高中数学3.4.2简单线性规划同步精练北师大版必修5
高中数学 第3章 不等式 4.2 简单线性规划讲义教案 北师大版必修5
学习资料4．2 简单线性规划学习目标核心素养1．了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．（重点）2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点）1．通过学习与线性规划有关的概念，培养数学抽象素养．2．通过研究最优解的方法,提升数学运算能力．简单线性规划阅读教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列问题（1)线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x,y的一次不等式（组）线性约束条件关于x，y的一次不等式（组）目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题①目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!，当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．当b＞0，截距最大时，z取得最大值,截距最小时，z取得最小值;当b＜0，截距最大时,z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．②解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答"四步,即（ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．（ⅱ)移:运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．(ⅲ)求:解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(ⅳ)答：写出答案．思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？［提示］可能唯一，也可能不唯一．(2）若将目标函数z＝3x＋y看成直线方程时,z具有怎样的几何意义？［提示]由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直线在y轴上的截距．1．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4 B．0C．错误!D．4D［作出可行域，如图所示．联立{x＋y－4＝0，，x－3y＋4＝0，解得错误!当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4．]2．若实数x，y满足错误!则s＝x＋y的最小值为．2[如图所示阴影部分为可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由图可知，当直线y＝－x＋s与直线x＋y－2＝0重合时,s最小，即x＝4，y＝－2时，s的最小值为4－2＝2．］3．如图，点(x，y）在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z＝2x－y的最小值为．1［法一：目标函数z＝2x－y可变形为y＝2x－z，所以当直线y＝2x－z在y轴上的截距最大时，z的值最小．移动直线2x－y＝0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大,即z的值最小,为2×1－1＝1．法二：将点A，B，C,D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小,得在A点处取得最小值为1．］4．已知点P（x，y）的坐标满足条件错误!点O为坐标原点，那么｜PO｜的最小值等于，最大值等于．2错误!［画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示,因为｜PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使｜PO|取得最小值的最优解为点A(1,1）;使｜PO｜取得最大值的最优解为点B(1，3），所以|PO｜min＝2，|PO｜max＝错误!．］线性目标函数的最值问题【例1】的最大值为．错误!［由题意画出可行域(如图所示),其中A（－2，－1)，B错误!,C（0，1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过B错误!时，z取最大值错误!．]用图解法解决线性规划问题的关键和注意点，图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解,再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值.错误!1．若x ,y 满足约束条件错误!则z ＝x －2y 的最小值为 ．－5 ［画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点（3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5．]线性规划问题中的参数问题【例2】 已知变量x ,y 满足的约束条件为错误!若目标函数z ＝ax ＋y （其中a ＞0)仅在点（3,0)处取得最大值,求a 的取值范围．［解］ 依据约束条件，画出可行域．∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－错误!， 目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0）对应直线的斜率k 2＝－a , 若符合题意，则需k 1＞k 2．即－12＞－a ，得a ＞错误!．含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的，应分情况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值。
北师大版高中数学必修五同步练测：3.4简单线性规划(含答案解析)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知点与点A（1，2）在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则（）A.＞B.＜C.＞D.＜2.已知点P（x，y）在不等式组20,10,220xyx y-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z=x-y的取值范围是（）A.［-2，-1］B.［-2，1］C.［-1，2］D.［1，2］3.设x，y满足约束条件360,20,0,0,x yx yxy--≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A.256B.83C.113D.44.若x，y满足约束条件1，1 22，，目标函数z=ax+2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的A.(-1，2)B.(-4，2)C.(-4，0］D.(-2，4)二、填空题(每小题5分，共20分)5．不等式组0,0,4312,xyx y>⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有个. 6．若x、y均为整数，且满足约束条件20,20,0,x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z=2x+y的最大值为，最小值为.7.在平面直角坐标系中，不等式组20，20，2表示的平面区域的面积是 .8.如果点P在平面区域1，2，上，点M的坐标为(3，0)，那么|PM|的最小值是 .三、解答题(共60分)9．（12分）画出不等式组，，所表示的平面区域.10.（12分）试用不等式组表示由直线，，围成的三角形区域（包括边界）.11.（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足营养，又使费用最省？12．(12分)某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，最多可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，最多可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所得利润最大？13.（12分）变量x，y满足430，352501，，（1）设，求的最小值；§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：∵3028348＜0，∴328＞0.2.C解析：作出可行域，如图，因为目标函数z=x-y中y的系数-1＜0，而直线y=x-z表示斜率为1的一族直线，所以当它过点（2，0）时，在y轴上的截距最小，此时z取最大值2；当它过点（0，1）时，在y轴上的截距最大，此时z取最小值-1，所以z=x-y的取值范围是［-1，2］，选C.3.A解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值12，即4a+6b=12，亦即2a+3b=6，而2a+3b=（2a+3b）·236a b=136+ba+ab≥13 6+2=256，故选A.4.B解析：如图所示，可行域为△ABC.当a=0时，显然成立.当a＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k a2＞kA C1，∴a＜2.当a＜0时，k a2＜kA B2，∴a＞-4.综上可得,4＜a＜2.二、填空题5.3解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.6. 4-4解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示，可知在可行域内的整点有（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）、（-1，1）、（0，1）、（1，1）、（0，2），分别代入z=2x+y可知当x=2，y=0时，z 最大为4；当x=-2，y=0时，z最小为-4.7.4 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示.则由 2 0， 2， 解得A (2，0)，由 2 0， 2， 解得B (2，4)，∴ S 124 2 4.8.3 22解析：点P 所在的可行域如图中阴影部分所示，点M 到点A (1，1)，B (2，2)的距离分别为 5， 5，又点M (3，0)到直线x -y =0的距离为 3 22，故|PM |的最小值为 322.三、解答题9.解：先画出直线 ，由于含有等号，所以画成实线.取直线 左下方区域的点（0，0），由于2×0+0-4＜0，所以不等式 表示直线 及其左下方的区域.同理，对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式 ＞ 表示直线 右下方的区域，不等式 表示x 轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示.10．解：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图，取原点（0，0），将 ， 代入 得2＞0，代入 得1＞0，代入 得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩11.解：设甲、乙两种原料分别用 g 和 g ，总费用为z ，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为 ，作出可行域如图阴影所示.把z =3x+2y 变形为y =-32x+2z ，得到斜率为-32.在y 轴上的截距为2z，随z 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线y =-32x+2z 经过可行域上的点A 时，截距2z由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得A 145， ，∴ z min =3×145+2×3=14.4. ∴ 选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省.12.解：（1）设只生产书桌x 张，可获得利润z 元.则0.190,900,3002600300x x x x x ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩， ，∴ 当 时， （元）.即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润 24 000元.（2）设只生产书橱 张，可获得利润z 元. 则0.290,450,450600600y y y y y ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩，z ，∴ 当 时，z max =120×450=54 000（元）.即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54 000元. （3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元. 则 ， ， ，， ，， . 作出可行域如图阴影所示. 由图可知，当直线经过可行域上的点M 时，截距120z最大，即z 最大，解方程组2900,2600,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 点的坐标为（100，400）. ∴ z max （元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.13.解：由约束条件4 3 0，35 25 0，1，作出(x ，y )的可行域如图阴影所示. 由 1， 3 5 25 0，得A (1， 225).由 1， 4 3 0，得C (1，1).由4 3 0， 35 25 0，得B (5，2).(1)∵ z0 0，∴ z 的值即是可行域中的点与坐标原点O 连线的斜率，(2)x2y2的几何意义是可行域上的点到坐标原点O的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min=|OC|2，d max=|OB|29，∴229.。
高中数学3.4.3简单线性规划的应用同步精练北师大版必修5
高中数学 3.4.3 简单线性规划应用同步精练 北师大版必修5根底稳固1某人有一栋楼房，室内面积共计180 m 2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间与小房间各多少间，才能获得最大效益？2有一批钢管，长度都是4 000 mm ，要截成500 mm 与600mm 两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于13配套，问怎样截最合理？3甲、乙两煤矿每年产量分别为200万吨与300万吨，需经过东车站与西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站与西车站运费价格分别为1元/吨与1.5元/吨，乙煤矿运往东车站与西车站运费价格分别为0.8元/吨与1.6元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？4医院用甲、乙两种原料为手术后病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质与10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质与4单位铁质，售价2元．假设病人每餐至少需要35单位蛋白质与40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？5有一批同规格钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a钢条2根，长度为b钢条1根；或截成长度为a钢条1根，长度为b钢条3根．现长度为a钢条至少需要15根，长度为b钢条至少需27根，问：如何切割可使钢条用量最省？综合过关6制定投资方案时，不仅要考虑可能获得盈利，而且要考虑可能出现亏损．某投资人打算投资甲、乙两个工程，根据预测，甲、乙工程可能最大盈利率分别是100%与50%，可能亏损率分别为30%与10%，投资人方案投资金额不超过10万元，要求确保可能资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个工程各投资多少万元，才能使可能盈利最大？7某运输公司承受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资任务．该公司有8辆载重6 t A型卡车与4辆载重为10 t B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返本钱费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花本钱费最低？假设只安排A型或B型卡车，所花本钱费分别是多少？能力提升8某电脑用户方案使用不超过500元资金购置单价分别为60元、70元单片软件与盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，那么不同选购方式有多少种？参考答案1分析：设大房间x 间，小房间y 间，然后列出x ，y 关系式，写出目标函数，即可转化为求目标函数最值问题．解：设隔出大房间x 间，小房间y 间，收益为z 元，那么x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，z ＝200x ＋150y .作出可行域，如下图阴影局部．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得点M 坐标为(207，607)．由于点B 坐标不是整数，而最优解(x ，y )是整点，所以可行域内点M (207，607)不是最优解．经历证：经过可行域内整点，且使z ＝200x ＋150y 取得最大值整点是(0,12)与(3,8)，此时z max ＝1 800元，即应隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大利润．2分析：先设出未知数，建立约束条件与目标函数后，再按求最优解是整数解方法去求．解：设截500 mm x 根，600 mm y 根，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ≤40，y <3x ，x >0，y >0，且x ，y ∈R ＋.作出可行域，如图中阴影局部．目标函数为z ＝x ＋y ，作一组平行直线x ＋y ＝t ，经过可行域内点且与原点距离最远直线为过B (8,0)直线，这时x ＋y ＝8.由x 、y 为正整数，知(0,8)不是最优解．在可行域内找整点，使x ＋y ＝7.可知点(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)均为最优解．即每根钢管截500 mm2根，600 mm5根，或截500 mm3根，600 mm4根，或截500 mm4根，600 mm3根，或截500 mm5根，600 mm2根，或截500 mm6根，600 mm1根最合理．3解：设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－xy ＋1.6(300－y )万元，即zxy .其中x 、y 应满足⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋300－y≤360.作出上面不等式组所表示平面区域，如图阴影局部所示． 设直线x ＋y ＝280与y 轴交点为M ，那么M (0,280)．把直线lxy ＝0向上平移至经过平面区域上点M (0,280)时，z 值最小．∵点M 坐标为(0,280)，∴甲煤矿生产煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨，向西车站运20万吨时，总运费最少．4分析：将数据列成下表：z ＝3x ＋2y ；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x ＋7y ≥35；同理，对铁质要求可以表示为10x ＋4y ≥40，这样，问题成为：在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，下，求目标函数z ＝3x ＋2y 最小值.x ≥0，y ≥0解：设甲、乙两种原料分别用10x g 与10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0；目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上截距为z 2，随z 变化一族平行线． 由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上点A 时，截距z 2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)． ∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4. ∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．5分析：先设变元，然后找到变元满足约束条件，建立目标函数，将实际问题转化为线性规划问题．解：设按第一种切割方式需钢条x 根，按第二种切割方式需钢条y 根，根据题意列出约束条件组．⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x >0，y >0.目标函数z ＝x ＋y ，求其最小值．画出不等式组表示平面区域如下图阴影局部．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3.6，y ＝7.8.此时z ＝11.4，但x ，y ，z 都应当为正整数．而当z ＝12时，满足该约束条件(x ，y )有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件切割方式有两种，即按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割8根；或按第一种方式切割3根，按第二种方式切割9根，可满足要求．6解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个工程，由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋yxy ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝xy . 上述不等式组所表示平面区域如下列图所示阴影局部(含边界)即可行域．作直线l ：xy ＝0，并作出平行于直线l 一组直线xy ＝z ，且与可行域相交，由图可知，当直线xy ＝z 过点M 时，z 取得最大值．解方程组{ x ＋yxy ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，即M (4,6)，此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∵7＞0，∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，即投资人用4万元投资甲工程，6万元投资乙工程，才能在确保亏损不超过1.8万元前提下，使可能盈利最大．7解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆与y 辆，列表分析数据.由表可知，x 、y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，且z ＝320x ＋504y .作出可行域，如下图阴影局部． 可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y 可知，(5,2)是最优解．这时z min ＝320×5＋504×2＝2 608(元)，即用5辆A 型车，2辆B 型车，本钱费最低．假设只用A 型车，本钱费为8×320＝2 560(元)．只用B 型车，本钱费为18030×504＝3 024(元)． 8分析：适合不等式组有序整数对(x ，y )对数就是不同选购方式种数，也是直角坐标平面上相关区域(含边界)整数点个数，分类讨论即可获解．解：设购置软件x 片，磁盘y 盒，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ＋70y ≤500，x ≥3，y ≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋7y ≤50，x ≥3，y ≥2，∴3≤x ≤6.∴x 可取3,4,5,6.当x 取3时，2≤y ＜327，此时y ＝2,3,4. 当x 取4时，2≤y ＜267，此时y ＝2,3. 当x 取5时，2≤y ＜207，此时y ＝2. 当x 取6时，此时y ＝2.∴整点为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)， 那么不同选购方式有7种．。
高中数学 3.4.2 简单线性规划课时训练 北师大版必修5(
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.2 简单线性规划课时训练 北师大版必修5一、选择题1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0，1)B ．(－1，－1)C ．(1，0)D ．(12，12)【解析】 可以验证这四个点均是可行解．当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A 、B 、D.【答案】 C2．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1【解析】 利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)． ∴z 最大＝3×3＋2＝11.【答案】 B3．(2013·福州高二检测)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OM →·OA →的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[0，2]D ．[－1，2]【解析】 作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1，1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0，2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0，2]．【答案】 C4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8D ．10【解析】 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3，0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方．显然|AC |长度最小， ∴|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 【答案】 D5．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32]【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (12，3)．∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.∴z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．【答案】 A 二、填空题6．(2012·课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．【解析】 利用线性规划知识求解． 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x －2y ＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A 时，z ＝x －2y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝x －2y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，得B (1，2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －3＝0，得A (3，0)． ∴z max ＝3－2×0＝3，z min ＝1－2×2＝－3， ∴z ∈[－3，3]． 【答案】 [－3，3]7．(2013·乌鲁木齐高二检测)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ≤1y －x ≤1y ≥0，则y x ＋2的取值范围是________．【解析】 yx ＋2可看作(－2，0)与可行域(如图阴影部分)内点(x ，y )连线的斜率k ，0－00＋2≤k ≤1－00＋2，即0≤k ≤12，所以yx ＋2的取值范围为[0，12]． 【答案】 [0，12]8．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3得平面区域如图阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝3得C (1，－2)，∴z max ＝2×1－3×(－2)＝8(取不到)解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2得A (3，1)， ∴z min ＝2×3－3×1＝3(取不到) 【答案】 (3，8) 三、解答题9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求目标函数z ＝2y －2x ＋4的最大值和最小值．【解】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，的可行域(如图)．作直线l 0：2x －2y ＝0， 即x －y ＝0，把直线l 0向上平移，函数z ＝2y －2x ＋4的值随之增大． 当l 经过点A (0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8.当l 经过点B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.10．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A (－k 3，－k 3)时，z 取到最大值，等于－4k3.令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.11．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．【解】 画出满足条件的可行域．(1)令t ＝x 2＋y 2，则对t 的每个值，x 2＋y 2＝t 表示一族同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等．由下图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆过C 点时，u 最大，过(0，0)时u 最小．又C (3，8)，∴u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5，0)的连线的斜率．由图可知，k BD 最大，k CD 最小．又C (3，8)，B (3，－3)，∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。
北师大版数学高二必修5第三章4.2、4.3简单线性规划及其应用作业
[学业水平训练]1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值，即z m in ＝2，无最大值．2．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55解析：选D.作出可行域如图所示．令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最大值，则需求直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距的最大值，移动直线l 0：y ＝－23x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最大值，且z m ax＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最大值为55.故选D.3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是()A．－7 B．－6C．－5 D．－3解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x－3y过点C时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，x－y＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝4，∴z m in＝2×3－3×4＝－6，故选B.4．直线2x＋y＝10与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥0x－y≥－24x＋3y≤20，表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B.画出可行域如图阴影部分所示．∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m.如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于()A．7 B．5C．4 D．3解析：选B.画出x ，y 满足的可行域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.6．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1，1)；使|PO |取得最大值的最优解为B (1，3)，∴|PO |m in ＝2，|PO |m ax ＝10.答案：2107．(2013·高考大纲全国卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．解析：由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，且A (1，1)，B (0，4)，C (0，43)．由数形结合知，直线y ＝x ＋z 过点A (1，1)时，z m in ＝－1＋1＝0.答案：08．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是________．解析：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且⎩⎨⎧x≥0，y≥0，3x＋y≤13，2x＋3y≤18，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x＋y＝13，2x＋3y＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝4.由图可知，最优解为P(3，4)．故z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：27万元9．已知x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x＋2y≤4，y≥－2，若r2＝(x＋1)2＋(y－1)2(r>0)，求r的最小值．解：作出不等式⎩⎨⎧y≤x，x＋2y≤4，y≥－2所表示的平面区域如图：依据上图和r的几何意义可知：r的最小值是定点P(－1，1)到直线y＝x的距离，即r m in＝|1＋1|2＝ 2.10．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个．乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解：设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x，y∈N，3x＋6y≥45，5x＋6y≥55，钢板总面积z＝2x＋3y.作出可行域如图所示中阴影部分的整点．由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x＋6y＝45，5x＋6y＝55得⎩⎪⎨⎪⎧x＝5，y＝5.所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．[高考水平训练]1．若实数x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥0x－y≤42x－y－2≥0，则w＝y－1x＋1的取值范围是() A．[－1，13] B．[－12，13]C．[－12，2) D．[－12，＋∞)解析：选C.把w＝y－1x＋1理解为一动点P(x，y)与定点Q(－1，1)连线斜率的取值范围，可知当x＝1，y＝0时，w m in＝－12，且w＜2.2．若实数x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x＋y≥0，x≤0.则z＝3x＋2y的最小值是________．解析：由不等式组，得可行域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.∴z ＝3x ＋2y 的最小值为1.答案：1 3．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如图，则z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.作出可行域如图，让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．4．已知实数x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2，(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值；(3)若z＝yx，求z的最大值和最小值．解：不等式组⎩⎨⎧x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2表示的平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1，2)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2，1)． (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 也最大，此时z m ax ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最小，z 也最小，此时z m in ＝2×1＋2＝4.∴z 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32，32. 点N ⎝⎛⎭⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内．此时可行域内点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小．又|OM |＝13，|ON |＝92， 即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13，∴z 的最大值为13，最小值为92.(3)∵k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx ≤2，∴z 的最大值为2，最小值为12.。
高中数学 第三章 不等式 3.4.2 简单线性规划学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二必修5数
4．2 简单线性规划知识点线性规划中的基本概念[填一填][答一答]如何理解求目标函数z ＝Ax ＋By ＋C (A ，B 全不为零)的最值？提示：当B ≠0时，由z ＝Ax ＋By ＋C 得y ＝－A B x ＋z －CB .这样，二元一次函数就可视为斜率为－AB ，在y 轴上截距为z －C B ，且随z 变化的一组平行线．于是，把求z 的最大值和最小值问题转化为：直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值问题．当B >0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B <0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小．1．判断二元一次不等式组表示的平面区域(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．(2)画三个或三个以上不等式构成的不等式组的平面区域时，可先画出两个不等式的公共区域，再与第三个不等式找公共区域，依次类推下去．2．线性目标函数在约束条件下的最优解步骤(1)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．(3)求值——解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．类型一 求线性目标函数的最值【例1】 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≥0x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ≤5，y ≤5.试求：(1)z ＝4x －y 的最大值； (2)z ＝x －y 的最小值．【思路探究】 这两小题均可转化为直线方程的斜截式获取z 的几何意义，从而确定平移方向，获取最优解．【解】 作出满足条件的可行域，如下图中阴影部分所示．由直线的方程可以求出点A(1,1)，B(2,4)，C(3,5)，D(5,5)，E(5,3)．(1)作出直线4x－y＝0.因为将z＝4x－y变形为y＝4x－z，z的几何意义是y＝4x－z在y 轴上截距的相反数，为获取z的最大值，只需在y轴上截距最小，所以向下平移直线4x－y＝0，当直线过点E时，在y轴上的截距最小，即最优解为(5,3)，z max＝4×5－3＝17.(2)作出直线x－y＝0.因为将z＝x－y变形为y＝x－z，z的几何意义是直线y＝x－z在y 轴上截距的相反数，为获取z的最小值，只需在y轴上截距最大，所以向上平移直线x－y＝0，当与直线BC所在直线重合时截距最大，即最优解为线段BC上任意一点，z min＝2－4＝－2.规律方法求线性目标函数最值的两种方法1．平移直线法(1)依约束条件画出可行域；(2)依目标函数z＝ax＋by作直线l0：ax＋by＝0；(3)平移直线l0，确定最优解的位置；(4)求出最优解，并计算出z＝ax＋by的值．2．顶点代入法(1)依约束条件画出可行域(多边形)；(2)解方程组得出可行域各顶点的坐标；(3)分别计算出各顶点处目标函数z＝ax＋by的值，经比较后得出z的最大(小)值．(1)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( C )A ．0B ．3C ．4D ．5(2)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －3≥0x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为－ 5.解析：(1)不等式组⎩⎨⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C.(2)法一：(通性解法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3,4)时，z min ＝3－2×4＝－5.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5.类型二 求非线性目标函数的最值【例2】 已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围；(3)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值．【思路点拨】 将所求目标函数变形后认清其几何意义，再运用数形结合思想解答．(1)可化为z ＝x 2＋(y －5)2；(2)可化为z ＝2×y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)，然后分别利用两点间的距离和斜率求解；(3)z ＝|x ＋2y －4|可转化为z ＝|x ＋2y －4|5×5，利用点到直线的距离求解，也可以去掉绝对值符号，转化为线性目标函数求解．【解】 作出可行域，如图中阴影部分所示，则A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过点M 作AC 的垂线，设垂足为N ，则|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322，|MN |2＝92.所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为92.(2)z ＝2×y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线所在直线的斜率的2倍．因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72. (3)方法一：z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5表示阴影区域(可行域)内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．显然点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.方法二：由上图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然向上平移直线x ＋2y ＝0，当经过点C (7,9)时，目标函数取得最大值，z max ＝21.规律方法 上述三个问题都是非线性目标函数模型，第一个是两点间的距离模型，第二个是斜率模型，第三个是点到直线的距离模型，但其本质还是二元函数的最值问题．熟悉这些模型有助于更好地解决问题．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≥0x ≤2，则z ＝x 2＋y 2的最小值为92.解析：作出可行域，如下图中阴影部分所示，作ON ⊥AB 于点N ，结合图像可知z 的最小值是ON 的长度的平方，由点到直线的距离公式得|ON |＝|0＋0－3|2＝32＝322，所以z min ＝|ON |2＝92.类型三 含参数的线性规划问题【例3】 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)【思路探究】 作出可行域，分别作出当a 大于、等于、小于0的直线l 0：ax ＋2y ＝0并平移使目标函数仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－a2<2，即－4<a <2.【答案】 B规律方法 对于线性规划的逆向思维问题，解答时必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．(1)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0x ≥m ，则实数m 的最大值为( B )A ．－1B ．1 C.32 D ．2(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( B )A.14B.12C ．1D ．2 解析：(1)由约束条件作出其可行域如下图阴影部分所示：由图可知当直线x ＝m 过直线y ＝2x 与x ＋y －3＝0的交点(1,2)时m 取得最大值，此时x ＝m ＝1.(2)本题考查了线性规划知识．作出线性约束条件⎩⎨⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)的可行域．因为y ＝a (x －3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C (1，－2a )时，z ＝2x ＋y 有最小值，∴2×1－2a ＝1，∴a ＝12.——数学思想系列——数形结合思想在线性规划问题中的应用对于线性规划求最值的问题，要充分理解目标函数的几何意义．(1)截距型：形如z ＝Ax ＋By (B ≠0)，即y ＝－A B x ＋z B ，zB 为该直线在y 轴上的截距，z 的几何意义就是该直线在y 轴上截距的B 倍，至于z 与截距能否同时取到最值，还要看B 的符号．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z 表示平面区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，z 表示平面区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率．【例4】 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0x －3y ＋3≤0y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3,5) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－1,2)D.⎝⎛⎭⎫13，1【思路分析】 如图所示，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时，相应直线在y 轴上的截距才达到最大)，结合图形可知a >12.【规范解答】 B设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥xx ＋y ≤4上，过点P 作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为4π.解析：如图所示，区域Ω为△MON 及其内部，A ，B ∈区域Ω，则|AB | 的最大值为|OM | ＝4.所以以AB 为直径的圆的面积的最大值为π·(42)2＝4π.一、选择题1．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( B )A ．2B ．3C ．5D ．9解析：可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过直线x ＝1和y ＝x 的交点M (1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值z min ＝1＋2＝3.2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋2y ≥32x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( A )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：作出可行域如图阴影部分所示，令z ＝0，得l 0：x －y ＝0，平移l 0，当l 0过点A (0,3)时满足z 最小，此时z min ＝0－3＝－3.二、填空题3．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≤2x －y ≤0，则x ＋y 的最小值是2.解析：设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，画出可行域，如图阴影部分所示．利用图解法，知当直线y ＝－x ＋b 过点M 时，b 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＝0，得M (1,1)，则x ＋y 的最小值为2.4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋3≥00≤x ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为9.解析：作出可行域，如图阴影部分所示．作出直线l 0：2x －y ＝0，将l 0平移至过点A 时，函数z ＝2x －y 有最大值9.。
高中数学北师大版必修5同步精练3.4.3简单线性规划的应用 Word版含答案
基础巩固某人有一栋楼房，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为，可住游客名，每名游客每天住宿费元；小房间每间面积为，可住游客名，每名游客每天住宿费元；装修大房间每间需要元，装修小房间每间需要元．如果他只能筹款元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大效益？有一批钢管，长度都是，要截成和两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于配套，问怎样截最合理？已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为万吨和万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运万吨煤，西车站每年最多能运万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元吨和元吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元吨和元吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元；乙种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元．若病人每餐至少需要单位蛋白质和单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为的钢条根，长度为的钢条根；或截成长度为的钢条根，长度为的钢条根．现长度为的钢条至少需要根，长度为的钢条至少需根，问：如何切割可使钢条用量最省？综合过关制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别是和，可能的亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？能力提升某电脑用户计划使用不超过元的资金购买单价分别为元、元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买片，磁盘至少买盒，则不同的选购方式有多少种？参考答案分析：设大房间间，小房间间，然后列出，的关系式，写出目标函数，即可转化为求目标函数的最值问题．解：设隔出大房间间，小房间间，收益为元，则，满足(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))即(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))＝＋.作出可行域，如图所示的阴影部分．解方程组(\\(＋＝，＋＝，))得点的坐标为(，)．由于点的坐标不是整数，而最优解(，)是整点，所以可行域内点(，)不是最优解．经验证：经过可行域内的整点，且使＝＋取得最大值的整点是()和()，此时＝元，即应隔出小房间间，或大房间间、小房间间，可以获得最大利润．分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求．解：设截的根，的根，根据题意，得(\\(＋≤，<，>，>，))且，∈＋.作出可行域，如图中的阴影部分．目标函数为＝＋，作一组平行直线＋＝，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过()的直线，这时＋＝.由、为正整数，知()不是最优解．在可行域内找整点，使＋＝.可知点()、()、()、()、()均为最优解．即每根钢管截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根最合理．解：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么总运费＝＋(－)＋＋(－)万元，即＝－－.其中、应满足(\\(≥，≥，－≥，－≥，＋≤，－＋(－(≤.))作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．。
高中数学北师大版必修5 3.4 培优练习 《简单线性规划》(数学北师大版必修5)
《简单线性规划》培优练习1.设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．42.设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．553.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,4]D ．[2，＋∞)4．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个5.设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a>0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]6.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？。
数学北师大版必修5课时作业3-4-2 简单线性规划
课时作业23简单线性规划时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在如图所示的可行域内(阴影部分)，使目标函数z＝x－y取得最小值的点的坐标为(A)A．(1,1) B．(3,2)C．(5,2) D．(4,1)解析：由目标函数z＝x－y得到y＝x－z，作出直线y＝x，在平面直角坐标系中进行平移，显然当直线过点A(1,1)时，y＝x－z中的z 最小．2．若变量x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x－y≤0，x－3y＋5≥0，x≥0，则z＝x＋y的最大值为(D)A．0 B.53C．2 D.52解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，上下平移，当直线平移到过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫58，158时，z＝x ＋y 取得最大值，所以z max ＝58＋158＝52.3．已知点(x ，y )构成的可行域如图阴影部分所示，z ＝mx ＋y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为( B )A ．－720 B.720 C.12D.720或12解析：观察平面区域可知直线y ＝－mx ＋z 与直线AC 重合，则⎩⎨⎧225＝－m ＋z ，3＝－5m ＋z ，解得m ＝720.4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( B )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线y＝x－z经过点A时，－z最小从而z最大，∴z max＝1.5．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2，则目标函数z＝x＋y(A)A．有最小值2，无最大值B．有最大值3，无最小值C．有最小值2，最大值3D．既无最小值，也无最大值解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，画出y＝－x的图像．当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A.6．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－4≤0，x＋y－1≥0，x≥0，y≥0，则目标函数z＝x2＋(y＋2)2的最小值是(B)A．4 B．5C．6 D．7解析：由约束条件作出可行域如图所示．又x2＋(y＋2)2表示区域内的点到点B(0，－2)的距离，当点(x，y)在点A(1,0)处时，(x2＋(y＋2)2)min＝5，∴z＝x2＋(y＋2)2的最小值为5.7．已知x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x＋y≤s，y＋2x≤4，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是(D)A．[6,15] B．[7,15]C．[6,8] D．[7,8]解析：当3≤s<4时，z＝3x＋2y的最大值在直线x＋y＝s，y＋2x ＝4的交点处取得，即在点(4－s,2s－4)处取得，此时z max＝4＋s，其取值范围是[7,8)；当4≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值在点(0,4)处取得，即z max＝8，故所求的取值范围是[7,8]．8．若A为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( C )A.34 B ．1 C.74 D ．2解析：如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74. 二、填空题9．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为－8.解析：作出可行域如图阴影部分所示．可知当x－3y ＝z 经过点A (－2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为－2－3×2＝－8.10．设实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，y ≤x －1，y ≥0，则y x 的最大值为12.解析：画出可行域，如图阴影部分所示．yx 的几何意义表示区域内的点与原点连线的斜率，易知在点A (2,1)处取得最大值．11．目标函数z ＝3x ＋2y在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是[2，＋∞)．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据题意及直线的斜率，可得实数a 的取值范围是[2，＋∞)．三、解答题12．设z＝2x＋y，且x，y满足下列条件：⎩⎪⎨⎪⎧x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z 的最值．解：首先画出满足不等式组的可行域，由图知，(0,0)不在区域内．作一组平行线2x＋y＝t，t是直线2x＋y＝t的纵截距，这里A(1,1)，B(5,2)．显然，当直线2x＋y＝t过A点时，t最小，过B点时t最大．∴z max＝12，z min＝3.13．已知x、y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋5y≥10，2x－3y≥－6，2x＋y≤10，求y＋1x＋1的取值范围．解：作出可行域，如图阴影部分所示．设k＝y＋1x＋1，因为y＋1x＋1＝y－(－1)x－(－1)，表示平面区域内的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率，由图可知k P A 最小，k PC 最大，而A (5,0)、C (0,2)，则k P A ＝0－(－1)5－(－1)＝16，k PC ＝2－(－1)0－(－1)＝3，所以k ∈[16，3]，即y ＋1x ＋1的取值范围为[16，3]． ——能力提升类——14．已知点P (x ，y )，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，y ≤x ＋2，x ≤3，点A ，B 是圆x 2＋y 2＝2上的两个点，则∠APB 的最大值为π3.解析：由已知可得点P 在如图所示的阴影部分内(包含边界)运动，易知点P 位于圆外，当∠APB 最大时，应有P A ，PB 所在直线与圆相切，且点P 位于离圆心最近的H 处，又圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝22，连接OA ，则在Rt △OAP 中，OP ＝2OA ，所以∠OP A ＝π6，同理∠OPB ＝π6，因此∠APB ＝π3.15．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－4y＋12≥0，4x－y－12≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求4x×⎝⎛⎭⎪⎫12y的取值范围．解：(1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－4y＋12≥0，4x－y－12≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为x2＋y2的几何意义是可行域内的点P(x，y)到坐标原点O的距离d的平方，所以由图可知d的最小值为点O到直线AC的距离，即|0＋0－3|2＝322；d的最大值为OB＝42＋42＝4 2.所以x2＋y2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，32.(2)4x×⎝⎛⎭⎪⎫12y＝22x－y，设z＝2x－y，则y＝2x－z，即z为直线y＝2x －z(记为直线l)在y轴上截距的相反数，由图可知当直线l经过点A 时，z取得最大值；当直线l经过点C时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3＝0，4x－y－12＝0，得A(3,0)，故z＝2x－y的最大值为2×3－0＝6；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －4y ＋12＝0，得C (0,3)，故z ＝2x －y 的最小值为2×0－3＝－3.综上，2x －y 的取值范围为[－3,6]，所以4x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，64.由Ruize收集整理。
高二数学教学案3.4.2简单线性规划2北师大版必修5
1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工 人，瓦工 人，请工人的约束条件是（）.
A． B．
C． D．
2.已知 满足约束条件 ，则 的最大值为（）.
A．19 B．18 C．17 D．16
3.变量 满足约束条件 则使得 的值的最小的 是（）.
练2.求 的最大值、最小值，使 、 满足条件 .
四课后反思
五课后巩固练习
1.若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）.
A． B．
C． D． 或
2.设 、 满足约束条件 ，则 的最大值是.
3设 、 满足约束条件 ，则 的最大值是.
二师生互动
例1、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1Байду номын сангаас
2
3
今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
例2、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元.甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h、2h，加工1件乙和设备所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h.如何安排生产可使收入最大？
A．（4，5）B．（3，6）C．（9，2）D．（6，4）
4. (2007陕西)已知实数 满足约束条件 则目标函数 的最大值为______________
高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习 北师大版必修5
高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习北师大版必修5(30分钟50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2011·山东高考）设变量x,y满足约束条件x2y50x y20x0+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )（A）11 （B）10 （C）9 （D）8.52.（2011·浙江高考）若实数x,y满足不等式组x2y502x y70,x0,y0+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则3x+4y的最小值是( )（A）13 （B）15 （C）20 （D）283.(2011·贵阳高二检测)若实数x、y满足不等式组x1,x4y30,x2y90,≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数z=x+y的最大值是( )(A)3 (B)5 (C)12(D)74.已知x、y满足不等式组y xx y2,x a≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=( )(A)0 (B)13(C)23(D)1二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知点P（x,y）在不等式组x20,y10,x2y20,-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z＝x-y的取值范围是________.6.(2011·湖南高考）设m>1,在约束条件y xy mxx y1≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知-1<x+y<4且2<x-y<3，求z=2x-3y的取值范围.8.设变量x，y满足约束条件x y0x y1x2y1-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，求z=(x- 12)2+y2的取值范围.【挑战能力】（10分）设O为坐标原点，A（1,1），若点B（x,y）满足22x y2x2y101x21y2⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，试求OA OB的最大值.答案解析1.【解析】选B.画出平面区域表示的可行域如图所示，由目标函数z=2x+3y+1得直线y=-2z1x33-+，当直线过点A（3，1）时，目标函数z=2x+3y+1取得最大值为10，故选B.2.独具【解题提示】先画出可行域，求出区域定点的坐标，通过平移直线3x+4y=0,观察可得.【解析】选A.x+2y-5=0与2x+y-7=0的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优解，此时3x+4y 取得最小值13.3.【解析】选D.作可行域如图：y=-x+z,过点A时z取最大值.由x4y30x2y90-+=⎧⎨+-=⎩得，点A坐标为（5，2）.故z max=5+2=7.4. 【解析】选B.依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z=2x+y在A点和B点处分别取得最小值和最大值.由x ay x=⎧⎨=⎩得A(a，a)，由x y2x y+=⎧⎨=⎩得B(1,1)，∴z max=3，z min=3a.∴a=13.5.【解析】可行域为如图阴影部分，其中A（2，0），C（0，1），z=x-y在A处取最大值z=2-0=2,在C处取最小值z=0-1=-1,∴z的取值范围为[-1,2].答案：[-1,2]6.独具【解题提示】画出可行域，观察图形，可知直线y=-1zx55+过直线x y1y mx+=⎧⎨=⎩的交点时，取最大值.【解析】画出可行域，可知z=x+5y 在点（1m,1m1m++）处取最大值为4，解得m=3.答案：37.【解析】画出可行域(如图)，将目标函数z=2x-3y变形为y=2zx33-，它表示与y=23x平行、截距是-z3的一族平行直线，当它经过点A时，截距-z3最大，此时z最小（取不到）；当它经过点B时，截距-z3最小，此时z最大（取不到）.由x y2x y4-=⎧⎨+=⎩⇒A(3,1)由x y1x y3+=-⎧⎨-=⎩⇒B(1,-2)∴过点A时，z=2×3-3×1=3过点B时，z=2×1-3×(-2)=8∴z=2x-3y的取值范围是(3，8).所以目标函数z=2x-3y的取值范围是(3，8).独具【方法技巧】目标函数z=ax+by的最值与b取值的关系线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移，过可行域的端点时取得的.8.独具【解题提示】目标函数z的几何意义是可行域内的点到点（12,0)距离的平方.【解析】由x y0x y1x2y1-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩作出可行域，如图阴影部分所示.z=（x-12)2+y2表示可行域内的任意一点与点(12，0)距离的平方.因此(x-12)2+y2的最小值为点(12,0)到直线x+2y-1=0距离的平方，则z min=211121420-=+（）.z的最大值为点(12,0)到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则由计算知z max=14，∴z的取值范围是［120,14］.【挑战能力】【解析】不等式x2+y2-2x-2y+1≥0⇔(x-1)2+(y-1)2≥1先作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.OA OB=（1,1）·（x,y）＝x＋y，令z=x+y，化为y=-x+z 则将直线y=－x向右上方平移时，z随之增大，当平移至通过可行域内的点B（2,2）时，z最大,∴z max=2+2=4,即OA OB的最大值为4.。
高中数学北师大版必修5 第三章4.2 简单线性规划 作业2 Word版含解析
, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0，－32≤x ≤3表示的平面区域是( )A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0－32≤x ≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0－32≤x ≤3x ＋y≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0－32≤x ≤3x ＋y ≤0，那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选B.2．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9解析：选B.可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1，1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为1＋2＝3.3．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2，4)，B (－1，2)，C (1，0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为( )A ．[1，3]B ．[－3，1]C ．[－1，3]D ．[－3，－1] 解析：选C.先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z ＝y －x 的取值范围．由图求出其取值范围是[－1，3]．4．直线2x ＋y ＝10与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B.画出可行域如图阴影部分所示．因为直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13B.⎣⎡⎦⎤－12，13C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫－12，1 解析：选D.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1，1)的连线的斜率，由图可知点A (－1，1)与点(1，0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W ＜1.6．如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0.在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y取得最大值的点的坐标是________．解析：首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0，5)时截距最大，此时z 最大．答案：(0，5)7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx 的最大值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω如图阴影部分所示，y x＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．A (1，2)，B (3，0)， 所以0≤yx≤2.答案：28．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．解析：如图所示的阴影部分即为满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故可看成直线绕点(0，1)旋转．当a ＞－1时，可行域是一个封闭的三角形区域，由12×(a ＋1)×1＝2得a ＝3.答案：39．如果由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤2－x ，t ≤x ≤t ＋1所确定的平面区域的面积为S ＝f (t )(0＜t ＜1)，试求f (t )的表达式．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP (如图)，其面积S ＝f (t )＝S △OPD －S △AOB －S △ECD ，而S △OPD ＝12×1×2＝1，S △OAB ＝12t 2，S △ECD ＝12(1－t )2所以S ＝f (t )＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12(0＜t ＜1)．10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －3y ≤－4，3x ＋5y ≤30.(1)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(2)求z＝y ＋5x ＋5的取值范围．解：作出可行域如图所示．(1)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A ⎝⎛⎭⎫1，53. 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5，3)． 所以z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(2)z ＝y ＋5x ＋5＝y －（－5）x －（－5），可看作区域内的点(x ，y )与点D (－5，－5)连线的斜率，由图可知，k BD ≤z ≤k CD .因为k BD ＝3－（－5）5－（－5）＝45，k CD ＝275－（－5）1－（－5）＝2615，所以z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，2615. [B.能力提升]1．设O 为坐标原点，A (1，1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．无数个解析：选B.如图，阴影部分为点B (x ，y )所在的区域．因为OA →·OB →＝x ＋y ， 令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2. 2.如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35C ．4 D.53解析：选B.由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．因为k AC ＝－35，所以a ＝35. 3．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤0y ≤n x ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是________． 解析：先根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，x ≥－3，作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z ＝x ＋y ＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x ＋y －2＝0，且只有当n ＞2时，可行域才包含x ＋y －2＝0这条直线上的线段BC 或其他部分．答案：(2，＋∞)4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．解析：由不等式组得可行域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.所以z ＝3x ＋2y 的最小值是1.答案：15．设m 为实数，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，求m 的取值范围．解：由题意知，可行域应在圆内，如图阴影部分所示，如果－m ＞0，则可行域取到x ＜－5的点，不能在圆内，故－m ≤0，即m ≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置，此时－m ＝－43，所以m ＝43.所以0≤m ≤43.6．实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．解：方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3，1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B (－2，0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1，0)．所以在如图所示的坐标平面aOb 内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．(1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12×|BC |×h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)．(2)b －2a －1的几何意义是点(a ，b )和点D (1，2)连线的斜率． k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1.由图可知，k AD ＜b －2a －1＜k CD.所以14＜b －2a －1＜1，即b －2a －1∈⎝⎛⎭⎫14，1.(3)因为(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a－1)2＋(b－2)2∈(8，17)．。
北师大版高中数学必修五练习第3章4.2简单线性规划第2课时
第2课时 求非线性目标函数的最值课时过关·能力提升1.设x ,y 满足约束条件{3x -y -6≤0,x -y +2≥0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为12,则2a +3b的最小值为( )A .256 B.83 C.113 D.4.由图可知,目标函数在点(4,6)处取得最大值12,则2a+3b=6,从而有a +3b =16(2a +3b )(2a +3b)=16(6ba +4+9+6ab )=136+16(6ba +6ab )=136+(ba +ab )≥136+2√b a ·a b=256,当且仅当a=b =65时,等号成立.故选A.答案:A2.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,则z =3x +2y 的最小值是( )A.0B.1C .√3 D.9.令t=x+2y ,则当直线y=−12x +12t 经过原点O (0,0)时,12t 取最小值,即t 有最小值为0,故z=3x+2y 有最小值为30=1.3.已知O 是坐标原点,点A (-1,1),若点M (x ,y )为平面区域{x +y ≥2,x ≤1,y ≤2上的一个动点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2]D.[-1,2]{x +y ≥2,x ≤1,y ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由数量积的坐标运算可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y. 令-x+y=z ,即y=x+z.易知当直线y=x+z 过点B (1,1)时,z min =0. 当直线y=x+z 过点C (0,2)时,z max =2. 故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,2].4.如图所示,目标函数z=ax-y 的可行域为四边形OACB (含边界),若点C (2,4)是该目标函数z =ax −y 的最优解,则a 的取值范围是( )A .(-103,-512) B.(-125,-310) C .(310,125) D.(-125,310)C ,所以目标函数表示的直线的斜率在直线BC 与AC 的斜率之间. 因为k BC =−310,kAC =−125,所以a ∈(-125,-310).5.已知x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y -2≥0,x ≤m ,且x −3y 的最大值不小于6,则实数m 的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C .(-∞,92] D.[92,+∞)x-y+1=0与x+y-2=0交点为(12,32),所以m >12.作出不等式组表示的可行域如图所示.作直线x-3y=0,并平移,当直线x-3y=z 过点A (m ,2-m )时,x-3y 取得最大值. 由x-3y 的最大值不小于6,得m-3(2-m )≥6,解得m ≥3.6.已知x ,y 满足约束条件{y ≥-1,x -y ≥2,3x +y ≤14,若使z =ax +y 取得最大值的最优解有无数个,则实数a 的取值构成的集合是( ) A.{-3,0} B.{-1,1} C.{-1,3}D.{-3,0,1}{y ≥-1,x -y ≥2,3x +y ≤14表示的平面区域,如图所示.由图可知,当a=-1时,线段AC 上的所有点都是z 取得最大值的最优解;当a=3时,线段BC 上的所有点都是z 取得最大值的最优解;当a=0时,z 取得最小值的最优解有无数个,不符合题意.7.已知A (1,1),B (4,2),C (-1,4),若动点P (x ,y )在△ABC 内部及边界运动,且z=ax-y 的最优解有无数个,则a 的值为 .,说明直线y=ax-z 与可行域边界所在的某条直线平行,又直线AB 的斜率为2-14-1=13,直线BC 的斜率为2-44+1=−25,直线AC 的斜率为4-1-1-1=−32,故直线y=ax-z 的斜率a 的值为13或−32或−25.−32或−258.已知点P 的坐标(x ,y )满足{x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,则点P 到直线4x +3y +1=0的距离的最大值是__________________..由图可知点B (2,2)到直线4x+3y+1=0的距离最大,由点到直线的距离公式得d =√4+3=3.9.已知集合A={(x ,y )|x+y ≥2},集合B={(x ,y )|2x+y ≥2},当(x ,y )∈A ∩B 时,求z=x+y 的取值范围.x ,y 满足的不等式组为{x +y ≥2,2x +y ≥2,在平面直角坐标系中画出可行域,如图阴影部分所示.因为直线y=-x+z 与直线x+y=2平行,所以当直线y=-x+z 与x+y=2重合时,z 取得最小值2,且z 无最大值,故z 的取值范围是[2,+∞). ★10.已知变量x ,y 满足约束条件{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z =ax +y(其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值,求a 的取值范围..作直线l:ax+y=0,过点(3,0)作l的平行线l',则直线l'介于直线x+2y-3=0与直线x=3之间,因此,-a<−12,即a>12.故a的取值范围为(12,+∞).★11.已知实数x,y满足不等式组{2≤x-y≤4,x+2y≥-4.(1)求目标函数z=10x+30y(x,y∈Z)的最小值;(2)若目标函数z=ax+y(a<0)的最大值为-2,求a的取值范围.,如图阴影部分所示.(1)因为x,y∈Z,所以用打网格的方法在可行域中找出各整点,发现当直线y=−13x+z30经过点A(0,-2)时,目标函数取得最小值,z min=-60.(2)若a≤-1,则目标函数在A(0,-2)处取得最大值-2,符合题意; 若-1<a<0,则目标函数无最大值.综上可知,a的取值范围是(-∞,-1].。
高中数学北师大版必修5 第三章4.2 简单线性规划 作业2 Word版含解析
,[学生用书单独成册])[.基础达标]．不等式组表示的平面区域是( )．矩形．三角形．等腰梯形．直角梯形解析：选.不等式组⇔或，那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选.．若，∈，且则＝＋的最小值等于( )．．．．解析：选.可行域如图阴影部分所示，则当直线＋－＝经过点(，)时，＝＋取得最小值，为＋＝.．在△中，三个顶点分别为(，)，(－，)，(，)，点(，)在△的内部及其边界上运动，则－的取值范围为( )．[，]．[－，]．[－，－]．[－，]解析：选.先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数＝－的取值范围．由图求出其取值范围是[－，]．．直线＋＝与不等式组表示的平面区域的公共点有( )．个．个．个．无数个解析：选.画出可行域如图阴影部分所示．因为直线过(，)点，故只有个公共点(，)．．实数，满足不等式组则＝的取值范围是( )解析：选.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数＝表示阴影部分的点与定点(－，)的连线的斜率，由图可知点(－，)与点(，)连线的斜率为最小值，最大值趋近于，但永远达不到，故－≤＜.．如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数＝＋取得最大值的点的坐标是．解析：首先作出直线＋＝，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(，)时截距最大，此时最大．答案：(，)．已知实数，满足则的最大值为．解析：画出不等式组对应的平面区域Ω如图阴影部分所示，＝表示平面区域Ω上的点(，)与原点的连线的斜率．(，)，(，)，所以≤≤.答案：．在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为．解析：如图所示的阴影部分即为满足不等式组的可行域，而直线－＋＝恒过点(，)，故可看成直线绕点(，)旋转．当＞－时，可行域是一个封闭的三角形区域，由×(＋)×＝得＝.答案：．如果由约束条件所确定的平面区域的面积为＝()(＜＜)，试求()的表达式．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形(如图)，其面积＝()＝△－△－△，而△＝××＝，△。
高中数学简单线性规划的应用同步练习(二)北师大版必修五
简单线性规划的应用同步练习(二)1．某厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季甲产品售价50千元／件，乙产品售价30千元／件，生产这两种产品需要A,B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨／件,B种原料2吨／件；生产乙产品需要A种原料3吨／件,B种原料1吨，件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．(1)如何充分利用所得原料，使春季产品总产值最大？最大总产值为多少？(2)在夏季中甲产品涨价10％，而乙产品降价10％，此时要使总产值最大，应如何安排生产？最大总产值为多少？10、某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊都含有维生素A、C、D、E和最新发现的Z，甲种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是1 mg、1 mg、4 mg、4 mg、5 mg；乙种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是3 mg、2 mg、1 mg、3 mg、2 mg。
如果此人每天摄入维生素A至多19 mg，维生素C至多13 mg，维生素D至多24 mg，维生素E至少12 mg，分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。
3．某公司承担了每天至少搬运280t水泥的任务，已知该公司有6辆A型卡车和4辆B型卡车，已知A型卡车每天每辆的运载量为30t，成本费为0.9千元,B型卡车每天每辆的运载量为40t，成本费为1千元．(1)假设你是公司的调度员，请你按要求设计出公司每天的排车方案．(2)设每天派出A型卡车x辆,B型卡车v辆，公司每天花费成本为z千元，写出x、y应满足的条件以及z与x，y之间的函数关系式．(3)如果你是公司的经理，为使公司所花的成本费最小，每天应派出A型卡车,B型卡车各为多少辆？4．有一批同规格钢条，按第一种方式切割，可截成长度为a的2根，长度为b的3根，按第二种方式切割，可截成长度为a的3根，长度为b的1根．(1)现需长度为a的2根与长度为b的1根配成一套，问这两种切割方式应满足的比例是多少？(2)如果长度为a的至少需50根，长度为b的至少需要45根，问应如何切割可使钢条使用量最省？5、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各产品产量不少于15 t，已知生产甲产品1 t需煤9 t，电力4hKW⋅，劳动力3个；生产乙产品1 t需煤4 t，电力5hKW⋅，劳动力10个。
高中数学3.4简单线性规划第2课时练习北师大版必修5
第三章 §4 第2课时一、选择题1．(2021·新课标Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 [答案] B[解析] 本题考查在约束条件下的简单方针函数的最值问题．画出区域，可知区域为三角形，经比力斜率，可知方针函数z ＝2x －y 在两条直线x －3y ＋1＝0与x ＋y －7＝0的交点(5,2)处， 取得最大值z ＝8.故选B ．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0x ＋3y≥43x ＋y≤4，所暗示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23 C ．43 D ．34[答案] C[解析] 不等式组暗示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4，得点A 的坐标为(1,1)． 又B 、C 两点坐标分别为(0,4)、⎝⎛⎭⎫0，43，∴S △ABC ＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43.3．(2021·新课标Ⅰ文，11)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥a ，x －y≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3 [答案] A[解析] 本题考查含字母的线性规划问题．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a x －y ＝－1得交点(a －12，a ＋12)， ∴z ＝x ＋ay 的最小值为7，∴7＝x ＋ay ，代入点(a －12，a ＋12)得a ＝－5或3. 当a ＝－5时，z ＝x －5y 的最大值为7，∴a≠－5. ∴a ＝3.确定交点(a －12，a ＋12)是最优点是解题的关键．4．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则方针函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0C ．43 D ．4[答案] D[解析] 本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题首先作出可行域，若为封锁区域，则区域端点的值为方针函数的最值，求出交点坐标代入方针函数即可． 由⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0， 作出可行域如图：当直线z ＝3x －y 过点A(2,2)点时z 有最大值． z 最大值＝3×2－2＝4.5．(2021·新课标Ⅰ理，9)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1x －2y≤4的解集记为D ．有下面四个命题：p1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≥－2，p2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≥2，p3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≤3，p4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≤－1. 其中真命题是( )A ．p2，p3B ．p1，p4C ．p1，p2D ．p1，p3 [答案] B[解析] 本题考查线性规划和逻辑的知识．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1x －2y≤4暗示的平面区域如图所示．可以验证选项P1，P2正确，所以选B ．6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0x ＋3y≥43x ＋y≤4所暗示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A ．73 B ．37 C ．43 D ．34[答案] A[解析] 不等式组暗示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB 中点M(12，52)． 当y ＝kx ＋43过点(12，52)时，52＝k 2＋43， ∴k ＝73. 二、填空题7．(2021·全国纲目理，14)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋2y≤3，x －2y≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．[答案] 5[解析] 本题考查了线性规划知识．作出方针函数的可行域，从中可以看出当直线x ＋4y ＝z 经过点A(1,1)时方针函数有最大值是5.注意，若y 的系数是负数时，方针函数在y 轴上的截距的最大值是方针函数的最小值． 8．(2021·湖南文)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则x ＋y 的最大值为________．[答案] 6[解析] 本题考查的题线性轨则中最优解问题．设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，z 暗示直线在y 轴上的截距，画出可行域(如图)，平移直线l ：x ＋y ＝0到l0过点．A(4,2)时，zmax ＝6. 平移直线l 时不要找错最优解． 三、解答题9．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y≤－33x ＋5y≤25x≥1，分别求：(1)z ＝6x ＋10y 的最大值、最小值；(2)z ＝2x －y 的最大值、最小值；(3)z ＝2x －y(x ，y 均为整数)的最大值、最小值．[解析] (1)先作出可行域，如图所示中△ABC 暗示的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，225)．作出直线l0：6x ＋10y ＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过B 点时，可使z ＝6x ＋10y 达到最小值，当l0的平行线l2过A 点时，可使z ＝6x ＋10y 达到最大值． ∴zmin ＝6×1＋10×1＝16；zmax ＝6×5＋10×2＝50.(2)同上，作出直线l0：2x －y ＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过C 点时，可使z ＝2x－y 达到最小值，当l0的平行线l2过A 点时，可使z ＝2x －y 达到最大值. ∴zmax ＝8；zmin ＝－125.(3)同上，作出直线l0：2x －y ＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l2过A 点时，可使z ＝2x －y 达到最大值，zmax ＝8.当l0的平行线l1过C 点时，可使z ＝2x －y 达到最小值，但由于225不是整数，而最优解(x ，y)中，x 、y 必需都是整数，所以可行域内的点C(1，225)不是最优解．当l0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z ＝2x －y 达到最小值． ∴zmin ＝－2.10．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x≥1x ＋y －7≤0，求yx 的最大值和最小值．[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，A 点坐标为(1,3)，方针函数z ＝yx 暗示坐标是(x ，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点A 与O 连线斜率最大为3；当直线与x 轴重合时，斜率最小为0.故yx 的最大值为3，最小值为0.一、选择题1．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x≤2y≤2x ≤2y，给定．若M(x ，y)为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．42B ．3 2C ．4D ．3 [答案] C[解析] 本题考查线性规划、数量积的坐标运算．∵OM →·OA →＝(x ，y)·(2，1)＝2x ＋y ，做直线l0：2x ＋y ＝0，将l0向右上方平移，当l0过区域D 中点(2，2)时，OM →·OA →＝2x ＋y 取最大值2×2＋2＝4.选C ．2．(2021·山东理，9)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当方针函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为( ) A ．5 B ．4C ．5D ．2 [答案] B[解析] 本题考查线性规划与点到直线的距离． 如图所示⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x －y －3＝0 ∴A 点坐标为(2,1)，z ＝ax ＋by 在A 点处取得最小值25，即 2a ＋b ＝2 5.a2＋b2可看作两点(0,0)(a ，b)的距离的平方，原点到直线2a ＋b ＝25的距离的平方是(255)2＝4.3．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥4x －y≥1x －2y≤2，则方针函数z ＝x ＋y( )A ．有最小值2，无最大值B ．有最大值3，无最小值C ．有最小值2，最大值3D ．既无最小值，也无最大值 [答案] A[解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥4x －y≥1x －2y≤2暗示的平面区域，如下图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z＝0，画出y ＝－x 的图像．当它的平行线经过点A(2,0)时，z 取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A ．4．(2021·四川文，8)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤82y －x≤4x≥0y≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16 [答案] C[解析]本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组暗示的平面区域如图．作直线l0：y ＝15x ，平移直线l0.当l0过点A(4,4)时可得zmax ＝16，∴a ＝16. 当l0过点B(8,0)时可得zmin ＝－8，∴b ＝－8. ∴a －b ＝16－(－8)＝24.二、填空题5．(2021·北京文，13)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．[答案] 1[解析] 本题考查二元一次不等式组暗示平面区域、线性规划知识． 画出可行域如图，当z ＝3x ＋y 过A 点时z 最小为zmin ＝1.6．(2021·浙江理)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查线性规划知识．可行域为z ＝kx ＋y 得y ＝z －kx ，当z 取最大值时，y 取最大值，∴4＝12－4k ，故k ＝2.三、解答题7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g ，咖啡4 g ，糖3 g ；乙种饮料每杯含奶粉4 g ，咖啡5 g ，糖10 g ，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g ，咖啡2 000 g ，糖3 000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x 杯，饮料乙y 杯，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y≤3 6004x ＋5y≤2 0003x ＋10y≤3 000x ，y ∈N，利润z ＝0.7x ＋1.2 y ，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－94<－810<－712<－310，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax ＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．8．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥0x －y≥02x －y －2≥0，求ω＝y －1x ＋1的取值范围．[解析] 作出可行域如图所示．因为y －1x ＋1暗示可行域中的点(x ，y)与点(－1,1)连线的斜率．显然可行域内A 点与点(－1,1)连线斜率最小，并且斜率没有最大值，最大值始终小于1，所以kmin ＝1－0－1－1＝－12，kmax 不存在，所以ω＝y －1x ＋1的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，1.。
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高中数学 3.4.2 简单线性规划同步精练 北师大版必修5
基础巩固
1目标函数z ＝2x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线纵截距的相反数 D ．该直线的横截距 2z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，
x ＋y ≤1
的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )
A ．(0,1)
B ．(－1，－1)
C ．(1,0)
D ．(12，1
2
)
3已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3，则z ＝2x ＋4y 的最小值为________．
4若实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≤1，
2x －2y ＋1≤0，
则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为
________．
5已知变量x ，y 满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －y ≤0，
x －3y ＋5≥0，则z ＝x ＋y －2的最大值为________．
6 若⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，y ≥2，
x ＋y ≤6，
则目标函数z ＝x ＋3y 的取值范围是__________．
综合过关
7在△ABC 中，三顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为( )
A ．[1,3]
B ．[－3,1]
C ．[－1,3]
D ．[－3，－1] 8已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，
4x ＋y ＋10≥0，
求：
(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2
＋y 2
的最大值和最小值． 9已知⎩⎪⎨⎪⎧
11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，
x ≥0，y ≥0.
求z ＝x ＋y 的最大值．
下列解法是否正确，如果不正确，请说明原因，并把正确解法写在下面．
作出可行域，如图中阴影部分．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，77
27
)．
∴z max ＝8027＋7727＝157
27
.
10若二次函数y ＝f (x )的图像过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．
能力提升
11关于x 的方程x 2
＋ax ＋2b ＝0的两个根中，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：
(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)
b －2
a －1
的取值范围； (3)(a －1)2
＋(b －2)2
的值域．
参考答案
1答案：C
2解析：可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1； 当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0； 当x ＝1，y ＝0时，z ＝1； 当x ＝12，y ＝1
2时，z ＝0.
排除A 、B 、D. 答案：C
3解析：画出可行域，如图所示．
则当直线y ＝－12x ＋1
4z 经过点A (3，－3)时，z ＝2x ＋4y 取最小值－6.
答案：－6
4解析：画出可行域，如图所示．
当直线y＝－2x＋z过点A(1
2
，1)时，z＝2x＋y取得最大值2.
答案：2
5解析：作出可行域，如下图所示的阴影部分．
线性目标函数z＝x＋y－2，即y＝－x＋z＋2，求z＝x＋y－2的最大值转化为求直线y ＝－x＋z＋2在y轴上截距z＋2的最大值，结合图像知当直线y＝－x＋z＋2经过点A(1,2)时，在y轴上截距z＋2取最大值3，即z＋2≤3，所以z≤1.
答案：1
6解析：画出可行域，如图所示．
则直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的取值范围是[83，143]，即13z 的取值范围是[83，14
3]，
所以z ＝x ＋3y 的取值范围是[8,14]． 答案：[8,14]
7解析：先画出三角形区域，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z ＝y －x 的取值范围，从而求出其取值范围是[－1,3]．
答案：C
8解：(1)不等式组 ⎩⎪⎨⎪
⎧
7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0
表示的公共区域如图所示．
其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．
设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．
∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14；
z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.
(2)设u ＝x 2
＋y 2
，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的区域可知，点B 到原点的距离最大，而(x ，y )在原点时，距离为0.
∴(x 2
＋y 2
)max ＝(－1)2
＋(－6)2
＝37； (x 2
＋y 2)min ＝0.
故4x －3y 的最大值为14，最小值为－18；x 2
＋y 2
的最大值为37，最小值为0. 9解：错因分析：将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点，不是B 点而是A 点，究其原因是在作图时引起的误差，由于三条边界的直线的斜率依次是：－67，－75，－11
4，而目
标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－7
5之间，故经过B 时，则直线x ＋y ＝z 必在A
点的下方，即B 点不是向上平移直线时最后离开的点，A 点才是最后离开的点．
正解：作约束条件的可行域，作直线l 0：x ＋y ＝0，将它向上平移，∵1＞0，∴z ＝x ＋y 的值也随之增加．当它经过A 点时，z 取得最大值．
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
7x ＋5y ＝35，
6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝35
19，y ＝84
19，
故z max ＝3519＋8419＝119
19
.
10分析：设f (x )＝ax 2
＋bx (a ≠0)，由f (－1)、f (1)的范围可得a 、b 满足的不等式，由此可利用线性规划知识解决．
解：因为f (x )的图像过原点，所以可设f (x )＝ax 2
＋bx (a ≠0)． 所以f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
1≤a －b ≤2，3≤a ＋b ≤4.
其图像为如图所示的阴影区域．
因为f (－2)＝4a －2b ，作直线4a －2b ＝0，易知A 、B 点分别为使f (－2)取最小值点和
最大值点，列方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝3，
a －
b ＝1，得A (2,1)；
⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝4，
a －
b ＝2，得B (3,1)．所以f (－2)min ＝4×2
－2×1＝6，f (－2)max ＝4×3－2×1＝10，所以6≤f (－2)≤10.
11分析：可将
b －2a －1
看作点(a ，b )和(1,2)连线的斜率，而(a －1)2＋(b －2)2
表示点(a ，b )与定点(1,2)之间的距离的平方．数形结合可顺利使问题得到解决．
解：方程x 2
＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义是：函数y ＝f (x )＝
x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内．
由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
f 0>0f 1<0
f 2>0
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
b >0，a ＋2b ＋1<0，a ＋b ＋2>0.
由⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＋2
b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3,1)．
由⎩⎪⎨
⎪⎧ a ＋b ＋2＝0，b ＝0，
解得B (－2,0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋2
b ＋1＝0，
b ＝0，
解得C (－1,0)．
∴在如图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．
(1)点(a ，b )对应区域△ABC 的面积S △ABC ＝12×|BC |×h ＝1
2(h 为A 到Oa 轴的距离)．
(2)
b －2
a －1
的几何意义是点(a ，b )和点D (1,2)连线的斜率． ∵k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1，由图可知k AD ＜b －2
a －1＜k CD ，
∴14＜b －2a －1＜1，即b －2a －1∈(1
4
，1)． (3)∵(a －1)2
＋(b －2)2
表示区域内的点(a ，b )与定点(1,2)之间距离的平方，∴(a －1)2
＋(b
－2)2
∈(8,17)．。