二次函数26种图像
仪陇县第九中学九年级数学下册 第26章 二次函数26.2 二次函数的图象与性质 1二次函数y＝ax2
26．2 二次函数的图象与性质1． 二次函数y ＝ax 2的图象与性质1．能够利用描点法作出y ＝x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x 2的性质．2．能作出二次函数y ＝－x 2的图象，并能够比较与y ＝x 2的图象的异同，初步建立二次函数关系式与图象之间的联系．重点会画y ＝ax 2的图象，理解其性质．难点结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来．一、创设情境，引入新课导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义和图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二 展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？二、探究问题，形成概念1．函数y ＝ax 2 的图象画法及相关名称【探究1】画y ＝x 2的图象学生动手实践、尝试画y ＝x 2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y ＝x 2的图象，如图1.【共同探究】该二次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线；②图象关于y 轴对称；③有最低点，没有最高点．结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向．2．函数y ＝ax 2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出两函数的图象．如图2.比较图中三个抛物线的异同．相同点：①顶点相同，其坐标都为(0，0)；②对称轴相同，都为y 轴；③开口方向相同，它们的开口方向都向上．不同点：开口大小不同．【练一练】画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的图象．(分析：仿照探究2的实施过程)比较函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的图象．找出它们的异同点． 相同点：①形状都是抛物线；②顶点相同，其坐标都为(0，0)；③对称轴相同，都为y 轴；④开口方向相同，它们的开口方向都向下．不同点：开口大小不同．【归纳】y ＝ax 2的图象特征：(1)二次函数y ＝ax 2的图象是一条抛物线；(2)抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点．当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；(3)|a|越大，抛物线y ＝ax 2的开口越小．三、练习巩固1．已知函数y ＝(m －2)xm 2－7是二次函数，且开口向下，则m ＝________.2．已知抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的函数关系式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上．3．已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求k 的值；(2)求顶点坐标和对称轴．4．已知正方形周长为C (cm )，面积为S (cm 2)．(1)求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；(2)根据图象，求出S ＝1 cm 2时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2.四、小结与作业小结1．抛物线y ＝ax 2 (a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点．2．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．3．当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．作业1．布置作业：教材P7“练习”中第1，2，3题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”的理念，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣．教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识．整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣．22.4 图形的位似变换图形在平面直角坐标系中的位似变换一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、重点、难点1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．难点的突破方法（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同．四、课堂引入1．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．3．探究：（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ （2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．五、例题讲解例1（教材P63的例题）分析：略（见教材P63的例题分析）解：略（见教材P63的例题解答）问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！解法二：点A 的对应点A′′的坐标为（-6×)21(-，6×)21(-），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．解：答案不惟一，略．六、课堂练习1． 教材P64．1、22． △ABO 的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F 的坐标．3．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．七、课后练习1．教材P65．3， P66．5、82．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．3．如图，将图中的△ABC以A．为位似中心，放大到 1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．教学反思24.6 图形与坐标学前温故在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面____．通常把其中水平的一条数轴叫做______或______，取向右为正方向；铅直的数轴叫做______或____，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做______.新课早知1．确定点的位置的方法有多种：①用______确定点的位置；②用角度和距离确定点的位置；③用棋盘坐标确定点的位置；④用经纬坐标确定点的位置，利用________来表示．2．平面直角坐标系中，图形中各点的坐标发生变化，则新旧图形的变化规律如下：(1)横坐标不变，纵坐标都乘以－1，图形关于____对称；(2)纵坐标不变，横坐标都乘以－1，图形关于____对称；(3)横、纵坐标均乘以－1，图形关于____对称；(4)如果一个图形的各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形______平移a个单位长度；如果把它的各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形______平移a个单位长度；(5)如果原图形上点的横、纵坐标保持不变，而另一个图形的横、纵坐标扩大或缩小一定倍数时，图形则相应地被________放大或缩小该倍数．3．在平面直角坐标系中，点A(3,4)、B(－4,3)，以原点O为位似中心，相似比为2，将线段AB放大，则对应点A′、B′的坐标为( )．A．A′(6,8)、B′(－8，－6)B．A′(6,8)、B′(8，－6)C．A′(－6，－8)、B′(－8,6)D．A′(－6，－8)、B′(8，－6)答案：学前温故直角坐标系x轴横轴y轴纵轴坐标原点新课早知1．平面直角坐标系经纬度2．(1)x轴(2)y轴(3)原点(4)向右(或向左) 向上(或向下)(5)横向、纵向3．D位似变化【例题】如图，把△ABC以A为位似中心，放大1倍，并分别写出变化前后各对应顶点的坐标．分析：(1)运用网格法，延长AB、AC到B′、C′，运用相似三角形性质，相似比等于对应边的比，使AB′＝2AB ，AC′＝2AC ，连结B′C′，△AB′C′为所求三角形．(2)可运用相似三角形的性质求变化的坐标．解：如上图所示，网格法延长AB 至B′使AB′＝2AB ， ∵AB＝32＋32＝18＝32，则AB′＝62，延长AC 至C′使AC′＝2AC ，∵AC＝52＋1＝26，则AC′＝226，△AB′C′为所求三角形，AB′AB ＝B′C′BC ＝AC′AC＝2， ∴B′(1,4)、C′(5,0)．∴图形变化前后各对应顶点坐标为：A(－5，－2)、B(－2，1)、C(0，－1)、B′(1,4)、C′(5,0)．点拨：(1)作位似图形时，也可反向延长，即反向延长BA 、CA 到B′、C′，使AB′＝2AB ，AC′＝2AC ，连结B′C′.(2)图形放大坐标变化：①用网格法易求点的坐标变化．②运用相似三角形性质求点的坐标变化，构建直角三角形，利用相似形入手求解．1．如图所示，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果点M 的位置用(－40，－30)表示，那么(10,20)表示的位置是( )．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△ABC 与△A′B′C′关于y 轴对称，那么点A 的对应点A′的坐标为( )．A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)3．线段AB 的两端点A(1,3)、B(2，－5)．(1)把线段AB 向左平移2个单位，则点A′、B′的坐标为：A′______，B′_______.(2)线段AB 关于x 轴对称的线段A″B″，则其坐标为：A″_______，B″________.(3)把线段AB 向上平移2个单位得线段A 1B 1，A 1B 1关于y 轴对称的线段A 2B 2，那么点A 2的坐标为________，点B 2的坐标为________．4．如图所示是某城市几个景点的示意图(图中小方块是边长为1个单位长度的小正方形)．请以某个景点坐标为原点，画出直角坐标系，并用坐标表示下列景点的位置．答案：答案：1．B 2.D3．(1)(－1,3) (0，－5)(2)(1，－3) (2,5)(3)(－1,5) (－2，－3)4．分析：(1)几个景点之中，只有“金凤广场”不在格点上．故选择原点时应避开金凤广场，这样就避免太多的点的坐标是分数．(2)选择湖心岛或者动物园作原点，则其他景点均在y轴的右方或者左方，选择动物园作为坐标原点，则所有点均在第三象限．解：选择动物园作为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则湖心岛的坐标为(－6，－2)，光岳楼的坐标为(－5，－3)，山峡会馆的坐标为(－1，－3)，金凤广场的坐标为(－5.5，－5)．。
第26章二次函数总结提升PPT课件(华师大版)
本章总结提升
[解析] (1)由题意知,若观光车能全部租出,则 0<x≤100,由
50x-1100>0,解得 x>22.
又∵x 是 5 的倍数,
∴每辆车的日租金至少应为 25 元.
(2)设每天的净收入为 y 元.
当 0<x≤100 时,y1=50x-1100.
对称轴在 y 轴右侧
本章总结提升
2
y=ax +bx+c(a≠0)
字母的符号
图象的特征
c=0
经过原点
c>0
与 y 轴正半轴相交
c<0
与 y 轴负半轴相交
2
b -4ac=0
与 x 轴有唯一交点(顶点)
2
与 x 轴有两个不同的交点
2
与 x 轴没有交点
c
2
b -4ac
b -4ac>0
b -4ac<0
本章总结提升
2
D.y=3(x-2) -3
本章总结提升
2
2
【归纳总结】 将抛物线 y=ax +bx+c 用配方法化成 y=a(x-h) +k 的形式,
2
2
而任意抛物线 y=a(x-h) +k 均可由抛物线 y=ax 平移得到,具体平移方法
如下:
本章总结提升
模块3 二次函数的图象与性质
二次函数的图象名称叫什么?二次函数的性质包括哪几个方面?
一元二次方程的一般情势是什么?从情势上看,它与二次函数
的一般式有什么异同?它们之间又有什么联系?
2
例 7 已知二次函数 y=x -3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点
26.1二次函数课件(共26张PPT)
想一想
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结 （600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量 y=(100+x)(600-5x)=-5x² பைடு நூலகம்100x+60000 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果 园橙子的总产量最多？
X/棵 Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
1
2
3
4
5 6
=30a-a²
= -a²+30a .
是二次函数关系式.
小试牛刀
心动不如行动
如果函数y=
0或3 则k的值一定是______
x
k 3k 2
2
+kx+1是二次函数,
如果函数y=(k-3) x +kx+1是二 0 次函数,则k的值一定是______
k 2 3k 2
小结
拓展
回
味
无
穷
定义中应该注意的几个问题:
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
?
y=100(x+1)² =100x² +200x+100
思索归纳
二次函数
y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
想一想
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但 是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一 棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
26.求二次函数的表达式PPT课件(华师大版)
知识点 3 用交点式确定二次函数表达式
知3－讲
在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问 题时，使用交点式较为方便。设函数表达式为y=a(xx1)(x-x2) ，找到函数图象与x轴的两个交点，分别记横 坐标为x1和x2,代入公式，再有一个在抛物线上的点的坐 标，即可求出a的值.
知3－讲
再将(－2，0)代入求出a的值．
知2－讲
解： 设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k.
∵顶点坐标为
1,
9 2
,
9
∴y＝a(x－1)2－
. 2
把(－2，0)代入得：0＝a·(－2－1)2－
9,
解得a＝ 1 .
2
2
∴该二次函数的表达式为y＝
1
(x－1)2－ 9 ,
即y＝ 1 x2－x－4.
2
2
2
总结
知2－讲
设顶点式求二次函数的表达式，通常有以下三种情况： ①已知顶点坐标； ②已知对称轴或顶点的横坐标； ③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标．
知2－练
1 求图象为下列抛物线的二次函数的表达式： (1)抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点（2, 8); (2)抛物线的顶点坐标为（-1，-2)，且抛物线经过 点(1, 10).
知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式
知2－讲
已知抛物线的顶点坐标、对称轴或函数的最值时， 通常运用顶点式y＝a(x－h)2＋k来确定二次函数的表 达式；
知2－讲
例2
已知一个二次函数图象的顶点坐标为
1,
9 2
,
且经过点(－2，0)．求该二次函数的表达式．
导引：由y＝于a已(x知－顶h)2点＋坐k，标从为而代1,入 9得2 y,＝a故(x可－设1)顶2－点9式, 2
数学中考一轮复习专题15二次函数的图象及其性质课件
知识点1：二次函数的概念
典型例题
【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x-1
B. y=ax2+bx+c
C. s=2t2-2t+1
D. y x2 1 x
【考点】二次函数的定义.
【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．
A. y=3x-1是一次函数；B. y=ax2+bx+c不一定是几次函数；
C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. y x2 1 不符合二次函数定义． x
故答案为：C．
典型例题
知识点1：二次函数的概念
【例2】（4分）（202X·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化 成y＝a(x－h)2＋k的情势为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1． 【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的情势即可． 【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
典型例题
知识点2：二次函数的图象和性质
【例5】（3分）（202X•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经
过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质 【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）， 可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
知识点梳理
知识点1：二次函数的概念
26章二次函数知识点归纳1
人教版九年级数学下二次函数知识点总结✧ 相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.✧ 二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. ✧ 二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.几种特殊的二次函数的图像特征如下：抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．a越大开口越小在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． （1）a,b 同号在左，异号在右（2）当对称轴为x=1时2a+b=0当对称轴为x=-1的时候2a-b=0 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 注意当x=1的时候y=a+b+c 当x=-1的时候y=a-b+c 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ✧ 求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.✧ 直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx n y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 关于顶点对称2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．✧ 二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
26125二次函数y=a(x-h)2图象和性质
距离为3.05m。
(1)球在空中运行的最大高度是多少米？
(2)如果运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m ，
则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？
y 1 x2 3.5 当x 0时，y 3.5
5 当y 2.25时，2.25 1 x2 3.5
x1 当y
2.5, x2 2.5 3.05时，3.05
; ; y 1 ( x 2) 2 y 1 ( x 2) 2
2
2
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
y
11 22
x(2x
2) 2
y 1 (x 2) 2 4.5 2
4.5 2 2 0.5 0
0.5 0y 01.5x 2 2 4.5
2
y 1 ( x 2) 2
请回答下列问题：
3
（4，0）
1、变把 换函 ，数就能y得 到13函x2数的y图 象1作(x怎 4样)的2 的图平象移。
解：把函数
y
1
3 x 2向右平移4个单位可得到函数。
3
2、说出函数 y 1 (x 4)2 的图象的顶点坐标
和对称轴。 3
解：顶点坐标为(4,0),对称轴为直线x=4.
学一学
直线x=3
这里一定要 变成减号。
（-1，0）
例2 对于二次函数y=2(x+1)2请回答下列问题：
1、把函数y=2x2的图象作怎样的平移变换，就能 得到函数y=2(x+1)2的图象。
解：把函数y=2x2向左平移1个单位可得到函数y=2(x+1)2
2、说出函数y=2(x+1)2的图象的顶点坐标和对称轴。
中考二次函数复习课件
当 x＝－2ba时， y 最小值＝4ac4－a b2 当 x＝－2ba时， y 最大值＝4ac4－a b2
当 x＝h 时，y 最小值＝k 当 x＝h 时，y 最大值＝k
数学·新课标（RJ）
当
x<－2ba时，y 的值随
x
的
当 x<h 时，y 的值随 x 的增大而 减小 ；当
a＞0 增大而 减小 ；当 x>－2ba时，x>h 时，y 的值随 x 的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－2所示，则下列结论．错误 的有( )
①ac>0；②b<0；③a－b＋c<0；④a＋b＋c<0；⑤2a＋b＝0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
数学·新课标（RJ）
练习：
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ<0
y
•
0
y
•0
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
x
上正下负
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
上正下负, 过原点则c=0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
2
3
顶点是_______________,对称轴是__________,
当x
时, y随x的增大而减小。
当x
时, y有最 值为
.
顶点式为y 1 (x 1)2 1
2
6
巩固练习:
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
当点 B 与 O 重合时，－12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝－2 2， 当点 B 与点 D 重合时，如图②， 顶点 A 也与 B、D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)，∴－12m2＋4＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移 时，如图③，点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范 围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a、h、k 的值； 解：a＝12，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标．
【答案】①②④
10．【中考·舟山】二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当 m≤x≤n 且
mn<0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n 的
值为( )
A．52
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交K≠0..2、性质：1.当k>0时;图象分别位于第一、三象限;同一个象限内;y随x的增大而减小；当k<0时;图象分别位于二、四象限;同一个象限内;y随x的增大而增大..2.k>0时;函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时;函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数..定义域为x≠0；值域为y≠0..3.因为在y=k/xk≠0中;x不能为0;y也不能为0;所以反比例函数的图象不可能与x轴相交;也不可能与y轴相交..4. 在一个反比例函数图象上任取两点P;Q;过点P;Q分别作x轴;y轴的平行线;与坐标轴围成的矩形面积为S1;S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形;又是中心对称图形;它有两条对称轴y=x y=-x即第一三;二四象限角平分线;对称中心是坐标原点..6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点m、n同号;那么A B两点关于原点对称..7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n;要使它们有公共交点;则n^2+4k·m≥不小于0..8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴..9.反比例函数关于正比例函数y=x;y=-x轴对称;并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线;交于q、w;则矩形mwqoo为原点的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合;k值不相等的反比例函数永不相交..12.|k|越大;反比例函数的图象离坐标轴的距离越远..13.反比例函数图象是中心对称图形;对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：1关系式为整式时;函数定义域为全体实数； 2关系式含有分式时;分式的分母不等于零；3关系式含有二次根式时;被开放方数大于等于零； 4关系式中含有指数为零的式子时;底数不等于零；5实际问题中;函数定义域还要和实际情况相符合;使之有意义.. （二）一次函数 1、一次函数的定义一般地;形如y kx b =+k ;b 是常数;且0k ≠的函数;叫做一次函数;其中x 是自变量..当0b =时;一次函数y kx =;又叫做正比例函数..⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+;要判断一个函数是否是一次函数;就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =;0k ≠时;y kx =仍是一次函数．⑶当0b =;0k =时;它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例;一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质一般地;形如y=kxk 是常数;k≠0的函数叫做正比例函数;其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx k 不为零 ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时;直线y=kx 经过三、一象限;从左向右上升;即随x 的增大y 也增大；当k<0时;•直线y=kx 经过二、四象限;从左向右下降;即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kxk 是常数;k ≠0 (2) 必过点：0;0、1;k(3) 走向：k>0时;图像经过一、三象限；k<0时;•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0;y 随x 的增大而增大；k<0;y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大;越接近y 轴；|k|越小;越接近x 轴 3、一次函数及性一般地;形如y=kx ＋bk;b 是常数;k≠0;那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时;y=kx ＋b 即y=kx;所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b k 不为零 ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过0;b 和-kb;0两点的一条直线;我们称它为直线y=kx+b;它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.当b>0时;向上平移；当b<0时;向下平移 1解析式：y=kx+bk 、b 是常数;k ≠0 2必过点：0;b 和-kb;0 3走向： k>0;图象经过第一、三象限；k<0;图象经过第二、四象限 b>0;图象经过第一、二象限；b<0;图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限4增减性： k>0;y 随x 的增大而增大；k<0;y 随x 增大而减小.5倾斜度：|k|越大;图象越接近于y 轴；|k|越小;图象越接近于x 轴.6图像的平移： 当b>0时;将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时;将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.一次函数()0k kx b k =+≠k ;b 符号 0k >0k < 0b > 0b < 0b = 0b >0b <0b = 图象Ox yyx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线;并且只能画出一条直线;即两点确定一条直线;所以画一次函数的图象时;只要先描出两点;再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：0;b;.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升;y 随x 的增大而增大k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降;y 随x 的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线;它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到当b>0时;向上平移；当b<0时;向下平移6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数 一次函数概 念 一般地;形如y=kxk 是常数;k≠0的函数叫做正比例函数;其中k 叫做比例系数 一般地;形如y=kx ＋bk;b 是常数;k≠0;那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时;是y=kx;所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量 范 围X 为全体实数图 象 一条直线必过点 0;0、1;k 0;b 和-k b ;0 走 向 k>0时;直线经过一、三象限； k<0时;直线经过二、四象限 k ＞0;b ＞0;直线经过第一、二、三象限 k ＞0;b ＜0直线经过第一、三、四象限 k ＜0;b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0;b ＜0直线经过第二、三、四象限 增减性 k>0;y 随x 的增大而增大；从左向右上升 k<0;y 随x 的增大而减小..从左向右下降 倾斜度 |k|越大;越接近y 轴；|k|越小;越接近x 轴 图像的 平 移 b>0时;将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；b<0时;将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.7、直线11b x k y +=01≠k 与22b x k y +=02≠k 的位置关系 1两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ 2两直线相交⇔21k k ≠3两直线重合⇔21k k =且21b b = 4两直线垂直⇔121-=k k8、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：1根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；2将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； 3解方程得出未知系数的值；4将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0a;b 为常数;a ≠0的形式;所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时;求相应的自变量的值. 从图象上看;相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0a;b 为常数;a ≠0的形式;所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大小于0时;求自变量的取值范围.11、一次函数与二元一次方程组1以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同. （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地;形如2y ax bx c =++a b c ，，是常数;0a ≠的函数;叫做二次函数.. 这里需要强调：和一元二次方程类似;二次项系数0a ≠;而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数;右边是关于自变量x 的二次式;x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数;a 是二次项系数;b 是一次项系数;c 是常数项．二、二次函数的基本形式① 一般式：()()20f x ax bx c a =++≠ ② 顶点式：()()()20f x a x m n a =++≠ ③ 零点式：()()()()120f x a x x x x a =--≠当240b ac∆=->时;二次函数的图像和x轴有两个交点()11,0M x;()22,0M x;线段1212M M x xa a=-==．当240b ac∆=-=时;二次函数的图像和x轴有两个重合的交点,02bMa⎛⎫-⎪⎝⎭．特别地;当且仅当0b=时;二次函数()()20f x ax bx c a=++≠为偶函数．1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大;抛物线的开口越小..2. 2y ax c=+的性质：上加下减..3. ()2y a x h=-的性质：左加右减..4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+;确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变;将其顶点平移到()h k ，处;具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移;负左移；k 值正上移;负下移”． 概括成八个字“左加右减;上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位;c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位;c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看;()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式;后者通过配方可以得到前者;即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭;其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+;确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;然后在对称轴两侧;左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，;()20x ，若与x 轴没有交点;则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向;对称轴;顶点;与x 轴的交点;与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时;抛物线开口向上;对称轴为2bx a =-;顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时;y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时;y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时;y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时;抛物线开口向下;对称轴为2b x a =-;顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时;y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时;y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时;y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ;b ;c 为常数;0a ≠；2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ;h ;k 为常数;0a ≠；3. 两根式：12()()y a x x x x =--0a ≠;1x ;2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式;但并非所有的二次函数都可以写成交点式;只有抛物线与x 轴有交点;即240b ac -≥时;抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中;a 作为二次项系数;显然0a ≠．⑴ 当0a >时;抛物线开口向上;a 的值越大;开口越小;反之a 的值越小;开口越大；⑵ 当0a <时;抛物线开口向下;a 的值越小;开口越小;反之a 的值越大;开口越大．总结起来;a 决定了抛物线开口的大小和方向;a 的正负决定开口方向;a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下;b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下;当0b >时;02ba-<;即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时;02ba-=;即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时;02ba->;即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下;结论刚好与上述相反;即 当0b >时;02ba->;即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时;02ba-=;即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时;02ba-<;即抛物线对称轴在y 轴的左侧． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ;在y 轴的右侧则0<ab ;概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时;抛物线与y 轴的交点在x 轴上方;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时;抛物线与y 轴的交点为坐标原点;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时;抛物线与y 轴的交点在x 轴下方;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来;c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之;只要a b c ，，都确定;那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式;通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点;选择适当的形式;才能使解题简便．一般来说;有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标;一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值;一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标;一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点;常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况;可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后;得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后;得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后;得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后;得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后;得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后;得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180° 2y ax bx c =++关于顶点对称后;得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后;得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后;得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质;显然无论作何种对称变换;抛物线的形状一定不会发生变化;因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时;可以依据题意或方便运算的原则;选择合适的形式;习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向;再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向;然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时;图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠;其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=. ② 当0∆=时;图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时;图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时;图象落在x 轴的上方;无论x 为任何实数;都有0y >；2' 当0a <时;图象落在x 轴的下方;无论x 为任何实数;都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交;交点坐标为(0;)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标;需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ;b ;c 的符号;或由二次函数中a ;b ;c 的符号判断图象的位置;要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称;可利用这一性质;求和已知一点对称的点坐标;或已知与x 轴的一个交点坐标;可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看;一元二次不等式()200ax bx c a ++>≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴上方的点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++<≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴下方的点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++≥≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴上方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++≤≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴下方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的解就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;与x 轴的交点的横坐标．。
汉阴县第七中学九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质2二次函数y=ax2+bx+
7．抛物线y＝－12 x2＋x－4的对称轴是_直__线__x_＝__1__， 顶点坐标是_(_1_，__－__72__)___．
8．已知点A(1 , 1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上. (1)用含a的代数式表示b ; (2)如果该二次函数图象的顶点在x轴上 , 求这个二次函数图象的顶点坐标． 解 : (1)b＝2a (2)(0 , 0)或(2 , 0)
第二十二章 二次函数
易错课堂(二) 二次函数
（一）确定二次函数解析式中字母参数的值易出错 1．已知抛物线y＝(m＋4)xm2＋5m－4的开口向下 , 那么m的值为_－__6__．
2．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴总有交点． (1)求m的取值范围 ; (2)当函数图象与x轴的两交点的横坐标的倒数和等于－4时 , 求m的值． 解：(1)当 m＋6＝0，即 m＝－6 时，函数解析式为 y＝－14x－5，此一次函 数与 x 轴有一个交点；当 m＋6≠0，即 m≠－6 时，函数为二次函数，当 Δ≥0 时，抛物线与 x 轴有交点，即 4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)≥0，解得 m≤－59 .
(3)在(1)(2)的条件下 , 每天制作B不少于5件．当每天制作5件时 , 每件获利 不变．假设每增加1件 , 那么当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30 元 , 求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的 值．
解：(1)设制作一件 A 获利 x 元，则制作一件 B 获利(105＋x)元，由题意得
③当点P是ME的中点，点Q是DM的中点时，也符合题意，此时P(1，32 )，
综上所述，满足条件的点P的坐标为(1，3)或(1，－3)或(1，32 )
结束语
华师大版九年级数学电子书第26章二次函数
第26章二次函数 (1)二次函数 (2)二次函数的图象与性质 (3)1. 二次函数y＝ax2的图象与性质 (3)2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 (5)3. 求二次函数的函数关系式 (13)阅读材料................................................................................................... 错误!未定义书签。
生活中的抛物线....................................................................................... 错误!未定义书签。
实践与探索 (15)小结 (17)复习题 (18)第26章二次函数要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y=x(20-2x).试问：x为何值时，才能使y的值最大？§26.1 二次函数问题1（本章导图中的问题）如图26.1.1，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试（1）设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2）x的值是否可以任意取？有限定范围吗？（3）我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y 是x的函数，试写出这个函数的关系式．问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x 元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数．我们可以得到：问题1中的函数关系式为y＝x（20－2x）（0＜x＜10）即y＝－2x2＋20x（0＜x＜10）问题2中的函数关系式为y＝（10－x－8）（100＋100x）（0≤x≤2），即y＝－100x2＋100x＋200（0≤x≤2）.观察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数（quadratic function ）．练 习1. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm ．（1） 当它的一条直角边长为4.5 cm 时，求这个直角三角形的面积；（2） 设这个直角三角形的面积为S cm 2，其中一条直角边长为x cm ，求S关于x 的函数关系式．2. 已知正方体的棱长为x cm ，它的表面积为S cm 2，体积为V cm 3．（1） 分别写出S 与x 、V 与x 之间的函数关系式； （2） 这两个函数中，哪个是x 的二次函数？1. 设圆柱的高为6 cm ，底面半径r cm ，底面周长C cm ，圆柱的体积为V cm 3． （1） 分别写出C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式； （2） 这三个函数中，哪些是二次函数？2. 正方形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式．这个函数是二次函数吗？3. 已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝－3．求a 、c 的值． 4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ．（1） 求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；（2） 求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1m 2）（3）二次函数的图象与性质回 顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质．在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图像入手．1. 二次函数y ＝ax 2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 y ＝ax 2 的图像与性质． 例1 画二次函数y ＝x 2的图象． 解 列表．（第4题）在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图26.2.1所示．图26.2.1像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．做一做（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．观察y＝x2、y＝2x2的图象，可以看出：当a＞0时，抛物线y＝ax2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．图象的这些特点，反映了当a＞0时，函数y＝ax2具有这样的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x ＝0时，函数y＝ax2取得最小值，最小值y＝0．思考观察函数y＝－x2、y＝－2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜0时，抛物线y＝ax2有些什么特点？它反映了当a＜0时，函数y＝ax2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流．练 习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1） y ＝3x 2； （2） y ＝－31x 2．2.根据上题所画的函数图象填空．（1） 抛物线y ＝3x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方；（2） 抛物线y ＝－31x 2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．3.不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝41x 2的对称轴、顶点坐标和开口方向．4.记r 为圆的半径，S 为该圆的面积，有面积公式S ＝πr 2，表明S 是r 的函数．（1） 当半径r 分别为2、2.5、3时，求圆的面积S （π取3.14）； （2） 画出函数S ＝πr 2的图象．2. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质问题1试研究二次函数y ＝2x 2－4x ＋3的图象． 分 析将函数关系式配方，得y ＝2（x －1）2＋1．我们设法寻求它与y ＝2x 2图像的联系．为此，先看几个简单的例子． 例2 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2与y ＝2x 2＋1的图像． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.2所示．图26.2.2观 察当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概 括通过观察，我们发现：当自变量x 取同一数值时，函数y ＝2x 2＋1的函数值都比函数y ＝2x 2的函数值大1．反映在图象上，函数y ＝2x 2＋1的图象上的点都是由函数y ＝2x 2的图象上的相应点向上移动了一个单位．函数y ＝2x 2＋1与y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y ＝2x 2＋1的图象可以看成是将函数 y ＝2x 2 的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2x 2＋1的一些性质：当x _____时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最____值，最____值y ＝______．做一做先在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2－2与函数y ＝2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y ＝2x 2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31x 2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？你能说出函数y ＝－31x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？练 习1.已知函数y ＝－31x 2、y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2．（1） 分别画出它们的图象；（2） 说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试说出函数y ＝－31x 2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝－31x 2得到抛物线y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2？如果要得到抛物线y ＝－31x 2＋4，应将抛物线y ＝－31x 2作怎样的平移？y ＝ax 2＋k （a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．例3 在如图26.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2和y ＝2（x －1）2的图象．解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．图26.2.3观 察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．思 考这两个函数的图象之间有什么关系？概 括通过观察、分析，可以发现：函数y ＝2（x －1）2与y ＝2x 2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y ＝2（x －1）2的图象可以看作是将函数y ＝2x 2的图象向右平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是（1，0）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2（x －1）2的性质：当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．做一做在同一直角坐标系中画出函数y ＝2（x ＋1）2与函数y ＝2x 2的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数y ＝2（x ＋1）2的图象可以看成由函数y ＝2x 2的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数y ＝2（x ＋1）2的性质．思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31（x ＋2）2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？试说出函数y ＝－31（x ＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．练 习1. 已知函数y ＝31x 2、y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2．（1） 在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2） 分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3） 分别讨论各个函数的性质．2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝31x 2得到抛物线y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2？3. 你能说出函数y ＝a （x －h ）2（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y ＝2（x －1）2＋1的图象和性质．分 析我们已经知道函数y ＝2（x －1）2的图象与函数y ＝2x 2的图象之间的关系． 在此基础上，可以找到函数y ＝2（x －1）2＋1的图象与函数y ＝2（x －1）2的图象之间的关系．试一试（1） 填写下表．（2） 从上表中，你能分别找到函数y ＝2（x －1）2＋1与函数y ＝2（x －1）2、y ＝2x 2的图象的关系吗？（3） 进一步，你能发现函数y ＝2（x －1）2＋1有哪些性质？做一做（1） 在图26.2.3中，再画出函数y ＝2（x －1）2－2的图象，并将它与函数y＝2（x －1）2 的图象作比较．（2） 试说出函数y ＝－31（x －1）2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．练 习1.已知函数y ＝21x 2、y ＝21（x ＋2）2＋2和y ＝21（x ＋2）2－3．（1） 在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；（2） 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试讨论函数y ＝21（x ＋2）2－3的性质．2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝21x 2得到抛物线y ＝21（x ＋2）2＋2和抛物线y ＝21（x －2）2－3？如果要得到抛物线y ＝21（x ＋2）2－6，那么应该将抛物线y ＝21x 2作怎样的平移？y ＝a （x －h ）2＋k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．4.不画出图象，直接说出函数y ＝－3x 2－6x ＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x 2－6x ＋8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数y ＝－21x 2＋x －25的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析 因为 y ＝－21x 2＋x －25＝－21（x －1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象． 解 列表．画出的图象如图26.2.4．图26.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝－2．做一做（1） 请你按照上面的方法，画出函数y ＝21x 2－4x ＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2） 通过配方变形，说出函数y ＝－2 x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 思 考对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练 习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y ＝3（x ＋3）2＋4； （2） y ＝－2（x －1）2－2；（3） y ＝21（x ＋3）2－2； （4） y ＝－32（x －1）2＋0.6．2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y ＝2x 2＋4x ； （2） y ＝－2x 2－3x ；（3） y ＝－3x 2＋6x －7； （4） y ＝21x 2－4x ＋5．3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y ＝－2（x －1）2＋4； （2） y ＝21（x ＋2）2－5；（3） y ＝－31x 2－2x ＋1； （4） y ＝x 2－4x ＋7．应 用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题． 问题1 这个问题实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）取得最大值．将这个函数的关系式配方，得y ＝－2（x －5）2＋50．显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x ＝5时，函数取得最大值y ＝50．这时，AB ＝5（m ），BC ＝20－2x ＝10（m ）．所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m ，与墙平行的一边长10 m 时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2．问题2 实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－100x 2＋100x ＋200（0≤x ≤2）取得最大值．请同学们完成这个问题的解答．例5 用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解 设做成的窗框的宽为x m ，则长为236x-m ．这里应有x ＞0，且236x-＞0，故0＜x ＜2．做成的窗框的透光面积y 与x 的函数关系式是y =x •236x -, 即 y =x x 3232+-.配方得 y ＝－23（x －1）2+23,所以当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝1.5．因为x ＝1时，满足0＜x ＜2，这时236x-．所以应做成宽1 m 、长1.5 m 的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m 2．练 习1. 求下列函数的最大值或最小值．（1） y ＝x 2－3x ＋4； （2） y ＝1－2x －x 2；（3） y ＝237272+-x x ； （4） y ＝100－5x 2；（5） y ＝－6x 2＋12x ； （6） y ＝－23x 2－4x ＋1．2. 有一根长为40 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？3. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x ，将它们的积表示为x 的函数）图26.2.53. 求二次函数的函数关系式问题2如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB ）的薄壳屋顶．它的拱宽AB 为4 m ，拱高CO 为0.8 m ．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？图26.2.6分 析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图26.2.6，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 （a ＜0）． （1）因为AB 与y 轴交于点C ，所以CB ＝2AB＝2（m ），又CO ＝0.8 m ，所以点B 的坐标为（2，－0.8）．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入（1），得－0.8＝a ×22，所以 a ＝－0.2．因此，函数关系式是yx 2．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式． 例6 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9．根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 例7 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解 设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c ＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到⎩⎨⎧=+=+.939,324b a b a 解这个方程组，得a =23，b =-23 所以，所求二次函数的关系式是y=123232+-x x .注 意求二次函数的关系式，应根据不同条件，选用适当形式． 练 习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）； （2） 已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）； （3） 已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．2. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）． （1） 求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2） 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？1. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象．（1） y ＝31x 2＋2与y ＝31x 2－3；（2） y ＝－21（x ＋3）2与y ＝－21（x －1）2；（3） y ＝－3（x －2）2与y ＝－3（x －2）2＋1； （4） y ＝－（x ＋3）2－1与y ＝－（x ＋3）2＋2． 2. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）y ＝x 2－3x －4； （2）y ＝2－4x －x 2；（3）y ＝21x 2－2x －1； （4）y ＝－43x 2＋6x －7；（5）y ＝2x 2－3x ； （6）y ＝－2x 2－5x ＋7．3. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标． （1）y ＝4x 2－4x ＋1； （2）y ＝－4x 2－9； （3）y ＝－4x 2＋3x ； （4）y ＝3x 2－5x ＋6．4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）； （2） 已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）； （3） 已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中． （1） 求这条抛物线所对应的函数关系式；（2） 如图，在对称轴右边1 m 处，桥洞离水面的高是多少？(第5题)§26.3 实践与探索生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．请与同伴共同研究，尝试解决下面的问题．问题1某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图26.3.1（1）所示．根据设计图纸已知：在图26.3.1（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54．（1） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ （2） 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？问题2图26.3.2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图26.3.2．现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分 析根据已知条件，要求ED 宽，只要求出FD 的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D 的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．你会求吗？问题3画出函数432--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1） 图象与x 轴交点的坐标是什么？（2） 当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程432--=x x y 有什么关系?（3） 你能从中得到什么启发?试一试根据问题3的图象回答下列问题．（1） 当x 取何值时，y ＜0？当x 取何值时，y ＞0？ （2） 能否用含有x 的不等式来描述（1）中的问题？练 习1. 画出函数y ＝x 2－2x －1的图象，求方程x 2－2x －1＝0的解．（精确到0.1）2. 你能否画出适当的函数图象，求方程3212+=x x 的解？问题4育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程3212+=x x 的解时，几乎所有学生都是将方程化为03212=--x x ，画出函数3212--=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和的图象321+=x y ，如图26.3.3，认为它们交点A 、 B 的横坐标－23和2就是原方程的解．图26.3.3对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论．做一做 利用图26.3.4，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理． （1） x 2＋x －1＝0（精确到0.1）； （2） 2x 2－3x －2＝0． 习题26.3 1. 如图，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约132m ；铅球落地在点B 处．铅球运行中在运动员前4 m 处（即OC ＝4）达到最高点，最高点高为3 m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？2. 某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．（1） 写出售价x （元/件）与每天所得的利润y （元）之间的函数关系式； （2） 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？ 3. 利用函数的图象求下列方程的解．（1） x 2＋x －12＝0； （2）2x 2－x －3＝0． 4. 利用函数的图象求下列方程组的解．（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=;,23212x y x y （2）⎩⎨⎧-=--=.,132x x y x y 小 结一、 知识结构图26.3.4(第1题)二、注意事项1. 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．要学会分析实际问题中的变量与变量间的关系，列出函数关系式，善于利用二次函数的图象和性质去解决问题．2. 二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具，注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），并由此发现和认识二次函数的一些性质，如：何时函数值y随自变量x的增加而增加（或减小）？何时函数取得最大（小）值？在学习二次函数时，要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法（包括利用函数的图象求解方程与方程组）．3. 在研究二次函数的图象和性质时，首先抓住最简单的二次函数y＝ax2（a ≠0）的图象和性质．对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为y＝a（x－h）2＋k（h、k为常数）的形式，抓住它与y＝ax2的图象之间的联系来研究．要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法．复习题A组1.填写表中的空格．2.画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值．（1） y ＝1－3x 2； （2） y ＝x 2－4x ＋5； （3） y ＝x 2－6x ； （4） y ＝－3x 2＋6x －1．3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y ＝x 2－2x －4； （2） y ＝1＋6x －x 2；（3） y ＝－x 2＋4x ； （4） y ＝41x 2－x ＋4．4. 已知函数y ＝2x 2－3x －2． （1） 画出函数的图象；（2） 观察图象，说出x 取哪些值时，函数的值为0． 5. 已知二次函数y ＝（x －2）2－1．（1） 先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象； （2） 观察图象确定：x 取什么值时，① y ＝0；② y ＞0；③ y ＜0． 6. 说出下列函数的图象是将抛物线y ＝3x 2经过怎样的平移得到的．（1）232-=x y ； （2）2)21(3-=x y ；（3）4)21(32+-=x y ； （4）y ＝3x 2－6x ．7. 求满足下列条件的对应的二次函数的关系式． （1） 抛物线经过（2，0）、（0，－2）和（－2，3）三点； （2） 抛物线的顶点坐标是（6，－4），且过点（4，－2）．B 组8. 填空：（1） 抛物线y ＝x 2－3x ＋2与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____________；（2） 抛物线y ＝－2x 2＋5x －3与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____________．9. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2经过点（－1，0），求a 的值，并求这条抛物线的顶点坐标．10. 观察下面的表格．（1） 求a 、b 、c 的值，并在表内的空格中填上正确的数；（2） 设y ＝ax 2＋bx ＋c ，求这个二次函数的顶点坐标与对称轴． 11. 若抛物线y ＝x 2－x －2经过点A （3，a ）和点B （b ，0），求点A 、点B ． 12. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）间有下述的函数关系式：sxx 2．现该车在限速140 km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ．请推测刹车时，汽车是否超速？C 组13. 如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m ．求这个门洞的高度．（精确到0.1 m ）(第13题)（第14题）14. 如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05 m ．（1） 建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式； （2） 若该运动员身高1.8 m ，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m 处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？15. 某市经济开发区建区以来5年的财政收入情况如图所示，可以看出图中的折线近似于抛物线的一部分．（1） 试求出过A 、C 、D 三点的二次函数的关系式 （2） 利用（1）的结果，分别求出当x ＝2和x ＝5时该二次函数的函数值，并分别与点B 、点E 的纵坐标比较；（3） 利用（1）中的二次函数的关系式预测该开发区第6年的财政收入可能达到的数值．（精确到0.1亿元）(第15题)。
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二次函数的图象1、二次函数的性质2、二次函数解析式的几种形式：①一般式：2y ax bx c（a、b、c 为常数，a≠0）②顶点式：2y a（x h）k（a、h、k 为常数，a≠ 0），其中（h，k）为顶点坐标。
③交点式：y a（x x1）（x x2），其中x1 ，x2是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一2元二次方程ax2 bx c 0 的两个根，且a≠ 0，（也叫两根式）3 、求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法22①配方法：将解析式y ax bx c化为y a（x h） k 的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x h，若a>0，y有最小值，当x＝h时，y最小值k；若a<0，y有最大值，当x＝h时，y最大值k。
b ，4ac b2 ②公式法：直接利用顶点坐标公式（2a 4a ），求其顶点；对称轴是直线x ba 0，y有最小值，当x b时，y 最小值4ac b；2a ，若2a 4a 若a 0 ，y 有b 4ac b2x 时，y 最大值最大值，当2a 4a4、抛物线与x 轴交点情况：2对于抛物线y ax bx c （a≠ 0）2①当b2 4ac 0时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。
2②当b2 4ac 0时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。
2③当b2 4ac 0 时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。
x5、求根公式：b b 4ac2ax赠送以下资料二次函数的应用》中考题集锦10 题已知抛物线y x2mx 2m2（m 0）．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点P（0，n）作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边），是否存在实数m，n ，使得AP 2PB ？若存在，则求出m，n 满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：y x 2mx 2m2x m 9m2 ，249 当m 0 时，抛物线顶点的纵坐标为m2 0 ，4 顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．或者，当m 0 时，抛物线与y 轴的交点（0，2m2）在x轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法 2 ：2 2 2m24 1 （ 2m2） 9m2，2当m 0 时，9m20 ，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m，n ，使得AP 2PB．设点B的坐标为（t，n），由AP 2PB知，①当点B 在点P的右边时，t 0，点A的坐标为（ 2t，n），且t，2t 是关于x 的方程x2mx 2m2n 的两个实数根．2 2 2 92m24( 2m2n) 9m24n 0 ，即n m2．4 且t ( 2t) m(I)，t (2)t m n2(II )由（I ）得，t m，即m 0 ．将t m代入（II ）得，n 0 ．当m 0且n 0时，有AP 2PB．②当点B 在点P 的左边时，t 0，点A的坐标为（2t，n），且t，2t 是关于x 的方程x2mx 2m2n 的两个实数根．m24( 2m2n) 9m24n 0 ，即n 9m2．4且t 2t m(I)，t 2t 2m2n(II )由（I ）得，t ，即m 0．3m 20 2 9 2将t 代入（II ）得，n m2且满足n m2．3 9 4当m 0且n 20 m2时，有AP 2PB9第11 题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为S 10t t2，若滑到坡底的时间为 2 秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24 米Ｂ．12 米Ｃ．12 3米Ｄ．6 米答案：Ｂ第12 题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的 3 月25 日起的180 天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（1）直接写出图（ 1）中表示的市场销售单价 y （元）与上市时间 t （天）（ t 0）的函数 关系式；（2）求出图（ 2）中表示的种植成本单价 z （元）与上市时间 t （天）（t 0 ）的函数关系 式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最 大？（说明： 市场销售单价和种植成本单价的单位：元／ 500 克．） 答案：解：（ 1）依题意，可建立的函数关系式为：2t 160 （0 t 120）， 3y 80 （120≤ t 150），2t 20 （150 ≤ t ≤ 180）．2）由题目已知条件可设 z a （t 110）2 20 ．85图象过点 （60，85） ，3化简得85 2a(60 110)2 12 z (t 110)2 300(3)设纯收益单价为 20． a 3100 20 (t 0) ．W 元，则 W =销售单价 成本单价．1(t 110)2 20 (0 t 120)， 300故 W 80 2t 160 3 12 (t 110)2 20 (120≤ t 150)，3002 1 2t 20 (t 110)2 20 (150≤ t ≤ 180)． 5 3002(t 110)2 60 (120≤ t 150)， (t 170)2 56 (150≤ t ≤ 180)． 12①当 W （t 10）2 100（0 t 120）时，有 t 10时， W 最大，最大值为 100； 30012②当W （t 110）2 60（120≤ t 150）时，由图象知，有 t 120时， W 最大，最2 大值为 59 ；3 12③当 W （t 170）2 56（150≤ t ≤ 180）时，有 t 170时， W 最大，最大值为 56． 300 综上所述，在 t 10时，纯收益单价有最大值，最大值为 100 元．第13题如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球， 球从离地面 1米的 A 处飞出（ A 在 y轴 上），运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M ，距地面约4 米高，球落地后又一次弹起． 据实验， 足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 4 3 7 ）（3）运动员乙要抢到第二个落点 D ，他应再向前跑多少米？（取 2 6 5）1213002 (t 10)2100 (0 t 120)，1 3001300抛物线的表达式为 由已知：当 x 0 时 y 1．即 1 36a 4， a 112y a( x 6)2 4． 答案：解：（ 1）（表达式为y （x 6）2 4．1212（或y x2 x 1 ）1212（2）（3 分）令y 0，（x 6）2 4 0．12（ x 6） 48．x1 4 3 6 ≈13，x2 4 3 6 0 （舍去）．足球第一次落地距守门员约13 米．（3）（4 分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF （即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了 2 个单位）2 1（x 6）2 4 解得x1 6 2 6，x2 6 2 6．CD x1 x2 4 6 ≈10．BD 13 6 10 17 （米）．12解法二：令（x 6）2 4 0．12解得x1 6 4 3（舍），x2 6 4 3≈13．点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为y 1（x k）2 2．1212将C 点坐标代入得：（13 k）2 2 0．12解得：k1 13 2 6 13 （舍去），k2 6 4 3 2 6 ≈6 7 5 18．12y (x 18)2 2 1212令y 0，0 (x 18)2 2．12x1 18 2 6 (舍去)，x2 18 2 6≈23．BD 23 6 17 （米）．解法三：由解法二知，k 18，所以CD 2（18 13） 10，所以BD （13 6） 10 17．答：他应再向前跑17 米．第14 题荆州市“建设社会主义新农村” 工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费 2.7 万元；购置滴 灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为 0.9 ；另外每公 顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖 7.5 万元．（1）基地的菜农共修建大棚 x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为 y （万元）， 写出 y 关于 x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 5 万元收益，工作组应建议他修建多少公项 大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施 3 年内不需增加投资仍可继续使 用．如果按 3 年计算， 是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收 益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（ 1） y 7.5x 2.7x 0.9x 2 0.3x0.9x 2 4.5x ．222）当 0.9x 2 4.5x 5 时，即 9x 2 45x 50 0 ，5从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建 公顷大棚． 3（3）设 3 年内每年的平均收益为 Z （万元）2 2 2Z 7.5x 0.9x 0.3x 2 0.3x 0.3x 2 6.3x 0.3 x 10.5 33.075（10 分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为 10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过 10.5 公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过 10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．2③当 0.3x 2 6.3x 0时， x 1 0， x 2 21．大棚面积超过 21公顷时，不但不能收益， 反而会亏本． （说其中一条即可）第 15 题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为 18 元，按定价40 元出售，每月可销售 20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研， 每降价 1元，月销售量可增加 2 万件．（1）求出月销售量 y （万件）与销售单价 x （元）之间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；（2）求出月销售利润 z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价 x （元）之间的函数关 系式（不必写 x 的取值范围） ；（3）请你通过（ 2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月 销售利润不低于 480 万元．答案：略．第 16 题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 8m ，宽为 2m ，隧道最高点 P 位于 AB 的中央且距地面 6m ，建立如图所示的坐标系 （1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高 4m ，宽 2m ，能否从该隧道内通过，为什么？x1 3，10x2233）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点A 0，2 ，P 4，6 ，设抛物线的方程为y ax2bx c 将A，P，D 三点的坐标代入抛物线方程．12解得抛物线方程为y 1 x2 2 x 2412（2）令y 4 ，则有x2 2x 2 44解得x1 4 2 2，x2 4 2 2x2 x1 4 2 2货车可以通过．1（3 ）由（2 ）可知x2 x1 2 2 222 1货车可以通过．第17 题如图，在矩形ABCD中，AB 2AD ，线段EF 10．在EF 上取一点M，分别以EM，MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？H N G E M F答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD，MN MF．AD AB ．AB 2AD，MN x ，MF 2x ．EM EF MF 10 2x ．S x(10 2 x)52252 x ．22B 8，22x 2 10 x当x 25时，S有最大值为225．第18 题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A kx ，并且当投资 5 万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B ax2bx ，并且当投资 2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资 4 万元时，可获利润 3.2 万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当x 5时，y1 2，2 5k，k 0.4 ，y A 0.4x ，当x 2时，y B 2.4 ；当x 4时，y B 3.2．2.4 4a 2b3.2 16a 4b解得a 0.2 b 1.62y B 0.2x 1.6x ．（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品（10 x）万元，获得利润W 万元，根据题意可得W 0.2x21.6x 0.4（10 x） 0.2x21.2x 4W 0.2（ x 3）25.8当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润 5.8 万元，所以投资A种商品7万元，B种商品 3 万元，这样投资可以获得最大利润 5.8 万元．第19 题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3 50m ， 5 根支柱A1B1，A2B2，A3B3，A4B4，A5B5 之间的距离均为15m，B1B5 ∥ A1A5 ，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点B1，B3，B5 的坐标；2）求图（2）中抛物线的函数表达式；3）求图（1）中支柱A2B2，A4B4 的长度．答案：（1）B1（ 30，0），B3（0，30），B5（30，0）；2）设抛物线的表达式为y a（x 30）（x 30），把B3 (0，30) 代入得y a(0 30)(0 30) 30．1∴ a ．301 ∵所求抛物线的表达式为：y (x 30)(x 30) ．30( 3)∵ B4 点的横坐标为15，1 45∴ B4 的纵坐标y4 (15 30)(15 30) ．4 4 30 2∵ A3B3 50 ，拱高为30，∴立柱A4B4 2045 854 42 2由对称性知：A2B2 A4B4 825(m) 。
二次函数(共26张PPT)
零点
零点
零点是函数与x轴的交点，对应于抛物线与x轴的交 点。
美丽的桥梁
这张照片是一张桥梁夕阳美景的照片，代表着美丽 与自然的结合。
判别式
二次函数的判别式Δ=b²-4ac表示抛物线与x轴的交点个数。如果Δ>0，则有两个 交点；如果Δ=0，则有一个交点；如果Δ<0，则没有交点。
基本形式
1 标准式
f(x)=ax²
二次函数
二次函数在数学中是一个重要的概念，涉及到图像、最值、应用等方面。本 次26张PPT涵盖了二次函数的各个方面，希望能帮助大家更好地理解这个概念。
定义
二次函数是形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的 抛物线。
图像
二次函数图像
2 顶点式
f(x)=a(x-h)²+k
3 一般式
f(x)=ax²+bx+c
标准形式
定义
标准式是二次函数的一种形式， 其中二次项系数a=1，常数项 c=0。
公式
f(x)=x²
图像
开口朝上或下，左右对称
图像美学
蔚蓝海岸线和彩色天空构成完美背景，并营造出温 馨优美的氛围。
对称轴
二次函数的对称轴是过抛物线顶点的一条直线。对称轴可以是水平或垂直线。
顶点
顶点坐标
顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))
寻找顶点
找到对称轴，然后代入函数公式求得顶点坐标
ห้องสมุดไป่ตู้
美丽的山景
这幅精美的照片展现了一个山丘和群山的自然美景，使我们感叹自然之美。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结初中数学二次函数知识点总结二次函数的图象与性质二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大（小）值y=ax2a>0时，开口向上；a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当a0时，当x=0时，=0；当a0时，当x=0时，=c；当a0时，当x=h时，y 最小=0；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，开口方向向上；a1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。
h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a开口3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口；当a0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0;k0时，函数在x=h 处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k当ah范围内事增函数，在x且X（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y 代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。
两交点X值就是相应X1X2值。
两图像对称①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称；②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称；③y=ax2+bx+c与y=-a(x-h2+k关于顶点对称；④y=ax2+bx+c与y=-a(x+h2-k关于原点对称。
二次函数知识点汇总
二次函数的复习知识点1二次函数的定义1、一般地，如果=a 2bc （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么叫做的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． 2、当b=c=0时，二次函数=a 2是最简单的二次函数． 练习1）下列函数中，二次函数的是（ ）A ．=a 2bcB 2)1()2)(2(---+=x x x y C xx y 12+= =—1 练习2）如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m是二次函数，那么m 的值为知识点2二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。
已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。
（1）二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于包括重合y 轴的抛物线 （2）二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）对于=a 2bc 而言，其顶点坐标为（ ，）．对于=a （－h ）2而言其顶点坐标为（ ， ）。
二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,=练习3）抛物线1822-+-=x x y 的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___ 练习4）若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为 （4）二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线=－2ba运用抛物线的对称性求对称轴，若抛物线上有两点 A （m,n ）、B2pm +A B 243y x x =-+A B c bx ax y ++=20>a 0<a 2y ax bx c =++a 1x =()()212y y -1，，，1y 2y 1y 2y 542+-=mx x y 2-<x y x 2->x y x 2-=x y 22-41有最小值-3,则m 等于B-1 C±1 D±12练习9）已知二次函数的图象0≤≤3如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是 A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1，有最大值0 C ．有最小值－1，有最大值3 D ．有最小值－1，无最大值练习10）填表： 开口方向 对称轴顶点坐标最值增减性2)3(2+-=x y 412322--=x x y特性函数 特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内练习11）若二次函数2()1y x m =--．当x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m = B ．m > C ．m ≥ D ．m ≤练习12）若二次函数=a 2bc 的与的部分对应值如下表：X -7 -6 -5 -4 -3 -2-27-13-3353则当=1时，的值为 （可用多种解法） 2、画二次函数的图象：首先将一般式化为顶点式①画对称轴②确定顶点③确定与轴交点关于对称轴对称的点 ④确定与轴的交点或另选一组较简的对称点⑤连线 练习13）已知二次函数215222y x x =+-画出它的图象3、抛物线的平移、对称、旋转：首先化二次函数的解析式为顶点式，抓住关键点顶点的变化，顶点决定抛物线的位置 ① 抛物线=a 2bc 关于X 轴对称的抛物线解析式是（方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理） ② 抛物线=a 2bc 关于Y 轴对称的抛物线解析式是（方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）练习14）将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）A 1)1(32---=x y B 1)1(32-+-=x y C 1)1(32+--=x y D 1)1(32++-=x y 15）二次函数c bx x y ++=2的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）、4 B －8、14 、6 D －8、－14 4、抛物线=a 2bc 的位置与参数a 、b 、c 及相关特殊代数式的符号的关系： ①a 的符号判别---开口向上 a 0；开口向下 a 0； ②c 的符号判别---由抛物线的与Y 轴的交点来确定： 若交点在轴的正半轴；若交点在轴的负半轴；若交点在原点c 0；③b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧、b同号；对称轴在Y 轴的右侧、b 异号。
二次函数一轮复习课件
y x=—12
增减性: 当 x 1 时,y随x的增大而减小
当 x 21 时,y随x的增大而增大
(-2,0) 0
(3,0)x 最值: 2
当 x 1 时,y有最 小值,是 25
2
4
(1,-6) 函数值y的正负性:
(0,-6)（—12 ，- 2—45 ）
当 x<-2或x>3 时,y>0
当 x=-2或x=3 时,y=0
y x=—12
画二次函数的大致图象:
①画对称轴
②确定顶点
(-2,0) 0
(3,0)x
③确定与y轴的交点 ④确定与x轴的交点
⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点
(1,-6) ⑥连线
(0,-6)（—12 ，-
25 —4
）
二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_（__—12_，__-_2—4_5 ）__ 对称轴是___x_=—_12____。
Y=-1/10x²+34x+8000
练习
• 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价 50元售出，那么每月可售出500个，根据销售经 验，食欲每提高1元，销售量相应减少10个。
• （1）假设销售单价提高元，那么销售每个篮球
所获得的利润是
元；这种篮球每月的
销售量是
个（用含的代数式表示）。
• （2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利 润？如果是，请说明理由；如果不是，
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)
《30.4 二次函数的应用 第二课时》精品课件
典例精析
解：(1)设△DCE 的边CD上的高为h cm，△ABC 的边BC上的
4ac 4a
b2
.当a＞0时，在顶点处取得
最小值，此时不存在最大值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，
此时不存在最小值．
探索新知
2. 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若在自变量的取值范
围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，
最小值在
x＝
b 2a
处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的
典例精析
解：∵ S 24 4x x 4 x2 8x
3Hale Waihona Puke 34 ( x 3)2 12. 3
a 4 ＜0, 3
∴ 当x =3时，S 有最大值，且S最大＝12m2 答：当x=3时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，
最大面积为12 m2.
典例精析
例3 如图，已知△ABC 的面积为2 400 cm2，底边BC 长为80cm. 若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四 边形BDEF 为平行四边形，设BD＝x (cm)， S▱BDEF＝y (cm2)，求： (1)y 与x 之间的函数关系式． (2)自变量x 的取值范围． (3)当x 为何值时，y 取得最大值？最大值是多少？
较大的函数值；当a＜0时，
最大值在 x＝ b 处取得，
2a
第二十六部分 二次函数
第二十六部分 二次函数中考考点导航1.中考导航图解2.中考命题命趋向二次函数的定义有时在中考试题中以填空、选择题的形式出现，难度不大，注生蜞础知识的考查，二次函数的图象和性质是中考的重点内容，主要以选择题、填空题或解答题的形式出现，用待定系数法求二次函数解析式是中考的热点之一，常与一次函数及反比例函数几何图形相结合出现在解答题或压轴题中。
中考知能梳理考点1 二次函数的概念（1）二次函数：一般地，形如c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数。
注意：二次函数满足的条件：①a ≠0，②x 的最高次数为2。
（2）二次函数的几种特殊形式：①若b=c=0,则y=2ax 。
②若b=0,c ≠0则y=2ax +c 。
③若b ≠0,c=0则y=2ax +bx 。
考点2 二次函数的图象及几种重要形式的特点（1）二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0) 的图象是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
（2）几种常见形式的抛物线的特点（对称轴，顶点坐标）注意：顶点式、一般式、交点式之间可以相互转化，如果抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x x ，则可写成))((21x x x x a y --=，可把c bx ax y ++=2通过配方法化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(2-++=。
考点3 二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的变化情况（增减性）（1）如图1-26-1，当a>0时，对称轴左侧（x<a b 2-），y 随x 的增大而减小；对称轴右侧（x>ab 2-）,y 随x 的增大而增大。
（2）如图1-26-2，当a<0时，对称轴左侧（x<a b 2-），y 随x 的增大而增大；对称轴右侧（x>ab 2-），y 随x 的增大而减小。