高中数学人教A版选修2-2优化练习第二章2.12.1.2演绎推理含解析

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高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习及答案

4. 当 q ≠ 1 时， S n =
−a1 n a q + 1 = aq n + b ，这里 a + b = 0 ，且 a ≠ 0, b ≠ 0 ，这是等比数 1−q 1−q 列前 n 项和公式的一个特征，据此很容易根据 S n ，判断数列 {an } 是否为等比数列．如若 {an } 是
等比数列，且 S n = 3 n + r ，则 r =
)
C．2 D．3
B．1
2. 从任何一个正整数 n 出发，若 n 是偶数就除以 2 ，若 n 是奇数就乘 3 再加 1 ，如此继续下去
⋯ ⋯，现在你从正整数 3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 (
A．1
答案： C 解析：按照题中给出的规则：
)
B．2
C．3
D．4
10 = 5 ；得到的第三个数是 2 16 8 5 × 3 + 1 = 16 ；得到的第四个数是 = 8 ；得到的第五个数为 = 4 ； 2 2 4 2 得到的第六个数为 = 2 ；得到第七个数为 = 1 ；得到第八个数为 1 × 3 + 1 = 4． 2 2 所以后面的数是以 4、2、1 为一个周期的数．
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第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推据已知中的点
E, F 的位置，如图，可知入射角的正切值为 2 ，第一次碰撞点为 F ，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点 G 在 DA 上，且 1 1 DG = , 第三次碰撞点 H 在 DC 上，且 DH = ，第四次碰撞点 M 在 CB 上，且 6 3 1 1 1 CM = ，第五次碰撞点为 N ，在 DA 上，且 AN = ，第六次回到 E 点， AE = . 3 6 3

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 2.2.1.2 含解析

第2课时分析法课时过关·能力提升基础巩固1分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件答案A2欲证2-√5<√6−√7成立,只需证()A.(2-√5)2<(√6−√7)2B.(2-√6)2<(√5−√7)2C.(2+√7)2<(√5+√6)2D.(2-√5−√6)2<(-√7)2解析由分析法知,欲证2-√5<√6−√7,只需证2+√7<√6+√5,即证(2+√7)2<(√6+√5)2,故选C.答案C3要证明√3+√7<2√5,可选择的方法有下面几种,其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.特殊值法D.其他方法答案B4分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且a+b+c=0,求证:√b2-ac<√3a索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0答案C5将下面用分析法证明a 2+b22≥ab的步骤补充完整:要证a2+b22≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证,即证,由于显然成立,因此原不等式成立.答案a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥06用A,B,C和a,b,c分别表示△ABC的三个内角和三条边.求证:当tan A·tan B>1时,△ABC为锐角三角形.证明要证三角形为锐角三角形,只需证A,B,C均为锐角,只需证tan A,tan B,tan C均为正.因为tan A tan B>1,且A+B<π,所以tan A>0,且tan B>0.又因为tan C=tan[180°-(A+B)]=-tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB-1>0,所以A,B,C均为锐角,即△ABC为锐角三角形.7已知a,b,m是正实数,且a<b,求证:ab <a+mb+m.证明由a,b,m是正实数,故要证ab <a+mb+m,只需证a(b+m)<b(a+m),只需证ab+am<ab+bm,只需证am<bm.而m>0,所以只需证a<b.由条件知a<b成立,故原不等式成立.8设|a|<1,|b|<1,求证:|a+b1+ab|<1.证明要证|a+b1+ab|<1,只需证|a+b|<|1+ab|,只需证(a+b)2<(1+ab)2,只需证a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2,只需证a2-a2b2+b2-1<0,只需证(a2-1)(b2-1)>0.当a2<1,b2<1,即|a|<1,|b|<1时,上式成立.所以原不等式成立.9设a,b∈(0,+∞),且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.(提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)) 证明方法一(分析法):要证a3+b3>a2b+ab2成立,即证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.又因为a+b>0,所以只需证a2-ab+b2>ab成立,即证a2-2ab+b2>0成立,即证(a-b)2>0成立.而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立.由此命题得证.方法二(综合法):a≠b⇔a-b≠0⇔(a-b)2>0⇔a2-2ab+b2>0⇔a2-ab+b2>ab.注意到a,b∈(0,+∞),a+b>0,由上式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).所以a3+b3>a2b+ab2.能力提升1若a≥0,P=√a+√a+7,Q=√a+3+√a+4,则P,Q的大小关系是()A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值确定解析要比较P,Q,只需比较P2=2a+7+2√a2+7a与Q2=2a+7+2√a2+7a+12,只需比较a2+7a与a2+7a+12的大小,显然前者小.答案C2要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-a 4+b42≤0C.(a+b)22-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0解析因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,故选D. 答案D★3已知a,b,μ∈(0,+∞),且1a +9b=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是.解析∵a,b∈(0,+∞),且1a +9b=1,∴a+b=(a+b)(1a +9b)=10+(9ab+ba)≥10+2√9=16,当且仅当b=3a时等号成立.∴a+b的最小值为16.∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ成立,故0<μ≤16.答案(0,16]4若对任意x>0,x x 2+3x+1≤a 恒成立,则a 的取值范围是 . 解析当x>0时,x 2=1x+1x +3≤1=1(当且仅当x=1时,取等号),要使x 2≤a 恒成立. 只需15≤a 即可.故a ≥15.答案[15,+∞)5已知a>0,1b −1a >1.求证:√1+a >√1-b . 证明要证√1+a >√1-b , 只需证1+a>11-b, 只需证(1+a )(1-b )>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,所以a-b>ab.只需证a -b ab >1,即1b −1a >1.由已知a>0,1b −1a >1成立,所以√1+a >√1-b成立. 6已知a>0,用分析法求证:√a 2+1a 2−√2≥a+1a -2. 证明要证√a 2+1a 2−√2≥a+1a-2, 只需证√a 2+1a 2+2≥a+1a +√2,又a>0,故只需证(√a 2+12+2)2≥(a +1+√2)2,即要证a 2+1a 2+4√a 2+1a 2+4≥a 2+2+1a 2+2√2·(a +1a)+2,只需证2√a 2+1a 2≥√2(a +1a ), 只需证4(a 2+1a 2)≥2(a 2+2+1a 2).即a 2+1a 2≥2.而此不等式显然成立,故原不等式成立.★7已知2tan A=3tan B.求证:tan(A-B )=sin2B 5-cos2B . 分析观察条件与结论,结论中出现二倍角,可把二倍角公式化为单角,再将分式化为整式,同时等式的左边可用差角正切公式,再结合已知等式消去角A ,此时将等式中的常数2化为2(sin 2B+cos 2B ),可以发现等式中两边是关于sin B 与cos B 的二次式,再逆用公式tan B=sinB cosB 将弦化为切即可完成证明. 证明因为2tan A=3tan B ,所以tan A=32tan B.要证tan(A-B )=sin2B 5-cos2B, 只需证tanA -tanB 1+tanAtanB =2sinBcosB 5-(1-2sin 2B ),只需证12tanB 1+32tan 2B =2sinBcosB 4+2sin 2B ,即证tanB2+3tan 2B =sinBcosB 2+sin 2B , 只需证tan B (2+sin 2B )=(2+3tan 2B )sin B cos B ,只需证tan B (2cos 2B+3sin 2B )=(2+3tan 2B )sin B cos B ,只需证tan B (2+3·sin 2B cos 2B) =(2+3tan 2B )·sinBcosB cos 2B , 即证tan B (2+3tan 2B )=(2+3tan 2B )tan B.因为tan B (2+3tan 2B )=(2+3tan 2B )tan B 显然成立,所以tan(A-B )=sin2B5-cos2B 成立.。

高中数学人教A版选修2-2优化练习：第二章章末优化总结 Word版含解析

章末检测(二)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理D ．非以上答案解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 答案：C2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理．答案：C3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：A4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为( )A ．f (2n )＝n ＋22B ．f (2n )>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．f (n )>n2解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋22，故选B.答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，…，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85；……由S 1＝22＝2×11＋1，S 2＝43＝2×22＋1，S 3＝64＝2×33＋1，S 4＝85＝2×44＋1，…，可以猜想S n ＝2nn ＋1.答案：A6．如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C7．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2(n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 答案：B9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)．∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0. ∴c 2－a 2－ac ＝0.∴e 2－e －1＝0.∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.答案：A10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k )＝1(k ＋1)＋(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1.答案：C11．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列{a n }的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3……由此我们可以推断：a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝12×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)∴a 2 012－5＝12×[2＋(2 012＋2)]×(2 012＋1)－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 011，故选D.答案：D12．语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好．”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：假设A 、B 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的．同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的．因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于114．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x ，…，照此规律，则f n (x )＝________.解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，括号前是(－1)n ，括号里是x －n ，故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 816．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，连接NE ，ME ，OF .∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝ (12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 23三、解答题(本大题共6小题，共74分，必要的解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立．又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．18．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lga ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2) ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证． 19. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.21．(本小题满分13分) 设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝a n ＋1－a 1da 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 再证充分性． (直接证法)依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)，④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，⑤又由①当n ＝2时，得等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，知a 3－a 2＝a 2－a 1，故⑤对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．(1)对于数对序列P ：(2,5)，(4,1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P ′：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T2 (P′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)．解析：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。

数学人教A版选修2-2优化练习第二章 2.2 2.2.1 第1课时综合法 Word版含解析

[课时作业][组基础巩固]．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＜α＋β解析：∵α、β为锐角，∴＜α＜α＋β＜π，∴α＞(α＋β)，又β＞，∴α＋β＞(α＋β)．答案：．在不等边三角形中，为最长边，要想得到∠为钝角的结论，三边，，应满足条件( )．＝＋．＜＋．≤＋．＞＋解析：由余弦定理得：＝＜，故＋－＜，∴＞＋.答案：．设＝＋，＝(＜)，则与大小关系为( )．＜．＞．≤．＝解析：＝＋＝，＝，当＜时，＜＜.∴＞.答案：．四面体中，棱、、两两垂直，则点在底面内的射影一定是△的( )．外心．内心．垂心．重心解析：如图，设点是点在底面内的射影，并连接，则⊥面.连接并延长交于点.由已知易得⊥.又∵⊥面，∴⊥.∴⊥面，∴⊥.∴在的高线上，同理在，的高线上．答案：．不相等的三个正数，，成等差数列，并且是，的等比中项，是，的等比中项，则，，三数( )．成等比数列而非等差数列．成等差数列而非等比数列．既成等差数列又成等比数列．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得②＝. ③))由②③得代入①，得＋＝，即＋＝.故，，成等差数列．又由①得＝>＝·所以>·，故，，不成等比数列．答案：．设、是两个不共线的向量，＝＋，＝＋，若、、三点共线，则＝.解析：∵、、三点共线，∴存在λ使＝λ，即＋＝λ(＋)．∴λ＝，＝.答案：．已知α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝.则(α－β)＝.解析：∵α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝，∴α＋β＝－γ α＋β＝－γ))，两式平方相加得：＋( αβ＋αβ)＝，∴(α－β)＝－.答案：－．设>，>，则下面两式的大小关系为(＋)[(＋)＋(＋)]．解析：∵(＋)－(＋)(＋)＝＋＋－－－－＝－(＋)＝－(－)≤，∴(＋)≤(＋)(＋)，∴(＋)≤[(＋)＋(＋)]．答案：≤。

2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章212.1.2演绎推理

[课时作业 ][A 组基础稳固]1．“ π是无穷不循环小数，因此π是无理数”，以上推理的大前提是()A．实数分为有理数和无理数B．无理数是无穷不循环小数C．无穷不循环小数都是无理数D．有理数都是有限循环小数分析：由三段论的知识可知，其大前提是：无穷不循环小数都是无理数．答案： C2．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③因此三角形不是矩形”中的小前提是()A ．①B．②C．③D．①②分析：由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.答案： B3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内全部直线；已知直线 b 在平面α外，直线 a 在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线 a”的结论明显是错误的，这是由于()A ．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误分析：直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．答案： A4．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，因此参议员先生是鹅”．结论明显是错误的，这是由于()A ．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误分析：推理形式不切合三段论推理的形式．三段论的形式是：M 是 P， S 是 M，则 S 是 P，而上边的推理形式则是：M 是 P，S 是 P，则 S 是 M.应选 C.答案： C5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不可；事不可，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；因此，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A ．类比推理B．概括推理C．演绎推理D．一次三段论分析：这是一个复合三段论，从“ 名不正” 推出“ 民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．答案： C6．已知推理：“由于△ ABC 的三边长挨次为 3、 4、 5，因此△ ABC 是直角三角形”，若将其恢复成完好的三段论，则大前提是 ________．分析：题中推理的依照是勾股定理的逆定理．答案：一条边的平方等于其余两边平方和的三角形是直角三角形．7．以下推理中，错误的序号为________．①∵ ab＝ ac，∴ b＝ c；②∵ a≥ b，b>c，∴ a>c；③∵ 75 不可以被 2 整除，∴ 75 是奇数；④∵ a∥ b，b⊥平面α，∴ a⊥ α.分析：当 a＝ 0 时， ab＝ ac，但 b＝ c 未必建立．答案：①8．求函数 y＝log 2x－ 2的定义域时，第一步推理中大前提是a存心义时， a≥ 0，小前提是log2 x－2有意义，结论是________．分析：由三段论方法知应为log 2x－ 2≥ 0.答案： log2x－ 2≥ 09．判断以下几个推理能否正确？为何？(1)“由于过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提 )，而 A，B， C 为空间三点 (小前提 )，因此过 A， B，C 三点只好确立一个平面(结论 )．”(2)“由于金属铜、铁、铝可以导电 (大前提 )，而金是金属 (小前提 )，因此金能导电 (结论 )．”分析：(1) 不正确．小前提错误．由于若三点共线，则可确立无数平面，只有不共线的三点才能确立一个平面．(2)不正确．推理形式错误．由于演绎推理是从一般到特别的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特别案例，从特别到特别的推理不是演绎推理．10.以下图，从 A 地出发到河畔饮完马再到 B 地去，在河畔哪个地方饮马可使路途最短？分析：如图，先作点 A 对于 MN 的对称点A′，连结 BA′，交 MN于点P，P点即为所求．用演绎法证明以下：以下图，在 MN 上任取一点P′ (异于点 P)，连结 AP′、A′ P′、BP′，则 AP′＝ P′ A′，AP ＝PA′，进而 AP′＋P′ B＝ A′P′＋ P′ B＞A′ P＋ PB＝ AP＋ PB .由此可知： A 到 B 经 P 点距离最短．[B 组能力提高]1．命题“有些有理数是无穷循环小数，整数是有理数，因此整数是无穷循环小数”是假命题，推理错误的原由是 ()A．使用了概括推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误分析：应用了“ 三段论” 推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误致使结论错误．答案：D2．设⊕是R 内的一个运算， A 是R 的非空子集．若对于随意a， b∈ A，有a⊕ b∈A，则称 A 对运算⊕关闭．以下数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都关闭的是( )A ．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集分析： A 错，由于自然数集对减法不关闭； B 错，由于整数集对除法不关闭； C 对，由于随意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都关闭； D 错，由于无理数集对加、减、乘、除法都不关闭．答案： C3．甲、乙、丙三位同学被问到能否去过A， B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市．丙说：我们三个去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．分析：由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市，乙去过 A 城市或 B 城市，联合丙的回答可得乙去过 A城市．答案： A4．已知函数f(x)知足： f(1) ＝1， 4f(x)f(y)＝ f(x＋ y)＋ f(x－ y)(x， y∈ R)，则 f(2 010)＝ ________. 4分析：令 y＝1 得 4f(x) ·f(1) ＝ f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)，即 f(x)＝ f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)①令 x 取 x＋ 1 则 f(x＋ 1)＝ f(x＋ 2)＋ f(x) ②由①②得f(x) ＝f(x＋ 2)＋ f(x)＋ f(x－ 1) ，即 f( x－1)＝－ f(x＋2)，∴f(x)＝－ f(x＋ 3)，∴f( x＋3)＝－ f(x＋ 6)，∴f(x)＝ f( x＋6) ，即 f(x)周期为 6，。

数学人教A版选修2-2优化练习第二章章末优化总结 Word版含解析

章末检测(二)时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．根据偶函数定义可推得“函数()＝在上是偶函数”的推理过程是( )．类比推理．归纳推理．非以上答案．演绎推理解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选.答案：．下面四个推理不是合情推理的是( )．由圆的性质类比推出球的有关性质．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是°，归纳出所有三角形的内角和都是°．某次考试张军的成绩是分，由此推出全班同学的成绩都是分．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：是类比推理，、是归纳推理，不是合情推理．答案：．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于，因为是实数，所以>”，你认为这个推理( )．小前提错误．大前提错误．是正确的．推理形式错误解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于”，小前提是“是实数”，结论是“>”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：．设为正整数，()＝＋＋＋…＋，计算得()＝，()>，()>，()>，()>，观察上述结果，可推测出一般结论为( )．()>．()＝．()>．()≥解析：观察所给不等式，不等式左边是()，右边是，故选.答案：．已知数列{}的前项和为，且＝，＝(∈*)，计算，，，，…，可归纳猜想出的表达式为( )解析：由＝，得＋＝，∴＝，＝；又＋＋＝，∴＝，＝＝；又＋＋＋＝，得＝，＝；……由＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，…，可以猜想＝.答案：．如果两个数之和为正数，则这两个数( )．一个是正数，一个是负数．两个都是正数．至少有一个是正数．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：．已知为正偶数，用数学归纳法证明－＋－＋…＋＝时，若已假设＝(≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝(＋)时等式成立解析：因为假设＝(≥为偶数)，故下一个偶数为＋，故选.答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋＝时，从＝到＝＋时，等式左边应添加的式子是( )．(－)＋．(＋)＋．(＋)(＋)[(＋)＋]解析：当＝时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(－)…＋＋，当＝＋时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(＋)＋＋(－)＋…＋＋，∴从＝到＝＋，左边应添加的式子为(＋)＋.答案：.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于( )。

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 2.1.1 含解析

02第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课时过关·能力提升基础巩固1数列5,9,17,33,x,…中x的值为()A.47B.65C.63D.128解析5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,猜想x=26+1=65.答案B2下列类比推理恰当的是()A.把a(b+c)与log a(x+y)类比,则有log a(x+y)=log a x+log a yB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b nD.把a(b+c)与a·(b+c)类比,则有a·(b+c)=a·b+a·c解析选项A,B,C没有从本质上类比,是简单类比,从而出现错误.答案D3下列关于归纳推理的说法错误的是()A.归纳推理是由一般到一般的推理过程B.归纳推理是由特殊到一般的推理过程C.由归纳推理得出的结论不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析由归纳推理的定义与特征可知选项A错误,选项B,C,D均正确,故选A.答案A4如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角.根据数组中数的构成规律,知a 所表示的数是( )A.2B.4C.6D.8解析经观察、分析杨辉三角形可以发现:从第3行开始,每行除1外,每个数都是它肩上的两数之和,如第6行的第2个数为5,它肩上的两数为1和4,且5=1+4.由此可推知a=3+3=6,故选C. 答案C5若在数列{a n }中,a 1=1,a 2=3+5,a 3=7+9+11,a 4=13+15+17+19,……,则a 10= . 解析前10项共使用了1+2+3+…+10=55个奇数,a 10由第46个到第55个共10个奇数的和组成,即a 10=(2×46-1)+(2×47-1)+…+(2×55-1)=10×(91+109)2=1 000. 答案1 0006观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,……根据上述规律,第四个等式为 .答案13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)27对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题 .解析利用类比推理可知,平面中的直线应类比空间中的平面. 答案夹在两个平行平面间的平行线段相等8在平面△ABC 中,角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比为S △AEC S △BEC=ACBC,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD 中,平面DEC 平分二面角A-CD-B ,且与AB 交于点E ,则类比的结论为 .解析平面中的面积类比到空间为体积,故S △AEC S △BEC类比成VA -CDE VB -CDE.平面中的线段长类比到空间为面积, 故AC BC 类比成S△ACD S △BCD.故有V A -CDE V B -CDE =S△ACD S △BCD.答案V A-CDEV B-CDE =S△ACDS△BCD能力提升1下列说法正确的是()A.合情推理得到的结论是正确的B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理解析归纳推理和类比推理统称为合情推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理就是从特殊到特殊的推理,故选项D正确.答案D2定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的图形分别是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)解析由已知的4个图形可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,所以表示A*D的是图形(2),表示A*C的是图形(4),故选C.答案C3已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,则此数列的第k项是()A.a k+a k+1+…+a2kB.a k-1+a k+…+a2k-1C.a k-1+a k+…+a2kD.a k-1+a k+…+a2k-2解析利用归纳推理可知,第k项中的第一个数为a k-1,且第k项中有k项,幂指数连续,故第k项为a k-1+a k+…+a2k-2,故选D.答案D4观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,……,52 017的末四位数字为( ) A.3 125 B.5 625 C.0 625D.8 125解析由观察易知55的末四位数字为3 125,56的末四位数字为5 625,57的末四位数字为8 125,58的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,故周期T=4.又由于2 017=504×4+1,因此52 017的末四位数字是3 125. 答案A5观察下列等式 1-12=121-12+13−14=13+141-12+13−14+15−16=14+15+16 ……据此规律,第n 个等式可为 . 解析经观察知,第n 个等式的左侧是数列{(-1)n -1·1n}的前2n 项和,而右侧是数列{1n}的第n+1项到第2n 项的和,故为1-12+13−14+…+12n -1−12n=1n+1+1n+2+ (12). 答案1-12+13−14+…+12n -1−12n =1n+1+1n+2+…+12n6一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *),其中x k (k=1,2,…,n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0). 已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组:{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,其中运算定义为:0 0=0,0 1=1,1 0=1,1 1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,则利用上述校验方程组可判定k= . 答案57图①是某届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化而成的,其中|OA 1|=|A 1A 2|=|A 2A 3|=…=|A 7A 8|=1.如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去,记OA 1,OA 2,…,OA n ,…的长度构成数列{a n },那么推测数列{a n }的通项公式为a n = .解析根据|OA 1|=|A 1A 2|=|A 2A 3|=…=|A 7A 8|=1和题图②中的各直角三角形,由勾股定理,可得a 1=|OA 1|=1,a 2=|OA 2|=√|OA 1|2+|A 1A 2|2=√12+12=√2,a 3=|OA 3|=√|OA 2|2+|A 2A 3|2=√(√2)2+12=√3,……故可归纳推测a n =√n . 答案√n ★8有一个雪花曲线序列,如图所示.其产生规则是:将正三角形P 0的每一边三等分,而以其中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形,再擦去中间的那条线段,便得到第1条雪花曲线P 1;再将P 1的每条边三等分,按照上述规则,便得到第2条雪花曲线P 2,……将P n-1的每条边三等分,按照上述规则,便得到第n 条雪花曲线P n (n=1,2,3,4,…). (1)设P 0的周长为L 0,试猜想P n 的周长L n ; (2)设P 0的面积为S 0,试猜想P n 的面积S n .解(1)在雪花曲线序列中,前后两条曲线之间的基本关系如图所示,易得L n =43L n-1(n ∈N *),故可猜想L n =43L n-1=…=(43)nL 0,n ∈N *.(2)由雪花曲线的构造规则比较P 0和P 1,易得P 1比P 0的每边增加一个小等边三角形(缺少一边),其面积为S032,而P 0有3条边,故有S1=S0+3·S032=S0+S03.再比较P2与P1,可知P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形(缺少一边),其面积为132·S0 32,而P1有3×4条边,故有S2=S1+3×4×S034=S0+S03+4S033.同理可得S3=S2+3×42×S036=S0+S03+4S033+42S35,故可猜想S n=S0+S03+4S033+42S35+43S37+…+4n-1S32n-1=S0+13[1-(49)n]1-49S0=[85-35(49)n]S0.。

高中数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.2 2.2.1 第2课时分析法 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a 索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0解析：要证b 2－ac ＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2，只需证b 2－a (－b －a )＜3a 2，只需证2a 2－ab －b 2＞0，只需证(2a ＋b )(a －b )＞0，只需证(a －c )(a －b )＞0.故索的因应为C.答案：C2．证明命题“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下： ∵f (x )＝e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝e x －1e x . ∵x >0，∴e x >1,0<1e x <1， ∴e x －1e x >0，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.答案：A3．要使a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0成立的充要条件是( )A ．|a |≥1且|b |≥1B ．|a |≥1且|b |≤1C ．(|a |－1)(|b |－1)≥0D ．(|a |－1)(|b |－1)≤0解析：a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0⇔a 2(1－b 2)＋(b 2－1)≤0⇔(b 2－1)(1－a 2)≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0⇔(|a |－1)(|b |－1)≥0.答案：C 4.2＋6与3＋5的大小关系是( ) A.2＋6≥ 3＋ 5B.2＋6≤ 3＋ 5C.2＋6＞3＋ 5D.2＋6＜3＋ 5 解析：要想确定2＋6与3＋5的大小，只需确定(2＋6)2与(3＋5)2的大小，只需确定8＋212与8＋215的大小，即确定12与15的大小，显然12＜15.∴2＋6＜3＋ 5.答案：D5．若x ，y ∈R ＋，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A ．2 2B. 2 C ．2D ．1 解析：原不等式可化为a ≥x ＋y x ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y ＝1＋2xy x ＋y要使不等式恒成立，只需a 不小于1＋2xy x ＋y 的最大值即可． ∵1＋2xy x ＋y≤2，当x ＝y 时取等号，∴a ≥2， ∴a 的最小值为 2.故选B.答案：B6．设n ∈N ，则n ＋4－n ＋3________ n ＋2－n ＋1(填＞、＜、＝)．解析：要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小．即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号，∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2) ]＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)＜0.∴n ＋4－n ＋3＜n ＋2－n ＋1.答案：＜7.如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .答案：AC ⊥BD (答案不唯一)8．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝________.解析：不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的一根，另一根为a ，则m ＝a ＋12，12a ＝2. 设x 2－nx ＋2＝0的两根为b ，c, 则n ＝b ＋c ，bc ＝2.由12，b ，c ，a 成等比数列及a ＝4可得b ＝1，c ＝2，从而m ＝92，n ＝3，|m －n |＝32. 答案：329．已知0＜a ≤1,0＜b ≤1,0＜c ≤1，求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1. 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ，即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0.∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a )＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )，又a ≤1，b ≤1，c ≤1，∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0.∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立，即证明了1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1. 10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为π(l 2π)2，正方形的面积为(l 4)2，因此本题只需证明π(l 2π)2＞(l 4)2. 为了证明上式成立，只需证明πl 24π2＞l 216，两边同乘以正数4l 2，得1π＞14，因此，只需证明4＞π.上式显然成立，故π(l 2π)2＞(l 4)2. [B 组能力提升]1．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝(12)x ，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：因为函数f (x )＝(12)x 为减函数，所以要比较A ，B ，C 的大小，只需比较a ＋b 2，ab ，2ab a ＋b 的大小，因为a ＋b 2≥ab ，两边同乘ab 得：ab ·a ＋b 2≥ab ，即ab ≥2ab a ＋b，故a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，∴A ≤B ≤C . 答案：A2．设甲：函数f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，乙：函数g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对解析：对甲，要使f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，只需要Δ＝m 2－4n >0即可；对乙，要使g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，只需要u ＝x 2＋mx ＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m 2－4n ≥0，所以甲是乙的充分不必要条件．答案：A3．要证3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是________．解析：要证3a －3b <3a －b ，只需证(3a －3b )3<(3a －b )3，即a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ，即33a 2b －33ab 2>0，即3ab (3a －3b )>0.故所需条件为⎩⎨⎧ 3ab >0，3a －3b >0或⎩⎨⎧ 3ab ＜0，3a －3b <0，即ab >0且a >b 或ab <0且a <b .答案：ab >0且a >b 或ab <0且a <b4．如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值为________．解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2, 得2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y 的最小值为23－2.答案：23－25．在某两个正数m ，n 之间插入一个数x ，使m ，x ，n 成等差数列，插入两个数y ，z ，使m ，y ，z ，n 成等比数列，求证：(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．证明：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝m ＋n y 2＝mzz 2＝yn，所以m ＝y 2z ，n ＝z 2y. 即m ＋n ＝y 2z ＋z 2y ，从而2x ＝y 2z ＋z 2y. 要证(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)，只需证x ＋1≥(y ＋1)(z ＋1)成立．只需证x ＋1≥(y ＋1)＋(z ＋1)2即可．也就是证2x ≥y ＋z ，而2x ＝y 2z ＋z 2y，则只需证y 2z ＋z 2y≥y ＋z 即可．即y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，只需证y 2－yz ＋z 2≥yz ，即证(y －z )2≥0成立，由于(y －z )2≥0显然成立，∴(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．6．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－a ，x ∈[0，＋∞)，设x 1＞0.记曲线y ＝f (x )在点M (x 1，f (x 1))处的切线为l .(1)求l 的方程；(2)设l 与x 轴的交点为(x 2,0)，求证：x 2≥a 13. 解析：(1)f ′(x )＝3x 2.故l 的方程为y －(x 31－a )＝3x 21(x －x 1)，即y ＝3x 21x －2x 31－a .(2)证明：令y ＝3x 21x －2x 31－a ＝0，得x ＝2x 31＋a 3x 21，∴x 2＝2x 31＋a 3x 21.欲证x2≥a 1 3，只需证2x31＋a≥3x21·a 1 3，即证(x1－a 13)2(2x1＋a13)≥0，显然成立，∴原不等式成立.。

人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.1.2演绎推理(含答案)

选修2-2第二章 2.1 2.1.2
1．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是()
A．①B．②
C．③D．①②
[答案] B
[解析]由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
2．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．
[答案]log2x－2≥0
[解析]由三段论方法知应为log2x－2≥0.
3．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案]若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
4．先解答下题，然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则．设m为实数，求证：方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
[解析]已知方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，所以方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
说明：此推理过程用三段论表述为：
大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根；
小前提：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ<0；
结论：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
解题过程就是验证小前提成立后，得出结论．。

人教A版数学选修2-2习题第二章推理与证明 2.1.2演绎推理 Word版含答案

第二章推理与证明合情推理与演绎推理演绎推理级基础巩固一、选择题．对，∈＋，＋≥，……大前提＋≥，……小前提所以＋≥.……结论以上推理过程中( )．大前提错误．小前提错误．无错误．结论错误解析：小前提错误，因为只有当＞时，才有＋≥.答案：．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线在平面α外，直线在平面α内，直线∥平面α，则直线∥直线.”结论显然是错误的，这是因为( )．小前提错误．大前提错误．推理形式错误．非以上错误解析：若直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．答案：．下列四类函数中，具有性质“对任意的＞，＞，函数()满足(＋)＝()·()”的是( )．幂函数．对数函数．余弦函数．指数函数解析：只有指数函数 ()＝(＞，≠)，满足条件．答案：．下面几种推理过程是演绎推理的是( )．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠和∠是两条平行线的同旁内角，那么∠＋∠＝°．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质．某高校共有个班，班有人，班有人，班有人，由此推测各班都超过人．在数列{}中，＝，＝(≥)，由此归纳出{}的通项公式解析：选项中的推理是演绎推理，选项中的推理是类比推理，选项、中的推理是归纳推理．答案：．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数．”结论显然是错误的，这是因为( )．小前提错误．大前提错误．非以上错误．推理形式错误解析：用小前提“是”，判断得到的结论“是”时，大前提“是”必须是所有的，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：二、填空题．用演绎推理证明“＝是周期函数”时的大前提为，小前提为．解析：用演绎推理证明“＝是周期函数”时的大前提是“三角函数是周期函数”，小前提是“＝是三角函数”．答案：三角函数是周期函数＝是三角函数．在求函数＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，即≥；小前提是有意义；结论是．解析：要使函数有意义，则－≥，解得≥，所以函数＝的定义域是[，＋∞)．答案：函数＝的定义域是[，＋∞)．关于函数()＝(≠)，有下列命题：①其图象关于轴对称；②当＞时，()为增函数；③()的最小值是；④当－＜＜，或＞时，()是增函数；⑤()无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是．解析：易知(－)＝()，所以()为偶函数，其图象关于轴对称，①正确；当＞时，()＝＝；因为在()＝在(，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，所以()在(，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，故②不正确；而()有最小值，所以③正确；④也正确；⑤不正确．答案：①③④三、解答题．设为实数，利用三段论求证方程－＋－＝有两个相异实根．证明：因为如果一元二次方程＋＋＝(≠)的判别式Δ＝－＞，那么方程有两相异实根．(大前提)一元二次方程－＋－＝的判别式Δ＝()－(－)＝－＋＝(－)＋＞，(小前提)所以方程－＋－＝有两相异实根．(结论)．已知，，是实数，函数()＝＋＋，当≤时，()≤，证明≤，并分析证明过程中的三段论．证明：因为≤时，()≤.＝满足≤，所以()≤，又()＝，所以≤.证明过程中的三段论分析如下：。

高中数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.1 2.1.1 合情推理 Word版含解析

[课时作业][A组基础巩固]1．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.答案：B2．数列{a n}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32C．33 D．27解析：因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.答案：B3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案：A4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D.答案：D5．n个连续自然数按规律排列如下表：01234567891011…根据规律，从2 010到2 012箭头的方向依次为()A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓解析：观察题图的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由2,3,4可知从2 010到2 012为↑→，故应选C.答案：C6．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量②，请你写出类似于①的式子：___________________________________________， ②式可以用语言叙述为：_______________________________________________. 解析：半径为R 的球的体积V (R )＝43πR 3，表面积S (R )＝4πR 2，则(43πR 3)′＝4πR 2.答案：(43πR 3)′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数7．观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； ……照此规律，第n 个等式可为________．解析：观察等号左边的规律发现，左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号成正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的绝对值的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n (n ＋1)2，∴第n 个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n＋1·n (n ＋1)2(n ∈N *)．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2(n ∈N *)8．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 解析：根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8, 16，…可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n.答案：x(2n－1)x ＋2n9．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论， 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2， 2cos π16＝2＋2＋2，……证明：2cos π4＝2·22＝2，2cos π8＝21＋cosπ42＝21＋222＝2＋2，2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝ 2＋2＋ 2…观察上述等式可以发现，第n 个等式右端有n 个根号，n 个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n 个等式的左端应为2cos π2n ＋1，由此可归纳出一般性的结论为：2cos π2n ＋1＝10．点P ⎝⎛⎭⎫22，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x ＋22y ＝1，又点Q (2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y ＝1与圆相交，点R ⎝⎛⎭⎫12，12在圆C 的内部．直线12x ＋12y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？解析：点P (a ，b )在⊙C ：x 2＋y 2＝r 2上时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相切；点P 在⊙C 内时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相离；点P 在⊙C 外部时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相交．容易证明此结论是正确的．[B 组能力提升]1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30解析：观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.答案：B2．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P -ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P -ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P -ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V . ∴V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C3．(2014·高考陕西卷)观察分析下列中的数据：多面体面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝24．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17＜210，7.5＋12.5＜210，8＋2＋12－2＜210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________．解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n ＜210.答案：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n ＜2105．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？解析：根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3)．6.如图，设有双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积． (2)若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F 1MF 2的变化，△F 1MF 2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．解析：(1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13，设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1>r 2)．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16，即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16，也即52－16＝4S △F 1MF 2，求得S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°， |F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，所以r 1r 2＝36. 求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 60°＝9 3.同理可求得若∠F 1MF 2＝120°， S △F 1MF 2＝3 3.(3)由以上结果猜想，随着∠F 1MF 2的增大，△F 1MF 2的面积将减小．证明如下：令∠F 1MF 2＝θ，则S △F 1MF 2＝12r 1·r 2sin θ.由双曲线定义及余弦定理，有⎩⎪⎨⎪⎧(r 1－r 2)2＝4a 2 ①r 21＋r 22－2r 1·r 2cos θ＝4c 2 ② ②－①得r 1·r 2＝4c 2－4a 22(1－cos θ)，所以S △F 1MF 2＝(c 2－a 2)sin θ1－cos θ＝b 2tan θ2，因为0<θ<π，0<θ2<π2，在(0，π2)内，tan θ2是增函数．因此当θ增大时，S △F 1MF 2＝b 2tan θ2将减小.。

数学人教A版选修2-2优化练习第二章 2.2 2.2.1 第2课时分析法 Word版含解析

[课时作业][组基础巩固]．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设＞＞，且＋＋＝，求证：＜索的因应是( )．－＞．－＞．(－)(－)＞．(－)(－)＜解析：要证＜，只需证－＜，只需证－(－－)＜，只需证－－＞，只需证(＋)(－)＞，只需证(－)(－)＞.故索的因应为.答案：．证明命题“()＝＋在(，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵()＝＋，∴′()＝－.∵>，∴><<，∴－>，即′()>，∴()在(，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )．综合法．分析法．以上都不是．反证法解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选.答案：．要使＋－－≤成立的充要条件是( )．≥且≤．≥且≥．(－)(－)≤．(－)(－)≥解析：＋－－≤⇔(－)＋(－)≤⇔(－)(－)≤⇔(－)(－)≥⇔(－)(－)≥.答案：＋与＋的大小关系是( )＋≥＋＋≤＋＋＞＋＋＜＋解析：要想确定＋与＋的大小，只需确定(＋)与(＋)的大小，只需确定＋与＋的大小，即确定与的大小，显然＜.∴＋＜＋.答案：．若，∈＋，且＋≤恒成立，则的最小值是()．．．解析：原不等式可化为≥＝＝要使不等式恒成立，只需不小于的最大值即可．∵≤，当＝时取等号，∴≥，∴的最小值为.故选.答案：．设∈，则－－(填＞、＜、＝)．解析：要比较－与－的大小．即判断(－)－(－)＝(＋)－(＋)的符号，∵(＋)－(＋)＝[－]＝(－)＜.∴－＜－.答案：＜.如图所示，四棱柱-的侧棱垂直于底面，满足时，⊥(写上一个条件即可)．解析：要证⊥，只需证⊥平面.因为⊥，只要再添加条件⊥，即可证明⊥平面，从而有⊥.答案：⊥(答案不唯一)．已知方程(－＋)(－＋)＝的四个根组成一个首项为的等比数列，则－＝.解析：不妨设是－＋＝的一根，另一根为，则＝＋，＝.设－＋＝的两根为，, 则＝＋，＝.由，，，成等比数列及＝可得＝，＝，从而＝，＝，－＝.答案：．已知＜≤＜≤＜≤，求证：≥.。

新人教A版选修2-2《2.1.2演绎推理》同步练习及答案

选修2-2 2.↑.2演绎推理一、选择题1. “•••四边形力BCQ是矩形，•••四边形SG?/?的对角线相等”，补充以上推理的大祈提是（）A. 正方形都是对角线相等的四边形B. 矩形都是对角线相等的四边形C. 等腰梯形都是对角线相等的四边形D. 矩形都是对边平行且相等的四边形［答案］B［解析］由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形・故应选B.2. “①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确.②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确・”上述三段论是（）A. 大前提错B. 小前提错C. 结论错D. 正确的［答案］D［解析］前提正确.推理形式及结论都正确.故应选D.3. 《论语•学路》篇中说：“名不正，則言不顺；言不顺.则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是（）A. 类比推理B •归纳推理C. 演绎推理D. 一次三段论［答案］C［解析］这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式.4. “因对数函数F=Iogd（QO）是增函数（大前提），而y= I Og^X是对数函数（小前提），所以y= IOg^X是增函数（结论）”.上面推理的错误是（）A. 大前提错导致结论错B. 小前提错导致结论错C. 推理形式错导致结论错D. 大前提和小前提都错导致结论错［答案］A［解析］对数函数F=IOgX不是增函数，只有当日＞1时，才是增函数，所以大前提是错误的.5. 推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形” 中的小前提是（）A.①B.②C.③D.①②［答案］B［解析］由①②③的关系知■小前提应为“三角形不是平行四边形"・故应选B.6. 三段论：“①只有船准时是航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的,③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是（）A.①B.②C.①②D.③［答案］B［解析］易知应为②•故应选B.7. “10是5的倍数,15是5的倍数.所以15是10的倍数”上述推理（）A. 大前提错B. 小前提错C. 推论过程错D. 正确［答案］C［解析］大小前提正确，结论错误，那么推论过程错.故应选C.8. 凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理（）A. 正确B. 推理形式正确C. 两个自然数概念不一致D. 两个整数槪念不一致［答案］A［解析］三段论的推理是正确的.故应选A.9. 在三段论中，"，P, S的包含关系可表示为（）［答案］A［解析］如果槪念P包含了概念饥则P必包含了〃中的任一槪念S,这时三者的包含可如果概念P排斥了槪念飢则必排斥M中的任一槪念S,这吋三者的关系应为故应选A.10. 命题“有些有理数是无限循环小数.整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命題，推理错误的原因是（）A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论"，但大前提使用错误D. 使用了“三段论”，但小前提使用错误［答案］D［解析］应用了“三段论"推理，小前提与大祈提不对应，小前提使用错误导致结论错误.二、填空题11. 求函数y=√log2χ-2⅛0定狡域时，第一步推理旃提是、%有意艾时，日MO,小前提是寸Iog2“一2有意5C,结论是_________ ■［答案］I og2%-2≥0［解析］由三段论方法知应为Iog2λ,~2≥0.12. 以下推理过程省略的大祈提为：___________ ・•:洽622ab,Λ2(a2+b2) ≥a2+∂2+2a∆［答案］若Gb,则a+c≥b+c［解析］由小前提和结论可知，是在小前提的两边同吋加上了√ + b2,故大前提为：若aMb,则日+cM6+c.13. (2010 •理，15)已知函数f(0 满足：f(1)=j, 4f(x) f{y) = f(x+ y) + f{χ-y) (x9y∈R),則Λ2010)=___________ ・［答案］j［解析］令F=［得4f(x) ∙ f(1) = f(x÷1) + f(χ-1)即‰) = f(x+1) + f(χ-1)①令”取x+1 則f(x+1) = f(x+2) + f(x)②由①②得fω = f(x÷2) + f(x) + f(χ-1),即‰-1)=-f(x+2)Λ f(×) = —f(x+3), Λ f(x÷3) = — f(x÷6)Λ f(x) = f(x÷6)即f(")周期为6,Λ f(2010) = f(6×335+0) = f(0)对 4 f(x) f(y) = f{x+y)÷ f(χ-y),令X=1, F=0,得4f(1)f(0) =2f(1),.∙.f(0)=舟即f(2010) =*.14. _____________________________________________________________ 四棱锥P-ABCD 中，0为〃上的动点，四边形ABCD满足条件____________________________________ 时，％—磁恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)・［答案］四边形S86I Q为平行四边形或矩形或正方形等又S^O e=^∖AB∖ d{d为0到直线朋的距离).因为〃、∣SBl均为定值，所以沧磁恒为定值吋，只有d也为定值，这是一个开放型问题, 答案为四边形S8CZ?为平行四边形或矩形或正方形等.三.解答题15. 用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD//BC, AB=DC9則ZAZG［证明］如下图延长川耳QC交于点M①平行线分线段成比例大前提②△川仞中AD//BC小前提①等量代换大前提②AB=CD小前提③MB=MC结论在三角形中等边对等角大前提MB=MC，\、前提乙、=乙MBc=乙MCB=乙2结论等量代换大前提Z8=n — Z1 ZgTT-Z2 小前提ZB=ZC结论16. 用三段论形式证明：f(x)=√ + x(x∈R)为奇函数.［证明］若f(-×) =— f(x),則f(x)为奇函数大前■提V f(~x) = (―X)3+ (―") =-X~X=~(X ÷x) = —f(x)小前提Λf(x)=√+x是奇函数结论17. 用三段论写出求解下题的主要解答过程.若不等式∣^+2∣<6的解集为(一1,2),数日的值.［解析］推理的第一个关犍环节：大前提：如果不等式f(x) <0的解集为S, n)9且fM、fS)有意艾，则刃、〃是方程心=0的实数根，小前提：不等式∖ax+2∖<6的解集为(-1,2),且x=-↑与x=2都使表达式∣"+2∣— 6 有意义,结论：一1和2是方程∖ax+2∖-6=0的根.Λ∣-a+2∣-6=0 与 ∣2a+2∣-6=0 同吋成立.推理的第二个关馋环节：大前提：如果∖x ∖=a 9 a>09那么x=±a 9小前提:∣~a+2∣=6 且 ∣2m+2∣=6,结论：一日+2=±6且2日+2 = ±6.以下可得出结论日=一4・18. 设>4(χ1,朋)、Bg 必)两点在抛物线y=2√±, /是力B 的垂直平分线.(1) 当且仅当X ι÷Λ2取何值时，直线/经过抛物线的焦点月证明你的结论：(2) 当直线/的斜•率为2时，求/在P 轴上截距的取值国.［解析］ ⑴F ∈ l^>∖FA ∖ = ∖FB ∖<^A. B 两点到拋物线的准线的距离相等. •••抛物线的准线是"轴的平行线，0, y 2≥0,依题意，y ι,乃不同时为0・・•.上述条件等价于y ι = ya<=>x ι = (x ι÷x2) {x ∖-Xi) =0.Vx ι≠x 2, •••上述条件等价于x ι + x 2=θ,即当且仅当x 1 + x 2=0时，/经过抛物线的焦点(2)设/在F 轴上的截距为6,依題意得/的方程为y=2x+b;过点/1、B 的直线方程为yA. 0为拋物线上不同的两点等价于上述方程的判别式△ =1+8分0,即∕77>~.设/10的 4 32中点N 的坐标为(亦yo),则1 =—— 8, 由"∈ /,得召+ /7Z=—*+6,于是h-16+z ^16 32^32β即得/在F 轴上裁距的取值国是(备,1=_尹+刃, 所以"，X2满足方程2,+y 刃=0,得xι÷X2=1-& =㊁(XI+&)。

[精品]新人教A版选修2-2高中数学2.1.2 演绎推理过关习题和答案

选修2-2 2.1.2 演绎推理一、选择题1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )A．大前提错B．小前提错C．结论错D．正确的[答案] D[解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论 [答案] C[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．4．“因对数函数y ＝log a x (x >0)是增函数(大前提)，而y ＝log 13x是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A[解析] 对数函数y ＝log a x 不是增函数，只有当a >1时，才是增函数，所以大前提是错误的．5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①② [答案] B[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( )A．①B．②C．①②D．③[答案] B[解析] 易知应为②.故应选B.7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( )A．大前提错B．小前提错C．推论过程错D．正确[答案] C[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( )A．正确B．推理形式正确C．两个自然数概念不一致D．两个整数概念不一致[答案] A[解析] 三段论的推理是正确的．故应选A.9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为( )[答案] A[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为；如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为．故应选A.10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．二、填空题11．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．[答案] log 2x －2≥0[解析] 由三段论方法知应为log 2x －2≥0. 12．以下推理过程省略的大前提为：________. ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab . [答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .13．(2010·重庆理，15)已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.[答案] 12[解析] 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1) 即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ①令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ② 由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2)∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6) ∴f (x )＝f (x ＋6) 即f (x )周期为6，∴f (2010)＝f (6×335＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得 4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12即f (2010)＝12.14．四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件________时，V P －AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．[答案] 四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等 [解析] 设h 为P 到面ABCD 的距离，V P －AOB ＝13S △AOB ·h ，又S △AOB ＝12|AB |d (d 为O 到直线AB 的距离)．因为h 、|AB |均为定值，所以V P －AOB 恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等．三、解答题15．用三段论形式证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，则∠B ＝∠C .[证明] 如下图延长AB ，DC 交于点M .①平行线分线段成比例大前提 ②△AMD 中AD ∥BC 小前提 ③MB BA ＝MC CD结论①等量代换大前提②AB＝CD小前提③MB＝MC结论在三角形中等边对等角大前提MB＝MC小前提∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论等量代换大前提∠B＝π－∠1∠C＝π－∠2小前提∠B＝∠C结论16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．[证明] 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数大前提∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．[解析] 推理的第一个关键环节：大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．推理的第二个关键环节：大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.以下可得出结论a ＝－4.18．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围． [解析] (1)F ∈l ⇔|FA |＝|FB |⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等．∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意，y 1，y 2不同时为0.∴上述条件等价于y 1＝y 2⇔x 21＝x 22⇔(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于x 1＋x 2＝0，即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 经过抛物线的焦点F .(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y ＝2x ＋b ；过点A 、B 的直线方程为y ＝－12x ＋m ，所以x 1，x 2满足方程2x 2＋12x －m＝0，得x 1＋x 2＝－14.A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .由N ∈l ，得116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932. 即得l 在y 轴上截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞.。

人教新课标版数学高二-(人教A)选修2-2试题 2.1.2演绎推理

第二章 2.1 2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①③④都正确．答案： C2．下列推理过程属于演绎推理的有()①数列{a n}为等比数列，所以数列{a n}的各项不为0；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；③由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点；④通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由演绎推理的定义知①、④两个推理为演绎推理，②为归纳推理，③为类比推理．故选C.答案： C3．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等解析：由三段论的一般模式知应选B.答案： B4．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析：使用了“三段论”，大前提“有理数是无限循环小数”是错误的．答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出下列推理过程：因为2和3都是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以2＋3也是无理数，这个推理过程________(填“正确”或“不正确”)．解析：结论虽然正确，但证明是错误的，这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．答案：不正确6．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_______________________________________________________. 小前提：___________________________________________________. 结论：____________________________________________________.解析：本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y ＝2x ＋5为一次函数．结论为：函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线．答案： ①一次函数的图象是一条直线 ②y ＝2x ＋5是一次函数 ③函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线三、解答题(每小题10分，共20分)7．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)通项公式a n ＝2n ＋3表示的数列{a n }为等差数列．解析： (1)所有的循环小数是有理数， (大前提) 0．332·是循环小数， (小前提) 所以，0.332·是有理数．(结论) (2)因为每一个矩形的对角线相等， (大前提) 而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的对角线相等． (结论)(3)数列{a n }中，如果当n ≥2时，a n －a n －1为常数，则{a n }为等差数列， (大前提) 通项公式a n ＝2n ＋3时，若n ≥2，则a n －a n －1＝2n ＋3－[2(n －1)＋3]＝2(常数)， (小前提) 所以，通项公式a n ＝2n ＋3表示的数列为等差数列． (结论)8．已知在梯形ABCD 中，如图，AB ＝CD ＝AD ，AC 和BD 是梯形的对角线，求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .证明： ∵等腰三角形的两底角相等，(大前提) △DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， (小前提) ∴∠1＝∠2.(结论) ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截得的内错角， (小前提) ∴∠1＝∠3. (结论) ∵等于同一个角的两个角相等， (大前提) ∠2＝∠1，∠3＝∠1， (小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD . (结论) 同理可证DB 平分∠CBA . 尖子生题库☆☆☆(10分)已知a ，b ，m 均为正实数，b <a ，用三段论形式证明b a <b ＋ma ＋m.证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向， (大前提) b <a ，m >0， (小前提) 所以，mb <ma . (结论) 因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向， (大前提)mb <ma ， (小前提) 所以，mb ＋ab <ma ＋ab ，即b (a ＋m )<a (b ＋m )． (结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向， (大前提) b (a ＋m )<a (b ＋m )，a (a ＋m )>0， (小前提) 所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m . (结论)。

数学人教A版选修2-2：第二章推理与证明2.1 2.1.2

A级：基础巩固练一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的是()A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n(n＋1)(n∈N*)C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2答案 A解析选项B为归纳推理，C，D为类比推理，只有A为演绎推理．故选A.2．看下面的演绎推理过程：大前提：棱柱的体积公式为：底面积×高，小前提：如图直三棱柱ABC－DEF.H是棱AB的中点，ABED为底面，CH⊥平面ABED，即CH为高，结论：直三棱柱ABC－DEF的体积为S四边形ABED·CH.这个推理过程()A．正确B．错误，大前提出错C．错误，小前提出错D．错误，结论出错答案 C解析在小前提中，把棱柱的侧面，错当成了底面．3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①②答案 B解析“三段论”推理中小前提是指研究的特殊情况．4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②① 答案 B解析根据“三段论”：“大前提”⇒“小前提”⇒“结论”可知：①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③.5．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 C解析 ∵圆心到直线的距离d ＝|－1|si n 2θ＋1 >22＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z ，∴直线与圆相离．故选C. 6．函数f (x )＝⎩⎨⎧si n (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22 C ．1或－22 D ．1或22答案 C解析 ∵f (1)＋f (a )＝2，f (1)＝e 0＝1，∴f (a )＝1. 当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1；当－1<a <0时，f (a )＝sin (πa 2)＝1⇒a 2＝12，∴a ＝－22或a ＝22(舍去)．二、填空题7．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．答案甲解析若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不符合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则f(2)f(1)＋f(4)f(3)＋…＋f(2020)f(2019)＝________.答案2020解析利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)．令b＝1，则f(a＋1)f(a)＝f(1)＝2(小前提)．∴f(2)f(1)＝f(4)f(3)＝…＝f(2020)f(2019)＝2(结论)，9．设f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是两两不等的常数)，则af′(a)＋bf′(b)＋cf′(c)的值是________．答案0解析f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)·(x－b)，∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)．∴af′(a)＋bf′(b)＋cf′(c)＝a(a－b)(a－c)＋b(b－a)(b－c)＋c(c－a)(c－b)＝a(b－c)－b(a－c)＋c(a－b)(a－b)(a－c)(b－c)＝0.三、解答题10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos15°＝1－12·sin 30°＝34(答案不唯一)． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α2－sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12 sin α＝34 sin 2α＋34cos 2α＝34.B 级：能力提升练11．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，小前提故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．结论(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，小前提又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，小前提 ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .结论(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)由Ruize收集整理。

2020秋高中数学人教A版选修2-2达标练习：第二章2.1-2.1.1合情推理 Word版含解析

姓名，年级：时间：第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．已知错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝4错误!,…。

若错误!＝6错误!(a，b∈R),则（)A．a＝5，b＝24 B．a＝6,b＝24C．a＝6,b＝35 D．a＝5，b＝35解析：观察式子的特点可知，分式错误!的分子a与根号外的数相同，而分母b则为a的平方减1.答案：C2．用火柴棒摆“金鱼”,如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为( ）A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根,故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.故选C.答案：C3．设n是自然数，则错误!(n2－1)[1－（－1）n］的值( ) A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，错误!(n2－1)［1－(－1）n]＝0为偶数；当n为奇数时（n＝2k＋1，k∈N），错误!(n2－1)[1－（－1）n]＝18(4k2＋4k）·2＝k（k＋1）为偶数．所以错误!(n2－1)[1－(－1）n］的值一定为偶数．答案：C4．在平面直角坐标系内,方程错误!＋错误!＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间,在x轴,y轴,z 轴上的截距分别为a，b，c（abc≠0）的平面方程为( ）A.错误!＋错误!＋错误!＝1 B。

错误!＋错误!＋错误!＝1C。

错误!＋错误!＋错误!＝1 D．ax＋by＋cz＝1解析：从方程错误!＋错误!＝1的结构形式来看,空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是错误!＋错误!＋错误!＝1。

答案:A5．在数学解题中，常会碰到形如“错误!”的结构，这时可类比正切的和角公式．如:设a，b是非等实数，且满足错误!＝tan 错误!,则错误!等于( ）A．4 B.错误!C．2 D。