控制系统稳态误差的计算

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系统的稳态误差为

'

如果系统稳定，E(s)的稳态值又叫系统的稳态误差。根据拉氏变换的终值定理，系统稳态误差表达式为：
ess lim e(t ) lim sE ( s)
t s 0
一、系统误差及稳态误差概念

闭环系统基本结构形式如下：
R(s) + E(s) G1(s) + H(s)
D(s)
G2(s) C(s)
结论如下：若要减小扰动下的误差，则应增大G1的增益
四、扰动作用下系统的稳态误差
扰动下，系统的稳态误差为：
essd
G2 ( s) lim sE ( s) lim [ s D( s)] 1 Gk ( s) s 0 s 0
结论：对于一个系统，扰动作用点位置不同，稳态误差就不同。所以，扰动作用下产生的稳态误差，与D(s)的形式和开环传递函数有关，还与其作用点位置有关。
[例4]
R(s)
已知系统如图所示
+ E(s)
D(s)
G1 (s)
+
G 2 ( s)
C(s)
+
已知 G1 (s) K1 G2 ( s)
求 D( s ) N 时系统的稳态误差 s G2 ( s) 解：essd lim sE ( s) lim [ 1 G ( s) D( s)] s 0 s 0 k K2 N K2 N s (s 1) lim [ s ] lim K2 s s (s 1) K1 K 2 s 0 s 0 1 K1 s (s 1) 结论：扰动下系统的 N 稳态误差与扰动作用点 K1 前面环节增益成反比，与扰动量大小成正比

第9讲控制系统的稳态误差

G(s)H(s) =
K∏(τ j s +1 )
j= 1
m
Sν ∏(Τ s +1 ) i
i= 1
n− ν
开环传递函数：开环传递函数：
G(s)H(s) =
K∏ τ j s +1 ( )
1 j=
m
Sν ∏ Τ s +1 ( i )
1 i=
n− ν
开环传递函数的分类：开环传递函数的分类：以分母中串联的积分环节 sν 个数来定义开环传递函数的型。当 ν = 0, 1, 2 ……时，分别来定义开环传递函数的型。时称系统为0 系统。 G(s)H(s)中其它零中其它零、称系统为0型、1型、2型……系统。而G(s)H(s)中其它零、系统极点对分类没有影响。极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。作用下的稳态误差。
可见，由于型系统中没有积分环节，型系统中没有积分环节可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，越大 e 越小，只要K不是无穷大越大，不是无穷大，大系数成反比，K越大， ss 越小，只要不是无穷大，成反比系统总有误差存在。系统总有误差存在。对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标(如％。为了降低稳态误差，但不允许超过规定的指标如5％)。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系可在稳定条件允许的前提下，数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，选用1型或高于型的系统选用型或高于1型的系统。型或高于型的系统。

3.7 控制系统的稳态误差

☆ E(s)与 E’(s) 的关系：根据反馈控制原理，是
时的输出
对于单位反馈系统 H(s)=1, 两者完全相同。
在工程设计中物理意义明确，因此，经常作为系统稳态性能指标使用，而在实际系统中有wenku.baidu.com无法测量，一般只有数学意义。
E(s) 容易测量，便于理论分析,在控制系统误差分析中通常都是计算输人端定义的误差E(s) 。
一、误差与稳态误差
R(s) E(s)
C(s)
G(s)

B(s)
H (s)
误差的两种定义： ⑴从输入端定义：
系统偏差：系统的输入r (t) 和主反馈信号b (t)之差。
e(t) r(t) b(t)
⑵从输出端定义：系统误差：输出量的希望值c’(t)与实际值c(t) 之差。
表示系统稳态误差
二、稳态误差的计算式
系统框图给定作用下的偏差传递函数
误差的时域计算式：
采用拉氏变换终值定理计算稳态误差 (使用条件：
sE(s)的极点均在左半平面，包括原点)
3．8 稳态误差分析与计算
一、给定输入作用下系统的误差分析 1．系统型别系统开环传递函数:GK(s)=G(s) H(s) 假设开环传递函数GK(s)的形式如下：
① 0型系统 GK(s)=G(s) H(s)
给定有静差系统
②Ⅰ型系统

计算机控制系统-稳态误差

1 D(z)HG(z)
1 W0 (z)
D(z):
HG(z): 系统的误差与系统结构（开环脉冲传递函数
D( z)HG(z) ) 和输入R(z)有关。
3.稳态误差ess 由终值定理
ess

lim e(kT )
k
lim(z
z1
1) E ( z )
lim[(z 1)
1
R(z)]
两端Z变换：E(z) R(z) Z[H (s)G(s)]U (z)
R(z) HG(z)D(z)E(z)
E(z)[1 D(z)HG(z)] R(z)
E(z)
1
R(z)
1 D(z)HG(z)
注意
HG(z)?
HG(z)

(1

z 1 ) Z [
H
(s)G
p
(s) ]
s
定义：由输入引起的闭环误差传递函数We(z)
Kp
q 0 : 0型
q 1: 型 q 2 : 型
K : 0型,有差
lim D(z)HG(z) : 型，无差
z1
: 型，无差
Kv
lim(z z1
1)D(z)HG(z)
0 : 0型,误差无穷大
K : 型，有差
: 型，无差
二.扰动作用下的稳态误差(R(s)=0) （理解） 1．干扰作用在反馈系统的前向通道

计算机控制系统稳态误差

二.扰动作用下的稳态误差(R(s)=0) （理解） 1．干扰作用在反馈系统的前向通道
R(z) 0
D(z)G(z) 1
C(z) 1 N (z) D(z)
由误差定义： EN (z) R(z) C(z) C(z)
E
N
(
z
)
N (z) D(z)
2．干扰作用在反馈通道
若R(z) 0
☝?
闭环Z传递函数
K : 型，有差
: 型，无差
Ka
lim(z
z1
1)2 D(z)HG(z) 0 : 0型,误差无穷大
0 : 型,误差无穷大
K : 型,有差
注意Kp,Kv,Ka的关系!
❖ 关于稳态误差，应注意以下几个概念：
---系统的稳态误差只能在系统稳定的前提下求得。
---如果不能写出闭环脉冲传递函数，则输入信号不能从系统的动态特性分离出来，从而上述静态误差系数不能被定义。
1 D(z)G(z)
c(t T ) Z 1[C(z,m)]
2.三个稳态误差系数
Kp
lim D(z)HG(z)
z1
Kv
lim(z
z1
1) D( z ) HG ( z )
掌
Ka
lim(z
z1
1)2 D(z)HG(z)
握
复习P112-P120，预习P125－P137 习题：5.3(1)

系统稳态误差的计算

1 Kv
对于单位反馈系统， ess ss
(3) 单位加速度输入时系统的稳态误差及稳态加速度误差系数 1 1 xi (t ) t 2 1(t ), X i (s) 。则稳态偏差为： 2 s3 1 1 1 1 1 ss lim s X i ( s) lim s 0 s 0 H ( s ) s 2 s 2G ( s ) H ( s ) H ( s) 1 G( s) H ( s) Ka
3）误差与偏差的关系
( s) X i ( s) H ( s) X o ( s)
偏差等于零的输出就是理想输出。由
(s) X i (s) H (s) X or (s) 0
X i ( s) X or ( s) H ( s)
得：
由误差定义，得：
X i ( s) 1 E ( s) X or (s) X o (s) X o ( s) ( X i ( s) H (s) X o (s)) H ( s) H ( s)
1. 控制系统的偏差与误差 1）偏差信号 ( s)
系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差。
(s) X i (s) B(s) X i (s) H (s) X o (s)
2）误差信号 E ( s )
系统输出量的期望值（理想值） Xr(s)与实际值Xo(s)之差。
E(s) X or (s) X o (s)

控制系统的稳态误差(补充)

稳态误差计算（补充）
扰动作用下稳态误差的计算
动态误差系数法稳态误差计
算
系统在控制信号作用下的稳态误差
e (s) E(s) 1 R (s) 1 G(s)H(s)
E(s)
1 R (s) 1 G (s)H(s)
稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量
1 lim e(t ) lim sE ( s) lim s R( s ) t s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
例1
设控制系统如图1所示，其中
K1 G1 ( s ) 1 T1s
K2 G2 ( s ) s (1 T2 s )
给定输入 r(t ) R r (s) 1(t)，扰动输入 n(t) R n (t) 1(t ) （ Rr 和 Rn 均为常数），试求系统的稳态误差。
N(s) R(s)
系统总的稳态误差： eSS essr essn 0.6
稳态误差小结：
1.公式小结
（1）基本公式
E ( s ) R( s ) B( s )
m
（1）（2）给定输（3）入单独作用（4）时
E s 1 er ( s) R s 1 G ( s) H ( s)
G(s) H (s)
K ( j s 1)
j 1

§3.6 控制系统稳态误差

这就是按扰动的全这就是按扰动的全设系统稳定，设系统稳定，N(s)=1/s ,则补偿则 2 按扰动的稳态补偿全过程扰动的稳态补偿 t从0→∞全过程从
全－slimsC(s) =－slim 1+ k1Gn(s) essn= →0 各种干扰信号 →0
k1k2
∴Gn(s)= -1/k1
减小和消除误差的方法(3,4）减小和消除误差的方法(3,4） (3,4
E(s)=R(s)-C(s) N(s) G1(s) H(s) En(s)=C希-C实= –Cn(s) G2(s) C(s)
ˊ ˊ C(s) 1 R(s) E(s) G(s) H(s) H(s)
总误差怎么求？总误差怎么求？
典型输入下的稳态误差与静态误差系数
R(s) E(s)
G(s)H(s)
C(s)
减小和消除误差的方法(1,2) 减小和消除误差的方法(1,2)
1 按扰动的全补偿按扰动的全
R(s) E(s)
Gn(s) k1 T1s+1
N(s)
k2 s(T2s+1)
C(s)
(T1s+1)+ k1Gn(s) N(s) 令R(s)=0,En(s) = -C(s) = s (T s+1)(T s+1) + k1k2 1 2 令分子=0，令分子，得Gn(s) = - (T1s+1)/k1

第六章控制系统的稳态误差

状态（t）下的差值，即误差信号(t) 的稳
态分量：
ss
lim (t) t
根据拉氏变换的终值定理，有：
ss
lim (t)
t
lim
S 0
S (S)
School of Mechanical Engineering
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第六章控制系统的稳态误差
Part6.2 稳态误差的计算
上海工程技术大学机械工程学院
控制理论基础
第六章控制系统的稳态误差
由：E(S)=R(S)－H(S)Y(S)＝0 可得： Yd(S) = Y (S) ＝R(S)/H(S) 对于单位反馈系统，H(S)＝1， Yd(S) ＝R(S)
➢误差信号 (S)与偏差信号E(S)的关系
(S) Yd (S) Y (S) R(S) H (S) Y (S)
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控制理论基础
第六章控制系统的稳态误差
稳态误差：
ss
(t)
lim
t
(t)
lim
s0
S
(S)
lim
S 0
S
E(S) H (S )
lim
S 0
S
1 H (S )
1
1 G(S)H(S)
R(S)
lim
S 0

3.5 控制系统的稳态误差分析与计算终

sE s lim sE s e ss lim e t lim r s 0 s 0
t
1 lim s X i s s 0 1 G s
非单位反馈系统
E s 1 H s X i s 1 Gs H s 1 1 1 ess lim s X s E s X s i i s 0 H s 1 Gs H s 1 Gk s
该系统为一阶惯性系统，稳定
E s 1 X i s 1 G s
1 s 10 s 10 1 s
s e ss lim s X i s s 0 s 10 s 1 lim s 0 s 0 s 10 s
二、稳态偏差系数
1.稳态偏差系数的定义当不同类型的典型信号输入时，其稳态误差不同。因此，可根据不同的输入信号来定义不同的稳态偏差系数，进而用稳态偏差系数来求得稳态误差。
3.5
控制系统的稳态误差分析和计算
——控制系统的稳态精度
对控制系统的基本要求： 1、稳定 2、准确误差 3、快速
3.5.1 稳态误差的基本概念
一、系统的误差与偏差
E ( s) E' ( s) H ( s)
误差： er ( t ) 希望输出实际输出即er ( t ) xor ( t ) xo ( t ) E r ( s ) X or ( s ) X o ( s ) 偏差： ( t ) 给定值反馈值即 ( t ) x i ( t ) b( t ) E ( s ) X i ( s ) B( s ) E ( s) X i ( s) H ( s) X o ( s) 当xor ( t ) xo ( t )时，E ( s ) 0 当xor ( t ) xo ( t )时，E ( s ) 0 X i ( s) H ( s) X o ( s) 0 X i ( s) H ( s) X o ( s) E ( s ) H ( s ) X or ( s ) H ( s ) X o ( s ) [ X or ( s ) X o ( s )]H ( s ) Er ( s) H ( s)

4.3稳态误差分析

1.给定信号作用下的稳态误差
R(s) e =lim s· ssr 2.静态误差系数 s→0 1+G(s)H(s) Kp=lim G(s)H(s) K sG(s)H(s) υ =lim s →0 s→0 2G(s)H(s) Ka=lim s s→0 -G (s)H(s)D(s) 2 essd= lim s s→0 1+G1(s)G2(s)H(s)
t→∞ _
G1(s) s→0
G2(s)
R(s) =lim s· H(s) s →0 1+G(s)H(s) 系统误差： R(s)作用时 e(t)=r(t)-b(t) 期望值与实际值的差值。系统给定信号作用下的稳态误差不仅与 R(s) R(s) Er(s)= = 系统的输入有关，还与系统的结构有关。 1+G 1+G(s)H(s) ess=lim e(t) 稳态误差：进入稳态后的误差值。 1(s)G2(s)H(s)
③ 与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态误差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。
由此可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。
4.3 控制系统的稳态误差分析
例1 已知系统的结构如图所示。求系统 1+ 1 的稳态误差。 R(s)= S S2 C(s) 5 1 R(s) 100 =lim R(s)= S Kp=lim = ∞ G(s)H(s) s→0 S(0.1S+1) s→0 _ S(S+10） ess1=0 1 5 0.5 R(s)= 2 Kυ=lim SG(s)H(s) =limS =5 S(0.1S+1) s→0 s→0 S 系统的开环传递函数为解： ess2=1/5 5 100 × 0.5 G(s)H(s)= essrS(S+10) =ess1+e= =0.2 S(0.1S+1) ss2

控制系统的稳态误差

3.5控制系统的稳态误差

3.5 控制系统的稳态误差

描述控制系统的微分方程

d? d 工 + ... + G1——十 <10抄=tVrt- ---- 十…十 — + 6()X

成 dt

成

式(3.73 )是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为

的通解逐渐减小，方程的解 y(t)越来越接近特解財&)。当tTg 时，方程的通解趋于零

这时系统进入了稳定状态。特解「「是由输入量确定的，反映了控制的目标和要求。系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。稳态特性的性能指标就是稳态误差。

3.5.1

稳态误差

控制系统的误差可以表示为

(3.75)

输出。

稳定的控制系统，在输入变量的作用下, 称为稳态误差

隨)=27血 "十皿叫in

(3.74)

式中，前两项是方程的通解，而

是方程的一个特解。随时间的增大，方程

T n

T n — 1

d y d y Q 層 ~ + 口層—1c r

护护7

(3.73

是被控制变量的期望值，y(t)

是被控制变量的实际值，即控制系统的

动态过程结束后，进入稳定状态的误差,

1 (3.79)

图3.23单位反馈和非单位反馈系统

(a)单位反馈系统；(b)非单位反馈系统

在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。对图 3.23(a)所示的单

位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即

(3.76)

式中r(t)为系统的给定值，也就是输出y(t) 差为：对图3.23(b)所示的非单位反馈系统，因为反馈变量 f(t)并不与输出变量y(t) 完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是(3.75 )式意义上的误差。但如果反馈环节H(s)不含有积分环节，在，

稳态误差计算公式

稳态误差是指控制系统达成稳态后控制器输出与实际输出之间的偏差。稳态误差通常用来衡量一个控制系统的效能，经常计算稳态误差的标

准公式为：稳态误差=系统输出-输入，其中输入表明对系统输出所施

加的维持信号，输出表示控制变量为稳态时的实际输出变量。

第六章控制系统稳态误差和计算

第六章控制系统的误差分析和计算

6-1 稳态误差的基本概念6-2 输入引起的稳态误差分析6-3 扰动引起的稳态误差分析6-4 减少系统误差的途径6-5 动态误差系数计算

一、误差与偏差

1.误差（输出端的误差）：控制系统理想输出量x oi (t )与实际输出量x o (t )之差，e (t )=x oi (t )-x o (t )，E (s )=X oi (s )-X o (s )。

稳态误差：误差信号的稳态分量，记为：e ss 。

2.偏差（输入端的误差）：控制系统输入信号x i (t )与反馈信号y (t )之差，记为：ε(t )=x i (t )-y (t )，ε(s )=X i (s )-Y (s )。

稳态偏差：偏差信号的稳态分量，记为：εss 。

()

i X s ()

s G 1()

s H ()

s N ()

s G 2()

o X s -

+()

s Y ()

s ε()

oi X s ()

s μ()s E -

X i(s)

()s

)

()

E s

)()()s

H(s)=1，E(s)=

(t)-x o 误差（输出端的误差）：e(t)=x

偏差（输入端的误差）：ε(t)=x

(t)-y(t

静态位置误差系数

()

010K

⎧⎪

+⎨⎪⎩型系统Ⅰ型以上的系统

阶跃信号输入下有一定的稳态偏差（εss ≠0）；

阶跃信号输入下稳态偏差为零（εss =0）。

ss p

1K ε=

⇒+()()

1K 11i n v j j G s s T s ν

=-==

+∏

静态速度误差系数

()K 1

s v 0110K K ∞

⎧⎪

第三章 (3.4)控制系统的稳态误差分析

但是，积分环节越多、开环增益越大，系统越不稳定。
例1：某系统结构图如图所示，试判断分别使 e ss 0.1和e ss 0.01 的K的范围。
E(s)
K
C(s)
例2 某系统结构图如图所示，试设计Gc(s)使系统变为无差系统。
E(s)
Gc(s)
C(s)
1 原系统 e ss 0.2 K
若G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 1, essd
D( s ) lim s s0 G1 ( s )
输入和扰动同时作用时的误差
R( s)

E (s)
D(s)
G1 (s)
G 2 (s)
C (s)
H(s)
E ( s ) Er ( s ) Ed ( s ) er ( s ) R ( s ) ed ( s ) D( s )
全过程
这就是按输入的全补偿
全
各种输入信号
例：试设计Gr(s)，使r(t)=t时essr=0。 Gr(s) E(s) k2 R(s) k1 T1s+1 s(T2s+1)
C(s)
s (T1s+1)(T2s+1) - k2 (T1s+1)Gr(s) Er(s)= R(s) s (T1s+1)(T2s+1) + k1k2