北京101中学2017-2018学年高二下学期期中考试试卷(理)数学试题及答案解析

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北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)(必备优质)

高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1 B．3 C1 D ．1-2. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞- B．(2,5)- C．[)(,2)5,-∞-+∞ D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5 B．2D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ )（=y)(xf的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15．设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。

2017-2018学年北京师范大学附属中学下学期高二年级期中考试数学(理科)试题-解析版

绝密★启用前北京师范大学附属中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学（理科）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根据除法运算将复数化为代数形式，得到复数对应的点后可得结论．详解：，所以复数对应的点为，位于第一象限．故选A．点睛：由复数的几何意义可得，复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可根据向量的知识来理解复数运算的几何意义．2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线的参数方程中参数的系数的意义可得，进而可得的值．详解：∵直线的参数方程为（t为参数）∴，∴．故选C ．点睛：本题考查直线的参数方程中参数系数的意义，主要考查学生的理解能力，属于容易题．3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为近线方程为（）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C【解析】由题意知∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±ba 2x.故选C.视频 4．计算定积分()12xex dx +=⎰ ( )A. 1B. e-1C. eD. e+1【答案】C【解析】试题分析： ()()121002|11xx ex dx e x e e +=+=+-=⎰，故选：C ．考点：定积分． 5．下面为函数的递增区间的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，根据导函数的符号判断即可．详解：∵， ∴，∴当时，单调递增，∴函数的递增区间的是．故选B ．点睛：解题时注意单调性与导函数符号间的关系，即当时，函数在相应区间上单调递增（减），但反之不成立．同时解题时还要注意三角函数值的符号，可借助三角函数的图象来判定．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（）A ．142 C ．2 D ．22 【答案】D【解析】试题分析：直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2224x y -+=，圆心到直线的距离d ==2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦长问题7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D 的坐标，求出向量,，利用GD ⊥EF求得关系式，然后可得到DF 长度的表达式，最后利用二次函数求最值．详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,2,1),G (1,0,2),F (x ,0,0),D (0,y ,0)，则,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．故选A．点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a【答案】B【解析】分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．详解：令，则，∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，∴．故选B．点睛：（1）本题考查函数性质的综合运用，解题时要认真分析题意，从中得到函数的相关性质．（2）解题时注意偶函数性质的运用，即若函数为偶函数，则，运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．【答案】【解析】分析：先求得复数z，再求|z|．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的模，解题的关键是正确得到复数，然后再根据模的定义求解．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．【答案】【解析】分析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式求解．详解：由题意得，整理得，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为，所以所求距离为．故极点到直线的距离是．点睛：解题的关键是把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，其中要注意转化公式的合理利用．11．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______________．【答案】π34【解析】3003y sinx x M S 2sinxdx 2cosx |4O A A M P 4/B ππππ==⎰=-==解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率故选．12．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【解析】试题分析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．考点：导数的几何意义．视频 13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

2017-2018年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF

【解答】解：（1﹣i）（1+i）=1+1=2， ﹣i（1+i）=1﹣i， i（1+i）=﹣1+i，（1+i）（1+i）=2i，故与 z=1+i 的乘积为实数的是（1﹣i），故选：A． 2．（4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx ）
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16．（10 分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a 且（Ⅰ）当 a3=2 时，求 a1 的值；（Ⅱ）求证：当 n≥2 时，an+1≤an．解：（Ⅰ）
ห้องสมุดไป่ตู้
．
（Ⅱ）某同学用分析法证明此问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．证明：要证 n≥2 时，an+1≤an 只需证只需证只需证只需证只需证 an≥ 根据均值定理，所以原命题成立． 17．（10 分）已知曲线 f（x）=x3 在点（1，f（1））处的切线为 l，其中 x0≠0．（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）求证：直线 l 和曲线 f（x）一定有两个不同的公共点． 18．（12 分）已知函数 f（x）=x2﹣alnx﹣x，其中常数 a≠0．（Ⅰ）若函数 f（x）为单调函数，求实数 a 的最大值；
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4 分）下列复数中，与 z=1+i 的乘积为实数的是（ A．1﹣i B．﹣i C．i ） D．1+i ）
2．（4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx

北京市海淀区2017-2018学年第二学期期中高二数学(理)试题图片版含答案

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题.9.四，210. 211.333222，，12. (1,0)- 13. (1,+)∞14.2说明：9题，每个空2分，11题，第一个，第二空各1分，第三个空2分三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是函数()f x 在(0,1-+上的唯一的一个极大值，所以在23x =时，函数()f x 取得最大值4027.…………………12分 16.证明：（Ⅰ）因为32a =，所以232222a a a =+=，所以22244a a +=，解得22a =，…………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n na a + 1 ≤，…………………6分只需证 22 n n n na a a a +1≤，…………………7分只需证 21212na +≤. 只需证2n a ≥ 4 ，…………………9分只需证n a ≥ 2，…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一，请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率200'()3k f x x ==…………………2分所以直线l 的方程为320003()y x x x x -=-…………………3分化简得到230032y x x x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分所以220'()33g x x x =-，令'()0g x =，得到得10x x =，20x x =-…………………7分当00x >时，,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为0x x =-时，300()40g x x -=>，而300(3)160g x x -=-<（或者说：x →-∞时，()g x →-∞），所以()g x 在0(,)x -∞-上有一个零点而0x x =时，0()0g x =，所以()g x 在0[,)x +∞上只有一个零点又()g x 在00(,)x x -上没有零点…………………9分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 当00x <时,同理可证()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分法二：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分因为3223200000()22()(2)g x x x x x x x x x x x =--+=-+…………………8分令()0g x =，得到10x x =，202x x =-…………………9分又00x ≠，所以002x x ≠-所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分18.解：（Ⅰ）法一：…………………2分因为22'()x x a f x x--=，其中0x > 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立当'()0f x ≥对0x >成立时，220x x a x--≥，…………………3分即220x x a --≥对0x >成立所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a -≥ …………………4分当'()0f x ≤对0x >成立时，220x x a x--≤，…………………5分即220x x a --≤对0x >成立所以22x x a -≤，根据二次函数的性质这种情形不成立…………………6分综上，18a ≤-，所以实数a 的最大值为18-.法二：因为22'()x x a f x x--=，其中0x >…………………2分因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立根据二次函数的性质知道当+x →∞时，22+x x a --→∞所以只能是'()0f x ≥对0x >成立 …………………4分即22'()0x x af x x--=≥对0x >成立所以220x x a --≥对0x >成立…………………5分所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a ≤-，…………………6分所以实数a 的最大值为18-. （Ⅱ）法一：由（Ⅰ），当18a ≤-时，函数()f x 是单调递增函数，而(1)0f =，（或者说：当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞）所以函数()f x 只有一个零点…………………8分当18a >-时，令22'()0x x af x x--==，得12x x ==，当108a -<<时，120x x << 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表因为21111()ln f x x a x x =-- 而21120x x a --=，所以22111111()ln (1ln )f x x a x x a x x =--=-- 注意到121x x <<所以2111ln 0,0,0x a x -><-<，所以2111()(1ln )0f x a x x =--< 所以在2(0,)x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，(或者说：注意到121x x <<，因为(0,1)x ∈时，20,ln 0x x a x -<-<，所以()0f x <）所以函数()f x 在区间2(0,)x 上没有零点，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上有一个零点…………………10分当0a >，其中10x =<（舍）所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表当2114x ==时，即1a =时，2()0f x = 函数()f x 的唯一的一个极小值，即最小值为(1)0f =，符合题意，当21x =>时，即1a >时，则2()(1)0f x f <=，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上还有一个零点，矛盾当201x <=<，即1a <时则2()(1)0f x f <=，而此时0x →时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(0,)x 上还有一个零点，矛盾…………………12分综上，实数a 的取值范围是{|0a a <或1}a =说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

【精品】2017-2018学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)

顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，
则小明不同的完成方法种数为（
）
A．55
B． 90
C．425
D． 512
【分析】根据题意，分析可得小明最少需要 1 天完成，最多需要 10 天完成，据
此分 10 种情况讨论：分别求出每一种情况的完成方法数目，由加法原理计算可
得答案．
D．? a∈ R，使得函数 f（x）的极值点也是 g（x）的极值点
【分析】对于 A：根据函数零点存在定理即可判断，
对于 B，根据极值，方程的根，函数零点的关系即可判断，
对于 C：当 a=0 时， g（ 0） =f（0）=0，
对于 D：根据极值点和方程根的关系即可判断．【解答】解：函数 f （x） =x3+ax2﹣ax，g（x）=f ′（x） =3x2+2ax﹣a，若当函数 g（ x）只有一个零点，则△ =4a2+12a=0，解得 a=0 或 a=﹣ 3，
⑩ ，小明 10 天完成，即 1 天完成 1 道题目，有 1 种完成方法，
则
一
共
有
1+C92+C93+C94+C95+C9 6+C97+C98+1=C91+C92+C93+C94+C95+C96+C97+C98+C99=29=512
故选： D．
【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意正确的分类讨论，属于中档题．
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（Ⅰ）若函数 f （x）为单调函数，求实数 a 的最大值；（Ⅱ）如果函数 f（ x）只有一个零点，求实数 a 的取值范围．

北京市海定区101中学近年-近年学年高二数学下学期期中试题(含解析)(最新整理)

北京101中学2018－2019学年下学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1。

若，则（） A。

B. 5 C. 7 D. 25【答案】B 【解析】【分析】直接利用复数模的公式求解即可.【详解】因为,所以,故选B 。

【点睛】本题主要考查复数模的公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.2。

下列四个函数：①；②；③；④，其中在处取得极值的是（ ) A 。

①② B 。

②③ C 。

③④ D 。

①③【答案】B 【解析】【分析】分别判断四个函数单调性，结合单调性，利用极值的定义可判断在处是否取得极值.【详解】因为函数与函数都在上递增，所以函数与函数都没有极值,①④不合题意;函数与函数都在上递减，在上递增，所以函数与函数都在处取得极小值，②③符合题意，故选B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与极值，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题。

3.在极坐标系中，直线被曲线截得的线段长为（ ) 3+4 i z =z=3+4i z =z ==3y x =21y x =+y x =2xy =0x =的0x =3y x =2xy =R3y x =2xy =21y x =+y x =(),0-∞()0,∞+21y x =+y x=0x =s i n c o s 1ρθρθ-=ρC。

D。

2【答案】C【解析】【分析】将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式与勾股定理可得结果。

【详解】直线的直角坐标方程为,即，化为,直角坐标方程为，圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，被圆截得的弦长为，故选C.【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，属于中档题。

求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长,弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解。

2017-2018年北京师大实验中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）xdx＝（）A．0B．C．1D．﹣2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1B．﹣C．D．或﹣4．（5分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（5分）函数y＝2x•e x的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列结果正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数有极大值且有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）8．（5分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）＝f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有两个极大值点，无极小值点B ．无极大值点，只有两个极小值点C ．有一个极大值点，无极小值点D ．有一个极大值点，一个极小值点二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在答题纸上） 9．（4分）已知函数f （x ）＝x 2，则＝．10．（4分）已知复数z 满足|z |≤2，则复数z 在复平面内对应的点Z 的集合构成的图形的面积是． 11．（4分）观察下列等式： 1﹣＝1﹣+﹣＝+1﹣+﹣+﹣＝++ …据此规律，第n 个等式可为． 12．（4分）若函数在区间（0，1）内为增函数，则实数a的取值范围是．13．（4分）如图是函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f ′（x ）的图象，给出下列命题： ①﹣2是函数y ＝f （x ）的极值点； ②1是函数y ＝f （x ）的最小值点； ③y ＝f （x ）在x ＝0处切线的斜率小于零； ④y ＝f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是．14．（4分）对于函数y ＝f （x ），若在其定义域内存在x 0，使得x 0f （x 0）＝1成立，则称函数f （x ）具有性质P ．（1）下列函数中具有性质P 的有． ①f （x ）＝﹣2x +2；②f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）；③f（x）＝x+，（x∈（0，+∞））；④f（x）＝ln（x+1）．（2）若函数f（x）＝alnx具有性质P，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共36分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）15．（12分）已知数列{a n}满足，且（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．16．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3．（Ⅰ）在所给的坐标系中画出函数f（x）在区间[0，3]的图象；（Ⅱ）若直线y＝6x+b是函数f（x）的一条切线，求b的值．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸横线上）18．（5分）若对任意，不等式ln（2x﹣1）≤x2+a恒成立，则a的取值范围是．19．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为．20．（5分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在区间上恰有两个零点，则a 的取值范围是．21．（5分）已知集合{a，b，c}＝{1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3，②b ＝3，③c≠1，有且只有一个正确，则100a+10b+c＝．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），⊙C的参数方程是为参数）．（I）写出⊙C的直角坐标方程（即普通方程）；（II）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．23．（10分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）若x＝2为函数f（x）的极值点，求a的值．（II）讨论函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．24．（10分）已知函数f（x）＝x•e2﹣x，g（x）＝f（2﹣x）．（Ⅰ）求函数g（x）的极大值点；（Ⅱ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），求证：函数F（x）无极值；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数f（x）图象上的两点，且满足x1≠x2，y1＝y2．若M（x0，y0）为线段AB的中点，求x0的取值范围．2017-2018学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）xdx＝（）A．0B．C．1D．﹣【解答】解：xdx＝x2|＝，故选：B．2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选：D．3．（5分）函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1B．﹣C．D．或﹣【解答】解：由题意，f′（x）＝，g′（x）＝2ax，∵函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1＝2a，∴a＝，故选：C．4．（5分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个【解答】解：假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+＝（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2＝6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B．5．（5分）函数y＝2x•e x的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）＝2（x+1）e x，令f′（x）＝0，得x ＝﹣1，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，此时，函数f（x）单调递减；当x＞﹣1时，f′（x）＞0，此时，函数f（x）单调递增．故选：A．6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列结果正确的是（）A．B．C．D．【解答】由图可知，所给的函数是上凸函数，其上的任意一点的切线的斜率从左到右是由大到小变化的，其中f'（x1）是函数在点（x1，f（x1））处的切线的斜率，f'（x2）是函数在点（x2，f（x2））处的切线的斜率，是两点（x1，f（x1））和（x2，f（x2））连线的斜率，故由图能直观的看出来，，故选：B．7．（5分）已知函数有极大值且有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）【解答】解：函数，在（﹣∞，+∞）上连续，x＞0时，f（x）＝x3﹣ax2+1，可得f′（x）＝3x2﹣2ax，函数的极值点为x＝0和x＝，函数有极大值且有极小值，可得，所以a∈（0，+∞）函数有极大值f（0），极小值f（）．综上所述实数a的取值范围是（0，+∞）．故选：A．8．（5分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）＝f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有两个极大值点，无极小值点B．无极大值点，只有两个极小值点C．有一个极大值点，无极小值点D．有一个极大值点，一个极小值点【解答】解：F′（x）＝f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有2个交点，从左到右分分别令为a，b，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递减，故函数F（x）有一个极大值点，一个极小值点，故选：D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在答题纸上）9．（4分）已知函数f（x）＝x2，则＝2．【解答】解：∵f′（x）＝2x，∴＝f′（1），∴f′（1）＝2，故答案为：210．（4分）已知复数z满足|z|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形的面积是4π．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），由|z|≤2，得，即x2+y2≤4．∴复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形是半径为2的圆．其面积为4π．故答案为：4π．11．（4分）观察下列等式：1﹣＝1﹣+﹣＝+1﹣+﹣+﹣＝++…据此规律，第n个等式可为+…+＝+…+．【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．∴第n个等式为：+…+＝+…+．12．（4分）若函数在区间（0，1）内为增函数，则实数a 的取值范围是（﹣∞，2]．【解答】解：由于函数f（x）在区间（0，1）内为增函数，则导函数f'（x）≥0在区间（0，1）内恒成立，即f'（x）＝x2﹣ax+1≥0在区间（0，1）内恒成立，分离参数得到，令，在x∈（0，1）恒成立，故函数g（x）在区间x∈（0，1）上单调递减，即g（x）＞g（1）＝2，故a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．13．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y＝f（x）的极值点；②1是函数y＝f（x）的最小值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是①④．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0则函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x＝﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确∵函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x＝﹣2处函数取最小值，1不是函数y＝f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0∴y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④14．（4分）对于函数y＝f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）＝1成立，则称函数f（x）具有性质P．（1）下列函数中具有性质P的有①②④．①f（x）＝﹣2x+2；②f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）；③f（x）＝x+，（x∈（0，+∞））；④f（x）＝ln（x+1）．（2）若函数f（x）＝alnx具有性质P，则实数a的取值范围是a＞0或a≤﹣e．【解答】解：（1）在x≠0时，f（x）＝有解，即函数具有性质P，①令﹣2x+2＝，即﹣2x2+2x﹣1＝0，∵△＝8﹣8＝0，故方程有一个非0实根，故f（x）＝﹣2x+2具有性质P；②f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）的图象与y＝有交点，故sin x＝有解，故f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）具有性质P；③令x+＝，此方程无解，故f（x）＝x+，（x∈（0，+∞））不具有性质P；④f（x）＝ln（x+1）的图象与y＝有交点，故ln（x+1）＝有解，故f（x）＝ln（x+1）具有性质P；综上所述，具有性质P的函数有：①②④，（2）f（x）＝alnx具有性质P，显然a≠0，方程xlnx＝有根，∵g（x）＝xlnx的值域为[﹣，+∞），∴≥﹣，解之可得：a＞0或a≤﹣e．故答案为：①②④；（2）a＞0或a≤﹣e三、解答题（本大题共3小题，共36分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）15．（12分）已知数列{a n}满足，且（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）解：，，，猜想（n∈N*）．…………（5分）（Ⅱ）证明：（1）当n＝1时，左边＝，右边＝，左边＝右边，猜想成立．（2）假设n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即．则当n＝k+1时，a k+1＝＝＝＝．所以当n＝k+1时，猜想仍然成立．由（1）（2）可知，对于任意n∈N*猜想都成立．……（12分）16．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3．（Ⅰ）在所给的坐标系中画出函数f（x）在区间[0，3]的图象；（Ⅱ）若直线y＝6x+b是函数f（x）的一条切线，求b的值．【解答】解：（I）函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3，f'（x）＝3（x2﹣3x+2），令f'（x）＝3（x2﹣3x+2）＝0，解可得x＝1或2，f（x）的图象如图所示：（II）函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3，则f'（x）＝3（x2﹣3x+2），直线y＝6x+b是f（x）的切线，设切点为（x0，f（x0）），则解得x0＝0或x0＝3当x0＝0时，f（x0）＝﹣3，代入直线方程得到b＝﹣3当x0＝3时，，代入直线方程得到．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为，所以f'（0）＝0，且f（0）＝0，所以切线为y＝0…………（5分）（Ⅱ）因为，x∈[0，π]．当x∈（0，π）时，cos x＜1，e x＞1，所以cos x﹣e x＜0，且﹣sin x＜0，于是f'（x）＜0，所以f（x）在（0，π）上单调递减，f（x）max＝f（0）＝0，f（x）min＝f（π）＝﹣π．…………（12分）四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸横线上）18．（5分）若对任意，不等式ln（2x﹣1）≤x2+a恒成立，则a的取值范围是[﹣1，+∞）．【解答】解：对任意，不等式ln（2x﹣1）≤x2+a恒成立，可得a≥ln（2x﹣1）﹣x2的最大值，设f（x）＝ln（2x﹣1）﹣x2，导数为f′（x）＝﹣2x＝，可得x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有f（x）在x＝1处取得极大值，且为最大值﹣1，则a≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）．19．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为．【解答】解：∵直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线的直角坐标坐标方程为x﹣y+1＝0，∵曲线ρ＝1，∴ρ2＝1，∴曲线的方程为x2+y2＝1，圆心（0，0）到直线x﹣y+1＝0的距离：d＝＝，∴直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为：|AB|＝＝2＝．故答案为：．20．（5分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在区间上恰有两个零点，则a 的取值范围是（，]．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1，∴f′（x）＝6x2﹣2ax，由f′（x）＝6x2﹣2ax＝0，得x＝0或x＝，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在区间上是增函数，不合题意；当a＞0时，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞，∴f（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞），减区间为（0，），∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在区间上恰有两个零点，∴，解得．∴a的取值范围是（，]．故答案为：（，]．21．（5分）已知集合{a，b，c}＝{1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3，②b ＝3，③c≠1，有且只有一个正确，则100a+10b+c＝312．【解答】解：已知集合{a，b，c}＝{1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b ＝3；③c≠1有且只有一个正确，若①正确，则c＝1，a＝2，b＝2不成立，若②正确，则b＝3，c＝1，a＝3不成立，若③正确，则a＝3，b＝1，c＝2，即有100a+10b+c＝312．故答案为：312．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），⊙C的参数方程是为参数）．（I）写出⊙C的直角坐标方程（即普通方程）；（II）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．【解答】解：（I）∵⊙C的参数方程是为参数）．∴圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣）2＝3．（II）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l参数方程消去θ，可得……………………（4分）∵P为直线l上一动点，∴设，，∴，故当t＝0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）．……………………（10分）23．（10分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）若x＝2为函数f（x）的极值点，求a的值．（II）讨论函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x，∴f′（x）＝，又x＝2为函数f（x）的极值点，∴，解得a＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）＝＝（0＜x＜2）．令g（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a）．当a＝1时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，2）内单调递增；当a≤0时，g（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，即f′（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增；当0＜a＜1时，g（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，即f′（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，∴f（x）在（0，a），（1，2）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当1＜a＜2时，g（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，即f′（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，∴f（x）在（0，1），（a，2）上单调递增，在（1，a）上单调递减；当a≥2时，g（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，即f′（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，∴f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，2）内单调递减．24．（10分）已知函数f（x）＝x•e2﹣x，g（x）＝f（2﹣x）．（Ⅰ）求函数g（x）的极大值点；（Ⅱ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），求证：函数F（x）无极值；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数f（x）图象上的两点，且满足x1≠x2，y1＝y2．若M（x0，y0）为线段AB的中点，求x0的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）g（x）＝f（2﹣x）＝（2﹣x）e x因为g'（x）＝e x（1﹣x），所以g'（x）及g（x）符号变化如下，所以函数g（x）的极大值点为x＝1．……………………（3分）证明：（Ⅱ）F（x）＝x•e2﹣x﹣（2﹣x）•e x，F'（x）＝（x﹣1）（e x﹣e2﹣x）＝（x ﹣1）e2﹣x（e2x﹣2﹣1）．当x＞1时，x﹣1＞0，e2x﹣2﹣1＞0，此时F'（x）＞0；当x＜1时，x﹣1＜0，e2x﹣2﹣1＜0，此时F'（x）＞0，即F'（x）≥0在R上恒成立，所以F（x）在R上单调递增，所以函数F（x）无极值．…………………（6分）解：（Ⅲ）（1）若x1，x2有一个数为1，由函数f（x）的单调性和x1≠x2，显然不合题意．（2）若x1，x2∈（﹣∞，1）或x1，x2∈（1，+∞），由函数f（x）的单调性和x1≠x2，也不合题意．（3）当x1，x2一个在区间（﹣∞，1），另一个在区间（1，+∞）时，不妨设x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可得，F（x）＝f（x）﹣g（x）在R上单调递增，而F（1）＝0，则当x＞1时，F（x）＞0，即当x2＞1时，f（x2）＞g（x2）．因为f（x1）＝f（x2），则f（x1）＞g（x2）．由g（x2）＝f（2﹣x2），得f（x1）＞f（2﹣x2）．而2﹣x2∈（﹣∞，1），由f'（x）＝e2﹣x﹣x•e2﹣x可知，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，所以x1＞2﹣x2，所以x1+x2＞2，即x0∈（1，+∞）．……………………（10分）。

北京一零一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题(含答案)

北京101中学2018－2019学年下学期高二年级期中考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若z =3+4i ，则|z|=（） A.5B. 5C. 7D. 252. 下列四个函数：①3x y =；②12+=x y ；③y =|x |；④y=2x 。

其中在x=0处取得极值的是（） A. ①②B. ②③C. ③④D. ①③3. 在极坐标系中，直线ρsin θ－ρcos θ=1被曲线ρ=2截得的线段长为（）A.3B.26C.6D. 24. 已知函数)(x f =x （2018+ln x ），)('0x f =2019，则0x =（）A. 2eB. 1C. ln2018D. e5. 已知函数)(x f y =的导函数)('x f 的图象如图所示，则)(x f 的极大值点共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 已知曲线1)(2++=x a x x f 在点（1，f （1））处切线的斜率为1，则实数a 的值为（）A. 2B.23 C. －43 D. －1 7. 已知函数x x x x f 1ln )(+-=，若a =)31(f ，b =)(πf ，c=f （5），则（）A. c<b<aB. c<a<bC. c<a<bD. a<c<b8. 已知实数a ，b 满足0ln 32=--b a a ，c ∈R ，则（a －c ）2+（b +c ）2的最小值为（）A. 1B.2C. 2D.5二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 函数x x x f ln 2)(2-=的单调递减区间是_________。

10. 复数z =ii-+12（i 为虚数单位）的共轭复数是_________。

11. 曲线y =ln （x +2）－3x 在点（－1，3）处的切线方程为_________。

北京市101中学高二下学期期中数学(理)附有答案

一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若i R b a ,,∈是虚数单位，且i i b a +=-+1)2(，则b a -的值为（）A. －2B. －4C. 2D. 42. 在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到直线2sin cos =θρ+θρ的距离为（） A.22 B. 1 C. 2 D. 2 3. ⎰ππ-+22)cos 1(dx x 等于（）A. πB. 2C. 2-πD. 2+π 4. 从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 和PCD ，AB 是圆O 的直径，若3,5,4===CD PC PA ，则=∠CBD （）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°5. 若X ～Y B ),3,0,5(～N )4,1(，则=+)()(Y E X E （）A. 2.5B. 2.05C. 6D. 96. 现有排成一排的7个座位，安排3名同学就座，如果要求剩余的4个座位连在一起，那么不同的坐法总数为（）A. 16B. 18C. 24D. 327. 从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则==)3(X P （） A. 103 B. 107 C. 4021 D. 407 8. 1升水中有2只微生物，任取0.1升水化验，含有微生物的概率是（）A. 0.01B. 0.19C. 0.1D. 0.2二、填空题共6小题。

9. 若n xx )1(+展开式中第二项与第六项的系数相等，则=n ；展开式中间一项的系数为。

10. 从如图所示的长方形区域内任取一个点),(y x M ，则点M 取自阴影部分的概率为。

11. 复数z 满足2=-++i z i z ，则1++i z 的最小值是。

12. 将5位志愿者分成3组，分赴三个不同的地区服务，不同的分配方案有种（用数字作答）。

13. 在极坐标系中，曲线θ=ρsin 32和1cos =θρ相交于点A ，B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是。

高二第二学期期中数学试卷理科及答案

2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）一、选择题（每题5分，共60分）1．设复数z满足11zz-+=2i,则z =A．35-45-B．35-+45i C．35+45i D．3545-i2.已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为A.2B.3C.5D.7 3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB→与AC→夹角为()A．30° B．45° C．60° D．90°4.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20 5．中心在原点，焦点在x轴上,若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1 C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝16．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n－1个式子为( )A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n D．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋17．已知函数的导函数图象如图所示,则函数有 A．两个极大值,一个极小值 B．两个极大值,无极小值 C．一个极大值,一个极小值 D．一个极大值,两个极小值 8．设a ≠0，a ∈R，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，14a9.三角形的面积为S=(a+b+c)·r,其中a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为 ( ) A.V=abcB.V=ShC.V= (S 1+S 2+S 3+S 4)· r(S 1,S 2,S 3,S 4分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)D.V=(ab+bc+ac)·h(h为四面体的高)10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)11．若直线与抛物线相交于，两点，则等于 A ．B ．C ．D ．12．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知()20d f x x ⎰＝8，则()202d f x x x ⎡⎤-⎣⎦⎰＝______14．若双曲线11622=-m x y 的离心率2=e ，则=m ______________．15．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示____________________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题（17题10分，18—22每题12分）17．( 本小题满分10分)（1）已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。

北京市101中学20172018学年高二数学下学期期中试题文

北京101中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合A={1，2，4}，B={x |x 2-4x+m=0}. 若A B={1}，则B=（） A. {1，-3} B. {1，0} C. {1，3} D. {1，5}2. 已知复数z=)3(2i i -，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（） A. y=xB. y=lg2xC. y=-x 3D. y=x+x14. 执行下面的程序框图，若输入的t ∈[-1，3]，则输出的s 的范围是（）A. [-3，4]B. [-5，2]C. [-4，3]D. [-2，5]5. 若a>b>0，0<c<1，则（） A. log a c<log b cB. log c a<log c bC. a c<b cD. c a >c b6. “a ≤0”是“函数f （x ）=|x （ax-1）|在区间（0，+∞）上单调递增”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （-x ）=2-f （x ），若函数y=xx 1+与y=f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑=+mi i iy x1)(=（）A. 0B. mC. 2mD. 4m8. 某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务. 现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a<b<c. 一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比. 下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（）A. U →V →WB. V →W →UC. W →U →VD. U →W →V二、填空题共6小题。

2017-2018年北京市101中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2017-2018学年北京市101中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）下列导数公式正确的是（）A．（x n）'=nx n B．（）'=C．（sinx）'=﹣cosx D．（e x）'=e x2．（5分）如表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（）A．B．C．D．3．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P（B|A）=（）A．B．C．D．4．（5分）若dx=1﹣ln3，且a＞1，则a的值为（）A．﹣3B．1n3C．D．35．（5分）用数学归纳法证明“，n∈N•”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式的两边加上（）A．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3B．k3+1C．（k+1）3D．6．（5分）函数y=e x（x2﹣3）的大致图象是（）A．B．C．D．7．（5分）①已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，可假设p+q≥2；②设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于．用反证法证明时可假设|f（1）|＞或|f（2）|＞．以下说法正确的是（）A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确8．（5分）若函数y=f（x）对任意x∈（﹣，）满足f'（x）cosx﹣f（x）sinx ＞0，则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（﹣）＞f（﹣）C．f（﹣）＞f（﹣）D．f（﹣）＜f（﹣）二、填空题共6小题．9．（5分）已知函数f（x）=sinx，则=．10．（5分）某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为．11．（5分）某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知P（80＜ξ＜120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取份．12．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为．13．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N （n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）=n2+n，四边形数N（n，4）=n2，五边形数N（n，5）=n2﹣n，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，20）=．14．（5分）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f（x）=（1﹣2x）（x2﹣2）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若直线y=4x+b是函数y=f（x）图象的一条切线，求b的值．16．（12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率：（2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．17．（12分）已知点P n（a n，b n）满足a n+1=a n•b n+1，b n+1=（n∈N*）且点P1的坐标为（1，﹣1）．（1）求过点P1，P2的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在（1）中的直线l上．18．（14分）已知函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围．2017-2018学年北京市101中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）下列导数公式正确的是（）A．（x n）'=nx n B．（）'=C．（sinx）'=﹣cosx D．（e x）'=e x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（x n）'=nx n﹣1，A错误；对于B，（）′=﹣，B错误；对于C，（sinx）′=cosx，C错误；对于D，（e x）'=e x，D正确；故选：D．2．（5分）如表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，得：a+=1，解得a=．故选：A．3．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意事件记A={两次的点数均为偶数}，包含的基本事件数是（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）共9个基本事件，在A发生的条件下，B={两次的点数之和为8}，包含的基本事件数是{2，6}，{4，4}，{6，2}共3个基本事件，∴P（B|A）==．故选：C．4．（5分）若dx=1﹣ln3，且a＞1，则a的值为（）A．﹣3B．1n3C．D．3【解答】解：dx=（x2﹣lnx）|=（a2﹣lna）﹣（﹣0）=a2﹣﹣lna=1﹣ln3，∴a2﹣=1且lna=ln3，解得a=，故选：C．5．（5分）用数学归纳法证明“，n∈N•”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式的两边加上（）A．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3B．k3+1C．（k+1）3D．【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k3，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k3+（k3+1）+（k3+2）+（k3+3）+…+（k+1）3，增加了2k+1项．故选：A．6．（5分）函数y=e x（x2﹣3）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=（x2+2x﹣3）e x．令f′（x）＞0，即x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1；令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜1．所以，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1），排除A、B、D选项，故选：C．7．（5分）①已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，可假设p+q≥2；②设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于．用反证法证明时可假设|f（1）|＞或|f（2）|＞．以下说法正确的是（）A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确【解答】解：①用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定．所以p+q≤2的假命题应为p+q＞2．故①的假设不正确；②|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于的否定为②|f（1）|与|f（2）|中都大于，故②的假设错误；故选：A．8．（5分）若函数y=f（x）对任意x∈（﹣，）满足f'（x）cosx﹣f（x）sinx ＞0，则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（﹣）＞f（﹣）C．f（﹣）＞f（﹣）D．f（﹣）＜f（﹣）【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）cosx，则其导数g′（x）=f′（x）cosx+f（x）（cosx）′=f'（x）cosx﹣f（x）sinx，又由f'（x）cosx﹣f（x）sinx＞0在（﹣，）上恒成立，则g′（x）＞0，函数g（x）在（﹣，）上为增函数；g（﹣）＞g（﹣），则cos（﹣）f（﹣）＞cos（﹣）f（﹣），即f（﹣）＞f（﹣），则有f（﹣）＞f（﹣），分析选项：B正确；故选：B．二、填空题共6小题．9．（5分）已知函数f（x）=sinx，则=0．【解答】解：=，∵函数f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx，∴==cos=0．故答案为：0．10．（5分）某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为．【解答】解：某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为：p==．故答案为：．11．（5分）某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知P（80＜ξ＜120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取15份．【解答】解：由题意，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），∴数学成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（80＜ξ＜120）=0.70，∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5﹣=0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×100=15．故答案为：15．12．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为e2﹣2．【解答】解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴其空白部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，又边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，则阴影部分的面积为e2﹣2．故答案为：e2﹣2．13．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N （n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n，3）=n2+n，四边形数N（n，4）=n2，五边形数N（n，5）=n2﹣n，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，20）=820．【解答】解：第n个k边形数为N（n，k）的等式右边系数分别为，，，，则N（n，k）的二次项系数为，后面是以n为首项，公差d=﹣n的一个等差数列构成，则由归纳推理得到N（n，k）的表达式为N（n，k）=+（2n﹣），当n=10，k=20时，N（10，20）==900+20﹣100=820，故答案为：82014．（5分）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是（，）．【解答】解：由题意可得|e x﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．可令g（x）=e x﹣alnx在（2，3），由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：a=在（2，3）有唯一解，由h （x ）=的导数 h′（x ）=，而lnx ﹣在（2，3）递增，且ln2﹣＞0，ln3﹣＞0，则h （x ）在（2，3）递增，则＜a ＜，故答案为：（，）．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知函数f （x ）=（1﹣2x ）（x 2﹣2）．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）若直线y=4x +b 是函数y=f （x ）图象的一条切线，求b 的值．【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）=（1﹣2x ）（x 2﹣2）．则f'（x ）=﹣2（x 2﹣2）+（1﹣2x ）•2x=﹣6x 2+2x +4．令f'（x ）=0，得3x 2﹣x ﹣2=0，解得x=﹣或x=1．）﹣所以f （x ）的单调递增区间为（﹣，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣），（1，+∞），极小值为f （﹣）=﹣，极大值为f （1）=1．（2）因为f'（x ）=﹣6x 2+2x +4，直线y=4x +b 是f （x ）的切线，设切点为（x 0，f （x 0）），则f'（x 0）=﹣6x 0+2x 0+4=4，解得x0=0或x0=．当x0=0时，f（x0）=﹣2，代入直线方程得b=﹣2，当x0=时，f（x0）=﹣，代入直线方程得b=﹣．所以b=﹣2或﹣．16．（12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率：（2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=k）=，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．所以X的分布列为所以E（X）=0×+l×+2×+3×=．17．（12分）已知点P n（a n，b n）满足a n+1=a n•b n+1，b n+1=（n∈N*）且点P1的坐标为（1，﹣1）．（1）求过点P1，P2的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在（1）中的直线l上．【解答】解：（1）由P1的坐标为（1，﹣1）知a1=1，b1=﹣1．∴b2==．a2=a1•b2=．∴点P2的坐标为（，）∴直线l的方程为2x+y=1．（2）①当n=1时，2a1+b1=2×1+（﹣1）=1成立．②假设n=k（k∈N*，k≥1）时，2a k+b k=1成立，则2a k+1+b k+1=2a k•b k+1+b k+1=（2a k+1）===1，∴当n=k+1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2a n+b n=1，即点P n在直线l上．18．（14分）已知函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）试讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）在区间（1，e）中有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）可知f'（x）=，若a＞0，则当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）单调递增；若a=0，则当f′（x）=2x＞0在（0，+∞）内恒成立，函数f（x）单调递增；若a＜0，则当x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）单调递增．（2）若a＞0，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增．若a＜0，f（x）在（0，﹣）单调递减，在（﹣，+∞）单调递增．由题意，若f（x）在区间（1，e）中有两个零点，则有或，即或，得a无解或a∈（﹣e，﹣2）．综上，a∈（﹣e，﹣2）．。

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。

2018 171高二数学理科期中答案

北京市第一七一中学2017—2018学年度第二学期高二年级期中考试试题答案（理科）一．选择题二．填空题：三．解答题17.（1）由()2'32f x ax bx c =++的图像与x 轴的交点为()()1,0,2,0,f(x)在(-∞,1)上是增函数，在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，所以f(x)在x=1处取得极大值，所以01x =；（2）由（1）知'(1)0f =①,结合导函数图像还可得'(2)0f =②，再加f(1）=5③，解①②③联立的方程组，得2a =、b =－9、c =12. 18. (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200，300，400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X 的分布列为EX ＝200×110＋300×310＋400×35＝350.19.(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. 19）（共14分）解：（I ）函数()e (1)xf x a x =-+的定义域为R . 因为()e (1)xf x a x =-+，所以'()e xf x a =-. 由'(0)10f a =-=得1a =. ……………………………4分（II ）'()e (R)x f x a x =-∈.①当0a >时，令'()0f x =得ln x a =.ln x a <时，'()0f x <；ln x a >时，'()0f x >.()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,+)a ∞上单调递增.所以当ln x a =时，()f x 有最小值(ln )(1ln )ln f a a a a a a =-+=-. “()0f x ≥恒成立”等价于“()f x 最小值大于等于0”，即ln 0a a -≥. 因为0a >，所以01a <≤.②当0a =时，()e 0xf x =>符合题意；③当0a <时，取011x a=-+，则111101()e(11)e 10aa f x a a -+-+=--++=-<，不符合题意.综上，若()0f x ≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为[0,1]. ……………………9分（III ）当0a =时，令()()(2ln )e ln 2(0)xh x f x x x x =-+=-->，可求1'()e xh x x=-. 因为121'()e 1002h =-<，'(1)e 10h =->，且1'()e xh x x=-在(0,)+∞上单调递增，所以在（0，）上存在唯一的0x ，使得0001'()e 0xh x x =-=，即001e x x =，且112x .当x 变化时，()h x 与'()h x 在（0，）上的情况如下：则当0x x =时，()h x 存在最小值0()h x ,且000001()e ln 22xh x x x x =--=+-. 因为01(,1)2x ∈，所以0001()220h x x x =+->=. 所以当0a =时，()2ln (0)f x x x >+> 所以当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2l n y x =+的上方. .. …………14分。

2017海淀区高二(下)期中数学(理科)

2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•=．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n=﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+a k =﹣，得a k+1=﹣，+1即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n=﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。

北京市101中学高二数学下学期期中试题理

北京 101 中学 2017-2018 学年放学期高二年级期中考试数学试卷（理科）本卷分 120 分，考100 分一、共8 小。

在每小列出的四个中，出切合目要求的一。

1. 以下数公式正确的选项是（）A. （ x n ） '=nx nB. （1）'=1 C. （ sinx ） '=-cosx D. （ e x ） '=e xxx 22. 下表是失散型随机量X 的散布列，常数 a 的（）X 0 1 23Pa1 1 163 4A.1 B.1C.1D.143263. 抛一枚地平均的骰子两次， A={ 两次的点数均偶数} ，B={ 两次的点数之和8} ，P （ B|A ） =（）A.1 B.1 C. 1D.2181239a 1) dx=1-1ln3 ，且 a>1， a 的（4. 若( x）1x2A. -3B. 1n3C.3D. 35. 用数学法明“3n 6n 3n=kl+2+3+ ⋯ +n =， n ∈ N*”，当 n=k+1 ，当在2的等式左加上（）A. k 3+1B. （ k 3+1） +（k 3+2） +⋯+（ k+1）3C. （ k+1）3D. (k 1) 6(k 1) 326. 函数 y=e x （ x 2-3 ）的大概象是（）A. B.C.D.7. ①已知： p 3+q 3 =2，求证： p+q ≤ 2．用反证法证明时，可假定 p+q ≥ 2；②设 a 为实数， f（ x ） =x 2+ax+a ，求证： |f （ 1） | 与 |f （ 2）| 中起码有一个不大于1．用反证法证明时可假定2|f （ 1）|> 1或 |f （2） |> 1．以下说法正确的选项是（）22A. ①与②的假定都错误B. ①与②的假定都正确C. ①的假定正确，②的假定错误D. ①的假定错误，②的假定正确8.若函数 y=f （ x ）对随意 x ∈（ -，）知足 f' （ x ） cosx-f （x ） sinx>0 ，则以下不等22式建立的是（）A.2 f （ - ） <f （ - ）B.2 f （ -） >f （ -）4343C. f （ -） > 2 f （ -）D. f （ -） <2 f （ - ）43 43 二、填空题共6 小题。

北京市101中学高二物理下学期期中试题

北京101中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试物理试卷一、单项选择题：本题共13小题，每题3分，共39分。

在每小题给出的4个选项中，只有．．一项．．是符合题意的，选对的得3分，有选错或不答的得0分。

1. 建立完整电磁场理论并首先预言电磁波存在的科学家是（）A. 法拉第B. 奥斯特C. 赫兹D. 麦克斯韦2. 下列说法正确的是（）A. 物体的温度升高，物体内所有分子热运动的速率都增大B. 物体的温度升高，物体内分子的平均动能增大C. 物体吸收热量，其内能一定增加D. 物体放出热量，其内能一定减少3. 下列说法正确的是（）A. 分子之间的引力和斥力大小都随分子间距离的增加而增大B. 布朗运动是液体分子的无规则运动C. 液体中的悬浮微粒越小，布朗运动越明显D. 当分子间距离增大时，分子势能一定增大4. 已知油酸的摩尔质量为M ，密度为ρ，阿伏加德罗常数为N A 。

若用m 表示一个油酸分子的质量，用V 0表示一个油酸分子的体积，则下列表达式中正确的是（） A. M N m A = B. AN M m = C. ρA 0MN V = D. M N V A 0ρ= 5. 下列现象中可以说明光是横波的是（）A. 光的干涉和衍射现象B. 光的色散现象C. 光的全反射现象D. 光的偏振现象6. 下列说法中正确的是（）A. 光导纤维传送光信号是利用了光的全反射现象B. 用标准平面检查光学平面的平整程度是利用了光的衍射现象C. 照相机镜头表面涂上增透膜，以增强透射光的强度，是利用了光的衍射现象D. 泊松亮斑是光的干涉现象7. 如图1所示，将一个半圆形玻璃砖置于空气中，当一束单色光入射到玻璃砖的圆心O 时，下列情况不可能．．．发生的是（）图18. 如图2所示为双缝干涉实验中产生的条纹图样，甲图为绿光进行实验的图样，乙为换用另一种单色光进行实验的图样，则以下说法中正确的是（）图2A. 乙图可能是用红光实验产生的条纹，表明红光波长较长B. 乙图可能是用紫光实验产生的条纹，表明紫光波长较长C. 乙图可能是用紫光实验产生的条纹，表明紫光波长较短D. 乙图可能是用红光实验产生的条纹，表明红光波长较短9. 如图3甲所示，在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁场方向垂直的轴匀速转动产生交流电，电动势e随时间t的变化关系如图3乙所示，则（）甲乙图3A. 该交流电的频率为100HzB. 该交流电电动势的有效值为311VC. t=0.01s时，穿过线框的磁通量为零D. t=0.01s时，穿过线框的磁通量的变化率为零10. 在探究变压器的两个线圈的电压关系时，某同学自己绕制了两个线圈套在可拆变压器的铁芯上，如图4所示。