2012高三数学一轮复习阶段性测试题(12)：综合素质能力测试

阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(2011·合肥质检)集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或2[答案] D[解析] 由A ∩B ＝B 知B ⊆A ，a ＝1时，B ＝{x |x 2－x ＋1＝0}＝∅⊆A ；a ＝2时，B ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}⊆A ；a ＝3时，B ＝{x |x 2－3x ＋1＝0}＝{3＋52，3－52} A ，故选D.2．(文)(2011·合肥质检)在复平面内，复数i3－i (i 是虚数单位)对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B [解析] z ＝i 3－i＝i (3＋i )3－(－1)＝－14＋34i 的对应点⎝⎛⎭⎫－14，34在第二象限．(理)(2011·蚌埠二中质检)如果复数2－bi1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2[答案] C [解析] ∵2－bi 1＋2i＝(2－bi )(1－2i )5＝2－2b 5＋－b －45i 的实部与虚部互为相反数，∴2－2b5＋－b －45＝0，∴b ＝－23，故选C.3．(文)(2011·日照调研)若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于( )A ．1B ．－4C ．－72D.72[答案] C[解析] e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，故选C. (理)(2011·河南豫州九校联考)若A 、B 是平面内的两个定点，点P 为该平面内动点，且满足向量AB →与AP →夹角为锐角θ，|PB →||AB →|＋P A →·AB →＝0，则点P 的轨迹是( )A ．直线(除去与直线AB 的交点) B ．圆(除去与直线AB 的交点)C ．椭圆(除去与直线AB 的交点)D ．抛物线(除去与直线AB 的交点) [答案] D[解析] 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点为原点，建立平面直角坐标系，设A (－1,0)，则B (1,0)，设P (x ，y )，则PB →＝(1－x ，－y )，P A →＝(－1－x ，－y )，AB →＝(2,0)，∵|PB →|·|AB →|＋P A →·AB →＝0，∴2(1－x )2＋(－y )2＋2(－1－x )＝0，化简得y 2＝4x ，故选D.4．(2011·黑龙江哈六中期末)为了了解甲，乙，丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样的方法从甲校的1260份，乙校的720份，丙校的900份模拟试卷中抽取试卷进行调研，如果从丙校抽取了50份，那么这次调研一共抽查的试卷份数为( )A ．150B ．160C ．200D ．230[答案] B[解析] 依据分层抽样的定义，抽样比为50900＝118，故这次调研一共抽查试卷(1260＋720＋900)×118＝160份．5．(文)(2011·福州市期末)设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (f (x )≤k )k (f (x )>k )，给出函数f (x )＝－x 2＋2，若对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f k (x )＝f (x )，则( )A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1[解析] ∵x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )＝－x 2＋2≤2，且f k (x )＝f (x )恒成立，且当f (x )>k 时，f k (x )＝k ，故k 的最小值为2.(理)(2011·丰台区期末)用max{a ，b }表示a ，b 两个数中的最大数，设f (x )＝max{x 2，x }(x ≥14)，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积是( )A.3512B.5924C.578D.9112[答案] A[解析] 如图，平面区域的面积为6．(2011·北京丰台区期末)下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，12]内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[14，2]C ．(－∞，0)∪[14，2]D ．(－∞，－1]∪[14，2][解析] ∵x <0时，f (x )＝2x ∈(0,1)， 由0<2x ≤12得，x ≤－1；由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2x ≤12x >0得，14≤x ≤2，故选D.7．(文)(2011·潍坊一中期末)下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 [答案] C[解析] 若p ∧q 为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题，故C 错误． (理)(2011·巢湖质检)给出下列命题①设a ，b 为非零实数，则“a <b ”是“1a >1b”的充分不必要条件；②命题p ：垂直于同一条直线的两直线平行，命题q ：垂直于同一条直线的两平面平行，则命题p ∨q 为真命题；③命题“∀x ∈R ，sin x <1”的否定为“∃x 0∈R ，sin x 0>1”；④命题“若x ≥2且y ≥3，则x ＋y ≥5”的逆否命题为“若x ＋y <5，则x <2且y <3”， 其中真命题的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个[答案] D[解析] ①取a ＝－1，b ＝2满足a <b ，但1a >1b 不成立，∴①错；②取长方体交于同一顶点的三条棱所在直线知p 假，又q 真，∴p ∨q 为真命题，故②正确；③sin x <1的否定应为sin x ≥1，故③错；④“且”的否定应为“或”，故④错，因此选D.8．(文)(2011·陕西宝鸡质检)若将函数y ＝cos x －3sin x 的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析] y ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3左移m 个单位得y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3为偶函数，∴m ＋π3＝k π，k ∈Z . ∵m >0，∴m 的最小值为2π3.(理)(2011·咸阳模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝2＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 B ．y ＝2＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．y ＝2＋sin2x D ．y ＝2＋cos2x[答案] A[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――――――――→图象再向上平移π4个单位用x +π4代替xy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π4―――――――→图象再向上平移2个单位用y －2代替y y －2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π4， 即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋2，故选A. 9．(2011·陕西咸阳模拟)如图所示的程序框图，其输出结果是( )A ．341B ．1364C ．1365D ．1366[答案] C[解析] 程序运行过程依次为：a ＝1，a ＝4×1＋1＝5，a <500满足→a ＝4×5＋1＝21，a <500仍满足→a ＝4×21＋1＝85，a <500满足→a ＝4×85＋1＝341，a <500满足→a ＝4×341＋1＝1365，a <500不满足→输出a 的值1365后结束，故选C.[点评] 要注意循环结束的条件和输出结果是什么．10．(文)(2011·山东淄博一中期末)如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A.272 3 B ．12 3 C ．24 D ．24＋2 3[答案] D[解析] 由三视图知，该几何体是底面边长为332＝2，高为4的正三棱柱，故其全面积为3×(2×4)＋2×34×22＝24＋2 3. (理)(2011·山东日照调研)下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A ．34＋6 5B ．6＋65＋4 3C ．6＋63＋413D ．17＋6 5[答案] A[解析] 由三视图知，该四棱锥底面是一个矩形，两边长分别为6和2，有一个侧面P AD 与底面垂直，高为4，故其表面积S ＝6×2＋12×6×4＋2×⎝⎛⎭⎫12×2×42＋32＋12×6×42＋22＝34＋6 5.11．(2011·陕西宝鸡质检)双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.83B.38C.316D.163[答案] C[解析] 抛物线焦点F (1,0)为双曲线一个焦点， ∴m ＋n ＝1，又双曲线离心率为2，∴1＋nm＝4，解得⎩⎨⎧m ＝14n ＝34，∴mn ＝316.12．(文)(2011·广东高州市长坡中学期末)方程|x －2|＝log 2x 的解的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝|x －2|与y ＝log 2x 的图象可知两图象有两个交点，故选C.(理)(2011·山东实验中学期末)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ，②y ＝x ＋1x ，③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，(0<x <1)0，(x ＝1)－1x ，(x >1)中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有①[答案] C[解析] ①对于函数f (x )＝x －1x ，∵f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )，∴①是“倒负”变换的函数，排除B ；②对于函数f (x )＝x ＋1x 有f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足“倒负”变换，排除A ；对于③，当0<x <1时，1x >1，∵f (x )＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＝－⎝⎛⎭⎫－1x ＝－f (x )；当x >1时，0<1x <1，∵f (x )＝－1x ，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－x ＝－f (x )；当x ＝1时，1x ＝1，∵f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (1)＝0＝－f (x )，∴③是满足“倒负”变换的函数，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2011·黑龙江哈六中期末)一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，不放回地抽取2张标签，则2张标签上的数字为相邻整数的概率为________(用分数表示)．[答案] 25[解析] (文)任取两张标签，所有可能取法有1,2；1,3；1,4；1,5；2,3；2,4；2,5；3,4；3,5；4,5；共10种，其中两数字相邻的有4种，∴所求概率p ＝410＝25.(理)从5张标签中，任取2张，有C 25＝10种取法，两张标签上的数字为相邻整数的取法有4种，∴概率p ＝410＝25.14．(2011·浙江宁波八校联考)点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，ab 的最大值为________．[答案] 1[解析] 由条件知a >0，b >0，(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，∴a 2＋b 2＋2a ＋2b ＝6，∴2ab ＋4ab ≤6，∵ab >0，∴0<ab ≤1，等号在a ＝b ＝1时成立．[点评] 作出图形可见，点(a ，b )为⊙C 在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a ，b )为直线y ＝x 与⊙C 的交点(1,1)时，ab 取最大值1.15．(2011·重庆南开中学期末)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2n －1，则当n ≥2时，1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝________. [答案] 2－⎝⎛⎭⎫12n －1[解析] a 1＝S 1＝1，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1 ＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，∴1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1－12n 1－12＝2－12n －1. 16．(文)(2011·北京学普教育中心)设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l ，使得对于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋l ∈D ，且f (x ＋l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的l 高调函数．如果定义域为[－1，＋∞)的函数f (x )＝x 2为[－1，＋∞)上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] f (x )＝x 2(x ≥－1)的图象如图所示，要使得f (－1＋m )≥f (－1)＝1，应有m ≥2；故x ≥－1时，恒有f (x ＋m )≥f (x )，只须m ≥2即可．(理)(2011·四川资阳模拟)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间(0,1)中的实数m 对应数轴上的点M ，如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧ADM 的长度，如图③.图③中直线AM 与x 轴交于点N (n,0)，则m 的象就是n ，记作f (m )＝n .给出下列命题：①f ⎝⎛⎭⎫14＝1；②f (x )是奇函数；③f (x )在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是________．(填出所有真命题的序号)[答案] ③[解析] 由m 的象是n 的定义知，f ⎝⎛⎭⎫14<0，故①假，随着m 的增大，点N 沿x 轴向右平移，故n 增大，∴③为真命题；由于m 是线段AM 的长度，故f (x )为非奇非偶函数，∴②假．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(文)(2011·淄博一中期末)已知a ＝(cos x －sin x,2sin x )，b ＝(cos x ＋sin x ，3cos x )，若a ·b ＝1013，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6，求sin2x 的值． [解析] ∵a ·b ＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1013， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝513， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1213， ∴sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6sin π6＝513·32－1213·12＝53－1226. (理)(2011·四川广元诊断)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2a －c ，b )，n ＝(cos C ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的最大值． [解析] (1)由题意知(2a －c )cos B ＝b cos C ，(2a －c )·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝π3.(2)由(1)知a 2＋c 2－b 2＝ac ，b ＝3， ∴a 2＋c 2－ac ＝3，(a ＋c )2－3ac ＝3，(a ＋c )2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22≤3，14(a ＋c )2≤3， ∴a ＋c ≤23，即a ＋c 的最大值为2 3.18．(本小题满分12分)(文)(2011·重庆南开中学期末)设函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋m ，g (x )＝ax .(1)若函数f (x )，g (x )在[1,2]上都是减函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，设函数h (x )＝f (x )g (x )，若h (x )在(0，＋∞)内的最大值为－4，求实数m 的值．[解析] (1)∵f (x )，g (x )在[1,2]上都是减函数，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a >0，∴0<a ≤1. ∴实数a 的取值范围是(0,1]． (2)当a ＝1时，h (x )＝f (x )g (x )＝－x 2＋2x ＋m x ＝－x ＋m x ＋2；当m ≥0时，显然h (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴h (x )无最大值；当m <0时，h (x )＝－x ＋mx ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋(－m )x ＋2 ≤－2－m ＋2.当且仅当x ＝－m 时，等号成立．∴h (x )max ＝－2－m ＋2，∴－2－m ＋2＝－4⇒m ＝－9.(理)(2011·黑龙江哈六中期末)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )． (1)若a ＝12，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)当a ≥1时，求证：f (x )≤g (x )．[解析] (1)a ＝12，F (x )＝ln x ＋2x －12(x 2＋x ) (x >0)F ′(x )＝1x －x ＋32＝2－2x 2＋3x 2x ＝－(2x ＋1)(x －2)2x，∵x >0，∴当0<x <2时，F ′(x )>0，当x >2时，F ′(x )<0， ∴F (x )的增区间为(0,2)，减区间为(2，＋∞)． (2)令h (x )＝f (x )－g (x ) (x >0)则由h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝1x ＋2－2ax －a＝－(2x ＋1)(ax －1)x ＝0，解得x ＝1a，∵h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上减，∴当x ＝1a 时，h (x )有最大值h ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a ＋2a －a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a ＝ln 1a ＋1a－1，∵a ≥1，∴ln 1a ≤0，1a－1≤0，∴h (x )≤h ⎝⎛⎭⎫1a ≤0，所以f (x )≤g (x )． 19．(本小题满分12分)(文)(2011·厦门期末)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求通项a n ；(2)令b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解析] (1)设数列{a n }的公关差为d ，则d ≠0， ∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴a 22＝a 1·a 4， ∴(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )， 整理得：a 1＝d ，又a 1＝1，∴d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝1＋(n －1)·1＝n . 即数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得b n ＝a n ＋2a n ＝n ＋2n ， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(21＋22＋23＋…＋2n ) ＝n (n ＋1)2＋2(1－2n )1－2＝n (n ＋1)2＋2(2n －1)＝2n ＋1＋12n 2＋12n －2.故数列{b n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1＋12n 2＋12n －2.(理)(2011·河北冀州期末)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)；(2)设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n >cS k 都成立，求c 的最大值．[解析] (1)由题意知：d >0，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d2a 2＝a 1＋a 3⇒3a 2＝S 3⇒3(S 2－S 1)＝S 3,3[(a 1＋d )2－a 1]2＝(a 1＋2d )2， 化简得：a 1－2a 1·d ＋d 2＝0，∴a 1＝d ，∴a 1＝d 2 S n ＝d ＋(n －1)d ＝nd ，S n ＝n 2d 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2d 2－(n －1)2d 2＝(2n －1)d 2，适合n ＝1的情形． 故a n ＝(2n －1)d 2.(2)S m ＋S n >cS k ⇒m 2d 2＋n 2d 2>c ·k 2d 2⇒m 2＋n 2>c ·k 2，∴c <m 2＋n 2k2恒成立．又m ＋n ＝3k 且m ≠n,2(m 2＋n 2)>(m ＋n )2＝9k 2⇒m 2＋n 2k 2>92，故c ≤92，即c 的最大值为92.20．(本小题满分12分)(2011·山西太原调研)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，它的一个顶点为M (0,1)，离心率e ＝63. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 的面积的最大值．[解析] (1)依题意得⎩⎨⎧b ＝1e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝63解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由已知|m |1＋k 2＝32得， m 2＝34(k 2＋1)，把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程整理得， (3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝－6km3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.当k ≠0时，|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(1＋k 2)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k 2＋6≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立，此时|AB |＝2.当k ＝0时，|AB |＝ 3.综上所述：|AB |max ＝2，此时△AOB 面积取最大值 S ＝12|AB |max ×32＝32. 21．(本小题满分12分)(文)一个多面体的三视图及直观图如图所示，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点．(1)求证：MN ∥平面ACC 1A 1； (2)求证：MN ⊥平面A 1BC .[证明] 由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1.(1)由直三棱柱的性质知，四边形ABB 1A 1为矩形，对角线交点M 为A 1B 的中点， 又∵N 为B 1C 1的中点， ∴△AB 1C 1中，MN ∥AC 1.又∵AC 1⊂平面ACC 1A 1，MN ⊄平面ACC 1A 1. ∴MN ∥平面ACC 1A 1.(2)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，交线为AC ，又AC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又∵AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥AC 1. 在正方形ACC 1A 1中，AC 1⊥A 1C . 又BC ∩A 1C ＝C ，∴AC 1⊥平面A 1BC ， ∵MN ∥AC 1，∴MN ⊥平面A 1BC .[点评] 将几何体的三视图与线面平行垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向．解答这类问题首先要通过其三视图确定几何体的形状和主要几何量，然后利用几何体的性质进行推理或计算．请再练习下题：已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)若点F 在线段BD 上，且DF ＝3BF ，则当PEEC 等于多少时，有EF ∥平面P AB ？并证明你的结论；(3)试证明P 、A 、B 、C 、D 五个点在同一球面上．[解析] (1)由四棱锥的三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2. ∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝23.(2)当PE EC ＝13时，有EF ∥平面P AB . 连结CF 延长交AB 于G ，连结PG ，在正方形ABCD 中，DF ＝3BF . 由△BFG ∽△DFC 得，GF FC ＝BF DF ＝13.在△PCG 中，PE EC ＝13＝GFFC，∴EF ∥PG .又PG ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB .(3)证明：取P A 的中点O .在四棱锥P －ABCD 中，侧棱PC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 可知△PCA 、△PBA 、△PDA 均是直角三角形， 又O 为P A 中点，∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ＝OD . ∴点P 、A 、B 、C 、D 在以点O 为球心的球面上．(理)(2011·湖南长沙一中期末)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上．(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值． [解析] (1)因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥平面A 1CD . 因为A 1D ⊂平面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(2)连结BO ，则∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角． 因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ， ∴A 1D ⊥平面A 1BC ，∵A 1C ⊂平面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1C . 在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4.根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125，在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225.所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.选做题(22至24题选做一题) 22．(本小题满分12分)几何证明选讲(2011·北京学普教育中心联考)如图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，求DE 的长．[解析] 设CB ＝AD ＝x ，则由割线定理得：CA ·CD ＝CB ·CE ，即4(4＋x )＝x (x ＋10)化简得x 2＋6x －16＝0，解得x ＝2或x ＝－8(舍去) 即CD ＝6，CE ＝12.因为CA 为直径，所以∠CBA ＝90°，即∠ABE ＝90°， 则由圆的内接四边形对角互补，得∠D ＝90°， 则CD 2＋DE 2＝CE 2， ∴62＋DE 2＝122，∴DE ＝6 3.23．(本小题满分12分)极坐标与参数方程(2011·辽宁省实验中学期末)已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[解析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6即⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t (t 为参数)由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， ∴⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. (2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t 代入⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12得t 2＋12t －14＝0，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14.24．(本小题满分12分)不等式选讲(2011·大连市联考)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围． [解析] (1)不等式f (x )＋a －1>0， 即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为x ≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，∵|x －2|>1－a ，∴x －2>1－a 或x －2<a －1，∴x >3－a 或x <a ＋1， 故解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)．(2)f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5， 即m 的取值范围是(－∞，5)．。