高三数学复习专题讲座

2010届高三数学复习专题讲座数列复习建议江苏省睢宁高级中学北校袁保金数列是高中数学的重点内容之一，是初等数学与高等数学的重要衔接点，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系，又有自己鲜明的特点．而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，所以数列一直是高考考查的重点和热点．纵观江苏省近几年高考数学试卷，数列都占有相当重要的地位，一般情况下都是以一道填空题和一道解答题形式出现，填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，具有“小、巧、活、新”的特点，解答题属于中高档难度的题目，甚至是压轴题．具有综合性强、变化多、难度较大特点，重点以等差数列和等比数列内容为主，考查数列内在的本质的知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题的能力．一、考纲解读2、考纲解读（1）考纲中对数列的有关概念要求为A级，也就是说只要了解数列概念的基本含义，并能解决相关的简单问题．（2）等差数列和等比数列要求都为C级，2010年数学科考试说明中共列出八个C级要求的知识点，等差数列、等比数列占了其中两个，说明这两个基本数列在高考中的地位相当重要．具体要求我们对这两个数列的定义、性质、通项公式以及前n项和公式需要有深刻的认识，能够系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．这也说明涉及等差数列和等比数列的综合题在高考中一定出现．（3）由于数列这一章含有两个C级要求的知识点，可以命制等差数列、等比数列以及它们之间相互联系的综合题，也可以命制数列与函数、方程、不等式等知识点相融合的综合题，以及数列应用问题，着重考查思维能力、推理论证能力以及分析问题，解决实际问题的能力．二、考题启示1、考题分布自2004年江苏省单独命题以来，对数列知识的考查一直是命题的重2、考题启示（1）数列在高考试卷中占的比重较大，分值约为13%左右，呈一大一小趋势，对等差数列和等比数列都有考查，纵观近几年江苏省高考试题，我们会发现江苏考题与全国卷、其他省市卷数列题有很大区别，具有十分明显的特色，对数列的考查不与其他知识综合，同时也回避了递推数列和不等式，主要揭示等差数列和等比数列内在的本质性的知识，形成江苏卷的一大特色．因此复习中在递推数列方面，特别是利用递推数列求通项，要大胆取舍，不要深挖．（2）客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质，突出了“小、巧、活、新”的特点，属容易题或中档题．主观题年年都考，且以中等和难度较大的综合题出现，常放在压轴题的位置．回顾江苏省单独命题以来，对数列的考查可以称得上到了极致．如2007年、2008年在倒数第二题，2005年、2006年在最后一题，2009年数列题前移到第17题，以中等题形式出现，这一显著地变化似乎一种信号，具有一定的导向作用．（3）数列题常考常新，每年命题很有新意，不落浴套，考生看到这样的考题，初看亲切、熟悉，但顺利解决很须动一番脑筋，需要有扎实的数学功底，极强的推理运算和论证能力．这类试题对概念和思维的考查力度较大，对学生探索能力、思维能力、运算能力和推理论证能力要求较高，具有较强的选拔功能．以数列题考查推理论证能力成为江苏考题的又一大特点．如2007年（20）题:已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1,记S n为数列{b n}的前n项和.（1）若b k=a m（m,k是大于2的正整数），求证：S k-1=(m-1)a1；（2）若b3=a i(i是某一正整数),求证：q是整数,且数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值,并加以说明；若不存在,请说明理由； 如2008年高考试题（19）题：（Ⅰ）设a1,a2,…,a n是各项均不为零的等差数列（n≥4），且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n=4时，求a1/d的数值；②求n的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,…,b n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．如（17）设{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52,S7=7（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n．（2）试求所有的正整数m，使得a m a m+1/a m+2为数列{a n}中的项.2008年考题是典型难题，作为压轴题，对思维能力和推理能力要求较高.2009年是中等题，主要考查等差数列通项公式和前n项和公式，但在第（2）问中考查学生思维能力和推理能力．三、复习建议1、夯实基础知识（1）数列的概念⏹了解数列的概念及其表示方法．⏹掌握数列前n项和与第n项之间的关系：a n=S n-S n-1（n≥2）,给出与数列的前n项和有关的问题，我们要能根据这一关系求出数列的通项公式．（2）等差数列⏹掌握等差数列的定义，能够根据定义判定一个数列是否为等差数列．⏹掌握等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d；推广形式为a n=a m+(n-m)d.⏹掌握等差数列的前n项和公式S n=n(a1+a n)/2=n a1+n(n-1)d/2，公式的推导方法为倒序相加法．⏹等差数列的前n项和可表示为S n=A n2+B n的形式，它是{a n}为等差数列的充要条件.⏹掌握等差数列的一些性质：⏹在等差数列{a n}中，对于正整数m,n,p,q，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.特别地，2a n+1=a n+a n+2.⏹在等差数列{a n}中，依次k项的和仍成等差数列，即S k，S2k-S k,S3k-S2k,…成等差数列，其公差为k d．⏹若等差数列{a n}的公差d>0,{a n}为递增数列；d<0,{a n}为递减数列.（3）等比数列⏹掌握等比数列的定义，能够根据定义判定一个数列是否为等比数列．⏹掌握等比数列的通项公式a n=a1q n-1；推广形式为a n=a m q n-m.⏹掌握等比数列的前项和公式S n=(a1-a n q)/1-q=a1(1-q n)/1-q，(q≠1)，公式的推导方法为错位相减法．特别地，当q=1时，S n=n a1.⏹掌握等比数列的一些性质：⏹在等比数列{a n}中，对于正整数m,n,p,q，若m+n=p+q，则a m a n=a p a q.特别地，a n+12=a n a n+2.⏹在等比数列{a n}中，若q≠-1,依次k项的和仍成等比数列，即S k，S2k-S k,S3k-S2k,…成等比数列，其公比为q k．2、掌握基本方法（1）基本量法：由于等差（等比）数列是由首项与公差（比）确定的，故称首项与公差（比）为等差（比）数列的基本量．因此，大凡涉及等差（等比）数列的数学问题，我们总希望通过等差（等比）数列的基础知识并结合条件去求出首项与公差（比）、或它们间关系，从而认识数列，达到解决问题的目的，这种方法就是等差（等比）数列特有的基本量方法．简言之,就是用基本量去统一条件与结论而达到解决等差（比）数列相关问题的方法．基本量法常涉及“知三求二”题型，所谓“知三求二”就是等差（或等比）数列有五个参量：项数、通项、前n项和、首项、公差（比），只要已知这五个量中的任意三个，就可以利用通项公式和前n项和公式求出其余两个．对于“知三求二”的题型训练要适度，不要人为做那些太难、太繁题目，这样不仅增加学习负担，而且淡化数学本质．运用基本量法必须与等差(比)数列的性质密切配合，只有这样才能达到灵活应用的程度，才能发挥无穷的活力．两个重要数列问题都可以运用基本量法解决，有人认为解题过程较繁，想寻找解题技巧．我们不能对计算追求表面上少一步，或不容易设想的计算技巧，而冲淡了对基本数列和基本量法的认识．（2）数列通项公式的常见求法：观察归纳法、累加消项法、累积消项法、迭代法等已知数列的前几项，写出它的一个通项公式时，通常用观察法，然后归纳猜想．我们有时未必能观察出它的通项公式，这时不妨尝试观察它们任意相邻两项间的相依关系，如对于数列:1,3,7,13,21,31,…，若不能直接发现a n=n(n-1)+1，则通过观察出递推关系a n-a n-1=2(n-1),再用迭加或迭代法便可求出通项公式．总之，观察是一切能力的基础，在数列学习中显得尤其重要珍贵．已知数列{a n}的前n项和S n,求a n,用公式法，即a n=S n-S n-1（n ≥2），具体解题时需看清问题的本质并注意分类讨论．（3）数列求和的常见方法：公式法、拆项求和法、转化求和法、裂项求和法、错位相减法、倒序相加法等．如：求a+2a2+3a3+…+n a n用错位相减法；求等差数列相邻（或间隔）两项倒数和用裂项求和法；非等差（等比）数列问题可以转化为等差（或）等比数列求和问题．3、把握基本思想数列中涉及很多数学思想，在复习中需要同学们很好地把握以下几个数学思想．（1）函数思想：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型．复习中在理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，弄清等差数列与一次函数的关系，抓住等差数列的特征，掌握前n项和公式，弄清它与二次函数的关系．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，弄清等比数列与指数函数的关系．（2）方程思想：运用数列基本量法解题就需根据题设条件，结合数列通项公式和求和公式构建方程或方程组求解，方程思想贯穿于数列学习和解题的始终．（3）转化与化归思想：解决等差（比）数列问题都可以归结为研究首项和公差（比）问题；非等差、等比数列的问题常通过构造辅助数列转化为等差或等比数列求解；求和问题也是常见的题型，一些非等差、等比数列求和可以转化为等差、等比数列求和问题解决；有些数列应用题转化为等差、等比数列问题解决．通过两个基本数列的学习，在化归与转化过程中可以认识更多的数列，是数列学习的隐性目标．⏹（4）递推思想：递推是数列的本质性的内涵，是数列的一大特色．我们这里讲递推，并不是要深入研究递推数列，教材中没有递推数列的概念和题型，课标和考试说明中都没有一提到递推数列，因此递推数列已经不是高考涉及的内容，近几年江苏高考一直回避这一问题．但是递推思想和方法在解决数列问题中的作用是很大的，涉及数列前n和S n与的a n关系问题，常采用递推思想来解决．⏹一般地涉及数列前n和S n与的a n关系问题，常采用递推思想来解决．⏹如江苏0５年(23)题：设数列{a n}的前项和为S n,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n=A n+B，其中A,B为常数.(Ⅰ)求A与B的值；(Ⅱ)证明：数列{a n}为等差数列；解决此题需要进行两次递推解决．再如：已知数列{a n}满足2S n=3(a n-1),证明：数列{a n}为等比数列．利用递推思想解决．（5）分类讨论思想：数列中渗透分类讨论的思想．如由S n求a n，要对n=1和n≠1讨论；在运用等比数列求和公式时，若公比q没有明确给出，需要分ｑ＝１和ｑ≠１讨论；在数列求和中有时需要进行奇偶分析讨论；有些数列的通项公式是分段表示，解题过程需要讨论；在数列解题中有时根据过程需要进行讨论．（6）特殊化思想：有些数列问题，在一般情况下解决思维受阻或者解决比较困难繁杂，这时我们可以把问题退到特殊情形，研究在特殊情况下的问题，从中寻找规律，或探求问题成立的条件，然后再将结果代到一般问题中去检验或验证，也可以借鉴研究特殊情形的方法去研究一般性问题．这种“从一般到特殊再到一般”的方法，在研究数列问题中很有效果．4、关注重点题型作为高考复习，适当强化题型训练是很有必要的．（1）“知三求二”题“知三求二”是等差数列和等比数列的重要题型，通常涉及等差数列（或等比数列）的通项公式，前n项和公式，运用基本量法解决．要注意这两个重要数列之间的相互渗透、融合构成综合题．如子数列型、并列型、类比型、生成型、融合型．这类题型是数列复习的重点．（2）推理论证题通过数列题考查思维能力，考查推理能力，是江苏高考题的一大特点，近几年江苏高考数列题都涉及这一问题．如2007年（19）题，2008年（19）题，即使2009年数列题难度有所降低，但是（14）题需要分析判断哪些项可以为等比数列中的项；（17）题第（2）小问也考查了思维和推理能力．（3）数列应用题数列应用题大致有三类：一是有关等差数列的应用题；二是有关等比数列的应用题；三是有关递推数列中可转化为等差、等比数列的问题．通常涉及增长率、银行信贷利率、浓度匹配、养老保险、圆钢对垒等问题．解决数列应用题需要认真理解题意，弄清各项之间的关系，确定模型的类型，明确是求a n还是求S n？项数n是多少？数列应用题尽管在历年高考中考查较少，但由于数列在实际生活中有广泛应用，因此需要引起对这类题型的重视．（4）情境创新题研究全国或其它省市高考试题，可以发现数列试题丰富多彩，有时通过数阵形式给出，如三角数阵、正方形数阵等，2008年江苏卷第（10）题就是三角形数阵．有些数列问题是在几何背景给出的；有些是引入新概念定义新数列给出的，如周期数列、等和（积）数列、对称数列、等差比数列等．解决这类问题只要认真理解题意，信息迁移，根据题设条件解决就可以了．总之，在数学复习的过程中，研究考纲，研究考题，注重双基，强化能力，重视通性通法的复习与训练是数列复习的重点．要突出两条主线：一条是基础知识主线，一条是思想方法主线．要以等差数列、等比数列两个主干知识为载体，以通项公式和求和公式为主渠道，用好数列中基本量的关系，灵活运用等差（比）数列的性质，将最基本的解题方法训练好，注重在两个重要数列内在的知识体系中挖潜，还数列的本来面目．重视数列与函数的联系，以及方程思想在数列中的应用，通过分析典型例题和习题，加强数列与其他知识点结合的综合性问题、探索性问题、应用性问题的训练，提高运算能力、思辨能力、转化能力、探究能力以及分析问题与解决问题的能力．。