(完整版)《用向量法求二面角的平面角》教案
利用法向量求二面角
B
C
A
D
6
归纳总结
１：利用法向量求二面角的一般步骤．
２：法向量的夹角与求二面角大小的关系
３：探索性问题的解法：假设存在，在这个前提下推理或 计算，如果得出的结果符合问题的已知或正确的数学结 论，则肯定其存在，否则不存在．
7
链接高考
2016浙江高考17题节选 理
如图, 在三棱台ABC-DEF中, 平面BCEF 平面ABC, ACB 90， BE EF FC 1, BC 2, AC 3.求二面角B AD F的余弦值.
1
D1 B1
C1
在Rt A1 AO中，A1 B 2 4 6 cos A1OA 2 3 3 6
D
C
O
3A 即锐二面角A1 DB A的余弦值为 3
B
易错防范
1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐 角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的 角. 2.线面角 θ 的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值 的绝对值，即 sin θ ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为 cos θ ＝|cos〈a，n〉|. 3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半 平面 α，β 的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向， 从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等，还是互补.
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法
——利用空间向量求二面角的平面角
大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标
1．使学生会求平面的法向量；
2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；
3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量；
求解二面角的平面角的向量法. 教学难点
求解二面角的平面角的向量法. 教学过程
Ⅰ、复习回顾
一、回顾相关公式：
1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）
《利用向量法求空间角》教案
§3.2.3立体几何中的向量方法
——利用空间向量求空间角
教学目标
1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；
2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求解二面角的向量方法 教学难点
二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、复习引入
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：><=⋅,cos |||| （2）两向量夹角公式：,cos b a >=
<
（3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析
知识点1：面直线所成的角（范围：]2
,
0(π
θ∈）
（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a ´与b ´，那么直线a ´与b ´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和，
问题1： 当与的夹角不大于90
的角θ与 和 的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？
a
结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|,cos |cos n m =><=θ
利用法向量求二面角的平面角
利用法向量求二面角的平面角
授课教师：陈诚班级：高二（14）班时间：2010-01-14
【教学目标】
1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关
的简单问题。
2、通过本节课的学习，培养学生观察、分析与推理从特殊到一般的探究能力和
空间想象能力。
3、培养学生主动获取知识的学习意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的
情感体验。
【教学重点】利用法向量计算二面角的大小。
【教学难点】求两个面的法向量及判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系。
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、内容回顾
求二面角的平面角的方法：定义法、三垂线法、向量法。
前两种方法是空间立体的方法，难度较大，都涉及到要在两半平面内找棱的垂线，或是找点在平面内的射影，再算边长，通过解三角形来解决。
而向量法也是要找两个与棱垂直的且和半平面延伸方向一致的向量来计算夹角。所以这些方法都涉及到了找垂线，再说明，再计算的过程，都需要逻辑推理。
而如果解决二面角的平面角也能像前面解决线线角或线面角问题一样，能通过空间向量的方法来解决，那么这些逻辑推理过程，我们能通过利用空间向量的程式化计算来转化。因为空间中平面的位置可以用平面的法向量来表示，所以二面角的平面角可以用平面的法向量的夹角来解决，那么向量的夹角与二面角的平面角有着一种什么样的联系呢？
二、新课讲授
如图，二面角为l αβ--
1、记121212,,C =A,=B.l l l l l l αβαβ⊥⊥ 且与相交于，
2、过B 作,()BO l AO AOB ⊥∠连下面说明即是二面角的平面角
二面角的说课稿
二面角的说课稿
本节课是在学生掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及空间距离的基础上进行的，是空间几何部分的重要内容之一，也是高考必考内容，从知识网络结构来看，二面角的说课稿是完善空间几何体的有效途径，也是今后学习立体几何的基础知识，同时又为学习空间向量打好基础，具有承上启下的作用；从数学思想方法来看，二面角的说课稿蕴含了丰富的数学思想(转化思想、分类讨论的思想等)，对提高学生的解题能力，形成空间观念，增强空间想象能力起着重要的作用.二面角的概念以及二面角的平面角的概念是本节课的重点.
作为高二学生已经有了空间向量的基础，通过以前的学习学生已经掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及空间距离的概念，所以这节课要引导学生从这些基本概念入手，去寻找二面角的平面角，让学生通过观察、探究、分析、归纳概括出二面角的平面角的概念，并会求二面角的平面角.
根据大纲的要求和教材的特点以及学生的认知水平我确定了本节课
的教学目标.
知识目标：理解二面角的概念及二面角的平面角的概念，掌握求二面
角的平面角的方法.
能力目标：培养学生观察、探究、分析、归纳概括的能力及空间想象能力并且让学生通过动手实践获得必要的技能，增强学生的实际操作能力.
情感目标：让学生通过观察、探究、分析、归纳概括出二面角的平面角的概念的过程中体验到成功的喜悦从而激发学生的学习兴趣.
本节课的教学重点是二面角的平面角的概念及求二面角的平面角的
方法；教学难点是找出二面角的平面角及用向量法求二面角的平面角.
教法：采用“三疑三探”教学模式.在课堂教学中，提出疑问→针对疑问进行归纳→在探究中解决疑问→在反思中又发现新的问题→再
向量法求二面角
用向量法求二面角
四、教学过程
1.直线与平面所成角：
A n
sin | cos n, AB | B O
2.二面角的有关定义：
3.怎样求二面角的大小：
用向量法求二面角
• 2..二面角的有关定义 半平面
棱
二面角的平面角
二面角的范围： [0, ]
3.怎样求二面角的大小？ 关键构造二面角的平面角
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,
z
2Hale Waihona Puke Baidu
求面SBC与面SCD所成二面角
的余弦值.
S
n2
C
B
A
x
n1 D
y
面SBC的法向量可取n1 (1,0, 1)
面SCD的法向量可取n2 (1, 2,1)
总结归纳： 用法向量求二面角的步骤：
• 1.建立适当的坐标系，表示点的坐标；
二面角及其度量
用向量法求二面角
一、教材分析
二面角及其度量是高中数学选修2--1第3章空间向量在立体几 何中的应用中的部分内容。空间向量的引入为代数方法处理立 体几何问题提供了一种重要的工具和方法。本节课是在学生掌 握了用空间向量求线面角的基础上进行的延伸和拓展。求空间 角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。
法向量求解二面角的平面角
法向量求解二面角的平面角
求二面角是高考中必考内容，学习过程中要备受关注，利用传统方法求解二面角的关键是首先知道二面角的平面角，再转化到三角形中解决，而利用法向量可以降低问题的难度，把问题转化为程序化的求解过程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角．
一、法向量求二面角步骤
1、建立适当的直角坐标系，当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系；如果没有明显交于一点的三条直线，但图形中有一定对称关系，（如正三棱柱、正四棱柱等）利用图形对称性建立空间直角坐标系解题；此外页可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．
2、求法向量：一般用待定系数法求解，一般步骤如下：（1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(111c b a a =，
),,(222c b a b =；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎨⎧=⋅=⋅0
0b n a n ；（4）解方
程组，取其中的一个解，即得法向量£®
3、利用数量积公式求角：设1n ，2n 分别是两个半平面的法向量，则
由
21,cos n n n n >=
<21,n n ，而><21,n n 的大小或其补角的大小即为二面角的
大小，应注意1n ，2n 的方向。所以二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，他等于两法向量的夹角或其补角．
二、考题剖析
例1、在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，
第六讲 向量法求解二面角
第六讲 向量法求解二面角
向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。
随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。
引入：给定空间一点M ，类比平面直角坐标系中点的坐标的确定方法，如何确定点M 的坐标？
例（1）在平面直角坐标系中描出点P （1，2） （2）在空间直角坐标系中描出点M （1，2，3）
一. 利用法向量求二面角的大小的原理:
设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量
21,n n 的夹角为ϕ，则有πϕθ=+（图1）或 ϕθ=（图2）
图1
图2
x
y o
. M
x
y
o
. M
平面直角坐标系
空间直角坐标系
z
基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．
二. 如何求平面的一个法向量:
例题1: 如图3，在正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F
为AA 1、AB 、BC 的中点，求平面GEF 的法向量。
略解：以D 为原点建立右手空间直角坐标系，则E(1，21G(1,0，2
1
)由此得:
)21,21,0(-=)021,21(-= 设平面的法向量为),,(z y x = 由⊥及⊥可得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
3.2利用空间向量求二面角
高考链接
(2019.18)如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4， AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
z
【点睛】
本题考查线面平行关系的证明、空
间向量法求解二面角的问题.求解二
面SAB所成的二面角的余弦值。
z
解：建系如图 不妨设AB 2
S
A(0,0,0), D(1,0,0),C(2, 2,0),S(0,0, 2),
1.建系 2.找点坐标
y
设n (x, y,Байду номын сангаасz)是面SCD的法向量，
B
C DC 1，2,0, SD 1，0， 2
3.求法向量坐标
A
D AD
x 面SAB
由n DC且n
z
x
y
归纳总结
追问1.什么情况下适合选用空间向量法？ 追问2.用法向量求二面角大小的步骤？ 追问3.今天的学习中自己有什么新的收获和感悟？
巩固练习2：
已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，PD=1，
E、F分别为AB、BC的中点。求二面z 角A-PE-F的余 弦值。
P
D
A E
y
Cx F B
3.2利用空间向量求二面角
二面角教学设计
教学过程设计
教学步骤教学内容学生活动设计意图
时间
分配
一、
复习引入1.作二面角平面角的方法
2.线线角公式
3.线面角公式
学生前后四个人一
小组交流讨论，小
组派代表回答问
题。
为后面引出利用空间
向量求二面角作好铺
垫，提升学生数学抽
象的核心素养。
2min
二、概念生成问题1：如何通过空间向量来确定平面呢？
几点注意：
1.法向量一定是非零向量
2.一个平面的法向量并非只有一条，所有的
法向量互相平行
3.向量n是平面的法向量，向量m与平面平
行或在平面内，则有mn=0
问题2：二面角的平面角能否转化为空间向
量夹角？
12
12
,
,
n n
n n
αβ
αβθθ
问题3：如果分别是平面，的一个法向量
设与所成角的大小为，通过作图讨论与
的关系
学生归纳，师生共
同补充。
教师引导学生弄清
二面角与两个平面
法向量的关系
思考交流，小组派
代表回答问题。
结论：如图(2)(4)
中
1
,n
2
>就是二
面角α-l-β的平面
角的补角;如图
(1)(3)中
1
,n
2
>就
是二面角α-l-β的
平面角.
通过问题的解决，让
学生明确平面与法向
量的关系，提升学生
的分析归纳能力。
通过对问题的分析,
让学生体会由具体到
抽象的思想方法,感
知从特殊到一般的认
知过程。
鼓励学生通过实验得
到二面角与两个平面
法向量夹角的关系，
因为不少科学的发
明、发现都是依靠直
觉提出猜想和预见，
然后再通过大量的试
验或科学论证，才得
到证实或否定，进而
18
min
用空间向量求二面角的大小
(1)如果n
1,n
2
分别是平面α
1
,α
2
的一个法向
量,设α
1与α
2
所成角的大小为θ,则有
θ=
1,n
2
>或θ=π-
1
,n
2
>,特别地,sin
利用向量法求空间角经典教案 (2)
利用空间向量求空间角
目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；
一、复习回首向量的相关知识：
（ 1 ）两向量数目积的定义： a b | a ||b | cos a,b （ 2）两向量夹角公式：cos
a b a,b
| a || b |
二、知识解说与典例剖析
a
知识点 1 ：两直线所成的角（范围：(0, ] ）O
2 b
（ 1）定义：过空间随意一点o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′，那么直线 a′与 b′所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角 .
（ 2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、 b 的方向向量分别为a和b，
问题 1 ：当a与b的夹角不大于 90 °时，异面直线 a、b 所成O
a
的角与
a 和
b 的夹角的关系？a, b b
问题 2：a与b的夹角大于90°时，异面直线 a、 b 所成的角b
a
与 a 和 b 的夹角的关系？
O a, b
结论：异面直线a、 b 所成的角的余弦值为cos | cos m, n | | m n | | m || n |
例 1 如图，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为 a ,侧棱长为2a ，求 AC1和 CB1所成的角. 解法步骤： 1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
解：如图成立空间直角坐标系 A xyz ，则 A(0,0,0), C1 ( 3
a,
1
a, 2a), C (
3
a,
1
a,0), B1 (0, a, 2a) 2 2 2 2
AC1 ( 3
a,
1
如何求二面角的法向量
n
n1
a
n2
l
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
思考：法向量的夹角与二面角平面角的关系
四、教学过程的设计与实施
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
n1 , n2
cos cos n1 , n2
n1 n2 n1 n2
根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性 .
3
通过经历向量法求 二面角大小的推导 过程，培养大胆探 索精神，提高学习 立体几何的兴趣．
所成的角、直线与
平面所成角的解决 方法，得到用向量
求二面角大小的方
法，并能用之解决 有关问题，体会向 量方法在研究几何 问题中的作用．
问题的能力．
二、教学目标的确定
教学的重点和难点
重点:用法向量夹角求二面角的方 法的探究及应用
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
二面角 n1, n2
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
设计意图
从平面角出发，引导学生发现二面角的求解可由 向量的夹角来确定，从而调动学生探究这一问题
的积极性.
四、教学过程的设计与实施
2
探究方法
02 教学设计_二面角(第1课时)(2)
1.2.4 二面角(1)
本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节主要学习二面角。学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开。为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台。
1.教学重点：会用向量法解决二面角的计算问题
2.教学难点：二面角的概念.
多媒体
般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？
1.二面角及其度量
1.在正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中,平面B
1
C
1
DA与平面BCDA所成二面角
的大小为.
答案:45°
2.两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?提示:(0°,90°]
问题2：如图所示，设S为二面角α−AB−β的半平面α上一点，过点S 做半平面β的垂线SS′，设O为棱AB上一点
（1）判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件；
（2）由二面角的作法，你能得到什么启发？
提示：（1）充要条件
（2）若二面角α−AB−β的大小为θ，
则ΔS′AB的面积与ΔSAB的面积比就是二面角的余弦，即：SΔS′AB
SΔSAB
=cosθ
问题3：如果n1, n2分别是平面α1, α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与<n1, n2>的关系.
2.用空间向量求二面角的大小
(1)如果n
二面角说课稿
学生的主体 作用得到充 分发挥。
教学策略－教学过程、媒体应用设计
创设情境 引入新课
教学内容
教学设计
设计意图Βιβλιοθήκη Baidu
教学效果
师生互动 探求新知 运用新知 探索实践 归纳小结 反思提高 布置作业 分层落实
课堂小结 (1)学生总结 培养学生
归纳总结 (2)教师点评 能力,回顾 本节所学 知识。
学生的主 体作用得 以充分发 挥
姓名: 韩林 学科: 数学 学段: 高中
学校名称: 大连市金州高级中学
二面角及其度量
使用教材： 人民教育出版社出版，人民 教育出版社课程教材研究所中学数学教 材实验研究组编著，普通高中课程标准 实验教科书数学，B版,选修2—1。
年级: 高二年级
教学内容分析
教材分析 学情分析 教学目标
重、难点
教学策略
教材分析 学情分析 教学目标
教法分析：以多媒体手段为平台，充分发挥
学生的主体作用；教师作为引导者要采用问 题发现式，启发式和自主探究式相结合的教 学方法。 学法指导：观察、分析及类比联想是学法指 导的重点，让学生观察、思考后总结概括、 归纳知识更利于学生的掌握，从而形成新的 知识结构和知识网络，让学生体会到在问题 解决中学习、在交流中学习，可以增进学生 热爱数学的情感，激发学生学习数学的动力。
教学评价
空间向量应用——二面角
敬请各位专家、老 师批评指正，谢谢！
说课教师：高亮
2
角的大小。
• （1）取角口诀：一进一出取夹角，同进同 出取补角
• （2）已知空间向量坐标，判断向量指向
• （3）设平面法向量的方法：设“1”取 “正”；
1.梳理知识点，整理课堂笔记
2.书面作业：P111 练习B2 P115习题A7
3.选做题：如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有 的棱长都为2，D为 CC1 中点. 求证：(1) AB1 平面A1BD ；
学相长的教学情境，培养学生主动获取知识的学习
意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感
体验．
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重点难点
教学重点：解决“利用法向量求二面角的 大小的答角”问题。
教学难点：通过法向量的坐标来判断法向 量与二面角的“进出”关系，进一步判断 二面角大小与两个面的法向量的夹角的关 系。
返回
学法教法
学法：采取自主探索、类比猜想、合作交 流等形式
二面角的范围：[0, ]
l
பைடு நூலகம்
这与空间向量夹角的取值范围相同
复习回顾
利用法向量求二面角的原理：
设大小n1为, n2分，别向为量平n面1,
, 的法向量，二面角
n2 的夹角为 ，则有
l 的
（图1）
利用空间向量知识求空间中的二面角
22
22
AM
n1
0，
AN n1 0，
1 2 1 2
x x
Biblioteka Baidu
1 2 1 2
z y
0， 0.
令x＝1，解得y＝1，z＝1，
所以n1＝(1，1，1)．同理可求得平面BMN的一个法向量
n2＝(1，－1，－1)．
所以
cos〈n1，n2〉=
n1 n2 ＝ n1 n2
10 ，.
5
第七章 空间中的向量方法
课后训练： (1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向 量分别为 (0,-1,3), (2,2,4), 则这个二面角的余弦值为( )
A. 15 6
B．－ 15 6
C. 15 3
D．以上都不对
(2)PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2. 求二面角A-PB-C的余弦值．
利用向量法求二面角的两种方法
(1)若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱l垂直的异面直线, 则两个平面的夹角的大小就是向量 AB 与 CD 的夹角,如图①. (2)设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角 (或其补角)就是两个平面夹角的大小,如图②
第七章 空间中的向量方法
例题讲解：正方体ABEF-DCE′F′中, M,N分别为 AC,BF的中点(如图),求平面MNA与平面MNB所成 角的余弦值.
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第三讲：立体几何中的向量方法
——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。
教学目标
1．使学生会求平面的法向量；
2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；
3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求平面的法向量；
求解二面角的平面角的向量法.
教学难点
求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式：
1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）
结论： 或
统一为：
2、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
2
12121,cos cos n n n n n n
⋅=><=θ
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）
Ⅱ、典例分析与练习
例1、如图，ABCD 是一直角梯形，︒=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，2
1
=AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值.
分析 分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面SCD 的法向量1n ， 平面SBA 法向量2n ，利用12,n n 夹角 求平面SCD 与平面SBA 的夹角余弦值。 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则
)1,0,0(),0,2
1
,0(),0,1,1(),0,0,0(S D C A -
易知面SBA 的法向量为)0,21,0(1==AD n ，)1,2
1
,0(),0,21,1(-=-=SD CD
设面SCD 的法向量为),,(2z y x n =，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=-=-0
2
02
z y y x ，取1=z ，得2,1==y x ，)1,21,1(2=∴n
3
6
|
|||,cos 212121=
>=
<∴n n n n 又1n 方向朝面内，2n 方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角
即所求二面角的余弦值为
3
6. 点拨 求二面角的方法有两种：（1）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角的大小；（2）根据几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。
练习1：正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求二面角
D A
E
F --的余弦值。
解：由题意知，)0,1,21(),21
,1,0(E F ，则)21,1,0(=AF )0,1,2
1(,=AE
设平面AEF 的法向量为),,(z y x n =，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅02
10210
0y x z y AE n AF n ，取1=y ，得2-==z x )2,1,2(--=∴n
又平面AED 的法向量为)1
,0,0(1=AA 32
1
32||||,cos 11
1-=⨯-=⋅>=
<∴AA n AA n AA n 观察图形知，二面角D AE F --为锐角，所以所求二面角D AE F --的余弦值为3
2
练习2：如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A ''
是矩形，
。平面平面ABCD B B A A ⊥''
试问：当A A '的长度为多少时，二面角A C A D -'-的大小为？
60
解： 如图建立空间坐标系A xyz -，则 '(1,0,)DA a =- (0,1,0)DC = 设面'
DAC 的法向量为1(,,1)n x y =
则'1100
DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得1(,0,1)n a = 易得面'
AAC 的法向量2(1,1,0)n =-
A B
x
D
C
1
B z
y
1
A 1
D 1
C E
F