c +++----=-=1,2n =321c c c >>3n ≥{}n c 345,c c c >>>⋯c则.解析：17．答案：（1）；（2）解析：（1），将函数所得函数为，，，，..（2），，单调递增；单调递减.且，，.方程在上恰有两个实数根，，实数a 的取值范围为.18．答案：（1）单调性见解析；（2）3解析：（1），，λ>3,8⎫+∞⎪⎭()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭)2()()()π2cos 22sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭(f x ππ52sin 22sin 2π366y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴5πππ62k ϕ+=+k ∈Z ∴ππ3k ϕ=-+k ∈Z ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ π5,π612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ππ2π2,663x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦π26x ≤-≤x ≤≤()f x π26x <-≤x <≤()f x π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x a =π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴2a ≤<∴)2 0x >()1f x a x'=-当，，在单调递增，当时，令，得得在单调递增，在单调递减.综上，时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2），，，令令，，在单调递减.，，使得，当，，，单调递增，当，，，单调递减，，，m 的最小值为3.19．答案：（1）证明见解析；0a ≤()0f x '>∴()f x ()0,+∞0a >()f x '=()0f x '>x <()0f x '<x >∴()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2a =-∴()ln 21f x x x =++∴()ln 211x x m x ++≤+∴m ≥()g x =(g x '()12ln u x x x =+-()2110u x x x '=--<∴()u x ()0,+∞ ()2222112ln 220e e u e e =+-=+-> ()3333112ln 230e eu e e =+-=+-<∴()230e ,e x ∃∈()00u x '=02ln 0x +-=02ln x +=()00,x x ∈()0u x >()0g x '>()g x ()0,x x ∈+∞()0u x <()0g x '<()g x ∴()()()02000000max0000123ln 212312111x x x x x x g x g x x x x x ++++++=====++++ (230e ,e x ∈()0,1∴3m ≥∴（2）解析：（1）证明：，，，，令，可得，所以数列是首项为（2）由（1）可得，，.20．答案：（1）证明见解析；解析：（1）取AD 中点为N ，连接PN ，因为PAD 为等边三角形，所以，且平面平面ABCD ，平面平面，面PAD ，所以平面ABCD ，又平面ABCD ，所以，又因为，，平面PAD ，所以平面PAD ，又因为平面PAD ，所以，11121n +-- n n S a +=()12n n n S S n -=-≥∴()121221n n S S n n n--=-≥+∴()111221n n S S n n n -⎛⎫-=-≥ ⎪+⎝⎭∴()1111212n n S n n S n--+=≥-1n =10S =∴112S -=11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭111111222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴111n n S b n ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭2nn b =∴()()()()112111212121n n n n n n n b b b ++==-----∴1111111111111337715212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L PN AD ⊥PAD ⊥PAD ABCD AD =PN ⊂PN ⊥AB ⊂PN AB ⊥PD AB ⊥PN PD P = ,PN PD ⊂AB ⊥DM ⊂AB DM ⊥因为M 为AP 中点，所以，且，平面PAD ，所以平面PAB ，且平面CDM ，所以平面平面PAB .（2）由（1）可知，且，，所以平面PAD ，且平面PAD ，所以，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则可得，，，，，，即，，，设平面MCD 的法向量为，则则可得，取，则，所以平面MCD 的一个法向量为，设直线PB 与平面MCD 所成角为，DM PA ⊥PA AB A = ,PA PB ⊂DM ⊥DM ⊂CDM ⊥PN AB ⊥PD AB ⊥PN PD P = AB ⊥AD ⊂AB AD ⊥()22AD a a =<()0,0,0A ()2,0,0B ()0,P a 0,2a M ⎛ ⎝()2,,0C a ()0,2,0D a ()2,,PB a =- ()2,,0DC a =- 30,2DM a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(),,n x y z =20302DC n x ay DM n ay ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 2a x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩2y =x a =z =(,2,n a =θ所以解得，或，即（舍去）或1，所以，21．答案：（1），；（3）解析：（1）由已知条件，得，又，，又当时，有，曲线段FBC 的解析式为，.（2）由得，又，，，，（3）如图，，，作轴于点，在中，，在，sin cos ,PB n PB n PB n θ⋅====216a =21a =4a =2AD =11112332P MCD PMD V S AB -=⋅=⨯⨯=π2π2sin 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]4,0x ∈-θ=2A =34T =2π12T ω==∴ω= 1x =-π2sin 26y φ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭∴φ=∴π2π2sin 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]4,0x ∈-π2π2sin 163y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()614k x k k =+--∈Z []4,0x ∈-∴0k =3x =-∴()3,1G -OG =OC =1=∴2OD =COD ∠=1PP x ⊥1P 1Rt OPP △1sin 2sin PP OP θθ==△=∴()()sin 60sin 602cos sin120OP OM θθθθ⋅︒-==︒-=-︒12cos 2sin OMPQ S OM PP θθθ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭平行四边形当22．答案：（1）的增区间为：，，减区间为：，；；（2）证明见解析.解析：（1），解得与的分布列如下：.（2）的定义域为R，，所以为偶函数.，当有且仅有两个零点24sin cos2sin22θθθθθ=-=+π26θ⎛⎫=+⎪⎝⎭π0,3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π26θ+==()f xππ,2⎛⎫--⎪⎝⎭π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫⎪⎝⎭(f x1()sin cos sin cos0f x x x x x x x'=+⋅-=⋅=x=∴()f x()f x'(f x1()g x()()()()()21sin cos2g x x x xx a g x=-+---=--()g x()010g=>∴a>()g x⇔当在上有且仅有一个零点.，当时，若，则，所以在上单调递减，，在上有且仅有一个零点；时，存在，使得，当时，，当时，，当时，，所以，在递增，在上递减，在上单调递增，，可得当时，，所以，所以，在上有且仅有一个零点，综上，当有且仅有两个零点.a >()x ()0,+∞ ()()cos x x x a g '=⋅-1a ≥0x >()0g x '<()g x ()0,+∞ ()21π1π02g a =--<∴()g x ()0,+∞1a <<π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos a θ=0x θ<<()0g x '>()2π2π2πk x k k θθ+<<+-∈N ()0g x '<()2π2π2π2πk x k k θθ+-<<++∈N ()0g x '>()g x ()0,θ()()2π,2π2πk k k θθ++-∈N ()()2π2π,2π2πk k k θθ+-++∈N tan θ=1a <<0tan θ<<k ∈N (2π2πtan 2πk θθ++->-()()2112π2π2π2πtan 122g k k a θθθ⎡⎤++=-++--+⎣⎦()2132π2πtan 162k θθ⎡⎤<-++--+⎣⎦()22π2πtan 1006k θθ++--=-<()g x ()0,+∞a >()g x。

江苏省南京市溧水区第二高级中学第三高级中学等三校联考2020届高三数学上学期期中试题

江苏省南京市溧水区第二高级中学、第三高级中学等三校联考2020届高三数学上学期期中试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．若复数z 满足z i ＝1－3i ，其中i 为虚数单位，则z ＝ ▲ ．3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为 ▲ ．4．执行如图算法框图，若输入a ＝4，b ＝12，则输出a 的值是 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．6．任取x ∈{－2，2，4}，y ∈{－1，1，2}，则使得向量a ＝(2，1) 与b ＝(x ，y )平行的概率为 ▲ ．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是 ▲ ．开始结束输入a ,ba ＞b输出aa ←a ×bYN8．已知数列{a n }是等比数列，且a 1a 3a 5＝8，a 7＝8，则a 1的值是 ▲ ．9．已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－1，0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0交于A ，B 两点，若CA ⊥CB ，则直线l 的斜率是 ▲ ．11．已知α∈(0，π2)，且P (4，3)是α－π6终边上一点，则cos α的值是 ▲ ．12．实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是 ▲ ． 13．已知AB 是半径为3的圆M 的直径，点C 是圆周上除A ，B 外一点，若点P 满足PC →＝2CM →，则PA →·PB →的值是 ▲ ．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，－1＜x ≤0，x ，0＜x ≤1，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b cos C ＝c sin B ．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝27，a ＋b ＝10，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1；（2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．ED B 1A1C 117．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为A，B，点C，D是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线AC，BD 交x轴分别于点M，N，求证：OM→·ON→为定值．18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD．AB，AD的长分别为23m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝2π3．图1 图2 图3 图4（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．yxO NMDCBA19．（本小题满分16分）等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2，g (x )＝ln x ，a ∈R ．（1）若曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线恰与曲线y ＝f (x )相切，求a 的值；（2）不等式f (x )≥xg (x )对一切正实数x 恒成立，求a 的取值范围；（3）已知a ＜2，若函数h (x )＝f (x )＋ag (x )＋2a 在(0，2)上有且只有一个零点，求a 的取值范围．2019-2020学年度第一学期高三期中考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知x ，y ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0有一个属于特征值－2的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，（1）求矩阵A ；（2）若矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求A －1B ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，P 为曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)上的动点，Q 为曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－ 22t ，y ＝4＋2 2t ，(t 为参数)上的动点，求线段PQ 的最小值．C ．选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 为正实数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说APFE CBD明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AP ＝AB ＝1，F ，E 分别是PB ，PC中点．（1）求DE 与平面PAB 所成角的正弦；（2）求平面ADEF 与平面PDE 所成锐二面角的值．23．（本小题满分10分）2020年6月，第十六届欧洲杯足球赛将在12个国家的13座城市举行.某体育网站组织球迷对德国、西班牙、法国、葡萄牙四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为13，男球迷选择德国队的概率为25，记X 为三人中选择德国队的人数，求X 的分布列和数学期望.南京市建邺高级中学、溧水第二高级中学期中考试高三数学参考答案 2019.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{2，3} 2．-3+i 3．80 4．12 5．2 6．13 7．－2 8．1 9．24510．±77 11．43－310 12．27 13．72 14．(－94，－2]∪(0，12] 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．解：（1）因为3cos sin b C c B =，由正弦定理可得：3cos sin sin B C C B = 所以tan 3C =4分又因为()0,C π∈…………5分所以3C π=…………6分（2）因为2222cos c a b ab C =+-2()3a b ab =+-…………8分所以 24ab =…………10分所以 1sin 632ABC S ab C ==V 14分 16．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， 1AA //1BB ，所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I 所以D 为1A B 中点，…………2分同理E 为1A C 中点，所以//DE BC …………4分又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ，所以//DE 11B BCC …………6分ED B 1A 1C1CBA（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ， 1AC C C ⊂、平面11A ACC 所以BC ⊥平面11A ACC …………12分又因为BC ⊂平面1A BC所以平面1A BC ⊥平面11A ACC …………14分17．解：（1）22c a =，22b =…………2分解得：2,1a b c ===所以椭圆方程为：2212x y +=…………4分（2）设00(,)D x y ，00(,)C x y - 则AC l ：0011y y x x -=+-…………6分所以00(,0)1x M y -…………8分同理00(,0)1x N y +…………10分所以20201x OM ON y ⋅=-u u u u r u u u r又因为220012x y +=，22002200212x x OM ON x y ⋅===---u u u u r u u u r …………14分y xON MD CBA18．解：（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点1O ，2O ，交劣弧CD 于点E ， 1O E 的长即为拱门最高点到地面的距离．在2Rt O OC ∆中，23O OC π∠=，23CO =，所以21OO =，圆的半径2R OC ==．所以11225O E R O O OO =+-=．…………4分答：拱门最高点到地面的距离为5m ．（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离．连接OB 由（1）知，在1Rt OO B ∆中，221123OB OO O B =+=…………6分．以B 为坐标原点，水平直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系． ①当点P 在劣弧CD 上时，62ππθ<≤．由6OBx πθ∠=+，23OB =，由三角函数定义，得23cos ,23sin 66O ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则223sin()6h πθ=++． …………8分所以当62ππθ+=，即3πθ=时，h 取得最大值223+． …………10分②当点P 在线段AD 上时，06πθ≤≤．连接BD ，设CBD ϕ∠=，在Rt BCD ∆中，2227DB BC CD =+=则2321sin 727ϕ==，27cos 727ϕ==．由DBx θϕ∠=+，得(27cos(),27sin())D θϕθϕ++．所以 27sin()4sin 23cos h θϕθθ=+=+． …………13分又当06πθ<<时，4cos 23sin 4cos23sin3066h ππθ'=->-=>．所以4sin 23cos h θθ=+在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增．所以当6πθ=时，h 取得最大值5．因为，所以h 的最大值为．…………15分综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m 。

2020届高三数学第一次月考试题文(含解析)新人教

2019学年第一学期九月测试卷高三数学（文科）一、选择题(每小题5分，共60分)1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )A. {1,2,4,5,7}B. {1,4,5}C. {1,5}D. {1,4}【答案】B【解析】则2. ( )A. B. C. D. -【答案】A【解析】试题分析：选C.考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.故选A.4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=故选：D5. 函数y＝的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C.D.【答案】D【解析】即得解得故选D6. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. ""是" "的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；对于D，∴推不出. ∴D不正确故选：C．7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c【答案】D【解析】,所以故选D8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个故选A点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知A=2,又,此函数的解析式是故选B.10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )A. -B.C. -D.【答案】C【解析】==,故选C11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知=2, 则=______【答案】3【解析】,故答案为314. 函数f（x）=的单调递增区间为________.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为................故答案为点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则＝________.【答案】-2【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以又f(x)在R上是奇函数，所以故答案为-2.点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为再利用奇偶性根据已知很容易出结果.16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．故答案为：(－∞，4]点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17. (10分) 化简求值：(1) ； (2) .【答案】(1) 4 ; (2)【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.试题解析：(1)原式= (2)原式=18. (12分)（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；(2)已知cos且都是锐角，求的值【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得的值，商式关系得出.(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.试题解析：(1)为第四象限角,(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，=,则cos=cos19. (12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.试题解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.20. (12分)已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．【答案】(1)(k∈Z) (2)【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.试题解析：(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.21. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.22. (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (0，1)【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。

北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试题+Word版含答案

北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中数学试卷2019．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =- （C ）2log y x =（D ）22x x y -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（A ）①② （B ）①③（C ）②③ （D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β（B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ（D ）若m β⊥，则αβ⊥（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为（A ）32（B（C）（D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP的取值范围是（A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）（D）（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；（ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④（D ）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

人教版数学高三期中测试精选(含答案)8

【答案】A
9．设 a, b, c 是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（）
A．| a b || a c | | b c |
C．
|
a
b
|
a
1
b
2
B． a2
1 a2
a
1 a
D． a 3 a 1 a 2 a
【来源】上海市上海中学 2018-2019 学年高三上学期期中数学试题
x [2, 4] ，不等式 f (x) t 2 恒成立，则 t 的取值范围为__________．
【来源】山东省菏泽一中、单县一中 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（文)试
题【答案】 (,10]
2x y 1 0,
12．设关于
x
，
y
的不等式组
x m 0,
表示的平面区域为 D ，若存在点
【答案】（1）见解析;(2) 2- n 2 n n2
2n
2
7x 5y 23 0
30．已知
x，y
满足条件：
x
7
y
11
0
，求：
4x y 10 0
（1） 4x 3y 的最小值； x y 1
（2） x 5 的取值范围.
【来源】上海市上海中学 2015-2016 学年高二上学期期中数学试卷
an
2n
的前
n
项和
Sn
．
【来源】江西省抚州市临川一中 2019-2020 届高三上学期第一次联合考试数学（文科)
试题
【答案】（1） an
1 2
n
；（2）
Sn
2n1
n2
n
2
.
34．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a2 a8 82 ， S41 S9 .

陕西省安康市2020届高三数学上学期第一次联考试题文答案

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2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三上学期期中联考数学试题解析

绝密★启用前2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三上学期期中联考数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数()()12z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（）A ．2B ．1CD答案：D利用复数的乘法运算将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值. 解：()()123z i i i =+-=+Q ，因此，z ==故选：D. 点评：本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题. 2．双曲线222=2x y -的焦点坐标为（）A ．(1,0)±B ．(0)C ．(0,1)±D ．(0,答案：B由双曲的标准方程求出22a ,b ，进而可求出2c ，然后即可求出焦点坐标. 解：由2222x y -=可得22a 2,1b ==，焦点在x 轴上，所以222a 3c b =+=，因此c =所以焦点坐标为()；故选B 点评：本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程，由标准方程可求出22a ,b ，并确定焦点位置，从而可得结果，属于基础题型.3．若变量x、y满足约束条件33010xx yx y≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y-的最小值是（）A．3-B．5-C．3D．5答案：B作出不等式组所表示的可行域，并设2z x y=-，平移直线2z x y=-，观察该直线在x轴上截距的变化，找到使得目标函数2z x y=-取得最小值时的最优解，代入计算即可.解：作出不等式组33010xx yx y≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立310xx y=⎧⎨-+=⎩，得34xy=⎧⎨=⎩，则点A的坐标为()3,4，设2z x y=-，平移该直线，当直线2z x y=-经过顶点A时，该直线在x轴上的截距最小，此时z取最小值，则min3245z=-⨯=-.故选：B.点评：本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.4．设a、b R∈，命题:p a b>，命题:q a a b b>，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C构造函数()f x x x =，利用定义判断出该函数为奇函数，且在[)0,+∞上为增函数，从而得出该函数在R 上为增函数，可得出()()a b f a f b >⇔>，从而可判断出p 是q 的充分必要条件. 解：构造函数()f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()f x x x x x f x -=--=-=-，所以，函数()f x x x =为奇函数，当0x ≥时，()2f x x =，则函数()y f x =在区间[)0,+∞上为增函数，由于该函数为奇函数，则该函数在区间(],0-∞上也为增函数，又Q 函数()f x x x =在R 上连续，所以，该函数在R 上为增函数. 则()()a b f a f b >⇔>，即a b a a b b >⇔>. 因此，p 是q 的充分必要条件. 故选：C. 点评：本题考查充分必要条件的判断，涉及到函数奇偶性与单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.5．已知函数()2xxf x e e e =-+，()3sin 2g x x =，下列描述正确的是（）A ．()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数B ．()f g x ⎡⎤⎣⎦是偶函数C ．()f g x ⎡⎤⎣⎦既是奇函数又是偶函数D ．()f g x ⎡⎤⎣⎦既不是奇函数也不是偶函数答案：B由题意可知，函数()y f x =为偶函数，函数()y g x =为奇函数，然后利用定义可判断出函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的奇偶性. 解：函数()y f x =的定义域为R ，()()22xxxxf x ee ee e ef x ---=-+=-+=，所以，函数()y f x =是偶函数，同理可知，函数()y g x =为奇函数，()()()f g x f g x f g x ∴-=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且()()0012121120f g f e e e ==-+=-+=≠⎡⎤⎣⎦，所以，函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为偶函数. 故选：B. 点评：本题考查函数奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（）A ．13 B ．12C ．16D ．1答案：A根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．解：由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．点评：本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题． 7．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（）A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加 D ．E ξ减小，D ξ减小答案：C由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n :，可得出2nEX =，再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以()111222E P n ξξ===++，()1111222D P n ξξ=-==-+，从而可判断出E ξ和D ξ的增减性.解：由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n :，其中()336k n knC C P X k C -==，其中k ∈N ，3k ≤且k n ≤，362n n EX ==. 故从甲盒中取球，相当于从含有12n+个红球的1n +个球中取一球，取到红球个数为ξ. 故()111211222nP n n ξ+===+++，随机变量ξ服从两点分布，所以()111211222n E P n n ξξ+====+++，随着n 的增大，E ξ减小；()1111222D P n ξξ=-==-+，随着n 的增大，D ξ增大. 故选：C. 点评：本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.8．已知函数()()2lg 1f x x x =-+，若函数()f x 在开区间()(),1R t t t +∈上恒有最小值，则实数t 的取值范围为（） A ．3111,,2222⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：A计算出内层函数21u x x =-+的最小值及其对应的x 值，再由最小值点在区间(),1t t +内，可得出关于实数t 的不等式组，解出即可.解：对于内层函数2213124 u x x x⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，所以，当12x=时，即当12x=±时，内层函数21u x x=-+取得最小值，此时，函数()y f x=取得最小值.由题意可知()1,12t t-∈+或()1,12t t∈+，即12112tt⎧<-⎪⎪⎨⎪+>-⎪⎩或12112tt⎧<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得3122t-<<-或1122t-<<.因此，实数t的取值范围是3111,,2222⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U.故选：A.点评：本题考查利用对数型复合函数的最值求参数，在解题时充分利用复合函数的单调性进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．如图1，ABC∆是以B为直角顶点的等腰直角三角形，T为线段AC的中点，G是BC的中点，ABE∆与BCF∆分别是以AB、BC为底边的等边三角形，现将ABE∆与BCF∆分别沿AB与BC向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（）图1图2（1）直线AE⊥直线BC；（2）直线FC⊥直线AE；（3）平面//EAB平面FGT；（4）直线//BC直线AE.A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C（1）翻折时使得平面ABE⊥平面ABC，由面面垂直的性质定理得出BC⊥平面ABE，从而使得（1）有可能；（2）翻折时使得点E 、F 两点重合，利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面FGT ；（4）利用反证法，可推出//BC AE 不成立. 解：（1）翻折时，若平面ABE ⊥平面ABC ，由于ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BC AB ⊥，又Q 平面ABE I 平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABE ，AE ⊂Q 平面ABC ，此时AE BC ⊥；（2）设AB BC a ==，则2AC a =，且有AE CF a ==，翻折时，若点E 、F 重合，则AE CE a ==，222AE CE AC ∴+=，此时，AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）如下图所示：翻折时，若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，取AB 的中点D ，连接DE 、FG 、GT 、FT .ABE ∆Q 是等边三角形，且D 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.Q 平面ABE ⊥平面ABC ，平面ABE I 平面ABC AB =，DE ⊂平面ABE .DE ∴⊥平面ABC ，同理可证FG ⊥平面ABC ，//DE FG ∴，DE ⊄Q 平面FGT ，FG ⊂平面FGT ，//DE ∴平面FGT . G Q 、T 分别为BC 、AC 的中点，//AB GT ∴，AB ⊄Q 平面FGT ，GT ⊂平面FGT ，//AB ∴平面FGT .DE AB D =Q I ，∴平面//EAB 平面FGT ；（4）假设AE 与BC 可能平行，BC AB ⊥Q ，则AE AB ⊥，事实上60BAE ∠=o ，即AE 与AB 不垂直，假设不成立，因此，AE 与BC 不可能平行. 因此，可能正确命题的个数为3. 故选：C. 点评：本题考查的是线面位置关系的判定，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理，考查推理能力，属于中等题.10．已知二次函数()22019f x x x =++图象上有三点()()1,1A m f m --，()(),B m f m ，()()()1,1R C m f m m ++∈，则当m 在实数范围内逐渐增加时，ABC∆面积的变化情况是（） A ．逐渐增加 B ．先减小后增加 C ．先增加后减小 D ．保持不变答案：D先求出ABC ∆的面积关于m 的函数解析式，然后利用函数的单调性即可进行ABC ∆面积的变化情况. 解：()()()()()22111201920192f m f m m m m m m ⎡⎤--=-+-+-++=-⎣⎦Q ，()()()()()221112019201922f m f m m m m m m ⎡⎤+-=++++-++=+⎣⎦，()1,2BA m =--u u u r ，()1,22BC m =+u u u r，ABC ∆的面积为1sin 2ABCS BA BC B ∆=⋅=u u u r u u u r==1==. 故选：D. 点评：本题考查三角形面积的变化，解题的关键就是计算出三角形面积的表达式，考查运算求解能力，属于中等题.二、双空题11．设集合{}{}02,1A x R x B x R x =∈<<=∈<，则A B =I ________，()RA B =U ð___________.答案：{}01x x << {1x x <或}2x ≥先化简集合B ，再结合集合交集、并集、补集的定义即得解解：由题意：{}1{|11}B x R x x x =∈<=-<< 由交集的定义，A B =I {}01x x << 由补集的定义：(,0][2,)A =-∞+∞R U ð 故()R A B =U ð{1x x <或}2x ≥故答案为：{}01x x <<，{1x x <或}2x ≥ 点评：本题考查了集合的交集、并集、补集计算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题12．已知()()51210ax x a x ⎛⎫++≠ ⎪⎝⎭，若展开式中各项的系数和为81，则a =______，展开式中常数项为______．答案：23-10 令1x =，可得出()51381a +⋅=，可求出实数23a =-，然后将二项式变形为()()551221213x x x x +-+，结合二项展开式通项可求出展开式中的常数项. 解：令1x =，可得出()51381a +⋅=，则113a +=，得23a =-， ()()()555211221212133x x x x x x x ⎛⎫-++=+-+ ⎪⎝⎭，展开式通项为()()5554565555122222233r kr k r r r k k k C x xC x C x C x x ------⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅，其中05r ≤≤，05k ≤≤，且r 、k ∈N ，则60k -≠，令40-=r ，得4r =.因此，展开式中的常数项为45210C ⨯=.故答案为：23-；10. 点评：本题考查利用各项系数和求参数，同时也考查了指定项系数的求解，考查计算能力，属于中等题.13．已知直线l 方程为()30x y R λλλ+-=∈，则直线l 恒过定点______，若直线l 与圆22:20C x y x +-=相交于A 、B 两点，且满足ABC ∆为等边三角形，则λ=______．答案：()3,0 13±将直线l 的方程变形为()30x y λ-+=，可得出300x y -=⎧⎨=⎩，可求出直线l 所过定点的坐标，将圆C 的方程化为标准方程，，利用点到直线的距离公式可得出关于λ的方程，解出即可. 解：将直线l 的方程变形为()30x y λ-+=，可得出300x y -=⎧⎨=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，则直线l 恒过定点()3,0.圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心C 的坐标为()1,0，半径为1.由于ABC ∆为等边三角形，则圆心C 到直线l 的距离为1sin 60d =⨯=o ，另一方面，由点到直线的距离公式可得2d ==，解得λ=.故答案为：()3,0；13±. 点评：本题考查直线所过定点坐标的计算，同时也考查了直线与圆的综合问题，解题的关键就是计算出圆心到直线的距离，考查计算能力，属于中等题.14．已知数列{}n a 满足11a =，()*13n n a a n N +-=∈，则n a =______，471034n a a a a ++++⋅⋅⋅+=______．答案：32n - 2929202n n ++由等差数列的定义可知数列{}n a 是以1为首项，以3为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可得出n a ，然后利用等差数列的求和公式可计算出471034n a a a a ++++⋅⋅⋅+.解：由题意可知，数列{}n a 是以1为首项，以3为公差的等差数列，()13132n a n n ∴=+-=-.因此，()4710341019283342n a a a a n ++++⋅⋅⋅+=++++⨯+-⎡⎤⎣⎦L ()()21091019292022n n n n +++++==. 故答案为：32n -；2929202n n ++.点评：本题考查等差数列通项公式的计算以及等差数列求和，熟悉等差数列的通项公式与求和公式是计算的关键，考查计算能力，属于中等题.三、填空题15．已知单位向量e v ，平面向量a v 、b v 满足2a e ⋅=v v，3b e ⋅=v v ，0a b ⋅=v v ，则a b -v v 的最小值为______．答案：5设平面向量a r 与e r 的夹角为θ，则θ为锐角，且平面向量b r 与e r所成的角为2θπ-，结合数量积的定义得出2cos a θ=r，3sin b θ=r ，然后利用平面向量模长公式以及基本不等式可求出a b -r r的最小值.解：设平面向量a r 与e r 的夹角为θ，则θ为锐角，且平面向量b r 与e r所成的角为2θπ-，由平面向量数量积的定义可得cos 2a e a θ⋅==r r r ，得2cos a θ=r ，同理可得3sin b θ=r .所以，a b -====r r==5≥=，当且仅当tan θ=时，等号成立，因此，a b -r r 的最小值为5.故答案为：5. 点评：本题考查平面向量模的最值的计算，同时也考查了平面向量数量积的定义的应用，涉及了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.16．3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有__________种（用数字作答）．答案：40当排队顺序为男女男女男女时：若甲位于第一个位置，则乙位于第二个位置，余下四人的站法有2222A A 种方法，若甲位于第三个位置，则乙有2种位置进行选择，余下四人的站法有2222A A 种方法，据此可得，排队顺序为男女男女男女时，不同的站法有22222222220A A A A +=种；同理，当排队顺序为女男女男女男时，不同的站法有20种，综上可得，满足题意的站法有202040+=种.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 17．已知正实数a ，b 满足212100a b a b+++-=，则2a b +的最大值为______．答案：9设()20a b t t +=>，可得出2110t a b +=-，利用基本不等式可求出()212a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值，可得出关于t 的不等式，解出即可得出2a b +的最大值. 解：设()20a b t t +=>，由212100a b a b+++-=，可得2110t a b +=-，所以0t 10<<.由基本不等式得()21222559a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当a b=时，等号成立，所以，()109t t -≥，即21090t t -+≤，解得19t ≤≤. 因此，2a b +的最大值为9. 故答案为：9. 点评：本题考查利用基本不等式求最值，涉及转化法，考查推理能力与计算能力，属于中等题.四、解答题18．已知函数()cos f x x x =-.（1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围．答案：（1）[]1,2；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出6x π-的取值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=，可得出4sin sin 3A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出1sin 13B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sin 41sin 3sin a A b B B==-的取值范围. 解：（1）()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q 2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤，因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2；（2）78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=，4sin sin 3A B ∴=-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 130sin 1B B ⎧<-≤⎪⎨⎪<≤⎩，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4sin sin 4131,3sin sin 3sin 3Ba Ab B B B -⎡⎤===-∈⎢⎥⎣⎦.因此，a b 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，在三棱锥S ABC -中，SAC ∆为等边三角形，4AC =，BC=BC AC ⊥，cos SCB ∠=，D 为AB 的中点．（1）求证：AC SD ⊥；（2）求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．答案：（1）证明见解析；（2）6π. （1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ，证明出OS AC ⊥，OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可得出AC ⊥平面SOD ，即可证明出AC SD ⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ，说明直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，求出OSD ∆三边边长，利用余弦定理求出OSD ∠，即可求出直线SD 与平面SAC 所成角的大小．解：（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OD ，SAC ∆Q 为等边三角形，O 为AC 的中点，SO AC ∴⊥，D Q 、O 分别为AB 、AC 的中点，//OD BC ∴，BC AC ⊥Q ，OD AC ∴⊥， SO OD O =Q I ，AC ∴⊥平面SOD ，SD ⊂Q 平面SOD ，AC SD ∴⊥；（2）延长SO ，过点D 作SO 延长线的垂线，垂足记为H ， AC ⊥Q 平面SOD ，DH ⊂平面SOD ，DH AC ∴⊥，DH SO ⊥Q ，SO AC O =I ，DH ∴⊥平面SAC ，所以，直线SD 与平面SAC 所成的角为OSD ∠，由（2）知，1232OD BC ==AC BC ⊥Q ，228AB AC BC ∴=+=.SAC ∆Q 是边长为4的等边三角形，4sin3SO π∴==在SBC ∆中，4SC =，BC=由余弦定理得2222cos 88SB SC BC SC BC SCB =+-⋅⋅∠=，SB ∴=由余弦定理得2221cos 28SA AB SB SAB SA AB +-∠==-⋅，2222cos 36SD SA AD SA AD SAD ∴=+-⋅⋅∠=，6SD ∴=.在SOD ∆中，由余弦定理得222cos 2SO SD OD OSD SO SD +-∠==⋅. 0OSD π<∠<Q ，6OSD π∴∠=，因此，直线SD 与平面SAC 所成角的大小为6π. 点评：本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的计算，涉及到利用余弦定理解三角形，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <．答案：（1）n a n =，2nn b =；（2）证明见解析.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d 的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <. 解：（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得2152q q +=，整理得22520q q -+=.1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；（2）442n n nn n c b =-=-Q ，()()()1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----L L ()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==，()()()()()()111112323222221222121213n n n n n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭，22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 点评：本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题.21．已知抛物线2:4C x y =，A 、B 、P 为抛物线C 上不同的三点.（1）当点P 的坐标为()2,1时，若直线AB 过抛物线焦点F 且斜率为1，求直线AP 、BP 斜率之积；（2）若ABP ∆为以P 为顶点的等腰直角三角形，求ABP ∆面积的最小值．答案：（1）12；（2）16. （1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得出直线AB 的方程为1y x =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，然后利用斜率公式结合韦达定理可计算出直线AP 、BP 斜率之积；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()22,P t t，设直线BP 的斜率为k ，不妨设0k >，可得出直线BP 的方程为()22y t k x t -=-，将直线BP 的方程与抛物线C 的方程联立，求出BP ，同理得出AP ，再由AP BP =得出321k t k k-=+，然后利用三角形的面积公式，结合基本不等式求出ABP ∆面积的最小值. 解：（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，则21122244x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，直线AP 的斜率为21111111124224x y x k x x --+===--，同理，直线BP 的斜率为2224x k +=.抛物线C 的焦点为()0,1F ，Q 直线AB 的斜率为1，且过点F ，则直线AB 的方程为1y x =+，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立241x yy x ⎧=⎨=+⎩，得2440x x --=，1644320∆=+⨯=>，由韦达定理得124x x +=，124x x =-.因此，直线AP 、BP 斜率之积为()()()121212122224424411616162x x x x x x k k +++++-+⨯+====；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()22,P t t，设直线BP 的斜率为k ，不妨设0k >，则直线BP 的方程为()22y t k x t -=-，联立直线BP 与抛物线C 的方程()2224y t k x t x y⎧-=-⎨=⎩，消去y 得224840x kx kt t -+-=，由韦达定理得224x t k +=，22284tx kt t =-，242x k t ∴=-，同理可得142x t k=--，224BP t k t ∴=-=-，同理可得44AP t k=-，由题中图象可知，12x t -与22x t -符号相反，由AP BP =444t k t k-=-，则14444t k t k k ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，化简得()311k t k k -=+，故ABP ∆的面积为()()()()()()22222222222811111161812211ABP k k k S BP k k t k k k k k ∆+⎡⎤++==⨯+-=+⋅=⋅⎢⎥++⎣⎦()()()22221228161k k k k +≥⋅⋅=+，当且仅当1k =时，等号成立，因此，ABP ∆面积的最小值为16. 点评：本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线的斜率积的计算以及三角形面积最值的计算，在求解最值时，一般利用函数单调性或基本不等式求解，考查运算求解能力，属于难题.22．已知函数()2xf x e e x=-⋅（其中e 为自然对数的底数）（1）求()f x 的单调区间；（2）已知关于x 的方程()2xmf x e x⋅=有三个实根，求实数m 的取值范围．答案：（1）单调递增区间为(),0-∞和()0,∞+，无单调递减区间；（2）230,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求出函数()y f x =的定义域和导数，利用导数可求出函数()y f x =的单调区间；（2）由题意可知，关于x 的方程2xxm xe xe e ⎛⎫=-⎪⎝⎭在0x ≠时有三个根，令()x t g x xe ==，利用导数分析函数()t x g =的单调性与极值，利用数形结合思想，结合内层函数与外层函数的零点，对实数m 的取值进行分类讨论，分析方程()2x mf x e x⋅=的实根个数，从而可得出实数m 的取值范围. 解：（1）函数()2xf x e e x=-⋅的定义域为{}0x x ≠，()220xf x e ex '=+>，所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),0-∞和()0,∞+，无单调递减区间；（2）由()2xm f x e x ⋅=，得22x x m e e ex x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得2x xm xe xe e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令()()0xt g x xex ==≠，则()()1x g x x e '=+，令()0g x '=，得1x =-，列表如下：如下图所示，当10t e -<<时，方程()t x g =在0x ≠时有两根，当1t e=-或0t >时，方程()t x g =在0x ≠时只有一根.作出函数y m =与函数21,0y t t t t e e ⎛⎫⎛⎫=-≥-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象如下图所示：①当21m e =-时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的横坐标为1t e =，此时方程()1g x e =在0x ≠时只有一根，不合乎题意； ②当210m e -<<时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象有两个交点，横坐标分别为1t 、2t ，且110t e <<，212t e e <<，方程()1t g x =在0x ≠时只有一根，方程()2t g x =在0x ≠时只有一根，共有两根，不合乎题意；③当0m =时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的横坐标为2t e=，方程()2g x e =只有一根，不合乎题意； ④当230m e <<时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象有两个交点，横坐标分别为1t 、2t ，且110t e -<<，223t e e<<，方程()1t g x =在0x ≠时有两根，方程()2t g x =在0x ≠时只有一根，共有三根，合乎题意； ⑤当23m e =时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的横坐标为11t e =-，23t e =，方程()1g x e =-在0x ≠时有一根，方程()3g x e =在0x ≠时也只有一根，共两根，不合乎题意； ⑥当23m e >时，直线y m =与函数2y t t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的横坐标为1t ，且13t e >，此时，方程()1t g x =在0x ≠时只有一根，不合乎题意.综上所述，实数m 的取值范围是230,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究复合函数的零点个数问题，一般将问题转化为内层函数与外层函数的零点问题，借助数形结合思想来求解，考查数形结合思想的应用，属于难题.。

2020届北京市西城区第八中学高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届北京市西城区第八中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【答案】B【解析】依题意{}|02A x x x =或，由数轴可知，选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，考查学生数形结合的能力.2．化简AB BC AD +-等于（） A ．CD B ．DCC ．ADD ．CB【答案】B【解析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】AC AB B A A C C D D D =-+-=故选：B 【点睛】本题主要考查首尾相加的向量运算与共起点的向量减法运算,属于基础题型.3．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e x 关于y 轴对称，则f(x)=（） A ．1e x + B ．1x e - C ．1x e -+ D ．1x e --【答案】D【解析】试题分析：与曲线y=e x 关于y 轴对称的曲线为x y e -=，向左平移1个单位得(1)1x x y e e -+--==，即1()x f x e--=．故选C ．【考点】函数图象的变换．4．“向量a 与向量b 共线”是“存在R λ∈,使得λa b =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】与共线向量有关的问题,重点考虑零向量的特殊性即可判断. 【详解】由平行向量的定义, 若存在λ∈R ,使得λa b =,则向量a 与向量b 共线.但当向量a 与向量b 共线时,若b 为零向量, a 不为零向量,则不存在λ∈R ,使得λa b =. 故选：B 【点睛】本题主要考查向量共线的定义与判定,属于基础题型. 5．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.【考点】1.函数的基本性质；2.函数的图象.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果.【详解】{}n a 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7．函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ，使得1212()()()n nf x fx f x x x x ===，则n 的取值范围为（）(A) {}2,3 (B) {}2,3,4(C) {}3,4 (D) {}3,4,5 【答案】B 【解析】1111()()0f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率； 1212()()()n nf x f x f x x x x ===表示1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.8．已知函数sin ()xf x x=,下列四个命题正确的序号是（） ①()y f x =是偶函数 ②()1f x <③当32x π=时,()y f x =取得极小值④满足1()()66n n f f ππ+<的正整数n 的最小值为9 A ．①②③ B ．①③④C ．①②D ．①②④【答案】D【解析】对①,直接根据偶函数的定义判断即可. 对②,根据当0x >时sin x 与x 大小关系判断即可. 对③,求导后代入32x π=判断即可. 对④,求导分析函数单调性,确定sin ()xf x x=的极值点位置再判断即可. 【详解】对①, sin ()xf x x=定义域为{}0x x ≠,当0x ≠时, sin()sin sin ()()x x xf x f x x x x---====--,故()f x 是偶函数,①正确对②,因为sin ()xf x x=为偶函数,故只需考虑0x >时的情况即可.画出sin y x =与y x =的函数图像如图.因为sin'cos 1'x x x =≤=且当0x =时成立,由图可得当0x >时,sin x x >恒成立. 故当0x >时,sin ()1x f x x =<.又sin ()xf x x =为偶函数,故sin ()1x f x x=<恒成立.对③, 2cos sin '()x x xf x x -=令'()0f x =则cos sin 0x x x -=.当32x π=时cos sin 0x x x -=不成立,故③错误. 对④, 2cos sin '()x x x f x x-=令()cos sin g x x x x =-,当2x π=时, ()cos sin 12222g ππππ=-=-,当2x π≠时, ()cos sin cos (tan )g x x x x x x x =-=-先画出y x =与tan y x =的图像如图注意当(0,)2x π∈时,21tan'1cos x x=>,此时tan x x <,此时()cos (tan )0g x x x x =-< 当(,)2x ππ∈时,cos 0x <,tan x x >,故()cos (tan )0g x x x x =-<当x π=时,()cos sin 0g ππππ=-<.故当(0,]x π∈时,2cos sin '()0x x xf x x-=< 当3()2x ππ∈，时,cos 0x <,且tan 0x x -=有根. 又对sin ()x f x x =,6()06f π=,73()67f ππ=-,833()68f ππ=-,92()63f ππ=-, 1033()610f ππ=-.故满足1()()66n n f f ππ+<的正整数n 的最小值为9. 故④正确. 故选：D 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、函数单调性奇偶性与不等式的解法等.其中④对三角函数的分析与计算能力要求较高,属于难题.二、填空题 9．函数()sin()24f x x ππ=-,在区间[]0,1上的最小值是__________ 【答案】22-【解析】根据[]01x ∈，得出24x ππ-的范围,再根据三角函数单调性进行求解即可.【详解】∵x ∈[0,1],∴2πx ∈[0,2π], ∴24x ππ-∈[,44ππ-], ∴sin 24x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭∈[22,22-],∴函数f (x )sin 24x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,1上的最小值是22-, 故答案为：22- 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与最值运用,属于基础题型.10．在等比数列{}n a 中，若2420a a +=，4660a a +=，则q =__________．【答案】3±.【解析】分析：根据题意列出关于首项1a ，公比q 的方程组，解得1a 、q 的值，即可得结果详解：设等比数列{}n a 中公比为q ，∵242462420(=60a a a a q a a +=⎧⎨+=+⎩）， ∴23q =，∴3q =±，故答案为3±．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.11．在平面直角坐标系中，点(0,0)O ,(1,3)P ，将向量OP 绕点O 顺时针方向旋转2π后，得到向量OQ ，则点Q 的坐标是__________ 【答案】(3,1)-【解析】设向量OP 与x 轴正半轴的夹角为θ,再表示出OQ 对应的夹角,利用三角函数求解即可. 【详解】∵平面直角坐标系中,点(0,0)O ,(1,3)P 则2OP =．将向量OP 绕点O 顺时针方向旋转弯2π后,得到向量OQ , 设(1,3)(2cos ,2sin )OP θθ==,易得3πθ= ．设点Q 的坐标为(,)x y ,则2cos()2sin 32x πθθ=-==,2sin()2cos 12y πθθ=-=-=-,故点Q 的坐标为(3,1)-,故答案为：(3,1)- 【点睛】本题主要考查三角函数的定义,角θ顺时针旋转2π对应的角度为2πθ-,属于中等题型.12．已知12e e 、是夹角为60°的两个单位向量，则向量122e e +与向量212e 3e -的夹角为__________ 【答案】23π【解析】根据夹角公式1211cos e e e e θ⋅= 与向量的坐标运算求解即可.【详解】∵已知12e e 、是夹角为60°的两个单位向量,∴1e •2e =1×1×cos 60°12=．设向量122e e +与向量2123e e -的夹角为θ,θ∈[0,π]． ∵(122e e +)•(211223)e e e e -=⋅-621e +22212e =-6+272=-, |122e e +|()2121244172e e =+=+⨯+=,|2123e e -|()221123412972ee =-=-⨯+=,故cosθ()()12211221722312277223e e e e e e e e -+⋅-===-⋅+⋅-,∴θ23π=, 故答案为：23π【点睛】本题主要考查向量的数量积与模长夹角的运算,属于基础题型.13．已知函数22(0)()1(0)x x x x f x e x ⎧-≤=⎨->⎩若对x R ∀∈,不等式()f x ax ≥成立，则a 的取值范围是__________ 【答案】[]2,1-【解析】分0x ≤与0x >两种情况分别讨论研究恒成立问题即可. 【详解】当0x ≤,2()2f x x x ax =-≥,得2(2)0x a x -+≥,2x a ≤+,即2a x ≥-,2a ≥-,当0x >时,()1xf x e =-,'()x f x e =,0'(0)1f e ==,所以过(0,0)的切线为y x =,()f x ax ≥,则1a ≤,故[]2,1a ∈-, 故答案为：[]2,1- 【点睛】本题主要考查分段函数的恒成立问题,需要分开讨论或者数形结合分析,属于中等题型.14．设Q 为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Q 中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ,N ,记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为x (Q ),点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y (Q ).若Q 是边长为1的正方形，给出下列三个结论: ①x (Q )的最大值为2②x (Q )+y (Q )的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦③x (Q )-y (Q )恒等于0.其中所有正确结论的序号是_________ 【答案】①②③．【解析】易得(),()x Q y Q 与正方形Q 的位置无关,故可以考虑将正方形确定在原点,再绕着原点旋转分析所有情况即可. 【详解】如图由题易得(),()x Q y Q 与正方形Q 的位置无关,故将正方形ABCD 确定在原点,则只需考虑当正方形ABCD 绕着原点旋转的所有情况即可.此时对角线长2.当正方形边均平行于坐标轴时取最小值()()1x Q y Q ==.且{}()()max2cos ,2sin x Q y Q αα==对①,()1,2x Q ⎡⎤∈⎣⎦,故①正确对②, ()()2()2,22x Q y Q x Q ⎡⎤+=∈⎣⎦,故②正确.对③,因为{}()()max2cos ,2sin x Q y Q αα==,故()()0x Q y Q -=,故③正确.故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查新定义的函数题型.利用数形结合的思想以及三角函数分析即可.属于中等题型.三、解答题15．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =． (1)求2sincos 22B CA ++的值； (2)若3a =，求ABC △面积的最大值．【答案】（1）19-；（2）324【解析】(1)将2sin cos22B CA ++化简代入数据得到答案. (2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc ≤，代入面积公式得到答案.【详解】()2221sin cos2sin 2cos 122B C AA A π+-+=+- 2221c o s c o s 2c o s 12c o s 122A A A A +=+-=+-1111321299+=+⨯-=-； (2)由1cos 3A =，可得122sin 193A =-=，由余弦定理可得222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，即有23944bc a =≤，当且仅当32b c ==，取得等号．则ABC △面积为1192232sin 22434bc A ≤⨯⨯=．即有32b c ==时，ABC △的面积取得最大值324．【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型. 16．已知等比数列{}n a 满足:3210a a -=，123125a a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，使得11a +21a +...+m1a ≥1?若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）253n n a -=⨯（2）不存在，详见解析【解析】(1)利用基本量法将所有量表达成首项1a 和q 的形式列式求解即可. (2) 对m1a 进行等比数列求和,再分析与1的大小关系即可. 【详解】(1)设等比数列{a n }首项为a 1,公比为q ,则2321110a a a q a q -=-=①,则a 1a 2a 3231111()125a a q a q a q =⋅⋅==②,解①②得：q ＝3, 从而153a =． ∴数列{a n }的通项公式112153533n n n n a a q---==⨯=⨯． (2)假设存在正整数m ,使得12111ma a a +++≥1． ∵253n n a -=⨯,∴2111()53n n a -=⨯,从而数列{1n a }是首项为35,公比为13的等比数列, 从而得1231[1)11191531110313m mm a a a ⎛⎤- ⎥⎛⎫⎝⎦+++==-≥ ⎪⎝⎭-1, 从而解得32﹣m≤﹣1,显然不成立,因此不存在这样的整数m 使得使得12111ma a a +++≥1成立．【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量法以及等比数列求和的问题,属于基础题型.17．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从1A ，2345678,,,,,,A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X 。

2020届四川省成都市蓉城名校联盟高三上学期联考（文）数学试题

【详解】
依题意，，由解得为函数的对称轴，令求得函数的一条对称轴为 .
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查正弦型三角函数的对称轴的求法，属于基础题.
6．若数列各项不相等的等差数列，，且，，成等比数列，则（）
A.18B.28
C.44D.49
【答案】B
【解析】根据等比中项列方程，将方程转换为只含的表达式后求得，由此求得的值.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意判断出函数的单调性，结合偶函数的性质比较出的大小关系.
【详解】
由于函数满足，，且，，所以函数在上为单调递减函数.而函数为偶函数，故， .而，所以 .
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用函数的性质比较大小，考查对数运算，属于基础题.
.显然，当时，只有个极值点，不符合题意.只有C选项符合.
构造函数 .依题意在区间上有两个不同的零点，故，即，解得 .
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数零点分布问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
11．已知的内角，，所对的边分别为，，，且 ,若，则的周长的最大值为（）
2．已知复数，则对应的点在复平面内位于（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.
【详解】
依题意，对应点为，在第一象限.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.