线性代数期末考试复习考点(第六版)
线性代数本科期末考试重点资料
本学期线性代数课程的考试要点：第一章一、二阶行列式定义及其计算――对角线法则，利用行列式性质化为上（下）三角形行列式，利用展开定理进行计算（注意记号的正确写法）；二、数码排列的逆序数的计算；三、n 阶行列式的定义及其计算――利用行列式性质化为上（下）三角形行列式，利用展开定理进行计算（注意记号的正确写法）；四、行列式的展开定理的有关结论。
第二章一、矩阵的概念及其有关运算（加，减，数乘，矩阵相乘，逆矩阵，方阵的行列式，方阵的幂乘）（矩阵相乘一般不满足交换律，必须注意是左乘还是右乘）二、逆矩阵的定义及有关概念和有关结论；三、逆矩阵存在的充要条件；四、矩阵的初等变换（主要是初等行变换）；五、行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的定义；六、如何利用矩阵的初等行变换将一个矩阵化为行阶梯形和行最简形；七、初等矩阵的概念；八、矩阵的秩的概念；九、如何利用矩阵的初等行变换：（1）求出可逆矩阵的逆矩阵；（2）求解矩阵方程；（3）确定所给矩阵的秩。
第三章一、方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念；二、如何利用矩阵的初等行变换判定齐次线性方程组是否有非零解；三、如何利用矩阵的初等行变换判定非齐次线性方程组是否有解；有解时是唯一解还是无穷多解；四、向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关的概念；五、如何利用矩阵的初等行变换判定向量组：（1）求出所给向量组的秩；（2）判定向量组是否线性相关；（3）求出向量组的极大无关组；（4）求出不在极大无关组中的向量由极大无关组向量线性表示的表达式。
六、解向量、解空间、基础解系的概念；七、如何利用矩阵的初等行变换求解线性方程组：（1）求出齐次线性方程组的基础解系和通解的表达式；（2）求出非齐次线性方程组的一个特解，求出相应的齐次线性方程组的基础解系，最后，利用基础解系写出非齐次线性方程组的通解的表达式。
第四章一、如何求出所给矩阵的特征值和特征向量。
线性代数同济六版资料知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则 :2. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， = n ！逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n j n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n nn j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
线性代数同济六版知识点总结
1、 二阶行列式--------对角线a 法则a :
11
12
2、 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行(列)展开法则
aa
21
22
aa
31
32
a 13
a 23
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 33
11 22 33
12 23 31
对换:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性、
4、 a a a
11
12
13
(1) a t ( j1j2j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
a a a 3 1
23
33
其中: t(
就是 1,2,3 的一个排列,
)就是排列
的逆序数
56、 、对下 ①行角三行列行角列式λ列行式的1 式列与性λ: 式它质2 :的: 转aaa置12n111行列aa2n式22λ相1λ.等2..、...a(0λ转nnn置:副行a对变11a角列22行,.列.列变.式a行n:n)。D副=三λ角2 跟λ副1 对角(相1识)n(
对角矩阵:对角线元素为 1, 2 , , n ,其余元素为 0 的方阵 单位矩阵:对角线元素为１,其余元素为 0 的方阵,
1
2
diag
1
,
2
,
, n
n
1
E
1
1
2、 矩阵的运算
1)加法:只有两个矩阵为同型矩阵时,才能进行加法运算。A+B 等于对应元素相加起来。满足交换律与结合律
2)数与矩阵相乘
或
a1iA1j a2iA2j a niA nj 0
ij
使用该法则计算行列式的值:先选取存在最多 0 的行(列),从该行选取一个非 0 元素 aij,并将该行其她元素
线性代数期末复习知识点考点总结
线性代数期末复习知识点考点总结本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March线性代数必考的知识点1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nn k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵； ⇔A的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组6. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 7. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；8. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 9. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；10. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；11. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nm n mm m m rnr r n n n n nnn n r C C C C C CrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 12. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=13. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n≥，A 中有n 阶子式不为0；14. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 15. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；16. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性17. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；18. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）19. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 20. ()()T r A A r A =；(101P 例15)21. n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）； ③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面；22. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；23. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ == 24. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 25. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 26. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）27. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解； ②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；28. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；29. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 30. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；31. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 32. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；5、相似矩阵和二次型33. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 34. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;35. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 36. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同⇔=T C AC B ，其中可逆；T x Ax与T x Bx有相同的正、负惯性指数；③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 37. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 38. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 39. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
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行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12答案B解析2.余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj njD a A a A a A =+++ ()1,2,,;1,2i n j n ==定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠ ()1,2,,;1,2i n j n == 例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____;213122322333a A a A a A ++=___0___.4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-（3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212nn(1)λλλλλλ-=- （4）三角行列式1111121n 2122222n1122nnn1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素33=1，按该行展开,D=3333,不用忘记B 。
线性代数期末复习知识点参考
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（ ）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。
(完整版)线性代数(同济六版)知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12a 21a 22|= a 11a 22 −a 12a 212. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列，t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：r i ↔ r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ：r i x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
如第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a =O M M n...λλλλλλ21n 21=O n21λλλNn2121)n(n λλλ1)(ΛΛ--=n n n j n jn 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a ΛΛM MMM ΛΛΛΛ+++n nn j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a ΛΛM M M M ΛΛΛΛΛΛM M M M ΛΛΛΛ+=n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a ΛΛΛM M MM ΛΛΛΛΛΛ+++n nn j n i n 12n 2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a ΛΛΛM M M M ΛΛΛΛΛΛ=7. 重要性质：利用行列式的性质 r i +kr j 或 c i +kc j ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。
线代期末重点总结
线代期末重点总结一、向量空间1. 向量空间定义向量空间是指具有加法和标量乘法运算的集合，满足一定条件。
a) 任意向量 u、v 属于向量空间 V，有 u + v 属于 V。
b) 任意标量 k 和向量 u 属于 V，有 k * u 属于 V。
c) 向量加法满足交换律、结合律和存在零向量的性质。
d) 标量乘法满足结合律和分配律的性质。
2. 子空间集合 V 的一个子集 W 是 V 的子空间，如果 W 本身也是向量空间。
a) 非空集合 W 对于向量加法和标量乘法封闭。
b) 非空集合 W 包含零向量，即原空间中的零向量也属于子空间 W。
c) 非空集合 W 对于向量加法和标量乘法满足分配律和结合律的性质。
3. 线性相关与线性无关a) 如果存在非零向量 c1, c2, ..., cn，使得线性组合 a1c1 + a2c2 + ... + ancn = 0，其中 ai 是标量，那么称向量组 c1, c2, ..., cn 线性相关。
b) 如果向量组 c1, c2, ..., cn 不是线性相关，那么称它们线性无关。
4. 基与维数a) 如果向量组 v1, v2, ..., vn 线性无关，并且能够生成向量空间 V，那么称它们是 V 的一个基。
b) 向量空间 V 中的向量个数称为维数，记作 dim(V)。
c) 如果 V 的一个基含有 n 个向量，则维数 dim(V) = n。
5. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射。
a) 线性变换必须满足保持向量加法性质：T(u + v) = T(u) + T(v)。
b) 线性变换必须满足保持标量乘法性质：T(k * u) = k * T(u)。
二、矩阵表示和运算1. 矩阵表示a) 矩阵是一个二维数组，由若干个行和列组成。
b) 行向量和列向量可用矩阵表示。
c) 线性变换可用矩阵表示。
2. 矩阵乘法a) 两个矩阵 A(m × n) 和 B(n × p) 的乘积 C(m × p) 定义为 C_ij = sum(A_ik * B_kj)，其中 i = 1, ..., m；j = 1, ..., p。
线性代数(同济六版)知识点总结
个
2.矩阵的秩：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)。零矩阵的秩等于 0。
常用：
1）对于 n 阶方阵 A，R(A)=n(称 A 满秩)?
?A 可逆
2）若 ，则 R(A)=R(B) 3）对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数
第 i 个数 ai 称为第 i 个分量． 2.向量组：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 3.给定向量组 A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数 k1,k2,…,km，表达式
k1a1+k2a2+…+kmam 称为向量组 A 的一个线性组合。k1,k2,…,km 称为这个线性组合的系数． 4.给定向量组 A：a1,a2,…,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,…,lm，使得
：即对矩阵(A,B)进行初等行变换，当 A 变成 E 时，B 就变成了所求的
二、矩阵的秩
1.k 阶子式：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它 们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
5.伴随矩阵：其中 是 的代数余子式， A* 称为 A 的伴随矩阵。（特别注意符号）
A11 A21
An1
6.逆矩A阵：B对为于A A的n1阶逆2 方矩阵阵A，A22，记如为果有 n。A阶且n方2A阵的B逆，注矩使阵意得的是：第A唯B元=j一B素A行的=E第。，的则i代列称数（A 余可类逆子似，式于转置是）位于
线代第六版知识点总结
线代第六版知识点总结线性代数是数学中的一个重要分支，它主要研究向量空间、线性变换以及矩阵理论。
第六版线性代数教材通常会对这些核心概念进行深入讲解，并可能包含一些新的理论发展或应用实例。
以下是对线性代数第六版可能包含的一些关键知识点的总结：1. 向量与向量空间：向量是具有大小和方向的量，向量空间是向量的所有可能线性组合的集合。
理解向量空间的基、维数以及向量在不同基下的表示是基础。
2. 矩阵运算：矩阵是数字的有序排列，可以进行加法、乘法、转置和求逆等运算。
矩阵的乘法规则、矩阵的行列式以及矩阵的秩是矩阵理论的核心内容。
3. 线性变换：线性变换是保持向量加法和标量乘法的函数。
理解线性变换的矩阵表示、特征值和特征向量是理解线性变换的关键。
4. 特征值与特征向量：特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们与矩阵的对角化密切相关。
特征值问题在许多领域都有应用，如量子力学和经济学。
5. 正交性与正交投影：正交性是向量空间中的一种特殊关系，正交投影是将一个向量投影到另一个向量或向量空间上的操作。
理解正交基和正交补是解决许多几何和代数问题的基础。
6. 内积空间：内积空间是定义了内积运算的向量空间，它允许我们定义向量的长度和夹角。
欧几里得空间是最常见的内积空间。
7. 二次型：二次型是表达为变量的二次多项式的函数。
它们在优化问题和几何中有着广泛的应用。
8. 线性方程组：线性方程组是线性代数中最基本的问题之一。
解线性方程组的方法包括高斯消元法、克拉默法则和矩阵方法。
9. 矩阵分解：矩阵分解是将矩阵表示为更简单矩阵的乘积。
常见的矩阵分解有LU分解、QR分解和奇异值分解（SVD）。
10. 应用：线性代数在工程、物理、计算机科学、经济学和统计学等领域都有广泛的应用。
理解线性代数的基本概念对于解决这些领域的问题至关重要。
这些知识点构成了线性代数第六版教材的主要内容，为学习者提供了一个坚实的理论基础和丰富的应用实例。
通过深入学习这些概念，可以更好地理解和应用线性代数在现代科学和工程中的重要性。
线性代数(同济第6版)复习要点
2
,,
er
1 r
r
主要计算
1．正交化方法 2．求矩阵的特征值和特征向量
例
1
1
4
1．（例 2）设1 2 , 2 3 , 3 1 ，试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化。
1
1
0
2．（例 6）求矩阵
1
[3 , 2 ] [2, 2]
2
r
r
[ r [1
, ,
1 1
] ]
1
[ [
r 2
, ,
2 2
] ]
2
[ r , [ r1
r ,
1 ] r1 ]
r
1
2．单位化： e1
1 1
1,
e2
1 2
线性代数(同济第 6 版)复习要点
第一章 行列式
基本结论
1．行列式的性质 （1） 互换行列式的两行，行列式变号. （2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. （3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列
式不变. 2．行列式按行按列展开
定理 3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain ( i 1, 2,, n)
1．讨论向量组的线性相关性． 2．设矩阵 A ，求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大 无关组线性表示． 3．设非齐次线性方程组 AX b ，试问 （1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？ （2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.
线性代数(同济六版)知识点总结
0 a11a22...ann
副三角跟副对角相识
an1 an2 ... ann
对角行列式：
副对角行列式：
λ1 λ2
λ 1λ 2...λn
λn
6. 行列式的性质：
λ2
λ1
n ( n1 )
(1) 2 λ 1λ 2 λ n
λn
①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =
②互换行列式的两行（列），行列式变号。
余子式：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做 aij 的余子式，记为 Mij
代数余子式：记 Aij = ( −1 ) i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式 。 ②重要性质，定理
a11 a12 (b1 j c1 j ) a1n
a21 a22 (b2 j c2 j ) a2n
an1 an2 (bnj cnj ) ann
a11 a12 b1 j a1n a11 a12 c1 j a1n
a21
a22
b2 j
a2n
a21
a22
c2 j
a2n
(3) ( A)T AT ; (4) ( AB)T BT AT .
设 A 为 n 阶方阵，如果满足
，即
，则 A 为对称阵
如果满足
，即
，则 A 为反对称阵
4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或 det A.
性质：①| AT || A | ，②| A | n | A | ，③| AB || A || B | 。
大学线性代数(同济六版)知识点总结
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即
ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0
ij
或
a A 1i 1j a2iA2j a niA nj 0
ij
使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多 0 的行（列），从该行选取一个非 0 元素 aij，并将该行其他元素
A
A
a11
a21
am1
a12 a22
②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：
③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数 k，等于用数 k 乘此行列式。第 i 行乘 k： x k
推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面
④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于 0
5. 下三角行列式:
a11
a 21 a 22
0 a11a22 ...a nn
副三角跟副对角相识
a n1 a n2 ... a nn
对角行列式：
副对角行列式：
λ1
λ2
λ 1λ 2...λ n
λn
6. 行列式的性质：
λ2
λ1
n(n 1)
(1) 2 λ 1λ 2 λ n
λn
①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =
a 22
c2j
a 2n
a n1 a n2 (bnj cnj ) a nn
a n1 a n2 bnj a nn
a n1 a n2 cnj a nn
⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如
线性代数各章复习重点汇总
线性代数各章复习重点汇总线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换、线性方程组等概念和性质。
下面是线性代数各章的复习重点汇总。
1.线性方程组：-线性方程组的基本概念和性质，包括齐次线性方程组、非齐次线性方程组等。
-线性方程组的解的存在性与唯一性，以及求解线性方程组的方法（高斯消元法、矩阵求逆法、克拉默法则等）。
-线性方程组的等价关系与等价变换。
2.矩阵与行列式：-矩阵的基本概念和性质，如矩阵的加法、减法、乘法等运算。
-方阵的特殊性质，如对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵等。
-行列式的定义和性质，包括行列式的展开定理、行列式的性质推导等。
3.向量空间：-向量空间的定义和性质，如线性相关性、线性无关性、基、维数等。
-子空间的概念和性质，包括子空间的交、和、直和等操作。
-线性组合、张成空间、极大线性无关组等概念。
4.线性变换与矩阵：-线性变换的定义和性质，包括线性变换的特征值、特征向量等。
-线性变换的矩阵表示，以及矩阵与线性变换之间的转换关系。
-线性变换的合成、逆变换等操作，以及线性变换的标准形式（例如，矩阵的对角化）。
5.特征值与特征向量：-特征值与特征向量的定义和性质，包括特征值的重数、特征向量的线性无关性等。
-特征值与特征向量的计算方法，如特征方程的求解、特征值的代入等。
-特征值与特征向量的应用，如对角化矩阵、相似矩阵等。
6.正交性与标准正交基：-向量的正交性和标准正交性的概念和性质，包括向量的点积、向量的夹角等。
-标准正交基的定义和求解方法，如施密特正交化过程等。
-正交矩阵的定义和性质，以及正交矩阵与标准正交基之间的关系。
以上是线性代数各章的复习重点汇总，希望能够帮助你理清知识重点，并提高复习效率。
祝你取得好成绩！。
线性代数考试重点
第一章行列式容易出选择填空题的内容：(1)求逆序数；(2)含某个因子的项（注意正负号）；(3)与余子式或代数余子式相关的内容；(4)已知|A| 求某个与A相关的行列式。
容易出大题的内容：行列式的计算。
其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值，则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式，可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。
而对于4阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算，此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时，运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶的行列式计算。
对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列式的性质和展开定理。
一般来说，考试中都会出课本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。
第二章矩阵本章是《线性代数》中最重要的一章。
这里首先要注意行列式与矩阵在书写形式和表达意思上的区别（行列式用竖线表示，它是一个算式，能求出数值；矩阵用括号表示，它是一个数表，进行任何变动后矩阵都不再相等）。
此外，本章的初等变换（一共三种变换方式，尤其是行变换）虽然不会直接出大题，但很多大题与此相关，需重点掌握通过初等行变换将矩阵化为最简行阶梯矩阵的步骤，这里要注意两点：①初等变换与行列式变换的异同，②运用初等变换的第二种变换时，λ一定不能为0。
容易出选择填空题的内容：(1)低阶矩阵的加法、数乘和乘法运算；(2)与可逆矩阵（|A|≠0）相关的一些定性理论；(3)矩阵与行列式之间的综合运算，常用性质：|AB|=|A||B|，|kA|=k n|A|，|A-1|=1/|A|等，注意|A+B|≠|A|+|B|；(4)已知|A| 求与A*, A-1相关的行列式，通常会利用关系式A*=|A|A-1，将伴随矩阵化为逆矩阵，然后再计算行列式；容易出大题的内容：(1)矩阵求逆（最好用初等行变换方法）；(2)矩阵方程的计算，此类题目具有一定的灵活性，一般都先将方程写成诸如CX=B的形式，并通过初等行变换将矩阵(C B) 化成(E X) 即得结果，若方程化为XC = B 则可将方程两边进行转置后再计算，若化为CXD=B，则可令Y=CX，求出Y后再进一步求X，当然这里也先可以计算出C-1和D-1，然后再计算X=C-1BD-1，但要注意C-1和D-1的左右位置；(3)给出矩阵的一元二次方程，再求证某个矩阵可逆或者不可逆，证明可逆时，通常把方程化为(A+aE)(A+bE)=cE 的形式(c非零)，然后可的出结论(A+aE)-1=(A+bE)/c，证明不可逆时，通常可以把方程化为(A+aE)(A+bE)=0，然后对两边求行列式，并得出|A+aE|=0或者|A+bE|=0，（注：此处不能得出A+aE=0或A+bE=0）。
线性代数期末考试复习考点—同济大学(第六版)
逆矩阵的性质
如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 与AB 也可逆，且 、A 、A
1 T
A( 0)
( A1 )1 A,
( AT )1 ( A1 )T ,
( A)
1
1
A1 ,
( AB)1 B1 A1 .
AA* A* A | A | E | A || A |
定理1 n 元线性方程组 AX = b ①无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)； ②有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； ③有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n ． 定理2 线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) ．
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 掌握矩阵的三种初等变换，行阶梯形矩阵、行 最简形矩阵；
2. 会用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵、 行最简形矩阵； 3. 会用初等行变换求逆矩阵及矩阵方程； 4. 会用初等行变换求矩阵的秩； 5. 掌握矩阵秩的一些最基本的性质； 6. 掌握线性方程组有解的判定条件； 7. 会讨论线性方程组系数矩阵的待定系数来判定 线性方程组是否有解情况。
的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.
非齐次线性方程组的解的性质
性质3：若 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， 则 x = h1 − h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）的 解． 性质4：若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是
第二章 矩阵及其运算 1. 掌握矩阵的运算性质，会求矩阵的加法、数乘 及矩阵与矩阵的运算；
《线性代数 同济第6版》考试题
a=
, b=
． ．
9．设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，且 A 的特征值为 2, 2, 3，则 B 1 10. 二次型 f ( x) x T 0 5 6 x 的矩阵为
2.(本小题 分) 设有向量组
α1 (1, 1, 2, 4)T , α2 (0, 3, 1, 2)T , α3 (2, 1, 5, 6) T , α4 (1, 1, 2, 0)T ．
求 α1 , α2 , α3 , α4 的秩及一个最大无关组．
1 1 0 3.(本小题 12 分) 设矩阵 A 1 1 0 ,求可逆阵 P 及对角阵 ，使得 P 1 AP ． 0 0 2
A卷 共4页 第4页
4. 设 A , 3 2 , 2 3 ， 若 A B 1 ，A B B , 2 , 3 为 3 阶方阵．
A1 1 1 1 0 5. 设 A1 ， A2 ，A 1 3 0 2 1 ，则 A A2
则 Ax 0 的通解为( k 为任意常数) 【 】 】 【 】
(A) k1 ；
(B) k 2 ；
(C) k (1 2 ) ；
(D) k (1 2 ) ．
5．设 α1 , α2 是矩阵 A 的对应于特征值 λ 的特征向量，则以下命题正确的是 【 (A) α1 α2 是 λ 对应的特征向量； (C) α1 , α2 一定线性相关； 6．方阵 A(n 阶)可对角化的充分必要条件是 (A) A 为实对称矩阵； (C) A 有 n 个线性无关的特征向量； (B) 2α1 是 λ 对应的特征向量； (D) α1 , α2 一定线性无关．
线性代数第六版考试试题及答案
线性代数第六版考试试题及答案一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分后，共45分后)在每小题列举的四个选项中只有一个选项就是合乎题目建议的，恳请将恰当选项前的字母填上在答题卷适当题号处。
1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。
[A] 3 [B] 8 [C]9 [D]272、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,则AB( )。
[A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,83、若X是Y的子集，则一定有( )。
[A]X不属于Y [B]X∈Y[C]X真包含于Y [D]X∩Y=X4、以下关系中就是等价关系的就是( )。
[A]不等关系 [B]空关系[C]全系列关系 [D]偏序关系5、对于一个从集合A到集合B的映射，下列表述中错误的是( )。
[A]对A的每个元素都必须存有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象[C]对B的.每个元素都有原象 [D] 对B的元素可以有不止一个原象6、设p:小李努力学习，q:小李获得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他无法获得好成绩”的符号化形式为( )。
[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q7、设A={a,b,c},则A至A的双射共计( )。
[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个8、一个相连G具备以下何种条件时，能够一笔画出来：即为从某结点启程，经过中每边仅一次返回该结点( )。
[A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点[C] G存有2个奇数度结点 [D] G没或有2个奇数度结点9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是( )。
[A] G中存有幺元 [B] G中么元就是唯一的[C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外无其他幂等元10、令p：今天下雨了，q：路滚，则命题“虽然今天下雨了，但是路不滑”可以符号化为( )[A] p→┐q [B] p∨┐q[C] p∧q [D] p∧┐q11、设G=的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={,}.则G的割(点)集是( )。