材料力学第三章 能量法
材料力学能量法
限制条件：不适 用于求解动力学 问题如振动、冲 击等
适用范围：适用 于求解线性问题 如弹性、塑性等
限制条件：不适 用于求解非线性 问题如塑性、蠕 变等
材料力学能量法的发展趋势和未来 展望
材料力学能量法的发展趋势
计算方法：发展高效、准确 的数值计算方法
应用领域：拓展应用领域如 航空航天、生物医学等
柱的压缩问题
问题描述：柱在轴向 压力作用下的压缩问 题
应用实例：桥梁、建 筑等结构中的柱在受 压时的变形和破坏
能量法分析：利用能 量法分析柱的受压变 形和破坏过程
结论：能量法在柱的 压缩问题中的应用可 以有效地预测柱的变 形和破坏情况为工程 设计提供依据。
弹性体的振动问题
添加 标题
弹性体振动问题的背景：在工程中弹性体的振动问题非常常见如桥梁、建筑物、机械设备等。
定义和原理
材料力学能量法： 一种研究材料力学 问题的方法通过分 析能量变化来求解 问题。
基本概念：能量、 应力、应变、位移 等。
原理：根据能量守 恒定律材料的变形 和破坏过程中能量 会发生变化通过分 析这些变化可以求 解问题。
应用：广泛应用于 结构分析、优化设 计等领域。
能量法的应用范围
结构力学：分析结构受力、变形和稳定性 材料力学：分析材料应力、应变和断裂 流体力学：分析流体流动、压力和速度 热力学：分析热传导、对流和辐射 电磁学：分析电磁场、电磁波和电磁感应 声学：分析声波传播、反射和吸收
能量法的基本假设
材料是连续、均匀、各向同性的
材料是线弹性的应力与应变成正 比
添加标题
添加标题
材料是弹性的满足胡克定律
添加标题
添加标题
材料是各向同性的应力与应变的 关系与方向无关
材料力学-能量法
U
l
N 2( x)dx 2EA
l
M
2 n
(
x
)dx
2GI P
l
M 2( x)dx 2EI
（9-8）
注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。
例1 试分别计算图示各梁的变形能 例1图
解：求各梁的变形能 a b
c
Ua
0l
M 2( x)dx 2EI
0l
(
Px)2 2EI
dx
P 2l3 6EI
Ub
0l
M 2( x)dx 2EI
W 1 P
2
(9-2)
式中： P —— 广义力（力、力偶）
——广义位移（线位移、角位移）
广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义
位移就是线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶， 相应的广义位移就是角位移（在力偶作用处的角位移）。
（二）变形能和比能
1. 轴向拉伸与压缩时的变形能
a. 轴力为常量： ( N P,l Nl )
材料力学
能量法
一、外力功与变形能
本章考虑杆件在线弹性范围内的能量法计算问题。
能量法——利用功和能的概念来解决变形体的位移、变 形和内力等计算的方法。
在线弹性范围内，外力功 W 全部转变为变形能 U，不 考虑能量的损耗。因此有
W=U
（一）外力功
1. 常力作功（P 为恒力）
W P
(9-1)
2. 变力作功（P 从0逐渐增加到最终值）
EA
U W 1 Pl N 2l
2
2EA
（9-3）
u
U V
N2 2EA2
2
2E
1
2
u 为比能，即单位体积的变形能。
材料力学：能量法
P
P1
l
P
Δ1
o
d
1
外力作功为
W 0 P dΔ
Ve W Δ1
0
P dΔ
p
l
p
P
从拉杆中取出一个各边为 单位长 的单元体， 作用在单元体上，下两表面的力为 P= 1 1 =
其伸长量
l=1=
p
1
p
d
1
该单元体上外力作功为
0 d
§3-2
一、应变能
应变能 • 余能
1. 线弹性条件下，通过外力功求应变能 常力作功：常力 P 沿其方向线位移 上所作的功
W P
变力作功：在线弹性范围内，外力 P 与位移 间呈线性
关系。 (静荷载为变力）
P
P
l
P
o
轴向拉（压）杆外力作功
Pl F N l EA EA
FN
P P P l 2 sin a 2tga 2d
P
2 FN d l
l
d
a1
l
a1
FN
FN
d
A P1
P
2 FN d P l
FN l EA
d2 l l l 2 l 2 2l l
2
l
(
FNl ) EA
2
2l (
FN l ) EA
0
1 1 2 d E1 2 2E
2
扭转杆
G
ve
1
0
1 1 2 d G 1 2 2G
2
例 题： 在线弹性 范围内工作的杆， 已知： m、G、l、d 。 求：在加载过程中所积蓄的应变能 Ve。
材料力学第26讲 Chapter3-1第三章 能量法(应变能 余能)
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题； 也可用于非线性弹性问题； 曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理 余能原理－卡氏第二定理 虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能 余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能 （不
转化成动能、热能） ，贮存于弹性体内部。
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功 等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz
材料力学第29讲 Chapter3-4第三章 能量法(虚位移原理及单位力法)
实际载荷－系统1
FA
F1
F2
F3 F4
FB
A
B
E I,l
M MdM
1 2
d
1 2
d
1 2
d
1 2
d
dx
dx
F S FS dFS
1 2
d
dx
1 2
d
FA
A
虚位移
单位载荷－系统2
F 1
FB
B
E I,l
x
外力
内力
F 1, F A , F B
M ,FS
dW' dWi 0
dWi dW'
内力总虚功
Wi
l dW'
0
0l(MdFSd)
由虚位移原理 We Wi 0 得：
nF iil (M d F Sd F N d T d )
i 1
8
杆件的虚位移原理的具体表达式
nF iil (M d F Sd F N d T d )
i 1
在推导杆件的虚位移原理表达式时，完全没有涉及物性 方面的问题。因此，虚位移原理既不限定用于线性问题，也 不限定用于弹性问题。
3. 利用单位力法公式计算位移
x
E I,l M(x) x
o
1
l
(ME M IdxF SG sF A Sdx)
l
FN
FN EA
dx
1
5 5
F FNili Ni EA
1
P a
3
3 EA
3
A
1 3
3
1 3 B 1 3
1
i 1
5 3
材料力学能量法
材料力学能量法材料力学能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量原理来研究材料的力学性能和行为。
能量法在工程应用中具有广泛的意义，可以用于解决各种复杂的材料力学问题。
本文将对材料力学能量法进行详细介绍，包括其基本原理、应用范围和计算方法等内容。
首先，我们来看一下材料力学能量法的基本原理。
能量法是以能量守恒原理为基础的一种力学分析方法，它认为在任何力学系统中，系统的总能量始终保持不变。
在材料力学中，通过能量方法可以方便地求解结构的变形、应力分布和稳定性等问题。
能量法的基本原理为系统的总能量等于外力对系统做功的总和，即系统的内能和外力对系统做功的总和保持恒定。
其次，材料力学能量法的应用范围非常广泛。
它可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等力学性能，也可以用于研究材料的疲劳、蠕变、冷却等行为。
在工程实践中，能量法可以应用于各种材料的设计、优化和性能评估，如金属材料、复合材料、土木工程材料等。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学行为，为工程设计和材料选型提供科学依据。
最后，我们来介绍一下材料力学能量法的计算方法。
能量法的计算方法主要包括弹性能量法、弹塑性能量法和断裂能量法等。
在应用中，需要根据具体问题选择合适的能量方法，并结合数值计算和实验验证进行分析。
在计算过程中，需要考虑材料的本构关系、加载条件和边界约束等因素，以确保计算结果的准确性和可靠性。
综上所述，材料力学能量法是一种重要的力学分析方法，具有广泛的应用前景和深远的理论意义。
通过能量法分析，可以更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据。
在今后的研究和应用中，我们需要进一步深入理解能量法的基本原理和计算方法，推动其在材料力学领域的发展和应用。
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
材料力学第27讲 Chapter3-2第三章 能量法(卡氏定理)
1
Ax
450
2
l2
l1 Ay
变形协调关系
Ax l1; A ysin4 5 0 A xco s4 5 0 l2
450
V
FN21l1 FN22l2 2EA 2EA
E2lA1 l12 E2lA2 l22
l FNl EA
E 2 lA 1 A x2 E 2 lA 2 A ysin 4 5 0 A xc o s4 5 02
变能V数值上等于余能Vc，则余能定理此时可改写为： Nhomakorabeai
V
(F1,F2 Fi
Fn)
卡氏第二定理
卡氏第二定理只适用于线性弹性情况。
19
例2 求简支梁中点作用集中力F作用时中点处的挠度。
（梁的弯曲刚度为EI，长为l）。
EI
F
A
C
l
2
l
解: 先求应变能
B
V
l M 2(x) d x 2
l 2
(
F 2
x)2 dx
Fn
1 2 i
n
图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1,2…n)，
相应位移为i (i=1, 2…n)
5
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i
n
梁内的应变能： V W
n
i 0
fid i
i 1
可见，最终梁内的应变能应是关于i (i=1,2…n)的函数，即
V V (1,2 n)
15
F1 F2 Fi
Fn
1 2 i 梁内的余能：Vc Wc
n
n
F i
0
id
fi
i 1
可见，最终梁内的余能应是关于Fi (i=1,2…n)的函数，即
孙训方版材料力学II第三章能量法
材料力学II 第三章能量法主讲：韩玉林东南大学工程力学系§3.1 概述在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。
物体在外力作用下发生变形，物体的应变Vε在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功W，即Vε=W§3.2 杆件应变能•余能应变能的一般表达式若取单元体的边长为dx 、dy 、dz ，则该单元体的应变能为dV ε= v εdx dy dz令dx dy dz = dV则整个拉杆内的应变能为V dV dVεεευ==∫∫而外力P 1做功为：1ΔΔ(3.1)W P d =⋅∫1ΔΔW P d =⋅∫1d εευσε=⋅∫V dV dVεεευ==∫∫V Wε=应变能的一般表达式（适用于线性和非线性关系）：整个杆件的应变能•整个杆件的应变能V ε与单位体积应变能v εVV v dVεε=∫若单位体积应变能v ε为常量，那么VV v dV v Vεεε==∫单位体积应变能v ε也称为应变能密度关于上述变形能计算的讨论：1以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。
2变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。
3 变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能随便使用。
只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。
4变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。
关于简单变形条件下，变形能计算的讨论（强调）：•变形能的计算有两种方式：•一种由外力做功等价为变形能。
外力同位移间不一定是线性关系。
•另一种通过杆件微段上的内力功等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。
如果是线弹性材料则实际上是通过最终应力乘以最终应变再除以2。
如果：•如果是线弹性材料，则实际上是通过单元体最终应力乘以最终应变再除以2（得到比能），再对整个杆件积分。
材料力学第26讲 Chapter3-1第三章 能量法(应变能 余能)
i
Ti 2li 2Gi I pi
变截面直杆
V
l
T2
dx
0 2G(x)I p (x)
变截面且变外力直杆
V
l T (x)2 dx
0 2G(x)I p (x)
11
3. 弯曲变形杆件应变能的计算
W
1 2
M e
l Mel
W M e2l 2EI
Me
EI
W V
V
M e2l 2EI
Me W
O
12
V W
7
一、 线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl 2
2l
F 2l V 2EA
O
F
l
F W
l l
8
其它情形轴向拉压变形时杆件应变能的计算
分段直杆 变截面直杆
V
i
FNi 2li 2Ei Ai
V
l
FN2
dx
BA
EA1 lBC EA1
A2 , E, l
C
解法二：
将力作用到B点， 求A点的位移
A
lAC lBC
B
lAC lBC
Fl EA1
29
二、非线性弹性问题
应变能的计算（利用计算功的形式）：
V W
1 Pd
0
P－广义力（力，力偶）
－广义位移（线位移，角位移）
30
1. 几何非线性问题
P
P
P1 W
O
其它情形弯曲变形时杆件应变能的计算
分段直杆
《材料力学(II)》第三章能量法
vc
1 d
0
余功与外力功
W 1 Fd 之和等于矩形面积 0
F11
F
F
曲线与纵 F1
dF
轴围成的
F
面积
11
o
1
材料力学Ⅱ电子教案
第三章 能量法
例题 图示等截面悬臂梁，E, I, A已知。在自由端受集中力F 和集中力偶M作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。 考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响.
第三章 能量法
例题 线弹性材料悬臂梁，受力如图所示，若F、EI、l等
均为已知，试用卡氏第二定理求： 1.加力点A处的挠度； 2.梁中点B处的挠度。
解：
F
x
1.加力点A处的挠度 C
B
l/2
l/2
A
弯矩： M Fx
Vε
M2 dx
l 2EI
F2 2EI
l 0
x 2dx
F 2l3 6EI
wA
Vε F
卡氏第二定理
i
V Fi
——卡氏第二定理
线弹性范围内，杆件的应变能对于杆件上某
一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。
28
材料力学Ⅱ电子教案
第三章 能量法
III. 卡氏第一定理和余(Δ1, Δ2 ,, Δi ,, Δn ) Vc f (F1, F2 ,, Fi ,, Fn )
(1 2
Δ12
Δ1 Δ2
1 2
Δ22 )
由卡氏第一定理，得
AB Δ1
Vε EA ( 4 Δ1 2l 2
2 Δ1
2 2
Δ2 )
0
BC
2 2
(1
2
)
Vε Δ2
材料力学能量法知识点总结
材料力学能量法知识点总结材料力学是工程力学的重要分支之一，研究材料在受力作用下的变形与破坏行为。
能量法是材料力学的基础理论之一，通过利用能量守恒原理，分析和求解材料的力学问题，具有重要的理论和实践价值。
本文将对材料力学能量法的基本概念、原理和应用进行总结。
1. 弹性势能与弹性应变能材料在受力作用下产生的变形能够存储为弹性势能，其中最常用的势能是弹性应变能。
弹性应变能是由于材料的弹性变形而储存的能量，可表示为弹性应变能密度。
2. 弹性势能的计算方法弹性应变能的计算方法主要有两种：一是通过力学平衡方程和材料力学性质的函数关系进行积分计算；二是通过应力-应变关系和应变能密度公式进行计算。
3. 弹性势能的应用弹性势能的应用涉及材料的变形、破裂、接头设计等问题。
通过计算弹性势能可以判断材料是否会发生破裂，并可用于材料的优化设计。
4. 塑性势能与塑性应变能材料在塑性变形时会产生塑性势能，塑性势能是由于材料的塑性变形而储存的能量。
塑性应变能可表示为塑性应变能密度。
5. 塑性势能的计算方法塑性势能的计算方法适用于材料的非弹性变形过程，常用的方法有等效应力法和Mises准则。
通过计算塑性势能可以估计材料在受力作用下的变形程度和破坏形式。
6. 塑性势能的应用塑性势能的应用主要涉及材料的变形、强度分析和塑性成形工艺等问题。
通过计算塑性势能可以评估材料的强度和变形能力，并可用于材料的成形优化。
7. 总势能与变分原理材料受到多种因素的叠加作用时，总势能是各种势能的代数和。
变分原理是能量法的基本原理之一，通过对总势能进行变分，得到材料力学问题的基本方程。
8. 总势能的应用总势能的应用主要涉及材料的稳定性分析和振动问题。
通过计算总势能可以判断材料的稳定性，预测振动频率和振动模式。
9. 耗散能与损伤模型材料在受力作用下会发生能量损耗，产生耗散能。
通过建立耗散能与应变的关系，可以描述材料的损伤行为，并建立损伤模型进行应力-应变分析。
材料力学能量法
材料力学能量法
材料力学是研究材料在外力作用下的变形、破坏和稳定性等问题的学科。
能量法是材料力学中的一种重要分析方法，它通过能量的守恒原理来分析材料的力学性能，为工程实践提供了重要的理论支撑。
本文将对材料力学能量法进行介绍，包括能量原理、应用范围、解题方法等内容，希望能为相关领域的研究人员和工程师提供一些参考。
在材料力学中，能量原理是指系统在外力作用下，能量的总变化等于外力所做的功。
根据这一原理，可以利用能量方法来分析材料的力学性能。
能量方法的应用范围非常广泛，可以用于分析材料的弹性、塑性、断裂等问题，也可以用于分析结构的稳定性和动力响应。
在工程实践中，能量方法被广泛应用于材料设计、结构优化和故障分析等领域。
在使用能量方法进行分析时，首先需要建立系统的能量平衡方程，然后根据系统的力学性能和外力条件，确定系统的势能和动能表达式。
接下来，可以利用能量平衡方程来推导系统的力学性能参数，比如应力、应变、位移等。
最后，通过求解能量平衡方程，可以得到系统的稳定性、破坏条件等重要信息。
除了上述基本方法外，能量方法还可以结合其他分析方法，比如有限元方法、变分原理等，来进行更复杂的问题分析。
在工程实践中，能量方法通常与实验测试和数值模拟相结合，可以为工程设计和材料选择提供重要的参考依据。
总之，材料力学能量法是一种重要的分析方法，它通过能量的守恒原理来分析材料的力学性能，为工程实践提供了重要的理论支撑。
希望本文的介绍能够对相关领域的研究人员和工程师有所帮助，也希望能够引起更多人对材料力学能量法的关注和研究。
材料力学第29讲 Chapter3-4第三章 能量法(虚位移原理及单位力法)
P
3
P
3
3. 利用单位力法公式计算位移
1
1
桁架结构：1
l
FN
FN EA
dx
1
F 5 5 FNili Ni EA
1
P a
3
3 EA
3
A
1 3
3
1 3 B 1 3
1
i 1
5 3
Pa EA
15
解： 本题也可用卡氏第二定理
P
P
V
5 i 1
FN2i li 2EA
3
3
PA
P 3
P
B
P
5
二单位力法11虚位移原理单位力法对系统2实际载荷系统1单位载荷系统212单位力法eaeigagieigaeagi推导单位力法时将虚设的单位力作为载荷将实际载荷引起的位移当作虚位移
材料力学 II
(4)
Energy Method—Part 4
第廿九讲
1
内容
1. 应变能和余能的计算 2. 卡氏定理 3. 用能量法解超静定系统 4. 虚位移原理及单位力法
l
1
Fl 2 2EI
2 3
l
M图
1
w A
1 EI
l 1
1 2
Fl
Fl 2 2EI
1 A
l
B
30
作业 P98：3-18（a） （第二册） P98：3-20（a）
P99：3-22（b）
下次课讲第二册第六章 动载荷和交变应力
31
M M dM
FB
dx
B
dx
1 2
d
1 2
d
FS FS dFS
1 2
材料力学第28讲 Chapter3-3第三章 能量法(超静定问题)
平衡方程数m<未知数目n
mpn
建立p个补充方程
4
以前求解超静定问题，都是等直杆、线弹性的问题。
对下列几种情形，用前述方法将很难进行求解。
复杂结构
复杂载荷
材料非线性
曲杆
P
P
F
A
B
EA
EA EA
l
l
R
A
B
P
O
5
例1: 图示超静定梁的各支座反力。
q
A
E I,l
B E I,l
C
6
解： 用以前的方法
q
选静定基
Fc
7 24
ql,
FA 254 ql,
FB
11 12
ql
11
例：求图示结构各杆的内力。
O
考虑以下两种情形：
1. 三杆均为线弹性材料， 2. 弹性模量为E；
A
AA
l l
2. 三杆均为非线性弹性材料，
有 K1n (n1) ；
K1n (n1) D
P
O
12
解:(1)线弹性问题
选静定基
利用能量法建立补充方程
材料力学 II (3)
Energy Method—Part 3
第廿八讲
1
§3–4 用能量法解超静定系统
求解超静定问题的基本方法
(1) 平衡方程(m个) (2) (equability (2) 变eq形ua协tio调n)方程
（compatibility equation）
(3) 本构方程 （constitutive equations）
F1
F2
O
卡氏第二定理
V 0 F2
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三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
M
x dq
1 T xd
2
FN2xdx M 2 xdx T 2xdx
2EA
2EI
2GI p
整个杆件的变形能
V
FN2 x dx
l 2EA
M 2 x dx
l 2EI
T 2 x dx
l 2GI p
M(x) FN(x)
注意：一般情况下，应变能为荷载的二次函 数，不能叠加。即几个荷载共同作用时的应变能 不等于每个荷载单独作用时的应变能之和。
外力作功
W
F
A D
弹性体内储存了应变能
B V
静载作用下：动能和其他能量均可不计
V W
弹性范围内，弹性体的变形是可逆的
超出弹性范围后，塑性变形将消耗一部分能量
本章讨论弹性问题
§3-2 应变能、余能
Ⅰ、 功
力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物 体做了功
W F du
AB
恒力功: W FP D1 F
能，通常忽略不计
总结：线弹性杆件应变能的公式
拉伸(压缩)变形应变能：V
FN x 2 dx
l 2EA
T 2 x dx
扭转变形应变能： V l 2GI p
M 2 x dx
弯曲变形应变能： V l 2EI
例题
弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图
所示。梁处于线弹性范围，且不计剪力的影响，试
l/ 0
2 F
2
F 2
ql 2
ql 2 2 2 l3 24
x2
F 2
ql 2
qx
3
q2 x4 4
F 2
ql 2
ql 4 64
q2l 5 640
dx
（4）求跨中挠度
wC
V F
F 0
1 EI
F 2
ql 2
l3 24
ql 4
128
F 0
5ql 4 384EI
二、杆件计算中的应用
应变能
M 2l V 2EI
q
m
l m
Oq
q
(三)弯曲
1.纯弯曲
应变能
M 2l V 2EI
2.横力弯曲中的弯曲应变能
F1
F2
x dx
剪力 Fs ( x) 剪切应变能
l
弯矩 M ( x) 弯曲应变能
微段
M 2 x dx
dV 2EI
dq
M(x)
M(x)
M 2 x dx
V l 2EI
dx
在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的剪力应变
但当杆件发生组合变形时，在线弹性、小变 形条件下，每一基本变形的内力对其他的基本变 形并不做功，故组合变形杆的应变能等于各基本 变形应变能的叠加。
杆系结构的应变能等于结构中每一根杆件的 应变能之和。
V V i
应变能的特征
应变能恒为正标量，与坐标系的选取无关。 应变能仅与荷载的最终值有关，而与加载的
w1
V F0
F0 F
Fs F F F0
A
w2
w1
B
b、若所求位移方向无Fi，则需沿所求位移方向加一个广 义力Fs(虚加，求偏导数后，即令其为零)：
w2
V Fs
Fs 0
M x M x
l
EI
(
Fs
) dx Fs 0
二、杆件计算中的应用 用卡氏第二定理计算杆件变形（位移）的步骤：
1、观察有无注意事项 2.列内力方程，对力求导
dx2
l 0
1 2 2
qx12 EI
2
dx1
l 0
1 ql 2 2 2EI
2
dx2
3q2l 5
20EI
习题 3-4 （C）
3F/2
x2
弯曲刚度为EI，拉伸刚度为EA。不计剪力 的影响，试计算结构的应变能。
解： CD段拉伸
FNCD
3F 2
AC段弯曲（以A为原点）
M
x1
Fx1
0
x1
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况：
应变能
V
FN2l 2EA
轴力沿轴线变化的情况:
dV
FN x 2 dx
2EA
应变能 V
FN x 2 dx
l 2EA
l
x
dx
l
FN ( x)
dx
F
Dl
(二)扭转 1、应变能
扭矩沿轴线不变的情况
线弹性范围内
W
1 2
M e
V
W
1 2
M e
Tl
GI p
Me T
3.
Di
V Fi
M M
T T
( )dx
( )dx
l EI Fi
l GIP Fi
例 图示梁的EI为常量，若不计剪力对变形的影响，试求截面C的
挠度wC。 解：令C处力为FC
1、列弯矩方程，并求导
BC段
FF
A
a Ca B
M x1 Fx1
M x1 0
FC CA段
0 x1 a
A
FC F
a)D i为沿广义力Fi方向的广义位移，Di为正表示与Fi方向
相同，为负表示与Fi方向相反，V 是整个结构的应变能
F
F
mm
b)仅适用于线弹性结构
3)应变能是内力的函数，是外力的复合函数
例 试用卡氏第二定理求图示梁中点C的挠度。
解：弯矩方程
M(x) F x 2
l/2
x
F 2
F l/2 C
F 2
V
2E
4
F
7F 2l
8E d
2
习题 3-4 （b）
q
B x2 l
C l
弯曲刚度为EI，不计剪力、轴力的影响， 试计算结构的应变能。
解：AB段:（以A为原点）
x1 A
M
x1
1 2
qx12
0
x1
l
BC段:（以B为原点）
M
x2
1 2
ql 2
0
x2
l
V
l M 2 x1 0 2EI
dx1
l M 2 x2 0 2EI
1、弯曲梁： 将积分与求导次序颠倒，将使计算简化
V
M 2( x) dx
l 2EI
Di
V Fi
M(x) M(x) ( )dx
l EI Fi
2、只有轴力的桁架：
V
n FN2j l j j1 2 EAj
D i
V Fi
n FNj l j j1 EAj
FNj F i
3、组合变形
V
FN2 ( x) dx l 2EA
顺序无关。 在线弹性范围内，应变能为内力（或位移）
的二次齐次函数，故力作用的叠加原理不再 适用。
习题 3-1 （a）
线弹性材料，弹性模量为E。试计算 结构的应变能。
3l
2d
V
FN2i li 2EAi
8
l
d
4
F 2 3l
F2 l
8
2d 2
4
d 2
2E
2E
4
4
3l
2d
8
F 2 3l
8
2d 2
解： 1.求 q
FR A
m0 2a
B
FR D
m0 2a
列弯矩方程，并求导
DC段
2a
C
a x2
Mx1
CB段
m0 2a
x1
M x1 x1
m0 2a
a
Mx2
m0 2a
2a
m0
BA段 Mx3 0
M x2 1 Mmx03 0
m0
B m0 A x3
FR A
D
x1
FR D
Mx1
m0 2a