人教版八年级数学上册15.3 第1课时分式方程及其解法 (3)

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第15章 15.3 第1课时分式方程及其解法

第十六章
夯实训练
整合方法
综学合科素探养究
-20-
解：(1)x1＝c，x2＝mc .将 x1＝c 代入方程 x＋mx ＝c＋mc 得 c＋mc ＝c＋mc ，显然 x1＝c 是原分式方程的根．将 x2＝mc 代入方程 x＋mx ＝c＋mc 得mc ＋c＝c ＋mc ，显然 x2＝mc 是原分式的根．
教必材备知感识知
课堂检测
-7-
8．解方程： (1)x＋x 2＝1－2x3＋x 4； (2)xx＋－11－x2－4 1＝1.
教必材备知感识知
课堂检测
-8-
解：(1)原方程可化为x＋x 2＝1－2(x3＋x 2)，去分母，得 2x＝2(x＋2)－3x，移项，合并同类项得 x＝43，经检验：x＝43是原方程的解． (2)方程两边同乘(x2－1)，得(x＋1)2－4＝x2－1，整理得 2x＝2，∴x＝1，经检验当 x＝1 时，x2－1＝0，∴x＝1 不是原方程的解，原方程无解．
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3(1－x)
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
教必材备知感识知
课堂检测
-4-
4．关于 x 的方程3xx＋－12＝2＋x＋m 1无解，则 m 的值为( A )
A．－5
B．－8
C．－2
D．5
教必材备知感识知
课堂检测
-5-
5．关于 x 的分式方程5x＝x－a 2有解，则字母 a 的取值范围是( D )
第十六章
夯实训练
整合方法
综学合科素探养究
-21-
(2)通过上面方程的观察、比较、理解验证，你能解出关于 x 的方程 x

人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：

分式方程(第一课时)教案-初二数学第十五章15.3人教版

第十五章分式的方程15.3分式的方程第一课时 15.3.1分式的方程（认识、解法）1教学目标1.1知识与技能：[1]理解分式方程的意义。

[2]使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。

[3]理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。

1.2过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。

1.3 情感态度与价值观：[1]在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.[2]结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气。

2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]可化为一元一次方程的分式方程的解法。

[2]分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。

2.2 教学难点[1]理解解分式方程时可能无解的原因。

[2]解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根。

3 专家建议本节课内容难度不大，但是难点在于灵活运用。

在讲授分式方程解法时，老师应该尽量说清楚以下知识点：（1）类比整式方程与分式方程的区别。

（2）在进行解分式方程时，注意出现曾根的情况。

从下一节起将开始分式方程的应用。

因此，可以在课下带领同学进行分式的乘除、加减、幂运算以及混合运算进行专题练习，锻炼同学综合运用分式运算知识进行解题的技能。

4 教学方法[1]分组讨论。

[2]类比推理。

[2]启发引导探索的教学方法。

5 教学用具多媒体，黑板6教学过程6.1复习提问【师】同学们好。

同学们看一下大屏幕上的这个题，我们一起回亿一下之前我们学过哪些方程？我们该如何求解它呢？【生】答：（1）前面已经学过了一元一次方程．（2）一元一次方程是整式方程．（3）一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一。

15.3.1分式方程及其解法

求a的取值范围．【思路点拨】解关于 x 的分式方程→根据解是正数 (即大于零)列出关于字母a的不等式→解不等式,确定 a的(x－2),得2x＋a＝2－x,
2a ．解得 x＝ 3 2a 2a ＞0，且 2．由题意,得 3 3 2a 2a ＞0，由解得a＜2；由得a≠－4． 2， 3 3
解得:x=50经检验x=50是原方程的解
则甲工程队每天能完成绿化的面积是
50×2=100(m2) 答:甲,乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2,50m2.
过程展示
解:(2)设至少应安排甲队工作x天,根据题意得:
1800 100x 0.4x+ ∙0.25≤8, 50
解得:x≥10 答:至少应安排甲队工作10天．
× √
√) (×)
知识运用
一.分式方程的定义及解法例1.(2013·资阳中考)解方程: 【教你解题】
x 2 1 ＋＝ . 2 x －4 x 2 x－2
解:
去分母
方程两边都乘以(x+2)(x-2), 得:x+2(x-2)=x+2. 解这个方程,得:x=3. 经检验,x=3是原方程的解
解整式方程
方法提示
分式方程无解的“两种情况”: 分式方程无解时分式方程化为整式方程后有以下两种情况: (1)整式方程有解但这个解不是原分式方程的解； (2)分式方程化为整式方程后整式方程无解.
中考链接
(2014年∙广东汕尾)某校为美化校园,计划对面积为 1800m2的区域进行绿化,安排甲,乙两个工程队完成. 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天. (1)求甲,乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 m2 ？ (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元,乙队为0.25万元,要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少应安排甲队工作多少天？

人教版八年级上册数学教案：15.3分式方程

分式方程（第1课时）教学设计
设计教师
工作单位
学科
数学
课型
新授课
所教内容
新人教版数学八年级上册第十五章第三节第一课时
课程标准
讨论分式方程的概念及解法，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程.从章引言中的实际问题出发，分析分式方程的特点，给出分式方程的概念，接着从分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母将分式方程化为整式方程，再解出未知数.
教材分析
《分式方程》是人教版八年级数学《分式方程》第三节内容，从知识上讲，分式方程是在掌握方程、分式相关概念基础上的一次知识拓展，本节课为分式方程第一课时，让学生初步感知分式方程，认识分式方程，初步掌握分式方程的一般解法，为以后学习解打基础。从思想方法上讲，分式方程的求解是转化为已经学习的整式方程的解法，从而找到解分式方程的途径，让学生逐步理解并掌握应用转化的思想方法。
（师总结新的根的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，就不是原分式方程的解。
问：你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？
观察分式方程的两种检验方法，你发现了什么？
学生自愿上讲台解题，其他学生在下面独立完成.
学生自愿举手评价板书学生的解题过程.
1、如何把它化成整式方程？
2、如何去分母？
3、在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
4、这样做的依据是什么？
师生共同分析解法，微视频展示系统地分析过程，师按照严格的格式板书详细的解方程过程）
再次展示规范的解题过程：
追问：x=6是原分式方程的解吗？怎样检验？
师总结道：在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（分式方程转化为整式方程----化分为整）。

人教版八年级上册数学精品教学课件第1课时分式方程及其解法3

8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨：此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同，这样一般可将各分式拆成：整式+分式的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
y 1 y 2y01yy12y1,y2102yyy1121y,y220 20
下面的过程请同学们自己完成相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复杂，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解法称为 ——通分法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种解法称为 —— 拆项法

人教版数学八年级上册教学设计15.3《分式方程》

人教版数学八年级上册教学设计15.3《分式方程》一. 教材分析《分式方程》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课主要让学生掌握分式方程的定义、解法以及应用。

通过学习，学生能够理解和掌握分式方程的概念，能够熟练运用解法求解分式方程，并能够将分式方程应用于实际问题中。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了分式的相关知识，对分式的概念、性质和运算有一定的了解。

但是，对于分式方程的概念和解法，学生可能还没有完全掌握。

因此，在教学过程中，需要引导学生复习和巩固分式的知识，并通过例题和练习题帮助学生理解和掌握分式方程的解法。

三. 教学目标1.理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法。

2.能够将分式方程应用于实际问题中，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.分式方程的定义和解法。

2.将分式方程应用于实际问题中。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析和练习题，让学生理解和掌握分式方程的解法；通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.练习题和案例。

3.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生复习和巩固分式的知识。

例如：“我们已经学习了分式的哪些知识？分式有哪些性质和运算规则？”2.呈现（15分钟）通过PPT课件展示分式方程的定义和解法，让学生理解和掌握。

同时，通过案例教学法，让学生了解分式方程在实际问题中的应用。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，解决一些简单的分式方程问题。

教师巡回指导，解答学生的问题，并给予鼓励和表扬。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些分式方程的练习题，巩固所学知识。

教师选取部分题目进行讲解和分析，解答学生的问题。

5.拓展（10分钟）让学生思考和探索分式方程在实际问题中的应用，提出一些实际问题，引导学生运用分式方程进行解决。

人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件

（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数，不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）

15.3分式方程(第1课时)-教学设计

15.3分式方程教学设计
第1课时
前言：
本节内容从本章引言中的航行问题说起，列出分母中含有未知数的方程，然后分析这样的方程的特点，给出分式方程的概念，接着由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。

在教学过程中要重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤：化分式方程为整式方程和检验。

本节知识都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实地掌握它们。

一、教学任务分析
二、教学流程安排
三、教学过程设计
活动二诱导尝试，探究新知
：如何解分式方程=
：如何解分式方程=
=
(2)
(3)-1=
的值比分式
为何值时，分式方程+k=无解。

四、板书设计。

人教版八年级数学上册教案：15.3.1分式方程及其解法

（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对分式方程的概念和解法掌握程度参差不齐。有的同学能够迅速理解并运用到实际问题上，但也有一些同学在去分母和解决实际问题时感到困惑。这让我意识到，在接下来的教学中，我需要更加关注以下几个方面：
二、核心素养目标
1.让学生掌握分式方程的基本概念和解法，提高逻辑思维能力和数学运算能力；
2.培养学生运用分式方程解决实际问题的能力，增强数学应用意识和模型观念；
3.引导学生通过探究、合作、总结等学习过程，发展自主学习、合作交流的核心素养；
4.培养学生严谨、细致的数学学习态度，提高数学素养和审美观念；
-对于含有绝对值、不等式的分式方程，如何转化为常规分式方程求解。
举例：
-难点解释：在去分母的过程中，学生可能会遇到分母因式分解的困难，需要教师引导学生掌握因式分解的方法，并通过例题演示如何将复杂的分母简化；
-解法选择：对于一些特殊的分式方程，如含有绝对值，学生可能会感到困惑，教师需要通过具体的例子讲解如何将其转化为常规分式方程求解；
1.讨论主题：学生将围绕“分式方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

八年级数学上册分式方程的解法人教版

解得: x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2) ＝0 ,因此x＝1不是原方程的解.
所以，原分式方程无解
备选练习
解下列方程：
(1) 5 7 x x2
解：方程两边乘x(x-2)，得: 5(x-2)=7x 解得: x=-5 检验：当x=-5时，x(x-2) ≠0
所以，原分式方程的解为 x＝-5
①
30v 30v
方程①有何特点？
方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
你还能举出一个分式方程的例子吗？
练习
判断下列各式哪些是分式方程?
(1)xy5; (2)x22y-z; (3)1;
5
3
x
(4) y 0; (5)12x5
x5
x
（1）（2）是整式方程；（3）是分式；
约去分母，得： 90（30－v）＝60（30+ v）
解这个整式方程，得：v＝6
所以江水的流速为6 km/h.
解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
解方程：
1 10 x 5 x2 25
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。

初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程

先把分式方程转化为整式方程，再把使得分式方程中分母为零的未知数的值代入到转化后的整式方程中，即可求得待定量的值.
列分式方程解应用题
一般步骤
列 (1)审：找出问题中已知与未知的数量关系；
分 (2)设：一般是直接设未知数，个别是间接设未知数；
式方
(3)列：根据等量关系列出分式方程；
程 (4)解：解转化后的整式方程；
3
所以 2 m ≠2,解得m≠0.综上所述，m的取值范围为m＜6
3
且m≠0.故选C.
本题在求m的取值范围时，只注意到方程
2 x2
xm 2 x
2
的解为正数，而忽略了排除分式方程无解的情况.
题型一解分式方程
角度a 可化为一元一次方程的分式方程
例8 解方程：
y
6y 2
12 4y
4
y2 4 y2 4y 4
角度b 解含有字母的分式方程
例9 解方程： x m x (m -2, m -1). x1 x1 x1
思路导图
方程两边同乘（x-1）(x+1)，把分式方程转化为整式方程，解整式方程
检验，将求得的整式方程的解代入分式方程的最简公分母中，检验是否为零
写出原分式方程的解
解：方程两边同乘(x-1)(x+1)，得(m+2)x=-m.
续表
知识解读
(1)问题中的数量关系可能不止一个，分析得出与未知的等量关系，选择适当的未知数可以简化方程； (2)列方程时要保持单位统一； (3)注意在分式方程应用题中检验意义的双重性，既要检验得到的整式方程的解是否是列出的分式方程的解，又要检验其是否符合实际意义
注意：列分式方程解应用题一定要检验，同时还要保证其结果符合实际意义.

人教版八年级数学上册分式方程第一课时可化为一元一次方程的分式方程教学课件

x 1 x 1
3把分式方程 x 2 1 化为整式方程得x 2 1；
x2 2x
4把分式方程 1
x2 1
2（xx1）
1 化为整式方程时， 4（x 1）
两边应同时乘以8（x2 1）（x 1）（x 1）。
做一做当堂练习
1.方程 3-x2的解是 x___ 1___.
x 2.函数 y
x
中，自变量x的取值范围
分母，得80(x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得x=21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
探究分式方程的解法
2、概括上述解分式方程的过程，实质上是将
方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
请你动手做一做：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法. 如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根.
(2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.
提问：你还能举出一个类似的例子吗？上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.
课堂小结
解分式方程的注意点：
（1）去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项式，要进行因式分解；
（2）去分母时，不要漏乘不含分母的项；
（3）最后不要忘记验根。
•分式方程的主要特征：
（1）含有分式；（2）分母中含有未知数。
你还能举出一个分式方程的吗？
例题讲解与练习
辨析：判断下列各式，哪个是分式方程？
(1)

八年级数学上册第十五章分式方程课时1分式方程及其解法教学课件新版新人教版ppt

检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，
所以原分式方程的解是x=6.
当堂小练
关于x的方程
的解是正数，则a的取值范围是a＜－1且．a≠－2
【分析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1. ∵关于x的方程 2x a 1的解是正数，
x 1
∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
当堂小练
若关于x的分式方程
无解，求m 的值．
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
新课导入
思考一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流行驶130 km所用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？
新课导入
思考一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流行驶130 km所用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？解：根据题意得： 130 70 40 v 40 - v 解出该方程即可求出v的值，即江水的流速.
第十五章分式
15.3 分式方程课时一分式方程及其解法
目录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.了解分式方程的概念，会判断一个方程是分式方程. （难点） 2.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 3.了解分式方程验根的必要性．（重点）

人教版八年级数学上册《15.3第1课时分式方程及其解法》

初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
第十五章分式
15.3 分式方程
第1课时分式方程及其解法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
灿若寒星
学习目标
1.解分式方程的基本思路和解法.（重点） 2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点）
灿若寒星
导入新课
情境引入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60千米所用时间相等，江水的流速为多少？解：设江水的流速为x千米/时.
灿若寒星
典例精析
例1
解方程
2 3. x3 x
解：方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得 x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
Hale Waihona Puke 灿若寒星例2解方程
x 1
3
.
x 1 (x 1)(x 2)
解：方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
灿若寒星
分式方程解的检验------必不可少的步骤解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能
使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
这个整式方程的解是不是原分式的解呢？
怎样检验？
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值
不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
C.2(x-8)-5x=16(x-7)
D.2(x-8)-5x=8
灿若寒星
3. 解方程： x x 1 2.

人教部编版八年级数学上册 15.3.1 分式方程的解法

方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！
90(30－
v)＝60(30＋v)．
解这个整式方程，得 v＝6.
所以江水的流度为 6 千米/时．
[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘
以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解201．9/9所/17 乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母． 6
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式
子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方
程，它的解v＝6.当v＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，感谢您下载包图网平台上提供的PPT作品，为了您和包图网以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！包图网将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！
去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式
方程的解与①的解相同．
方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解x＝5.
当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边
乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现
分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．
2019/9/17
行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！

解得 x＝9. 检验：当 x＝9 时，x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为 x＝9.
2019/9/17
11
例 3( 教材例 2)
解
方
程
x x－1
－
1
＝
3 （x－1）（x＋2）.
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人教版八年级数学上册15.3 分式方程及其应用习题梳理

15.3 分式方程及其应用考点一分式方程的定义1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程．例1.下列方程是分式方程的是()A ．1023x -= B ．42x=- C ．213x -=D ．213x x +=答案解析：选B ．A 、1023x -=是一元一次方程，故A 错误；B 、42x=-是分式方程，故B 正确；C 、213x -=是一元二次方程，故C 错误；D 、213x x +=是一元一次方程，故D 错误．过关检测1. 下列关于x 的方程中，是分式方程的是( ) A ．132x =B ．12x= C ．2354x x++= D ．321x y -= 2. 下列关于x 的方程①153x -=，②141x x =-，③1(1)1x x x-+=，④11x a b =-中，是分式方程的有( ) A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个考点二解分式方程1. 解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．例1.解方程：答案解析：最简公分母是2（x-1）,等号两边同时乘最简公分母，去分母得：2x ﹣4x+4=3，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．过关检测1. 解分式方程14322x x-=--时，去分母可得( ) A ．13(2)4x --= B ．13(2)4x --=-C ．13(2)4x ---=-D ．13(2)4x --=2. 解方程（1）113x x x -=+ （2）241111x x x -+=-+ （3）13211x x-=-- （4）1112x x x ++=- （5）考点三分式方程的解（一般解、增根、无解）1. 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程解．2. 增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．例1.若关于x 的分式方程311m x -=-的解为2x =，则m 的值为( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2答案解析：关于x 的分式方程311m x -=-的解为2x =，22x m ∴=-=，解得：4m =．故选：B ．例2.若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是________答案解析：原分式方程的解为x=223a-+，0x x ∴≥关于的解释非负数则2302a-+≥，得1a ≥.故答案为1a ≥.过关检测1. 2x =是分式方程321321x a x a +-=-+的解，则a 的值是( )A ．1-B ． 0C ． 1D ． 3 2. 分式方程2112x x -=-的解为( ) A ．1x =- B ．12x =C ．1x =D ．2x = 3. 已知3x =是分式方程2121kx k x x--=-的解,则实数k 的值为？4. 若关于x 的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是？例3. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则它的增根是( )A ．0B ．1C ．1-D ．1和1-答案解析：方程两边都乘(1)(1)x x +-，得6(1)(1)(1)m x x x -+=+-，由最简公分母(1)(1)0x x +-=，可知增根可能是1x =或1-．当1x =时，3m =，当1x =-时，得到60=，这是不可能的，所以增根只能是1x =．故选：B ．过关检测1. 关于x 的分式方程7311mx x +=--有增根，则增根为( ) A ．1x = B ．1x =-C ．3x =D ．3x =-2. 若关于x 的方程1011m x x x --=--有增根，则m 的值是( ) A ．3B ．2C ．1D ．1-3.若分式方程231222x a x x x x-+=--有增根，则实数a 的取值是？例4. 关于x 的方程32211x mx x -=+++无解，则m 的值为( ) A ．5- B ．8- C ．2- D ．5答案解析：去分母得：3222x x m -=++，由分式方程无解，得到10x +=，即1x =-，代入整式方程得：522m -=-++，解得：5m =-，故选：A ．过关检测1. 若关于x 的方程2134416m m x x x ++=-+-无解，则m 的值为？2．若关于x 的分式方程3233x a a x x+=--无解，则a 的值为？3．若关于x 的分式方程7311mx x x +=--无解，则实数m =？考点四分式方程的应用1. 行船问题例1.一艘轮船在静水中的最大航速为30/km h ，它以最大航速沿江顺流航行100km 所用时间，与以最大航速逆流航行80km 所用时间相等，设江水的流速为v /km h ，则可列方程为( )A ．100803030v v =+-B ．100803030v v =-+C ．100803030v v=+-D ．100803030v v =-+答案解析：船顺流而下时速度为船速加水速，即v+30,逆流而下时速度为船速减水速，即v-30，根据时间相等，列等量关系式，100803030v v =+- 故答案选A过关检测1. 一艘轮船在静水中的最大航速为35/km h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km 所用时间相等．设江水的流速为v /km h ，则可列方程为( )A ．120903535v v =+- B ．120903535v v =-+C ．120903535v v =-+ D ．120903535v v=+-2. 甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6/km h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为x /km h ，则求两船在静水中的速度可列方程为( )A ．18012066x x =+- B ．18012066x x =-+C ．1801206x x=+ D ．1801206x x =-2. 行程问题例1.为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行25公里的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2公里，设甲每小时骑行x 公里，根据题意列出方程正确的是( )A ．30252x x =+ B ．30252x x =+C ．30252x x =- D ．30252x x=- 答案解析：乙每小时速度为x-2，路程=速度×时间，找到时间为等量关系，有两者时间相等，列关系式为：30252x x =-，故答案选C过关检测1. 甲、乙两地相距600km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，设特快列车的平均行驶速度为/xkm h ，根据题意可列方程为( ) A ．60060043x x += B ．60060043x x -= C ．60060043x x-= D ．600600423x x-=⨯ 2. 2016年5月15日从呼市到鄂尔多斯市的6767D 次动车首发成功，鄂尔多斯市自此迎来了动车时代，已知两地铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从呼市到鄂尔多斯市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x 千米，则可列方程为( )A ．4504504050x x -=- B ．4504504050x x -=+ C ．4504502503x x -=+ D ．4504502503x x -=-3. 徐州至北京的高铁里程约为700km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A 与“复兴号”高铁B 前往北京．已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢，车的行驶时间比车的行驶时间多，两车的行驶时间分别为多少？4.小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院和，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是，结果小明比小刚提前到达剧院．求两人的速度．5. 班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍从学校出发．苏老师因有事情，从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？80/km h A B 40%1200m 2000m 3:44min 8:008:3090606x x =-3. 工程问题例1. 甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做个零件，所列方程正确的是D ． A ．B ． C. 答案解析：工程总量=工作效率×工作时间，设甲的工作效率为x ，则乙的工作效率为x-6，根据工作时间相等列等量关系式，有：，故答案选A 过关检测1. 西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车 3 小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作 1.2 小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为小时，根据题意可列出方程为 A ．B ．C ．D ．2. 某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的 2 倍，并且甲工程队完成 300 平方米的绿化面积比乙工程队完成 300x ()90606x x =-90606x x =+90606x x =+90606x x =-x ()1.2 1.216x += 1.2 1.2162x +=1.2 1.2132x += 1.2 1.213x+=平方米的绿化面积少用 3 小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？4.经济问题例1.小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了本笔记本，则根据题意可列方程为．．．．答案解析：销售总价=销售单价×销售数量。