02多维随机向量

f
(x,
y)
x
y,如果0 x 1,0 0,其他;
y
1,
g(x,
y)
(
1 2
x)( 1 2
y),如果0
x
1, 0
y
1,
0,其他;
显然,F(x,y)和G(x,y)不恒等。但它们的边缘密度函数分别为
14
x y,如果0 x 1,0 y 1,
f (x, y)
0,其他;
g(x,
y)
( 12
P{Y y X C} P{Y y, X C}, P{X C}
显然, P{Y y X C} 是一维分布函数,我们称为条件 X C 下,Y 的条件分布函数。
设(X,Y)为离散的，其联合概率分布为
P(X xi,Y yj ) pij ,i, j 1,2, .
则
23
P{Y
yj
X
xi}
pij pi.
F (x1, x2, , xn )
xk 1
显然， F (x1, x 2 ,
数，称为 F (x1, x 2 ,
xn
xk , , , ) 是一 k 元分布函
xn ) 的 k 元边缘分布函数。
显然，共有 Cnk 个k维边缘分布函数
11
如果 F (x1, x 2 , xn ) 是连续型的，即有密度函数
f (x1, x2, , xn ) ，则 F (x1, x 2 , xk , , , ) 也是连续型 的，其密度函数为
1
11
2 1 2 1 r 2 2 1 2 2
由此得， r 0 ．
结论：对于 ( X ,Y ) ~ N 1， 2， 12， 22， r ,
X与Y相互独立的充分必要条 件为 ：r 0. 22
四、条件分布与条件数学期望
设已给二维随机变量(X,Y),对任意给定C ,如果 P{X C} 0, 可考虑有 y 的函数
3
4
pi · =
P { X = xi }
0
0
1/4
0
0
1/4
1/12 0
1/4
1/16 1/16
1/4
p·j = P {Y = yj }
25/48 13/48
7/48
3/48
1
13
注：边缘分布函数由联合分布函数惟一确定；反之不然，即 不同的分布函数可能有相同的边缘分布函数。
例 设有两个二元分布函数F(x,y)和G(x,y)，密度函数分别为
则称随机变量 X 服从参数为n， p的二项分布， 记作 X ~ Bn， p 其中n为自然数，0 p 1为参数
二项分布的概率背景
进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中
PA p ， PA 1 p q
令 X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数．
则 X ~ Bn， p
7
一元正态分布 N , 2 的概率密度函数为
27
条件概率 链规则（Chain Rule）
( X ,Y ) ~ N ( 1,2 ;12 ,22 ; )
1
1
p( x, y)
2 1 2
1
2
exp{ 2(1
2)
(x [
1 )2
2 1
2
( x 1 ) 1
( y 2 ) 2
(y
2 2
2
)2
]}
其中 – ∞ ＜ x，y ＜ + ∞，参数
– ∞ ＜ 1,2 ＜ + ∞；1 ,2 ＞ 0；– 1 ＜ ＜1
fX (x)
为给定 X x 条件下，Y 的条件分布函数，
称 y 的函数
f ( y x) f (x, y) f X (x)
为给定 X x条件下，Y 的条件密度函数.
显然有
y
FY X ( y x)
f (z x)dz.
25
同理可得 也可写成
f (x y) f (x, y) f Y (y)
f (x, y) fX (x) f (y x) fY (y) f (x y).
则 X ~ N ( 1 ,12 ) ，Y ~ N ( 2 ,22 ) 。 二维正态的两个边缘分布都不依赖于参数 。
16
三、随机变量的独立性
定义 设 X1, , Xn 为 n 个随机变量，如果对任意实数 x1, x 2 , xn 成立
P{X1 x1, X 2 x2 , , X n xn} P{X1 x1}P{X 2 x2} P{X n xn},
则存在非负可积函数 f (x1, x2, , xn ) ，使得
F(x1, x 2 ,
xn )
x1
xn
f
( y1,
y2 ,
, yn )dy1dy2
dyn.
这里的 f (x1, x2, , xn ) 称为联合密度函数，满足条件：
f (x1, x2, , xn ) 0,
f (x1, x2, , xn )dx1dx2
其中 Fi, j (xi , xj ) 为（ X i ,X j ）的分布函数。 显然，相互独立性可推得两两独立性，反之不然。
19Leabharlann Baidu
例 （正态随机变量的独立性）
设二维随机变量 X， Y ~ N 1， 2， 12， 22， r
则 X， Y 的联合密度函数为
f x， y
1
2 1 2 1 r 2
f x
1
e
x 2
2 2
2
2 1 2
2
1
2
exp
1 2
x
2
1
x
,
x
例 2 设 (ij ) 为 n 阶正定对称矩阵， 表示 的行列 式的值， (1, 2, , n ) 为任意向量，则有密度函数
f (x1, x2,
, xn )
1
n
(2 )2
1
2
exp{ 1 (x )T 1(x )}
由上式可得
f (x y)
fX (x) f (y x)
,
fX (x) f ( y x)dx
这就是Bayes公式的密度函数形式。
26
条件密度函数的性质
性质1 对任意的 x，有 fX Y x y 0
性质 2 f X Y x ydx 1
简言之， f X Y x y 是密度函数．
对于条件密度函数 fY X y x 也有类似的性质．
则称 X1, , X n 是相互独立的。
如果 Xi 的分布函数为Fi (x), 它们的联合分布函数为
F (x1, x 2 , xn ) ，则相互独立性等价于对一切 x1, x 2 , xn ，
成立
F (x1, x 2 , xn ) F1(x1)F2 (x2 ) Fn (xn ).
注意：在独立条件下，由随机变量的边缘分布可惟一确
P( X1 x1, X 2 x2, , X n xn ).
xk 1, , xn
12
P( X1 x1, X 2 x2, , X k xk )
P( X1 x1, X 2 x2,
xk 1, , xn
例 二维离散随机向量的边缘分布律
, X n xn ).
Y X
1 2 3 4
12
1/4 0 1/8 1/8 1/12 1/12 1/16 1/16
定其联合分布函数。 17
对离散型随机变量，其相互独立性等价于对任何一 组可能取的值（ x1, x 2 , xn ），成立
P{X1 x1, X 2 x2, , X n xn} P{X1 x1}P{X 2 x2} P{X n xn}.
对连续随机变量 X1, , X n 相互独立的充要条件是
随机变量，则它们构成的向量 ( X ,Y ) 就称为一个 二维随机向量。
随机向量 ( X ,Y ) 的概率性质除了与每一个分量 有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。
2. n 维随机向量 定义在同一样本空间中的随机变量 X1 ,X2 ,…,Xn
构成的向量 ( X1 ,X2 ,…,Xn ) 称为一个 n 维随机向量。
变量 ( X1, X 2 , , X m ) 的概率分布为
P( X1 n1, X 2 n2,
m
,
X
m
nm )
n! n1!n2 !
nm
!
p n1 1
p n2 2
这里 ni 0, ni n.
i1
p nm m
,
6
二项分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX k Cnk pk 1 p nk k 0，1，， n
( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2 ,σ12 ,σ22 , ρ)
9
二维正态分布的图形
10
二、边缘分布
设 F (x1, x 2 , xn ) 为 n 元分布函数，任意保留 k(0 k n)
个 xi , 例如 x1, x2 , xk ，而令其它的xj 都趋向于 ，即
lim F(x1, x 2 , xk ,, ,)
3
定义 设 x1, x 2 , xn 为实数，称 n 元函数
F (x1, x 2 , xn ) P{X1 x1, X 2 x2, , X n xn}
为随机向量 X (X1, , X n ) 的联合分布函数。
n元分布函数具有以下性质：
⑴、对任一xi 是单调不减的；
⑵、对任一xi 是右连续的；
exp
2
1
1
r
2
x
1 2
2 1
2rx
1 y
1 2
2
y
2 2
2 2
又随机变量 X 的边缘密度函数为
fX x
1
x1 2
e 2
2 1
2 1
x
20
随机变量 Y 的边缘密度函数为
fY y
1
y2 2
e 2
2 2
2 2
y
所以，当 r 0 时， X， Y 的联合密度函数为
f1,2, ,k (x1, x2, , x k ) f (x1, x2, , xn )dxk1dxk2 dxn
如 果 F (x1, x 2 , xn ) 是 离 散 型 的 ， 则
F (x1, x 2 , xk , , , ) 也是离散型的，其边缘
概率分布为
P( X1 x1, X 2 x2, , X k xk )
dxn 1.
5
例1 多项分布(Multinomial Distribution) M (n, p1, p2, , pm )
做 n 次重复独立试验，每次试验的结果为
A1, A2, , Am, P( Ai ) pi ,i 1, 2, , m.
且
m
pi 1, pi 0.
i1
若记 X i 表示在 n 次试验中 Ai 出现的次数，则 m 维随机
f (x1, x2, , xn ) f1(x1) f2 (x2 ) fn (xn ),
即联合分布密度函数等于边缘分布密度函数之积。
18
随机变量 X1, , X n 两两独立的充要条件是对任意的 Xi 和 X j 都是独立的，即对任意的i j, 都有
Fi, j (xi , x j ) Fi (x i )Fj (x j ),
2
定义的分布称为 n 元正态分布，简记为 N (,).
8
二维正态分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
f (x, y)
1
e 1 2(1 ρ2
)
(
x μ1 σ12
)2
2
ρ(
x μ1 )( σ1σ2
y
μ2
)
(
y μ2 σ22
)2
2πσ1σ2 1 ρ2
( x , y )
其中μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ均为常数,且σ1 0,σ2 0,1 ρ 1. 则称( X ,Y )服从参数为μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ的二维 正态分布.记为
一. 随机向量的定义 随机向量主要用来描述用一维随机变量不能
完全刻划的随机现象。 例如，随机地抽出一张扑克牌：它具有花色与点 数这两个离散随机属性 ；
导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续 随机变量组成的二维随机向量 ；
以及更一般的多维随机向量 。
2
1. 二维随机向量 如果 X 、Y 都是定义在同一个样本空间中的
f x，
y
1
2 1 2
exp
1 2
x
1 2
2 1
y
2 2
2 2
fX x fY y
这表明，随机变量X 与Y 相互独立；
21
反之，如果随机变量 X 与Y 相互独立，则对任意的 实数 x， y，有
f x， y f X x fY y
特别地，我们有
f
，
1
2
f X 1
fY 2
即，
pij
n
,
pij
j 1
pij
P{Y
y
X
xi}
j:y j y n
,
pij
j 1
设(X,Y)为连续随机变量，联合密度函数为f(x,y),如果
在定点x，X的边缘密度
fX (x) f (x, y)dy 0,
24
定义
y
f (x, z)dz
FY X ( y x) P{Y y X x}
⑶、 F(,, ,) limF(x1, x2, , xn) 1; x1
xn
F (x1,
, xi1, , xi1,
,
xn
)
lim
xi
F
( x1,
, xn) 0.
4
对 n 元离散随机变量还有其联合概率分布
P( X1 x1, X 2 x2 , , X n xn ). 而对 n 元连续随机变量
x)( 1 2
y),如果0
x
1, 0
y
1,
0,其他;
fX (x)
f (x, y)dy
1
(x
y)dy
x
1
,0
x
1;
0
2
gX (x)
g(x, y)dy
1
(
1
x)(
1
y)dy
x
1
,0
x
1;
02
2
2
所以 fX (x) gX (x). 同理可知 fY ( y) gY ( y).
15
二维正态分布