高中数学-直线与圆的位置关系练习

高中数学-直线与圆的位置关系练习题

5分钟训练(预习类训练,可用于课前)

1.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y 2

=4相切,那么a 的值是( )

A.5

B.4

C.3

D.2

解析：考查直线与圆的位置关系及平面几何知识.结合图形,可知直线x=a 要与圆(x-1)2+y 2

=4相切,则a=3或-1,因为a ＞0,所以a=3. 答案：C

2.直线l:4x-3y+5=0与圆C:x 2+y 2

-4x-2y+m=0无公共点的条件是m 属于( )

A.(-∞,0)

B.(0,5)

C.(1,5)

D.(1,+∞) 解析：由圆心(2,1)到直线l:4x-3y+5=0的距离大于圆的半径可得. 答案：C

3.过点M(3，2)作⊙O：x 2+y 2

+4x-2y+4=0的切线方程是____________.

解析：作图知,所求切线不可能垂直x 轴,故切线斜率必定存在.设切线方程为y-2=k(x-3)，即kx-y+2-3k=0,由

2

2)1(|

3212|-+-+--k k k =1,得k=

12

5

或k=0,代入即可求得. 答案：y=2或5x-12y+9=0

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.已知直线l:ax-y-b=0,圆C:x 2+y 2

-2ax-2by=0,则l 与C 在同一坐标系中的图形只可能是( )

图2-3-1

解析：考查对直线与圆的方程的认识,直线与圆位置关系的判断.注意到圆的方程的特点,易知圆C 过原点,所以A 、C 均不正确;再由B 、D 两选项和圆心、直线的斜率知B 正确. 答案：B

2.直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)与圆x 2+y 2

=2的位置关系是( )

A.相切

B.相离

C.相交

D.不确定

解析：方法一,考查直线与圆的位置关系的判定方法.直线方程可化为mx+ny+m+n=0.由于圆

心(0,0)到该直线的距离为22|

|n

m n m ++,又222

222)(2)(n m n m n m n m +--=-++＜0(m≠n),∴d＜r,即直线与圆相交.

方法二:易知直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)恒过点(-1，-1)，且点(-1，-1)在圆上，又m≠n，所以直线与圆不相切.所以直线与圆相交. 答案：C

3.过点(2,1)的所有直线中,被圆x 2+y 2

-2x+4y=0截得的弦最长的直线方程为( ) A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0 C.3x-y-1=0 D.3x+y-5=0 解析：考查直线与圆的位置关系及圆的性质.直线被圆截得的最长弦应是直径,故问题即求过

(2,1)和圆心的直线方程.圆的方程为(x-1)2+(y+2)2

=5,直线被圆截得的弦最长时,应过圆心

(1,-2).由两点式,得直线方程为3x-y-5=0. 答案：A

4.已知圆C ：(x-1)2+(y-2)2

=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R ). (1)证明不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；

(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

(1)证明:∵直线过定点(3，1)，(3-1)2+(1-2)2

=5＜25, ∴点(3，1)在圆的内部.

∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交. (2)解:从(1)的结论知当直线l 过定点M(3，1)且与过此点的圆O 的半径垂直时，l 被圆所截得的弦长d(A,B)最短，由垂径定理知d(A,B)=54])21()13[(25222222=-+--=-OM r ,此时k l =

OM

k -1

. 由3

1121112---=++-

m m =2,得m=43

-,代入得l 的方程为2x-y-5=0.

5.已知圆x 2

+y 2

-6mx-2(m-1)y+10m 2

-2m-24=0(m∈R ). (1)求证：不论m 为何值，圆心总在同一条直线l 上. (2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离?

(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等.

(1)证明:将圆的方程配方得(x-3m)2+［y-(m-1)］2

=25. 设圆心为(x,y),则⎩⎨

⎧-==,

1,

3m y m x

消去m 得l:x-3y-3=0.

∴圆心恒在直线l:x-3y-3=0上.

(2)解：设与l 平行的直线是l′:x -3y+b=0,圆心(3m,m-1)到直线l′的距离为d=

10

|3|10

|

)1(33|b b m m +=

+--.

∵半径r=5,∴当d ＜r ，即3105--＜b ＜3105-时，直线与圆相交；当d=r ，即b=±3105-时，直线与圆相切；当d ＞r 时，即b ＜3105--或b ＞3105-时，直线与圆相离.

(3)证明:设对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1:x-3y+b=0，由于圆心到直线l 1的距离d=

10

|3|b +，则弦长=222d r -与m 无关，故截得的弦长相等.

30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)

1.圆x 2+y 2

-4x=0在点P(1,3)处的切线方程是( )

A.x+y 3-2=0

B.x+y 3-4=0