04第四章 刚体的转动

第4章 刚体的运动4-1 刚体的运动1. 刚体● 物体是有形状和大小的，物体的运动有平动、转动和形变等多种形式，质点的运动只能描述物体的平动，不能描述物体的转动和形变等运动，为了研究物体的平动和转动，我们引入刚体的概念。

● 刚体：物体内任意两质点之间的距离，都不因外力而改变，这样的物体叫做刚体，刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，是一个理想模型。

● 处于固态的物质，有一定的形状和大小，但任何固体在外力作用下，其形状和大小都要发生变化，刚体是在外力作用下形变并不显著的物体的一种近似。

● 以刚体为对象，我们可研究它的平动、转动、平动与转动的复合运动等。

● 刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。

()()不变c r r r r jiji=-⋅-或 ()()0=-⋅-dtr r d r r j i j i 或 ()()0=-⋅-j i j i v v r r●一个刚体的运动，就是一个特殊质点系统的运动，因此，对刚体运动的研究，可以用质点系统的运动定律来加以研究。

2. 刚体的平动●刚体的平动：当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫做刚体的平动。

●刚体平动的例子：升降机的运动、汽缸中活塞的运动、刨床上刨刀的运动、车床上车刀的运动等等。

●刚体平动时，在任意一段时间内，刚体中所有质点的位移都是相同的，而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的，所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。

3. 刚体的转动●刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动便叫做刚体的转动，这一直线叫做转轴，转轴还可以绕某一点转动，这一点叫基点。

●刚体转动的例子：机械上齿轮的运动、车床上工件的运动、钟摆的运动、地球的自转运动等等。

4. 刚体一般运动的分解● 刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加运动。

● 刚体的一般运动的分解：在刚体上任选一点为刚体的基点，刚体的一般运动可以分解成刚体跟随基点的平动和刚体绕基点的转动。

通过基点任选一条直线为刚体的转轴，刚体的转动又可以分解为刚体绕转轴的转动和转轴绕基点的转动。

● 刚体的一般运动分解的例子：一个车轮的滚动，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动；在拧紧或松开螺帽时，螺帽同时作平动和转动；钻床上的钻头在工作时，也同时作转动和平动。

4-2 刚体的定轴转动1. 刚体的定抽转动● 刚体的定抽转动：刚体上各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动，而轴本身在空间的位置不变，这就叫做刚体的定抽转动。

()()不变c r r r r jiji=-⋅-不变c r r i i =⋅不变c k r i =⋅ˆ或 ()()0=-⋅-j i j i v v r r0=⋅i i v r0ˆ=⋅kv i或 0=⋅+⋅i j j i v r v r，0=⋅i i v r0ˆ=⋅kv i ● 刚体的定抽转动的例子：机械上飞轮的转动、门的开或关的运动等。

2. 刚体定轴转动的角速度● 刚体作定轴转动时，刚体中任一质点都在某个垂直于转轴的平面内作圆周运动，各个质点的转动半径所扫过的角度、角速度和角加速度都相同，因此可以用刚体上任一点的这个转角（角位移）、角速度和角加速度来描述整个刚体的转动。

● 刚体定轴转动的角速度和角加速度定义：角速度是一个矢量，它的大小等于刚体上任以点的转动角速度，它的方向与刚体的转动方向满足右手螺旋法则，即右手螺旋的拇指所指方向，它与转轴平行（轴的方向一般取轴方向k ˆ）。

角加速度是角速度的变化率。

k dt d ˆθω=， k dt d dt d ˆ22θωβ== ，● 在定轴转动的情形中，角速度的方向总是沿着转轴的，因此只要规定了ω 的正负，ω就可用标量进行计算。

dtd θω=22dtd dt d θωβ==● 刚体在定轴转动时，刚体有共同的角位移、角速度和角加速度，但是，由于刚体上各个质点的的转动半径不同，所以刚体上各个质点的位移、速度和加速度都不相同。

● 刚体在定轴转动时，刚体角量和线量的关系：对于刚体上任一质点i p ，如果它到转轴的位矢为i r ,线速度为i v，线速度为i a，刚体角速度为ω ，则有下面的的关系式成立i i r v⨯=ω，i i r v ⋅=ω 2i i i r v r⨯=ω，i i r v =ω因为dt d θω=，ωθi i i i r dtd r dt ds v ===3. 刚体定轴转动的角动量● 设刚体绕z 轴反时钟旋转，任取刚体上一点i p ，其质量为i m ,i p 关于o 点的位矢为i R ，关于z 轴的位矢为i r，因此点i p 的()i i i i i i i v R m v m R L⨯=⨯=()()ωω2222ˆˆˆˆii i i i i i i i i i i i iz r m k r m k r v r r m kv r m k L L =⋅=⋅⨯=⋅⨯=⋅= ● 刚体的总角动量在转轴方向的分量，即刚体绕定轴的角动量为。

ωω⎥⎦⎤⎢⎣⎡===∑∑∑i i i i i i i iz z r m r m L L 22● 刚体的总角动量，等于各个质点角动量的矢量和，由图可见，总角动量L 的方向并不和z 轴或ω的方向相一致，只有刚体的质量分布关于转轴对称分布时，刚体对O 点的角动量才和z 轴ii或ω的方向相一致。

这时，刚体对O 点的角动量就是刚体绕定轴的角动量。

● 刚体对转轴的转动惯量为 I ⎰∑⋅==Vii i z dV r r m J 22ρ● 刚体的总角动量在角速度方向的分量与刚体的角速度的关系为ωz z J L =● 转动惯量是刚体定轴转动时，转动惯性大小的量度。

● 刚体对定轴可定义一回转半径，引入回转半径概念以后，刚体对定轴的转动等效为一个等质量的圆环，圆环的半径为回转半径。

I ∑∑==ii ii i Gmm rm r 2 222G iii ii i z mr mrm mr m J ===∑∑4. 刚体定轴转动的转动惯量计算● 影响刚体转动惯量大小的因素有三个：(1)刚体的总质量，(2)质量的分布。

(3)给定轴的位置。

● 物体的质量分布一样，转轴位置一样，但材质不同，其转动惯量不相同。

● 物体的材质一样，转轴位置一样，但质量分布不同，其转动惯量不相同。

● 物体的材质一样，质量分布一样，但转轴的位置不同，其转动惯量不相同。

● 表4-1给出了常见刚体的转动惯量。

● 刚体转动惯量的计算公式⎰∑⋅==Vii i z dV r r m J 22ρ5. 刚体定轴转动的力矩● 刚体定轴转动的力矩：i i i F R M ⨯=()()k F r k F R M i i i i iz ˆˆ⋅⨯=⋅⨯=● 合力的力矩等于各个分力的力矩的和，即()∑∑⋅⨯==ii i iiz z k F r M M ˆi F⊥i F6. 刚体定轴转动定律● 刚体的角动量定理：刚体也是质点系，所以刚体满足质点系的角动量定理dt L d M =dtdL M zz =● 刚体定轴转动定理：ωz z J L =βωωz z z Z z J dtd J J dt d L dt d M ====J随时间变化时： ωz z J dtdM =J不随时间变化时：βz z J M =● 定轴转动定律说明，当刚体所受的总外力矩一定时，转动惯量愈大，角加速度就愈小，也就是转动惯量越大的刚体其角速度越难改变，刚体保持原有转动状态的能力越强，反之，转动惯量愈小，角加速度就愈大，也就是转动惯量越小的刚体其角速度越容易改变，刚体保持原有转动状态的能力越差，这就清楚地表明，转动惯量是量度刚体转动惯性的物理量。

7. 刚体定轴转动的角动量守恒定律● 定轴转动定理()dtJ d dt dL M z z z ω==● 角动量定理的积分形式()()122121ωω-=-==⎰z z z t t zz J L L dt MK● 角动量守恒定律：当0=z M 时，刚体定轴转动的角动量守恒。

()()0211221⎰==-=-t t z z z z dt M J L L ωω()()000=-=-ωωz z z z J J L L即：J 随时间变化时： 常数c J L z z ==ω J不随时间变化时：常数c =ω8. 刚体定轴转动力矩的功和动能定理● 力矩做的功：对于刚体，因各质点间的相对位置不变，所以内力不作功，只需考虑外力的功，而对于定轴转动的情形，只有在垂直于转轴平面内的分力才能使刚体转动，平行于转轴的分力是不作功的。

()()θθωωωωd M dt M dtd dt M dt M dtF r dt r F dt v F dA iz iz iz i i i i i i i i =⋅=⋅=⋅=⨯⋅=⨯⋅=⋅=θθd M d M A d dA z iiz Ii ===∑∑dt d J J M zz z ωβ== ωωωθθωθd J d dt d J d dt d J d M dA z z z z ====21222121212121ωωωωωωθωωωωθθz z z z z J J d J d J d M A -====⎰⎰⎰● 力对刚体所作的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分来表示，叫做力矩的功。

● 刚体定轴转动时的动能，是组成刚体的各个质点的动能之和()2222221212121ωωωz i i i i i i i i i k J r m r m v m E =⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑∑∑ ● 刚体定轴转动时的动能定理：总外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。

212212212121ωωθθθz z k k z J J E E d M A -=-==⎰ ● 如果刚体受到摩擦力矩或阻力矩的作用，则刚体的转动将逐渐变慢，这时，阻力矩与角位移反向，阻力矩作负功，转动动能的增量为负值，这就是说转动刚体反抗阻力矩作功，它的转动动能逐渐减小。

● 动能定理在工程上有很多应用，为了储能，许多机器都配置飞轮，转动的飞轮因转动惯量很大，可以把能量以转动动能的形式储存起来。

在需要作功的时候再予以释放。

例如冲床在冲孔时，冲力很大，如果由电动机直接带动冲头，电机将无法承受这样大的负荷，因此，中间要装上减速箱和飞轮储能装置，电动机通过减速箱带动飞轮转动，使飞轮储有动能，在冲孔时，由飞轮带动冲头对钢板冲孔作功，使飞轮转动动能减少，这就是动能定理的应用。

利用转动飞轮盘旋能量，可以大减少电机的负荷，从而解决了上述矛盾。

9. 自由刚体的重力势能● 如果一个刚体受到保守力的作用，也可引入势能的概念，重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和，取地面坐标系有c i i i ii i i i p gmh m h m m g h m g gh m E =⋅⋅===∑∑∑∑∑是刚体的总质量∑=im m 是刚体质心的高度∑∑=i i i c m h m h4-3 刚体的自由度1. 自由度● 定轴转动的问题只要一个方程(转动定律)就能解决，刚体的一般运动需要几个联立方程式才能求解？这就是自由度问题。