数学的基本思想与方法

逆 推 法
例4 一条毛毛虫由幼虫长到成 虫，每天身长增加1倍，30天能长 到20厘米。问长到5厘米的时要用 多少天？
逆 推 法
例5 有甲、乙、丙三个油桶，各盛 油若干千克，先将甲桶的油倒入乙、 丙两个桶，使它们各增加原有油的一 倍，再将乙桶的油倒入丙、甲两桶， 使它们的油各增加一倍，最后按同样 的规律将丙桶的油倒入甲、乙两桶， 这时各桶里的油都是16千克，问各桶 原有油多少千克？
假 设 法
例24 （我国古代问题）今有鸡 兔同笼，上有35头，下有94足。问鸡 兔各有几何？
假 设 法
例25 蜘蛛有8只脚，蜻蜓有6 只脚和2对翅膀，蝉有6只脚和1对翅 膀。现有这三种昆虫18只，共有脚 118只，翅膀20对。问每种昆虫各有 几只？
数学的基本思想与方法
Relation
几 何 法
例1 哥哥和弟弟各摘了一批柿 子，如果哥哥给弟弟8只，他们就 一样多。如果弟弟给哥哥8只，哥 哥的柿子就是弟弟的两倍。哥哥和 弟弟原来各摘了多少个柿子？
几 何 法
例2 已知A,B,C,D,E,F,G,H,I,K 代表十个互不相同的大于0的自 然数。要使下列等式成立，A最 小是什么数？ B+C=A G+H=D D+E=B H+I=E E+F=C I+K=F
蓝盒子写着“乒乓球在红盒子里”
。
不过，这三句话只有一句是真的， 那么乒乓球一定放在什么盒子里？
演 绎 法
例21 Ａ，B，Ｃ，Ｄ四人对 某两位数的性质各作出了两个判断 ：
Ａ①２除余１ Ｂ①４除余３ Ｃ①６除余５ Ｄ①８除余７ Ａ②３除余２ Ｂ②５除余４ Ｃ②７除余６ Ｄ②９除余８
已知这４个人中，每人都只说 对了一句话，另一句话是错误的， 求这个两位数。
转 化 法
例22 在4×6的方格中，放18 个奶瓶，每格放一个，要求每行每 列的个数都是偶数。这件事能办到 吗？
假 设 法
例23 搬运站运送500只玻璃瓶， 商定每只运费是0.24元，如打破一只 ，不但不给运费，而且要赔偿1.26元 。结果，搬运站共得搬运费115.5元 。问搬运中打破了几只玻璃瓶？
在连通的网络中：
一 笔 画
1、如果图形只有偶点，那么可以一笔画 出，并且可以任何点为起点和终点。 2、如果图形有且只有两个奇点，那么可 以一笔画出，但必须以这两个奇点分 别作为起点和终点。 3、如果图形中奇点的个数超过２，则不 能一笔画出。 4、画出含有２n(n是自然数)个奇点的网 络至少要n笔画。
递 推 法
例9 有雌雄各一的一对兔子 ，一个月后生了雌雄各一的一对小 兔子，这对小兔子经过一个月就长 成大兔子。此后，每对大兔每月生 一对雌雄各一的小兔子，而每对小 兔经过一个月又长成大兔。问一年 后共繁殖成多少对兔子？
递 推 法
例10 一个居民小区纵横各有 5条街道，某人要从路口A前往路 口B，走的方向只能向东或向南。 问：一共有多少种不同的走法？
几 何 法
例3 某市举行家庭“普法”学习竞赛 ，有五个家庭进入决赛，规定每家有2名 成员参加。决赛时进行了四次比赛，每次 比赛各家出一名成员参赛。第一次参赛的 是A,B,C,D,E；第二次参赛的是F,B,A,D,G ；第三次参赛的是C,H,A,I,F；第四次参 赛的G,A,B,H,E。此外有一人k因故四次均 未参加。问谁和谁是一家人？
逆 推 法
例6 在7×6的棋盘的右上格内有 一颗棋子，甲乙两人做游戏，规则如 下：甲先走，二人交替将棋子向左、 向下或向左下移一格，谁把棋子移到 左下角的格子里谁胜。问：甲如何走 才能确保取胜？
递 推 法
例7 平面上的10条直线最多 有几个交点？
递 推 法
例8 一段楼梯有10级台阶，规 定每一步只能跨一级或两级，问要 登上第10级台阶有多少种不同的走 法？
抽 屉 法
例15 求证：从1,2,3，…,10 这十个数中任意选出六个，这六个 数中必有一个数是另一个数的倍数 。
图 论 法
例16 图论起源于著名的柯尼 斯堡七桥问题。公元18世纪的柯尼 斯堡的普莱格尔河上有七座桥，当 地的居民热衷于这样一个问题：一 个散步者能否一次走遍七座桥，而 且每座桥不许重复？
染 色 法
例18 如图是由若干个小方 格拼成的图形。从这个图中，最多 能分割出多少个由两个小方格拼成 的长方形？
染 色 法
例19 试证：世界上任意６个 人中,总有３个人,或彼此都认识, 或彼此都不认识。
演 绎 法
例20 有红、黄、蓝三个盒子，两 个盒子是空的，一个盒子里放了一个乒 乓球，每个盒子上都写了一句话。 红盒子上写着“乒乓球不在这里” ， 黄盒子上写着“乒乓球不在这里” ，
对 应 法
例11 有20支乒乓球队参加比 赛，比赛采用淘汰制，最后产生冠 军队。共需要安排多少场比赛？
对 应 法
例12 从1985到4891的整数 中，十位数字与个位数字相同的 数有多少个？
对 应 法
例13 10个苹果，每天至少吃 1个，直至吃完，问共有多少种不 同的吃苹果方案？
抽 屉 法
抽屉原理1 如果将n+1件物体 放到n个抽屉里去，那么至少有一 个抽屉里的物体不少于两件。 抽屉原理2 如果将多于m×n 件物体放到n个抽屉里去，那么至 少有一个抽屉里的物体不少于m+1 件。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在连通的网络中：
一 笔 画
1、如果图形只有偶点，那么可以 一笔画出，并且可以任何点为起点和终 点。 2、如果图形有且只有两个奇点， 那么可以一笔画出，但必须以这两个奇 点分别作为起点和终点。
3、如果图形中奇点的个数超过２， 则不能一笔画出。
一 笔 画
例17 如图是校史室的平面图 ，参观者能否从室外开始，在一次 参观中不重复地走遍所有七个门？
抽 屉 法
例14 一些孩子在沙滩上玩 耍，他们把石子堆成许多堆，其 中有一个孩子发现，从石子堆中 任意选出五堆，其中至少有两堆 石子数之差是4的倍数，你说他的 结论对吗？为什么？
抽 屉 法
我们把五堆石子数看作任意五 个自然数，它们被4除，其余数不 外乎是0，1，2，3四种可能。如果 把每一种余数看作一个抽屉，那么 余数相同的两数就在同一抽屉里。 根据抽屉原理，五个自然数被4除 后得到的余数中必有两个余数是相 同，这样的两个数之差必是4的倍 数。因此，本题的结论是正确的。