张量分析总结汇编

一、知识总结
1 张量概念
1.1 指标记法
哑标和自由指标的定义及性质
自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。

性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例：
3
33323213123232221211
313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)
式(1.1)可简单的表示为下式：
i j ij B x A =
(1.2)
其中：i 为自由指标，j 为哑标。

特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。

在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。

1.2 Kronecker 符号
定义ij δ为：
⎩
⎨
⎧≠==j i j
i ij ,0,1δ
(1.3)
ij δ的矩阵形式为：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100010001ij δ (1.4)
可知3ij ij ii jj δδδδ===。

δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。

如：
ij jk ik
ij jk kl il
δδδδδδδ==
(1.5)
ij δ的作用：更换指标、选择求和。

1.3 Ricci 符号
为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号：
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1k j i k j i l ijk
(1.6)
图1.1 i,j,k 排列图
ijk l 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。

Ricci 符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4 坐标转换
图1.2 坐标转换
如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。

有''i j i j ij e e e e δ==
'i e 在i e 下进行分解：''11'22'33'i i i i i j j e e e e e ββββ=++=
j e 在'i e 下进行分解：'''
'1'12'2
3'3'j j j j i j i e e e e e ββββ=++= 其中，''''cos(,)i j i j i j j i e e e e e e β==⋅=⋅ 为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。

空间点P 在新老坐标系矢径：
⎪⎩
⎪
⎨⎧'
+='⋅='⋅'='0r r r e x r e x r j j i i (1.7)
其中'0r 为上图中坐标原点的位移矢量。

将'r 向新坐标轴上投影的矢量的分量：
''''''''
'
''''''''0000()()()()i k k i k ki i i k k i j j i k ki j i j i j i j
r e x e e x x r r e x e e x e e x x x x δδββ⋅=⋅==+⋅=⋅+⋅=+=+即
由此得新坐标用老坐标表示的公式：
ij j i i x x x β+'='0)(
(1.8)
类似地，将i 向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：
''0()j j i ij x x x β=+
(1.9)
特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时'
0()0i x =，
上两式的矩阵形式为：
{}[]{}
{}[]{}[]{}
'
1
'
'
T
x x x x x βββ-===
(1.10)
由上可知，[][][]T
I ββ= ，[]β是正交矩阵，则'1i j β=。

综合以上可知：
''''''''''''
''''
i j l k lk i l j k i l j k i k j k i k j k i j i j i j e e e e e e ββββδββββδδ⎫⋅=⋅==⎪
⇒=⎬⋅=⎪⎭
(1.11)
同理，可推出：''ij k i k j ββδ=
将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，''
()i i j x x x =； 将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，'
()j j i x x x =
''
i i
j j x dx dx x ∂=∂，其中'i j x x ∂∂为常数，称'
i j
x J x ∂=∂为雅克比行列式。

若J 处处不为
0，则说明存在相应的逆变化，即：'''j
i i j j i
x x x x β∂∂=
=∂∂ 1.5 张量的分量坐标转换规律 1.5.1 一阶张量
一阶张量在新老坐标系中的分解为：
j j i i e a e a a =''=
(1.12)
其中：
i j i j e e '='β (1.13)
则：
i j i j i i e a e a a '=''='β
(1.14)
得到：
j i j i a a '='β (1.15)
同理：
j j i i e e '='β (1.16)
得：
i j i j a a '='β (1.17)
矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。

1.5.2 二阶张量
定义j i e e 为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。

由下式：
⎩⎨⎧'=='''i j i j
j
j i i e e e e ββ (1.18)
可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：
⎩⎨⎧''==''''''j
i n j m i n m n
m n j m i j i e e e e e e e e ββββ (1.19)
又：
j j i i j j i i e b e a e b e a ab ''''==
(1.20)
记：
j i ij b a B =，j i ij
b a B ''=' (1.21)
则：
j i ij
j i ij e e B e e B ab '''== (1.22)
该式表示 a 与 b 并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。

记为：
j i ij
j i ij e e B e e B B '''== (1.23)
将式(1.13)代入上式可得：
⎩⎨⎧'='='''''ij n j m i mn
mn n j m i ij
B B B B ββββ (1.24)
此分量转换可进一步推广到高阶张量。

张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。

2 张量的代数运算
2.1 张量的加减
假如A 、B 为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为)(B A B A -+，例如：
ij ij B A B A ±=±
(2.1)
显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。

2.2 标量与张量的积
张量A ，标量λ，若A B λ=，则：
ij ij A B λ=
(2.2)
2.3 张量的并积
两个同维不同阶（同阶）张量A 、B 的并积C 是一个阶数为A 、B 阶数之和的高阶张量。

k j i ijk e e e A A = (2.3) m l lm e e B B = (2.4)
m l k j i ijklm e e e e e C B A C ==
(2.5)
式(1.10)中：
lm ijk ijklm B A C = (2.6)
2.4 张量的缩并
若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。

ijk i j k ijk ik j iji j j j A A e e e A e A e B e δ====，有iji j A B =。

取不同基矢量点积，缩并结果
不同。

2.5 张量的点积
两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。

如下： k j i ijk e e e A A = (2.7) j l lj e e B B =
(2.8)
ijk lm i j k l m ijk lj i k l ikl i k l C AB A B e e e e e A B e e e C e e e ====
(2.9)
其中，
ijk lj ikl A B C =
(2.10)
2.6 指标的转换
对于张量k j i ijk e e e A A =，若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。

如下式所示：
k j i ijk k j i jik e e e B e e e A =
(2.11)
指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：
k j i ijk k j i jik k i j ijk e e e B e e e A e e e A ==
(2.12)
2.7 张量的商法则
张量T ，如果它满足对于任意一个q 阶张量S 的内积均为一个p 阶张量U ，即在任意坐标系内以下等式U S T =成立，则T 必定是一个p+q 阶的张量。

以上规则称为张量的商法则。

3 二阶张量
二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量，例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。

3.1 二阶张量的矩阵
(1) 任何一二阶张量T 总可以按其分量写成矩阵形式：
111213212223313233ij T T T T T T T T T T T ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤==⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(3.1)
二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系，但它们并非全能一一对应。

首先，矩
阵并非只包括方阵，而二阶张量只能对应方阵；其次，在一般坐标系中，转置张量与转置矩阵、对称（或反对称）张量与对称（或反对称）矩阵不能一一对应；第三，二阶张量的某些运算不完全能用矩阵的运算与之互相对应。

(2) 二阶张量T 的转置张量T T 为：
()T T ij i j ji i j T T g g T g g ==
(3.2)
(3) 二阶张量的行列式
二阶张量对应的矩阵具有行列式值：det det ij T T ⎡⎤=⎣⎦
由于两个互为转置的矩阵的行列式值相等，故两个互为转置的张量的行列式相等det det T T T =
(4) 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与矩阵运算一一对应；二
阶张量与矢量的点积；二阶张量与二阶张量的点积。

以上运算都可以表示成对应的矩阵运算，但二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算，例如并乘运算。

3.2 几种特殊的张量 3.2.1零二阶张量
零二阶张量将任意矢量映射为零矢量，它是一种特殊的退化的二阶张量。

零二阶张量对应的矩阵为：
[]000000000O ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
(3.3)
0O u ⋅=
(3.4)
式中，左端的O 是零二阶张量，右端的0为零矢量。

3.2.2 度量（单位）张量G
[]100010001ij i j G g g δ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
(3.5)
度量张量将任意矢量映射为原矢量，即：
G u u ⋅=
(3.6)
度量张量与任意二阶张量的点积仍为该张量本身，即：
T G T T G ⋅==⋅
(3.7)
因此，有些书中将度量张量记作I 或1。

3.2.3球形张量
主对角分量为α，其余分量为零的二阶张量称为球形张量。

它是数α与单位张量的数积，即：
S G α= i j i j S G α=⋅
(3.8)
3.2.4转置张量
二阶张量ij i j B B e e =由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得的新张量
ji i j B B e e *=称为张量B 的转置张量。

若同时转换二阶张量B 的分量指标和基矢顺序，结果仍为B 。

三阶张量ijk i j k B B e e e =有三种不同的转置张量，任意对换i ，j ，k 得到：
123ijk i j k
ikj i j k
kji i j k
B B e e e B B e e e B B e e e ***===
(3.9)
3.2.5对称张量与反对称张量
对称张量，转置张量等于其自身的张量：,ij ji B B B B *==。

反对称张量，转置张量与其相反的张量：,ij ji
B B B B *=-=-。

三维二阶对称张量的独立分量有6
个，n 维有(1)/2n n +个。

反对称张量的主对角分量为0。

三维二阶反对称张量的独立分量有3个，n 维有(1)/2n n -个。

任意二阶张量B 可以分解称为对称张量S 和反对称张量A 之和，即B=S+A
再有B S A S A ***=+=-，得：
1
()
2
1
()
2
S B B A B B **=+=-
(3.10)。