9.3 平行四边形(2)
专题9.3 平行四边形(第2课时)(备作业)八年级数学下册同步备课系列(苏科版)
第9章中心对称图形——平行四边形9.3 平行四边形（第2课时）一、单选题（共6小题）1.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（）A．AB＝DC B．∠1＝∠2C．AB＝AD D．∠D＝∠B【答案】D【分析】根据等腰梯形的定义判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC＝∠DCA，推出AB∥CD即可．【解答】解：A、符合条件AD∥BC，AB＝DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；B、根据∠1＝∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故B选项错误；C、根据AB＝AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵∠B＝∠D，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项正确．故选：D．【知识点】等腰梯形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定、平行线的判定与性质2.如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是（）A．60B．30C．20D．16【答案】C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，∴CD＝AB＝4，∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．故选：C．【知识点】平行四边形的性质3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．6【答案】D【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出AB的取值范围，进而得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故选：D．【知识点】平行四边形的性质、三角形三边关系4.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AC＝4，BD＝7，△DBC的周长比△ABC的周长（）A．短3B．短6C．长3D．长6【答案】C【分析】根据平行四边形的对边相等可以转化为求两条对角线的差即可得到正确的选项．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵AC＝4，BD＝7，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝BD+CD+BC﹣（AB+BC+AC）＝BD﹣AC＝7﹣4＝3，∴△DBC的周长比△ABC的周长长3，故选：C．【知识点】平行四边形的性质5.如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（）A．84°B．96°C．98°D．106°【答案】B【分析】首先根据AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四边形ABCD是平行四边形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根据CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，从而利用三角形的内角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可．【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CED＝∠ADF＝42°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠DEC＝42°，∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°，故选：B．【知识点】平行四边形的性质6.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．③④【答案】B【分析】由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定与性质可得∠DFC＝∠BCF，DFC＝∠DCF，可证明①；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，再证明FG⊥CE，可证明②；根据平行线的性质可得∠AEC＝∠DCE＝90°，进而可证明③；而无法证明④．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DFC＝∠BCF，∵点F是AD的中点，∴AD＝2DF，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，∴FG∥AB，∵CE⊥AB，∴FG⊥CE，∴EF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；∵CE⊥AB，AB∥CD，∴CE⊥CD，∴∠AEC＝∠DCE＝90°，即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCF，∵∠DCF＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；根据现有条件无法证明S△CEF＝S△BCE，故错误④．故选：B．【知识点】全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、平行四边形的性质二、填空题（共6小题）7.在▱ABCD中，若∠A+∠C＝342°，则∠B＝度．【答案】9【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝342°，∴∠A＝171°，∴∠B＝180°﹣171°＝9°，故答案为：9．【知识点】平行四边形的性质8.如图，▱ABCD的一个外角∠CBE是70°，则∠D的大小是．【答案】110°【分析】利用已知可先求出∠CBA＝110°，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等，则∠D可求解．【解答】解：∵∠CBE＝70°，∴∠CBA＝110°，在平行四边形中，∴∠D＝∠CBA＝110°，故答案为：110°．【知识点】平行四边形的性质9.如图，已知▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，则▱ABCD的面积为cm2．【分析】根据▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，可求得AB和BC，在Rt△ABE中可求得AE，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∴2（AB+BC）＝18，∴6AB＝18，∴AB＝3，∴BC＝6，∵∠A+∠B＝180°，∠A＝2∠B，∴3∠B＝180°，∴∠B＝60°，∴AE＝，∴▱ABCD的面积为：BC•AE＝6×＝9（cm2）．故答案为：9．【知识点】平行四边形的性质10.在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，BD＝2，则平行四边形ABCD的面积等于．【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝2，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝，AE＝AD＝3，在Rt△BDE中，∵BD＝2，∴BE＝＝＝2，如图1，∴AB＝4，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4，如图2，AB＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝2，如图3，过B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，设AE＝x，则DE＝2﹣x，∵∠A＝30°，BE＝x，在Rt△BDE中，∵BD＝4，∴42＝（x）2+（2﹣x）2，∴x＝，x＝2（不合题意舍去），∴BE＝1，∴平行四边形ABCD的面积＝AD•BE＝1×2＝2，如图4，当AD⊥BD时，平行四边形ABCD的面积＝AD•BD＝4，故答案为：2或4．【知识点】三角形的面积、平行四边形的性质11.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为平方单位．【分析】根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，再利用两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECG，根据线段中点的定义可得BE＝CE，然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴BF＝CG，∵∠B＝60°，∴∠FEB＝30°，∴BF＝BE＝1，EF＝，∵平行四边形ABCD的对边CD＝AB＝3，∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴DG⊥FG，∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2．故答案为：2．【知识点】勾股定理、平行四边形的性质12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且AB＝PC，∠PBC＝2∠PCB，则∠A＝°．【答案】60【分析】作△PBC关于BC的对称图形△DBC，再根据角平分线定义可得BD∥AC，延长BD到点E，使BE ＝AC，可得四边形ABEC是平行四边形，设∠PCB＝α，可得∠DCE＝∠CDE＝3α，进而证明△CDE是等边三角形，可得结论．【解答】解：如图，作△PBC关于BC的对称图形△DBC，∴∠DBC＝∠PBC，∠PCB＝∠DCB，CD＝CP，∵CP是∠ACB的平分线，∴∠BCA＝2∠PCB，∵∠PBC＝2∠PCB，∴∠DBC＝∠BCA，∴BD∥AC，延长BD到点E，使BE＝AC，∴四边形ABEC是平行四边形，设∠PCB＝α，∴∠BCD＝∠ACP＝α，∴∠PBC＝∠DBC＝∠BCA＝2α，∴∠ACD＝3α，∠ABD＝6α，∵四边形ABEC是平行四边形，∴∠ACE＝∠ABE＝6α，∴∠DCE＝3α，∵∠CDE＝∠DBC+∠DCB＝3α，∴∠DCE＝∠CDE，∴CE＝ED，∵AB＝CE，AB＝PC，∴CE＝CP，∴CE＝ED，∵CD＝CP，∴CE＝ED＝CD，∴△CDE是等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠A＝∠E＝60°．故答案为：60°．【知识点】轴对称的性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质三、解答题（共6小题）13.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4．（1）求∠BAC的度数：（2）求▱ABCD的面积．【分析】（1）首先利用平行四边形的性质求得对角线的一半的长，然后利用勾股定理的逆定理判定直角即可；（2）利用底×高求得面积即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AC＝6，BD＝10，∴AO＝3，BO＝5，∵AB＝4，∴AB2+AO2＝OB2，∴∠BAC＝90°；（2）▱ABCD的面积＝AB×AC＝4×6＝24．【知识点】平行四边形的性质14.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点M、N，求证：OM＝ON．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，再根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，利用两直线平行，内错角相等可得∠MAO＝∠NCO，然后利用“角边角”证明△AMO和△CNO全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：平行四边形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴OM＝ON．【知识点】全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质15.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接DE，BF．（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证：DE∥BF．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，AD∥CB，证出内错角相等∠BAF＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，由SSS证明△ABC≌△CDA；由SAS证明△ABF≌△CDE；由SAS证明△ADE≌△CBF；（2）由△ABF≌△△CDE，得出对应角相等∠AFB＝∠CED，即可证出DE∥BF．【解答】（1）解：△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，AD∥CB，∴∠BAF＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS）；∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）；在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）证明：∵△ABF≌△△CDE，∴∠AFB＝∠CED，∴DE∥BF．【知识点】平行线的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质16.如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．（1）求△ADO的周长；（2）求证：△ADO是直角三角形．【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分确定AO和DO的长，然后求得周长即可；（2）利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线AC与BD相互平分，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AC＝26，BD＝10，∴OA＝13，OD＝5，∵AD＝12，∴△AOD的周长＝5+12+13＝30；（2）由（1）知OA＝13，OD＝5，AD＝12，∵52+122＝132 ，∴在△AOD中，AD2+DO2＝AO2 ，∴△AOD是直角三角形．【知识点】平行四边形的性质、勾股定理的逆定理17.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用ASA即可证明．（2）结论：CH⊥DG．利用三角形中位线定理，证明CH∥AF即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF∵E为BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，∴△ABE≌△FCE．（2）结论：CH⊥DG．理由如下：∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵AB＝CD，∴DC＝CF，∵H为DG的中点，∴CH∥FG∵DG⊥AE，∴CH⊥DG．【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质18.如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．（1）求证：BP＝CP；（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）设AP与BC交于H，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，推出BE平分∠ABC，求得AP平分∠BAC，根据线段垂直配电箱的性质即可得到结论；（2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）设AP与BC交于H，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．【知识点】三角形的面积、平行四边形的性质。
9.3第1课时平行四边形的定义及其性质
9.3平行四边形第1课时一、选择题1．在▱ABCD中，已知∠A＋∠C＝200°，则∠A的度数是()A．160°B．100°C．80°D．60°2．如图1所示，在▱ABCD中，BC＝BD，∠C＝74°，则∠ADB的度数是() A．16°B．22°C．32°D．68°123．如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.如果AC＝10，BD＝8，AB＝m，那么m的取值范围是()A．1＜m＜9 B．2＜m＜18 C．8＜m＜10 D．4＜m＜54．如图3，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是()A．AE＝CF B．BE＝DF C．BF＝DE D．∠1＝∠2345．如图4，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为()A．14 B．13 C．12 D．1067二、填空题6．如图5，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝56°，则∠B＝________°.7．如图6所示，在▱ABCD中，已知A，B，C三点的坐标分别为A(－3，0)，B(1，0)，D(0，2)，则点C的坐标是________．8．如图7，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC 的周长为________．三、解答题9.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE.。
平行四边形的判定2练习题
9.3.3平行四边形的判定(2)知识点1定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形1．要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，这样得到的四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是________________________．2．如图，AO＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝________cm时，四边形ABCD是平行四边形．第2题第3题3．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请你添加一个条件：________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC.求证：四边形ADCE是平行四边形．6．2017·睢宁月考如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．知识点2反证法7．若用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，第一步应假设() A．∠A＝60°B．∠A＜60°C．∠A≠60°D．∠A≤60°8．用反证法证明命题“三角形最多有一个钝角”的第一步是________________________．9．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”．10．2018·玉林在四边形ABCD中：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有()A．3种B．4种C．5种D．6种11．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)连接BF，CE，试证明四边形BECF是平行四边形．12．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，两条对角线相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BG⊥AC，DH⊥AC，垂足分别为G，H.判断四边形GEHF14．如图①，▱ABCD中，O是对角线AC的中点，EF过点O分别与AD，BC交于点E，F，GH过点O分别与AB，CD交于点G，H，连接EG，GF，FH，HE.(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形．。
平行四边形(第2课时)(课件)八年级数学下册(苏科版)
探究新知 证明猜想
猜想1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
已知：如图，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC． 求证：四边形ABCD是平行四边形．
A
分析：先证△ABD≌△CDB，再证AD∥BC，AB∥DC，
得四边形ABCD是平行四边形．
B
D C
探究新知
证明： 如图，连接BD． ∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB， ∴△ABD≌△CDB， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴AB∥CD，AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形．
D
F
C A.2个
C.4个
G
H
B.3个 D.5个
A
E
B
分析：▱ABCD 、▱DEBF 、▱AECF 、▱EHFG
课堂练习
3.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形. 求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A E
B
证明：∵四边形AEFD是平行四边形， D
∴AD//EF，ADEF. F
∵四边形EBCF是平行四边形， C
课堂练习
2.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，
BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的
选法是
（C ）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
课堂练习
2.如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，则图 中平行四边形的个数共有( C).
A
B
C
方法一：
探究新知
A
D
B
C
方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
苏科版数学八年级下《9.3平行四边形》同步练习含详细答案
9.3 平行四边形一．选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120° D．100°2．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．264．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm5．如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF 的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（）A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH6．在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为（）A．3 B．5 C．2或3 D．3或57．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．148．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE9．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S310．如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A．B．4C．2D．11．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．612．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114° D．124°13．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③14．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线二．填空题15．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为．16．如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．17．如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．18．如图，在▱ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC 的周长长cm．19．如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．20．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．21．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=．22．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=；（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．24．如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是．三．解答题25．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．26．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．27．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE+CD=AD．连结CE，求证：CE平分∠BCD．28．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．29．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE=OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．30．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．答案与解析一．选择题1．（•河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120° D．100°【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（•菏泽）在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．【解答】解：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，∴AC==5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD为矩形是解决问题的关键．3．（•丽水）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．4．（•绵阳）如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【分析】由▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+AD=13cm，AD﹣AB=3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．【解答】解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键．5．（•湖北襄阳）如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（）A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，【解答】解：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，∵AG平分∠DAB，∴∠DAH=∠BAH，∵CD∥AB，∴∠DHA=∠BAH，∴∠DAH=∠DHA，∴AD=DH，∴BC=DH，故选D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、平行线的性质；熟记平行四边形的性质是解决问题的关键关键．6．（•孝感）在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC 交BC于点F，且EF=2，则AB的长为（）A．3 B．5 C．2或3 D．3或5【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论．【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=8，∴AB=5；②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，∴AB=3；综上所述：AB的长为3或5．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD．7．（•丹东）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，∵EF=AF+DE﹣AD=2，即6+6﹣AD=2，解得：AD=10；故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．8．（•株洲）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．9．（•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2，∴S2=S1﹣S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．10．（•济南）如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A．B．4C．2D．【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而得到CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比例定理求出BE，然后用等腰三角形的三线合一求出BG，最后用勾股定理即可．【解答】解：∵∠ABC的平分线交CD于点F，∴∠ABE=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，∵AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴，∴，∴EB=6，∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG=BF=2，在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，根据勾股定理得，CG===2，故选：C．【点评】此题是平行四边形的性质，主要考查了角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是求出AE，记住：题目中出现平行线和角平分线时，极易出现等腰三角形这一特点．11．（•泰安）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．12．（•河北）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114° D．124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．13．（•绍兴）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D．【点评】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．14．（•天门）在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．故选C．【点评】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．二．填空题15．（•河南）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为110°．【分析】首先由在▱ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．故答案为：110°．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．16．（•巴中）如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是1＜a ＜7．【分析】由平行四边形的性质得出OA=4，OD=3，再由三角形的三边关系即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的三边关系得出结果是解决问题的关键．17．（•江西）如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB 于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．【分析】由“平行四边形的对边相互平行”、“两直线平行，同位角相等”以及“直角三角形的两个锐角互余”的性质进行解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．【点评】本题考查了平行四边形的性质．利用平行四边形的对边相互平行推知DC∥AB是解题的关键．18．（•十堰）如图，在▱ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC 比△ABC的周长长4cm．【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，∵AC⊥BC，∴AC==6cm，∴OC=3cm，∴BO==5cm，∴BD=10cm，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，故答案为：4．【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．19．（•无锡）如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为5．【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x 轴于点E．则OB=．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE 的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM，∴∠OAF=∠BCD，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD．∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=．由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．（•宁夏）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于2．【分析】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出AB=BE=3；求出AB+BC=8，得出BC=5，即可得出EC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=BE是解决问题的关键．21．（•常德）如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D 落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=55°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，∴∠D1AE=∠BAD，∴∠D1AD=∠BAE=55°；故答案为：55°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键．22．（•武汉）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为36°．【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，∴∠FED′=108°﹣72°=36°；故答案为：36°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．23．（•泉州）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=15；（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．【分析】（1）若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形，据此求出它的面积是多少即可．（2）连接EC，延长CD、BE交于点P，证△ABE≌△DPE可得S△ABE=S△DPE、BE=PE，由三角形中线性质可知S△BCE=S△PCE，最后结合S四边形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE可得答案．【解答】解：（1）∵AB=DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD的面积S=5×3=15，故答案为：15．（2）如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，∵E是AD中点，∴AE=DE，又∵AB∥CD，∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE，在△ABE和△DPE中，∵，∴△ABE≌△DPE（AAS），∴S△ABE =S△DPE，BE=PE，=S△PCE，∴S△BCE=S△ABE+S△CDE+S△BCE则S四边形ABCD=S△PDE+S△CDE+S△BCE=S△PCE+S△BCE=2S△BCE=2××BC×EF=15，∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S，故答案为：=．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用及全等三角形的判定与性质，通过构建全等三角形将梯形面积转化为三角形面积去求是解题的关键．24．（•常州）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是1．【分析】先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，最后根据a2+b2=4，判断ab的最大值即可．【解答】解：延长EP交BC于点F，∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF=CP=b，a2+b2=22=4，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CD，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2=4，∴ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1．故答案为：1【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．三．解答题25．（•永州）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD 于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；【分析】（2）先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．26．（•西宁）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．【分析】（1）由在▱ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；（2）由AD=2AB，AB=FC=CD，可得AD=DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE=EF，然后利用三线合一，证得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABE=∠FCE，∵E为BC中点，∴BE=CE，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=FC；（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，∴AD=DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF，∴DE⊥AF．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．27．（•巴中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE+CD=AD．连结CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，AD=BC，由平行线的性质得出∠E=∠DCE，由已知条件得出BE=BC，由等腰三角形的性质得出∠E=∠BCE，得出∠DCE=∠BCE即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，∴∠E=∠DCE，∵AE+CD=AD，∴BE=BC，∴∠E=∠BCE，∴∠DCE=∠BCE，即CE平分∠BCD．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=BC是解决问题的关键．28．（•青岛）已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAE=∠DCF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出DE=BF，得出四边形BEDF 是平行四边形，得出OB=OD，再由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出四边形BEDF是平行四边形是解决问题（2）的关键．29．（•本溪）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE=OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可；（2）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出▱ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，DC∥AB，∴∠FDO=∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴OE=OF．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵EF⊥AC，∴AE=CE，∵△BEC的周长是10，∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，∴▱ABCD的周长=2（BC+AB）=20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．30．（•黄冈）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC 分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得出∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，证出四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，证出∠AEG=∠CFH，由ASA证明△AEG≌△CFH，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，∵E、F分别为AD、BC边的中点，∴AE=DE=AD，CF=BF=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF。
平行四边形单元教案
变题：（1）变∠A=40°为∠B=120°
（2）变∠A=40°为∠A+∠C=100°
例2：在平行四边形ABCD中，已知AB=8，周长为24，求其余三边的长。
例3：如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？
通过预习由学生口答，产生问题共同研讨。
利作课本提供的两幅实物图片，引导学生观察、探索：图片中有你熟悉的图形吗？这些图形有什么特征？
展示一些平行四边形的实物图片，引导学生观察、探索、说明理由。
组织学生讨论得出平行四边形的性质。
要求学生运用学过的知识，探索图中的哪些四边形是平行四边形，并说明理由，其说理的根据是平行四边形的概念。
情意目标：通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心．
二、教学重点与难点：重点：探索四边形是平行四边形的条件；
难点：通过操作和合情推理发现结论
三、教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.
四、教学过程：
教师活动
学生活动
个人修改意见
一．课前预习与导学：
并要探索图形的其它性质。
学生根据例1完成变式题。
通过例题的讲解，使学生对平行四边形的性质运用更熟练。
例题教学，学生参与
完成教材P86 练习１、２
学生归纳总结本节主要学了哪些？
学生独立完成。
及时反馈学生对平行四边形的概念及性的掌握情况，针对学生存在问题及时解决。
五、板书设计：
9.3平行四边形（１）
１、平行四边形的定义 例题 学生板演区
二、课堂学习与研讨
（一）创设问题情境：
9.3 平行四边形(2)
△ABC ≌△CDA 连结AC 角相等 AD ∥ BC且AB ∥ CD 两组对边分别平行
B
A
︵
D
3 2 4
1
︶
C
四边形ABCD是平行四边形
定理1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
9.3 平行四边形（2）
A D
B
C
定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 几何语言：
∵AD//BC，AD＝BC，
A D
B
C
定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 几何语言： ∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形．
A
D
1、∵AB ∥ CD B C ＿＿ ＿＿ AD ∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （ 平行四边形的定义 ） 2、 ∵AB＝CD AB∥CD ＿＿∥＿＿ ∴四边形ABCD是平行四边形。 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ） 3、∵AB＝CD ＿＿＝＿＿ AD＝BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平，在□ABCD中，点E、F分别在AD、BC 上，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
A E D
B
F
C
当堂检测
1、在下列条件中,不能判定四边形是平行 A D 四边形的是( D )
(A)AB∥CD,AD∥BC
（两组对边分别平行） （两组对边分别相等） （一组对边平行且相等）
Y轴 3 2 1
（-2，1）D
A （ 2， 1） E（6，1）
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X轴 -1 （-1，-2）B -2 C（3 , -2 ） -3 -4 -5 -6 F（0，-5）
期中复习培优训练卷(第9章：9.3平行四边形)-2020-2021苏科版八年级下学期数学(解析)
期中复习培优训练卷（9章：9.3平行四边形）-2020-2021苏科版八年级下学期数学一、选择题1、在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）A ．对边相等B ．对边平行C ．对角相等D ．对角线相等 2、如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．24 3、下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C ．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D ．有两组对角相等的四边形是平行四边形4、点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 平行四的选法有（ ）. A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，28ABE ∠︒＝，且CE BC ＝，AE DE ＝，则下列选项正确的为（ ）A ．56BAE ∠=︒B ．68AED ∠=︒C ．112AEB ∠=︒D ．122C ∠=︒6、如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AD//BC ，AB=CDB ．∠AOB=∠COD ，∠AOD=∠COBC ．OA=OC ，OB=OD D ．AB=AD ，CB=CD7、如图，在ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 上的点，且//DF BC ．点E 是射线DF 上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE 为平行四边形的是（ ）A ．ADE E ∠=∠B ．B E ∠=∠C ．DE BC =D ．BD CE =8、如图，过平行四边形ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的过平行四边形AEMG 的面积S 1与▱HCFM 的面积S 2的大小关系是（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不能确定9、如图，已知，在▱ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 边的中点，G 、H 是对角线BD 上的两点，且BG =DH ，则下列结论不正确的是（ ） A ．GF ⊥GH B ．GF =EH C ．EG ∥FH D ．四边形EGFH 是平行四边形10、如图，在ABCD 中，AD=2AB ，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，F 、G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S =；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11、如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点E, 60=∠BCD ，连接OE ．下列结论：①ABCDSAD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12、如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．8C ．3D ．4 二、填空题13、用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____．14、已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是_____．15、平行四边形两邻边的长分别为16和20，两条长边间的距离为8，则两条短边间的距离为__________． 16、如图所示，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，AF ⊥DE ，垂足为F ，已知∠DAF ＝50°，则∠C 的度数是____．17、如图，将Rt △ABC 沿着点B 到A 的方向平移到△DEF 的位置，BC ＝8，FO ＝2，平移距离为4，则四边形AOFD 的面积为 ．18、如图，如果M,N 分别是平行四边形ABCD 的两条对边的中点，那么图中有_____个平行四边形．19、如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E,F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形)．20、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝4，E 、F 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 到点D ，使AD=21AB ，则DF ＝ ．21、在ABCD 中，8AB =，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，DF 平分ADC ∠交BC 于点F ，且2EF =，则AD 的长为_________．22、已知△ABC ，∠C ＝90°，AD ＝EC ，AC ＝BE ，BD 交AE 于点O ，则∠BOE ＝_____．三、解答题23、如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在边CB ，AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，求证：AG ＝CH .24、已知：平行四边形ABCD中，点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，联结AM、CN．（1）求证：AM∥CN；，垂足为H，联结CH．求证：△BCH是等腰三角形．（2）过点B作BH AM25、如图，在△AFC中，∠FAC=45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．26、如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．（1）求证：AD与BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，FC=2，求AB的长．27、如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BF ＝CD ；（2）连接BE ，若BE ⊥AF ，∠BFA ＝60°，BE ＝43，求平行四边形ABCD 的周长．28、如图所示，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，5cm OA =，E ，F 为直线BD 上的两个动点（点E ，F 始终在ABCD 的外面），且11,22DE OD BF OB ==，连结AE ，CE ，CF ，AF ． （1）求证：四边形AFCE 为平行四边形．（2）若11,33DE OD BF OB ==，上述结论还成立吗？若11,DE OD BF OB n n==呢？ （3）若CA 平分BCD ∠，60AEC ∠=，求四边形AECF 的周长．29、已知在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，以AD 、AE 为腰做等腰三角形ADE ，且∠ADE ＝∠ABC ，连接CE ，过E 作EM ∥BC 交CA 延长线于M ，连接BM ． （1）求证：△BAD ≌△CAE ；（2）若∠ABC ＝30°，求∠MEC 的度数； （3）求证：四边形MBDE 是平行四边形．30、如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°, AC =60cm, ∠A =60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒(0＜t ＜15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）用含t 的代数式表示下列线段：AE = ，DF = ，AD = ； （2）判断线段EF 与AC 的位置关系，并说明理由；（3）如图2，连接AF ，交DE 于点O ，设y 为△ADO 与△DFO 的周长差，求y 与t 的函数关系式，并求当t 为何值时，△ADO 与△DFO 的周长相等．（4）是否存在某一时刻t ，使得△DEF 为直角三角形？若存在，请直接写出t 值；不存在，请说明理由．31、如图，ABC 和BDE 都是等腰直角三角形，90ACB DBE ∠=∠=︒，连接CD ，以CA ，CD 为邻边作CAFD ，连接CE ，BF ．（1）如图1，当D 在BC 边上时，请直接写出CE 与BF 的关系；（2）如图2，将图1中的BDE 绕点B 顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不存在，请说明理由；（3）若3AC =，2BD =，将图1中的BDE 绕点B 顺时针旋转一周，当BD 与直线BC 夹角为30°时，请直接写出CE 的值．期中复习培优训练卷（9章：9.3平行四边形） -2020-2021苏科版八年级下学期数学（解析）一、选择题1、在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）A ．对边相等B ．对边平行C ．对角相等D ．对角线相等【分析】根据平行四边形的性质得到，平行四边形对边平行且相等，对角相等，而对角线可以相等也可以不相等．【详解】根据平行四边形性质可知：A 、B 、C 均是平行四边形的性质，只有D 选项不是．故选：D ．2、如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．24【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ， ∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ， ∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4， ∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20． 故选：C ．3、下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C ．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D ．有两组对角相等的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】A 、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A 不符合题意；B 、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B 不符合题意；C 、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C 符合题意；D 、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D 不符合题意； 故选：C ．4、点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 平行四的选法有（ ）. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】由平行四边形的判定定理，分别进行判断，即可得到答案．【详解】①和③根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD 为平行四边形；①和②，③和④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD 为平行四边形；②和④根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD 为平行四边形； 所以能推出四边形ABCD 为平行四边形的有四组， 故选：D ．5、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，28ABE ∠︒＝，且CE BC ＝，AE DE ＝，则下列选项正确的为（ ）A ．56BAE ∠=︒B ．68AED ∠=︒C ．D ．122C ∠=︒【分析】解根据等腰三角形的性质得出∠EBC ＝∠BEC ，利用平行四边形的性质解答即可． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴∠ABE ＝∠BEC ＝28°，∵CE ＝BC ，∴∠EBC ＝∠BEC ＝28°，∴∠ABC ＝56°，∴∠BAD ＝∠C ＝124°，∠DAE ＝56°， ∵AB ∥DC ，∴∠BAE ＝∠AED ，∵AE ＝ED ，∴∠D ＝∠DAE ＝56°，∴∠BAE ＝124°−56°＝68°， ∴∠AED ＝180°−56°−56°＝68°，∴∠AEB ＝180°−68°−28°＝84°，故选：B ．6、如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AD//BC ，AB=CDB ．∠AOB=∠COD ，∠AOD=∠COBC ．OA=OC ，OB=OD D ．AB=AD ，CB=CD 【分析】由平行四边形的判定可求解．【详解】A 、由AD ∥BC ，AB=CD 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；B 、由∠AOB=∠COD ，∠AOD=∠COB 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；C 、由OA=OC ，OB=OD 能判定四边形ABCD 为平行四边形； D 、AB=AD ，CB=CD 不能判定四边形ABCD 为平行四边形； 故选：C ．7、如图，在ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 上的点，且//DF BC ．点E 是射线DF 上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE 为平行四边形的是（ ）A ．ADE E ∠=∠B ．B E ∠=∠C ．DE BC =D ．BD CE =【分析】由ADE E ∠=∠结合已知条件可证明//AB CE ，从而可判断A ，由B E ∠=∠结合已知条件可证明//AB CE ，从而可判断B ，由DE BC =结合已知条件可判断C ，由BD CE =结合已知条件仍不能判定四边形DBCE 为平行四边形，从而可得到答案． 【详解】解：A 、∵∠ADE=∠E ， ∴AB ∥CE ，又∵DF ∥BC ， ∴四边形DBCE 为平行四边形；故选项A 不符合题意；B 、∵DF ∥BC ， ∴∠ADE=∠B ， ∵∠B=∠E ， ∴∠ADE=∠E ， ∴AB ∥CE ，∴四边形DBCE 为平行四边形；故选项B 不符合题意；C 、∵DF ∥BC ， ∴DE ∥BC ， 又∵DE=BC ， ∴四边形DBCE 为平行四边形；故选项C 不符合题意；D 、由DF ∥BC ，BD=CE ，不能判定四边形DBCE 为平行四边形；故选项D 符合题意；故选：D ．8、如图，过平行四边形ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的过平行四边形AEMG 的面积S 1与▱HCFM 的面积S 2的大小关系是（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不能确定【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP 、GPFD ，证△ABD ≌△CDB ，得出△ABD 和△CDB 的面积相等；同理得出△BEM 和△MHB 的面积相等，△GMD 和△FDM 的面积相等，相减即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，EF ∥BC ，HG ∥AB ，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，AB ∥GH ∥CD ，AD ∥EF ∥BC ， ∴四边形HBEM 、GMFD 是平行四边形，在△ABD 和△CDB 中；⎪⎩⎪⎨⎧===CB DA DB BD CD AB ，∴△ABD ≌△CDB （SSS ），即△ABD 和△CDB 的面积相等；同理△BEM 和△MHB 的面积相等，△GMD 和△FDM 的面积相等， 故四边形AEMG 和四边形HCFM 的面积相等，即S 1＝S 2．故选：B ．9、如图，已知，在▱ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 边的中点，G 、H 是对角线BD 上的两点，且BG =DH ，则下列结论不正确的是（ ） A ．GF ⊥GH B ．GF =EH C ．EG ∥FH D ．四边形EGFH 是平行四边形解析：连接EF 交BD 于点O ，在平行四边形ABCD 中的AD =BC ，∠EDH =∠FBG ，∵E 、F 分别是AD 、BC 边的中点，∴DE ∥BF ，DE =BF =12BC ， ∴四边形AEFB 是平行四边形，有EF ∥AB ，∵点E 是AD 的中点，∴点O 是BD 的中点，根据平行四边形中对角线互相平分， 故点O 也是AC 的中点，也是EF 的中点，又∵BG =DH ，∴△DEH ≌△BFG ，∴GF=EH ，故B 正确，∠DHE =∠BGF ，∴∠GHE =∠HGF ， ∴△EHG ≌△FGH ，∴EG=HF ， ∴GF ∥EH ，即四边形EHFG 是平行四边形，故D 正确， ∴EG ∥FH ，故C 正确无法证明∠HGF 是90度，∴A 不正确.故选：A.10、如图，在ABCD 中，AD=2AB ，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，F 、G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S =；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由点F 是AD 的中点，结合ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S =，由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到3DFE AEF ∠=∠，即可判断④．【详解】∵点F 是AD 的中点，∴2FD=AD ， ∵在ABCD 中，AD=2AB ，∴FD=AB=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠BCF ，∴∠DCF=∠BCF ，即：12DCF BCD ∠=∠，∴①正确； ∵AB ∥CD ，∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，又∵AF=DF ，∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），∴EF=HF ，∵CE AB ⊥，∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，∴EF CF ==12EH ，∴②正确； ∵EF=HF ，∴2HEC CEF S S =∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，∴BE CH <,∴BEC HCE S S <,∴2BEC CEF S S <，∴③错误； 设∠AEF=x ，则∠H=x ，∵在Rt∆ECH 中，CF=FH=EF ，∴∠FCH=∠H=x ，∵FD=CD ，∴∠DFC=∠FCH=x ，∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，∴FG ∥CD ∥AB ，∴∠AEF=∠EFG=x ， ∵EF=CF ，∴∠EFG=∠CFG=x ，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，∴3DFE AEF ∠=∠．∴④正确．故选C ．11、如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点E, 60=∠BCD ，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ． 其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】求得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD =AD•BD ；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △AOD 中，AO ＞AD ，即可得到AO ＞DE ；依据O 是BD 中点，E 为AB 中点，可得BE=DE ，利用三角形全等即可得OE ⊥BD 且OB=OD ．【详解】解：在ABCD 中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED ，∴△ADE 是等边三角形，12AD AE AB ∴==， ∴E 是AB 的中点，∴DE=BE ，1302BDE AED ︒∴∠=∠=， ∴∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，∴S ▱ABCD =AD•BD ，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，∴∠CDB=∠BDE ，∴DB 平分∠CDE ，故②正确；∵Rt △AOD 中，AO ＞AD ，∵AD=DE ，∴AO ＞DE ，故③错误；∵O 是BD 的中点，∴DO=BO,∵E 是AB 的中点，∴BE=AE=DE∵OE =OE ∴△DOE ≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB故选择：C ．12、如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．8C ．3D ．4【分析】想办法证明S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，再由EF ∥AC ，可得S △AEC =S △ACF 解决问题；【详解】解：如图,连接AF 、EC ．∵BC=4CF ，S △ABC =24，∴S △ACF = 14×24=6， ∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥AC ，∴S △DEB =S △DEC ，∴S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，∵EF ∥AC ，∴S △AEC =S △ACF =6，∴S 阴=6．故选：A ．二、填空题13、用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是_____．【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确．【详解】用反证法证明“一个三角形中最多有一个内角是钝角”的第一步是假设至少有两个内角是钝角，故答案为：至少有两个内角是钝角．14、已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是_____．解析：如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠B +∠C =180°，∵∠C -∠B =40°，解得：∠B=70°，故答案是：70°．15、平行四边形两邻边的长分别为16和20，两条长边间的距离为8，则两条短边间的距离为__________． 解析：∵平行四边形的面积＝两条长边间的距离×20＝20×8＝160，而平行四边形的面积＝两条短边间的距离×16，∴160＝两条短边间的距离×16，∴两条短边间的距离＝10．故答案为：10．16、如图所示，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，AF ⊥DE ，垂足为F ，已知∠DAF ＝50°，则∠C 的度数是____．解析：∵AF ⊥DE ，∴∠AFD ＝90°，∵∠DAF ＝50°，∴∠ADF ＝90°﹣50°＝40°，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADC ＝2∠ADF ＝80°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠C +∠ADC ＝180°，∴∠C ＝100°故答案为100°.17、如图，将Rt △ABC 沿着点B 到A 的方向平移到△DEF 的位置，BC ＝8，FO ＝2，平移距离为4，则四边形AOFD 的面积为 ．解析：如图，连接CF ．由平移的性质知，AD ＝CF ＝BE ＝4，AD ∥CF ，∴四边形ACFD 为平行四边形． ∴ACFD S＝AD •BC ＝4×8＝32， ∵FO ＝2，∴S △FOC ＝12OF •BE ＝1242⨯⨯＝4， ∴AOFD S 四边形＝ACFD FOC S S -＝32-4＝28．故答案为28．18、如图，如果M,N 分别是平行四边形ABCD 的两条对边的中点，那么图中有_____个平行四边形．解析：∵M ，N 分别是平行四边形ABCD 的两条对边的中点，AM BM DN CN ∴===，//AB CD ，//AD BC ，//BC MN ，∴四边形AMND 、四边形BCNM 、四边形AMCN 、四边形BNDM 、四边形MQNP 是平行四边形，∴图中有6个平行四边形；故答案为：6．19、如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E,F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形)．解析：使四边形AECF 也是平行四边形，需要添加BE=DF ，理由如下：如图，连结AC 交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO ，BO=DO ，当BE=DF 时，则BO −BE=DO −DF ，即EO=FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，故答案为：BE=DF （答案不唯一）．20、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝4，E 、F 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 到点D ，使AD=21AB ，则DF ＝ ．【分析】连接EF ，AE ．证明四边形ADFE 是平行四边形即可解决问题．【解答】解：连接EF ，AE ．∵AF ＝CF ，BE ＝EC ，∴EF ∥AB ，EF =21AB ， ∵AD =21AB ，∴AD ＝EF ，AD ∥EF ，∴四边形ADFE 是平行四边形，∴DF ＝AE ， ∵∠BAC ＝90°，BE ＝EC ，∴AE =21BC ＝2，∴DF ＝AE ＝2，故答案为2．21、在ABCD 中，8AB =，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，DF 平分ADC ∠交BC 于点F ，且2EF =，则AD 的长为_________．【分析】根据平行线的性质得到∠DAE ＝∠AEB ，由AE 平分∠BAD ，得到∠BAE ＝∠DAE ，等量代换得到∠BAE ＝∠AEB ，根据等腰三角形的判定得到AB ＝BE ，同理CF ＝CD ，根据平行四边形的性质得到AB ＝CD ，AD ＝BC ，即可得到结论．【详解】解：①如图1，在□ABCD 中， AB ＝CD ＝8， AD ＝BC ，BC ∥AD ，∵AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∵BC ∥AD ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，同理，CF ＝CD ，∵EF ＝2，∴BC ＝BE +CF ﹣EF ＝2AB ﹣EF ＝14，∴AD ＝14；②如图2，在□ABCD 中， AB ＝CD ＝8， AD ＝BC ，BC ∥AD ，∵AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∵BC ∥AD ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，同理，CF ＝CD ，∵EF ＝2，∴BC ＝BE +CF +EF ＝2AB +EF ＝18，∴AD ＝18；综上所述：AD 的长为14或18．故答案为：14或18．22、已知△ABC ，∠C ＝90°，AD ＝EC ，AC ＝BE ，BD 交AE 于点O ，则∠BOE ＝_____．【分析】过点B 作BF ⊥BC ，且使得BF=EC ，连接AF ，FE ，利用SAS 判定△AEC ≌△EFB ，再判定△AEF 为等腰直角三角形，则∠EAF=45°；然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ADBF 为平行四边形，从而得出BD ∥AF ，由平行线的性质可得答案．【详解】解：如图，过点B 作BF ⊥BC ，且使得BF ＝EC ，连接AF ，FE ，则∠EBF ＝∠C ＝90°，在△AEC 和△EFB 中，EC BF C EBF AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△EFB （SAS ），∴AE ＝EF ，∠EAC ＝∠FEB ，∵∠EAC +∠AEC ＝90°，∴∠FEB +∠AEC ＝90°，∴∠AEF ＝90°，∴△AEF 为等腰直角三角形，∴∠EAF ＝45°，∵BF ＝EC ，AD ＝EC ，∴BF ＝AD ，∵∠FBE +∠C ＝90°+90°＝180°，∴BF ∥AC ，∴四边形ADBF 为平行四边形，∴BD ∥AF ，∴∠BOE ＝∠EAF ＝45°，故答案为：45°．三、解答题23、如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在边CB ，AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，求证：AG ＝CH.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠E ＝∠F.又∵BE ＝DF ，∴AD ＋DF ＝BC ＋BE ，即AF ＝EC.在△AGF 和△CHE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E F CE AF C A ,∴△AGF ≌△CHE (ASA )，∴AG ＝CH.24、已知：平行四边形ABCD 中，点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，联结AM 、CN ．（2）过点B作BH AM⊥，垂足为H，联结CH．求证：△BCH是等腰三角形．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，又由点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，即可得CM=AN，继而可判定四边形ANCM是平行四边形，则可证得AM∥CN．（2）由AM∥CN，BH⊥AM，点N为边AB的中点，可证得BH⊥CN，ME是△BAH 的中位线，则可得CN是BH的垂直平分线，继而证得△BCH是等腰三角形．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB CD=．∵点M、N分别是边CD、AB的中点，∴12CM CD=，1AN AB2=．∴CM AN=．又∵AB∥CD，∴四边形ANCM是平行四边形∴AM∥CN．（2）设BH与CN交于点E，∵AM∥CN，BH⊥AM，∴BH⊥CN，∵N是AB的中点，∴EN是△BAH的中位线，∴BE=EH，∴CN是BH的垂直平分线，∴CH=CB，∴△BCH是等腰三角形．25、如图，在△AFC中，∠FAC=45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．【分析】（1）由题意易得∠FEA=∠FEC=90°，∠FAC=∠EFA=45°，进而可证Rt△AEB≌Rt△FEC，则有BE=CE，然后可证BC∥AD，最后求解问题即可；（2）由（1）及题意可直接进行解答．【详解】（1）证明：∵FE⊥AC，∴∠FEA=∠FEC=90°，∵∠FAC=45°，∴∠FAC=∠EFA=45°∴AE=EF，∵AB=FC，∴Rt△AEB≌Rt△FEC (HL) ，∴BE=CE，∵AD⊥AF，∴∠FAD=90°，∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠CBE=∠BCE=∠CAD=45°，∴BC∥AD，∵BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：由（1）得：∠CBE=∠BCE=∠CAD=∠BFA= 45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CHB，∠BAC=∠DCA，∵AB平分∠FAC，∴∠BAC=∠BAF，∵∠ABE=∠BFA+∠BAF ，∠BCH=∠BCE+∠DCA ，∴∠ABE=∠BCH=∠BAD ，∵∠CFA=∠CFH+∠BFA ，∠HCE=∠CFE ，∴∠ABE=∠CFA ，∵∠DCA+∠FCA=90°，∴∠ABE=∠FCA ，∴与∠ABE 相等的角有： ∠CHB ；∠BCH ；∠BAD ；∠FCA ；∠CFA ．26、如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB=CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，AD 交BE 于点O ．（1）求证：AD 与BE 互相平分；（2）若AB ⊥AC ，AC=BF ，BE =8，FC =2，求AB 的长．【分析】（1）连接,,AE BD 证明,ABC DEF ≌可得：AB DE =，再证明四边形ABDE 是平行四边形，利用平行四边形的性质可得答案；（2）由BE =8，FC =2，结合BF CE =，AC=BF ，求解,BF AC ， ,BC 再利用AB ⊥AC ，由勾股定理可得答案．【详解】证明：（1）连接,,AE BD ,FB CE = ,BC EF ∴=//,//,AB DE AC DF ,,ABC DEF ACB DFE ∴∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中，ABC DEF BC EFACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,ABC DEF ∴≌ ,AB DE ∴= //,AB DE ∴ 四边形ABDE 是平行四边形，∴ AD 与BE 互相平分；（2）82BE FC ==，，6BF CE ∴+=， ,BF CE = 3BF CE ∴==， ,AC BF = 3AC∴=， 325BC ∴=+=，,AB AC ⊥ 222253 4.AB BC AC ∴=-=-=27、如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：BF ＝CD ；（2）连接BE ，若BE ⊥AF ，∠BFA ＝60°，BE ＝43，求平行四边形ABCD 的周长．解：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠AFB ，又∵AF 平分∠BAD ，∴∠FAD ＝∠FAB ．∴∠AFB ＝∠FAB ．∴AB ＝BF ，∴BF ＝CD ；（2）解：由（1）知：AB ＝BF ，又∵∠BFA ＝60°，∴△ABF 为等边三角形，∴AF ＝BF ＝AB ，∠ABF ＝60°，∵BE ⊥AF ，∴点E 是AF 的中点，∠ABE =∠EBF =30º，∴在Rt △BEF 中，BF =2EF ，又BE ＝43， ∴由勾股定理得：EF ＝4，BF ＝8，∴AB ＝BF ＝8，∵四边形BACD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，∴∠DCF ＝∠ABF ＝60°＝∠F ， ∴△ECF 是等边三角形，∴CE ＝EF ＝CF ＝4，∴BC ＝8﹣4＝4，∴平行四边形ABCD 的周长为8+8+4+4＝24．28、如图所示，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，5cm OA =，E ，F 为直线BD 上的两个动点（点E ，F 始终在ABCD 的外面），且11,22DE OD BF OB ==，连结AE ，CE ，CF ，AF ． （1）求证：四边形AFCE 为平行四边形． （2）若11,33DE OD BF OB ==，上述结论还成立吗？若11,DE OD BF OB n n==呢？ （3）若CA 平分BCD ∠，60AEC ∠=，求四边形AECF 的周长．【分析】（1）由平行四边形的性质可知OA OC =、OB OD =，结合12DE OD =、12BF OB =可得出OE OF =，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE 为平行四边形；（2）由13DE OD =、13BF OB =可得出OE OF =，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE 为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若1DE OD n =，1BF OB n=，则四边形AFCE 为平行四边形”即可；（3）根据平行四边形的性质结合CA 平分BCD ∠，即可得出AD CD =，进而可得出OE 是AC 的垂直平分线，再根据60AEC ∠=︒可得出ACE ∆是等边三角形，根据OA 的长度即可得出AE 、CE 的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF 的周长．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =．12DE OD =，12BF OB =，DE BF ∴=，OE OF ∴=，∴四边形AFCE 为平行四边形． （2）13DE OD =，13BF OB =，DE BF ∴=，OE OF ∴=， ∴四边形AFCE 为平行四边形．∴上述结论成立，由此可得出结论：若1DE OD n =，1BF OB n=，则四边形AFCE 为平行四边形． （3）在ABCD 中，//AD BC ，DAC BCA ∴∠=∠．CA 平分BCD ∠，BCA DCA ∴∠=∠，DCA DAC ∴∠=∠，AD CD ∴=．OA OC =，OE AC ∴⊥，OE ∴是AC 的垂直平分线，AE CE ∴=．60AEC ∠=︒，ACE ∴∆是等边三角形，210AE CE AC OA cm ∴====，()()22101040AECF C AE CE cm ∴=+=⨯+=四边形．29、已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．【分析】（1）证明∠BAC=∠DAE，得出∠BAD=∠CAE，由SAS即可得出结论；（2）求出∠ACB=∠ACE=30°，由平行线的性质得出∠MEC+∠ECD=180°，即可得出结果；（3）由△BAD≌△CAE，得出DB=CE，再证明∠ACE=∠EMC，得出ME=EC，推出DB=ME，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=180°-2∠ABC，∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠DAE=180°-2∠ADE，∵∠ADE=∠ABC，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝∠ACE＝30°，∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，∵EM∥BC，∴∠MEC+∠ECD＝180°，∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；（3）证明：∵△BAD≌△CAE，∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ACE，∵EM∥BC，∴∠EMC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠EMC，∴ME＝EC，∴DB＝ME，又∵EM∥BD，∴四边形MBDE是平行四边形．30、如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°, AC=60cm, ∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒(0＜t＜15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）用含t的代数式表示下列线段：AE= ，DF= ，AD= ；（2）判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；（3）如图2，连接AF，交DE于点O，设y为△ADO与△DFO的周长差，求y与t的函数关系式，并求当t为何值时，△ADO与△DFO的周长相等．（4）是否存在某一时刻t，使得△DEF为直角三角形？若存在，请直接写出t值；不存在，请说明理由．解：（1）同时运动t 时间时，2AE t =，4CD t =，604AD AC DC t =-=-，因为30C ∠=︒，DF BC ⊥，则122==DF CD t ， 故答案为：2t ，2t ，604t -；（2）//EF AC ，理由如下： 由题：DF BC ⊥，AB BC ⊥，则//DF AB ，又E 在AB 上，//DF AE ∴，由（1）可知，随着时间变化，总有2AE DF t ==，即：DF 与AE 是平行且相等的关系，则四边形ADFE 是平行四边形，∴EF ∥AC ，（3）由（2）可知，四边形ADFE 是平行四边形，连接AF ，点O 即为对角线AF 和DE 的交点，则AO =FO ，ADO DFO A C D F C D ∆∆∴-=-， 即：6042606y t t t =--=-，若ADO △与DFO 的周长相等，则0y =，即：6060t -=，解得：10t =，606y t ∴=-，当10t =时，ADO △与DFO 的周长相等；（4）①若DE DF ⊥，即90EDF ∠=︒时，//DE BC ，如下图，则在Rt ADE △中，30ADE C ∠=∠=︒，24AD AE t ∴==，又604AD t =-, 6044t t ∴-=，解得：152t =；②若DE FE ⊥，即90DEF ∠=︒时，如下图，四边形ADFE 是平行四边形，//AD EF ∴，DE AD ∴⊥，ADE ∴为直角三角形，90ADE ∠=︒，60A ∠=︒，30DEA ∴∠=︒，12AD AE ∴=， 即：604t t -=，解得：12t =， 综上，当152t s =或12t s =时，DEF 为直角三角形．31、如图，ABC 和BDE 都是等腰直角三角形，90ACB DBE ∠=∠=︒，连接CD ，以CA ，CD 为邻边作CAFD ，连接CE ，BF ．（1）如图1，当D 在BC 边上时，请直接写出CE 与BF 的关系；（2）如图2，将图1中的BDE 绕点B 顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不存在，请说明理由；（3）若3AC =，2BD =，将图1中的BDE 绕点B 顺时针旋转一周，当BD 与直线BC 夹角为30°时，请直接写出CE 的值．21【分析】（1）证明△BEC ≌△DBF （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠BCE=∠DFB ，则可得到结论；（2）延长FD 交BC 于点G ，证明△CBE ≌△△FDB （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠ECB=∠BFG ，则可得出结论；（3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案；【详解】（1）CE BF =，CE BF ⊥；如图，设CE 与BF 相交于点M ，∵△ABC 和△BDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DBE=90°，∴AC=BC ，DE=DB ，∵四边形CAFD 是平行四边形，∴CA=DF=BC ，CA ∥DF ，∠ACB=∠FDB ，∴∠CBE=∠FDB=90°，∴△BEC ≌△DBF （SAS ），∴CE=BF ，∠BCE=∠DFB ，∵∠DFB+∠DBF=90°，∴∠BCE+∠DBF==90°，∴∠CMB=90°，∴CE BF ⊥．（2）成立 证明：如图，延长FD 交BC 于点G ．四边形ACDF 是平行四边形，//AC FD ∴，AC FD =，90DGB ACB ∴∠=∠=︒，FDB DGB DBG ∴∠=∠+∠，90FDB DBG ∴∠=︒+∠，90DBE ∠=︒，90CBE DBG ∴∠=︒+∠，FDB CBE ∠=∠， ABC 是等腰直角三角形，AC BC ∴=，又AC DF =，BC DF ∴=，BD BE =，CBE FDB ∴≌，CE BF ∴=，ECB BFG ∠=∠，90BFG FBG ∠+∠=︒，90ECB FBG ∴∠+∠=︒，CE BF ∴⊥．（3）如（2）题图，由（2）知∠DGB=90°，BF=CE ，∵∠DBC=30°，BD=2，∴DG=1，3，∵AC=3，AC=DF ，∴FG=DF+DG=3+1=4， ∴()22224319BF FG BG =+=+=，∴19，如图所示，延长CB 交DF 于点M ，∵AC ∥DF ，AC ⊥BC ，∴BM ⊥DF ，∴∠BMF=∠BMD=90°，∵∠MBD=30°，BD=2，∴DM=1，3 ，∵AC=DF=3，∴FM=DF-DM=3-1=2， ∴22347BF BM FM =+=+=，∴7 ，∴CE 719。
9.3 平行四边形(2)
∴（）。
【探索活动】
活动：1、在方格纸上画两条互相平行且相等的线段AD、BC，检验线段AB与DC是否互相平行？
二次备课
2、你所画的四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
归纳：一组对边的四边形是平行四边形。
3、你能用符号语言表示你发现的结论吗？
交流：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB。四边形ABCD是否是平行四边形？为什么？
课题：9.3平行四边形（2）
课型：新授主备人：董兰审核人：凌林授课时间：2014.12
【学习目标】
1．掌握平行四边形的判定方法；
2．能灵活应用平行四边形的三种判定方法解决简单的问题；
3.在对平行四边形性质的探索过程中，理解特殊与一般的关系，领会特殊事物的本质属性与其特殊性质的关系.
【学习重点】平行四边形的判定方法的探究过程及说理
【学习难点】利用图形的平移、旋转来说明平行四边形判定方法的合理性及利用中心对称的性质来说理。
【课前预习】
1、下列两个图形，可以组成平行四边形的是（）
A.两个等腰三角形B.两个直角三角形
C.两个锐角三角形D.两个全等三角形
2、在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：（只需填一个你认为正确的条件即可）。
【当堂训练】
1、对于四边形ABCD，如果从条件①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④BC=AD中选出2个，那么能说明四边形ABCD是平行四边形的有_______（填序号，填出符合条件的一种情况即可），理由是.
2、如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．
3．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠C，四边形ABCD是平行四边形吗？请证明你的结论。
9.3平行四边形(2)-苏科版八年级数学下册培优训练
9.3平行四边形(2)-苏科版八年级数学下册 培优训练一、选择题1、在四边形ABCD 中，AD||BC ，若ABCD 是平行四边形，则还应满足（ ）A. 180A C ︒∠+∠=B.B D 180︒∠+∠=C. A B 180︒∠+∠=D.180A D ︒∠+∠=2、下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB ∥CD ，AD ＝BC B ．AB ＝AD ，CB ＝CDC ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．∠B ＝∠C ，∠A ＝∠D3、在下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D B ．∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°C ．∠A ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠C ＝180°D ．∠A ＋∠B ＝180°，∠C ＋∠D ＝180°4、要使四边形ABCD 是平行四边形,则∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可能为 ( )A.2∶3∶6∶7B.3∶4∶5∶6C.3∶3∶5∶5D.4∶5∶4∶55、如图，下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AD ∥BC ，AB ∥CD B ．AB ∥CD ，AB ＝CDC ．AD ∥BC ，AB ＝DC D ．AB ＝DC ，AD ＝BC(5题) (6题) (8题)6、如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，AD 上的点，有下列条件：①AE ∥CF; ②BE ＝FD;③∠1＝∠2; ④AE ＝CF . 若要添加其中一个条件，使四边形AECF 一定是平行四边形，则添加的条件可以是( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①③④7、在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB ＝CD ；④AD ＝BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有( )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种8、如图,E 是▱ABCD 的边AD 延长线上一点,连接BE ,CE ,BD ,BE 交CD 于点F .添加以下条件,不能判定四边形BCED 为平行四边形的是 ( )A.∠ABD =∠DCEB.DF =CFC.∠AEB =∠BCDD.∠AEC =∠CBD9、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE 是平行四边形的个数是( )①图甲，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ； ②图乙，DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC ；③图丙，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点； ④图丁，E 是AB 上一点，EF ⊥AB .A ．3个B ．4个C ．1个D ．2个10、如图在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点作EF ∥BC ，GH ∥AB ，图中面积相等的平行四边形有_____对．A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对(10题) (11题)二、填空题11、如图，以∆ABC 的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧，再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两引交于点D ，连接AD ，CD.若∠B=65，则∠ADC 的大小为________12、四边形ABCD 中，已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加条件13、在四边形ABCD 中,AB =CD ,请添加一个条件 ,使得四边形ABCD 是平行四边形.14、一个四边形的边长依次是a ,b ,c ,d ,且a 2+b 2+c 2+d 2=2ac +2bd ,则这个四边形是 ,依据是 .15、如图，ABCD 中，60ABC ︒∠=，E ，F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE ⫽BD,EF ⊥BC,EF=3,AB的长为________(15题) (17题)16、在平面直角坐标系xOy中,▱OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0)、B(4,2),则其第四个顶点的坐标是.17、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6 cm,P、Q分别从A、C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动, 秒后,四边形ABQP是平行四边形.18、在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-2,4)、(-5,2),点M在x轴上,点N在y轴上.如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,那么符合条件的点M有个.19、如图,平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止),在运动以后,以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有次.(19题) (20题)20、如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为．三、解答题21、已知：如图，在四边形ABCD中，AB||CD，对角线AC，BD相交于点0，BO=DO，求证：四边形ABCD是平行四边形.22、已知：如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF＝CE.23、如图，在ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边∆ADE和等边∆BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形24、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．25、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：(1)△ADF≌△ECF；(2)四边形ABCD是平行四边形．26、如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．9.3平行四边形(2)-苏科版八年级数学下册 培优训练（答案）一、选择题1、在四边形ABCD 中，AD||BC ，若ABCD 是平行四边形，则还应满足（ ）A. 180A C ︒∠+∠=B.B D 180︒∠+∠=C. A B 180︒∠+∠=D.180A D ︒∠+∠= 答案： 结合平行四边形判定法则，可知还需要满足AB||CD ，可知应该满足0180A D ∠+∠=，故选D2、下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( C )A ．AB ∥CD ，AD ＝BC B ．AB ＝AD ，CB ＝CDC ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．∠B ＝∠C ，∠A ＝∠D3、在下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( D )A ．∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D B ．∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°C ．∠A ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠C ＝180°D ．∠A ＋∠B ＝180°，∠C ＋∠D ＝180°4、要使四边形ABCD 是平行四边形,则∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可能为 ( )A.2∶3∶6∶7B.3∶4∶5∶6C.3∶3∶5∶5D.4∶5∶4∶5答案D 根据平行四边形的判定:两组对角分别相等的四边形是平行四边形,可知只有D 正确.5、如图，下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是(C )A ．AD ∥BC ，AB ∥CD B ．AB ∥CD ，AB ＝CDC ．AD ∥BC ，AB ＝DC D ．AB ＝DC ，AD ＝BC6、如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，AD 上的点，有下列条件：①AE ∥CF; ②BE ＝FD;③∠1＝∠2; ④AE ＝CF . 若要添加其中一个条件，使四边形AECF 一定是平行四边形，则添加的条件可以是(B )A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①③④7、在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB ＝CD ；④AD ＝BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有( B )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种8、如图,E 是▱ABCD 的边AD 延长线上一点,连接BE ,CE ,BD ,BE 交CD 于点F .添加以下条件,不能判定四边形BCED 为平行四边形的是 ( )A.∠ABD =∠DCEB.DF =CFC.∠AEB =∠BCDD.∠AEC =∠CBD答案C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,AB ∥CD ,∴DE ∥BC ,∠ABD =∠CDB ,A.∵∠ABD =∠DCE ,∴∠DCE =∠CDB ,∴CE ∥DB ,∴∠DCE =∠CDB ,∴BD ∥CE ,∴四边形BCED 为平行四边形,故A 不符合题意;∵DE ∥BC ,∴∠DEF =∠CBF ,在△DEF 与△CBF 中,∠DEF =∠CBF ,∠DFE =∠CFB ,若添加DF =CF ,则△DEF ≌△CBF (AAS),∴EF =BF ,又∵DF =CF ,∴四边形BCED 为平行四边形,故B 不符合题意;∵AE ∥BC ,∴∠AEB =∠CBF ,C.∵∠AEB =∠BCD ,∴∠CBF =∠BCD ,∴CF =BF ,同理,EF =DF ,∴不能判定四边形BCED 为平行四边形,故C 符合题意;∵AE ∥BC ,∴∠DEC +∠BCE =∠EDB +∠DBC =180°,D.∵∠AEC =∠CBD ,∴∠BDE =∠BCE ,∴四边形BCED 为平行四边形,故D 不符合题意, 故选C.9、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE 是平行四边形的个数是(A )①图甲，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ； ②图乙，DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC ；③图丙，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点； ④图丁，E 是AB 上一点，EF ⊥AB .A ．3个B ．4个C ．1个D ．2个10、如图在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点作EF ∥BC ，GH ∥AB ，图中面积相等的平行四边形有__B ___对．A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对二、填空题11、如图，以∆ABC 的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧，再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两引交于点D ，连接AD ，CD.若∠B=65 ，则∠ADC 的大小为________答案：结合平行四边形判定，对边相等的四边形为平行四边形，可知065ADC ∠=12、四边形ABCD 中，已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加条件AB ∥CD 或∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D13、在四边形ABCD 中,AB =CD ,请添加一个条件 ,使得四边形ABCD 是平行四边形.解析 ∵AB =CD ,∴当AD =BC ,或AB ∥CD 时,四边形ABCD 是平行四边形.(答案不唯一)14、一个四边形的边长依次是a ,b ,c ,d ,且a 2+b 2+c 2+d 2=2ac +2bd ,则这个四边形是 ,依据是 .答案 平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形解析 由已知得a 2+b 2+c 2+d 2-2ac -2bd =(a 2+c 2-2ac )+(b 2+d 2-2bd )=(a -c )2+(b -d )2=0,∴a =c ,b =d .∴该四边形为平行四边形.依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形15、如图，ABCD 中，60ABC ︒∠=，E ，F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE ⫽BD,EF ⊥BC,EF=3,AB 的长为________解：因为四边形ABCD 是平行四边形，,ABDC AB CD ∴=‖， AE BD ‖，∴四边形ABDE 是平行四边形，AB DE CD ∴==，即D 为CE 中点，EF BC ⊥，90EFC ︒∴∠=，ABCD ‖，60DCF ABC ︒∴∠=∠=， 30CEF ︒∴∠=，3EF =2CE ∴=，∴AB=116、在平面直角坐标系xOy 中,▱OABC 的三个顶点O (0,0)、A (3,0)、B (4,2),则其第四个顶点的坐标是.解析∵O(0,0),A(3,0),∴OA=3,∵四边形OABC是平行四边形,∴BC∥OA,BC=OA=3,∵B(4,2),∴点C的坐标为(4-3,2),即C(1,2).故答案为(1,2).17、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6 cm,P、Q分别从A、C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动, 秒后,四边形ABQP是平行四边形.解析设t秒后,四边形APQB是平行四边形,则AP=t cm,QC=2t cm,BQ=(6-2t)cm,∵AD∥BC, ∴AP∥BQ,当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,∴t=6-2t,∴t=2,当t=2时,AP=BQ=2<BC<AD,符合.综上所述,2秒后,四边形ABQP是平行四边形18、在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-2,4)、(-5,2),点M在x轴上,点N在y轴上.如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,那么符合条件的点M有个.解析如图所示.当AB平行且等于N1M1时,四边形ABM1N1是平行四边形;当AB平行且等于N2M2时,四边形ABN2M2是平行四边形;当AB为对角线时,四边形AN3BM3是平行四边形.故符合题意的点M有3个.19、如图,平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止),在运动以后,以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有次.解析设经过t秒,以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形,如图,∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形,∴DP=BQ,分为以下情况:①点Q的运动路线是C-B时,可列方程为12-4t=12-t,解得t=0,此时不符合题意;②点Q的运动路线是C-B-C时,可列方程为4t-12=12-t,解得t=4.8;③点Q的运动路线是C-B-C-B时,可列方程为12-(4t-24)=12-t,解得t=8;④点Q的运动路线是C-B-C-B-C时,方程为4t-36=12-t,解得t=9.6;⑤点Q的运动路线是C-B-C-B-C-B时,可列方程为12-(4t-48)=12-t,解得t=16,此时P点走的路程为16>AD,此时不符合题意.∴共3次.故答案为3.20、如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5，△ABD 、△ACE 、△BCF 都是等边三角形，则四边形AEFD 的面积为6 ．三、解答题21、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB||CD ，对角线AC ，BD 相交于点0，BO=DO ，求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明： AB CD ‖，ABO CDO,BAO DCO ∴∠=∠∠=∠，又BO DO =()AOB COD AAS ∴∆≅∆，AB CD ∴=，所以四边形ABCD 是平行四边形.22、已知：如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 的中点．求证：AF ＝CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴AE ＝CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴AF ＝CE.23、如图，在ABCD 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边∆ADE 和等边∆BCF ，连接BE ，DF.求证：四边形BEDF 是平行四边形证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，CD AB,AD CB,DAB BCD ∴==∠=∠又∵∆ADE 和∆CBF 都是等边三角形，∴AE=DE=AD=BC=CF=FB,∠DAE=∠BCF=60,∴∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE,即∠DCF=∠BAE,()DCF BAE SAS ∴≅，DF BE ∴=,又∵DE=FB, ∴四边形BEDF 是平行四边形.24、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE.求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAC ，∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴∠AEB ＝∠DFC ，在△AEB 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DCF ＝∠EAB ，AE ＝CF ，∠DFC ＝∠AEB ，∴△AEB ≌△CFD(ASA)，∴AB ＝CD ，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．25、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，延长BC 到E ，使CE ＝BC ，连接AE 交CD 于点F ，点F 是CD的中点．求证：(1)△ADF ≌△ECF ；(2)四边形ABCD 是平行四边形．证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠DAF ＝∠E ，∵点F 是CD 的中点，∴DF ＝CF ，在△ADF 与△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠E ∠AFD ＝∠EFC DF ＝CF，∴△ADF ≌△ECF(AAS) (2)∵△ADF ≌△ECF ，∴AD ＝EC ，∵CE ＝BC ，∴AD ＝BC ， ∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形26、如图，在四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE ＝∠BAD ，AE ⊥AC .(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；(2)如果DA 平分∠BDE ，AB ＝5，AD ＝6，求AC 的长．(1)证明：∵AE ⊥AC ，BD 垂直平分AC ，∴AE ∥BD ，∵∠ADE ＝∠BAD ，∴DE ∥AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形；(2)解：∵DA 平分∠BDE ，∴∠ADE ＝∠ADB ，∴∠BAD ＝∠ADB ，∴AB ＝BD ＝5，设BF ＝x ，则52－x 2＝62－(5－x )2，解得x ＝75， ∴AF ＝AB 2－BF 2＝245，∴AC ＝2AF ＝485.。
平行四边形的判定PPT课件
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
利用边判定平行四边形
例1 已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC（平行四边形的对边 平行且相等）. ∵AE=CF， ∴AD-AE=BC-CF，即 DE=BF. ∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形）.
B
C
∠BCA=∠DAC，
CA=AC，
∴ △BCA≌△DAC，∴ ∠BAC= ∠DCA. ∴ AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的 四边形是平行四边形）.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
利用边判定平行四边形
平行四边形的判定定理一： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
E
D
四边形ABDE、BCDE为平行四边形.
A
B
C
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
利用边判定平行四边形
问题2 在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.四边形ABCD是平行
四边形吗？证明你的结论.
证明：连接AC. 在△ABC和△CDA中，
A
D
AB=CD（已知）， AD=CB （已知）， AC=CA （公共边），
A
D
B
C
你能证明所画四边形ABCD是平行四边形吗？
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
利用边判定平行四边形
问题1.2 已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
A
D
苏科版八年级数学下册平行四边形课件
D
C
E
例题
已知：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF.
求证：四边形EBFD是平行四边形．
O
思考：你还有其他方法证明吗？
如图，已知在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
延长OB到点E,OD到点F,使BE=DF 求证：四边形AECF是平行四边形。
如图，已知在□ABCD中，对角线
2. 在直线a上截取OA=OC，在直线b上截取
OB=OD，连接AB、BC、CD、DA.
所画的四边形ABCD是平行四边形吗？
a
A O
B
b
D C
新知应用
如图:AD是ΔABC的边BC边上的中线.
(1)画图:延长AD到点E,
使DE=AD,连接BE,CE;(2)判断四边形 NhomakorabeaBEC的
A
形状,并说明理由.
(3)若AB=8,AC=6,求 B AD的取值范围
AC，BD交于点O，点E，F，G，H分 别是OB ，OC，OD，OA的中点，求 证：四边形EFGH是平行四边形。
已知,如图,在□ABCD中,对角线AC
、BD相交于点O，G、H分别是OB、 OD的中点，直线EF过点O分别交BC、 AD于点E、F
求证：四边形GEHF是平行四边形
讨论交流
如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形 ABCD不是平行四边形.试证明这个结论.
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
谢谢
9.3 平行四边形
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，要使 四边形ABCD为平行四边形，需要添加一个 条件是：___________________________.
9.3 平行四边形 第一课时【培优题】
9.3 平行四边形第一课时【培优题】（满分100分时间：40分钟）班级姓名得分【知识点回顾】1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分；【课时练习】一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．（2020·重庆实验外国语学校八年级月考）如图，将平行四边形ABCD绕点D逆时针旋转150°，得到平行四边形DEFG，这时点C，E，G恰好在同一直线上，延长AD交CG于点H．若AD＝2，∠A＝75°，则HG的长是（ ）A B．C．3+D．3+【答案】D【分析】证明△CDG是顶角为150°的等腰三角形，再证明DH⊥CG，由直角三角形的性质求出DH，进而解决问题．【详解】解：由题意：∠ADE＝150°，AD＝DE＝2，∴∠EDH＝30°，∵AB ∥CD ，∴∠CDH ＝∠A ＝75°，∵∠CDG ＝150°，∴∠CDH ＝∠GDH ＝75°，∵DC ＝DG ，∴DH ⊥CG ，∴EH ＝12DE ＝1，DH EH 在CG 上取一点k ，使得DK ＝GK ，∵∠KDG ＝∠KGD ＝15°，∴∠DKH ＝15°+15°＝30°，∴KG ＝DK ＝2DH ＝，HK ＝3，∴HG ＝HK +KG ＝故选：D ．【点睛】本题考查旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．（2019·长春市第五十二中学八年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AG BC ⊥于G ，作AH CD ^于H ，且45GAH Ð=°，2AG =，3AH =，则平行四边形的面积是（ ）A ．B ．C ．6D ．12【答案】A【分析】设B x Ð=，先根据平行四边形的性质可得,180,D B x BAD x AB CD Ð=Ð=Ð=°-=，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得45x =°，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得AB =，从而可得CD =，最后利用平行四边形的面积公式即可得．【详解】设B x Ð=，Q 四边形ABCD 是平行四边形，,180180,D B x BAD B x AB CD \Ð=Ð=Ð=°-Ð=°-=，,AG BC AH CD ^^Q ，9090,9090BAG B x DAH D x \Ð=°-Ð=°-Ð=°-Ð=°-，又180,45BAG DAH BAD GAH x GAH Ð+°-Ð+Ð=ÐÐ=°=Q ，909100458x x x °-+°-=\°+°-，解得45x =°，即45B Ð=°，Rt ABG \V 是等腰直角三角形，2,BG AG AB \====CD \=，\平行四边形ABCD 的面积是3AH CD ×=´=，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．3．（2019·四川南充市·九年级一模）如图，ABCD Y 与的BCEF Y 周长相等，且60,100BCD E °°ÐÐ＝＝，则AFB Ð的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】A【分析】根据ABCD Y 与的BCEF Y 周长相等，且BC BC =,可得两个四边形的边AB BF =，进而可得△ABF 为等腰三角形；由60,100BCD E °°ÐÐ＝＝，可得120ABC Ð=°,100CBF E ==°∠∠，根据周角定理可得180140ABF ABC CBF =°--=°∠∠∠；在等腰三角形ABF 中即可求得AFB Ð的度数．解：∵ABCD Y 与的BCEF Y 周长相等，且BC BC =,∴AB BF =,∴BAF BFA Ð=Ð；∵60,100BCD E °°ÐÐ＝＝，∴120ABC Ð=°,100CBF E ==°∠∠,∴180180120100140ABF ABC CBF =°--=°-°-°=°∠∠∠,∴=(180140)2=20AFB а-°¸°；故选：A ．【点睛】本题主要考查了平四边形邻角与对角的性质及三角形内角和定理等．4．（2020·江苏徐州市·八年级期末）在ABCF Y 中，2BC AB =，CD AB ^于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE Ð=°，则B Ð的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】D【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 的度数．解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，∵四边形ABCF 是平行四边形，∴AB ∥CF ，AB ＝CF ，∴∠NAE ＝∠F ，∵点E 是的AF 中点，∴AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE F AE FEAEN FEC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△NAE ≌△CFE （ASA ），∴NE ＝CE ，NA ＝CF ，∵AB ＝CF ，∴NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝BN ，∠N ＝∠NCB，∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝12NC＝NE，∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．5．（2020·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级三模）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（）A．6个B．7个C．9个D．11个【答案】D【分析】根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答案．【详解】解：根据题意得：一共11个面积为4的阵点平行四边形．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定得出结论是解题的关键．6．（2020·广西来宾市·八年级期中）如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是( )①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③2BEC CEFS SD D<；④∠DFE=4∠AEFA．①②③④B．①②③C．①②D．①②④【答案】B【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，A FDMAF DFAFE DFMÐ=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M．∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．∵FM=EF，∴EF=CF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故③正确；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．故答案为B．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题的关键．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）7．（2020·山东潍坊市·东埠初中八年级月考）在ABCD Y 中，8AB =，AE 平分BAD Ð交BC 于点E ，DF 平分ADC Ð交BC 于点F ，且2EF =，则AD 的长为_________．【答案】18或14【分析】根据平行线的性质得到∠DAE ＝∠AEB ，由AE 平分∠BAD ，得到∠BAE ＝∠DAE ，等量代换得到∠BAE ＝∠AEB ，根据等腰三角形的判定得到AB ＝BE ，同理CF ＝CD ，根据平行四边形的性质得到AB ＝CD ，AD ＝BC ，即可得到结论．【详解】解：①如图1，在□ABCD 中， AB ＝CD ＝8， AD ＝BC ，BC ∥AD ，∵AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∵BC ∥AD ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，同理，CF ＝CD ，∵EF ＝2，∴BC ＝BE +CF ﹣EF ＝2AB ﹣EF ＝14，∴AD ＝14；②如图2，在□ABCD中，AB＝CD＝8，AD＝BC，BC∥AD，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∵BC∥AD，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，同理，CF＝CD，∵EF＝2，∴BC＝BE+CF+EF＝2AB+EF＝18，∴AD＝18；综上所述：AD的长为14或18．故答案为：14或18．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA＝BE ，CF ＝CD ．8．（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）已知点(1,0)A 函数1y x =+的图象上有两个动点P Q 、，且PQ =，则四边形OPQA 的周长最小值是____________．【答案】1++【分析】如图（见解析），先利用平行四边形的判定与性质可得PB AQ =，再利用轴对称的性质可得PC PB =，然后根据两点之间线段最短可得OP PC +的最小值为OC ，最后利用一次函数的性质、两点之间的距离公式求出OC 的长，由此即可得．【详解】如图，过点A 作PQ 的平行线，过点P 作AQ 的平行线，两平行线交于点B ，作点B 关于直线1y x =+的对称点C ，连接PC 、OC 、BC ，其中BC 交直线1y x =+于点D ，//,//AB PQ PB AQ \，\四边形ABPQ 是平行四边形，,PB AQ AB PQ \===由轴对称的性质得：,BC PQ PC PB ^=，AQ PC \=，(1,0)A Q ，1OA \=，\四边形OPQA 的周长为1OA PQ AQ OP PC OP +++=++，则要使四边形OPQA 的周长最小，只需PC OP +最小，由两点之间线段最短得：当点,,O P C 共线时，PC OP +取最小值，最小值为OC ，//AB PQ Q ，\设直线AB 的函数解析式为y x a =+，将点(1,0)A 代入得：10a +=，解得1a =-，则直线AB 的函数解析式为1y x =-，设点B 的坐标为(,1)B b b -，则AB ==解得2b =-或4b =（不符题意，舍去），(2,3)B \--，BC PQ ^Q ，\设直线BC 的函数解析式为y x c =-+，将点(2,3)B --代入得：23c +=-，解得5c =-，则直线BC 的函数解析式为5y x =--，联立51y x y x =--ìí=+î，解得32x y =-ìí=-î，(3,2)D \--，设点C 的坐标为(,)C m n ，Q 点B 、C 关于直线1y x =+对称，\点D 为BC 的中点，232322m n -+ì=-ïï\í-+ï=-ïî，解得41m n =-ìí=-î，(4,1)C \--，PC OP \+的最小值OC ==，则四边形OPQA的周长最小值为11OC +=++故答案为：1++．．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、一次函数的几何应用、轴对称的性质等知识点，利用平行四边形的性质和轴对称性的性质找出PC OP +的最小值是解题关键．9．（2020·宁波市海曙区储能学校八年级期末）在平行四边形ABCD 中，BC边上的高为4 ，AB=5 ，AC=，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．【答案】12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2CE=，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：3BE===,∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2CE =，在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：3BE ===,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD 的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD 的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．10．（2020·江苏无锡市·九年级月考）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ，点E 为AD 的中点，连接BE 、CE ，且BE ＝BC ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为点F ，若BF ＝2EF ，则BC 的长＝________．【答案】【分析】过点C 作CG AD ^于点G ，由平行四边形的性质可得：//AD BC ，AB ＝，AD=BC ，由平行线性质可得：BCE DEC Ð=Ð，由BE ＝BC 可得：BCE BEC Ð=Ð，进而可得=BEC DEC ÐÐ，用AAS 可证EFC EGC @V V ，可得EF=EG ，FC=GC ，由BF ＝2EF 可设EF=x ，则BF=2x ，BC=BE=3x ，在Rt BFC △中，由勾股定理可求FC 的长度，故可得CG 和DG 的长度， 在Rt CDG V 中，由勾股定理可列方程解出x 即可求出．【详解】如图所示，过点C 作CG AD ^于点G ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ，AB ＝，AD=BC ，∴BCE DEC Ð=Ð，∵BE ＝BC ，∴BCE BEC Ð=Ð，∴=BEC DEC ÐÐ，又∵90EFC EGC Ð=Ð=°，EC=EC ，∴EFC EGC @V V ，∴EF=EG ，FC=GC ，∵BF ＝2EF ，∴设EF=x ，则BF=2x ，BC=BE=3x ，在Rt BFC △中，FC ==，∴，EG=EF=x ，∵E 为AD 中点，∴ED= 12BC= 32x ，∴DG=3122x x x -=，在Rt CDG V 中，，DG=12x ，，∴)22212x æö+=ç÷èø，解得：x =，∴BC=3x = ．故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，根据已知条件作出适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级期末）已知ABCD Y ，45A Ð=°，AD BD ^，M 为CD 上的一点．（1）如图1，若60MBD Ð=°，4MB =，求AD 的长；（2）如图2，过点M 作MF 垂直MBC Ð的平分线于点F ，过点D 作DE CD ^交FM 的延长线于点E ，连接BE 交CD 于点N ，若MB 平分NMF Ð，EN MN =2CN BN+=【答案】(1)，(2) 证明见详解．【分析】(1)过M 作MG ⊥BC 于G ，利用平行四边形的性质得AD=BC ，∠C=45º， 得MG=CG ，由60MBD Ð=°，可求∠MBG=30º，利用30°角所对直角边，求出CG=MG=2，再由勾股定理可得BG=，可求BC=BG+CG=即可，(2)过B 作BH ⊥DC 于H ，由MB 平分NMF Ð，可证△MHB ≌△MFB （AAS ）得BH=BF ，∠HBM=∠FBM ，由FB 平分∠MBC ，∠FBM=∠FBC ，由∠C=45º，求∠HBC=45º，得BH=HC ，∠HBM=∠FBM=∠FBC=15°，可求∠HBF=30º，利用四边形内角和求∠NMF=150º，利用平角求∠EMN=180º-∠NMF=30º，由EN=MN ，得∠NEM=∠NME=30º，由DE CD ^，求∠DEM=90º-∠EMN=60º，∠DEN=30º，利用勾股定理求，把△BDE 绕着点B 顺时针旋转90º到△BCE′，则,∠E′=∠E=30′，先证N ，C ，E′三点共线，再通过计算可证∠NBE′=90º，利用30°角直角三角形性质得出即可．【详解】(1)过M 作MG ⊥BC 于G ，∵ABCD Y ,∴AD=BC ，∠C=∠A=45º，∴MG=CG ，∵AD BD ^，∴BC BD ^，∴∠DBC=90º，∵60MBD Ð=°，∴∠MBG=90º-∠MBD=30º，在Rt △BMG 中，∵4 MB=，∴MG=11BM=4=2 22´，由勾股定理=，∴CG =MG=2，∴BC=BG+CG=，∴AD=BC=，(2)过B作BH⊥DC于H，∵MB平分NMFÐ，∴∠HMB=∠FMB，∵MF⊥BF，∠MHB=∠MFB，MB=MB，∴△MHB≌△MFB（AAS）∴BH=BF，∠HBM=∠FBM，∵FB平分∠MBC，∴∠FBM=∠FBC，∴∠C=45º，∴∠HBC=45º，∴BH=HC，∠HBM=∠FBM=∠FBC=145=153´°°，∴∠MBC=152=30°´°，∴∠HBF=45º-15º=30º，∴∠NMF=360º-90º-90º-30º=150º，∴∠EMN=180º-∠NMF=30º，∵EN=MN，∴∠NEM=∠NME=30º，∵DE CD^，∴∠DEM=90º-∠EMN=60º，∴∠DEN=∠DEM-∠NEM=60º-30º=30º，再Rt△DEN中∵∠DEN=30º，∴EN=2DN，由勾股定理DE= ==，把△BDE绕着点B顺时针旋转90º到△BCE′，则,∠E′=∠E=30′，∵∠BDE=∠EDC+∠CDB=90°+45°=135°，∵∠DCB=45°，∴∠DCB+∠BCE′=45°+135°=180°，∴N 、C 、E′三点共线，∵∠END=180º-∠EDN-∠DEN=180º-90º-30º=60º，∴∠BNE′=∠END=60º，∵∠E′NB+∠E′=60º+30º=90º，∴∠NBE′=180º-∠E′NB-∠E′=90º，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等，三角形旋转变换，直角三角形中30°角的性质，线段的和差等知识，只有很好的掌握这些知识，准确作出辅助线构造图形是解题关键．12．（2020·重庆市南川中学校九年级月考）如图1，已知四边形ABCD 是平行四边形，其中45B Ð=°，CE AD ^于G ，交BA 延长线E ，CF 平分DCE Ð，连接EF ，ED .（1）如图1，若6AB =，AD =，求DGE △的面积.（2）如图2，若90CFE Ð=°，求证：2CD DF =.（3）如图3，在（2）的条件下，若FG =M ，N 是线段CF ，CD 上的动点，求DM MN +的最小值.【答案】（1）4；（2）证明见详解；（3【分析】（1）证明EBC V 和CDG V 为等腰直角三角形，即可得解；（2）延长EF 交CD 于点M ，证明CEF CMF D D ≌和AEF DMF D D ≌即可得解；（3）根据角平分线的性质和轴对称的性质求解即可；【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB CD =，45B A D C Ð=Ð=°∵CE AD^∴EBC D 和CDG D 为等腰直角三角形，∴==C G D G ，===B C C E A D∴EG =，∴D =´´=142D G E S ；（2）延长EF 交CD 于点M∵∠MCF=∠ECF ，CF=CF ，∠CFE=∠CFM∴CEF CMFD D ≌∴CE CM CB AD ===，EF=MF又∵∠EAF=∠FDM ，∠EFA=∠DFM∴AEF DMF D D ≌，∴DF AF =，AE DM=∴2AD BC CM DF===∵AE =∴2CD DF =+（3）∵CF 平分DCE Ð，∴D 关于CF 的对称点D ¢在直线EC 上，过D ¢作DN C D ¢¢^于N ¢，则DM MN +最小，这时M 与F C D由（2）知==D F F ，∴()=+=+C D D F G F ，∴．【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理进行计算是解题的关键．13．（2020·沙坪坝区·重庆一中九年级开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE BC^交BC于点E，过点O作FG AB^交AB、CD于点F、G．（1）如图1，若5BC=，3OE=，求平行四边形ABCD的面积：（2）如图2，若45ACBÐ=°，求证：AF FO+=．【答案】（1）30；（2）见解析．【分析】（1）连接BD，求出S△OBC，再根据平行四边形的性质得出平行四边形的面积与S△OBC的关系求得结果；（2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，证明△OEG≌△CEH得OG=CH，EG=EH，再证明△OAF≌△OCG，得AF=CG，OF=OG，进而根据等腰直角三角形的性质得结论．【详解】解：（1）连接BD，∵平行四边形ABCD，∴BD过点O，∴S△OBC=12BC•OE=12×5×3=152，∴平行四边形ABCD的面积=4S△OBC=30；（2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，如图2，∵OE⊥BC，∴∠OEG+∠OEC=∠GEC+∠CEH=90°，∴∠OEG=∠CEH，∵∠ACB=45°，∴∠COE=45°，∴OE=CE，∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，又FG⊥AB，∴FG⊥CD，∴∠EOG+∠ECG=360°-90°-90°=180°，∵∠ECH+∠ECG=180°，∴∠EOG=∠ECH，∴△OEG≌△CEH（ASA），∴OG=CH，EG=EH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠OAF=∠OCG，∵∠AOF=∠COG，∴△OAF≌△OCG（ASA），∴AF=CG，OF=OG，∵CG+CH=GH，∴AF+OF=GH，∵∠GEH=90°，EG=EH，∴EG，∴EG．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的面积公式，关键是证明全等三角形．14．（2020·宁波市海曙区储能学校八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着®®®路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点P，Q 同时出发，A B C D当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，问：（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？【答案】（1）254秒或252秒；（2）15秒【分析】(1)Q 点必须在BC 上时，A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q 点在BF 和Q 点在CF 上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q 点在AB 、BC 、CD 之间时逐个讨论即可求解．【详解】解：(1)∵以A 、Q 、F 、P 为顶点的四边形是平行四边形，且AP 在AD 上，∴Q 点必须在BC 上才能满足以A 、Q 、F 、P 为顶点的四边形是平行四边形∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，∵点F 是BC 的中点，∴BF=CF=12BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q 点在BF 上时，AP=FQ ，且AP=t ，FQ=35-3t ，故t =25-3t ，解得254t =；情况二：当Q 点在CF 上时，AP=FQ ，且AP=t ，FQ=3t-35，故t =3t -25，解得t=252；故经过254或252秒，以A 、Q 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形；(2)情况一：当Q点在AB上时，0<t<103，此时P点还未运动到AD的中点位置，故四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况二：当Q点在BC上且位于BF之间时，1025 33t<<，此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t，∵102533t<<，∴35-2t ＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况三：当Q点在BC上且位于FC之间时，2540 33t<<此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35∵254033t<<，∴4t-35＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况四：当Q点在CD上时，4050 33t<<当AP=BF=15时，t=15，1122 APF ABFP PFQ DCFP S S S SD D==且∴1+2APF PFQ AFPQ ABCDS S S SD D==，∴当t=15秒时，以A、Q、F、P为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD面积的一半，故答案为：15秒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．。
平行四边形的判定(课件)
八年级 下册
第九章 中心对称与中心对称图形
9.3.2 平行四边形的判定
平行四边形性质知识点回顾
概念： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
A
Ｄ
几何描述： ∵AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
性质： 平行四边形对边相等
平行四边形对角相等
平行四边形对角线互相平分
B
Ｃ
学习目标
∴ △ABC≌△CDA（SAS）．
∴
∠2=∠4．
∴
AB∥DC 而AD∥BC
∴
四边形ABCD是平行四边形．
Ｄ
B
4
Ｃ
与平行四边形判定有关的证明题
四边形ABCD中，AD=BC, AB∥CD，小王同学认为四边形ABCD是平行四
边形？小王给出了他的答案，你觉得他的答案是否正确？
A
连接AC
∵AB∥DC
∴∠2=∠4
课后回顾
课后回顾
01
02
03
谢谢~
②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中两个，以下组合能够判定四
边形ABCD是平行四边形的是（
）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【详解】
解：以①④作为条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，
∠＝∠
在△AOB和△COD中，
1
1
AB，FD= CD
2
2
∴EB=FD
∴四边形DEBF是平行四边形．
与平行四边形判定有关的证明题
如图，▱ABCD中E，F分别是AD，BC中点，AF与BE交于点G，CE和DF交于点H，
苏科版数学八年级下册9.3《平行四边形》说课稿1
苏科版数学八年级下册9.3《平行四边形》说课稿1一. 教材分析苏科版数学八年级下册9.3《平行四边形》是学生在学习了三角形、四边形的基础上，进一步研究平行四边形的性质和判定。
这一节内容是整个初中数学的重要知识点，也是后续学习几何图形的基础。
教材从学生的实际出发，通过观察、操作、猜想、验证等过程，引导学生发现平行四边形的性质，培养学生的几何思维能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了一定的几何图形知识，对三角形、四边形的性质有所了解。
但平行四边形的性质和判定较为复杂，需要学生通过观察、操作、思考、探究等活动，才能掌握。
因此，在教学过程中，教师要关注学生的认知水平，引导学生积极参与，提高学生的动手操作能力和几何思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行四边形的性质和判定方法，能运用平行四边形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平行四边形的性质和判定方法。
2.教学难点：平行四边形的判定方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生主动参与，提高学生的动手操作能力和几何思维能力。
2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等，帮助学生直观地理解平行四边形的性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形、四边形的性质，引出平行四边形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.探究平行四边形的性质：引导学生观察、操作、猜想、验证平行四边形的性质，总结出平行四边形的性质定理。
3.判定平行四边形：引导学生通过已知条件，判断一个四边形是否为平行四边形，总结出平行四边形的判定方法。
4.巩固练习：设计一些练习题，让学生运用所学的平行四边形的性质和判定方法解决问题，加深学生对知识的理解。
9.3平行四边形(2)
B
C
数学化认识：
平行四边形的判别方法： 判别方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 判别方法： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 判别方法： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
1.如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2， ∠3=∠4. 四边形ABCD是平行四边形吗？ 为什么？ A
在数学的天地里，重要的不是 我们知道什么，而是我们怎么知道 什么。
——毕达哥拉斯
沭阳如东实验学校
平行四边形的对称性： 平行四边形是中心对称图形 平行四边形的性质:
Ⅰ.边:
a.平行四边形两组对边分别平行. b.平行四边形两组对边分别相等. 平行四边形两组对角分别相等.
Ⅱ.角:
Ⅲ. 对角线: 平行四边形对角线互相平分.
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C， ∠B=∠D. 四边形ABCD是平行四边形吗？ 为什么？
A D
B
C
通过本节课的学习和探索，你有哪些收获? 1、从平移、中心对称、说理等不同角度探索 了平行四边形的判别方法． 2、平行四边形的判别方法： 两组对边分别平行 两组对边分别相等
一组对边平行且相等 两组对角相等的四边形是平行四边形．
2.如图，□ABCD中，AE⊥BD于E， CF⊥BD于F, 求证：四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
A F E B C D
在四边形ABCD中,若分别给出四个条件: ⑴AB∥CD ⑵AD=BC ⑶AB=CD ⑷AD∥BC 现在，以其中的两个为一组，能判别四边形ABCD为 平行四边形的条件是 ⑴⑶ 、⑴⑷ 、⑵⑶ 或 ⑵⑷ (只填序号)
A
D
B
C
学校买了四棵树，准备栽在花园里， 已经栽了三棵（如图），现在学校希望这 四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第 四棵树应该栽在哪里呢？
9.3 平行四边形(2)
B
F
C
你还有其他方法证明例题吗？ 拓展延伸 如图，在□ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂 足分别是 E、F，求证：四边形 AECF 是平行 四边形．
A F
E
D
通过练习设置，使学生 在运用新知识的过程中 能够进行有条理的思考 并进行简单的推理．
B
C
布置 作业
课堂作业 下节课预习内容
课后作业
教后感
尊重主体
教材 第 课 题
面向全体
先学后教
当堂训练
科研兴教
力求高效
年 月 日
课（章） 第
节（单元） 第
课时，总 课时
9.3 平行四边形（2）
教学模式
教 学 目 标 （认知 技能 情感）
1．经历探索平行四边形条件的过程，会利用定理判定四边形是平行四边形； 2．在探索平行四边形条件的过程中能够进行有条理的思考并进行简单的推理； 3．经历操作、探索、合作、交流等活动，营造和谐、平等的学习氛围． 平行四边形条件的过程的探索及应用． 平行四边形条件的探索
合 作 探 究
你能证明所画四边形 ABCD 是平行四边 形 吗？ 利用网格画图，学生能 够容易得出结论．
-1-
教 学 环 节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内 容）
教师施教提要 （启发、 精讲、 活动等）
再次 优化
合
作
讨论交流 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC， AD＝BC． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 通过学生操作、思考， 利用平行四边形的概 C D 念，进一步证明了一组 对边平行且相等的四边 形是平行四边形，从而 A B 加深学生的理解． 定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形． 几何语言： ∵AD//BC，AD＝BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 探索活动 在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC． 四边形 ABCD 是平行四边形吗？证明你的结 论．
苏科版八年级数学第九章中心对称图形,平行四边形教案
9.2 中心对称与中心对称图形（1）教学目标 1．经历观察、操作、分析等数学活动过程，通过具体实例认识中心对称，知道中心对称的性质；2．类比轴对称与轴对称图形的关系，认识中心对称图形，知道中心对称图形的性质． 教学重点 认识中心对称与中心对称图形，知道它们的性质，并掌握作图的技能． 教学难点探索中心对称的性质．教学过程（教师）学生活动设计思路情境创设：“双鱼”剪纸作品是由两个形状、大小完全相同的图案组成的，这两个图案的位置有怎样的特殊关系？怎样改变其中一个图案的位置，可以使它与另一个图案重合？学生观察思考，并积极作答： 将其中一个图形绕着连线的中点旋转180°能够和另一个图形重合．探索活动一：1．用透明纸覆盖在图1上，描出四边形ABCD ．2．用大头针钉在点O 处，把四边形ABCD 绕点O 旋转180°，你能发现什么？D'C'B'DCBoA'A（图1）一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．这个点叫做对称中心．学生动手操作，观察发现，踊跃回答．四边形ABCD 与A′B′C′D′四边形重合．探索活动二：1．如图2，点A 与点A′关于点O 对称，连接A A′，你能发现什么？oA'A（图2）2．在图1中分别连接A A′、B B′、C C′、D D′，你发现了什么？小组讨论，代表回答． 1．（1）点A 绕点O 旋转180°后与点A′重合．（2）OA=OA′；（3）∠AO A′=180°，点O 在A A′上．2．（1）A A′、B B′、C C′、D D′都经过点O ．（2）OA ＝OA′，OB ＝OB′， OC ＝OC′， OD ＝OD′．9.2 中心对称与中心对称图形（2）教学目标1．经历观察、操作、分析等数学活动过程，通过具体实例认识中心对称图形，知道中心对称图形的特征；2．类比轴对称与轴对称图形的关系，认识中心对称图形，知道中心对称图形的性质．教学重点认识中心对称与中心对称图形，知道它们的性质，．教学难点探索中心对称与中心对称图形的区别于联系．教学过程（教师）学生活动二次备课及设计思路情境创设1、观察上面的图案有什么共同特征？2、在日常生活中，你还见到过具有这种特征的图案吗？试举例说明。
苏科版初中数学八年级下册《9.3 平形四边形》同步练习卷
苏科新版八年级下学期《9.3 平形四边形》同步练习卷一．解答题（共40小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．2．如图，在平行四边形ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F，求证：BE＝DF．3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，连结BD．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB＝90°，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．5．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．6．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE、EC，DE交BC 于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若BC⊥DE，试判断四边形DBEC的形状，并说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0）、B（3，0）、C（2，4），求以A、B、C三个点为顶点的平行四边形的第四个点D的坐标．8．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：求证：（1）△ABE是等边三角形；（2）△ABC≌△AED；（3）S△ABE ＝S△CEF．9．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F．（1）求证：BE＝BF；（2）若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．求证：AG＝CG；AG ⊥CG．10．如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE＝∠BCF，BF＝DE，∠A＝60°，连接EF．（1）若EF＝2，求△AEF的面积；（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．11．如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC＝60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF＝EB，G为BD延长线上一点，BG＝AB，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为9，求AB的长；（2）求证：AF＝GE．12．如图，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，AB＝5，AD＝7，点D关于直线AC的对称点为点E，连接AE与BC交于G．（1）证明：AG＝CG；（2）若平行四边形ABCD的面积为14，求BG的长．13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．（2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？14．如图1，以▱BMDC的两相邻边CB、CD为腰，在▱BMDC的外侧，作两个等腰Rt△CBF和Rt△CDH，则▱BMDC中与C相对的顶点M与这两等腰直角三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰直角三角形FMH．请证明△FMH 为等腰直角三角形．如图2，以▱BMDC的两相邻边CB、CD为腰，在▱BMDC的外侧，作两个等腰△CBF和△CDH，使其顶角∠CBF＝∠CDH＝α，则▱BMDC中与C相对的顶点M与两等腰三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰三角形，写出顶角∠FMH的度数．试说明理由．15．已知E为平行四边形ABCD中AB边上一点，且BE＝AB，连接DE交BC 于F，交AC于G．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）试探究OF与AB有什么位置关系和数量关系，并说明理由．16．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝AC，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，分别交BD、CD于点F、G．（1）求证：△ADB≌△CEA；（2）若BD＝9，求AF的长．17．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE（1）求证：BC＝CE；（2）若BC＝2，∠ABC＝120°，求DE的长．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．20．如图，在平面直角坐标系中，点M（14，0）是x轴上的点，点P的坐标是（9，12），连接OP，PM．（1）求线段PM的长；（2）在第一象限内找一点N，使四边形OPNM是平行四边形，画出图形并求出点N的坐标（保留作图痕迹）21．如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E 作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF＝FD；（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E，EH⊥AB，垂足为H，连接FH．求证：（1）CF＝CE（2）四边形CFHE是平行四边形．23．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标．24．△ABC是等边三角形，点D是射线上BC上的一个动点（点D不与点B，C重合，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE．如图1所示，当点D在线段BC上时．（1）求证：△AEB≌△ADC；（2）探究四边形BCGE是哪种特殊的四边形，并说明理由．如图2所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的结论是否成立．25．如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s 的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．26．如图，已知△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．（1）△ACD和△CBF全等吗？请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）当点D在线段BC上移动到何处时，∠DEF＝30°．27．以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点，连接AM和DE．（1）如图1，△ABC中∠BAC＝90°时，AM与ED大小的关系是．AM 与ED的位置关系是；（2）如图2，△ABC为一般三角形时线段AM与ED的关系是．试证明你的结论；（3）如图3，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段AM与DE之间的关系，不要求证明你的结论．28．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．29．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于G，F是AD的中点．（1）求证：四边形ADCE是为平行四边形；（2）若EB是∠AEC的角平分线，请写出图中所有与AE相等的边．30．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．求证：（1）AC＝EF；（2）四边形ADFE是平行四边形；（3）AC⊥DF．31．在平行四边形ABCD中，点E在CD上，点F在AB上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：四边形DFBE是平行四边形；（2）如图2，若E是CD的中点，连接GH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以GH为边或以GH为对角线的所有平行四边形．32．如图1，▱ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）如图2，小明在完成（1）的证明后继续进行了探索．连接AF、CE，分别交BE、FD于点G、H，得到四边形EGFH．此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图（图3）中补全他的证明思路，再在答题纸上写出规范的证明过程．33．如图，在等边△ABC中，点D在BC的延长线上，连接AD，∠ADN＝60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F，过点F作MF∥BC交射线AB于点M．（1）四边形BCFM是平行四边形吗？请说明理由；（2）求证：CF+CD＝BE；（3）若∠ADC＝30°，AB＝8，求BE、CD的长．34．如图，平行四边形ABCD是对角线AC、BD交于E点，DF∥AC，∠DFC ＝∠AEB，连接EF．（1）求证：DF＝AE；（2）求证：四边形BCFE是平行四边形．35．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，点E是BC的中点，连接AE，BD，若EA⊥AB，BC＝26，DC＝12，求△ABD的面积．36．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DH垂直平分AB交AC于点E，连接BE、CD，且CD＝CE．（1）如图1，求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）如图2，点F在AB上，且BF＝BC，连接BD，若BD平分∠ABC，试判断DF与AC的位置关系，并证明你的结论．37．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE ＝BC，连结DE、CF，连接BD交CF于点P．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求△DCE的周长；（3）在（2）的条件下，求△BPC的面积．38．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE＝AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？39．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？40．如图，以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD，△ACE，△BCF．（1）四边形AEFD是什么形状？（2）当△ABC满足条件时，四边形AEFD不存在；（3）在△ABC中，当AC＝3，AB＝4，BC＝5时，求四边形AEFD的面积．苏科新版八年级下学期《9.3 平形四边形》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．【分析】（1）利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积；（2）过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，判定△AME ≌△BNG（AAS），可得ME＝NG，进而得出BE＝GC，再判定△AFO≌△CEO（AAS），可得AF＝CE，即可得到DF＝BE＝CG．【解答】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又∵Rt△ABH中，BH＝＝，＝AE×BH＝×4×＝；∴S△ABE（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB ＝∠AME＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC ＝45°+α，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME和△BNG中，，∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，∴DF＝BE＝CG．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．2．如图，在平行四边形ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F，求证：BE＝DF．【分析】利用平行四边形的性子可得AD＝BC，AD∥BC，再利用平行线的性质可得∠DAF＝∠BCE．∠AFD＝∠CEB，利用AAS判定△AFD≌△CEB，进而可得BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE．又∵DF∥BE∴∠AFD＝∠CEB，在△AFD和△CEB中，∴△AFD≌△CEB（AAS），∴BE＝DF．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等且平行．3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB、CD的中点，连结BD．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB＝90°，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠A＝∠C，DC＝AB，再结合条件可得AE＝CF，再利用SAS证明△ADE≌△CBF即可；（2）首先利用平行四边形的性质证明DF∥EB，DF＝EB，可得四边形DEBF是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得DE＝AB，进而可得DE＝EB，从而可证明四边形DEBF是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，DC＝AB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）菱形，证明：∵边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，CD∥AB，∴DF∥EB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠ADB＝90°，∴DE＝AB，∴DE＝EB，∴四边形DEBF是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定和平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等．4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．【分析】（1）根据SAS即可证明；（2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，在△DEO和△BOF中，∴△DOE≌△BOF．（2）解：结论：四边形EBFD是矩形．理由：∵OD＝OB，OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD＝EF，∴四边形EBFD是矩形．【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．【分析】（1）依据BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，可得等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC＝12，再根据勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF＝＝5；（2）连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF＝EF，AP＝AG＝CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB＝EH，AB＝BE，即可得到BE＝EH．【解答】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，∴等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC＝12，又∵AB＝13，∴Rt△ABF中，AF＝＝5；（2）如图，连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，∵BE＝BA，BF⊥AC，∴AF＝FE，∴BG是AE的垂直平分线，∴AG＝EG，AP＝EP，∵∠GAE＝∠ACB＝45°，∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE＝90°，△APE是等腰直角三角形，即∠APE＝90°，∴∠APE＝∠P AG＝∠AGE＝90°，又∵AG＝EG，∴四边形APEG是正方形，∴PF＝EF，AP＝AG＝CH，又∵BF＝CF，∴BP＝CE，∵∠APG＝45°＝∠BCF，∴∠APB＝∠HCE＝135°，∴△APB≌△HCE（SAS），∴AB＝EH，又∵AB＝BE，∴BE＝EH．【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．6．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE、EC，DE交BC 于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若BC⊥DE，试判断四边形DBEC的形状，并说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；（2）依据四边形BECD为平行四边形，BC⊥DE，即可得到四边形DBEC的形状为菱形．【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD＝EC．∴在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）四边形DBEC为菱形．证明：由（1）可得，四边形BECD为平行四边形，又∵BC⊥DE，∴四边形DBEC的形状为菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0）、B（3，0）、C（2，4），求以A、B、C三个点为顶点的平行四边形的第四个点D的坐标．【分析】分情两种况：①当BC ＝AD 时，②BD ＝AC 时，进行求解，即可解得D （﹣4，4）、（﹣2，﹣4）或（8，4）．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，①当BC ＝AD 时，∵A （﹣3，0）、B （3，0）、C （2，4），∴D 点坐标为（﹣4，4）、（﹣2，﹣4）②BD ＝AC 时，∵A （﹣3，0）、B （3，0）、C （2，4），∴D 点坐标为（8，4）．综上所述，D （8，4）、（﹣2，﹣4）或（﹣4，4）．【点评】考查了平行四边形的性质，解答本题关键要注意分两种情况进行求解，不能忽略任何一种可能的情况，同学们一定要注意这一点．8．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB ＝AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点F ．下列结论中：求证：（1）△ABE 是等边三角形；（2）△ABC ≌△AED ；（3）S △ABE ＝S △CEF ．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD ＝BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE ＝∠DAE ，可得∠BAE ＝∠BEA ，得AB ＝BE ，由AB ＝AE ，得到△ABE 是等边三角形；（2）由（1）可得∠ABE ＝∠EAD ＝60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ；（3）由△FCD 与△ABD 等底（AB ＝CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD ＝S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC ＝S △DEC ，得出S △ABE ＝S △CEF ．【解答】（1）∵ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠EAD ＝∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴AB ＝BE ，∵AB ＝AE ，∴△ABE 是等边三角形；（2）∵△ABE 是等边三角形∴∠ABE ＝∠EAD ＝60∘，∵AB ＝AE ，BC ＝AD ，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；（3）∵△FCD 与△ABC 等底（AB ＝CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等）， ∴S △FCD ＝S △ABC ，又∵△AEC 与△DEC 同底等高，∴S △AEC ＝S △DEC ，∴S △ABE ＝S △CEF ；【点评】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．9．在▱ABCD 中，∠ADC 的平分线交直线BC 于点E 、交AB 的延长线于点F ．（1）求证：BE ＝BF ；（2）若∠ADC ＝90°，G 是EF 的中点，连接AG 、CG ．求证：AG ＝CG ；AG ⊥CG ．【分析】（1）先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF＝∠FDC，从而得到∠F＝∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；（2）连接BG，根据全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF＝∠FDC，∴∠F＝∠BEF，∴BF＝BE；（2）连接BG，由（1）知，BF＝BE，∠FBC＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，∵G是EF的中点，∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，∵∠F AD＝90°，∴AF＝AD，又∵AD＝BC，∴AF＝BC，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∵△AFG≌△CBG∴∠F AG＝∠BCG，令AG、BC的交点为H，在△ABH与△CGH中，有∠F AG＝∠BCG，∠AHB＝∠CHG根据三角形的内角和定理，可得∠ABH＝∠AGC＝90°∴AG丄CG．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE＝∠BCF，BF＝DE，∠A＝60°，连接EF．（1）若EF＝2，求△AEF的面积；（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．【分析】（1）先证明证明△CDE≌△CBF，得到CD＝CB，可得▱ABCD是菱形，则AD＝AB，由DE＝BF得AE＝AF，则△AEF是等边三角形，根据EF的长可得△AEF的面积；（2）延长DP交BC于N，连结FN，证明△CPN≌△EPD，得到AE＝BN，证明△FBN≌△DEF，得到FN＝FD，根据等腰三角形三线合一的性质可得结论．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，∵BF＝DE，∠DCE＝∠BCF，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CD＝CB，∴▱ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴AD﹣DE＝AB﹣BF，即AE＝AF，∵∠A＝60°，∴△AEF是等边三角形，∵EF＝2，＝×22＝；∴S△AEF（2）证明：如图2，延长DP交BC于N，连结FN，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠EDP＝∠PNC，∠DEP＝∠PCN，∵点P是CE的中点，∴CP＝EP．∴△CPN≌△EPD，∴DE＝CN，PD＝PN．又∵AD＝BC．∴AD﹣DE＝BC﹣CN，即AE＝BN．∵△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，EF＝AE．∴∠DEF＝120°，EF＝BN．∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，又∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABC＝∠DEF．又∵DE＝BF，BN＝EF．∴△FBN≌△DEF，∴DF＝NF，∵PD＝PN，∴PF⊥PD．【点评】本题考查的是菱形的性质和判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题的关键．11．如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC＝60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF＝EB，G为BD延长线上一点，BG＝AB，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为9，求AB的长；（2）求证：AF＝GE．【分析】（1）由平行四边形的性质得到AD与BC平行，利用等边三角形的判定可知三角形ABG为等边三角形，得到三边相等，三角相等且为60°，再由BD垂直于BC，得到两个内错角都为90°，进而求出∠DAB＝30°，在直角三角形ADB中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半表示出BD，进而表示出AD，表示出平行四边形的面积，将表示出的AD，BD，以及已知面积代入求出AB的长；（2）连接BF，由AE，BE平分∠BAD、∠DBC，求出∠BAE与∠DBE的度数，利用内角和定理求出∠AEB＝60°，由EF＝BE，得到三角形BFE为等边三角形，得到BE＝BF，∠FBE＝60°，得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABF与三角形GBE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝GE即可得证．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵∠BDC＝60°，∴∠ABG＝60°，∵BG＝AB，∴△ABG为等边三角形，∴AB＝AG＝BG，∠ABG＝∠GAB＝∠AGB＝60°，∵BD⊥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∴∠DAB＝∠GAB＝30°，在Rt△ADB中，BD＝AB，AD＝AB，∵S＝AD•BD＝AB2＝9，平行四边形ABCD∴AB＝6，即AG＝6；（2）证明：连接BF，∵AE、BE分别平分∠BAD、∠DBC，∴∠BAE＝∠BAD＝15°，∠DBE＝∠DBC＝45°，∴∠ABE+∠BAE+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝60°，∵EF＝BE，∴△BFE为等边三角形，∴BE＝BF，∠FBE＝60°，∴∠ABD＝∠FBE＝60°，∴∠ABF＝∠GBE，在△ABF和△GBE中，，∴△ABF≌△GBE（SAS），∴AF＝GE．【点评】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．12．如图，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，AB＝5，AD＝7，点D关于直线AC的对称点为点E，连接AE与BC交于G．（1）证明：AG＝CG；（2）若平行四边形ABCD的面积为14，求BG的长．【分析】（1）利用SAS证明△ABC≌△CEA，即可得到∠BCA＝∠EAC，于是得到结论．（2）作AH⊥BC于H，由平行四边形的面积求出AH＝2，由勾股定理求出BH＝1，设BG＝x，则CG＝7﹣x，GH＝x﹣1，同（1）得：AG＝CG＝7﹣x，在Rt△AHG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴CD＝CE，AD＝AE，∠D＝∠E，∴AB＝CE，∠B＝∠E，AE＝BC，在△ABC和△CEA中，∵∴△ABC≌△CEA，∴∠BCA＝∠EAC，∴AG＝CG；（2）作AH⊥BC于H，如图所示：∵平行四边形ABCD的面积＝BC•AH＝14，BC＝7，∴AH＝2，在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH＝＝1，设BG＝x，则CG＝7﹣x，GH＝x﹣1，同（1）得：AG＝CG，∴AG＝7﹣x，在Rt△AHG中，AH2+GH2＝AG2，即（2）2+（x﹣1）2＝（7﹣x）2，解得：x＝2，即BG＝2．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、轴对称的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．（2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？【分析】（1）当四边形ABQP为平行四边形时，AP＝BQ，列方程可将t求出；（2）本题应分两种情况进行讨论，①若PQ＝BQ，在Rt△PQM中，由PQ2＝PM2+MQ2，PQ＝QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若PB＝PQ，则BQ＝2EQ，列方程可将时间t求出．【解答】解：（1）∵四边形ABQP为平行四边形，∴AP＝BQ，又∵AP＝AD﹣PD＝10﹣2t，BQ＝BC﹣CQ＝8﹣t，∴10﹣2t＝8﹣t，解得t＝2；（2）如图，过P作PE⊥BC于E，当∠BQP为顶角时，QB＝QP，BQ＝8﹣t，PE＝CD＝6，EQ＝CE﹣CQ＝2t﹣t，依据BQ2＝PQ2有：（8﹣t）2＝62+（2t﹣t）2，解得t＝；当∠BPQ为顶角时，PB＝PQ，由BQ＝2EQ有：8﹣t＝2（2t﹣t），解得t＝，综上，t＝或t＝时，符合题意．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质及勾股定理的应用．在解题时应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．14．如图1，以▱BMDC的两相邻边CB、CD为腰，在▱BMDC的外侧，作两个等腰Rt△CBF和Rt△CDH，则▱BMDC中与C相对的顶点M与这两等腰直角三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰直角三角形FMH．请证明△FMH 为等腰直角三角形．如图2，以▱BMDC的两相邻边CB、CD为腰，在▱BMDC的外侧，作两个等腰△CBF和△CDH，使其顶角∠CBF＝∠CDH＝α，则▱BMDC中与C相对的顶点M与两等腰三角形的两顶点F、H形成一个新的等腰三角形，写出顶角∠FMH的度数．试说明理由．【分析】（1）如图1中，延长BC交HM于N，FM交BC于O．只要证明△FBM ≌△MDH即可解决问题；（2）结论：∠FMH＝α．如图1中，延长BC交HM于N，FM交BC于O．只要证明△FBM≌△MDH即可解决问题．【解答】如图1中，延长BC交HM于N，FM交BC于O．∵四边形BMDC是平行四边形，∴BC＝DM，BM＝CD∠CBM＝∠MDC，BC∥DM，∵BF＝BC，DC＝DH，∠FBC＝∠CDH＝90°，∴BF＝DM，∠FBM＝∠MDH，BM＝DH，∴△FBM≌△MDH，∴FM＝MH，∠BFM＝∠DMH，∵∠DMH＝∠MNO，∴∠OFB＝∠ONM，∵∠FOB＝∠MON，∴∠OMN＝∠OBF＝90°，∴△FMH是等腰直角三角形．（2）解：结论：∠FMH＝α．理由：如图1中，延长BC交HM于N，FM交BC于O．∵四边形BMDC是平行四边形，∴BC＝DM，BM＝CD∠CBM＝∠MDC，BC∥DM，∵BF＝BC，DC＝DH，∠FBC＝∠CDH，∴在△FBM和△MDH中，∴△FBM≌△MDH，∴∠BFM＝∠DMH，∵∠DMH＝∠MNO，∴∠OFB＝∠ONM，∵∠FOB＝∠MON，∴∠OMN＝∠OBF，∴∠FMH＝α．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15．已知E为平行四边形ABCD中AB边上一点，且BE＝AB，连接DE交BC 于F，交AC于G．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）试探究OF与AB有什么位置关系和数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠E＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，结合BE ＝CD＝AB即可判断三角形的全等．（2）根据题意可判断出OF是△ABC的中位线，从而可判断出数量及位置关系．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，AB＝CD，∴∠E＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，又∵BE＝AB，∴BE＝DC，在：△BEF和△CDF中，∴△BEF≌△CDF（AAS）；（2）OF＝AB，OF∥AB．理由如下：∵OA＝OC，BF＝FC，∴OF是△ABC的中位线．∴OF＝AB，OF∥AB．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质，难度一般，解答本题的关键是根据题意得出OF是△ABC的中位线．16．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝AC，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE，分别交BD、CD于点F、G．（1）求证：△ADB≌△CEA；（2）若BD＝9，求AF的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC，∠ABC+∠BAD＝180°，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB．证出∠BAD＝∠ACE，CE＝AD，由SAS 证明△ADB≌△CEA即可；（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD＝6，由平行线得出△ADF∽△EBF，得出对应边成比例，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠ABC+∠BAD＝180°．又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ACB+∠ACE＝180°，∴∠BAD＝∠ACE．∵CE＝BC，∴CE＝AD，在△ABE和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（SAS）．（2）解：∵△ADB≌△CEA，∴AE＝BD＝9．∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF．∴＝．∴＝．∴AF＝3．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE（1）求证：BC＝CE；（2）若BC＝2，∠ABC＝120°，求DE的长．【分析】（1）利用平行四边形ABCD得出AD＝BC，AD∥BC，进一步证得△ADF ≌△ECF，得出AD＝CE，证得结论；（2）连接FM、BF，证得四边形AMFD是菱形，得出AN＝NF，求得M是AB 的中点，利用勾股定理求得AN，进一步得出NE，进一步利用勾股定理求得DE的长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠FEC，∠ADF＝∠ECF，∵点F为边DC的中点，∴DF＝CF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
F
C
练习1：
在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形 A D 的是( D )
(A)AB∥CD,AD∥BC（两组对边分别平行） B
(B) AB=CD,AD=BC （两组对边分别相等） (C)AB∥CD,AB=CD （一组对边平行且相等） (D) AB∥CD,AD=BC
D A C B
C
(E) AB∥CD, ∠A=∠C （两组对角分别相等）
∵四边形ABCD是平行边形 ∴OA=OC,OB=OD
平行四边形是中心对称图形，对角线的交 点是他的对称中心
9.3 平行四边形（2）
问题情境
在方格纸上画两条互相平行并且相等的线 段AD、BC，连接AB、DC.
动画
你能证明所画四边形ABCD是平行四边形吗？
9.3 平行四边形（2）
讨论交流
已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
9.3 平行四边形（2）
拓展延伸
如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分
别是E、F，求证：四边形AECF是平行四边形.
大 显 身 手
B
5.已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形 证法1：
A
E F
D 在AED和 CFB中
四边形ABCD是平行四边形 AD ∥ BC且AD =BC EAD=FCB
AE=CF EAD=FCB AD=BC AED ≌ CFB(SAS) DE=BF 同理可证：BE=DF 四边形BFDE是平行四边形
C
说一说：
1.本节课你学会了几种平行四边形的判定方法 2.本节课所学的解决问题的思路是:
练一练
2、已知在四边形ABCD中，AD∥BC，要使这个四边 形为平行四边形，则需添加一个你认为正确的条件为 ( A B∥DC，或∠A =∠C或 ) AD=BC 3、能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ B ） A、一组对角相等 C、一对邻角互补 B、一组对边平行且相等 D、两条对角线互相垂直
4、四边形ABCD中，若∠A = ∠C，∠B = ∠D，则 下列结论中错误的是（ C ） A、AB = CD C、∠A = ∠B B、AD∥BC D、对角线互相平分
形是平行四边形)
9.3 平行四边形（2）
D C
A
B
定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 几何语言： ∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形．
9.3 平行四边形（2）
新知应用 例 2：
已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD、BC 上，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
初中数学 八年级(下册)
9.3
平行四边形（2）
A
O
D
ABCD是平行四边形 ∴ AB﹦ CD，AD ﹦ C
B
平行四边形的性质：
角
平行四边形的对角相等
∵四边形ABCD是平行边形 ∴ ∠ A=∠ C， ∠ D=∠ B
180 0
180 0
对角线 平行四边形的对角线互相平分
证明： 连结AC 在△ABC和△CDA中 AB=CD（已知） AD=CB （已知） AC=CA （公共边） ∴△ABC≌△CDA（SSS）
A D
1
4 3 2
B
C
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的对应角相等） ∴ AB∥CD，AD∥BC （内错角相等，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边
_网] [来源:学_科
(1)解决一个数学问题，常要通过“动手实践”---“ 猜想”----“验证猜想(证明)”-----“得出结论” (2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决。
D
C
A
B
已知：如图，在四边形ABCD中， AD//BC，AD＝BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：连接AC ∵AD∥BC ∴∠DAC=∠ACB 又∵AD=BC，AC=AC， ∴Δ ABC≌Δ CDA ∴∠BAC=∠ACD ∴AB∥CD
B
A
D
C
你还有其他证法吗？
∴四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形
)
9.3 平行四边形（2）
D C
A
B
定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 几何语言：
∵AD//BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
9.3 平行四边形（2）
探索活动
在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC. 四边形ABCD是平行四边形吗？证明你的结论.
D
C
A
B
已知：四边形ABCD, AB=CD，AD=BC 求证：四边形ABCD是平行四边形