Clarke变换中系数槡_2_3_1_2_的推导_白钧生

阵; I 为单 位矩 阵; z、 z' 分 别为 阻抗 矩 阵; u， u' ， i，i' 分别为 电 压、 电流 列 或行 矩 阵; 同 时 依 矩 阵 运
－1 算法则有: C C = I; ( Ci' ) T
= i T ' C T ; ( kC)
T
= kC T ;
( 12 )
u = Cu' ，则有 u' = C － 1 u。
[ ]
7期
2 / 3 的推导 白钧生等: Clarke 变换中系数 槡
· 81 ·
C=
槡
1 2 0 3 1 槡 2 1 2 － 1 3 2 1 － 2
－
1 2 3 槡 2 1 2 槡 0
－
1 2 3 －槡 2 1 2 槡
0
引
言
1
坐标变换数学理论基础
矢量坐标变换必须要遵循如下原则: ( 1 ) 应遵循变换前后电流所产生的旋转磁场等效 ( 2 ) 应遵循变换前后两系统的电动机功率不变 将原来坐标 下 的电 压 u 和 电流 i 变 换为 新 坐 标
永磁交流伺服 电动机的定子磁 场 由 定子的 三相 绕组的磁势( 或磁动 势 ) 产生 的， 根据 电动机 旋 转 磁 场理论可知，向对称 的 三相 绕组中 通以 对称 的 三相 正弦电流时， 就 会 产生合 成 磁 势， 它 是 一 个 在 空 间 以 ω 速度旋转的 空 间 矢 量。 如果 用 磁 势 或电流 空 间 矢量来描述等 效 的 三相 磁 场、 两 相 磁 场和 旋 转 直流 磁场，并对它 们 进 行 坐 标 变 换， 就 称 为 矢 量 坐 标 变 换
槡
1 2 槡 3 1 槡 C －1 = 2 2 槡 3 1 －槡 2 2 槡 因此: Clarke 变换( 或 3 / 2 变换) 式为:
3
槡
结
论
按照矢量 坐 标 变 换 必 须 要 遵循 原 则， 依 矩 阵 变 换 法 则， 经 过 以 上 数 学 矩 阵 详 细 推 导， 矢 量 坐 标 Clarke 变换系数应为 2 。 3
Clarke 逆变换: 1 2 － 1 3 2 1 － 2 0 3 槡 2 3 －槡 2 1 2 槡 1 2 槡 1 2 槡
iA iA iα iB = C － 1 C iB = C － 1 iβ = iC iC i0
iα iA iβ = C iB = i0 iC
槡
1 － 1 2 3 2 槡 0 2 3 1 1 槡 2 2 槡
1 － 2 iA 3 － 槡 iB 2 1 iC 2 槡
i T u = i T 'u'
T T T T 而 i u = ( Ci' ) Cu' = i ' C Cu'
( 5) ( 6) ( 7)
阵。所以需要引进一个独 立 i α 和 i β 的 新变 量 i0 ， 称 它为 零轴 电流。 零轴 是 同 时 垂 直于 α 和 β 轴 的 轴， 因此形成 α、β、0 轴坐标系。 定义: N2 i0 = kN3 i A + kN3 i B + kN3 i C i0 = N3 ( ki + ki B + ki C ) N2 A 1 2 3 槡 2 k 1 2 3 槡 2 k 1 2 iA 3 i －槡 B 2 i C k － 1 2 3 －槡 2 k
，男，高级工程师，主要从事机电一体化设备研制工作。623bjs@ 163. com。 ，男，本科，研究方向为通信工程。 ，男，高级工程师，研究方向为伺服电机与控制技术。 ，女，工程师，研究方向为伺服电机控制技术。
· 80 · z' = C － 1 zC ( 4) 1 转换矩阵 0 － 1 2 3 槡 2 －
－1 T 为了满足 功 率不变变 换原 则， 有 C = C 。 令
式( 14 ) 和式( 15 ) 相等，则有: 2 N2 N3 1 = ; =k 3 N3 N2 2 k 可分别求得: N2 = N3
槡
3 N3 或 = 2 N2
槡
2 ; k= 3
槡
( 16 )1 2来自将式( 16 ) 代入式( 13 ) 和式( 15 ) ，则得:
The Mathematical Deduction About the Clarke Transformation Coefficient of 槡 2 /3
BAI Yunsheng1 ，FENG Hao2 ，BAI Xinli3 ，LI Pan3 ( 1 ． Avic Aircraft Strength Researcl Insfitute，Xi'an 710065 ，China; 2 ． Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710129 ，China; 3 ． Xi'an Micromoter Research Institute，Xi'an 710077 ，China) Abstract : According the principle of the coordinate transformation，along the matrix transformation rule，the paper discussed the mathematical deduction about the Clarke transformation coefficient of 槡 2 /3 in the control of motor vector in detail，and provide some consideration in the servo system design． Key words: Clarke transformation; matrix; magnetic field; power
( 14 )
－1 －1 求 C 的逆阵 C ( C C = I ) 为:
0 3 槡 2 3 －槡 2
C －1
图1 坐标变换图
( 15 )
因此有 N2 i α = N3 i A + N3 i B cos120 ° + N3 i c cos( － 120 ° ) ( 8 ) N2 i β = 0 + N3 i B sin120 ° + N3 i C sin( － 120 ° ) N3 1 1 iA － iB － iC ］ ( 9) 也即: i α = ［ N2 2 2 N3 3 3 ［ 0 + 槡 i B － 槡 i C］ N2 2 2 式中，N2 、N3 分别表示三相 电动机 和 两 相 电动机定 iβ = 子每相绕组的有效匝数。式( 9 ) 用矩阵表示，即 1 1 － 1 － iA 2 2 iα N3 = ( 10 ) iB N2 iβ 3 3 槡 0 槡 － 2 2 iC
T
为了使式( 5 ) 与式( 6 ) 相同，必须有 CT C = I 或 CT = C － 1 因此，变换矩阵 C 应该是一个正交矩阵。
－1 T 在 以上公式中，其中 C 为 C 的逆阵; i 为 i 的 T T 转置矩 阵; i ' 为 i' 的 转置矩 阵; C 为 C 的 转置矩
( 11 )
式中，k 为待定系数。所以，式( 10 ) 改写成: 1 i α i β = N3 N2 0 i0 k 1 N3 C= N2 0 k －
45 卷
为了满足 功 率不变 的 原 则， 在 一 个 坐 标 下 的电
T 功率 i u = u1 i1 + u2 i2 + … + u n i n 应该等于另一坐 标 下 T 的电功率 i 'u' = u1 'i1 ' + u2 'i2 ' + … + u n 'i n ' ，即
1 2 不是方阵，因此 不能 求 逆 3 槡 － 2
槡
参考文献
［ 1］ 王晓明，王玲． 电动机的 DSP 控制— — —TI 公司 DSP 应用［M］． 北京: 北京航空航天大学出版社，2004．
檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿檿 ( 上接第 73 页) 在采用传统 PI 控制器的速 度 调节系统 中， 速 度 和 电 机转矩 的 超 调 量 较 大， 速 度 的 超 调 量 甚 至 能 达 到 40% 。而使用模糊自适应 PI 控制 器的 速 度 调节系统 中，速度和 电机 转矩 曲 线较 平 滑， 振 动 较 小， 说明 该控制系统 具 有 较 好 的 鲁 棒 性和 稳 定 性。 其 上 升 时 间、超调量和调节 时 间 均 较 小， 这说明 采 用 模糊 自 适应 PI 控制器具有更好的跟随性和抗扰性。 模糊自适应控制 器 能 够 根据 负 载 转矩和速 度 的 突变，通过模糊控制实时地修正 K p 和 K i ，使其适应 系统的变化，使电机平稳地运行。 化对该速度调节系统的影响。
0509 收稿日期: 2011作者简介: 白钧生( 1963 ) 冯 浩( 1990 ) 白新力( 1963 ) 李 攀( 1985 )
为了能实现逆 变 换， 变 换 矩 阵 C 必 须 存 在 逆 矩
－1 阵 C ，因此变换 矩 阵 C 必 须 是 方 阵， 而且 其 行 列
式 的 值 必 须 不 等 于 零。 因为 u = zi， z 是 阻抗 矩 阵， 所以 u' = C － 1 u = C － 1 zi = C － 1 zCi' = z'i' 式中，z' 是变换后的阻抗矩阵，而它为 ( 3)
2
Clarke 变换
图 1 为定子三相 电动机绕组 A、 B 、 C 的磁 势 矢
式中，定义矩阵 C 为: － －
量和两相电动机绕组 α、β 的磁势矢量的空 间位置 关 系。其中选定 A 轴与 α 轴重合。 根据矢量 坐 标 变 换原 则， 两者 的磁 场应 该完 全 等效，即合成磁 势 矢 量 分 别 在 两 个 坐 标 系 坐 标 轴 上 的投影应该相等，如图 1 所示。
第 45 卷 2012 年
第7 期 7月
M ICROM OTORS
Vol. 45． No. 7 Jul. 2012
Clarke 变换 中 系 数 槡 2 /3 的 推 导
1 白钧生 ，冯 2 3 浩 ，白新力 ，李
攀
3
( 1． 中国飞机强度研究所，西安 710065 ; 2． 西北工业大学 电子信息学院，西安 710129 ; 3． 西安微电机研究所，西安 710077 ) 2 /3 进 行 详 要: 按照坐标变换必须遵循的原则，依矩 阵 变 换 法 则， 对 电机 矢 量 控制 中 Clarke 变 换 公 式 的 系 数 槡 细数学推导，对伺服系统的设计具有一定的借鉴意义。 摘 关键词: Clarke 变换; 矩阵; 磁场; 功率 中图分类号: TM351 ; TM383. 4 ; TP273 文献标志码: A 文章编号: 1001-6848 ( 2012 ) 07-0079-03
［1 ］
下的 u' 和电流 i' 。 我 们 希望 它 们 有 相同 的 变 换 矩 阵 C ，因此有: u = Cu' i = Ci' ( 1) ( 2)
。Clarke 变换是三相平面坐标系 0 ABC 向两相 平
面直角坐标系 0 αβ 的 转 换。 在 此 转 换 公 式 中有 系 数 2 /3 。但在相当多的文献中对 此 转 换 公 式 的 系 数 不 槡 尽相同， 造 成 了 读 者 对 矢 量 坐 标 变 换 的 概念 不 清， 理解困难，实际应用时有较大困惑。 本文将依 据 矢 量 坐 标 变 换 必 须遵循 的 原 则， 给 予准确地推导过程，确定其系数。
( 13 )
其 C 的转置矩阵 C 为: 1 N3 － 1 T C = 2 N2 － 1 2 1 2 N2 1 － = 3 N3 2 － 1 2 0 3 槡 2 3 －槡 2 k k k 1 2k 1 2k 1 2k