邢台市一中2013——2014学年下学期第一次月考

邢台市一中2013——2014学年下学期第一次月考高二年级数学（文科）试题考试时间：120分钟 命题人：董学全第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.设i 为虚数单位，则复数34ii+的共轭复数为( ) A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -2.已知集合1{|1}1x M x x +=≥-，集合{|230},()R N x x C M N =+>⋂则=( ) A ．3(,1)2- B ．3(,1]2- C ．3[,1)2- D ．3[,1]2-3.设非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是( )A.11a b> B.2ab b < C. 0a b +> D.0a b -< 4.已知3sin()25πθ+=，则cos(2)πθ-=( )A. 1225B. 1225-C. 725-D. 7255.若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1-<a 6.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且1012S =，则56a a +=( ) A ．125B ．12C ．6 D.657.已知0a >，0b >，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是( )由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为8.8y x a =+，预测该学生10岁时的身高为( ) 参考公式：回归直线方程是：,y bx a a y bx =+=- A ．154 B. 153 C.152 D. 1519.已知函数2,0,()0,x x f x x ⎧≥⎪=<则2a =是()4f a =成立的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 阅读如右图所示的程序框图，如果输入的n 的值为6，那么运行相应程序，输出的n 的值为( ) A. 3 B. 10 C. 5 D.1611.若双曲线C ：222(0)x y m m -=>与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，且AB =m 的值是( ) A. 116 B. 80 C. 52 D. 2012.定义域为R 的函数()f x 满足()()22,f x f x +=当[)0,2x ∈时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，若[)4,2x ∈--时，()142t f x t≥- 恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A. [)()2,00,1-⋃ B. [)[)2,01,-⋃+∞ C. (](],20,1-∞-⋃ D. []2,1-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13.若实数,x y 满足条件20,0,3,x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则34z x y =-的最大值是________14.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是_________。

主视俯视15.若函数x x x f 3)(3+=对任意的0)()2(],2,2[<+--∈x f mx f m 恒成立，则∈x 。

16.对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,a ab a b a b b ab a b⎧-≤⎪*=⎨->⎪⎩，设()()()211f x x x =-*-，且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是___________。

三、解答题：（本大题共小题，共60分.解答应详细写出必要的文字说明、推演步骤和证明过程.）17.（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知322sin =A . （Ⅰ）求2sinCB +的值；（Ⅱ）若2,ABCa S =求b 的值.18.（本小题满分12分） 从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分； （Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[)30,50和[]130,150的学生中共抽取3人，该3人中成绩在[]130,150的有几人？（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的3人中，随机抽取2人，求分数在[)30,50和[]130,150各1人的概率．19.（本小题满分12分） 如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，DF CE //，090=∠DEF ．（Ⅰ）求证：ADF BE 平面//；（Ⅱ）若矩形ABCD 的一个边3=AB ,32=EF ,则另一边BC 的长为何值时，三棱锥B DEF -的体积为3？C20.（本小题满分12分）已知椭圆G :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为12，过椭圆G右焦点F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）.（Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于,B C 两点.判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由. 21.（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln 1f x a x x =-++．（Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当[1,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在1,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）如图，圆O 的圆心O 在Rt ABC ∆的直角边BC 上，该圆与直角边AB 相切，与斜边AC 交于,D E ，AD DE EC ==，AB = （Ⅰ）求BC 的长；（Ⅱ）求圆O 的半径。

23.（本小题满分10分）选修4-4极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()2sin2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为22,42x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB ⋅=，求a 的值24.（本小题满分10分）已知函数()|21||23|.f x x x =++-（Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围.邢台市一中2013——2014学年下学期第一次月考 高二年级数学（文科）试题参考答案及评分标准13. 1- 14. 2115. )32,2(- 16.116⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应详细写出必要的文字说明、推演步骤和证明过程.）17.（本小题满分12分）18. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为 0.0050×20×40＋0.0075×20×60＋0.0075×20×80＋0.0150×20×100＋0.0125×20×120＋0.0025×20×140＝92． …4分 （Ⅱ）样本中分数在[30，50)和[130，150]的人数分别为6人和3人，所以抽取的3人中分数在[130，150]的人有3× 39＝1（人）． …8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：抽取的3人中分数在[30，50)的有2人，记为a ，b ， 分数在[130，150]的人有1人，记为c ，从中随机抽取2人， 总的情形有(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )三种．而分数在[30，50)和[130，150]各1人的情形有(a ，c )，(b ，c )两种，故所求概率P ＝ 23． …12分……………………..6分 ……………………………..12分19.20. 解：（Ⅰ）由题意得1c =, 由12c a =可得2a =, 所以2223b a c =-=, 所以椭圆的方程为22143x y +=. ………………………………4分（Ⅱ）由题意可得点3(2,0),(1,)2A M -,所以由题意可设直线1:2l y x n =+,1n ≠.设1122(,),(,)B x y C x y ，由221,4312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x nx n ++-=. 由题意可得2224(3)1230n n n ∆=--=->,即(2,2)n ∈-且1n ≠.21212,3x x n x x n +=-=- ……………………………………6分因为1212332211MB MC y y k k x x --+=+--………………………………………8分 121212121212131311222211111(1)(2)1()1x n x n n n x x x x n x x x x x x +-+---=+=++-----+-=+-++ 2(1)(2)102n n n n -+=-=+-， ……………………………………………10分所以直线,MB MC 关于直线m 对称. …………………………12分21.（Ⅱ）1()2(1)f x a x x '=-+，∵函数()f x 在区间[2,4]上单调递减， ∴1()2(1)0f x a x x '=-+≤在区间[2,4]上恒成立，即212a x x≤-+在[2,4]上恒成立，只需2a 不大于21x x -+在[2,4]上的最小值即可． ………………………………6分而221111()24x x x =-+--+(24)x ≤≤，则当24x ≤≤时，2111[,]212x x ∈---+，∴122a ≤-，即14a ≤-，故实数a 的取值范围是1(,]4-∞-． ……………………8分（Ⅲ）因()f x 图象上的点在1,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，即当[1,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2(1)ln 10a x x x -+-+≤恒成立，设2()(1)ln 1g x a x x x =-+-+（1x ≥），只需max ()0g x ≤即可．由1()2(1)1g x a x x '=-+-22(21)1ax a x x-++=，（ⅰ）当0a =时，1()xg x x-'=，当1x >时，()0g x '<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0g x g ≤=成立． ………………………………9分（ⅱ）当0a >时，由212(1)()2(21)12()a x x ax a x a g x x x---++'==，令()0g x '=，得11x =或212x a =，①若112a <，即12a >时，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，函数()g x 在[1,)+∞上无最大值，不满足条件；②若112a ≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(1,)2a上单调递减，在区间1(,)2a +∞上单调递增，同样()g x 在[1,)+∞上无最大值，不满足条件． …………………………11分（ⅲ）当0a <时，由12(1)()2()a x x a g x x--'=，因(1,)x ∈+∞，故()0g x '<，则函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0g x g ≤=成立．综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞． ………………………………………12分22.23. 解：(1) 由ρsin 2θ=2acos θ(a>0)得ρ2sin 2θ=2a ρcos θ(a>0)∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=2ax(a>0)………………………2分 直线l 的普通方程为y=x-2…………………………………4分(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2=2ax 中，得t 2-22(4+a)t+8(4+a)=0设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2则有t 1+t 2=22(4+a), t 1t 2=8(4+a)……………………………6分∵|PA|⋅|PB|=|AB|2,∴t 1t 2=(t 1-t 2)2, 即(t 1+t 2)2=5t 1t 2……………8分∴[22(4+a)]2=40(4+a)，即a 2+3a-4=0解之得：a=1或a=-4(舍去)，∴a 的值为1…………………10分 24. 解：（Ⅰ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩…3分 解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或即不等式的解集为}21|{≤≤-x x ………………5分（Ⅱ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x ………………8分4|1|>-∴a 35a a ∴<->或。