4.1 随机变量的数学期望
第四章 随机变量的数学期望
1 dxdy y xe 2 x
x
x2 y2 2
dxdy
dy
e
x2 2
dx
ye
y2 2
1 dy 2
e
y2 2
y
xe
x2 2
dx
1
4.1.4
数学期望的性质
（1） EC＝C，(C为常数) （2） E(CX)＝CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)＝EX＋EY E(aX+b)＝aEX＋b， E(
2 2
2 2
2
0
(x ) e
( x )2 2 2
dx
( x )2 2 2
2 x 2 e 0 2 2 2
2 2
(x ) d 2 2
2
3 2 1 ( ) 2 2 2
4.2.3
EZ Eg ( X , Y ) g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有
EZ
g ( x , y ) f ( x , y ) dx dy
例1：设 X～B（n，p），求EX(X－1)。 解：因X～B（n，p），则X的分布律为
1 x2 y2 f ( x, y ) exp{ } 2 2 1 x2 y2 E[max{ X , Y }] max{ X , Y }exp{ 2 }dxdy 2
1 2
1 2
x y
解：由题设，(X，Y)的联合密度为
ye
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
概率论与数理统计复习4-5章
∑ g ( x ) p 绝对收敛,则Y的期望为 ∞
k =1 k k
∑ g(x
k =1
k
) pk
(2) 设X是连续型随机变量,概率密度为 f ( x) , 如果积分 ∫−∞ g ( x) f ( x)dx 绝对收敛,则Y的期望为
E (Y ) = E[ g ( X )] = ∫ g ( x ) f ( x )dx
例 设X的概率分布律为
X −1
0 12
1
2
p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4
试求Y=－X+1及 Z = X 2 的期望和方差。 X －1 0 1/2 解 由于 P 1/3 1/6 1/6 Y =－X+1 2 1 1/2 Z = X2 1 0 1/4
1 1 1 1 1 1 2 E (Y ) = ( −1) ⋅ + 0 ⋅ + ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ = 4 12 2 6 6 3 3
2 2
D( Z ) = E ( Z 2 ) + [ E ( Z )]2 = 2.23264
1 + x − 1 < x < 0 例 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = 1 − x 0 ≤ x < 1 1)求D(X）, 2)求 D ( X 2 )
解 (1) E ( X ) = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx
第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质及随机变量函数的期望 方差及其性质
4.1数学期望 数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 一、离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的概率分布为
4.1(随机变量的数学期望)
因而E(X)不存在．
4.1.1
数学期望的概念
【例 4.5】某种化合物的 pH 值 X 是一个随机变量， 它的概率密度是
25( x 3.8 )， 3.8 x 4， f ( x ) 25( x 4.2)， 4 x 4.2， 0， 其 它.
求pH值X的数学期望E(X). 解：
一个样品的价值（以元计）为Y = 5–0.5X，求E(Y). 解： E (Y ) E (5 0.5 X ) (5 0.5 x ) f ( x )dx
3 ( 5 0.5 x )( x 2 x )dx 0 2
1 b a , a x b f ( x) 0, 其它
x b2 a 2 a b E ( X ) xf ( x )dx dx a ba 2(b a ) 2
b
补充知识: Γ -函数
定义Leabharlann ( ) t 1 e t dt 0
若积分 xf ( x ) dx 不收敛,则称X的数学期望不存在.
4.1.1
数学期望的概念
著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子： 设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为
1 f ( x) (1 x 2 )
由于积分
| x | dx xdx 发散， xf ( x ) dx 2 2 2 (1 x ) 0 (1 x )
1 E( X ) xf ( x)dx 2
标准正 态概率 密度性 质
2
t
x
xe
( x )2 2 2
dx
1 2
4.1 一维随机变量的数学期望
n
n p
(n 1)!
pk1(1 p)(n1)(k1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
n1
np
Ck 1 n1
pk
1
(1
p)(n1) (k 1)
k 1 0
np[ p (1 p)]n1 np
3.超几何分布 H (n, M , N )
nM
证明：若X ~ H(n, M, N ) ，则 E( X ) = N 。
( p)
p2
=p
2.连续随机变量的数学期望
定义：设连续型随机变量X 的概率密度为 (x) ，若
积分 x (x)dx 绝对收敛（即 |x|(x)dx 存
在），则称积分 x (x)dx 的值为随机变量X
的数学期望。记为E ( X ) 或EX 。即
E ( X ) =
x (x)dx 。
数学期望简称为期望，又称为均值。
统计分布如下：
X
频数 频率
x1 m1
( x1 )
x2 m2
(x2 )
xl ml
(xl )
总计
n
1
2021/4/22
计算随机变量 X 的样本平均值：
x
x1m1 x2 m2 xl ml n
1 n
l
xim i
i 1
或者， x
x1
m1 n
x2
m2 n
xi
ml n
l
x1 (x1 ) x2 (x2 )xl (xl ) xi (xi )
注意：并不是所有的随机变量都有数学期望。
例 3.设随机变量 X 服从柯西分布，其密度函数为 1
C n1 N 1
C C m (n1)m M 1 ( N 1)( M 1)
随机变量函数的数学期望
(二) 方差的性质
1、常数的方差等于0
证明： D(c) E(c Ec)2 E(c c)2 0
2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。 证明：
D( c) E[ c E( c)]2 E[ c E c]2 E( E )2 D
§4.1 数学期望与方差
一.数学期望
随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平 均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值.
(一)离散型随机变量的数学期望
定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,....)
若级数 xk pk 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望 k 1
ba 2
2
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
2.随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)
(若1)若 Xg是(x离k ) 散pk绝型对 随机收变敛量,则,它E的(Y分) 布E律[g为( XP{)X] =xk}=gp(kx. k
K=1,2,..
k x) 2
f
(x)dx
1
a (x3 kx)2 dx
2a a
a2 (15a4 42ka2 35k) E(C)=C.
(2) E( +C)=E +C
证明：对离散型随机变量
E( C) (xi C) p(xi ) xi p(xi ) Cp(xi ) E C
E1 0.2 (80 85 90 95 100) 90 E2 0.2 (85 87.5 90 92.5 95) 90 D1 (80 90)2 0.2 (85 90)2 0.2 (90 90)2 0.2
数学期望的定义
pk
(1
p)(n1)k
np
k 0
2、若X ~ B ( 1 , p ), 即 X ~ 10 p
1 p
则 E(X) p
12
§4.1
随机变量的数学期望
2020/3/10
三、常用离散型随机的变量数学期望
3、 X ~ Possion (), 即 P( X k) k e , k 0,1, ,
则
E( X ) k p(1 p)k1 p kqk1
k 1
k 1
p
qk
k 1
q
p
1
q
q
q
p
(1
1 q)2
1 p
.
(q 1 p)
某篮球运动员投篮命中率为50%，规定该运动员首 次投篮命中时即刻停止，则投篮次数 X 的平均值为2， 即平均每投篮 2 次才进1个球，正好也反映了命中率.
X
~
x1 p1
x2 p2
xk pk
若级数 xk pk 绝对收敛,则称其和为 X 的数学期望，
k 1
又称期望,均值或（加权）平均值，记作 E( X ), 即
E( X ) xk pk k 1
7
§4.1
随机变量的数学期望
2020/3/10
一、离散型随机变量的数学期望的定义
E(X) 0
E(Y ) 0
它们具有相同的数学期望，但是却是两 个完全不同的随机变量.
注：随机变量的概率分布，才是随机变量唯一 的本质特征.
9
概率论与数理统计第4章
随机变量的数学期望是概率论中最重要的 概念之一.它的定义来自习惯上的平均值概念.
5
一、离散型随机变量的数学期望
引例 某企业对自动流水线加工的产品实行质量 监测，每天抽检一次，每次抽取5件，检验产品是 否合格，在抽检的30天的记录中，无次品的有18天， 一件次品的有9天，两件次品的有3天，求日平均次 品数．
k
这启发我们引出如下连续型随机变量的数 学期望定义：
30
二、连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ), 若积分
x f ( x ) d x
绝对收敛, 则称积分 x f ( x ) d x 的值为随机
变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ) . 即 E ( X ) x f ( x )d x.
n
n 1
n( n 1)( n i ) i 1 n i 1 p q i! i 0
n 1
令i k 1
( n 1)( n i ) i ( n1) i np pq i! i 0
n 1
np C
i 0
n 1
i n 1
pq
i
( n 1 ) i
试问哪个射手技术较好?
12
解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
故甲射手的技术比较好. 乙射手 甲射手
Y
1500
0.0952
2000
2500
3000
0.7408
4.1随机变量的数字期望
此要求 xk pk k 1
否则，称随机变量的数学期望不存在．
例1 设随机变量X的分布列为 X
P
求 E(X )
－1 3 0.4 0.6
解 易知 E(X ) 1 0.4 3 0.6 1.4
若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为 0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一 次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分．
于是有 E( X ) xi P{X xi} xi ( pij )
xi pij
i 1
i 1
j 1
i1 j 1
同理可得
E(Y ) y j P{Y y j} y j ( pij )
y j pij
j 1
j 1
i 1
i1 j 1
2. 连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分
g(x, y)
f (x, y)dxdy 收敛, 则Z=g (X,Y)的
数学期望为：
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)dxdy
例6 设随机变量 X ~ B(n, p) ，Y e2 X , 求 E(Y )
解 因为 X ~ B(n, p) 分布律为
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, 2, , n,
y)
1 4
x(1
3y2
),
0 x 2, 0 y 1
0,
其它
求 E( X ), E(Y ), E( XY ), E( X 2 Y 2 )
解 E(X ) 4
3
E(Y ) 5 8
E(XY ) 5 6
E(X 2 Y 2 ) 2 1(x2 y2 ) 1 x(1 3y2 )dxdy
2022概率论与数理统计4-1
2022-11-5
lfb
19
第4.1节：数学期望
例：
已知 X ,Y 的联合密度：
f
x,
y
பைடு நூலகம்
12
y
2
,
0 y x 1
0, else
求E X ,E Y , E XY , E X 2 Y 2 的期望.
解： E X
xf x, ydxdy
1
dx
x x 12 y2dy 4
0
0
5
xf x dx
1 x kxadx
0
1 kxa1dx
0
a
k
2
0.75
f x dx 1
f x dx
1 kxadx
0
a
k
1
1
a a
k k
2 1
0.75 1
a k
2 3
2022-11-5
lfb
23
第4.1节：数学期望
8：已知X的概率密度为：
f
x
1
1
x
x0dx
0
1
2
1 x xdx 2 x 2 xdx
0
1
121 33
lfb
24
0
0
15
2022-11-5
lfb
20
第4.1节：数学期望 u 期望的性质
(1) E C C (2) E CX CE X (3) E X Y E X E Y (4) X ,Y相互独立 E XY E X E Y 注：不能由E XY E X E Y X ,Y相互独立
第4章 ——随机变量的数字特征
u数学期望（*****） u方差（*****） u协方差与相关系数（****） u大数定律与中心极限定理（****）
概率论与数理统计（理工类_第四版）吴赣昌主编课后习题答案第四章.pdf
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z), 得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2 +1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1] +(-1)2×0.3+12×0.3 =5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 解答： 如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx ⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy ⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy ⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615. 习题13设X 和Y 相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY). 解答：解法一 由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx∫0+∞ye -(y-5)dy=23×6=4.解法二 令z=y-5, 则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx ⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X 服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2), 求E(X),D(X). 解答：由题设知，X 的分布律为P{X=k}=λkk!e -λ(λ>0)λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ; Array (C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,⋯,于是由已知条件得3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2 (Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy=E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X 3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200, D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225 .(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.查标准正态分布表得y-12001225=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。
《概率论与数理统计》六
E( X ) xk pk . k 1
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一
随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律
X 10 9 8 7
Y 10 9 8 7
Pk 0.6 0.1 0.2 0.1
Pk 0.4 0.3 0.1 0.2
试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
解 100.6 90.180.2 70.1 100.4 90.3 80.1 70.2
i1 j1
2
E(Y )
yf ( x, y)dxdy dx
ydy
0
0
3
1
2(1 x )
1
E(XY )
xyf ( x, y)dxdy dx
xydy
0
0
6
三、数学期望的性质
假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y)
1
e
x
,
0,
x0 x0
( 0)
求将这5个元件串联组成的系统的平均寿命．
解
Xk的分布函数为
F
(
x)
1
e
x
,
0,
x0 x0
串联时系统寿命 N min( X1 , X2 , , X5 ) ，
其分布函数为 Fmin ( x) 1
[1
F(
x)]5
1
e
5x
,
0,
x 0, x 0.
fmin
2 X 3, 一台付款 2500 元; X 3, 一台付款3000元.
4.1数学期望
E ( X 1 ) = 8 × 0.3 + 9 × 0.1 + 10 × 0.6 = 9.3(环), E ( X 2 ) = 8 × 0.2 + 9 × 0.5 + 10 × 0.3 = 9.1(环),
故甲射手的技术比较好. 故甲射手的技术比较好
实例2 商店的销售策略 实例 某商店对某种家用电器 的销售采用先使用后 付款的方式 , 记使用寿命为 X (以年计 ), 规定 : X ≤ 1, 一台付款 1500 元;1 < X ≤ 2, 一台付款 2000 元; 2 < X ≤ 3, 一台付款 2500 元; X > 3, 一台付款 3000 元 .
设寿命 X 服从指数分布 ,概率密度为 , 概率密度为 设寿命 1 − x 10 , x > 0, e f ( x ) = 10 0, x ≤ 0. 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望 .
解
1 − x 10 = 1 − e − 0.1 = 0.0952, P { X ≤ 1} = ∫ e dx 0 10 2 1 P {1 < X ≤ 2} = ∫ e − x 10 d x 1 10
∫
xi+1
xi
f (x)dx
阴影面积近似为
f (xi )∆xi
≈ f (xi )( xi+1 − xi )
= f (xi )∆xi
小区间[x 小区间 i, xi+1)
因此X与以概率 因此 与以概率 f (xi )∆xi 取值xi的离离连r.v 近似, 该离离连r.v 近似 该离离连 的数学 阴影面积近似为 期望是 期望是 f (xi )∆xi
若设随机变量 X பைடு நூலகம்:在 A 胜2局B 胜1局的前提 在 局 局的前提 最终所得的赌金. 下, 继连赌下去 A 最终所得的赌金 所取可能值为: 则X 所取可能值为 其概率分别为: 其概率分别为
随机变量的数学期望4-1
d (e 2 2 )
8
f
X
(
x)
x3
, x2
,
0 , 其它
则 E (XY ) ＝ ( C ).
2y , 0y1
fY(y)
0 , 其它
A. 4 / 3 B. 5 / 3
C. 8 / 3
D. 7 / 3
E(X)
2
8 x2
dx
4
,
E(Y) 1 2y2dy 2
0
3
EXYEXEY8
3
返回
退出
*例4-6 天若无雨, 水果商每天可赚100元; 天若有雨, 水果商 每天损失10元. 一年365天, 贩卖水果地的下雨日约130日. 问 水果商在该地卖水果, 每天可期望赚多少钱 ?
10
X Yi i1
，从而就有
10
E(X) E(Yi ) . i1
因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为1/10，
不下车的概率为9/10，从而
P{Yi
0}( 9 )20 10
,
P{Yi
1}1( 9)20 10
,
10
E(X) E(Yi)=10E(Yi)
i1
1 0 {0(9)2 0+ 1[1(9)2 0]}8 .7 8 4 .
返回
退出
( 设 C 是常数 )
1) E(C) C
E (X C )E (X )C
2) E(CX)CE(X )
xf (x, y)dxdy
yf (x, y)dxdy
E(X)E(Y) .
3) E (X Y ) E (X ) E (Y ) 又当 X，Y 相互独立时 E (X Y ) xyf(x,y)dxdy
随机变量与数学期望
③ 随机变量的矩母函数和其分布函数之间存在一一 对应4.9.1 (马尔科夫不等式)若X为一个非负随 机变量，则对于任意a>0，
命题4.9.2 (切比雪夫不等式)假设X为期望为， 方差为2，则对于任意k>0,
4.9 切比雪夫不等式和大数定律
例4.5.2 某厂找到并修复电力中断所需的时间 (小时)是一个随机变量，称为X，其密度函数
如果当故障持续时间为x，修复的费用为x3，那 么这种故障的预期费用是多少？
方法一：先求Y=X3的密度函数，再求Y期望； 方法二：利用命题4.5.1（计算较简单）。
4.5 期望的性质
数学期望的性质
① 线性性质：若a和b是常数，则 ② 随机变量和的期望：
不能求方差，因为那里各项不独立。
4.7 协方差和相关系数
相关系数的定义
相关系数的性质(证明方法类似于第2章样本相 关系数)
Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即 P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相 关系数为-1)。
4.7 协方差和相关系数
4.9 切比雪夫不等式和大数定律
问题：若从均值为的总体中取n个样本(n充 分大)，那么样本均值 与总体均值有什么 关系？
定理4.9.1 (弱大数定律)令X1, X2, …为一列独 立同分布的随机变量，且其期望为E[Xi]= ， 方差有限。则对于任意>0，
说明：样本均值可用于估计总体均值。
4.9 切比雪夫不等式和大数定律
连续型随机变量独立等价性条件(密度函数)：
4.3 随机变量的联合分布
例4.3.4 设X和Y为相互独立的随机变量且有相同的密 度函数，
试求随机变量X/Y的密度函数。 解：
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n k k p (1 p)n k k 0 k
n
kn ! p k (1 p )n k k 0 k !(n k )!
n
概率论与数理统计
np(n 1)! p k 1 (1 p)( n1) ( k 1) k 1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
g (a , b ) p
i i i j
ij
,
则有
Eg ( , ) g ai , b j pij .
i 1 j 1
概率论与数理统计
例7 设
2
0.4
0
0.3
2
0.3
p
求 E(3 2 5).
解
E (3 2 5)
(3 2 5) 0.4 (3 02 5) 0.3 (3 22 5) 0.3
k
概率论与数理统计
6. 均匀分布
设 ~ U (a, b), 其概率密度为
1 , p( x) b a 0,
a x b, 其它.
则有
E ( ) xp( x) d x
b
a
1 xd x ba
1 (a b ). 2 结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.
概率论与数理统计
第四章
§4.1 数学期望的定义及性质
概率论与数理统计
主要内容
一、数学期望的概念
二、几种常用分布的期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质
一、数学期望的概念
概率论与数理统计
1.、离散型随机变量的数学期望 我们知道离散型随机变量的分布列全面地描述了这 个随机变量的统计规律，但在许多实际问题中，这样的 “全面描述”有时并不使人感到方便，举例来说，一个 班级的学习成绩是一个随机变量，如果要比较不同班级 的学习成绩，通常只要比较两个班级的平均成绩就可以 了。平均值大就意味着这个班级的学习成绩较好，这时 如果不去比较它的平均值，而只看它的分布列，虽然 “全面”，却使人不得要领，既难以掌握，又难以迅速 作出判断，这样的例子可以举出很多。
这里同样要求 f ( x) p( x)dx绝对收敛.
(2) 设 , 为连续型随机变量, f ( x, y) 为二元函数, 则
E[ f ( , )]
f ( x, y) p( x, y) d x d y.
其中( , ) 的联合概率密度为 p( x, y).
故甲射手的技术比较好.
概率论与数理统计
定义
设离散 r.v. 的可能取值为 ai (i 1,2,) ，其分布列为
i
pi (i 1,2,) ,则当 ai pi 时， 存在数学期望（均值）， 称
并且数学期望为
E ai pi .
i
而当 ai pi 时，称 的数学期望（均值）不存在。
4 1
0 .2
( )2
0
9
1
9
4
因此，
E[( )2 ] 4 0.3 1 0.2 0 0.1 9 0.4
5.
概率论与数理统计
2、连续型随机变量函数的数学期望
(1) 若 是连续型的,它的分布密度为 p(x) ，则
E ( f ( )) f ( x) p( x) d x.
这里同样要求
g ( x, y) f ( x, y)dxdy绝对收敛.
概率论与数理统计
四、数学期望的性质
1. 设C是常数, 则有 E (C ) C .
E ( X ) E (C ) 1 C C .
证
2. 设 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E(C ) CE( ).
概率论与数理统计 例1 谁的技术比较好? 甲,乙两个射手, 他们的射击技术分别为
甲射手 乙射手
击中环数
8
9
10
频率
击中环数
0 . 3 0 .1
8 9
0 .6
10
频率
0 .2 0 .5
0 .3
试问哪个射手技术较好? 解 设甲乙射手击中的环数分别为
E(1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3, E(2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1,
1 2 1 2
因此，
1 1 1 1 E 1 0.2 0 0.1 1 0.1 0.1 0.1 0 0.3 0.1 . 2 2 3 15
概率论与数理统计
由于
p
( , )
0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 . 3 0 .1 (1,1) (1,0 ) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1)
x 0
0 e x d x
8. 正态分布
设 ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度为
概率论与数理统计
p( x )
1 e 2 σ
( x μ )2 2σ 2
, σ 0, x .
( x μ )2
则有
1 2σ 2 E ( ) xp( x) d x x e dx 2 σ xμ 令 t x μ σ t, σ ( x μ )2 1 2σ 2 所以 E ( ) x e dx 2 σ t2 1 ( μ σt )e 2 d t 2 t2 t2 1 2 σ 2 μ e d t 2 te d t 2
k 1
P( k ) q
则有
p, q 1 p; k 1, 2,; 0 p 1
E ( ) k q
k 1
Байду номын сангаас
k 1
p p k q
k 1
k 1
p (q )
k k 1
q 1 1 ) p . p( q ) p( 2 1 q (1 q) p k 1
概率论与数理统计
二、几种常用分布的期望
1、退化分布 设 的分布列为P( c) 1 ，则 E c.
事实上，
E ai pi c 1 c.
i
2、两点分布
设 的分布列为 ~ B(1 , p )，则 E p.
事实上，
E ai pi 0 (1 p ) 1 p p.
证
E (C ) Cai pi C ai pi CE ( ).
i i
例如 E( ) 5, 则E(3 ) 3E ( ) 3 5 15.
概率论与数理统计
2 3. 设 1、是两个随机变量, 则有对任意实数 k1 , k 2 , 有
E(k11 k22 ) k1E(1 ) k2 E(2 ).
证
E(k11 k22 ) (k1ai k2bi ) pi
i
k1 k1ai pi k2 k2bi pi
i i
k1E(1 ) k2 E(2 ).
推广
E ( kii ) ki Ei .
i 1 i 1
n
n
概率论与数理统计
4. 设 、 是相互独立的随机变量, 则有
E ( ) E ( ) E ( ).
i
3、二项分布 设 的分布列为 ~ B(n , p) ，则E np. 事实上，
概率论与数理统计
n k P{ k} p (1 p)nk ,(k 0,1, 2,, n), 0 p 1. k
n
则有
E ( ) k P{ k}
k 0
μ.
可见, N (, 2 )中的正是它的数学期望。
常见离散型随机变量的数学期望
分布 (0-1)分布
~B(1, p)
概率论与数理统计
分布律
P{ k} pk (1 p)1k
E
p np
k=0,1
P{ k} Cnk pk (1 p)nk
二项分布
~B(n, p)
概率论与数理统计
例2 设一个盒中有5个球，其中有3个黄球，2个白球， 从中任取两个球，问平均取到的白球数是多少？ 解 设 为任取两个球中的白球数， 的分布列为
pi
0
1
2
0.3 0.6
0.1
则 E 0 0.3 1 0.6 2 0.1 0.8. 故平均取到的白球数是0.8个。
7. 指数分布
设随机变量 服从指数分布, 其概率密度为 e x , x 0, p ( x) 其中 0. x 0. 0,
概率论与数理统计
则有
E ( ) xp( x) d x
x e x d x
0
xe
1 .
(i 1, 2,),
又g (x)为实变量x的单值函数，如果 g (ai ) pi (即绝对
收敛)，则有E g ( ) g (ai )pi .
i 1
i 1
定理2 若 ，为离散型r.v.，分布律为P( ai , bi ) Pij ,
i, j 1, 2,, 又g (x, y)为实变量x, y的单值函数，如果
事实上，
P{ k}
k
k!
e , k 0,1, 2,, 0.
则有
E ( ) k
k 0
k
k!
e
e
(k 1)!
k 1