浙教版数学九年级上册求二次函数解析式的六种思路.docx
浙教版-数学-九年级上册-求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种方法一、已知任意三点求解析式用一般式，即2(0)y ax bx c a =++≠.方法：把三点坐标分别代入一般式，得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值，即可得到二次函数的解析式.例1、（2010 天津）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为 ．分析：表格给出了自变量x 和函数值y 的六组对应数值，也就知道了二次函数的图像经过的六个点的坐标，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由图像可知，抛物线经过点（-1，-2）、（0，-2）、C （1，0）三点，所以220a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得112a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以该二次函数的解析式为22y x x =+-.二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即2()(0)y a x h k a =-+≠ 方法：先将顶点坐标（h ，k ）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出a ，即可得抛物线的解析式.例2、如图（1）所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．22y x =-B ．22y x =C ．212y x =-D ．212y x =分析：由图可知二次函数的顶点坐标为（0、0），所以二次函数的解析式可以设为2y ax =进行求解.解：设二次函数为2y ax =，把点（2，-2）代入解析式，得222a -=⨯，解得12a =-，所以二次函数的解析式为212y x =-，故选C.三、已知与x 轴两交点坐标求解析式用交点式，即12()()(0)y a x x x x a =--≠ 方法：将抛物线与x 轴两个交点的横坐标1x 、2x 代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出a ，即可得抛物线的解析式.例3、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 . 分析：二次函数的图象经过原点，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，所以另一个交点的坐标为（-1，0）或（1，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式.解：因为二次函数的图象经过原点，并且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，所以另一个交点的坐标为（-1，0）或（1，0），当另一个交点的坐标为（-1，0）时，设所求的二次函数的解析式为(1)y ax x =+.因为二次函数的图像经过点（12-，14-），所以111()(1)422a -=⨯--+，解得1a =，所以二次函数的解析式为2y x x =+，当另一个交点的坐标为（1，0）时，设所求的二次函数的解析式为(1)y ax x =-.因为二次函数的图像经过点（12-，14-），所以111()(1)422a -=⨯---，解得13a =-，所以二次函数的解析式为21133y x =-+，综上所述，该二次函数的解析式为2y x x =+或21133y x =-+.图（1） 图（2）。
求二次函数解析式的方法
求二次函数解析式的方法
求解二次函数的解析式一般有以下几种方法：
1. 完全平方公式
二次函数一般的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）。
如果a=1，那么直接使用完全平方公式：f(x) = (x + p)^2 + q，其中p和q可通过对b和c进行变形求得。
2. 因式分解法
当二次函数可分解为两个一次项相乘时，可以使用因式分解法求解。
首先将二次函数进行因式分解，然后将因式设置为0，求解出x的值。
3. 配方法
当二次函数无法使用完全平方公式和因式分解法求解时，可以使用配方法。
配方方法通常是将二次函数写成一个完全平方的形式，然后进行变量的替换或重新归一化，从而得到一个容易求解的形式。
4. 公式法
当二次函数无法通过上述方法求解时，可以使用根的公式求解。
根的公式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中a、b和c为二次函数的系数。
这个公式可以给出二次函数的两个根。
需要注意的是，以上是一般情况下求解二次函数的方法。
在特殊的情况下，可能需要采用其他的求解方法或利用特殊性质进行求解。
九年级数学 用待定系数法求二次函数的解析出方法规律(6种)
用待定系数法求二次函数的解析出方法规律（6种）一、三点型（一般式）二、若已知二次函数图像上任意三点的坐标,则可以用标准式y= ax2 +bx+c.三、例1 已知二次函数图像经过（1,0）、（-1,-4）和（0,-3）三点,求这个二次函数解析式.四、设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,由已知可得,解之得故所求二次函数解析式为y=x2+2x-3.五、二、顶点型（顶点式）六、若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程和函数的最大（小）值,则可以用顶点形式y=a(x-h)2+k.七、例2 已知抛物线的顶点坐标为（2,3）,且经过点（3,1）,求其解析式.八、设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,由条件得1=a(3-2)2+3.九、解得a=-2.十、所以,抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3,即：y=-2x2+8x-5.十一、三、交点型（两点式）十二、若已知二次函数图像与x轴的两交点坐标或两交点间的距离及对称轴,则可以用交点形式y=a(x-x1)·(x-x2).十三、例3 已知二次函数图像与x轴交于（-1,0）、（3,0）两点,且经过点（1,-5）,求其解析式.十四、设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3),由条件得-5=a(1+1)(1-3).十五、解得a=.十六、故所求二次函数解析式为y=(x+1)(x-3),则y=x2—x—.十七、四、平移型十八、将二次函数图像平移,形状和开口方向、大小没有改变,发生变化的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点形式,再按照“左加右减,上加下减”的法则,即可得出所求的抛物线的解析式.十九、例4 将抛物线y=x2+2x-3向左平移4个单位,再向下平移3个单位,求所得到的抛物线的解析式.二十、函数解析式可变为y=(x+1)2-4.二十一、因向左平移4个单位,向下平移 3 个单位,所求函数解析式为y=( x+1+4)2-4-3,即y=x2+10x+18.二十二、五、综合型二十三、综合运用几何性质求二次解析式.二十四、例5 如下图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若AC=20,BC=15,∠ABC=90°,求这个二次函数解析式.二十五、在Rt△ABC中,二十六、AB= + =25,二十七、∵S△ABC=AC·BC=AB·OC,二十八、∴OC===12.二十九、∵AC2=AO·AB,三十、∴OA===16,三十一、∴OB=9.三十二、从而得A、B、C三点坐标分别为（-16,0）、（9,0）、（0,12）.三十三、于是,利用三点型可求得函数解析式为：y=-x2-x+12.与二次函数相关压轴题讲解：函数与梯形综合问题如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点分析：二次函数综合题；解二元一次方程；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质；梯形；计算题。
浙教版九年级上册二次函数知识点与题型总结(K12教育文档)
(完整word版)浙教版九年级上册二次函数知识点与题型总结(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)浙教版九年级上册二次函数知识点与题型总结(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整word版)浙教版九年级上册二次函数知识点与题型总结(word版可编辑修改)的全部内容。
第一部分 二次函数基础知识✧ 相关概念及定义➢ 二次函数的概念：一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=，.➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2。
✧ 二次函数解析式的表示方法➢ 一般式:2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数,0a ≠); ➢ 顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，0a ≠）；➢ 两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）。
浙教版数学九年级上册求二次函数解析式的六种思路
求二次函数解析式的六种思路二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。
它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。
求二次函数的解析式，应恰当地选用二次函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。
解题时，应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。
下面举例说明。
思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y 较方便。
例1、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
解：设此二次函数的解析式为c bx ax y ++=2，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=+-53939c b a c b a c b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=531c b a∴所求的二次函数的解析式为532-+-=x x y思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式n m x a y +-=2)(较方便。
例2、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。
解：设抛物线n m x a y +-=2)(，由题意得：2,1-=-=n m2)1(2-+=∴x a y∵抛物线过点（1，10）102)11(2=-+∴a3=∴a即解析式为1632++=x x y思路3、已知图象与x 轴两交点坐标，可用))((21x x x x a y --=的形式，其中1x 、2x 为抛物线与x 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根。
例3、已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。
解：设所求解析式为)2)(5(-+=x x a y∵图象经过（3，－4）∴4)23)(53(-=-+a ∴21-=a 即：)2)(5(21-+-=x x y 则所求解析式为523212+--=x x y 。
二次函数解析式解题技巧
二次函数解析式解题技巧二次函数是高中阶段数学学习中常见的一个知识点，也是较为基础的一部分，掌握好二次函数解析式的解题技巧对于考生而言是至关重要的。
本文将分享几个二次函数解析式解题的技巧和方法。
一、定义二次函数是指具有形如$f(x)=ax^2+bx+c$的函数，其中$a$、$b$、$c$是实数，$a\neq0$。
其中，$a$表示二次项系数，$b$表示一次项系数，$c$表示常数项系数，$x$表示自变量，$f(x)$表示函数值，$f$表示函数的符号。
二次函数的图像通常为一条开口向上或者开口向下的抛物线。
二、化简在解二次函数的问题时，一定要将其化简为标准形式，即$f(x)=a(x-h)^2+k$，其中，$(h,k)$为抛物线的顶点坐标，$a$为开口方向和形态。
化简的具体方法如下：1、将$f(x)$按照二次项系数、一次项系数、常数项系数的顺序排列。
2、将一次项系数$b$拆分成两个部分，即常数项系数的一半和自变量的一次方，即$b=\dfrac{-b}{2}×2×x$，又因为$-4a^2x^2+4ax$中含有一个$4a$，将其提出来成公因式，即为$-4a \times \left (ax^2+ \dfrac{b}{2a} x -\dfrac{1}{4a}b^2\right)$。
3、将上式中的括号里的部分变形，即将括号内的二次项系数变为1，消掉一次项系数。
4、将上步得出的结果进一步变形，即将常数项移项，便得到二次函数的标准形式$f(x)=a(x-h)^2+k$。
3、求导求解二次函数的极值点时，可以使用导数的方法来实现。
首先对$f(x)$求导数$f'(x)$，即$f'(x)=2ax+b$。
然后将$f'(x)=0$带回原方程$f(x)=ax^2+bx+c$中，即可得到极值点的$x$坐标。
4、平移公式二次函数的平移公式是指在二次函数基本式$y=ax^2$的基础上，通过平移坐标系的方法，使得抛物线沿着横轴平移$h$个单位，纵轴平移$k$个单位后的函数形式为$y=a(x-h)^2+k$。
二次函数解析式解题技巧
二次函数解析式解题技巧二次函数解析式是数学学习当中非常重要的一个章节，也是数学考试的一个必考知识点。
下面是小编为大家整理的关于二次函数解析式解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!二次函数解析式解题技巧函数解析式的常用求解方法：(1)待定系数法：(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)：若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。
待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
(2)换元法(注意新元的取值范围)：已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设t=g(x)，从而求得x=(g^(-1))(t)，然后代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。
(3)配凑法(整体代换法)：若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。
(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
(5)赋值法(特殊值代入法)：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
极客数学帮给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。
二、换元法利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即f(x)的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
【常考压轴题】二次函数的定义五种模型全攻略—2023-2024学年九年级数学上册(浙教版)(解析版)
二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 二次函数的识别】 ............................................................................................................................ 1 【考点二 二次函数中各项的系数】 ................................................................................................................ 3 【考点三 利用二次函数的定义求参数】 ........................................................................................................ 4 【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 ................................................................................ 5 【考点五 列二次函数的关系式】 .................................................................................................................... 6 【过关检测】 .. (8)【典型例题】【考点一 二次函数的识别】【答案】B【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A ．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B ．函数是二次函数，故本选项符合题意；C ．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D ．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数．22(1)21y x x x =+-=+2y ax bx c =++a b c 0a ¹【变式训练】【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a 、b 、c 是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断．【详解】解：A 、当时，不是二次函数，故本选项错误；B 、由得到，是一次函数，故本选项错误；C 、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；D 、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确．应选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键． 【答案】D【分析】将函数进行化简后，根据二次函数的定义进行判断．【详解】A 、，是二次函数，故A 不符合题意；B 、，是二次函数，故B 不符合题意； C 、，是二次函数，故C 不符合题意；D 、，不是二次函数，故D 符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，正确识别二次函数是解题的关键． 2y ax bx c =++0a ¹0a =2y ax bx c =++()22214y x x =--41y x =-+232y x x =-+21y =()2214y x =+-()()2113142222y x x x x =-+=+-()221122y x x x =--+=-+【考点二 二次函数中各项的系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数的二次项系数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a 、b 、c 是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数的二次项系数是． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：， ∴二次项系数是2，一次项系数是，∴，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键． 2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数的二次项系数是________． 【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数． 【详解】解：y=2x （x-1） =2x2-2x ．所以二次项系数2． 故答案为：2．221y x x =--+11-22-2y ax bx c =++0a ¹221y x x =--+1-()32-=x x y 22-1-4-()23622x y x x x --==6-264-=-2(1)y x x =-【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数是二次函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a ，b ，c 是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 【变式训练】【答案】C【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可．【详解】由题意得：，且，解得：． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如(a 、b 、c 是常数，)的函数，叫做二次函数．2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）是二次函数，则m 的值是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B()2231y m x mx =+++2m ³-2m ¹2m ¹-2m =-20m +¹2m ¹-2y ax bx c =++0a ¹22m -=0m ¹22m -=0m ¹4m =2y ax bx c =++0a ¹()211m y m x +=-0m =1m =-1m =1m =±【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】解：是二次函数，∴，，解得，， ∴． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a 、b 、c 为常数，，自变量最高次数为2．【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线经过点，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】将点P 代入函数表达式中，解方程可得a 值．【详解】解：将代入中，得：， 解得：， 故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键． 【变式训练】1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线过点（2，4），则代数式的值为（ ） A ．14 B ．2C ．－2D ．－14【答案】A【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值． 【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax2+bx-3得： 4a+2b-3=4，()211m y m x +=-212m +=10m -¹1m =±1m ¹1m =-2y ax bx c =++0a ¹223y ax x =-+(1,2)P (1,2)P 223y ax x =-+22=121+3a -´´=1a 23y ax bx =+-84a b +.co整理得8a+4b=14. 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线经过点，则的值是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【分析】先把点代入解析式，得到，然后化简，整体代入即可得到答案.【详解】解：把点代入，得：， ∵ ；故选择：B.【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五 列二次函数的关系式】一边长为，用含有x 的代数式表示y 为______，自变量x 的取值范围是_____．【答案】【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y 与x 的关系式． 【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为 又因为一边长为，所以另一边长为又∵长方形面积长宽，2y x bx c =-++()2,3-247c b --67820()2,3-2=7c b -247=2c b --（c-4b ）-7()2,3-2y x bx c =-++2=7c b -247=2c b --（c-2b ）-7277=7=´-xcm ()5y x x =-05x <<10cm,cm x 10cm,2x æö-ç÷èø=´10y x x æö\=´-.所以．②∵，∴∴自变量x 的取值范围是．故答案为：①；②．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键． 【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____．【答案】【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，∴与之间的函数关系式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价．2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()；(2)()【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可；25y x x =-1002x ->5x <05x <<25y x x =-05x <<50()0x x >y y x ()2501y x =-50()0x x >y y x ()2501y x =-()2501y x =-=()21x ´-y x 60x =8050y x ==；100y =y x x w x 2200y x =-+3070x ££222606450w x x =-+-3070x ££y x y kx b =+x y k b y x xz（2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为．时，，时，，，解得，，根据部门规定，得．（2）【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．【过关检测】一、选择题【答案】D【分析】根据二次函数的一般形式，即(，且a ，b ，c 为常数)，即可一一判定．【详解】解：A.中含分式，不满足二次函数的一般形式，故该函数不是二次函数；B.在中，当时，不是二次函数，故该选项不符合题意；´w x y x y kx b =+60x =Q 80y =50x =100y =608050100k b k b +=ì\í+=î2200k b =-ìí=î2200y x \=-+3070x ££22(30)450(30)(2200)45030702260600045022606450w x y x x x x x x x =--=--+-=-+--=-£-£+（）2y ax bx c =++0a ¹2121y x x =-+2y ax bx c =++0a =C.，不是二次函数，故该选项不符合题意； D.，是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握和运用二次函数的一般形式是解决本题的关键． 2．（2022春·全国·九年级专题练习）函数的一次项系数是（ ） A ． B ．1 C ．3 D ．6【答案】A【分析】根据二次函数的相关概念即可得.【详解】解：函数的一次项系数是；故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键. 3．（2022·全国·九年级假期作业）在抛物线上的一个点的坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上． 【详解】A ，(0,−4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A 错误 B ，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B 错误C ，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C 错误D ，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（-1）2-4×（-1）-5=0，D 正确 故选：D【点睛】此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．4．（2023·浙江·九年级假期作业）下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系 B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 C ．等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系 D ．半圆面积S 与半径R 之间的关系()2271449y x x x =-+=--()()2131321y x x x x =+-=+-2361y x x =-+6-2361y x x =-+6-245y x x =--()0,4-()2,0()1,0()1,0-【答案】D【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．二次函数定义：一般地，把形如（a 、b 、c 是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数 ，c 为常数项．x 为自变量，y 为因变量．【详解】解：A 、关系式为：y=kx+b ，是一次函数，不符合题意； B 、关系式为：，是反比例函数，不符合题意；C 、关系式为：，是正比例函数，不符合题意；D 、关系式为：，是二次函数，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 5．（2022秋·九年级单元测试）对于关于x 的函数，下列说法错误的是( )A ．当时，该函数为正比例函数B ．当时，该函数为一次函数C ．当该函数为二次函数时，或D ．当该函数为二次函数时， 【答案】C【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 二、填空题6．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）二次函数中，当时，y 的值是________． 【答案】0【分析】把代入计算即可． 【详解】解：当时，，2y ax bx c =++0a ¹st v =3C a =2S R p =2(1)3m my m x x -=++1m =-21m m -=2m =1m =-2m =A 1m =-3y x =B 21mm -=m =40m +¹C 1m =-3y x =D 2m =2=23y x x --=1x -=1x -2=23y x x --=1x -2=23=123=0y x x ---+故答案为：0．【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把代入计算．7．（2022春·全国·九年级专题练习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】 －16 12【解析】略8．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数是关于 的二次函数，则一次函数的图像不经过第_______象限．【答案】二【分析】先根据二次函数的定义得到，，解得，然后根据一次函数的性质进行判断． 【详解】∵函数是关于 的二次函数， ∴且，解得：，∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得是解题的关键．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①为一次函数；②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数；④为二次函数； =1x -2=23y x x --23x -||1(1)45m y m x x +=++-x y mx m =-12m +=10m +¹1m =||1(1)45m y m xx +=++-x 12m +=10m +¹1m =y mx m =-1m =55y x =-231y x =-3343y x x =-2221y x x =-+z m ⑤函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．10．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y 与x 之间的函数关系是______．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得，∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．三、解答题11．（2023·浙江·九年级假期作业）下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数y =21x 30m 20m m x 2m y ()()2302050600y x x x x =++=++【答案】(1)不是二次函数，是一次函数(2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数(4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3(5)时，不是二次函数 (6)时，不是二次函数【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数；（2）根据二次函数的定义即可判断；（3）根据二次函数的定义即可判断；（4）根据二次函数的定义即可判断； （5）根据二次函数的定义即可判断；（6）根据二次函数的定义即可判断．【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是；（5）时，不是二次函数； （6）时，不是二次函数．【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 12．（2023·浙江·九年级假期作业）若．(1)m 取什么值时，此函数是二次函数？(2)m 取什么值时，此函数是一次函数？ 1y x =-+22x y =-12-222y x x =+-21233y x x =+-130a =2y ax bx c =++0m =2243y m x x =+-1y x =-+22x y =-12-222y x x =+-21233y x x =+-133-0a =2y ax bx c =++0m =2243y m x x =+-2y ax bx c =++a b c 、、0a ¹()22113m m y m +-=-+z【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的定义得出，进而即可求解；（2）根据一次函数的定义得出，进而即可求解．【详解】（1）解：(1)当是二次函数时，有，解得，∴当时，此函数是二次函数；（2）当是一次函数时，有，解得∴【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义是解题的关键．13．（2022秋·浙江·九年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x 元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x 的代数式表示）．(2)设销售利润为y ，请写出y 关于x 的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？【答案】(1)3m =-1m =-1m =-210212m m m -¹ìí+-=î210211m m m -¹ìí+-=î()22113m m y m +-=-+210212m m m -¹ìí+-=î3m =-3m =-()22113m m y m +-=-+210211m m m -¹ìí+-=î1m =-1m =-1m =-1m =-()4010x +(2)(3)24元/千克【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；（3）令y=480，求出x 的值，再根据题意对x 的值进行取舍即可．【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x ）千克，故答案为：（40+10x ）．（2）根据题意得，整理得（3）令，代入函数得，解方程，得，因为要尽可能地清空库存，所以舍去取此时荔枝定价为（元/千克）答：应将价格定为24元/千克．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．14．（2023秋·宁夏石嘴山·九年级统考期末）在矩形中，，E 是AB 边上一动点，以1cm /s 的速度从点B 出发，到A 停止运动；F 是BC 边上一动点，以2cm /s 的速度从点B 出发，到点C 停止运动．设动点运动的时间为t（s ），的面积为S （cm 2）(1)求S 关于t 的函数表达式，并求自变量t 的取值范围．(2)当△DEF 是直角三角形时，求△DEF 的面积．【答案】(1)21060400y x x =-++()()40102818y x x =+--21060400y x x =-++480y =21060400480x x -++=14x =22x =2x =4x =28424-=ABCD 6,12AB cm BC cm ==DEF !212,06S t t t =-+<£(2)或【分析】（1）先求出，再根据解答即可； （2）先求出，，，再分①当为直角时，②当为直角时，③当为直角时三种情况讨论，应用勾股定理求出t 的值，即可得答案．【详解】（1）解：， ，，根据题意得，解得：；（2）由勾股定理可得， ，，，①当为直角时，，即 解得，；②当为直角时，，即， 解得或， 23334cm 236cm ()(),2,6,122BE tcm BF tcm AE t cm CF t cm ===-=-D E F A E D B E F C D FA B C D S S S S S =---!!!!矩形22225E F B E B F t =+=2222448180D F C D C F t t =+=-+222212180D E A D A E t t =+=-+EDF ÐDEF ÐDFE Ð()()26122!!!B E t cmBF t cmA E t cmC F t cm ===-=-!D E F A E D B E F C D F A B C D S S S S S =---!!!!"矩形()()21111261262612212222S t t t t t t \=喘创--喘创-=-+0601220t t t >ìï-³íï-³î06t <£22225E F B E B F t =+=2222448180D F C D C F t t =+=-+222212180D E A D A E t t =+=-+EDF Ð222EF DE DF =+222512180448180t t t t t =-++-+6t =()22612636S cm \=-+´=DEF Ð222DF DE EF =+22612180448180t t t t -+=-+0=t 18-，都不符合；③当为直角时，，即， 解得（舍）或， ． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是找到． 06t !\DFE Ð222DE DF EF =+222544818012180t t t t t +-+=-+0=t 92t =()229931233224S cm æö\=-+´=ç÷èøD E F A E D B E F C D F A B C D S S S S S =---!!!!矩形。
九年级数学上册二次函数知识讲解浙教版
第18课时二次函数♦知识讲解x0）,那么ya, b, c是常数且a丰+bx+c①一般地，如果y=ax （它是关于自变量的二2的二次函数，叫做次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.2是最简单的二次函数. ②当b=c=0时，二次函数y=ax2）的三种表达形式分别为：一般式：a^ 0b+bx+c （a,，c是常数，③二次函数y=ax2）—hy=ax+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得岀此解析式；顶点式：y=a （X2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求岀此解析式；交点式：y=a （x —x）（x —x），通212常要知道图像与x轴的两个交点坐标x，x才能求岀此解析式；对于y=ax+bx+c而言，其212b 4acb顶点坐标为（―，）.对于y=a （x —h）+k而言其顶点坐标为（h，k），?由 ______________________ a4a2于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点.2b 4ac b2时为最小值，（k>0x=―,最值为，y=ax④二次函数+bx+c的对称轴为---------------------a4a22 x=0 .的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即k<0时为最大值）.由此可知y=ax?）平，下“―”沿着y轴（上“ + ”⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax22））平移h （h>0轴k，将y=ax沿着x （右“―"，左“ + " y=ax （移kk>0）个单位得到函数士2y??在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿士个单位得到y=a （xh）•的x，若沿轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减）x轴平移则直接在含•括号内进行加减（右减左加）⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.2的正负决定了开口方向，的作用：ab+bx+c⑦抛物线y=ax的图像位置及性质与a,, e bb的左侧，y随x —在对称轴时，当a>0开口向上，x=的增大而减小；在对称轴x=—————2a2a i22b 44ac bac b的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（―，）-------------------------- ------------- _ a44a a2b的左侧，y随x时，开口向下，在对称轴x=—的增大而增大，在对为最低点；当a<0——2a2b 4ac b称轴x=—的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（一，---------- —— 4a2a?bac 4）为最高点.|a丨的大小决定了开口的宽窄，|a丨越大，开口越小，图像两边----------- 4a越靠近y轴，|a|越小，开口越大，？图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称b<0―,同号时，对称轴x=即对称轴为y轴，当a，b轴的位置，当b=0时，对称轴x=0 , 一2ab>0, b?异号时，对称轴―，即对称x=即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a 2a轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a, b, c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推岀.♦例题解析1,（已知：二次函数为y=x —x+m 例1轴交2）写岀它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐II x，过A作AB3为何值时，顶点在x轴上方，（）若抛物线与y轴交于A （标；2）m =4时，求此二次函数的解析式. 抛物线于另一点B,当S^即顶点的纵坐标为轴的上方，？2）顶点在x 【分析】（1）用配方法可以达到目的；（的值.B两点的纵坐标是相等的，从而可求岀mAB// x轴，A, 正；（3）2a=1>0 ,•••开口向上，）•••由已知y=x —x+m中，二次项系数【解答】（11114m 12222（x+ —+ 又• y=xx+m=[x ）] —+m= （x）一一一 ------------- 1 42241 m114 ）., x= •••2对称轴是直线，顶点坐标为（422 （2）••顶点在x轴上方，24m 1>0 二顶点的纵坐标大于0,即 __________ 41 m> •••_ 41 二口>寸，顶点在x轴上方. 一4 (3)令x=0，则y=m.0, my=x- x+m与y轴交点的坐标是A 即抛物线x轴丁AB//2 ) . (m .• B点的纵坐标为x=1x —x+m=mBt，解得x=0 当21 , m m), B (1 • A (0, | m | . BAO中，AB=1,2 . ,OA= 在Rt △ 1OA- S T =AB=4 . 人沁_ 21 | m | • 1=4,「. • m=± 8 _ 2?? 故所求二次函数的解析式为y=x —x+8或y=x —x —8.【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a, b, c?的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处.mvn— x6x+5=0的两个实数根，且2006，重庆市)已知：m n是方程( 例22，抛物如图所示.B( 0, n) x线y= —+bx+c的图像经过点A ( m, 0, 1 )求这个抛物线的解析式；2 ),(，抛物线的)中的抛物线与x轴的另一交点为 C ( 2 )设(1的坐标和厶BCD的面积；顶点为D,试求岀点C, D与抛物线轴，P作PF U xOC3 () P是线段上的一点，过点的两部分，：3分成面积之比为点，若直线交于HBC^A PCH2点的坐标•请求岀P,)解方程求岀( 【分析】1mn的值.3用待定系数法求岀b, c的值.(2)过D作x轴的垂线交x轴于点M可求岀△ DMC梯形BDBO △ BOC的面积，？用割补法可求岀△ BCD的面积.(3)PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：32EP,② EH=EH=EP ①----- 23? 【解答】(1)解方程x —6x+5=0 ,得x=5 , x=1. 21 由m<n 有m=1 , n=5.所以点A , B的坐标分别为A (1, 0), B( 0 , 5).将A( 1 , 0) , B ( 0 , 5)的坐标分 2 +bx+c ,别代入y - x 1 b c 0,b 4, 解这个方程组，得得c 5c 5 2 所以抛物线的解析式为y= —x —4x+5.4x+5=0 . —4x+5,令y=0,得—xx (2)由y= —x=1 .解这个方程，得x= —5, 习).D 22 —(—2 , 9,由顶点坐标公式计算，得点所以点C的坐标为(一5 , 0)，如图所示.x轴的垂线交x轴于M过D作271=S .)=则X 9X( 5 —2吨一------------ 221=14 ,2 x ( 9+5) = S X MDBO梯形—2125 . 5 X 5= = S X BDC—--------------------------------------------------------- 222725 —=15 —S =14+. +S 所以S =S BOC A吨BCD梯形MDB8 _____________________ 22 0点的坐标为(a,) P (3)设.所在的直线方程为，因为线段BC 过BC两点，所以BCy=x+5的交点坐标x+4x+5?—与抛物线，a+5aEBCPH 那么，与直线的交点坐标为(，)PHy=2 —a, — ( H为a4a+5 .) 43EP,即卩由题意，得① EH—2 32 . a+5) = (—a —4a+5) — ( a+5) ( — 23 . 5 (舍去) 解这个方程，得a=—或a= —_ 22，得EH=EP ②一33= ) . 4a+5) — (a+5) = (a+5 (—a —— 22 (舍去).a=—或a= —5 解这个方程，得—323 ., 0)或(—，0)P 点的坐标为(一——322 1m22 —mxy=x—y=xx的二次函数一mx+与例3 (2006，山东枣庄)已知关于------ 22 2m，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A, B两个不同的点. _________ 2 (1)试判断哪个二次函数的图像经过A, B两点；(2)若A点坐标为(一1 , 0),试求B点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A, B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x?值的增大而减小？2 1m2 . y=x —mx+【解答】(1)对于关于x的二次函数------------- 221m^^ 2<0 , =—m—)—b —4ac= (—m4x 1X 由于 2 所以此函数的图像与x轴没有交点.2 2m2—mx.对于关于x 的二次函数y=x — ----------- 22 m2222, =3m XX—m4ac=b 由于— ( — )41+4>0 ---------- 25所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点.2 m22 y=x —mx 故图像经过A, B两点的二次函数为_____________ 22 m2? mx—（—A1, 0）代入y=x （2）将_________ 22 2m 得1+m- =0. _____________ 2：. m— 2m=0 整理，得.或m=2 解得m=02 得x —1=0.令当m=0时，y=x —1y=0 x1 , =1. 解这个方程，得x= —21 , 0）. 此时，点B 的坐标是B（ I22 ―,得x —2x3=0 .—当m=2时，y=x —2x3 .令y=0 x=1 , x=3 . 解这个方程，得21 0）此时，点B 的坐标是B （32 ,时，二次函数为3）当m=0y=x—1,此函数的图像开口向上，对称轴为x=0 （所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小.22,此函数的图像开口向上，对称轴13=y=x当m=2时，二次函数为—2x —（x —）—4x时，函数值y随的增大而减小.x<1x=1为，所以当【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决.？+bx+c和一次函数y=mx+ n（ 1 .2006，大连）右图是二次函数y=axR ________ .y 2观察图像写的图像，时，x的取值范围岀y > 122 ,）3 , —86 , 7） , C （+bx+c （2005，山东省）已知抛物线y=a经过点A （—2 , 7）, B （2. . 8的另一点的坐标是_______ ?则该抛物线上纵坐标为一22 . 0）,贝U m的值为_____ y=3 .已知二次函数一x+2x+c的对称轴和x轴相交于点（m, 2则x轴没有交点，其中c为整数，？4 . （2005,温州市）若二次函数y=x —4x+c的图像与.c= _________ （只要求写岀一个）U a+c?1+bx+c经过点（1,2）与（—，4）,黑龙江省）已知抛物线5.（2005y=ax ______ •是，2的值，贝羽毛球飞行的水平.甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发岀一十分关键的球，岀手点为P61 232S+S+ •如下左图所示，距离s （m）与其距地面高度h （m）之间的关系式为h=———— 21239,设乙的起跳点m,乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为5m?已知球网AB距原点—4C的横坐标为m若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m?的取值范围是x轴两交点之间的距离为_________ y=x7 . （2005，甘肃省）二次函数—2x —38. （2008，甘肃2 •与庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，？房子的价格y2, x8）,已知点（753 ,,4,, 6 ,, 2x=1x/m （元）随楼层数（楼）的变化而变化（， 2 . /m _____ 6都在一个二次函数的图像上（如上右图））y?，则楼房子的价格为元二、选择题72）则下列关系式不正确的是（,长沙）二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示，？9. （200824ac>0 b—. abc>0 C . a+b+c<0 D . A. a<0 B（第9题）（第12题）（第15题）.（5, 7B （3, 2）, C 威海）10. （2008，已知二次函数y=ax+bx+c 的图像过点A （1 , 2） , 2 的2 若）图像上，则下列+bx+cy ）也在二次函数y=axy ）, K （8, y点M （—2,）, N （- 1,阮）结论中正确的是（yvyvy . y<y<y D . <y A . y<y B . y<y<y C 彳谀论沦,）P （3, 0y=ax2005 ,山西省）抛物线+bx+c （a工0）的对称轴是x=2，且经过点11.（）贝0 a+b+c的值为（2 . . 0 C . 1 D A . —1 B •如图所示，抛物线的函数表达式是（12 ）. —xy=x+x+2 D . y=x+2 B A . y=x — . y= —x—x+2 C 22）4x2008 , 2222+x+2山西）抛物线y= —2x ——5经过平移得到y= —2x，平移方法是（.13 （个单位A .向左平移1个单位，再向下平移 3 B .向左平移1个单位，再向上平移3个单位个单位个单位，再向下平移3 C .向右平移1个单位3 D .向右平移1个单位，再向上平移2取得最小值，则这个二次y —y=x . 14 （2005，包头市）已知二次函数+bx+3，当x=1时，函数图像的顶点在（） D .第四象限.第二象限.第一象限 A B C .第三象限22轴，诸暨）抛物线（15 . 2006y=ax的一部分图像如图所示，那么该抛物线在+2+2ax+ay x右侧与轴交点的坐标是（）81, 0) B . ( 1, 0) C . (2, 0) D . (3, 0 . A () —2?16 . (2008，泰安)在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y= —mx+2x+2 ( m是常数，？且m^ 0)的图像可能是( )三、解答题2两点，交，B )交x 轴A ,浙江舟山)如图所示，已知抛物线 17. (2006y=ax+4ax+t (a>0 ).1 , OxC ,抛物线的对称轴交轴于点 E ,点B 的坐标为(一y 轴于点 的坐标；A (1 )求抛物线的对称 轴及点 是什么四ABCP?轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P ,你能判断四边形(2)过点C 作x边形？并证明你的结论；时，求抛物线的解析式./ACPCA 与抛物线的对称轴交于点 D,当/2抛物线？m<n6x+5=0的两个实数根， 且，m2006,重庆)如图所示，，n 是方程x 18 (2. 0, n ) B ,的图像经过点 y= — x+bx+cA ( m0), ( (1)求这个抛物线的解析式； 的，，试求岀点，抛物线的顶点为轴的另一交点为)中抛物线与)设((21xCDCD 9坐标和△ BCD 的面积；(3) P 是线段OC 上的一点，过点 P 作PF U x 轴，与抛物线交于点 H,若直线BC?^E ^ PCH 分成面 积之比为2: 3的两部分，请求岀点 P 的坐APD=( 3)连接Dy标.19. （2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，？其截面是抛物线拱形ACB而且能通过最宽3m,最高3.5m的厢式货车•按规定，？机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m . ?为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，？建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OCC跨度20. （2005，河南省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点.（1）求抛物线的对称轴；25,抛物线与x轴交于A,的解析式为x轴的直线Ly=B两点.？在抛物线平行于2（）一4的对称轴上找点P,使BP的长等于直线L与x轴间的距离•求点P的坐标.2510x?a工0）的图像与762005 ,吉林省）如图5 —所示，二次函数y=ax+bx+c （21 .（为抛8）在抛物2轴交于线上，M 5） , D （10点坐标为（一A , B两点，其中A1, 0）,点C （,物线的顶点.）求厶MCB的面积.（1）求抛物线的解析式；（2交抛物线AC平行于x轴，轴上一点过yA ( 0,1 )作200522 .(，长春市)如图所示，办轴，2y=x交抛物平行于y ;过点CC作y=0 (x》)于点B,交抛物线CD> x (x0)于点一2仏.Exy=xDEDDy=x 线于点；过点作平行于轴，交抛物线于点_ 411(1 )求AB: BC;(2)判断O, B，E三点是否在同一直线上？如果在，写岀直线解析式；如果不在，请说明理82080 9C 10B 11B 12D 13D B 15 . 14.. B 16 1217 . (1)对称轴是直线 x=2 , A 点坐标为(—3, 0)(2)四边形ABCP 是平行四边形答案3 .1 4 •答案不唯一（略）5...6.5<m<4+ . . . 4由.—12< x1 287 7D3—— 32, a=y=ax+4ax+t 得 t=3aPE1=,「. 3 ) •/△ AD0A CDP (一 ----- 2PDt ' , /. t=,二 1= • tADEPAE抛物线解析式为.y=x+x+2 33?4x+5.18 (1) y= — x — (2) C (- 5, 0), D (- 2 , 9) S=15 BCD^ ( 3)设 P (a , 0), •/ BC 所在直线方程为y=x+5 .••• PH 与直线BC 的交点坐标为 E (a , a+5).224a+5 ) . (a ，— a — — PH 与抛物线 y= — x4x+5 的交点坐标为 H 333=EP.则(—a — 4a+5 )—(a+5) = (a+5),贝U a=—或 a=— 5 (舍)①若 EH= _______ 222222?5 (舍))，贝U a=—或a=— a+5— ②若 EH=EP 则(—a4a+5) — (a+5) = ( _____________ 33323 .,0)或(―，0) •P (— _____ 3273 219.如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M(4), N (—• A , (— 0 , 0222652. +x 所以，抛物线拱形的表达式为y= — -------- 71465 ~ 65m. OC 拱高隧道的跨度 AB 为为m — 142+bx+c.)设二次函数的解析式为y=ax 20 . (1c 3a 1 b c 26 ab 根据题意，得,解得 c 3 c 516a 4b265652,时,+y=,•- y= — x=0x 一714146565) , OC=Q .1414'、652652. 士 =0 , 解得 当y=0时，一xx=+ — ■• C (一27心6565J ~ 65. AB=),), 将B (— 1, 0)代入22+6 — 3)— x . +6x — 3= —( x 即 y= x=3 . •••抛物线的对称轴为直线 • 6 . , 02 ）解即.25x 轴的距离是，L •••与—— 4232522. 士），解 —，3P •••所求点为（）或（3— — 4414a b c 0a 1 b 45 C 2，根据题意得y=ax+bx+c ，解得21 . （1）设抛物线的解析式为5 ca b c 8 2. x+4x+5•••所求抛物线的解析式为 y=—.，令 y=05）， • OC=5 （2） •/ C 点坐标为（0, 2=5. — 1，x则—x+4x+5=0，解得 x=21. 0），• OB=5 • B 点坐标为（5，25得点B （） 3+ （，如图，，y ） 设点P 的坐标为（3222由勾股定理，得 BP+PC=BC 62222 +y+6= ( 3+=y — 3) BP (y=— — 442323 .)，• y+6=1522 , +9y= — x+4x+5= —( x — 2 •/ )., 二顶点 M 的坐标为(29 MN=9.丄 AB 于点 N,则 过点 M 作 MN 11 X( 5+9)X 2+X 9 X( 5— 2)—X 5X 5=15. △ BNM 梯形 OCMN ^A F . * 222 ), 1.( 22. 1) - A ( 02 , AB=1. , B (11),》,-- x0 , xhSx , x 仁点纵坐标为 1. (2) D 点的横坐标为2 , ON=2"x ,贝U E (4 在 y=, 4). E 析式为y=x . E (4 , 4)在这条直线上，C1 , =4, x >0, x=2. - 4 C (2, D 在 y=x 上，贝U D (2, 4). E 点的纵坐标为4，— 4 过0( 0, 1), —=S •- S+S S =0BCMCB点纵坐标为11=x ,BC=1, ••• AB:BC=1:0), B (1, 1)的直线解所以 0, B , E 三点在同一条直线上，并且直线解析式为y=x .。
二次函数 浙教版
一、 二次函数的解析式1．一般式：已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式． 2．顶点式：已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式． 3．两点式：已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． 4．对称式：已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 注意：（1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化． 二、二次函数的几何变换1．二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”．2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达． （1）关于x 轴对称关于x 轴对称后，得到的解析式是． 2()y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =---． （2）关于轴对称关于y 轴对称后，得到的解析式是． 2()y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =++． （3）关于原点对称2(0)y ax bx c a =++≠11()x y ，22()x y ，33()x y ，2()(0)y a x h k a =-+≠12()()(0)y a x x x x a =--≠x 12()()(0)y a x x x x k a =--+≠1(,)x k 2(,)x k x 240b ac -≥2y ax bx c =++2y ax bx c =---y 2y ax bx c =++2y ax bx c =-+关于原点对称后，得到的解析式是． 2()y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是2()y a x h k =-+-． （4）关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是．2()y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是2()y a x h k =--+ （5）关于点(,)m n 对称2()y a x h k =-+关于点(,)m n 对称后，得到的解析式是2(2)2y a x h m n k =-+-+- 3．二次函数图象的翻折函数的图象可以由函数通过关于x 轴的翻折变换得到．具体规则为函数图象在x 轴上方的部分不变，在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方 4、. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数：① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.三、 二次函数的面积最值1．铅垂法：12S =⨯⨯水平宽铅垂高．分三步走：（1）过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点； （2）设出点坐标，表示线段长；（3）利用二次函数配方求最值． 2．切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使0△=．例2、（1）若二次函数222y ax bx a =++-（a ，b 为常数）图象如图2-1，则a 值_____2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-2y ax bx c =++222b y ax bx c a=--+-|()|y f x =()y f x =()y f x =x 20ax bx c ++=2y ax bx c =++0y =x 240b ac ∆=->x ()()1200A x B x ，，，12()x x ≠12x x ，()200ax bx c a ++=≠21AB x x =-（2）如图2-2，抛物线①②③④对应的解析式为21y a x =，22y a x =，23y a x =，24y a x =，将1a 、2a 、3a 、4a 从小到大排列为______．图2-1图2-2巩固2、（1）已知抛物线经过点(2,7)A -，(6,7)B ，(3,8)C -，()8D m -，，则m =________． （2）已知抛物线221y x x =++经过点(,)A m n ，(6,)B m n +，则n =__________． （3）已知点1(,5)A x ，2(,5)B x 是函数23y x mx =-+上两点，则当12x x x =+和x =________时的函数值相等．巩固5、（2）已知函数2||12y x x =--的图象与x 轴交于相异两点A 、B ，另一抛物线过A 、B ，顶点为P ，且是等腰直角三角形，求a 、b 、c ．例8、（1）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图2-1所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③20a b +>；④930a b c ++<；⑤80a c +>．正确的是________（2）如图2-2，抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于1(,0)A x 、(2,0)B ，交y 轴正半轴于C ，且OA OC =．下列结论：①0a b c ->；②1ac b =-；③12a =-；④22bc +=，其中结论正确的是________．图2-1 图2-22y ax bx c =++APB △例9、（1）已知二次函数y ax bx c 2=+++2的图象如图4-1所示，顶点为(,)-10，下列结论：①abc <0；②b ac 2-4=0；③a >2；④a b c 4-2+>0．其中正确结论的个数是________ （2）二次函数2y ax bx c =++的图象如图4-2所示，给出下列结论：①20a b +>；②若11m n -<<<，则bm n a+<-；③3||||2||a c b +<；④b a c >>，其中正确的结论有_________图4-1 图4-2例题1 例10、（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-1，则一次函数by ax c=-的图象不经过第________象限．（2）如图1-2，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)-和(1,0)，给出五个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >；⑤9640a b c ++>．其中结论正确的是________． （3）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-3，小丹观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，其中结论正确的是________．图1-1 图1-2 图1-3巩固1： 巩固6、（1）如图2-1，二次函数的图象经过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有________．（填序号）（2）如图2-2，已知二次函数的图象经过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________．（填序号）Oyx2y ax bx c =++(1,2)-420a b c -+<20a b -<2b <-22()a c b +<2y ax bx c =++(1,2)20a b +<0abc <1a c +<-284b a ac +<（3）（成外半期）二次函数的图象如图2-3所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数），其中正确的结论的有________.（填序号）图2-1 图2-2 图2-3巩固2： 巩固7、（1）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图3-1所示，它与x 轴两个交点分别为(1,0)-，30（，）．对于下列命题：①20b a -=；②0abc <；③102a b c --+<；④80a c +>．其中正确的有________．（填序号）（2）如图3-2，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是1x =-，且过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240a b c -+=；③251040a b c -+=；④320b c +>．其中正确的结论有________．（填序号）（3）如图3-3，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(10A -，），对称轴为直线1x =，与y 轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间（包括这两点），下列结论：①当3x >时，0y <；②30a b +<；③213a -≤≤-；④248acb a ->；其中正确的结论是_________．（填序号）图3-1 图3-2 图3-32(0)y ax bx c a =++≠0abc <b a c <+420a b c ++>240b ac ->()a b m am b +>+1m≠yAO xx =1例11、（3）如果将抛物线228y x =-+向右平移a 个单位后，恰好过点(3,6)，那么a 值为_______．例12、已知二次函数221y x x =--，求：（1）与此二次函数关于x 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （2）与此二次函数关于y 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为_____________________． 例13、已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1C ． （1）求1C 关于点(1,0)R 中心对称的图象2C 的解析式；（2）设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为A ，B ，当||18AB =时，求a 的值．巩固8、（1）如图6-1所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-，则抛物线0C 的顶点坐标____________；将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线1C 、2C 、3C 、…、n C （n 为正整数），则抛物线n C 的解析式为___________． （2）如图6-2，把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点(6,0)A -和原点(0,0)O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为________．图6-1 图6-2巩固9、已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数． （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；xyO…C nC 1C 0（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1()2y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．例14、分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值： （1）x 取任意实数；（2）当20x -≤≤时；（3）当13x ≤≤时；（4）当12x -≤≤时．巩固11、试求(1)(2)(3)(4)5y x x x x =+++++在33x -≤≤的最值．例15、已知函数222y x x =-+在1t x t +≤≤范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式．例16、已知函数22962y x ax a a =---+在区间1133x -≤≤有最大值3-，求实数a 的值．巩固13、设23y x ax a =++-，当22x -≤≤时，y 的最小值不小于0，求实数a 范围．巩固16、某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数图象如图．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W （万元），试求出利润W （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？123yO 2x（3）该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程．若除去捐款后，所获利润不低于450万元，请你确定此时销售单价的范围．例19、（1）抛物线225y x x a =++与一次函数21y ax a =+-有交点，则a 的范围_______．（2）已知函数232y mx x =-+（m 是常数），若一次函数1y x =+的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，则交点坐标为________________．例20、（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则关于x 的方程230ax bx c +++=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根B ．无实数根C ．有两个同号不相等实数根D ．有两个异号实数根（2）若方程243x x m -+=｜｜有两个相异的实数解，则m 范围是________．巩固17、（1）二次函数21y x kx k =++-的图像与x 轴的交点个数________．（2）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线，有下列命题： ①直线0y =是抛物线214y x =的切线； ②直线2x =-与抛物线214y x =相切于点(2,1)-； ③直线y x b =+与抛物线214y x =相切，则相切于点(2,1)； ④直线2y kx =-与抛物线214y x =相切，则2k =±. 其中正确的命题是_____________．（3）若方程2|5|x x a -=有四个不相等实根，则a 的取值范围是________例21、已知二次函数2y x x c =-+．（1）若点(1,)A n -、(2,21)B n -在二次函数2y x x c =-+的图象上，求此二次函数的最小值； （2）若1(2,)D y 、2(,2)E x 关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE 与抛物线238y x x c =-++的交点个数，并说明理由．巩固18、已知二次函数2123y x x =--及一次函数2y x m =+． （1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（2）将该二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线2y x m =+有三个不同公共点时m 的值．2m +与x 轴两交点间距离的最大值为________． （2）设二次函数2y ax bx c =++经过点2(0,)A 、(1,1)B -，且其图象在x 轴上所截得的线段长为巩固20、已知：y 关于x 的函数2(1)22y k x kx k =--++的图象与x 轴有交点． （1）求k 的取值范围；（2）若1x 、2x 是函数图象与x 轴两个交点的横坐标12()x x ≠，且满21212(1)224k x kx k x x -+++=．①求k 的值；②当2k x k ≤≤+时，求y 的最大值与最小值．巩固21、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(2,2)，且当0x =时，y 取得最小值1．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点(1,3)C ，试探索是否存在满足下列条件的直线l ；①直线l 过点(1,3)C ；②直线l 交抛物线于E 、F 两点且C 点恰好是线段EF 的中点.若存在，请求出直线l 的函数解析式：若不存在，请说明理由．巩固22、已知：抛物线与x 轴交于(2,0)A -、(4,0)B ，与y 轴交于(0,4)C ． （1）求抛物线顶点D 的坐标；（2）设直线CD 交x 轴于点E ，过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？例22、已知二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为(1,0)-，与y 轴的交点坐标为(0,3)-．（1）求二次函数的解析式；并求图象与x 轴的另一个交点的坐标； （2）根据图象回答：当x 取何值时，30y -<<．例23、（1）已知关于x 的方程2(5)20x m x m +-+-=有实根，且方程的两根都大于0，则实数m 的取值范围是________．（2）已知方程2(2)90ax a x a +++=的两个实根1x 和2x ，且121x x <<，求实数a 取值范围．巩固23、（1）方程211(30)0x x a -++=有两实根，两根都大于5，则实数a 范围______ （3）方程227(13)20x p x p p -++--=的两根α、β满足012αβ<<<<，求实数p 范围巩固24、（1）已知关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6，则实数a 的取值范围是______________．（2）若关于x 的方程2420x mx n -+=的解都位于01x <<的范围中，求正整数m ，n 的值．例24、已知抛物线21y ax bx =++经过点(1,3)A 和点(2,1)B ． （1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值．例25、如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？例26、已知抛物线21y ax bx =++经过点(1,3)A 和点B （1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；（3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 上运动速度的F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）例27、如图，已知抛物线24y ax x c =-+经过点(0,6)A -和(3,9)B -. （1）求出抛物线的解析式；（2）点(,)P m m 与点Q 均在抛物线上（其中0m >），且这两点关于抛物线对称轴对称，求m 的值及点Q 的坐标；（3）在满足（2）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M ，使得QMA △的周长最小．巩固25、如图，已知二次函数21(0)2y x bx c c =-++<的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且2OC OA OB =⋅． （1）求c 的值；（2）若ABC △的面积为3，求该二次函数的解析式；（3）设D 是（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC 上是否存在一点P 使PBD △的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．巩固3： 如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB △的顶点坐标分别为(2,0)A -，(0,0)O ，(0,4)B ，把AOB △绕点O 按顺时针方向旋转90︒，得到COD △． （1）求C 、D 两点的坐标；（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E 、F （点E 在点F 的上方)，且1EF =，使四边形ACEF 的周长最小，求出E 、F 两点的坐标．巩固27、如图，抛物线的顶点A 的坐标(0,2)，对称轴为y 轴，且经过点(4,4)-． （1）求抛物线的表达式．（2）若点B 的坐标为(0,4)，P 为抛物线上一点（如图），过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连接PB ．求证：PQ PB =．（3）若点(2,4)C -，利用（2）的结论.判断抛物线上是否存在一点K ，使KBC △的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K 的坐标；若不存在，请说明理由．巩固28、如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，2OA AB ==，3OC =，过点B 作BD BC ⊥，交OA 于点D ．将DBC ∠绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且1PQ =，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．B CPAOQxyDK E yxQOAPCB yxODCBAFE A 2A 1yxODCBA例28、如图，已知抛物线经过点(1,0)A -、(30)B ，、(0,3)C 三点． （1）求抛物线的解析式．（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN//y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使BNC △的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．例29、已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于C 点，已知抛物线的对称轴为1x =，点(3,0)B ，点03C -（，），D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式．（2）在x 轴下方且在抛物线上有一动点F ，求四边形OBFC 的面积最大值．巩固29、如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，6OB =，1tan 3ABO ∠=，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90︒，得到DOC △，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，是否存在一点P ，使PCD △得面积最大？若存在，求出PCD △的面积的最大值；若不存在，请说明理由．巩固30、如图，抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为(1,0)，3OC BO =． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；。
二次函数解析式的几种解法
2. 利用顶点坐标求解。
一般式解法
1 基本思路
通过配方法将二次函数转换为一般式。
3 例子
解方程：3x²+ 7x - 2 = 0
2 步骤
1. 将函数转化为完全平方。 2. 利用平方差公式进行化简。
配方法解法
1 基本思路
通过配方法将二次函数转化为标准形式。
3 例子
解方程：2x²+ 5x + 2 = 0
二次函数解析式的几种解 法
通过本演示文稿，我们将深入探讨二次函数解析式的各种解法，包括标准式， 顶点式，一般式，配方法，完全平方，右边等于零，左边等于零，带分数， 分组整理，移项，平移等方法。
二次函数概述
• 二次函数的基本形式：f(x) = ax²+ bx + c • 二次函数的图像特征：抛物线 • 常见二次函数的例子与应用
2. 通过其他解法求解。
解析式与图像的关系
1 关系说明
2 特征分析
3 例子
探索二次函数解析式 与其图像之间的关系。
分析二次函数的解析 式对图像形状的影响。
分析方程：y = x²- 4x +4
标准式解法
1 基本思路
将二次函数转化为标准形式。
3 例子
解方程：2x²- 5x - 3 = 0
2 步骤
1. 将函数写为完全平方的形式。 2. 通过完全平方公式进行化简。
顶点式解法
1 基本思路
利用顶点坐标求解二 次函数。
2 步骤
3 例子
1. 将二次函数转换为 顶点式。
解方程：x²- 4x + 3 = 0
通过带分数的形式进行二次函数的求解。
3 例子
解方程：x²- 2x - 8 = 0
二次函数解析式求解
二次函数解析式求解二次函数是一个重要的数学概念，在数学中被广泛应用。
本文将介绍二次函数的解析式求解方法。
首先，我们需要了解二次函数的基本形式。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
其中，ax^2为二次项，bx为一次项，c为常数项。
二、求解二次函数的解析式要求解二次函数的解析式，我们需要进行以下步骤：1. 判断二次函数的判别式二次函数的判别式Δ（大写希腊字母“delta”）可以通过下式计算得出：Δ = b^2 - 4ac。
根据判别式Δ的值可以判断二次函数方程的解的情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ < 0时，方程无实根。
2. 求解二次函数的实根根据判别式Δ的值，我们可以使用以下公式来求解二次函数的实根：- 当Δ > 0时，方程的两个实根为：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b - √Δ) / (2a)；- 当Δ = 0时，方程的两个相等的实根为：x = -b / (2a)；- 当Δ < 0时，方程无实根。
至此，我们完成了二次函数解析式的求解。
三、示例下面给出一个具体的示例来帮助理解二次函数解析式的求解过程。
例题：求解二次函数f(x) = 2x^2 + 3x - 2的解析式。
解答：1. 计算判别式Δ：Δ = b^2 - 4ac在本例中，a = 2，b = 3，c = -2Δ = (3)^2 - 4 * 2 * (-2)= 9 + 16= 252. 判断Δ的值由于Δ = 25 > 0，所以方程有两个不相等的实根。
3. 求解实根根据公式：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b - √Δ) / (2a)x1 = (-3 + √25) / (2 * 2)= (-3 + 5) / 4= 2 / 4= 0.5x2 = (-3 - √25) / (2 * 2)= (-3 - 5) / 4= -8 / 4= -2因此，二次函数f(x) = 2x^2 + 3x - 2的解析式为：x = 0.5或x = -2。
初三数学成绩提高速成法(二)：求二次函数解析式的几种常见方法.doc
初三数学成绩提高速成法（二）：求二次函数解析式的几种常见方法
求二次函数解析式的题型分两大类，
第一类：题目已经有二次函数的解析式，但某项系数待定，那么解决方法就是找出抛物线经过的点的坐标，把横纵坐标分别代入解析式，列出方程组，求出未知的系数，再写出解析式即可。
例题展示如下：
第二类：题目并没有给出二次函数的解析式，那么解决办法就是学生根据情况假设二次函数解析式，再找点的坐标代入解析式，求出相应的系数，最终可以得到二次函数解析式。
接下来，我重点给大家介绍几种常见的假设二次函数解析式的方法。
常见方法一：设二次函数的一般式求解析式。
使用条件：已知二次函数图像上的三个点的坐标。
步骤和例题展示如下：常见方法二：设二次函数的顶点式求解析式。
使用条件：已知抛物线的顶点坐标、另一个点的坐标。
步骤和例题展示如下：常见方法三：设二次函数的交点式求解析式。
使用条件：已知抛物线与x轴的两个交点坐标、另一个点的坐标。
步骤和例题展示如下：
注意：由于这种方法需要的也是三个点的坐标，因此也可以用第一种方法来解决。
常见方法四：巧用顶点式求解析式使用条件：已知抛物线的对称轴或最值、另外两个点的坐标。
步骤和例题展示如下：。
专题一 求解二次函数表达式的常用方法课件2023-2024学年浙教版数学九年级上册
母题3
抛物线与x轴交于点(－3，0)和(1，0)，且与y轴交于点 (0，3)，求该抛物线对应的函数表达式． 解：由题意可设该抛物线对应的函数表达式为 y ＝ a(x ＋ 3)(x － 1) ， 将 点 (0 ， 3) 的 坐 标 代 入 ， 得 a×3×(－1)＝3，解得a＝－1. ∴y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3.
浙教版 九年级上
第一章 二次函数 专题一 求解二次函数表达式的常
用方法
母题1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(1，2)，(0，3)，
(－2，－1)三点，求该二次函数的表达式．
解：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过(1，2)，
(0，3)，(－2，－1)三点，
∴ac＝＋3b，＋c＝2，
(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？ 请说明理由． 解：点P不能在抛物线C2上． 理由：∵抛物线C2：y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3的开口向上， ∴函数有最小值，为－3.
∵－6＜－3，∴点P不能在抛物线C2上．
【方法解析】 二次函数图象的平移变化：抛物线y＝ax2＋bx＋c
向左(右)平移m(m>0)个单位，得到抛物线y＝a(x±m)2＋ b(x±m)＋c；抛物线y＝a(x－h)2＋k向左(右)平移 m(m>0)个单位，得到抛物线y＝a(x－h±m)2＋k；抛物线 y＝ax2＋bx＋c向上(下)平移n(n>0)个单位，得到抛物线 y＝ax2＋bx＋c±n；抛物线y＝a(x－h)2＋k向上(下)平移 n(n>0)个单位，得到抛物线y＝a(x－h)2＋k±n.
变式4-1 已知抛物线y＝a(x－1)2＋k经过点(0，－3)和(3，0)． (1)求a和k的值；
中学初三数学二次函数解析式的求法
初三数学二次函数分析式的求法求二次函数表达式的基本方法是待定系数法，二次函数的表达式有三种形式，每种形式都有三个待定系数，于是只要有三个条件即可获取相应的方程，构成方程组，进而经过解方程（组）获取问题的答案.当已知条件是图象上三个点坐标时选择一般式方程：y=ax2+bx+c（a≠0）；当已知抛物线与x轴的两交点坐标时选择交点式方程：y=ax-x1）（x-x2）（a≠0）；当已知二次函数图象极点坐标或对称轴方程与最大值或最小值时选择极点式方程： y=a（x-h）2+k（a≠0）.依据代数条件求二次函数分析式【例1】已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且极点纵坐标为，求这个二次函数的分析式.【剖析】设一般式，将已知条件直接代入将获取一个三元一次方程组，计算较繁，进一步剖析，（1，0），（-5，0）是抛物线与x轴两交点，由此可知抛物线对称轴为直线x=-2，因此极点坐标为（－2，）.解：∵点（1，0），（-5，0）是抛物线与x的两交点,∴抛物线对称轴为直线x=-2，∴抛物线的极点坐标为（－2，），第1 页设抛物线的分析式为y＝ax2＋bx＋c，则有∴所求二次函数分析式为依据几何图形的性质求二次函数的分析式【例2】已知张口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A （x1，0），B（x2，0）（x1【剖析】我们可把已知点C（0，5）代入函数分析式，再由a+b+c=0和S△ABC=15这两个条件进行求解. 解法1：∵C（0，5），∴c=5，OC=5，a+b+c=0，a+b+5=0，∴b=-5-a.分析式为y=ax2+（-5-a）x+5，∵S△ABC=×AB·5=15.AB=6，即|x1-x2|=6.又x1两边平方得（x2-x1）2=36，∴（x1+x2）2-4x1x2=36，=36，7a2+2a-5=0.解得∵抛物线张口向下，∴舍，a2=-1，∴y=-x2-4x+5.解法2：由解法1可得AB=6，a+b+c=0，∴（1，0）在抛物线上.又抛物线张口向下且过（0，5），第2 页B（1，0），∴OB=1，则OA=AB-OB=5，A在x轴负半轴上，∴A（-5，0）.设y=a（x-1）（x+5），把（0，5）代入得-5a=5，∴a=-1.y=-x2-4x+5.【小结】比较以上两种解法，解法2简捷，假如题目中不给张口方向，那么就有两种答案，用解法1直接求得两个解，而解法2便可能丢解。
求二次函数解析式的常用方法
求二次函数解析式的常用方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
一、二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
二、求二次函数解析式的方法.求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
三、探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
浙教版数学九年级上册二次函数一题多解方法.docx
二次函数一题多解方法确定二次函数解析式是中考的热点之一.亲爱的同学，为帮你掌握确定二次函数解析式的方法，现以一道中考题为例介绍确定二次函数解析式的方法，供你参考. 例 已知抛物线经过点A (5，0)、B (6，-6)和原点.求此抛物线的函数解析式.为了求出这个二次函数的解析式，我们先来回顾二次函数解析式的常见形式：1.一般式：c bx ax y ++=2(a ，b ，c 为常数，且0≠a )，其特点是：等式右边是二次三项式的一般形式.2.顶点式：k h x a y +-=2)((a ，h ，k 为常数，且0≠a )，其特点是：(h ，k )是图象的顶点坐标.3.交点式：))((21x x x x a y --=(a ，1x ，2x 为常数，且0≠a )，其特点是：等式右边的常数1x ，2x 是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，即两个交点坐标是(1x ，0)和(2x ，0)（教材没有特别要求，同学们可参考）.分析一：因为抛物线经过三点A (5，0)、B (6，-6)、O (0，0)，故可选用一般式来求其函数解析式.解法一：设函数解析式是c bx ax y ++=2，则由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=.6636,0525,0c b a c b a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=.0,5,1c b a故此抛物线的函数解析式是x x y 52+-=.点评：若已知图象上的三点坐标或三对x ，y 的对应值，则通常可选用一般式来求其函数解析式.这种方法是求二次函数解析式最基本、最常用的方法，务必熟练掌握.分析二：由抛物线过原点可知c =0，故可直接设其函数解析式为bx ax y +=2，然后代入A 、B 两点坐标进行求解.解法二：设其表达式为bx ax y +=2，由题意，得⎩⎨⎧-=+=+.6636,0525b a b a 解得⎩⎨⎧=-=.5,1b a故此抛物线的函数解析式是x x y 52+-=.点评：在求函数解析式时，若能根据点的坐标的特殊性而设出较为简便的函数解析式，则可简化解题过程，提高解题速度.分析三：因为抛物线经过点A (5，0)和O (0，0)，故由此可知其对称轴是直线205+=x = 25，即抛物线顶点的横坐标是25，故可选用顶点式来求解.设其函数解析式为k x a y +-=2)25(；将点B (6，-6)和O (0，0)代入，从而求得a 、k 得值，进而求得解析式为x x y 52+-=.点评：当图象的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式k h x a y +-=2)(来求其函数解析式，此时只需根据另外的条件求出a ，k ，然后回代，并把它化为一般式即可.分析四：因为抛物线经过点A (5，0)和O (0，0)，即图象与x 轴的两个交点坐标是(5，0)和(0，0)，故可选用交点式来求解.可设其函数解析式为)5)(0(--=x x a y ，即)5(-=x ax y ，又因为它过点B (6，-6)，故有-6=6a (6-5)，解得a =-1，故)5(--=x x y ，即函数解析式是x x y 52+-=.点评：当已知抛物线与x 轴的两个交点或交点的横坐标时，可选用交点式来求其函数解析式，此时只需代入第三个条件即可求出a 的值，再回代，最后化为一般式即可.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求二次函数解析式的六种思路二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。
它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。
求二次函数的解析式，应恰当地选用二次函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。
解题时，应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。
下面举例说明。
思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y 较方便。
例1、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
解：设此二次函数的解析式为c bx ax y ++=2，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=+-53939c b a c b a c b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=531c b a∴所求的二次函数的解析式为532-+-=x x y思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式n m x a y +-=2)(较方便。
例2、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。
解：设抛物线n m x a y +-=2)(，由题意得：2,1-=-=n m2)1(2-+=∴x a y∵抛物线过点（1，10）102)11(2=-+∴a3=∴a即解析式为1632++=x x y思路3、已知图象与x 轴两交点坐标，可用))((21x x x x a y --=的形式，其中1x 、2x 为抛物线与x 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根。
例3、已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。
解：设所求解析式为)2)(5(-+=x x a y∵图象经过（3，－4）∴4)23)(53(-=-+a ∴21-=a 即：)2)(5(21-+-=x x y 则所求解析式为523212+--=x x y 。
思路4、已知图象与x 轴两交点间距离d ，求解析式，可用)]()[(00d x x x x a y +--=的形式来求，其中d 为两交点之间的距离，0x 为其中一个与x 轴相交的交点的横坐标。
例4、二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。
解：设二次函数解析式为)]()[(00d x x x x a y +--=由已知2=d∴)]2()[(00+--=x x x x a y又由已知得：⎩⎨⎧+----=-+--=)]2(1)[1(8)]2(2)[2(10000x x a x x a解之得：⎩⎨⎧=-=110x a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=31590x a 5752459)37)(31(5934)3)(1(22-+-=---=-+-=---=x x x x y x x x x y 或 ∴所求二次函数解析式为：57524593422-+-=-+-=x x y x x y 或 思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成n m x a y +-=2)(的形式，若图象向左（右）移动n 个单位，括号里m x -的值就加（减）n 个单位；若图象向上（下）平移n 个单位，n 的值就加（减）n 个单位，即左加右减，上加下减，平移后的抛物线形状不变，大小不变。
例5、把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。
解：2)3(212532122-+=++=x x x y 向右平移2个单位得：2)23(212--+=x y即：2)1(212-+=x y 再向上平移3个单位得：32)1(212+-+=x y 即：23211)1(2122++=++=x x x y ∴所求二次函数解析式为23212++=x x y 。
思路6、已知一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，要求其图象关于x 轴对称（也可以说沿x 轴翻折）；y 轴对称及经过其顶点且平行于x 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成n m x a y +-=2)(的形式。
（1）关于x 轴对称的两个图象的顶点关于x 轴对称，两个图象的开口方向相反，即a 互为相反数。
（2）关于y 轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称，两个图象的形状大小不变，即a 相同。
（3）关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a 互为相反数。
例6；已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称。
解：5632+-=x x y 可转化为2)1(32+-=x y ，据对称式可知①图象关于x 轴对称的图象的解析式为2)1(32---=x y ，即：5632-+-=x x y 。
②图象关于y 轴对称的图象的解析式为：2)1(32++=x y ，即：5632++=x x y ；③图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的图象的解析式为2)1(32+--=x y ，即1632++-=x x y 。
如何求解二次函数的解析式求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的解析式，是必须完全掌握的基础知识和基本方法，也是近年来中考考察的重点内容，现归纳如下。
方法一利用图象上三个点的坐标代入二次函数的基本形式y=ax2 +bx+c，组成三元一次方程组进行求解。
例1 已知：一个二次函数的图象经过（1，－4）、（－1，0）、（－2，5）三个点，求这个二次函数的解析式。
解（略）。
说明：此法可详见教材。
方法二已知二次函数的图象的顶点（h，k）及另一个点的坐标，可用公式：y=a(x－h)2+k求这个二次函数的解析式。
例2 已知二次函数的图象的顶点为(2，－1)，抛物线与y轴相交与一点(0，1)，求这个二次函数的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x－2)2 －1，将点(0，1)代入解析式，得a(0－2)2 –1=1解得a=1 2所以，所求的解析式为y=12(x－2)2－1= 12x2－2x+1。
说明：解题时要注意“顶点”的灵活性，题目中不一定直接给出，要根据已知转化为顶点，方可使用。
如：下面几道题目都是可用这一方法进行求解二次函数的解析式。
①已知一条抛物线，当x=3时，y有最小值－2，并且经过点(5，0)；②若抛物线的对称轴是x=1，函数有最大值4 ，并且经点(0，3)；③二次函数的最小值为－10，当x≤－1时，函数y随着x的增大而减小；当x≥－1时，函数y随着x的增大而增大；并且经过点(2，8) ；④抛物线与x轴有且只有一个公共点(2，0) ，并且交y轴于(0，2) 点。
⑤若抛物线的对称轴是x=2，并且经过点(3，8)，与x轴的两个交点的距离为6。
方法三同学们都知道用求根公式进行二次三项式的因式分解公式：若方程ax2 +bx+c=0(a≠0),有两个根x1 、x2，则ax2 +bx+c=a(x－x1)(x－x2) ，而x1 、x2正是抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标，所以，若已知图象与x轴的两个交点的横坐标及另一个点的坐标，我们可以使用公式y= a(x－x1)(x－x2) 进行求解。
例3 已知抛物线y =ax 2 +bx +c 与 x 轴的两个交点的横坐标是－1 和1 ，与y 轴交点的坐标是(0，1)，求这条抛物线的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为y = a (x +1)(x －1) ，将点(0，1) 代入解析式，得a (0+1)(0－1)=1，解得a =－1， 所以，所求的解析式y =－(x +1)(x －1)=－x 2+1。
说明：有时也以坐标的形式出现。
如：⑥已知抛物线与 x 轴交与(－1，0) 和(2，0) 两点，并且经过(1，6)，求这条抛物线的解析式。
下面，我们来看一下具有多种解法及其它解法的题目。
例4已知二次函数的图象的顶点为A (3，－2) ，并且经过B (1，0)、C (5，0)，求这条抛物线的解析式。
分析：此题有三个已知点的坐标，所以可利用方法一；知道顶点坐标，又可利用方法二；知道与x 轴的两个交点坐标，所以，又可利用方法三。
详解（略）。
例5已知二次函数有最大值2，与 x 轴交与(－1，0)、(5，0)两点，求这条抛物线的解析式。
解法一：可设 y =ax 2 +bx +c ，由题意知 244ac b a- =2，a －b +c =0，25a +5b +c =0 详解（略）。
解法二： 因为知道与 轴的两个交点 x 1 、x 2 ，由根与系数的关系式可知x 1 +x 2 = －b a ，而对称轴的方程x = － 2b a = 2ba -=122x x + ，所以对称轴的方程也为x =122x x +. 解：对称轴的方程x = =2 ，所以顶点为 (2，2) ，再利用方法二 即可。
详解（略）。
解法三:因为顶点求出为(2，2) ，利用方法三即可。
详解（略）。
例6已知二次函数有最小值－8 ，且 a :b :c =1:2:(－3)，求这条抛物线的解析式。
解：令每份为 k ，则 a =k ，b =2k ，c =－3k ，又因为 244ac b a- =－8，代入即可，以下解略。
【附答案】：① y =12 x 2－3x +52 ②y =－4(x －1)2+4③y =2x 2+4x －8④y =12x 2－2x +2 ⑤y =x 2－4x －5⑥y =－3x 2+3x +6例1：y =x 2－2x －3例4：y =12x 2－3x +52例5： y = 29-x 2 + 89x + 109 例6 ： y =2x 2+4x －6求二次函数解析式的三种方法一、已知任意三点求解析式用一般式，即2(0)y ax bx c a =++≠。
方法：把三点坐标分别代入一般式，得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值，即可得到二次函数的解析式。
例1、（2010 天津）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表： x …32- 1- 12- 0 12 1 32 … y … 54- 2- 94- 2-54- 0 74 … 则该二次函数的解析式为 ．分析：表格给出了自变量x 和函数值y 的六组对应数值，也就知道了二次函数的图像经过的六个点的坐标，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由图像可知，抛物线经过点（-1，-2）、（0，-2）、C （1，0）三点，所以220a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得112a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以该二次函数的解析式为22y x x =+-二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即2()(0)y a x h k a =-+≠方法：先将顶点坐标（h ，k ）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出a ，即可得抛物线的解析式例2、如图（1）所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．22y x =-B ．22y x =C ．212y x =- D ．212y x =分析：由图可知二次函数的顶点坐标为（0、0），所以二次函数的解析式可以设为2y ax =进行求解。