2014-2015年江苏省盐城市大丰实验中学九年级上学期期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年江苏省盐城市大丰实验中学九年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k满足（）A．k＞1 B．k≥1 C．k=1 D．k＜1
2．（3分）已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和﹣3，则x2+px+q可分解为（）A．（x+2）（x+3）B．（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x+3）D．（x+2）（x﹣3）3．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
4．（3分）已知圆的内接正六边形的周长为36，那么圆的半径为（）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（3分）在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数可以是（）
A．60°B．90°C．120° D．150°
6．（3分）如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有弦中，长度为8的弦有（）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠C=25°，则∠ABD=（）
A．25°B．55°C．65°D．75°
8．（3分）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A．如果PA=，PB=1，那么BC等于（）
A．1 B．C．2 D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）如果圆的半径为4厘米，那么它的面积为平方厘米．10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0可转化为（x﹣b）2=0的形式，则c=．
11．（3分）在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长为cm．12．（3分）要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要cm．
13．（3分）在⊙O中，直径AB=4cm，弦CD⊥AB于C，OE=cm，则弦CD的长为cm．
14．（3分）已知3﹣是一元二次方程x2﹣6x+m=0的一个根，则另一根为．
15．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=130°，则∠BOD的度数是度．
16．（3分）如图，若四边形ABCD是半径为1厘米和⊙O的内接正方形，则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积之和为厘米．
17．（3分）△ABC是半径为2cm的圆内接三角形，若BC=2cm，则∠A的度数为．
18．（3分）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN ∥AB，MN=a，ON、CD分别为两圆的半径，则阴影部分的面积为．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
19．（8分）解下列方程
（1）（3﹣x）2+x2=5
（2）x2x+3=0．
20．（8分）某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数．
21．（8分）如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
22．（8分）已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
23．（10分）（1）如图1，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形既是中心对称图形，又是轴对称图形；
（2）如图2，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形为轴对称图形，但不是中心
对称图形；
（3）如图3，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
24．（10分）（1）操作：如图1所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）尝试：如图2、3，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．（3）探究：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n 边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
25．（10分）如图，在宽为20m，长为32 m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为540m2，道路的宽应为多少？
26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，
且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
27．（12分）一艘海轮以30海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以60海里/时的速度由南向北移动，距台风中心30海里的圆形区域内（包括边界）都属台风区，当海轮行到A处时，测得台风中心移到位于A 处正南方向的B处，且AB=150海里．
（1）若这艘海轮自A处按原来的速度继续航行，途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间，若不会，试说明理由；
（2）现在轮船自A处立即提高速度，向位于北偏东60°的方向、相距90海里的D港驶去，为使台风到达之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数， 3.6）
28．（12分）某芯片生产厂商拟准备从直径为8.3cm的圆形晶片上切割出边长为1cm的正方形小单晶片若干个．请您设计一个您认为合理的切割方案，使得切割出的小单晶片个数尽可能地多，并简要说明切割方案以及所得小单晶片的个数．
2014-2015学年江苏省盐城市大丰实验中学九年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k满足（）A．k＞1 B．k≥1 C．k=1 D．k＜1
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×k=4﹣4k=0，
解得：k=1．
故选：C．
2．（3分）已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和﹣3，则x2+px+q可分解为（）A．（x+2）（x+3）B．（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x+3）D．（x+2）（x﹣3）【解答】解：∵方程x2+px+q=0的两个根分别是2和﹣3，
∴方程可写成（x+2）（x﹣3）=0，
∴x2+px+q可分解为（x+2）（x﹣3）=0．
故选：C．
3．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，
解得：a=﹣1．
故选：B．
4．（3分）已知圆的内接正六边形的周长为36，那么圆的半径为（）
A．6 B．4 C．3 D．2
【解答】解：如图，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长为36，
∴边长为6；
∵∠AOB=，且OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=6，
即该圆的半径为6，
故选：A．
5．（3分）在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数可以是（）
A．60°B．90°C．120° D．150°
【解答】解：由图可知，OA=2，OD=1，
在Rt△OAD中，OA=2，OD=1，AD===，
故tan∠1==，∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
故选：C．
6．（3分）如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有弦中，长度为8的弦有（）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【解答】解：如图示，
作AB⊥OP于P，
AP=BP，
在Rt△AOP中，OP=3，OA=5，
AP==4，
∴AB=8，
AB是过P点最短的弦，则长度是8的弦只有1条．
故选：B．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠C=25°，则∠ABD=（）
A．25°B．55°C．65°D．75°
【解答】解：
连接OD，则∠DOB=2∠C=50°，
∵OD=OB，
∴∠ABD==65°，
故选：C．
8．（3分）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A．如果PA=，PB=1，那么BC等于（）
A．1 B．C．2 D．2
【解答】解：设该圆的半径为r（r＞0）．
如图，连接OA．
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥AP，即∠OAP=90°．
又∵PA=，PB=1，
∴在直角△AOP中，利用勾股定理得到：PA2+OA2=OP2，即（）2+r2=（r+1）2，则r=1，
∴⊙O的直径BC=2r=2．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）如果圆的半径为4厘米，那么它的面积为16π平方厘米．
【解答】解：圆的面积=π•42=16π（cm2）．
故答案为16π．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0可转化为（x﹣b）2=0的形式，则
c=．
【解答】解：x2﹣3x+c=0，
x2﹣3x+（）2=（）2﹣c，
（x﹣）2=﹣c，
所以﹣c=0，即c=．
故答案为．
11．（3分）在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长为3πcm．
【解答】解：=3πcm．
12．（3分）要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要4cm．
【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是正四边形，
∴∠BOC=（）°=90°；
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴∠BOE=∠BOC=45°，BE=CE=OE=AB=2cm，
∴2OB=2==4cm，
∴选用的圆形铁片的直径最小要4cm．
13．（3分）在⊙O中，直径AB=4cm，弦CD⊥AB于C，OE=cm，则弦CD的长为2cm．
【解答】解：连接OC．
∵CD⊥AB于C，OE=cm，OC=2cm，
∴CE=1cm．
∴CD=2CE=2cm．
14．（3分）已知3﹣是一元二次方程x2﹣6x+m=0的一个根，则另一根为3+．
【解答】解：设方程的另一根为t，
根据题意得3﹣+t=6，
解得t=3+．
故答案为3+．
15．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=130°，则∠BOD的度数是100度．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠A=180°﹣∠C=50°
∴∠BOD=2∠A=100°．
16．（3分）如图，若四边形ABCD是半径为1厘米和⊙O的内接正方形，则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积之和为π﹣2厘米．
【解答】解：如图，连接OA、OD；
过点O作OE⊥AD于点E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD=90°，∠OAE=45°，
∴∠AOE=∠OAE=45°，而OA=1
∴OE=AE=，AD=，
∵，
，
∴；
同理可求其它三个弓形的面积也为，
∴图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积之和为（cm2），
故答案为π﹣2
17．（3分）△ABC是半径为2cm的圆内接三角形，若BC=2cm，则∠A的度数为45°或135°．
【解答】解：设圆心为O
当点A在优弧上时，连接OB、OC，如图1，
∵OB=OC=2，BC=2，
∴OB2+OC2=BC2，
∴∠BOC=90°，
∴∠A=45°，
当点A在劣弧上时，在优弧上取点D，连接DB、DC、OB、OC，如图2，
理可求得∠D=45°， ∵∠A +∠D=180°， ∴∠A=135°，
综上可知∠A 为45°或135°． 故答案为：45°或135°．
18．（3分）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN
∥AB ，MN=a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，则阴影部分的面积为
．
【解答】解：如图，作OE ⊥MN 于E ． ∵大半圆的弦AB 与小半圆相切， ∴CD 为⊙C 的半径， ∴OC ⊥MN ， 又MN ∥AB ，
∴四边形DCOE 为矩形， ∴OE=CD ， ∵OE ⊥MN ，
∴ME=NE=MN=a ，
在Rt △OEN 中，ON 2﹣OE 2=EN 2=a 2，
∵阴影部分的面积=S ⊙C ﹣S ⊙O =（π•ON 2﹣π•CD 2）=π（ON 2﹣OE 2）=．
故答案为：
．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
19．（8分）解下列方程
（1）（3﹣x）2+x2=5
（2）x2x+3=0．
【解答】解：（1）整理得：2x2﹣6x+4=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣2）（x﹣1）=0，
x﹣2=0，x﹣1=0，
x1=2，x2=1．
（2）分解因式得：（x+）2=0，
x+=±0，
即x1=x2=﹣．
20．（8分）某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数．
【解答】解：设每年下降的百分数为x．
1×（1﹣x）2=1×（1﹣36%），
∵1﹣x＞0，
∴1﹣x=0.8，
∴x=20%．
答：每年下降的百分数为20%．
21．（8分）如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
【解答】（1）解：OE=OF，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠AOB，∠FOD=∠COD，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠EOB=∠FOD，
∵在△EOB和△FOD中，
∴△EOB≌△FOD（AAS），
∴OE=OF．
（2）解：弧AB=弧CD，AB=CD，∠AOB=∠COD，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
∵在Rt△BEO和Rt△DFO中，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），
∴BE=DF，
由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，
∴AB=CD，
∴弧AB=弧CD，∠AOB=∠COD．
22．（8分）已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
【解答】解：（1）∵300π=，
∴R=30，
∴弧长L=20π（cm）；
（2）如图所示：
∵20π=2πr，
∴r=10，R=30，
AD==20，
=×BC×AD=×2×10×20=200（cm2）．
∴S
轴截面
答：扇形的弧长是20πcm卷成圆锥的轴截面是200cm2．
23．（10分）（1）如图1，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形既是中心对称图形，又是轴对称图形；
（2）如图2，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形为轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）如图3，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
（3）如图3所示．
24．（10分）（1）操作：如图1所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）尝试：如图2、3，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转．当扇形纸板的圆心角为120°时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为72°时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．（3）探究：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n
边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
【解答】解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，
连结OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO=45°，
又∵∠MON=90°，
∴∠AOM=∠DON，
在△AMO与△DNO中，
，
∴△AMO≌△DNO（ASA），
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN=AD=a．
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，
此时AM+AN仍为定值a．
故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）在等边△ABC中，连接OB，OC，当△OCE≌△OBD时，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC为定值．此时∠DOE=∠BOC=360°÷3=120°．
同理在正五边形中，∠FOG=∠DOE=360°÷5=72°．
（3）由（1）、（2）可知，圆心角为是定值．
故答案为：120°；72°；．
25．（10分）如图，在宽为20m，长为32 m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为540m2，道路的宽应为多少？
【解答】解：设道路的宽为x米．依题意得：
（32﹣x）（20﹣x）=540，
解之得x1=2，x2=50（不合题意舍去）
答：道路宽为2m．
26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切．
证明：∵AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°；
∵∠A=∠OCA，且∠DCB=∠A，
∴∠OCA=∠DCB，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠D=30°；
∴∠COD=60°，
∴∠A=30°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=BD=10，
∴AB=20，
∴r=10．
27．（12分）一艘海轮以30海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以60海里/时的速度由南向北移动，距台风中心30海里的圆形区
域内（包括边界）都属台风区，当海轮行到A处时，测得台风中心移到位于A 处正南方向的B处，且AB=150海里．
（1）若这艘海轮自A处按原来的速度继续航行，途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间，若不会，试说明理由；
（2）现在轮船自A处立即提高速度，向位于北偏东60°的方向、相距90海里的D港驶去，为使台风到达之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数， 3.6）
【解答】解：（1）如图，设最初遇到台风的时间为x小时，得：（30x）2+（150﹣60x）2=（30）2，
解得x1=1，x2=3．
所以，轮船会遇到台风，轮船最初遇到台风的时间为1小时后．
（2）如图，AD=90海里，由直角三角形可得AC=45海里，CD=45海里．
设台风经过x小时到达D港，依题意得：
（45）2+（195﹣60x）2=（30）2，
解得：x1=，x2=，
故90÷≈38.3（海里），38.3﹣30=8.3（海里）．
因为提高的船速取整数，
故海轮至少提速9海里/小时．
28．（12分）某芯片生产厂商拟准备从直径为8.3cm的圆形晶片上切割出边长为1cm的正方形小单晶片若干个．请您设计一个您认为合理的切割方案，使得切割出的小单晶片个数尽可能地多，并简要说明切割方案以及所得小单晶片的个数．
【解答】解：8.32=68.89，
方案1：如图1，切割出的小单晶片个数为44个．
∵82+22=68＜8.32；72+42=65＜8.32；62+62=72＞8.32；52+62=61＜8.32；22+82=68＜8.32．
∴本方案合理可行．
方案2：如图2，切割出的小单晶片个数为42个．
简要说明：82+12=65＜8.32；72+32=58＜8.32；72+52=74＜8.32；
62+52=61＜8.32；52+72=74＞8.32；42+72=65＜8.32；12+92=82＞8.32．
∴本方案合理可行．
方案3：如图3，切割出的小单晶片个数为43个．
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

（1）求︵AB l ＋︵
CD l 的值；
（2）求AP 2＋BP 2＋CP 2＋DP 2的值；
B
D
C
O
A
P
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 交于点P ． (1)如图1，设⊙O 的半径是r ，若︵AB l ＋︵
CD l ＝πr ，求证：AC ⊥BD ；
(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交⊙O 于点E ；过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，DH 交AC 于点N ，交⊙O 于点F ；若AC ⊥BD ，求证：MN ＝EF ．
图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：︵
BD ＝︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．G
C
M E D O
B
A
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB 组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG ⊥DC 于G ，试判断线段OG 与EF 的关系，并说明理由。

H
E
F
D
B
O
A
C
G
F
E
B
C
O
A
D
图1 图2。