控制系统稳态误差的计算
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系统的稳态误差为
r (t ) t
e ss
1
r (t ) t
e ss
1
2
Kp
0型 I型 II型
Kv
0
Ka
0 0
ess
1
1
2
1 K
K
p
KvKp1来自 1Ka
K
0 0
Kv
K
0
Ka
三、系统稳定误差的计算
综述，系统的稳态误差与输入信号形式有 关，对于一个结构确定的系统，如果给定 输入形式不同，其稳态误差就不同；同时 稳态误差与系统结构也密切相关，如果给 定信号一定，不同结构的系统稳态误差也 不同。 按静态误差系数法计算稳态误差的方法， 是基于拉氏变换的终值定理，只能使用阶 跃、斜坡及加速度或他们的组合，如果输 入是其他任意时间函数，以上结论则不能 成立。
ess
特征方程为D( s) 1 Gk ( s) an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 a1s a0 0
n n 1 2 a s a s ... a s 等式两边同除以 n n 1 2 a1s a0 1 Gk ( s) 0 1 0 则 n n 1 2 an s an 1s ... a2 s 得 a1s a0 Gk ( s) 该系统为Ⅱ型系统 an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 开环增益为 a0 a1s a0 K 2 a2 n2 n 3 s (an s an 1s ... a2 )
ess
1、先求取系统的开环传递函数 Gk ( s)
Gk (s)
C(s)
设开环传递函数为 Gk ( s) M ( s) 即，开环传递函数 N ( s) 与闭环传递函数 M (s) 有相同的零点 Gk ( s ) M (s) N (s) GB ( s ) a s a0 1 Gk ( s ) 1 M ( s ) N ( s ) M ( s ) 得 Gk ( s ) 1 ? N (s)
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
《自动控制原理》第六章：控制系统误差分析
X i (s)
e(t)=μ(p)xi(t) εxo(t) x (t) - y(t) (t) =
i
X oi (s)
E (s )
(s)
Y (s)
N (s )
拉氏变换： E(s)=μ(s)Xi(s) -Xo(s)
G1 ( s )
＋
G2 (s)
X o (s)
H (s )
ε(s) =Xi(s) - Y(s)
K1
＋
K 2 xo (t ) s
解：（1）由于系统是一阶系统，故只要参数K1K2大于零，则 系统就稳定。
1 1 ]0 （2）输入引起的误差： ess1 lim[s K2 s 0 1 K1 S s
（3）干扰引起的误差：
ess 2 lim sE 2 ( s ) lim[ s
以单位反馈为例，输入引起的误差分析：
X i (s)
E (s )
G (s )
X o (s)
X o ( s) G ( s) 1 E (s) (s) [ X i ( s )] G ( s) 1 G (s) G (s) ess lim sE ( s )
s 0
1 lim[ s X i ( s )] s 0 1 G (s)
ess 1 1 Kv
1 K
( 0) ( 1)
( 2) 0 0型系统误差无穷大；1型有限2型及以上 系统，Kv为无穷，而稳态误差为零。
加速度输入下稳态精度
定义： 静态加速度误差
2 K ( r s 1) ( k s 2 2 k k s 1) r 1
令系统中xi(t)=0 。
X i (s)
(s)
Y (s)
e(t)=μ(p)xi(t) εxo(t) x (t) - y(t) (t) =
i
X oi (s)
E (s )
(s)
Y (s)
N (s )
拉氏变换： E(s)=μ(s)Xi(s) -Xo(s)
G1 ( s )
＋
G2 (s)
X o (s)
H (s )
ε(s) =Xi(s) - Y(s)
K1
＋
K 2 xo (t ) s
解：（1）由于系统是一阶系统，故只要参数K1K2大于零，则 系统就稳定。
1 1 ]0 （2）输入引起的误差： ess1 lim[s K2 s 0 1 K1 S s
（3）干扰引起的误差：
ess 2 lim sE 2 ( s ) lim[ s
以单位反馈为例，输入引起的误差分析：
X i (s)
E (s )
G (s )
X o (s)
X o ( s) G ( s) 1 E (s) (s) [ X i ( s )] G ( s) 1 G (s) G (s) ess lim sE ( s )
s 0
1 lim[ s X i ( s )] s 0 1 G (s)
ess 1 1 Kv
1 K
( 0) ( 1)
( 2) 0 0型系统误差无穷大；1型有限2型及以上 系统，Kv为无穷，而稳态误差为零。
加速度输入下稳态精度
定义： 静态加速度误差
2 K ( r s 1) ( k s 2 2 k k s 1) r 1
令系统中xi(t)=0 。
X i (s)
(s)
Y (s)
第6章_控制系统的误差分析和计算_6.2输入引起的稳态误差
根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差： 根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差：
ε ( s)
Φε (s) ⋅ X i ( s) ess = lim e(t ) = lim s ⋅ E ( s ) = lim s ⋅ t →∞ s →0 s →0 H (s) 1 1 = lim s ⋅ ⋅ ⋅ X i (s) s →0 H (s) 1 + G (s) H (s)
单位阶跃输入
X i (s) =
1 s
定义： 定义： 稳态位置
s →0
误差系数 1 1 1 1 ess = lim s = = s → 0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 + lim G ( s ) H ( s ) 1 + K p
单位斜坡输入
e ss = lim s
s →0
X i (s) =
1 , 试求当输入信号为 Ts
1 解 : Φ ε (s) = 1+G (S) =
当 r(t) = 1 t 2时 R(s) = S13 2 (1) E(s) = Φ ε (s)R(s) =
t 2 -T
1 2 S (S+1/T)
=
T S2
-
T2 S
+
T2 S+1/T
e(t) = T e + T(t - T) t → ∞时 ess = ∞ (2) 由终值定理 ess = lim sE(s) = lim s(s+11/T) = ∞
（2）稳态误差系数的概念 ）
对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。
ε ( s)
Φε (s) ⋅ X i ( s) ess = lim e(t ) = lim s ⋅ E ( s ) = lim s ⋅ t →∞ s →0 s →0 H (s) 1 1 = lim s ⋅ ⋅ ⋅ X i (s) s →0 H (s) 1 + G (s) H (s)
单位阶跃输入
X i (s) =
1 s
定义： 定义： 稳态位置
s →0
误差系数 1 1 1 1 ess = lim s = = s → 0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 + lim G ( s ) H ( s ) 1 + K p
单位斜坡输入
e ss = lim s
s →0
X i (s) =
1 , 试求当输入信号为 Ts
1 解 : Φ ε (s) = 1+G (S) =
当 r(t) = 1 t 2时 R(s) = S13 2 (1) E(s) = Φ ε (s)R(s) =
t 2 -T
1 2 S (S+1/T)
=
T S2
-
T2 S
+
T2 S+1/T
e(t) = T e + T(t - T) t → ∞时 ess = ∞ (2) 由终值定理 ess = lim sE(s) = lim s(s+11/T) = ∞
（2）稳态误差系数的概念 ）
对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。
《自动控制原理》第三第讲
误差系数 Kp Kv Ka
单位阶跃 输入
r(t) = u(t)
单位速度 输入
r(t) = t
单位加速 度输入
r(t) = 1 t 2 2
0
K0 0
1 1+K
I
∞ K0
0
II
∞ ∞K
0
∞
∞
1
∞
K
1
0
K
1. 稳态误差与输入信号有关；与开环增益有关；与积分环节的个 数有关。
2. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
R(s)
E(s) -
G1 ( s)
+ G2 (s) C(s)
H (s) (b)
通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差
(E=R-HC)，扰动作用产生的误差为扰动误差。认为扰动输入时 系统的理想输出为零，故从输出端的误差信号为：
En
= C理想
− C实际
=
−C实际
=
−Cn
= − G2 1+ G1G2 H
=
lim sv+1R(s)
s→0
lim sv + K
s→0
由上式可见, ess 与系统的型号v﹑开环增益K及输入信号
的形式及大小有关，由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号
﹑斜坡信号(即等速度信号) ﹑抛物线信号(即等加速度信号) 或者为这三种信号的组合, 所以下面只讨论这三种信号作用 下的稳态误差问题.
Ka
m
G(s)H (s)
=
K sv
∏ (τ is +1)
i =1
n−v
∏ (Tjs +1)
《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算
两种定义的联系： E ' ( s ) E ( s ) H (s)
H ( s ) 1时， E ( s ) E ' ( s )
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t ) L1[ E (s)] L1[e (s) R (s)] L1[ R (s) ] 1 G(s)H (s)
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能 动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能
原理性误差 结构性误差 (附加稳态误差）
系统结构 输入类型、形式 摩擦，间隙 死区等非线性
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
ets (t ) ess (t ) 稳态误差
ess ( )
Lim
s0
sE (s)
Lim
s0
1
sR (s) G(s)H
(s)
ess():终值误差 条件s： E(s)在右半平面及析 虚（ 轴原 上点 解除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
自动控制原理_第3章2
令Gc (s)
通信技术研究所
G f ( s) G( s)
, 得C (s) G( s) R( s) C ( s)
13
<例3-15>r(t)=1,n(t)=1 ,求ess
通信技术研究所
14
1 2 <例3-16> r (t ) 1 t t ,求ess 2 注：E=R-C
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 1 K , ess （1） 0, K p lim 0 1 K s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1)
s 0
s
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) , ess 0 （2） 1, K p lim 1 s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 2, K p lim 2 , ess 0 （ 3） s 0 s (T 1s 1)(T2 s 1) (T j s 1)
s
K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 0, Kv lims 0 0, ess （ 1） s (T1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) s 0 K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) 1 K , ess （2） 1, Kv lims 1 s (T1s 1)(T2 s 1) (Tj s 1) K s 0 K (1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) （3） 2, Kv lims 2 , ess 0 s (T1s 1)(T2 s 1) (T j s 1) s 0
3.3 反馈控制系统的稳态误差
R ∞ k R Kp=? k lim s· ν K =? s s→0
e(t ) r (t ) b(t )
稳态误差定义为
ess e() lim e(t ) lim [r (t ) b(t )]
t t
对于单位反馈系统，稳态误差可写为
ess e() lim e(t ) lim [r (t ) c(t )]
t t
对于1型系统：N＝1
K (1 T1s)(1 T2 s) K v lim s K s(1 Ta s)(1 Tb s) s 0
开环放大系数
1 ess K
具有单位反馈的1型系统，其输出能跟踪等速度输入，但总有一 定误差；其稳态误差与K成反比。 对于2型系统或2型以上系统：N≥2
3.3.3主扰动输入引起的稳态误差
系统的负载变化往往是系统 的主要扰动，假如主扰动 n(t)的作用点如图所示，现 在分析它对输出或稳态误差 的影响。 1 例 G1 (s) K G2 ( s )
分别计算当r(t)和n(t)为阶跃输入时的系统稳态误差 解： K
Js
H ( s) 1
GK ( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
若扰动为阶跃函数n(t)=1(t)，则
G2 (0) H (0) essn 1 G1 (0)G2 (0) H (0)
当
G1 (0)G2 (0) H (0) 1 G2 (0) H (0) 1 essn 1 G1 (0)G2 (0) H (0) G1 (0)
扰动作用点以前的系统前向通道传递系数G1(0)越大，由一定 扰动引起的稳态误差就越小。 对于无差系统，即N≥1， G1(0) =∞．即应该是G1(s)中包含积 分环节，才保证扰动不影响稳态响应，由此产生的稳态误差为 零。
3-6 控制系统稳态误差的基本概念
进行拉氏反变换得
.
..
ss (t) 0.909r(t) 0.0273r(t) 0.0073r(t)
.
又已知r(t) 1(t) ， r(t) 0 代入上式得
ss (t) 0.909
已知
KH kc
→
ess
(t)
ss (t) kc
0.909 0.1 0.05
181.8
3.6.5 应用静态误差系数计算给定信号作用 下的稳态误差
……
.
已知 f (t) 1(t) ,则 f (t) 0
.
→
essf (t) [0.2 f (t) 0.016 f (t) ] =0.2
第三步,根据叠加原理,求得系统的总的稳态误差
ess (t) essr (t) essf (t) =0.1+0.2=0.3
例 4 调 速 系 统 的 方 块 图 如 图 3.7-3 所 示 。 图 中 K1=10 ，
系统的误差：被控量的希望值与实际被控量之差，记为 e(t)
e(t) cr (t) c(t)
c(t) ：暂态分量和稳态分量。 e(t) ：暂态分量和稳态分量。
稳态分量反映控制系统跟踪控制信号或干扰信号的能力和精度，即 反映控制系统的稳态性能。
稳态误差：当 t 时，系统误差称为稳态误差，记为ess 表示。
1 s (T 1 )s2 K K K2 1 1 s T s2 1 s T s2 KKKK
) 1 s 1 s2 T s3
K K2
K2
(T K
1 K2
)s2
T K2
s3
……
所以
e (s)
E(s) R(s)
1 K
s
(T K
1 K2
.
..
ss (t) 0.909r(t) 0.0273r(t) 0.0073r(t)
.
又已知r(t) 1(t) ， r(t) 0 代入上式得
ss (t) 0.909
已知
KH kc
→
ess
(t)
ss (t) kc
0.909 0.1 0.05
181.8
3.6.5 应用静态误差系数计算给定信号作用 下的稳态误差
……
.
已知 f (t) 1(t) ,则 f (t) 0
.
→
essf (t) [0.2 f (t) 0.016 f (t) ] =0.2
第三步,根据叠加原理,求得系统的总的稳态误差
ess (t) essr (t) essf (t) =0.1+0.2=0.3
例 4 调 速 系 统 的 方 块 图 如 图 3.7-3 所 示 。 图 中 K1=10 ，
系统的误差：被控量的希望值与实际被控量之差，记为 e(t)
e(t) cr (t) c(t)
c(t) ：暂态分量和稳态分量。 e(t) ：暂态分量和稳态分量。
稳态分量反映控制系统跟踪控制信号或干扰信号的能力和精度，即 反映控制系统的稳态性能。
稳态误差：当 t 时，系统误差称为稳态误差，记为ess 表示。
1 s (T 1 )s2 K K K2 1 1 s T s2 1 s T s2 KKKK
) 1 s 1 s2 T s3
K K2
K2
(T K
1 K2
)s2
T K2
s3
……
所以
e (s)
E(s) R(s)
1 K
s
(T K
1 K2
第9讲-控制系统的稳态误差
sE(s)的极点不全部分布在[S]平面的左半部
终值定理
六、动态误差系数方法
前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳 态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误 差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解 输出响应在进入稳态（t>ts)后变化的规律如何。这些问题用 前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围 更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。
它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典
型输入信号作用下的稳态误差。
1、单位阶跃输入时的稳态误差
对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,系统的稳态误差为
令
称 Kp为稳态位置误差系数。
稳态误差可表示为
因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于 系统的位置误差系数。
（1）对于0型系统， （2）对于1型系统（或高于1型的系统）
一
从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，物
理意义明确，也符合基本定义，但在实际系统中
无法测量，因而，一般只有数学意义。而从系统
输入端定义的稳态误差，它在系统中是可以测量
的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求
输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规
律一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望
当 差又是多少?
时,上例的稳态误
因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差 为无穷大,根据叠加原理,ess=∞
稳态误差小结： 1.公式小结
（1）基本公式
（1）
（2）
给
定
输
（3） 入
单
独
作
（4）
用 时
（5）
扰动单独作用时
终值定理
六、动态误差系数方法
前面研究的稳态误差主要讨论的是典型输入信号下的稳 态误差，对于部分非典型信号（如正弦信号）下，求稳态误 差的极限计算方法可能不能用。另外，我们可能还需要了解 输出响应在进入稳态（t>ts)后变化的规律如何。这些问题用 前面介绍的方法都不方便。因此，下面再介绍一种适应范围 更广泛的方法：动态误差系数法（又称广义误差系数法）。
它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典
型输入信号作用下的稳态误差。
1、单位阶跃输入时的稳态误差
对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,系统的稳态误差为
令
称 Kp为稳态位置误差系数。
稳态误差可表示为
因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于 系统的位置误差系数。
（1）对于0型系统， （2）对于1型系统（或高于1型的系统）
一
从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，物
理意义明确，也符合基本定义，但在实际系统中
无法测量，因而，一般只有数学意义。而从系统
输入端定义的稳态误差，它在系统中是可以测量
的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求
输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规
律一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望
当 差又是多少?
时,上例的稳态误
因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差 为无穷大,根据叠加原理,ess=∞
稳态误差小结： 1.公式小结
（1）基本公式
（1）
（2）
给
定
输
（3） 入
单
独
作
（4）
用 时
（5）
扰动单独作用时
自动控制理论_12稳态误差分析及计算
试求系统的稳态误差。
解：① 判断稳定性。系统的闭环特征方程为
s2 (Tm s 1) K1Km ( s 1) 0 Tm s3 s2 K1Km s K1Km 0
稳定条件：（1）Tm，K1，Km， 均应大于零； （2） Tm
② 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接 求 ess 从结构图看出，该系统为单位反馈且属Ⅱ型系统。因此
K 5
K 1
K 0
2
ess lim sE ( s )
s 0
1 K1
G1 ( s)
用一待定的G1 ( s)来代替图中的 K1 ,然后找出消除系 统在干扰n(t)作用下的误差时， G1 ( s ) 需具备的条件。
选择G1 (s)首先要保证sEN (s)的所有极点在s平面的左半平面。 这时essn K2 lim s[ N (s)],当n(t )为单位阶跃干扰时，有 s 0 s G1 (s) K 2
在零初始条件下，对上式进行拉氏反变换，得 到误差信号e(t)的稳态分量
1 ess (t ) e (0)r (t ) e (0) r (t ) e (0) r (t ) 2!
ess (t ) Ci r (t )
(i ) i 0
式中
C0 e (0)
当输入r(t)=1(t)时，ess1 0； 当输入r (t ) t时，ess 2 0； a0 1 2 1 当输入r(t)= t 时，ess 3 2 K K1 K m 所以系统的稳态误差ess ess1 ess 2 ess 3 1 K1 K m
4、任意输入信号
利用动态误差系数，可以求解输入信号为任意 时间函数时的系统稳态误差。
解.由题意写出系统的误差传递函数
解：① 判断稳定性。系统的闭环特征方程为
s2 (Tm s 1) K1Km ( s 1) 0 Tm s3 s2 K1Km s K1Km 0
稳定条件：（1）Tm，K1，Km， 均应大于零； （2） Tm
② 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接 求 ess 从结构图看出，该系统为单位反馈且属Ⅱ型系统。因此
K 5
K 1
K 0
2
ess lim sE ( s )
s 0
1 K1
G1 ( s)
用一待定的G1 ( s)来代替图中的 K1 ,然后找出消除系 统在干扰n(t)作用下的误差时， G1 ( s ) 需具备的条件。
选择G1 (s)首先要保证sEN (s)的所有极点在s平面的左半平面。 这时essn K2 lim s[ N (s)],当n(t )为单位阶跃干扰时，有 s 0 s G1 (s) K 2
在零初始条件下，对上式进行拉氏反变换，得 到误差信号e(t)的稳态分量
1 ess (t ) e (0)r (t ) e (0) r (t ) e (0) r (t ) 2!
ess (t ) Ci r (t )
(i ) i 0
式中
C0 e (0)
当输入r(t)=1(t)时，ess1 0； 当输入r (t ) t时，ess 2 0； a0 1 2 1 当输入r(t)= t 时，ess 3 2 K K1 K m 所以系统的稳态误差ess ess1 ess 2 ess 3 1 K1 K m
4、任意输入信号
利用动态误差系数，可以求解输入信号为任意 时间函数时的系统稳态误差。
解.由题意写出系统的误差传递函数
控制系统的误差分析和计算
1 E s X i s 1 G s 1 e ss lim e t lim sE s lim s X i s t s0 s 0 1 G s
11
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
非单位反馈系统
1 X i s 1 G s H s
' '
( s) X or ( s) X o ( s) E ( s)
'
( s)
H ( s)
1 单位反馈系统H s 1，E s s E s s H ( s) H ( s) : 求稳态误差，应先求稳态偏差。
9
控制工程基础
n m
14
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
1、影响稳态误差的因素
G s K 1 s 1 2 s 1 v s T1 s 1T2 s 1
s 0
n m
e ss lim e ( t ) lim sE ( s )
t
输出量期望值的大小，即Xor(s)= Xi(s)，由此得到：
( s) Xi ( s) H ( s) X 0 ( s) X or (s) X 0 (s) E (s)
单位反馈控制系统的偏差函数(s)和误差函数E(s)是相等的。
7
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
对于非单位负反馈控制系统，其输入量间接反映了输出量 期望值的大小，根据等效规则转变为单位负反馈控制系统。
Xi s
s
× -
( s)
Y s
G s
Xo s
H s
自动控制原理 第三章第5
E(s) R(s) H(s)C(s)
2
（2）从输出端定义：
误差 E'(s) 等于系统希望输出量的希望值
Cr (s)与实际值C(s)之差。
E ' (s)
Cr
(s)
C(s)
1 H (S )
R(s)
C(s)
R(s)
1 Cr (s) H (s)
E(s)
G1 ( s)
N (s)
C(s)
G2 (s)
3
i 1
n
(Tj S 1)
j 1
S0 K S
K p
K
Kp
limG(s)H (s)
s0
G(0)H (0)
K s
Kp
K
Kv
lim sG(s)H (s)
s0
s
s
Kv 0
Kv
K
Kv
0 1 1
0 1
Ka
lim sG(s)H (s)
s0
s2
K s
KKaa
0 K
1 2
都跟系统的型别有关，下面按系统型别分类
输入信号
r (t )
1 2
t2
,
sin t，试求系统的稳态误差。
解：
当r (t )
1 2
t 2时
E(s)
e
(s)R(s)
1
R(s) G(s)
1
S3
1
1 TS
1 S2
1
S
1 T
反变换得：
e(t )
T
e2
1t T
T (t
T)
ess
lim e(t)
t
7
当r(t) sin t时，
2
（2）从输出端定义：
误差 E'(s) 等于系统希望输出量的希望值
Cr (s)与实际值C(s)之差。
E ' (s)
Cr
(s)
C(s)
1 H (S )
R(s)
C(s)
R(s)
1 Cr (s) H (s)
E(s)
G1 ( s)
N (s)
C(s)
G2 (s)
3
i 1
n
(Tj S 1)
j 1
S0 K S
K p
K
Kp
limG(s)H (s)
s0
G(0)H (0)
K s
Kp
K
Kv
lim sG(s)H (s)
s0
s
s
Kv 0
Kv
K
Kv
0 1 1
0 1
Ka
lim sG(s)H (s)
s0
s2
K s
KKaa
0 K
1 2
都跟系统的型别有关，下面按系统型别分类
输入信号
r (t )
1 2
t2
,
sin t，试求系统的稳态误差。
解：
当r (t )
1 2
t 2时
E(s)
e
(s)R(s)
1
R(s) G(s)
1
S3
1
1 TS
1 S2
1
S
1 T
反变换得：
e(t )
T
e2
1t T
T (t
T)
ess
lim e(t)
t
7
当r(t) sin t时，
控制系统的误差分析和计算
输入引起的稳态误差 误差传递函数与稳态误差
输入引起的误差传递函数为
E(s) 1 = X (s) 1+ G(s)
i
Xi(s) +
E(s) -
G(s)
Xo(s)
则
E(s) =
1 X (s) 1+ G(s)
i
根据终值定理得
sX (s) e = lime(t) = limsE(s) = lim 1+ G(s)
e ssa
1 = Ka
0 0－ 型系统 Ka = 0－Ι型系统 K－ΙΙ型系统
essa
∞ = ∞ 1 K
输入引起的稳态误差
输入引起的稳态误差 总结： 总结： （1）位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入 位置误差、速度误差、 是阶跃斜坡、 是阶跃斜坡、加速度输入时所引起的输出位置上的 误差。 误差。 （2 ）
E (s )
K1 T1s + 1
K2 T2 s + 1
Y (s )
1）当x(t)=1(t)时系统的静态误差； x(t)=1(t)时系统的静态误差； 时系统的静态误差 f(t)=t时系统的静态误差 时系统的静态误差； 2）当f(t)=t时系统的静态误差；
例：控制系统结构如图所示，其中扰动信号f(t)=1(t)。 控制系统结构如图所示，其中扰动信号f(t)=1(t)。 f(t)=1(t) 试问：能否选择一个合适的K 试问：能否选择一个合适的K值，使系统在扰动作用下的 稳态误差为e 0.009？ 稳态误差为esf=-0.009？
e3 = ∞ ess = e1 + e2 + e3 = ∞
干扰引起的稳态误差
Xi(s) ε(s) + N(s) Xo(s)
稳态误差的计算_图文(精)
System: untitled1 Final Value: 0.909 System: untitled4 Final Value: 0.5
G G1G2
1 s 11.67s 1
35
Байду номын сангаас
0
>> step(feedback(tf(1*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35) 5 10 15 20 25 30
3-6 线性系统的稳态误差分析 项目 内容
教 学 目 的 理解稳态及稳态误差的概念，掌握其计算方法和
计算结果，进而熟悉减小或消除稳态误差的措施。
教 学 重 点 稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态
误差，即表3－5 ；减小或消除稳态误差的措施。
教学难点
广义（动态）误差的概念和广义（动态）误差系 数的计算方法，各种补偿措施。
二、给定输入作用下系统的误差分析
这时，不考虑扰动的影响。 可以写出随动系统的误差 ： 1 1 E ( s) R( s ) R( s ) 1 G1G2 H 1 Gk
R( s )
E (s)
H
G2
G1
sR( s) ess lim e(t ) lim sE ( s) lim t s 0 s 0 1 G ( s ) k
Time (sec)
从图形中体会误差和稳态误差
单位斜坡函数输入时的稳态误差 1 当输入为R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim s 0 1 G ( s) lim s Gk (s) lim K G (s) Kv k s 0 0 s 0 s 1 K v lim s Gk ( s ) 称为速度误差系数； 式中：
自控原理-第6章 控制系统的误差分析与计算
esslt i e m (t)ls i0sm E (s)
偏差 ( t ) ：系统的输入 x i ( t ) 和主反馈信号 y ( t ) 之差。即
( t ) x i( t ) y ( t ) ( s ) X i( s ) Y ( s )
稳态偏差 s s ：当t→∞时的系统偏差。即
6.1 稳态误差的基本概念
自控控制理论
本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础 之上的。 稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称 为控制系统的稳定状态，简称稳态。 稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态 时系统精度的度量。
说明：误差产生的原因是多样的，课程中只研究由于系统 结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
i1 n
0
(Tis1)
i1
I型系统的稳态误差
V=1
m
K ( is 1)
G(s)H (s)
i 1 nv
sv (Tis 1)
i 1
自控控制理论
Kplsi m 0G (s)H(s)
1
essp
1 Kp
0
K vlsi m 0sG (s)H (s)K
自控控制理论
例 : 设 单 位 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 G (s)1,试 求 当 输 入 Ts
信 号 为 r(t)1t2时 ,控 制 系 统 的 稳 态 误 差 值 。 2
解:
e(s)
1 1G ( S )
S S 1/T
当
r(t)
稳态加速度 误差系数
自控控制理论
6.2.4 不同类型反馈控制系统的稳态误差系数
偏差 ( t ) ：系统的输入 x i ( t ) 和主反馈信号 y ( t ) 之差。即
( t ) x i( t ) y ( t ) ( s ) X i( s ) Y ( s )
稳态偏差 s s ：当t→∞时的系统偏差。即
6.1 稳态误差的基本概念
自控控制理论
本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础 之上的。 稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称 为控制系统的稳定状态，简称稳态。 稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态 时系统精度的度量。
说明：误差产生的原因是多样的，课程中只研究由于系统 结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
i1 n
0
(Tis1)
i1
I型系统的稳态误差
V=1
m
K ( is 1)
G(s)H (s)
i 1 nv
sv (Tis 1)
i 1
自控控制理论
Kplsi m 0G (s)H(s)
1
essp
1 Kp
0
K vlsi m 0sG (s)H (s)K
自控控制理论
例 : 设 单 位 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 G (s)1,试 求 当 输 入 Ts
信 号 为 r(t)1t2时 ,控 制 系 统 的 稳 态 误 差 值 。 2
解:
e(s)
1 1G ( S )
S S 1/T
当
r(t)
稳态加速度 误差系数
自控控制理论
6.2.4 不同类型反馈控制系统的稳态误差系数
《自动控制基础》第6章 控制系统稳态误差和计算
六、单位反馈系统的动态误差分析 单位反馈系统的误差传递函数：
E s 1 1 e (s) e 0 0s 0s 2 X i s 1 Gs 2!
误差象函数：
1 E s e 0X i s 0sX i s 0s 2 X i s 2!
单位反馈控制系 统的稳态误差
1 ess lim et lim sE s lim sX i s t s 0 s 0 1 G s
二、静态误差系数 单位反馈控制系统的开环传递函数记为：
K (b0 s m b1s m 1 bm 1s 1) G s m m 1 s a0 s a1s an 1s 1
（2）按输入进行补偿
用顺馈对输入信号引起的误差进行补偿
Gs E s Rs C s Rs Rs 1 Gr s 1 Gs 1 Gr s G s E s Rs 1 Gs
1 令E s 0 Gr s G s
不能跟踪单位斜坡信号 能跟踪单位斜坡信号，但 有一定的稳态位置误差 能准确跟踪单位斜坡信号
K (b0 s m b1s m 1 bm 1s 1) G s s a0 s m a1s m 1 an 1s 1 单位加速度信号输入下的稳态误差为：
第六章 控制系统稳态误差和计算
一、误差传递函数和稳态误差 1. 单位反馈控制系统的误差传递函数
Gs 1 E s X i s X o s X i s X i s X i s 1 Gs 1 Gs E s 1 —— 单位反馈控制系统的误差传递函数 X i s 1 Gs
已知闭环传递函数求稳态误差
已知闭环传递函数求稳态误差已知闭环传递函数求稳态误差1. 引言在控制系统理论中，闭环传递函数是一个非常重要的概念。
其描述了控制系统在反馈作用下的动态特性，对于系统的稳定性和性能有着至关重要的影响。
而稳态误差则是评价系统性能的重要指标之一，通过已知闭环传递函数求稳态误差，可以帮助我们更好地评估和优化控制系统的性能。
2. 已知闭环传递函数的稳态误差求解当我们已知系统的闭环传递函数时，可以通过以下步骤来求解系统的稳态误差。
2.1 我们需要确定系统的类型。
系统的类型可以通过观察传递函数的分母阶数来确定，一般而言，系统类型等于传递函数的分母阶数减去传递函数的分子阶数。
在控制系统中，常见的类型包括类型0、类型1和类型2。
2.2 接下来，根据系统的类型，我们可以利用稳态误差的公式来计算系统的稳态误差。
对于类型0系统，其稳态误差可以通过以下公式来计算：\[ e_{ss} = \lim_{s \to 0} sR(s) \frac{1}{1+G(s)H(s)} \]其中，\( R(s) \) 为系统的输入信号，\( G(s) \) 为系统的开环传递函数，\( H(s) \) 为系统的反馈传递函数。
而对于类型1系统和类型2系统，其稳态误差的计算公式分别为：\[ e_{ss} = \lim_{s \to 0} (1+\frac{1}{G(s)H(s)})R(s)\frac{1}{1+G(s)H(s)} \]\[ e_{ss} = \lim_{s \to 0} \frac{1}{G(s)H(s)}R(s) \frac{1}{1+G(s)H(s)} \]3. 实例分析假设我们有一个闭环传递函数为：\[ G(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)} \]其中，\( K \) 为系统的增益。
根据该传递函数，我们可以确定系统的类型为类型1，因为传递函数的分母阶数为3，分子阶数为1，所以系统类型为3-1=2。
接下来，我们可以利用稳态误差的公式来计算系统的稳态误差。
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课程设计地点：光电楼四层
指导教师：
系主任：张保成
下达任务书日期:2009 年12月27日
课 程 设 计 任 务 书
1．设计目的：
控制系统的稳态误差，是系统控制准确度或控制精度的一种度量。作为系统性能指标之一的“准确性”，这项稳态性能指标对控制系统是至关重要的。因此，熟悉控制系统稳态误差的Matlab实现方法，并学会控制系统稳态误差的曲线对签字：
年月日
R(s)
图双环控制系统
3．设计工作任务及工作量的要求〔包括课程设计计算说明书(论文)、图纸、实物样品等〕：
设计工作量适中，完成设计后要求提供以下内容：
1）课程设计说明书，要求明确设计方案，仿真结果正确清晰；
2）源程序清单以及解释；
课 程 设 计 任 务 书
4．主要参考文献：
1.郑君里.信号与系统.北京：高等教育出版社，2000.
2.吴麒.《自动控制原理（上、下）》.北京：清华大学出版社.
5．设计成果形式及要求：
课程设计计算说明书一份
6．工作计划及进度：
09年12月27日~12月31日熟悉控制系统稳态误差的Matlab实现方法；
10年1月1日~1月5日设计程序，实现设计要求；
1月6日~1月8日撰写课程设计说明书；
1月9日~1月10日答辩总结，成绩考核；
2．设计内容和要求（包括原始数据、技术参数、条件、设计要求等）：
对下图所示系统：
1）当kf=0时，确定系统的阻尼比 ，无阻尼自然振荡角频率 与在r(t)=t作用下系统的稳态误差ess；
2）当 时，确定系统参数kf在r(t)=t作用下系统的稳态误差ess；
3）当r(t)=t时，欲保持 与ess=0.2，试确定参数kf与放大器系数Ka。
中北大学
课 程 设 计 说 明 书
学生姓名：学号：
学院：
专业：
题目：
指导教师：职称:
年 月 日
中北大学
课程设计任务书
2009~2010学年第一学期
学院：机械工程与自动化学院
专业：机械电子工程
学生姓名：甄国志学号：30
课程设计题目：控制系统稳态误差的计算
起迄日期：2010年12月20日～2011年1月2日
指导教师：
系主任：张保成
下达任务书日期:2009 年12月27日
课 程 设 计 任 务 书
1．设计目的：
控制系统的稳态误差，是系统控制准确度或控制精度的一种度量。作为系统性能指标之一的“准确性”，这项稳态性能指标对控制系统是至关重要的。因此，熟悉控制系统稳态误差的Matlab实现方法，并学会控制系统稳态误差的曲线对签字：
年月日
R(s)
图双环控制系统
3．设计工作任务及工作量的要求〔包括课程设计计算说明书(论文)、图纸、实物样品等〕：
设计工作量适中，完成设计后要求提供以下内容：
1）课程设计说明书，要求明确设计方案，仿真结果正确清晰；
2）源程序清单以及解释；
课 程 设 计 任 务 书
4．主要参考文献：
1.郑君里.信号与系统.北京：高等教育出版社，2000.
2.吴麒.《自动控制原理（上、下）》.北京：清华大学出版社.
5．设计成果形式及要求：
课程设计计算说明书一份
6．工作计划及进度：
09年12月27日~12月31日熟悉控制系统稳态误差的Matlab实现方法；
10年1月1日~1月5日设计程序，实现设计要求；
1月6日~1月8日撰写课程设计说明书；
1月9日~1月10日答辩总结，成绩考核；
2．设计内容和要求（包括原始数据、技术参数、条件、设计要求等）：
对下图所示系统：
1）当kf=0时，确定系统的阻尼比 ，无阻尼自然振荡角频率 与在r(t)=t作用下系统的稳态误差ess；
2）当 时，确定系统参数kf在r(t)=t作用下系统的稳态误差ess；
3）当r(t)=t时，欲保持 与ess=0.2，试确定参数kf与放大器系数Ka。
中北大学
课 程 设 计 说 明 书
学生姓名：学号：
学院：
专业：
题目：
指导教师：职称:
年 月 日
中北大学
课程设计任务书
2009~2010学年第一学期
学院：机械工程与自动化学院
专业：机械电子工程
学生姓名：甄国志学号：30
课程设计题目：控制系统稳态误差的计算
起迄日期：2010年12月20日～2011年1月2日