同济六版高等数学第八章第六节课件.ppt
高等数学(同济第六版)D8ppt课件
2
2
表 示 什 么 曲 线?
( x a )2 y2 ( a )2 表 示
2
2
母线平行于z 轴,准线是xOy
面上以点( a ,0) 为中心,半径 2
为 a 的圆周的柱面. 2
表示上半球面与圆柱面的交线C.
18
二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
8
四、二次曲面
椭圆锥面的形成>>>研究曲面的伸缩变形法
平面图形的伸缩变形法.
9
1.椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
把 圆 锥 面x2 y2 a2
z2沿y轴方向 伸缩b 倍可得 椭圆锥面 a
x2
a2 b2
a2
y2
z2,
x2 a2
y2 b2
z2
10
2.椭球面
x 2 a2
y2 b2
z2 c2
第三节
曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
第八章
1
一、曲面方程的概念
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
0
1
1
1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
d
t
0
1
d
x x4
1 2
0 1
d
x x4
x2
0 1 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
13
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例6. 证明反常积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
b
a
(b a)1q 1 q
,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
7
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例3. 计算反常积分
高数8-6
则 Fx f x ( x , y ), Fy f y ( x , y ), Fz 1, n ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), 1 )
曲面在 M 处的切平面方程为
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) ( z z0 ) 0,
即 x 2 y 3 z 8 0.
二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
n
M
T
F ( x, y, z ) 0
在曲面上任取一条通过 点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的曲线
: x ( t ), y ( t ), z ( t ),
曲线在 M 处的切向量 T ( (t0 ), (t0 ), (t0 )),
而 n 就是切平面的一个法向 . 量
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )) n 设曲面方程为 F ( x , y , z ) 0
在点 M ( x0 , y0 , z0 )处
M
T
切平面的一个法向量为 n ( Fx , Fy , Fz ) | ( x , y , z )
n
M
T
同济大学高数第六版课件
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养Leabharlann Baidu厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时,
才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 ,
就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
华罗庚
聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
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主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
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高数(同济第六版)第八章总结
第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算
1、右手定则方向角
2、记Prju r或（r）u ：向量r在u轴上的投影
第二节数量积向量积混合积
1、a*b
=
大小——a·b·sin
方向——右手定则确定
2、a*b=a=（a1，a2，a3）b=（b1，b2，b3）
3、混合积为（a*b）·c记作[abc]的作用：
①平行六面体的体积
②[abc]=0时说明三向量共面
③满足轮换对称性：[abc]= [bca] = [cab]
第三节曲面及其方程
①椭圆锥面
③单叶双曲面④双叶双曲面
⑤椭圆抛物面⑥双曲抛物面
第四节空间曲线及其方程
1、一般方程：F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0
x=x(t)
2、参数方程：y=y(t)
z=z(t)
第五节平面及其方程
1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
[其中法向量n=(A,B,C) M0为(x0,y0,z0)]
2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0（一般需要四个平面上的点求出）第六节空间直线及其方程
1、一般方程：A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
2、点向式：
[其中方向向量为s=(p,m,n) 已知点为M0（x0,y0,z0）] 3、平面束方程的重要应用：P48
高数同济下8—6
18
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19
x2 + y2 = 1 表示怎样的曲线？ 【例1】方程组 表示怎样的曲线？ 2 x + 3 y + 3z = 6
【解 】
表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
y2 z 2 2 + 2 =1 y 2） （ ） 圆a 椭 绕 轴 z 轴 和 ； c x = 0 旋 2 2 2 y x +z 转 绕y 轴旋 转 2+ =1 2 椭 a c
x +y z + 2 =1 绕z 轴旋转 2 a c 2 y = 2 pz z ； 绕 轴 x = 0
f y , ± x 2 + z 2 = 0.
(
)
5
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6
相交的直线旋转一周， 例 1 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面 圆锥面． 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 0 < α < π 叫圆锥面的 顶点， 的顶点，两直线的夹角 α 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点， 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴， 的圆锥面方程． 半顶角为α 的圆锥面方程．
同济大学(高等数学)-第八章-向量代数与解析几何
第五篇 向量代数与空间解析几何
第八章 向量代数与空间解析几何
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中
来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.
本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.
第1节 空间直角坐标系
1.1 空间直角坐标系
用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.
1.1.1 空间直角坐标系
过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过
2
角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.
图8-1
在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.
同济大学《高等数学》第六版：D8习题课共24页PPT
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
Байду номын сангаас
之
易
安
。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高数课本_同济六版
第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重
第二章要的内容，要掌握求极限的集中方法）
第三章
第四章第一节映射与函数（一般章节）
第五章一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解）
第六章注：P1--5 集合部分只需简单了解
第七章P5--7不用看
第八章P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界
第九章P17--20 不用看
第十章P21 习题1.1
第十一章1、2、3大题均不用做
第十二章4大题只需做（3）（5）（7）（8）
第十三章5--9 均做
第十四章10大题只需做（4）（5）（6）
第十五章11大题只需做（3）（4）（5）
第十六章12大题只需做（2）（4）（6）
第十七章13做14不用做15、16重点做
第十八章17--20应用题均不用做
第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看）
一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解）
二、P26--28 例1、2、3均不用证
三、p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解
四、P30 定理4不用看
五、P30--31 习题1-2
六、1大题只需做（4）（6）（8）
七、2--6均不用做
第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题）
一、（了解）二、（了解）
二、P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可
三、P35 例6 要会做例7 不用做
四、P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看
五、
六、p37习题1--3
七、1--4 均做5--12 均不用做
第四节（重要）
高等数学8.6ppt
二．曲面的切平面与法线
设曲面 ：F(x，y，z)0， M(x0，y0，z0)是 上的一点．
z
n
n T
在 上，通过点M 任意引一条
曲线，其参数方程式为 x(t)，yy(t)，zw(t)； x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0) ． M O
T
二．曲面的切平面与法线
设曲面 ：F(x，y，z)0， M(x0，y0，z0)是 上的一点．
z
n
在 上，通过点M 任意引一条
曲线，其参数方程式为 x(t)，yy(t)，zw(t)； x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0) ． M O
n T T
x x0 y y0 z z0 ． Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
曲面的法向量：
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量．在点M处的 法向量为 n { Fx(x0，y0，z0)，Fy(x0，y0，z0)，Fz(x0，y0，z0)} ．
z
y
一． 空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为 x(t)，yy(t)，zw(t) 这里假定(t)， y(t)，w(t)都可导． 过曲线上tt0和tt0t对应的 点M 和M，作曲线的割线M M ， x x0 y y0 z z0 ， 其方程为 x y z x x0 y y0 z z0 ， 考虑 x y z t t t 当M M ，即t 0时． 得曲线在点M 处的切线方程为 x x0 y y0 z z0 ． (t0 ) y (t0 ) w (t0 ) M O x y
同济六版高数课件青岛大学
02
第一章：函数与极限
函数定义与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它将 输入值映射到输出值。函数的定 义域是输入值的集合，值域是输 出值的集合。
函数的性质
函数具有一些重要的性质，如奇 偶性、单调性、周期性等。这些 性质决定了函数的形态和行为。
函数的表示方法
函数可以用解析式、表格和图象 来表示。解析式是最常用的表示 方法，它可以用数学公式来表示 函数的关系。
内容特点
同济六版高数教材注重数学基础知识的传授和数学思维的培养，涵盖了高等数学的主要内容，包括极限、导数、微积 分、线性代数、微分方程等。
影响与评价
同济六版高数教材是国内高校应用较为广泛的高等数学教材之一，被广大师生认可和推荐，对于提高学 生的数学素养和思维能力具有积极的作用。
青岛大学高数课程概述
极限概念与性质
极限的定义
极限是数学分析中的一个基本概念，它描述 了当自变量趋近某个点时，函数值的变化趋 势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如唯一性、有界性、局 部保号性等。这些性质是极限存在和存在的必要条 件。
极限的分类
根据不同的分类标准，极限可以分为多种类 型，如数列的极限、函数的极限、无穷小量 等。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、可减性、区间可加性等性质。这些性质在计算定积分和解决定积分的应用问题中 具有重要作用。
同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章
1、向量在轴上的投影：
性质：ϕcos )(a a u =（即Prj u ϕcos a a =），其中ϕ为向量a
与u 轴的夹角；
u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a
+ Prj u b ）；
u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a
）.
2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x
++=，k b j b i b b z y x ++=，则
=⨯b a
x x b a i
y
y b a j z z b a k
=1
1)
1(+-y
y b a
z z b a i +21)1(+-x x b a z
z
b a
j +3
1)1(+- x x b a
y
y
b a k
=k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y
)()()(-+-+-
注：a b b a
⨯-=⨯
3、二次曲面
（1） 椭圆锥面：222
22z b
y a x =+；
（2） 椭圆抛物面：z b
y a x =+22
22； （旋转抛物面：
z a y x =+222（把把xOz 面上的抛物线z a
x =22
绕z 轴旋转））
（3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122
2
22=++c
z a y x （把xOz 面上的椭圆122
22=+c
z a x 绕z 轴旋转））
（4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122
222=-+c
同济大学高等数学第六版下册第八章方向导数与梯度
割线转化为切线
上式极限存在就意味着当点
( x0 x, y0 y )
趋于点
( x0 , y0 )
P0
T
C
曲线C在点 P0 有唯一的切线 它关于
P
l 方向的斜率
f 就是方向导数 l
( x 0 , y0 )
M0
M
l
L
定理 如果函数z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 是可微分 的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都
f l
f x (1,1) cos f y (1,1) sin
( 1 ,1 )
推广可得三元函数方向导数的定义 对于三元函数u f ( x , y , z ) ，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数 ，可定义
为 f
l lim
0
f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z )
P
6 ; 14
8 ; 14
P
u 6 x 2 8 y 2 14 . z P z2 P
故 u
u u u 11 ( cos cos cos ) . n P x y z 7 P
二、梯度的概念
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快?
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一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例
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一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直线L可以用方程组
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线
的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定
直线与平面的夹角为90.
设直线的方向向量为s=(m, n, p), 平 面的法线向量为n=(A, B, C), 则直线与平
面的夹角j 满足
sinj =
| Am+ Bn+Cp|
.
A2 + B2 +C2 m2 +n2 + p2
.
m12 +n12 + p12 m22 +n22 + p22
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方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:
cosj =
|m1m2 +n1n2 + p1p2 |
.
m12 +n12 + p12 m22 +n22 + p22
例例22
求直线
L1:
❖两直线垂直与平行的条件
设有两直线
L1:
x- x1 = m1
y - y1 n1
=
z - z1 p1
,
L2:
x- x2 m2
=
y - y2 n2
= z - z2 p2
,
则
L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0;
L1
L2
m1 m2
= n1 n2
=
p1 p2
.Fra Baidu bibliotek
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四、直线与平面的夹角
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通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程:
x-x0 m
= y-y0 n
= z-z0 p
.
❖直线的参数方程
设 x-x0 = y- y0 = z-z0 =t, 得方程组 mn p
xy==xy00++mntt . z=z0 + pt 此方程组就是直线的参数方程.
设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面 的法线向量为
n=(A, B, C), 则
L A = B = C ;
mn p
L// Am+Bn+Cp=0.
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设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面 的法线向量为
n=(A, B, C), 则
L A = B = C ; L// Am+Bn+Cp=0.
x -1 1
=
y -4
=
z
+ 1
3
和
L2:
x 2
=
y +2 = z 的夹角. -2 -1
解 两直线的方向向量分别为(1, -4, 1)和(2, -2, -1).
设两直线的夹角为j , 则
cosj = |12+(-4)(-2)+1(-1)| = 1 = 2 ,
12 +(-4)2 +12 22 +(-2)2 +(-1)2 2 2
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量: (x-x0, y-y0, z-z0)//s ,
从而有
x-x0 m
= y-y0 n
= z-z0 p
. >>>注
这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程.
直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一 组方向数. 向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦.
A1x+B1 y+C1z+D1=0 A2 x+B2 y+C2 z+D2=0
.
来表示. 这就是空间直线的一般方程.
分析：点M在直线L上点M同时在这两个平面上, 点M的坐标同时满足这两个平面的方程.
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二、空间直线的对称式方程与参数方程
❖方向向量 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫
mn p
例3 求过点(1, -2, 4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的 方程.
提示：
j =| -(s ^, n)| , sinj =|cos(s ^, n)| .
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方向向量为(m, n, p)的直线与法线向量为(A, B, C)的平面
的夹角j 满足
sinj =
| Am+ Bn+Cp|
.
A2 + B2 +C2 m2 +n2 + p2
❖直线与平面垂直和平行的条件
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三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹
角.
设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2),
那么L1和L2的夹角j满足 cosj =|cos(s1 ^, s2)|
=
|m1m2 +n1n2 + p1 p2 |
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例例11
用对称式方程及参数方程表示直线
x+ y + z =1 2x- y +3z =
4
.
解 在直线的一般方程中令x=1, 可得y=-2, z=0.
于是(1, -2, 0)是直线上的一点.
以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为 直线的方向向量 s:
s=(i+j+k)(2i-j+3k) =4i-j-3k.
-2)+1(-1)| = 1 = 2 , 22 +(-2)2 +(-1)2 2 2
所以 j
=
4
.
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方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:
cosj =
|m1m2 +n1n2 + p1p2 |
.
m12 +n12 + p12 m22 +n22 + p22
做这条直线的方向向量. 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.
❖确定直线的条件 当直线L上一点M0(x0, y0, x0)和它的
一方向向量s=(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
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❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方 程.
所给直线的对称式方程为 x-1= y +2 = z . 4 -1 -3
所给直线的参数方程为 x=1+4t, y=-2-t, z=-3t .
提示先：当s令求=x(直xi=4+-1线1j时=+上ky,-的)+有 12(一2=i点-y--z+y3,j++z再==33t求kz-,=)2=这有221,i直x此-=线111j方+的k314程t方,=组y4向=i的--向2j解-量-t3为,skz.=.y-=3-t2., z=0.