传递函数矩阵分析

合集下载

传递函数阵

传递函数阵传递函数矩阵指的是在多输入、多输出线性时不变系统下，将系统各个输入与各个输出之间的关系统一表示为矩阵的形式。

该矩阵被称为传递函数矩阵。

系统的物理特性可以用数学模型来描述，通常采用微分方程的形式来表示。

而当系统具有多个输入和多个输出时，为了方便描述，我们可以采用矩阵的形式表示系统的状态，即将状态向量、输入向量和输出向量都表示为矩阵的形式：$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \quad\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m \end{bmatrix} , \quad\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_p \end{bmatrix}$$其中$\mathbf{x}$表示状态量矩阵，$\mathbf{u}$表示输入量矩阵，$\mathbf{y}$表示输出量矩阵。

$n, m, p$分别表示状态量、输入量和输出量的个数。

在线性时不变系统中，系统的状态方程可用矩阵形式表示：$$\begin{aligned}\dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{Ax}+\mathbf{Bu} \\\mathbf{y} &= \mathbf{Cx}+\mathbf{Du}\end{aligned}$$我们可以根据线性时不变系统的传输特性，将输入矩阵$\mathbf{B}$和直流增益矩阵$\mathbf{D}$组成一个$m\times p$的矩阵，称为传递函数矩阵$\mathbf{G}(s)$:其中，$\mathbf{G}_{ij}(s)$表示第$i$个输入对第$j$个输出的传递函数。

传递函数矩阵$\mathbf{G}(s)$反映了系统各个输入与各个输出之间的传递特性。

现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性

现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性控制理论是现代科学技术的重要组成部分，它主要研究如何通过合理的方式对动力系统进行控制。

传递函数是控制理论中的一个重要概念，它是描述控制系统中输入和输出之间关系的数学模型。

在现代控制理论中，传递函数矩阵作为传递函数的扩展，是一种描述多输入多输出系统的数学模型，具有一些特殊的结构特性。

首先，传递函数矩阵的维度决定了系统的输入和输出的数量。

设系统的输入和输出分别为u和y，传递函数矩阵的维度为p×m，其中p是输出的数量，m是输入的数量。

这意味着系统的输出是由m个输入共同作用决定的，而系统的输出也会影响到m个输入。

传递函数矩阵的维度结构清晰明确，可以直观地反映系统的复杂性和耦合程度。

其次，传递函数矩阵可以通过分块矩阵的形式表示。

在传递函数矩阵中，每个元素都是一个标量传递函数，表示输入对应输出的单一影响。

将传递函数矩阵按照行和列的方式进行分块，可以更好地表示系统的结构和功能，方便进行系统分析和设计。

例如，可以将传递函数矩阵按照行进行分块，每个分块表示一个输出对所有输入的传递函数，即系统的局部传递函数。

这种分块的方式有助于分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质。

第三，传递函数矩阵具有可乘性和可加性。

传递函数矩阵之间可以进行乘法和加法运算，得到的结果仍然是一个传递函数矩阵。

这使得系统的复杂行为可以通过简单的计算表达出来。

例如，两个传递函数矩阵相乘可以表示两个系统级联的结果，即一个系统的输出作为另一个系统的输入，从而形成一个新的系统。

传递函数矩阵的可乘性和可加性为系统分析和设计提供了便利。

最后，传递函数矩阵具有一些特殊结构，如分数阶传递函数矩阵和时滞传递函数矩阵等。

分数阶传递函数矩阵是一类常见的非整数阶动力系统的数学模型，广泛应用于控制系统、信号处理和通信系统等领域。

时滞传递函数矩阵描述的是系统的输入和输出之间存在一定的延迟，这在实际控制系统中是常见的现象。

对于这些特殊结构的传递函数矩阵，需要采用不同的方法进行分析和设计，以满足系统要求。

传递函数矩阵的特征多项式

传递函数矩阵的特征多项式函数矩阵的特征多项式在线性代数中起到非常重要的作用。

它不仅可以帮助我们求解特征值和特征向量，还可以用于矩阵的对角化、矩阵的相似性等一系列相关问题的研究。

本文将详细介绍函数矩阵的特征多项式的概念、性质以及计算方法，并且通过一些例子来加深理解。

1.函数矩阵的定义函数矩阵是指矩阵的元素是函数的矩阵，它的定义类似于普通矩阵，只不过矩阵的元素是函数形式。

设A为一个函数矩阵，那么它的元素可以表示为A=[a(ij)],其中a(ij)是一个函数。

2.特征值和特征向量回顾在回顾特征多项式之前，我们需要先了解特征值和特征向量的概念。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k是一个常数，那么k称为A的特征值，x称为A对应于特征值k的特征向量。

特征向量描述了矩阵A的变换方向和幅度。

3.特征多项式的定义设A是一个n阶方阵，λ是一个实数，那么特征多项式是f(λ)=，A-λI，其中，…，表示行列式，λ是变量，I是n阶单位矩阵。

特征多项式的次数等于方阵的阶数，它是一个关于λ的多项式。

特征多项式描述了矩阵A的特征值情况。

4.特征多项式的性质特征多项式具有以下性质：（1）特征多项式的次数等于方阵的阶数；（2）特征多项式的根就是矩阵的特征值；（3）特征多项式的零点就是特征值。

5.特征多项式的计算对于一个给定的n阶方阵A=[a(ij)]，我们可以通过以下步骤计算特征多项式：（1）构造矩阵B=A-λI，其中λ是待求特征值，I是n阶单位矩阵；（2）计算矩阵B的行列式，B，作为特征值的函数；（3）将特征多项式写成f(λ)=，B，化简。

根据矩阵的特点，计算特征多项式可能涉及复杂的行列式运算，但是通过一些性质和计算技巧，能够简化计算过程。

6.例子下面通过例子来说明特征多项式的计算过程。

（1）构造矩阵B=A-λI，得到B=[2-λ3;41-λ]；（2）计算行列式，B，得到，B，=(2-λ)(1-λ)-12=λ^2-3λ-10；（3）特征多项式为f(λ)=λ^2-3λ-10。

第7章new传递函数矩阵的矩阵分式描述和结构特性更新中

2
s 3
s 1 s3 s3 s4
s
s
s
2
s 1
解首先构造G(s) 的右MFD。为此，定出G(s)各列的最小公分母如下： dc1(s) = (s+2)(s+3)2 ， dc2(s) = (s+3)(s+4) ，dc3(s) = (s+1)(s+2)
由此可以导出G(s)的右MFD为
G(s) Nr (s)Dr1(s)
Nr(s) = Qr(s)Dr(s) + R(s)
(7-31)
且 R(s)Dr-1(s) 是严真性有理矩阵，或者说在Dr(s)为列既约条件下
δcj R(s) < δcj Dr(s),
j=1,2,…,m
(7-32)
定理7-4的对偶定理设Nl(s)和Dl(s)是两个r×m和r×r阶多项式矩阵，且
Dl(s)非奇异，则存在唯一的 r×m 阶多项式矩阵Ql(s)和L(s)使得
1 右MFD和左MFD 考虑p维输入和q维输出的连续线性时不变系统，其输入输出关系的传递
函数矩阵G(s)为q×p有理分式矩阵，其表示形式为
n11 ( s) d11 ( s)
n1p (s)
d1
p
(s)
G(s)
nq1
(
s)
nqp
(s)
dq1(s)
dqp (s)
(7 1)
严格真有理矩阵：有理矩阵 G(s) 满足 G(∞) = 0。真有理矩阵：有理矩阵 G(s) 满足 G(∞) = G0 (非零常数)。
(6-2)
右分母矩阵： p×p 阶方阵Dr(s)；右分子矩阵： q×p 阶矩阵Nr(s)；左分母矩阵： q×q 阶方阵Dl(s)；左分子矩阵： q×p 阶矩阵Nl(s)。

现代控制理论-传递矩阵

设A阵具有不相同的特征值(λi)，如果一个非零的向量pi，满足下式：
λi Pi = APi
称pi为特征向量。
4. 4 状态方程的线性变换
选取不同的状态变量有不同形式的状态方程，两组状态变量之间存在着线性变换。
x& = Ax + bu y = cx
x = px
x& = Ax + bu y = cx
= G(s)U(s) 【传递函数矩阵】
对于多输入多输出系统，初始条件为零时，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为传递函数矩阵，简称传递矩阵。
这里： G(s) = C(sI − A)−1B + D
(sI − A)−1 = adj[sI − A] sI − A
对于r维输入m维输出系统：
⎡Y1(s)⎤ ⎡G11(s) G12(s) L G1r(s)⎤⎡U1(s)⎤
b) 若A阵为友矩阵，且有n个互不相同的实数特征值λi
⎡0 1 0 L 0 ⎤
⎢ ⎢
0
01
⎥ ⎥
A=⎢ ⎢ ⎢
O
⎥
1
⎥ ⎥
⎢⎣−a0 −a1 L
−an−1 ⎥⎦
sI − A = 0
λi
3
2011-3-10
则下边的范德蒙特矩阵使A对角化
⎡1 1 L 1⎤
⎢ ⎢
λ1
λ2
L
λn
⎥ ⎥
P
=
⎢ ⎢ ⎢
λ12 M
P变换，
变换矩阵： p = [ p1 p2 L pn ]
x = px x& = px& = Ax + bu = Apx + bu
x& = p−1Apx + p−1bu = Ax + bu

对偶系统的传递函数矩阵

在线性系统理论中，偶系统是指只有偶次幂项的系统，常见的偶系统有传递函数表示和状态空间表示两种表示方法。

传递函数表示偶系统时，需要使用传递函数矩阵来表示偶系统的输入输出关系。

传递函数矩阵是一个多项式矩阵，其中的每个元素都是一个多项式，用来表示偶系统的输入输出关系。

例如，对于一个二阶偶系统，其传递函数矩阵可以表示为：
$$G(s) = \begin{bmatrix} G_{11}(s) & G_{12}(s) \ G_{21}(s) & G_{22}(s) \end{bmatrix}$$
其中，$G_{ij}(s)$ 表示系统的第 $i$ 个输入与第 $j$ 个输出之间的传递函数。

在使用传递函数矩阵表示偶系统时，还可以利用矩阵的性质来对偶系统进行分析和设计。

例如，可以使用矩阵的逆矩阵来求出偶系统的反馈传递函数矩阵，从而分析偶系统的稳定性和阻尼性等特性。

此外，还可以使用矩阵乘法的性质来求出偶系统的输入输出关系，从而设计出满足特定要求的偶系统。

在实际应用中，偶系统的传递函数矩阵可以用来分析和设计各种复杂的线性系统，例如控制系统、信号处理系统等。

传递函数矩阵

传递函数矩阵
函数矩阵的定义是指数学中的一种概念，其指的是在一个二元变量的函数中，所有不
同的可能情况的函数的集合。

它可以通过构建一个表格表示。

在线性代数的范畴中，函数
矩阵也可以被认为是线性代数的核心概念。

它是解决一个方程或系统的一种方法，其中每
一行和每一列代表一个元素，并且每一个元素都对应一个未知数或变量。

举个例子，假设有以下函数矩阵：
\[F(x,y)=[xy+3,x^2-xy]\]
这意味着x和y是两个随机变量，它们可以以不同的形式出现，每个元素分别代表不
同类型的函数，即，首先是\[xy+3\]，其次是\[x^2-xy\]。

一旦在函数矩阵中建立了这些元素，接下来的步骤就是对其进行求解和处理，以获取
正确的解决方案。

这可以通过求解函数矩阵的特征值和特征向量而实现，特征值可以定义
为所求矩阵X的特征值，而特征向量则是所求矩阵X与其特征值之间的乘积。

另一方面，函数矩阵也可以被用于计算函数的梯度，梯度也可以被定义为函数的导数，可以用来有效确定函数的变化情况，而函数矩阵可以反应函数在不同情况下的变化趋势。

总的来说，函数矩阵是一种快速有效的方法来求解一个二元变量的函数，而这样的函
数也是构建各种数学模型所必须的基础。

因此，正确理解和使用函数矩阵对于用户来说是
非常重要的。

传递函数矩阵的nyquist判据 -回复

传递函数矩阵的nyquist判据-回复什么是传递函数矩阵的nyquist判据？在控制系统理论中，传递函数矩阵的nyquist判据是一种分析控制系统稳定性的方法。

它是基于nyquist稳定性判据的一个推广，适用于多输入多输出（MIMO）系统，可以用于评估系统的稳定性和性能。

传递函数矩阵通常用于描述MIMO系统的动态行为，其中每个输入和输出都对应一个传递函数。

考虑一个MIMO系统，描述为一个传递函数矩阵G(s)，其中s是复变量。

传递函数矩阵的维度为n×m，表示系统有m 个输入和n个输出。

对于一个单输入单输出（SISO）系统，我们可以使用nyquist稳定性判据来评估系统的稳定性。

该判据基于系统的频率响应曲线，将系统的开环传递函数绘制在一个复平面上，然后通过判断曲线是否经过坐标原点来判断系统的稳定性。

然而，对于MIMO系统，传递函数矩阵G(s)的频率响应容易变得复杂。

因此，nyquist稳定性判据无法简单地应用于多变量系统。

为了克服这个问题，我们引入传递函数矩阵的nyquist判据。

传递函数矩阵的nyquist判据使用了矩阵运算，结合了系统的频率响应和外环稳定性的概念，以更好地评估系统的稳定性。

它基于以下两个核心思想：1. 外环稳定性：对于一个MIMO系统，我们可以将系统分解为多个子系统，每个子系统包含一个输入和一个输出。

传递函数矩阵的nyquist判据要求每个子系统都是稳定的，以确保整个系统的稳定性。

2. 频率响应：传递函数矩阵的nyquist判据绘制了传递函数矩阵的频率响应的复平面图。

与nyquist稳定性判据类似，我们通过判断曲线是否围绕坐标原点来评估系统的稳定性。

具体来说，传递函数矩阵的nyquist判据可以通过以下步骤进行求解：步骤1：计算传递函数矩阵的频率响应曲线。

首先，将传递函数矩阵G(s)表示为一个分子矩阵N(s)和一个分母矩阵D(s)的比值。

然后，将复变量s 替换为jω，其中j是虚数单位，ω是频率。

传递函数状态反馈增益矩阵

传递函数状态反馈增益矩阵
在控制理论中，传递函数状态反馈增益矩阵是指在引入状态反馈后，系统的动态矩阵会发生改变，但不影响输入矩阵和输出矩阵。

状态反馈可以通过适当选取反馈增益矩阵来任意移置闭环系统的极点。

对于线性定常系统，原系统的动态矩阵为$A$，输入矩阵为$B$，输出矩阵为$C$。

引入状态反馈后，系统就会变成$(A-BK,B,C)$。

其中，$K$是一个常系数矩阵（比例环节），通常称为反馈增益矩阵。

状态反馈不影响系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。

只要原系统是能控的，就一定可以通过适当选取反馈增益矩阵$K$来用状态反馈任意移置闭环系统的极点。

随着状态观测器理论和状态估计方法的发展，在很多情况下已不难获得状态变量的良好实时估计值，状态反馈方法已进入了实用阶段。

传递函数矩阵基本关系式

传递函数矩阵基本关系式
函数矩阵是一种用于描述线性变换的矩阵形式。

在传递函数矩
阵的基本关系式中，我们需要考虑以下几个方面：
1. 线性变换，函数矩阵描述了一个线性变换，它将一个向量空
间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。

线性变换具有保持向
量加法和标量乘法的性质。

2. 基向量的映射，函数矩阵的列向量表示了基向量在变换后的
映射结果。

通过函数矩阵乘以一个列向量，可以得到变换后的向量。

3. 基向量的线性组合，任意一个向量可以表示为基向量的线性
组合。

函数矩阵的作用是将基向量的线性组合映射为另一个向量空
间中的线性组合。

4. 矩阵乘法，函数矩阵的乘法运算可以用来表示多个线性变换
的复合。

通过将多个函数矩阵相乘，可以得到复合变换的函数矩阵。

5. 基变换，函数矩阵可以用来描述基向量的变换。

通过将函数
矩阵乘以一个基向量，可以得到基向量在变换后的映射结果。

综上所述，传递函数矩阵的基本关系式包括线性变换、基向量的映射、基向量的线性组合、矩阵乘法和基变换等方面。

这些关系式可以用函数矩阵的定义和性质来推导和解释。

传递函数矩阵模型

传递函数矩阵模型
传递函数矩阵模型是一种用于描述系统运行规律的模型，它以矩
阵乘法的形式表示并可进行计算。

传递函数矩阵模型是由一个输入向
量和一个输出向量合成的矩阵所表示的，它通常用于描述复杂系统的
行为，以及提供有关系统的静态及动态特性的信息。

传递函数矩阵模型主要用于分析复杂系统的输入与输出的传递关系，能够模拟系统在固定的输入条件下对输出响应的规律，深入了解
系统运行状态和输出结果规律。

传递函数矩阵模型的矩阵表示法描述
的是复杂系统中输入到输出之间的传递过程，有利于深入了解系统内
部的工作原理及运行规律。

传递函数矩阵模型的主要特点是，可以根据经验获得系统的参数，从而进一步确定系统的运行规律并保证系统性能。

使用传递函数矩阵
模型还可以发现系统中所存在的算法等实际问题，从而更好的对复杂
系统的控制策略进行优化设计。

此外，传递函数矩阵模型可以用于分析系统的稳定性，确定各参
数的恒定性，以进一步确定系统的运行特性。

传递函数矩阵模型也可
以用于系统架构优化以及系统参数变更操作，以满足系统特定目标的
要求，如效率、精确度、低噪声等性能指标。

总的来说，传递函数矩阵模型是一种综合表示复杂系统特性的模型，可以用来定量分析系统参数的影响，以实现系统最优性能匹配，
进而达到提高工作效率的目的。

多输入多输出系统传递函数矩阵

多输入多输出系统传递函数矩阵多输入多输出系统是指系统具有多个输入和多个输出的情况下，通过一组输入信号来激励系统，获得对应的输出信号。

在工程和科学领域中，多输入多输出系统被广泛应用于控制系统、通信系统、信号处理等领域。

在这篇文章中，我们将讨论多输入多输出系统的传递函数矩阵及其应用。

一、多输入多输出系统的传递函数矩阵是什么？传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学函数，多输入多输出系统的传递函数矩阵则是将多个输入和多个输出之间的关系表示为矩阵形式。

传递函数矩阵可以用于分析系统的稳定性、响应特性和频率特性等。

在传递函数矩阵中，矩阵的行数表示输出的个数，列数表示输入的个数，每个元素表示对应输入输出之间的传递函数。

二、多输入多输出系统的传递函数矩阵的表示方法传递函数矩阵可以通过多种方法表示，常见的有分块矩阵形式和行列式形式。

分块矩阵形式将传递函数矩阵按照输入和输出的关系进行分块，每个分块表示对应输入输出之间的传递函数。

行列式形式则将传递函数矩阵的每个元素表示为一个分式，分子和分母分别表示输入和输出之间的传递函数。

多输入多输出系统的传递函数矩阵在控制系统设计中起着重要的作用。

通过分析传递函数矩阵，可以得到系统的稳定性和响应特性，从而设计出合适的控制器来实现系统的控制目标。

传递函数矩阵还可以用于系统的频率特性分析，通过计算矩阵的特征值和特征向量可以得到系统的频率响应。

在通信系统中，多输入多输出系统的传递函数矩阵可以用于研究信道容量和信号传输性能。

通过分析传递函数矩阵，可以优化信道编码和调制方案，提高系统的传输效率和可靠性。

在信号处理领域，多输入多输出系统的传递函数矩阵可以用于信号的滤波和降噪。

通过设计传递函数矩阵，可以滤除信号中的噪声和干扰，提取出所需的信号信息。

多输入多输出系统的传递函数矩阵在工程和科学领域中具有广泛的应用。

通过分析传递函数矩阵，可以了解系统的稳定性、响应特性和频率特性等重要信息，从而实现系统的优化设计和性能提升。

子系统串联后的传递函数矩阵

子系统串联后的传递函数矩阵传递函数矩阵（也称为系统矩阵）是指多个子系统串联后的总传递函数矩阵。

在控制系统中，传递函数矩阵是用于描述输入和输出之间关系的一个重要工具。

下面我们将详细介绍子系统串联后的传递函数矩阵，并给出一个使用示例。

在传递函数矩阵中，每个元素代表一个输入与一个输出之间的传递函数关系。

对于一个具有n个输入和m个输出的线性时不变系统，传递函数矩阵的大小为m×n。

传递函数矩阵的第i行第j列元素表示第i个输出对第j个输入的响应关系。

假设我们有两个子系统S1和S2，它们分别有两个输入和两个输出。

传递函数矩阵可以表示为：[G11G12][G21G22]其中G11、G12、G21和G22分别是子系统S1和S2的传递函数矩阵。

我们可以通过将两个子系统的传递函数矩阵相乘来得到它们串联后的总传递函数矩阵。

注意，子系统的顺序很重要，因为不同的顺序会导致不同的结果。

假设子系统S1的传递函数矩阵为：[G11G12][G21G22]子系统S2的传递函数矩阵为：[G33G34][G43G44]那么它们串联后的传递函数矩阵为：[G11G33+G12G43G11G34+G12G44][G21G33+G22G43G21G34+G22G44]接下来我们以一个实例来说明子系统串联后的传递函数矩阵的计算方法。

假设我们有两个子系统S1和S2，它们的传递函数分别为：S1的传递函数为：G1(s)=1/(s+1)S2的传递函数为：G2(s)=1/s我们将子系统串联起来，得到总系统传递函数G(s)。

首先，我们计算S1和S2的传递函数矩阵：G11=1/(s+1)G12=0G21=0G22=1/s然后，将它们相乘得到总传递函数矩阵：G(s)=G11*G22+G12*G21=1/(s+1)*1/s简化上式得到：G(s)=1/(s*(s+1))因此，总系统的传递函数为G(s)=1/(s*(s+1))。

总结起来，子系统串联后的传递函数矩阵可以通过将每个子系统的传递函数矩阵相乘来计算。

多输入多输出系统传递函数矩阵

多输入多输出系统传递函数矩阵我们来了解一下什么是多输入多输出（MIMO）系统传递函数矩阵。

MIMO系统是指在一个系统中同时存在多个输入和多个输出信号的情况。

传递函数矩阵则是描述MIMO系统输入输出关系的数学工具。

传递函数矩阵可以将MIMO系统的输入向量和输出向量联系起来，从而更好地理解系统的动态行为。

MIMO系统传递函数矩阵的特点之一是其维度与系统的输入输出数量相关。

例如，一个具有m个输入和n个输出的MIMO系统，其传递函数矩阵的维度为n×m。

通过传递函数矩阵，我们可以将输入信号与输出信号之间的关系用一个矩阵表示，这对于系统分析和控制设计非常有帮助。

MIMO系统传递函数矩阵在实际应用中具有重要意义。

首先，传递函数矩阵可以用于系统建模和仿真。

通过测量系统的输入输出数据，我们可以估计系统的传递函数矩阵，从而建立系统的数学模型。

这对于系统的性能分析和控制器设计非常重要。

传递函数矩阵可以用于系统的稳定性和可控性分析。

通过分析传递函数矩阵的特征值和特征向量，我们可以判断系统是否稳定以及是否可控。

这对于系统的性能评估和控制器设计至关重要。

传递函数矩阵还可以用于系统的频域分析。

通过对传递函数矩阵进行频域变换，我们可以得到系统的频率响应，从而分析系统在不同频率下的性能特点。

这对于系统的滤波设计和信号处理非常有帮助。

MIMO系统传递函数矩阵是描述多输入多输出系统动态行为的重要工具。

通过传递函数矩阵，我们可以更好地理解系统的输入输出关系，并进行系统分析和控制设计。

在实际应用中，传递函数矩阵在系统建模、稳定性分析和频域分析等方面都发挥着重要作用。

因此，深入理解和熟练运用MIMO系统传递函数矩阵是掌握现代控制理论和工程实践的关键之一。

希望通过本文的介绍，读者能够对MIMO系统传递函数矩阵有更深入的理解，并在实际应用中能够灵活运用。

无论是在自动控制、通信系统还是信号处理领域，对MIMO系统传递函数矩阵的掌握都是非常重要的。

多输入多输出系统传递函数矩阵

多输入多输出系统传递函数矩阵多输入多输出系统（MIMO系统）是指同时接收多个输入信号，同时输出多个反馈信号的系统。

MIMO系统是一类非常重要的实际工程系统，被广泛应用于通信、控制、信号处理等领域。

而传递函数矩阵是MIMO系统的一个重要工具，用于描述MIMO系统进出信号之间的关系，非常有利于对系统进行控制、优化和分析。

一、传递函数矩阵的定义和意义在MIMO系统中，输入信号和输出信号一般都是向量形式的，即：u(t)=[u1(t),u2(t),...,um(t)]Ty(t)=[y1(t),y2(t),...,yn(t)]T其中，u(t)是输入信号的向量，y(t)是输出信号的向量，m和n分别是输入信号的数目和输出信号的数目。

这时，我们可以使用传递函数矩阵来描述系统的动态响应：G(s)=[G11(s) G12(s) ... G1m(s) G21(s)G22(s) ... G2m(s) ... ... ... Gn1(s) Gn2(s) ... Gnm(s)]其中，Gij(s)表示第i个输出信号对第j个输入信号的响应函数。

可以看出，传递函数矩阵是一个n×m的矩阵，它描述了系统的m个输入信号对n个输出信号的影响。

传递函数矩阵的意义在于，它可以方便地描述系统进出信号之间的关系。

对于一个MIMO系统，可能存在多种输入和输出之间的相互作用关系，这时，传递函数矩阵提供了一种非常方便的方式来描述这些相互作用。

我们可以通过研究传递函数矩阵，了解系统输入信号和输出信号之间的相互影响，从而有效控制系统的响应性能。

二、传递函数矩阵的计算方法对于一个MIMO系统，其传递函数矩阵可以通过多种方式计算得到。

这里介绍两种比较常见的计算方法。

（一）矩阵分块法矩阵分块法是传递函数矩阵的一种常见计算方法。

对于一个MIMO系统，其状态方程可以表示为：dx(t)/dt=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)其中，x(t)是系统的状态变量，A、B、C、D分别是系统的状态方程矩阵和输出矩阵。

计算机控制技术-2传递函数矩阵

1
求得传递函数阵为：
2 s 2 4 s 29 s 3s 4 1 G ( s) 3 2 2 2 s 6 s 11s 6 4 s 56s 52 3s 17s 14
2013-6-11
5
[例2 ]
U1 ( s)
1 s2 1 s3
结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性
2013-6-11 10
[系统的特征值和特征向量] 对于系统矩阵A，若存在一非零向量 v ，使得：Av v

则：
矩阵A的特征值（A特征方程的根）
矩阵A对应于特征值的特征向量矩阵A的特征矩阵矩阵A的特征方程矩阵A的特征多项式
v
I A
| I A | 0
| I A | n an1n1 a1 a0
由定义知：设 i 为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量 v i 使 Avi i vi ，则称 v i 为A的对应于 i 的特征向量。
vi v1i
2013-6-11
Yi ( s) Gij ( s) U j ( s)
[小结]：
2013-6-11
6
第四节动态方程的线性变换
1、将状态空间表达式变换成对角线标准型 2、将状态空间表达式变换成约当标准型 3、将状态空间表达式变换成能控、能观标准型
2013-6-11
7
[线性非奇异变换]：含义：如果P是一个非奇异阵，则将 x Px 变换称为线性非奇异变换。满足：
P
P 1
x P 1 x
8
两组状态变量的关系：
x Ax Bu y Cx Du
x Px
x Ax Bu y Cx Du

传递函数矩阵的nyquist判据 -回复

传递函数矩阵的nyquist判据-回复Nyquist判据是一种用于分析传递函数矩阵稳定性的工具。

它由瑞士数学家和电气工程师Harry Nyquist在20世纪20年代提出，并广泛应用于控制系统的设计和分析中。

通过分析系统的频率响应，Nyquist判据可以帮助工程师评估系统的稳定性，并根据需要进行调整和优化。

在本文中，我们将详细介绍Nyquist判据的原理、应用和计算方法。

首先，让我们回顾一下传递函数矩阵。

传递函数矩阵是一种将输入信号转换为输出信号的数学模型，常用于描述控制系统、电路等系统的行为。

它通常由一个或多个复数分子项和分母项构成，其中复数代表信号的相位和幅度。

传递函数矩阵可以用于分析系统的频率响应和稳定性。

Nyquist判据基于"稳定性边界"的概念，它是一个复平面上的闭合曲线，在该曲线内部的点代表稳定的系统，而曲线外部的点代表不稳定的系统。

这个稳定性边界曲线可以通过传递函数矩阵的频率响应来确定。

为了理解Nyquist判据的应用，让我们考虑一个简单的反馈控制系统。

这个系统由一个传递函数矩阵来描述，它包括一个控制器（C(s)）和一个被控对象（G(s)）的连接。

我们的目标是评估这个系统的稳定性。

首先，让我们将控制器和被控对象的传递函数矩阵相乘，得到系统的传递函数矩阵H(s)。

H(s) = C(s) * G(s)接下来，我们需要确定系统的稳定性边界曲线。

为此，我们计算传递函数矩阵H(s)在复平面上的频率响应。

首先，我们选择沿着正实轴（ω轴）的频率范围，从0到无穷大。

对于每个频率点ω，我们计算H(jω)，其中j表示虚数单位。

通过这样做，我们得到一系列复数值，这些值描述了系统在不同频率下的响应。

然后，我们使用这些复数值来绘制Nyquist图。

Nyquist图是一个复平面上的图形，它由传递函数矩阵的频率响应绘制而成。

图中的每个点对应于复平面上的一个频率点，其坐标由H(jω)的实部和虚部确定。

第八章-传递函数矩阵的矩阵分式描述

第八章传递函数矩阵的矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述是复频率域理论中表征多变量线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。

设一个多变量线性时不变系统如下图所示。

其输入与输出之间的关系可以用传递函数矩阵来描述。

我们将寻找新的描述方式来对该系统进行描述。

1111211221222212()()()()()()()()()()()()()()()()()()p p q q q qp p Y s g s g s g s U s Y s g s g s g s U s Y s G s U s Y s g s g s g s U s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦在上式中Y i (s )是各个输出的拉氏变换，U j (s )是各个输入的拉氏变换，g ij (s )是一个有理函数。

8.1矩阵分式描述矩阵分式描述（matrix-fraction description ，MFD ）实际上将原来为有理分式矩阵的传递函数矩阵G (s )表达为两个多项式矩阵之“比”或者说是“分子矩阵”与“分母矩阵”之“比”。

这显然也是对单变量系统的一种推广。

虽然传递函数矩阵是描述多变量系统的一个有力工具，但是，到目前为止我们还无法定义有关系统的特征多项式、零点、极点等概念，同时系统的维数与传递函数矩阵之间存在什么关系、传递函数矩阵描述方式与状态空间描述方式之间又有着怎样的关系，诸如此类的问题都要求我们扩展系统的描述方式，通过新的描述方式定义系统的结构以及各种概念；然后进一步对系统进行分析。

右MFD 和左MFD考虑p 维输入和q 维输出的连续时间时不变系统，设表征其输入输出关系的传递函数G (s )为p q ⨯有理分式矩阵。

定义8.1 右MFD如果对于G (s )，如果存在p q ⨯多项式矩阵N (s ) 和非奇异的p p ⨯多项式D (s )使：)()()(1s D s N s G -= （8.1）则称（8.1）是G (s )的一个右MFD 。

第3章传递函数矩阵的结构特性

第3章传递函数矩阵的结构特性3.1 传递函数矩阵的有限极点和零点3.2 传递函数矩阵的结构指数3.3 无穷远处的极点和零点3.1 SISO3定义：零点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那些s值。

极点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为∞的那些s值。

显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值；极点是使G(s)的模为∞的那些s值。

对MIMO系统，则要复杂得多。

一. Rosenbrock (s U 定义：G(s G(s 其Smith 给定•例如所以，零点：6二. 其它对零极点的定义1. 基于不可简约矩阵分式描述的定义G(s)的极点：detD(s)=0的根，或detA(s)=0的根G(s)的零点：使N(s)或B(s)降秩的s值。

（注：该定义等价于Rosenbrock定义）证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则)()()()()(11sBsAsDsNsG--==1111)()()()()()()()()()(--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ψ==IssssssEsVsGsUsMrrrϕϕεε则由故另一不可简约矩阵分式G D N G ==8而对左不可简约MFD有同样的结论。

2.基于状态空间描述的定义G(s)严格真时，对应的状态空间描述{A,B,C}能控，能观，则的根的根的根的极点)(det)(det,2,1,)()(===ψ====sDsrissGriϕ值降秩的使的零点的根的极点sCBAsIsGAsIsG⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-=)()det()(3. 方便计算的定义（1）G(s)的极点G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是G(s)的极点多项式，记为p(s)，p(s)=0的根就是G(s)的极点.（2）G(s)的零点当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分子的首1最大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)，z(s)=0的根，即为G(s)的零点。