21考研数学-【开年共学周计划】DAY3-高数第三章：一元函数积分学(基础篇知识点+660题练习题+答案解析】

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一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用

解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)

高等数学第三章一元函数微积分学及其应用

x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出，在求切线斜率的过
程中，需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.

【考研】一元函数积分学

（8） ∫ �� = ln|��| + �� （10） ∫ �� = ln|�� − ��| + �� （12） ∫ �� 2 �� = −�� + �� （14） ∫ ��2
��
不定积分与定积分的计算
1、基本积分公式以下公式中，α 与 a 均为常数，除声明者外，a > 0
�� +1 + ��(�� ≠ −1) �� + 1 �� (3) ∫ �� = + �� ln �� (1) ∫ �� = (5) ∫ �� = −�� + ��
��→��0 −
lim ��(��) = ��(��0 − ) ， lim+ ��(��) = ��(��0 + )，��(��0 − ) ≠ ��(��0 + )

第三章一元函数积分学精选全文完整版

24
sin
2t
2sin
t
cos t
2
x a
a2 x2 a
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
小结
三角代换常有下列规律
(1) a2 x2 可令 x = a sin t
(2) a2 x2 可令 x = a tan t (3) x2 a2 可令 x = a sect
注意：三角代换的目的是化掉根式。
想到基本积分公式 cos xdx sin x C
若令u＝2x，把2x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来
cos(2 x )dx
1 2
cos(2
x)d
(2x)
1 2
cos
udu
1 sin u C 1 sin 2x C
2
2
第一类换元积分法
定理1 设f(u)具有原函数F(u) ，uφ(x)可导则有
ex )dx
解：原式=
cos x 2arctan x ex C
直接积分法：利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法。
例7 求
x4 1 x2
dx
解：原式
(
x2
1)( x 2 1 x2
1)
dx
1 1 x2 dx
x3 x arctan x C
3
例8 求
cos2
(3) xdx
解：(1)
xdx
1 11
x11
C
1 2
x2
C
(2)
1 x3 dx
x3dx
1 3 1
x 31
C
1 2x2
C

考研数学(三)题库微积分(第三章一元函数积分学)打印版【圣才出品】

lim ex
x
0
x
et2
dt
a
b
则（）。
A．a 任意，b＝0
B．a 任意，b＝－1
C． a π ，b＝0 2
D． a π ，b＝－1 2
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【答案】C
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【解析】由得
lim ex
x
0
x
et
2
C＝0，故积分曲线方程为 y＝x3。
8．d∫lnxdx＝（）。 A．lnx B．lnxdx C．lnx＋C D．1/x 【答案】B 【解析】因为 f（x）的原函数是∫f（x）dx，所以 d[∫f（x）dx]＝f（x）dx。
9．若 f（x）的导函数是 e－x＋cosx，则 f（x）的一个原函数为（）。 A．e－x－cosx B．－e－x＋sinx C．－e－x－cosx D．e－x＋sinx 【答案】A 【解析】由题意可知 f′（x）＝e－x＋cosx，则 f（x）＝－e－x＋sinx＋C。∫f（x）dx
B．xn－1[lnx－（1/（n－1））]/（n－1）＋C
C．xn＋1[lnx－（1/（n＋1））]/（n＋1）＋C
D．xn＋1lnx/（n＋1）＋C
【答案】C
【解析】
xn ln xdx
ln
xd
xn1 n 1
xn1 n 1
ln
x
xn1 d ln x
n 1
xn1 ln x
n 1
xn dx n 1
4．若在[0，1]上有 f（0）＝g（0）＝0，f（1）＝g（1）＝a＞0，且 f″（x）＞0，g″
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一元函数积分的基本概念及解析方法

一元函数积分的基本概念及解析方法积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。

而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。

在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。

一、一元函数积分的基本概念1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。

通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。

2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。

- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。

不定积分的结果常常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。

不定积分通常表示为F(x) + C的形式。

- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。

定积分的结果是一个确定的数值。

3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。

- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。

二、一元函数积分的解析方法1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进行求解。

例如：- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。

- ∫1/xdx = ln|x| + C。

2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。

根据积分的线性性质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。

3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。

该方法得到的结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。

2021考研数学考试大纲分析及复习重点—一元函数积分学

2021考研数学考试大纲分析及复习重点—一元函数积分学9月18日这个在中国历史上成为转折点的一天，同样也为2021年参加考研的同学带来了重磅消息—2021年考研大纲正式发布，下面跨考教育数学教研室赵睿老师就按章节来分析大纲的要求以及复习该章节的重点：一、大纲要求:一元函数积分学1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的根本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.二、复习重点1、原函数和不定积分的概念，性质2、定积分的概念、性质、计算(1)利用定积分定义求极限;(2)利用定积分性质讨论相关问题，例如比拟定积分的大小、利用定积分的积分区间的可加性处理定积分的计算问题;(3)利用牛顿-莱布尼兹公式准确计算定积分，并熟练利用奇偶性对称性简化计算;(4)积分中值定理的相关问题，特别是积分中值定理与介值定理、微分中值定理结合在一起是重难点，要反复练习，总结规律。

3、积分上限函数的相关问题(1)深刻理解原函数存在定理;(2)积分上限函数是考试的重点内容之一，相关题型有极限问题，导数问题，级数相关问题、积分方程等。

4、定积分的应用通过与2021年的数学一大纲比拟，今年没有做任何调整，同学们按照原方案复习，夯实根底，把握重点，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧，提高解题计算能力必能在2021的考试中创造辉煌。

最后祝同学们，金榜题名。

一元函数积分学

一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实
数变量的函数的积分。

在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。

在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。

一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、
换元积分、分部积分等。

其中，定积分是一种重要的积分，它求解的
是在一定区间内的函数曲线下方的面积。

不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。

变限积分和换元积分是定积分的推
广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。

分部积分则是一种将积分
转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。

在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、
定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。

此外，我们
还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。

总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。

一元函数积分学精讲

一元函数积分学精讲在微积分学中，积分是导数的逆运算。

一元函数积分学是微积分学中的一个重要内容，它研究的是单变量函数的积分。

通过学习一元函数积分学，我们可以更好地理解函数与曲线的关系，解决曲线下面积等实际问题。

本文将系统介绍一元函数积分学的基本概念、性质和计算方法。

一、不定积分1. 定义不定积分是对函数的积分常见形式之一，表示为$\\int f(x)dx$，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。

不定积分的本质是求函数的一个原函数。

具体地，若F(x)是f(x)的原函数，则$\\int f(x)dx = F(x) + C$，其中C为常数。

2. 基本积分公式常数积分公式： $\\int kdx = kx + C$，其中k为常数。

幂函数积分公式： $\\int x^n dx = \\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中n eq−1，n为常数。

二、定积分1. 定义定积分是积分学另一重要形式，表示为$\\int_{a}^{b} f(x)dx$，表示对f(x)从a到b的积分。

定积分可以看做是曲线下面积的计算，是实际问题中常用的工具。

2. 定积分性质•定积分线性性质：$\\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \\int_{a}^{b} f(x)dx + \\int_{a}^{b} g(x)dx$•定积分区域性质：$\\int_{a}^{b} f(x)dx = -\\int_{b}^{a} f(x)dx$三、积分的应用一元函数积分学在各个领域有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：•曲线下面积的计算•物理学中的功与能量计算•统计学中的概率密度函数与累积分布函数•工程学中的中心质心和惯性矩计算四、积分计算技巧与方法积分计算是一门深奥的学问，有许多技巧和方法可以简化计算过程，常见的包括：•换元积分法•分部积分法•三角代换法•分式分解法细致理解这些计算方法对提高积分计算效率至关重要。

考研备考经验!考研数学公共考点之一元函数积分学

【摘要】的小伙伴们，大家好！2020年考研已经进入了复试调剂的阶段，作为2021的考研er，该阶段正在进行初期的备考工作。

今天小编给大家带来的内容是，2021年考研备考经验！考研数学公共考点之一元函数积分学，各位21考生仔细阅读。

考研数学公共考点：一元函数积分学理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法;了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并求它的导数，掌握牛顿--莱布尼兹公式以及定积分的换元积分法和分部积分法;会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值。

了解反常积分的概念，会计算反常积分。

考研数学常考题型有：不定积分的计算、定积分的性质、定积分的计算、反常积分、对变限定积分的讨论、含有积分的方程、定积分的应用、积分恒等式或不等式的证明。

考研数学公共考点：多元函数微积分学了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义;了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质;了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数的一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求多元隐函数的偏导数;跨考教育数学教研室田宏老师提醒大家还要了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题;了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法，了解无解区域上较简单的反常二重积分并会计算;今天2021年考研备考经验！考研数学公共考点之一元函数积分学的内容就到这里啦，希望对2021考研的考生有所帮助。

from sign 20211030012210。

03一元积分学(李正元考研高数基础讲义)

Page 34 @Kaiziliu 整理
新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
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第三章一元积分学
第三讲练习题
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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
第三章一元积分学
§1 一元函数积分学的基本概念和基本定理
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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
注意：这部分经济类有专门的应用题（李正元所举的例子不适合）
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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
§7 证明积分不等式
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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）
第三章一元积分学
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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）

一元函数积分学不定积分定积分常数项级数幂级数

一元函数积分学、不定积分、定积分、常数
项级数和幂级数
一元函数积分学包括不定积分、定积分、常数项级数和幂级数等内容。

1. 不定积分：一元函数的不定积分是指求出该函数在某个区间内的原函数，也就是求出一个原函数F(x)，使得F(x)在x轴上的积分等于f(x)，即∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数。

不定积分也称为原函数或不定积分函数。

2. 定积分：一元函数的定积分是指求出该函数在某个区间内的面积或曲线长度，也就是求出一个定积分值，表示为∫a b f(x)dx，其中a和b为积分区间的端点，f(x)为被积函数。

定积分也称为面积或曲线长度函数。

3. 常数项级数：常数项级数是指由若干个常数项相加组成的级数，一般形式为，其中c n表示第n项，n为自然数。

常数项级数在数学分析中有广泛应用，例如求解定积分的近似值、求解函数的极限等等。

4. 幂级数：幂级数是一类可以表示函数的无穷级数，一般形式为f(x) =，其中a_n为幂级数的系数，x为变量。

幂级数在数学分析中有广泛应用，例如求解函数的泰勒级数展开、逼近函数、函数的插值等等。

第三章一元函数积分学

= ln|tanx+secx|+C.
sec2 x secx tan x 或 secxdx = dx secx tan x 1 = d(secx tan x ) secx tan x
= ln|tanx+secx|+C.

2 第二类换元积分法
设f(x)连续, x = (u)有连续的导数, (u)≠0, 且f[ (u)] (u)的一个原函数为F(u). 则

1 sinx 例13. tan xdx = cos x dx = cos x d(cos x )
= ln|cos x | C .
1 1 cos 2 x dx = (1 cos 2 x )d x 例14. sin xdx = 2 2 1 1 = ( x sin2 x ) C . 2 2
2
cos 3 xdx = (1 sin2 x )cosxdx 例15. = (1 sin2 x )d(sin x )
1 3 = sinx sin x C . 3

1 例16. cos xdx = (sin5 x sinx )dx 2 1 1 = cos5 x cos x C . 10 2

2
1
5 3
1
2 3
2
1
1 3
（5）引例的解决 1) xoy平面上一曲线过点（0，1），并在点(x,y)的斜率为ex-1，求此曲线。解答:设此曲线为y=f(x),则 f’(x)= ex-1, f(0)=1 因而
f ( x) = (e x 1)dx = e x x c
c=0

3、不定积分（1）定义函数f(x)在区间I上的全体原函数称为 f(x)在区间I上的不定积分. 记为其中f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x称为积分变量. 若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则

《医学高等数学》课件第三章一元函数积分学

2
1 1
d t
(1
t)
2t
2 ln(1 t)
C
因为t 1 x ，于是
1
dx 1
x
2
1 x 2 ln(1
1 x)C
例10 求 a2 x2 dx。
解求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来消去根式。
设x=asint，
2
t
2
，则
t
arcsin
x a
例10 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。
解设所求的曲线方程为y=f(x)，由题设，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为 dy 2x，
dx
即dy 2xdx。
因为 2xdx x2 C，所以必有某个常数C使f(x)=x2+C。即曲线方程为
第二节不定积分的计算
案例导入：
判断下列积分是否成立:
cos3xdx sin 3x C;
1 3x
5
dx
ln
3x
5
C;
exdx ex C; (2x 5)3 dx (2x 5)4 C.
4
验证了案例之后,我们提出这样的问题,如果遇到这样的积分,我们怎么去求出它的原函数呢? 这就是我们这一节要着重介绍的换元积分法和分部积分法。
解
dx 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d(x) a
arcsin x C
1 ( x)2
a
a
a
例5 求 e5xdx 。
解
e5xdx 1 e5xd (5x) 1 e5x C
5
5

2021考研数学考点解析-一元函数积分学

2021考研数学考点解析:一元函数积分学2021数学考试大纲已经出来了，记的去年是8月底出的，今年比去年晚了半个月的时间。

下面我们就考研数学中的一元函数积分学这一块来简单聊下。

这一部分内容与去年比较整体要求没有什么出入。

以下吴方方老师主要是根据2021年对定积分这一块的考查，并结合今天出来的2021年考试大纲来给2021的同学们来聊聊，接下来这三个月，我们在2021年的考研备考中所要注意的问题。

首先，我们结合刚刚出来的2021年考试大纲来明确这一部分的知识体系。

大纲中要求我们，理解原函数的概念，理解不定积分的概念，掌握不定积分的的基本公式，掌握不定积分的积分方法，主要是换元法和分部积分法。

关于一元积分学这章节还包括：定积分的定义，性质;微积分基本定理;反常积分以及定积分的应用这几个部分。

这几个部分各有各的侧重点。

而其中有关定积分的定义是要求我们掌握的重点，我们要充分理解微积分基本定理还要掌握定积分在几何和物理上面的应用。

至于反常积分这一块，会计算简单的反常积分，了解反常积分的概念并会判别收敛性，像2021年数学一第一道选择题就是考查反常积分的收敛性问题。

去年就是由于很多同学对反常积分的敛散性的判别不熟，从而导致了选择题做的不顺，时间久耽误了，以至于影响到了后面的大题的解析。

关于定积分的定义及性质。

这里要求同学们一定要理解分割、近似以及求和还有取极限这几个步骤。

与此同时还要求同学们知道其几何意义及定义中我们所要注意的地方。

早在2021年数学二、数学三出了道填空题，是利用定积分定义来做的，而2021年考研数学一、数学三又出了道10分的计算题，因此希望这一部分能引起同学们的一定的重视。

对于n项和求极限的问题，我们知道主要是利用夹逼定理和定积分定义两种常用方法。

因此，对于这一部分的内容与数列极限结合是我们要重视的。

关于定积分中的区间可加性、积分中值定理、比较定理这几个是同学要掌握的，而对于微积分基本定理这一块的知识点是非常重要的。

一元函数积分知识点完整版

一元函数积分相关问题前言：考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。

这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。

一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。

问题1：若)(x f的导函数是xsin，则所有可能成为)(x f的原函数的函数是_______。

二．考查定积分的概念和基本性质讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。

定积分的基本性质有如下七点：1、线性性质2、对区间的可加性3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值4、比较定理（及其三个推论）5、积分中值定理6、连续非负函数的积分性质7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有⎰=dcdx x f 0)(，则当],[b a x ∈时，0)(≡x f问题2：设⎰=20)sin(sin πdx x M ，⎰=20)cos(cos πdx x N ，则有（）三．考查一元函数积分的基本定理讲解：需要掌握变限定积分函数的连续性与可导性、原函数存在定理、不定积分与变限积分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。

其中变限积分的求导方法为：设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ϕ和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时，b x x a ≤≤)(),(ψϕ，则⎰=)()()(x x dt t f y ϕψ在],[βα上可以对x 求导，且牛顿—莱布尼兹定理为：设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则问题3：已知⎰+=)1ln(2)(x xt dt e t x f ，求)('x f )0(≥x四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。

第三章一元函数的积分学共108页word资料

第三章一元函数的积分学§1 不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分.一、基本概念1．原函数与不定积分定义若()()F x f x '=，(,)x a b ∈，则称()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数.（一般地，“在区间(,)a b 内”几个字常省略）.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数（其中C 为任意常数），()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰.2．不定积分与原函数的关系（1）不定积分与原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此()d ()f x x F x ≠⎰.（2）设()F x ，()G x 是()f x 的任意两个原函数，则()()F x G x C =+（(,)x a b ∈）.（3）原函数的几何意义：称()y F x C =+为()f x 的积分曲线，其上横坐标为x 处的切线互相平行.3．原函数存在定理设()f x 在(,)a b 内连续，则在(,)a b 内必有原函数.4．不定积分的基本性质（1）()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）求导与求不定积分互为逆运算① (()d )()f x x f x '=⎰ ，d ()d ()d f x x f x x =⎰；② ()d ()f x x f x C '=+⎰，d ()()f x f x C =+⎰；5．基本积分公式(熟练掌握)（1）d k x kx C =+⎰；（2）11d 1x x x C μμμ+=++⎰；（3）1d ln ||x x C x=+⎰；（4）d ln x x a a x C a=+⎰；（5）e d e x x x C =+⎰；（6）sin d cos x x x C =-+⎰；(7) cos d sin x x x C =+⎰；(8) 2sec d tan x x x C =+⎰；（9）2csc d cot x x x C =-+⎰；；（10）sec tan d sec x x x x C ⋅=+⎰；（11）csc cot d csc x x x x C ⋅=-+⎰；（12）d arcsin xx C =+⎰；（13）2d arc ta n 1xx C x =++⎰；（14）tan d ln |cos |x x x C =-+⎰；（15）cot d ln |sin |x x x C =+⎰；（16）d arcsin xx C a =+⎰；（17）22d 1arctan xxC a x a a =++⎰；（18）sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰；（19）csc d ln |csc cot |x x x x C =-+⎰；（20）22d 1ln 2x a x C a x a a x +=+--⎰；（21）d ln x x C =++⎰；（22）21arcsin 22a x x C a =++⎰. 6．初等函数的原函数初等函数在其定义区间内必有原函数，但它的原函数不一定是初等函数．不能用初等函数来表示（积不出来）的不定积分如下：2e d x x ⎰， 2e d x x -⎰， sin d x x x ⎰， cos d x x x⎰， 2sin d x x ⎰， 2cos d x x ⎰， d ln x x ⎰，e d x x x⎰，e ln d x x x ⎰，ln |sin |d x x ⎰等．二、不定积分的积分法1．公式法将被积函数变形，直接利用公式．2．换元法引入新的变量，再积分．第一类换元法(凑微分法)设()f u 的原函数为()F u ，()u x ϕ=有连续的导数，则[()]()d f x x x ϕϕ'⋅⎰ [()]d ()f x x ϕϕ=⎰()u x ϕ= ()()d [()][()]u x f u u F u C F x C ϕϕ==+=+⎰凑微分换元积分变量还原常见的凑微分公式（1）1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a+=++⎰⎰，0a ≠；（2）11()d ()d()n n n n f x x x f x x n -=⎰⎰；（3）(e )e d (e )d(e )x x x xf x f =⎰⎰；（4）d 1(ln )(ln )d(ln )x f x f x x x n=⎰⎰；（5）21111()d ()d()f x f x x x x=-⎰⎰；（6）12f x f =⎰⎰；（7）(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x x =⎰⎰；（8）(cos )sin d (cos )d(cos )f x x x f x x =-⎰⎰；（9）2(tan )sec d (tan )d(tan )f x x x f x x =⎰⎰；（10）2(cot )csc d (cot )d(cot )f x x x f x x =-⎰⎰；（11）21(arctan )d (arc tan )d(arc tan )1f x x f x x x ⋅=+⎰⎰；（12）1(arcsin )(arcsin )d(arcsin )f x x f x x ⋅=⎰⎰；（13）xf x f ⋅=⎰⎰；（14）()d ()d ln |()|()()f x f x x f x C f x f x '==+⎰⎰．第二类换元法设()x t ϕ=单调，有连续的导数，且()0t ϕ'≠，如果[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰，则()d f x x =⎰ ()x x ϕ=[()]()d f t t t ϕϕ'⎰1()[()]t x F t C ϕ-==+1[()]F x C ϕ-=+.换元积分变量还原3．分部积分法设()u u x =，()v v x =具有连续的导数，则d d uv x uv u v x ''=-⎰⎰ 或 d d u v uv v u =-⎰⎰称为分部积分公式.4．特殊函数类的积分有理函数：先化为多项式与简单分式，再逐项积分．三角函数有理式：令tan 2x u =，化为有理函数的积分．简单无理函数：引入代换去掉根号，化为有理函数的积分．常用的分项公式如下：（1）111(1)1x x x x=-++；（2）111(1)1x x x x=+--；（3）2211(1)1x x x x x=-++；（4）22211111(1)(1)(1)1(1)x x x x x x x x x =-=--+++++；（5）2222111(1)1x x x x=-++. 常用的三角公式如下：（1）21cos 2cos 2x x +=；（2）21cos 2sin 2x x -=；（3）21sin (sin cos )22x x x ±=± 三、典型例题题型1 直接积分法（即将被积函数分解为几个简单函数的代数和再分项积分）例1 求下列不定积分（1） 231d 5x xx x ++⎰；（2）10d (2)x x x +⎰；（3） 42d x x x +⎰；解原式2222d 111d arctan (1)1x x x C x x xx x ⎡⎤==-=--+⎢⎥++⎣⎦⎰⎰.（4）2222+sin sec d 1x x x x x ⋅+⎰；解原式()()2222221+sin 11sec d sec d d 11x x x x x x x x x +-=⋅=-++⎰⎰⎰tan arctan x x C =-+.题型2 换元积分法（第一类和第二类）例1 求下列不定积分（1）2sin cos d 1sin x xx x ⋅+⎰；（2）d x⎰解原式ln dln d u x x u ========⎰⎰⎰211d()22arcsin arc 11)22u u C --==+=⎰ .（3）3xx ⎰；解原式23221122u x x x x x u========⎰⎰⎰32111(1(1)d(1)222u u u u =+-=++-⎰⎰⎰535222212211[(1)(1)](1)(125353u u C x =+-++=+-+ . （4）sin 222esin d exxxx ⋅⎰；解原式sin 222sin 22sin11esin d e d(sin 22)e44x xx x x x x x --=⋅=--=-⎰⎰（5）1d (1e )xxx x x ++⎰；（6）ln(tan )d sin cos x x x x⋅⎰.例2 求x ⎰.解：原式2[ln()3x x =+=+⎰例3 求 342e ed e 2e 1x xx xx +-+⎰. 解：原式2222e (e e )d(e e )1d e (e e )(e e )e ex x x x x x x x x x x x x C -----+-===-+---⎰⎰ 例4 求 241d 1x x x ++⎰.解：原式22221111d()1d arctan11()2x x x x x C x x x x+--===++-+⎰⎰ 例5 求下列不定积分（1）xx ⎰；（2）3d x x⎰；解令π323sec ,0,d sec tan d 22x t t x t t t ⎛⎫=<<=⋅ ⎪⎝⎭ ，原式23233tan 34tan 4sec tan d d sin 23sec 33sec 2t t t t t t t t =⋅⋅==⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰241231sin 2arccos 324322t t C x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.（3）d x ⎰.解令2tan ,d sec d x t x t t ==，原式2222sec d cos d dsin arcta (2tan 1)sec 1sin 1sin t t t t tt t t t ====+++⎰⎰⎰arctanx C =+.注 1ο，令sin x a t = 或 cos x a t =；2ο，令sec x a t = 或 csc x a t =或 ch x a t =；3ο，令tan x a t = 或 cot x a t =或 sh x a t =；4ο三角代换变量还原时利用辅助三角形．例6 求下列不定积分（1）d x⎰；解原式()d 31d 13x x-==⎰⎰1ln |31|3x C =-++. （2）21d 446x x x -+⎰. 解原式()()2111212d 21arctan 221x x C x -=-=⋅+-+⎰.（注对二次三项式2ax bx c ++或其平方根，配方后使用公式）．例7 求下列不定积分（1）d x⎰ （2）21ln d (ln )xx x x --⎰.（注 1x t=称为倒代换，当分母的次数高于分子的次数时，可考虑用此代换）．例8 求e (1e )d x x x +⎰（注可考虑指数代换e x u =或e sin xt =）．例9 求d x x⎰，（令：t =）解令t =，22tan 1tan d 2tan sec d .t x t x t t t =⇒=+⇒=⋅原式(2222arctan 2sec tan d 2tan d 2sec 1tan t t t t t t t t t t t ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰()222sec 1d 2d(tan )2tan tt t t t t t t t =⋅-=-=⋅-⎰⎰⎰22tan 2ln |cos |t t t t C =⋅+-+212ln ||arctan x=⋅+-+22ln ||arctanx =⋅--+.题型3 分部积分法关键：正确地选择u 和v ，选择u ，v 的原则：1οv 好求； 2οd v u ⎰要比d u v ⎰简单．例1 求下列不定积分（1）2(22)e d xx x x +-⎰；（2）2(1)ln d xx x +⎰；（3）e cos d xx x x ⎰；（4）sin ln d x x ⎰ 解原式1sinln dsinln sinln cosln d x x x x x x x x xx=-=-⋅⋅⎰⎰sinln cosln d sinln cox x x x x x x ⎡=-=-⋅⎣⎰()()1sinln cosln sinln d x x x x x xx=-+-⎰()sinln cosln sinln d x x x x x =--⎰所以原式()sinln cosln 2xx x C =-+.（5）22arctan d (1)xx x x +⎰；解原式22arctan arctan 1d d arctan d(-)arctan d 1x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰⎰()221111arctan d arctan 12x x x x x x =-+⋅-+⎰()()22221111arctan d arctan 221x x x x x x =-+-+⎰22211111arctan d 212x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎰()()22111arctan ln ln 122x x x x =-+-+-()22111arctan ln arctan 212x x x x x =-+-+.（6）ln(x x x +⎰.解原式ln(d x x x =+⋅⎰dln(x =⋅+-⋅⎰ln(d x x =⋅+-=⎰.例2 求 22sin d (cos sin )xx x x x -⎰. 解原式2sin sin sin 1d d (cos sin )cos sin x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪--⎝⎭⎰⎰sin 11cos sin cos sin x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪--⎝⎭⎰2sin 11s d cos sin (cos x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-=⎪-⎝⎭⎰．例3 求ed xx x ⎰．（先换元，后分部积分）解：原式222222d d 12ln(1)d 2[ln(1)2d ]1tt x t t ttt t t t t =++=+-+⎰⎰24arctan C =-++.题型4 分项--分部积分法（将积分分成两项（或多项）的积分和，然后利用分部积分抵消不可积部分）例1 求 2ln 1d ln x x x-⎰；例2求 22e (tan 1)d x x x +⎰．题型5 有理函数积分例1 求25d 613x x x x +-+⎰；例2 求221d (1)x x x +⎰.题型6 三角有理函数积分例1 求 d sin 22sin xx x+⎰ 例2 求d 1sin cos xx x --⎰题型7 简单无理函数积分例1求d x⎰；例2 求d x⎰.例3求d x⎰(0,0)a b x <<>.解：原式2=⎰2arcsin C =+；题型8 分段函数的积分例1 求|1|ed x x -⎰．例2 求2()max(1,)x x ϕ=的一个原函数()F x ，且(0)1F =．题型9 含有抽象函数的不定积分例1设()d arcsin xf x x x C =+⎰，求1d ()x f x ⎰．例2设()f x 为非负连续函数，当0x ≥时，有20()()d e 1xxf x f x t t ⋅-=-⎰，求()d f x x ⎰. 解方程化为20()()d ()()d =e 1xxxf x f x t t f x f x t t ⋅-=--⎰⎰，()d ()d u x txxf x t t f u u =--====⎰⎰，代入原方程得()20()d e 1xxf x f u u ⋅=-⎰，令()()()()()20()d exxF x f u u F x f x F x F x ''=⇒=⇒⋅=⎰，两边积分()()()2d e 1d xF x F x x x '⋅=-⎰⎰，得()2211e 22xF x x C =-+，又()()22100,e 212xF C F x x =⇒=-∴=--，()()(F x F x ∴=≥.()()d f x x F x C =+=⎰.例3设(,)f x y 可微，且(,)ff x y x∂=-∂，e cos xf y y-∂=∂，(0,0)0f =，求(,)d f x x x ⎰. 例4设()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足01()()()d 01xf x f x f t t x '-+=+⎰，求[()()]e d xf x f x x -'''-⎰.四、不定积分常用的计算技巧总结（考生自看）1．加减常数法例1 求 cos d 1cos xx x-⎰. 解：原式2cos 111()d (1)d 1cos 1cos 2sin (/2)x x x x x x x -=+=-+=----⎰⎰.2．加减函数法例2 求 21d 1exx +⎰. 解：原式2222221e e e 1d (1)d ln(1e )1e 1e 2x x xx x xx x x C +-==-=-++++⎰⎰.例3 求 d (1)nxx x +⎰. 解：原式1111d d d ln ||ln |1(1)1nnn n n nx x x x x x x x x x x x n -+-==-=-+++⎰⎰⎰.3．乘除函数法例4 求 d e ex x x-+⎰.解：原式22e d de arctane 1(e )1(e )xxxx x x C ===+++⎰⎰. 4．分母整体化法例5 求 2100d (1)xx x +⎰. 解：原式2219899100100100(1)(1)d d (2)d u xu u u u u u u uu u=+-----=====-+⎰⎰⎰9798991212979899u u u C ---=-+-+.例6 求 2sin d (sin cos )xx x x +⎰.解：原式π4222πsin()sin csin 114d d π2sin 2sin ()4u x u x u x x u u x =+-=====+⎰⎰⎰2d d(sin )()[l n |csc(4sin sin 4u u x u u =-=+⎰⎰.5．依分母分解法例7 求 3cos 4sin d cos 2sin x xx x x-+⎰. 解：因为cos x 与sin x 的导数互相转化，所以可设3cos 4sin (cos 2sin )(cos 2s x x A x x B x -=+++(2)cos (2)sin A B x A B x =++- 故得：231,224A B A B A B +=⎧⇒=-=⎨-=-⎩. 原式cos 2sin (cos 2sin )d 2d cos 2sin cos 2sin x x x x x x x x x x '++=-+=-++⎰⎰.6．还原法例8 求 11(1)ed x xx x x++-⎰.解：11121ed (1)ed ed d(ex x x xxxx x x x x x+++=+-=+⎰⎰⎰⎰1111ed eed ex x x x xxxxx x x x C ++++=+-=+⎰⎰.7．待定函数法例9 (上例)解：因为被积函数是一个函数与1ex x+的乘积，它的一个原函数必定也是某一个函数与1e x x+的乘积.令 111(1)ed ()ex x xxx x F x C x +++-=+⎰，其中()F x 为待定函数，两边求导数11211(1)e[()()(1)]ex x xxx F x F x xx++'+-=+-，22111(1)()()(1)()x F x F x F x x x'∴+-=+-⇒=，故原式1ex xx C +=+.8．相关积分法例10 求 221e sin d x I x x =⎰,221e cos d xI x x =⎰.解：221222211e d e ,21e cos2d e (cos2sin 2),4xx x x I I x C I I x x x x C ⎧+==+⎪⎪⎨⎪-==++⎪⎩⎰⎰ 1I ∴=22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =-++； 2I =22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =+++. 五、练习题31-1．若()f x 的导函数是e cos xx -+，则()f x 的一个原函数为（）.(A) e cos xx -- (B) esin xx --+ (C)ecos xx --- (D) esin xx -+2．若()f x '为连续函数，则(2)d f x x '=⎰（）.(A) (2)f x C + (B) ()f x C + (C)1(2)2f x C + (D) 2(2)f x C + 3．若()f x 是以l 为周期的连续函数，则其原函数（）.(A) 是以l 为周期的连续函数 (B)是周期函数，但周期不是l(C) 不是周期函数 (D)不一定是周期函数4．设cos x x是()f x 的一个原函数，求()d xf x x '⎰．5．2222221sin cos d d sin cos sin cos x xx x x x x x +=⋅⋅⎰⎰. 6. 22e 1e (1)d (e )d sin sin xxxx x x x--=-⎰⎰.7．11e ed d 1e 1e xxx xx x +-=++⎰⎰. 8.45422sincos d sin (1sin )dsin x x x x x x =⋅-⎰⎰.9．1515sin cos d (sin cos )d(sin cos )(sin cos )x xx x x x x x x +=---⎰⎰.10．21111d d d(1)111n n n nnn n n x x x x x x x x x x --⋅+-==++++⎰⎰⎰. 11．cos sin d(sin cos )d cos sin cos sin x x x x x x x x x-+=++⎰⎰.12．321()arctan d arctan d()33x x x x x x x ++=⎰⎰. 13.2d x x⎰. 14．d 1d(3)3xx =⎰⎰ 15．22222d 2ln 2d d 2d 1d 12(14)2(12)ln 2(1)ln 2xxxu x x x x u x x x u u u =========+++⎰⎰⎰.16．22sin d x x x ⎰.17．arcsin 2arcsin x =-⎰⎰.18．2arctan tan 3d sec d 22ed sin d (1)xx ttx t tx x e t t x ==+====⎰⎰. 19.241d 1x x x -+⎰. 20.421d (1)x x x +⎰21. 1183848282821d d d (1)(1)4(1)x x x x x x x x x x ⋅==+++⎰⎰⎰42221d 4(1)x tt t t =+===⎰2tan 24d sec d 1tan sec d 4sec t u t u u u u u u ======⎰.22. 112d d x x x x +-+=⎰⎰22112d[(1)3]2x =-++⎰⎰.23. 2d d d x xx x x =+⎰⎰⎰.24．313(1)4d d x x x x +-+=⎰⎰.25．d 4sin 3cos 5x x x ++⎰（可令tan 2xt =）；26. 3sin 2cos d 2sin 3cos x x x x x ++⎰（可令tan 2xt =或依分母分解法）；27．设(cos )sin f x x '=(0)x π<<，求()f x ． 28．设()F x 是()f x 的一个原函数，且当0x ≥时，有2e()()2(1)xx f x F x x ⋅=+，又(0)1F =， ()0F x >，求()f x ．29．()d ()f x x F x C =+⎰，且当0x ≥时，有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．30．求2[ln ()ln ()][()()()]d f x f x f x f x f x x ''''++⎰.31．设ln(1)(ln )x f x x +=，计算()d f x x ⎰.32．2()(1)()d exxf x x f x x x '-+⎰. 33．1e (ln )d x x x x+⎰. 3-1参考答案1.A2.C3.D 4．2cos sin xx C x--+. 5．tan cot x x C -+.6．e cot xx C ++. 7．ln(1e )xx C -++.8．579111sin sin sin 579x x x C -++9．455(sin cos )4x x C -+.10．1[(1)ln |1|]n nx x C n+-++.11．ln |cos sin |x x C ++.12．32arctan 36x x x x C +-+.13．arcsin x C x --+ 14．1ln |3|3x C ++.15．11(arctan 2)ln 22xx C -++. 16．321sin 2cos2sin 26448x x x x x x C --++.17．arcsin C -++. 18．arctan 1e+xx C -.1ln C +. 20. 311arctan 3x C x x-+++.21. 44811arctan 881x x C x-⋅++. 22. 2ln |1|x C +-++.23. 1arcsin 22x x C --+. 244ln |1|x C +-++.25. 1tan 22C x -++. 26．125ln |2sin 3cos |1313x x x C -++.27. 1()arcsin 22x f x x C =++. 28．232e()2(1)xx f x x =+.29．2sin 2()xf x =.30．()()[ln ()()1]f x f x f x f x C ''-+. 31．e ln(1e )ln(1e )xxxx C --++-++.32．()ex f x C x +. 33．e ln xx C +.§2 定积分【考试要求】 1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及定积分中值定理.2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3．理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿 –莱布尼茨公式.4．了解反常(广义)积分的概念，会计算反常（广义）积分.一、基本概念 1．定积分定义设()f x 在[,]a b 上有定义且有界，做下述四步：（1）分割：用1n -个分点分割区间[,]a b 011i ia x x x x -=<<<<L ；（2）作乘积：()i i f x ξ∆，其中1[,]i i i x x ξ-∈，1i i i x x x -∆=-；（3）求和：1()ni i i f x ξ=∆∑；（4）取极限：01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑，其中1max ||i i nx λ≤≤=∆，如果上述极限存在，则称()f x 在[,]a b 上可积，并称上述极限为()f x 在[,]a b 上的定积分，记作1lim ()()d nbi i ai f x f x x λξ→=∆=∑⎰.注 ()d baf x x ⎰的值与对区间[,]a b 的分法无关，与i ξ的取法无关，与积分变量用什么字母表示无关；与[,]a b 有关，与()f x 有关，即()d ()d bbaaf x x f t t =⎰⎰.2．定积分的存在性定理设()f x 在[,]a b 上连续，或在[,]a b 上有界且只有有限个第一类间断点，则()d ba f x x ⎰一定存在．3．几何意义定积分()d ba f x x ⎰表示由曲线()y f x =，,x a x b ==及x 轴所围平面图形面积的代数和． 4．定积分的运算性质：（1）()d ()d a abbf x x f x x =-⎰⎰．（4）[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.（2）()d 0aaf x x =⎰. （5）()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.（3）d bax b a =-⎰. （6）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.5．定理定理1 （定积分的比较定理）若在[,]a b 上恒有()()f x g x ≤，则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰.推论1 若()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，()()f x g x ≤，且至少有一点0[,]x a b ∈，使00()()f x g x <，则()d ()d bbaaf x xg x x<⎰⎰.推论2 若在[,]a b 上恒有()0f x ≥，则()d 0baf x x ≥⎰.推论3 ()d ()d b baaf x x f x x ≤⎰⎰．定理2（估值定理）若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤，则()()d ()ba mb a f x x M b a -≤≤-⎰．定理3（积分中值定理）（1）若()f x 在[,]a b 上连续，则[,]a b ξ∃∈，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰．（2）若()f x 在[,]a b 上连续，()g x 在[,]a b 上不变号，且在[,]a b 上可积，则[,]a b ξ∃∈，使()()d ()baf xg x x f ξ=⎰⎰.定理4（变上限积分函数及其导数）设()f x 在[,]a b 上连续，()()d xa F x f t t =⎰称为变上限积分函数，则导数为d ()()d ()()d xt xaF x f t t f t f x x ='===⎰.推论1 设()()()d x aF x f t t ϕ=⎰，则()d ()()d [()]()d x aF x f t t f x x x ϕϕϕ''==⋅⎰.推论2 设21()()()()d x x F x f t t ϕϕ=⎰，则21()2211()d ()()d [()]()[()](d x x F x f t t f x x f x x x ϕϕϕϕϕϕ'''==⋅-⋅⎰.推论3 设()()()()d x aF x f t g x t ϕ=⎰，则()()()()d x a F x g x f t t ϕ'⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦⎰()()()d ()[()](x ag x f t t g x f x ϕϕϕ''=+⎰.定理5（变上限积分函数与不定积分的关系）设()f x 在[,]a b 上连续，则变上限积分函数()()d xaF x f t t =⎰是()f x 的一个原函数，即()d ()d xaf x x f t t C =+⎰⎰.注：不定积分()d f x x ⎰只能作为运算符号，不能表示一个具体的原函数，特别当()f x 为一个抽象的函数时，无法用()d f x x ⎰来讨论它的某一原函数的性质；而()d xa f t t ⎰为某一确定的原函数，可以用它来讨论此原函数的性质.定理6（牛顿－莱布尼兹公式）设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()()()bb aaf x x F x F b F a ==-⎰． 6．定积分的计算方法（1）换元法：设()f x 在[,]a b 上连续，()x t ϕ=在[,]αβ上有连续的导数，且当t 从α变到β时，()t ϕ从()a ϕα=单调地变到()b ϕβ=，则()d [baf x x f βαϕ=⎰⎰要点：换元要换限，变量不还原，不换元则不换限．（2）分部积分法：设()u x ，()v x 在[,]a b 上有连续的导数，则d d bbb aaauv x uv u v x ''=-⎰⎰或 d d b b b aaau v uv v u =-⎰⎰．注：求不定积分时适用的积分法，相应地也适用定积分的求法．7．广义积分的概念与计算（1）无穷限的广义积分ο1 设()f x 在[,)a +∞上连续，则()d lim()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰；ο2 设()f x 在(,]b -∞上连续，则()d lim()d b baa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰；ο3 设()f x 在(,)-∞+∞上连续，则()d lim()d lim ()d bbaaa b f x x f x x f x x +∞-∞→-∞→+∞=+⎰⎰⎰．仅当等式右边的两个极限都存在时，左边的无穷限广义积分收敛，否则发散.注意： ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则()d f x x +∞-∞⎰发散.（2）无界函数的广义积分（瑕积分） ο1 设()f x 在(,]a b 上连续，lim ()x af x +→=∞，则0()d lim ()d bbaa f x x f x x εε++→=⎰⎰，x a =称为瑕点．ο2 设()f x 在[,)a b 上连续，lim ()x bf x -→=∞，则0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰，x b =称为瑕点．ο3 设()f x 在[,]a b 上除点c 外均连续，lim ()x cf x →=∞，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰12120lim ()d lim ()d c bac f x x f x x εεεε++-+→→=+⎰⎰．x c =称为瑕点．仅当等式右边的极限存在时，瑕积分收敛，否则发散.注意：ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分()d ba f x x ⎰发散.二、重要结论（1）利用定积分定义求n 项和的极限设()f x 连续，则ο1 1()d lim ()nban k b a b af x x f a k n n →∞=--=+⋅∑⎰.ο2 111()d lim ()nn k k f x x f n n →∞==⋅∑⎰.（2）奇、偶函数的积分ο1 设()f x 连续，若()f x 为偶函数，则()d xf t t ⎰为奇函数；若()f x 为奇函数，则对任意a ，()d xaf t t ⎰为偶函数.ο2 设()f x 在[,]a a -上连续，则()d [()()]d aaaf x x f x f a x-=+-⎰⎰（3）周期函数的积分设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且以T 为周期，则ο1 202()d ()d ()d T a TTT af x x f x x f x x +-==⎰⎰⎰；ο2 0()d ()d nTT a f x x n f x x =⎰⎰；ο3 0()d ()d a nT Taf x x n f x x +=⎰⎰.即：周期函数在每个周期长度区间上的积分均相等，与起点无关．（4）常用结论ο1 ππ22(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰，令π2x t =-；ο2 ππ00π(sin )d (sin )d 2xf x x f x x =⎰⎰，令πx t =-；ο3 ππ2(sin )d 2(sin )d f x x f x x =⎰⎰，πππ2π02=+⎰⎰⎰；注意：ππ2(cos )d 2(cos )d f x x f x x ≠⎰⎰ο4 递推公式ππ2200135312642sin d cos d 136422753n n n n n n n I x x x x n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-===⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰⎰三、典型例题题型1 有关定积分概念和性质的问题例1 设()f x 为连续函数，且满足。