关于无穷远点奇点类型判断的几点讨论
解析函数在无穷远点的性质
解析函数在无穷远点的性质摘要:无穷远点作为解析函数的奇点的分类及其判定方法,给出含无穷远点的区域的柯西积分定理、积分公式,为下一步讨论函数在无穷远点处的留数计算做准备.关键词:解析函数无穷远点奇点1问题的提出无穷远点是解析函数的孤立奇点时,它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据,而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数“大范围”的积分计算的有力工具。
所以,本文研究解析函数在无穷远点的性质及其分类。
2解析函数的定义2.1 解析函数的定义定义2.1[1]如果函数在区域内可微,则称为区域内的解析函数,或称在区域内解析.2.2 奇点的定义定义2.2[2]若函数在点不解析,但在的任一邻域内总有的解析点,则称为函数的奇点.奇点分为孤立奇点和非孤立奇点两类,而孤立奇点根据函数在奇点去心邻域内洛朗展式主要部分的项数又可以分为三类:可去奇点(主要部分为0);极点(主要部分为有限多项);本质奇点(主要部分为无限多项).例2.1判定函数的奇点及其类型.解在平面上只有为孤立奇点,在其去心邻域内的洛朗展式为,因其主要部分为0,故为的可去奇点.3 解析函数在无穷远点的性质3.1 无穷远点的引入在复分析中,我们讨论的函数在自变量趋于一个定点时,函数值可能趋于无穷大.为了讨论这种情况,我们在复数域中引入符号表示无穷大,并且约定.同时规定它和有限数的运算关系如下:(加减法) ,(乘法) ,(除法),,在此定义下无意义.由于在复平面上没有对应无穷远点的位置,因此在复平面上引入一个“理想点”与无穷大对应,称之为无穷远点,仍记为,且把复平面加上点后称为扩充复平面,常记作.另外扩充复平面的几何模型是复球面,且北极与复平面上的无穷远点相对应.性质: 的实部﹑虚部及辐角都无意义, ;复平面上每一条直线都通过点,同时没有一个半平面包含点.3.2 无穷远点作为奇点的分类由于任一函数在处无意义,所以点总是的奇点.定义3.1 [3] 设函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称为的一个孤立奇点,否则为非孤立奇点.若在平面上有一列趋于无穷远点的奇点,则为的非孤立奇点.例3.1讨论的奇点的类型.解:此函数因分母不能为0,故有奇点和.由于有限奇点(它们各为一阶极点)以为极限,故为此函数的非孤立奇点.设为的孤立奇点, 在无穷远点的去心邻域内的洛朗展式为,在式中正幂部分称为在的主要部分,非正幂部分称为在的正则部分.定义3.2设为函数的孤立奇点.若在点的主要部分为零,则称为的可去奇点;若在点的主要部分为有限多项,设为,则称为的阶极点;若在点的主要部分有无限多项,则称为的本质奇点.注: 若为的可去奇点,我们定义,则在处解析.3.3 解析函数在无穷远点的性质根据定义3.2,不难得到定理3.1函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是下列条件之一成立: ;令, 为的可去奇点;在的某去心邻域内有界.例如, ,所以为函数的可去奇点.定理3.2函数的孤立奇点为阶极点的充要条件是下列条件之一成立: 令, 为的阶极点;在的某去心邻域内能表成,其中在的邻域内解析,且;以为阶零点(只要令).注:为的极点的充要条件是.例3.2试确定函数的奇点的类型.解:由,设,因在的邻域内解析且,所以为阶极点.定理3.3函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是下列条件之一成立:不存在;令, 为的本质奇点.例3.3试确定函数的奇点的类型.解:令,其在的空心邻域内的展式为,它的主要部分为无穷多项,故为的本质奇点.定理 3.4 (含点的区域的柯西积分定理)设是一条周线,区域是的外部(含点), 在内解析且连续到;又设,则,这里及是在无穷远点去心邻域内的洛朗展式的系数.证明:由已知有在解析,又,所以为可去奇点;设充分大,使及其内部全含于圆周的内部(图1),则得点的去心邻域: 在其内展成洛朗级数,设为( 可为0).因,所以.再就复围线(图1)应用柯西积分定理有:,,.定理3.5 (含点的区域的柯西积分公式)假设条件同定理3.4,则这里表示的方向,含点的区域恰在一人沿它前进的方向.证明:1)设,以为心作充分大的圆周,使及其内部全含于的内部(图2), 构成一复围线.则应用有界区域的柯西积分公式,.在(这里以为中心的点的去心邻域)内的洛朗展式可设为( 可为0),由此可得.当,有,所以.2) (即在图2中的阴影部分),有,所以.参考文献:[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2005年版.[2]陈广锋.无穷远点作为解析函数奇点时的讨论[J].西安教育学院学报,2000(3).。
【doc】关于奇点类型的讨论
关于奇点类型的讨论第29卷第3期2005年6月南昌大学(理科版)JournalofNanchangUniversity(NaturalScience)V o1.29No.3Jun.2005文章编号:1006—0464(2005)03—0254—04关于奇点类型的讨论郑军,谈振兴(南昌大学理学院,江西南昌330047)摘要:剖析了数学奇点和物理奇点这两个概念及其它们在本质上的差异:数学上的本性奇点只不过是无穷级极点.而物理奇点如Schwarzchild黑洞中的Schwarzchild坐标的原点r=0的奇异性却出现在黎曼曲率张量里,它才真正反映了事物本质上的奇异性.关键词:数学物理;孤立奇点;坐标奇点;物理奇点;广义相对论中图分类号:0154文献标识码:A对于实函数f()=h()/g(),数学上称g()的零点=为奇点.函数.厂()在=处的性质还依赖于h()在该点的性质.由于该奇点的存在,函数)在这点的性质(如连续性,有界性,可导/可微性以及可积性等)也发生了变化,并且给研究带来一定的不便.将视为复变量z,对奇点的看法也是类似的.复变函数f(z)的孤立奇点分为可去奇点,极点和本性奇点三类¨.2J.围线内若存在孤立奇点,则导致复变函数.厂(z)在积分区域内不是处处解析,从而直接运用Cauchy定理会有一定困难.尽管如此,借助留数定理却给求解一些较复杂的复数积分和实数积分带来便捷,而运用留数定理就需要判断奇点的类型.强调指出上面的”本性奇点”并不富有其名称含义,即”本身所固有的,内在的和本质性的几何奇点”.这是因为变量替换会改变这种奇点类型,而对于一种内在本质属性不应该随变量替换即坐标的选择发生变化.这种与坐标选择有关的属性是非物理的.反之,”本性”应当理解为”物理的本质属性”.在牛顿力学内,时间和空间坐标具有明确的物理含义,但牛顿力学建立的物理量体系一般定义成坐标量从而没有协变性(covariance),亦即物理量的表示形式随坐标系的选择而改变.例如,牛顿第二定律所描述的运动方程只有在惯性坐标系内才具有形式不变性,而在非惯性坐标系内应当附加非惯性力的影响.物理量的协变性是广义相对论的基本要求.物理量应当定义成固有量(properquantity)或张量(tensor),而不应该表示成坐标量(coordinate quantity)[3,43.非线性科学中识别混沌的重要指标收稿日期:2004—12—09基金项目:国家自然科学基金资助项目(10447112)作者简介:郑军(1964一),女,副教授.Lyapunov指数由于在牛顿力学框架内被定义成坐标量(即采用Euclid距离和坐标时间),结果在广义相对论中不是坐标变换的不变量.WuXin和Huang Tian—yi利用原时(propertime)与固有距离(proper distance)把Lyapunov指数定义成标量(scalar),解决了这个非协变问题J.对于物理奇点的判断,也应当依据这一标准.就Schwarzchild黑洞来说,根据数学的观点该时空存在r=0和r=2GM两个奇点.但凭借与坐标选择无关的黎曼曲率张量来看,只有r=0才是本性奇点,而r=2GM只是坐标奇点.这种坐标奇点也以一种奇异的物理现象”蒙骗”人们,即无穷远处的静止观测者永远不能看到r >2GM处的粒子或光子能够穿越视界面落到引力中心,以致人们不得不借用”black”这个词来描绘该处,.本文的主要目的是解释复变函数中本性奇点之本性含义并且从本质上比较坐标奇点和物理奇点两个概念.介绍复变函数孤立奇点类型并着重对本性奇点进行诠释.为了说明这种”本性”不同于”物理的本质属性”,引入Schwarzchild黑洞中的坐标奇点和物理奇点并说明识别方法.1孤立奇点的类型所谓孤立奇点,就是指当复变函数z)在z.不可导,而在的任意小邻域内除去z.外处处可导,这样的z.是孤立奇点,否则z.就是非孤立奇点¨.在挖去孤立奇点z.而形成的环域上的解析函数(z)可展为罗朗级数:第3期郑军等:关于奇点类型的讨论?255?z)=∑a(z—z0)上式中正幂部分是解析部分,负幂部分称为主要部分或无限部分.在复变函数计算时,需要对奇点进行分类,以便针对不同情况,采取相应的处理方法.孤立奇点分为有限孤立奇点和无穷远奇点两个大类.1.1有限孤立奇点的分类有限孤立奇点包括可去奇点,极点和本性奇点三类¨.].下面介绍这三类奇点的划分依据. 1)可去奇点:孤立奇点满足下列条件之一的就是可去奇点.①Z)在Z.的主要部分为零②Z)在Z.的极限存在,而且是有限数,即:liraf(z)=b≠..(2)③Z)在Z.的去心邻域内有界.2)m级极点:孤立奇点Z.满足下列条件之一的为m级极点.①Z)在Z.的主要部分为有限项,即主要部分为:若+一.+尚,其中(—0)m.(—0)m一(—0)’,’a一≠O,m是正整数,(3)当只有这一项时,称z.为单极点.Z—ZnJ②Z)在Z.的去心邻域可以表示成:z)=,其中A(z)在Z0邻域解析且z—Z0,A(z.)≠O.(4)③Z)的极限为limf(z)=..,(注意:此时仍认为极限存在.)3)本性奇点Z)的孤立奇点是本性奇点的充要条件是:z)在z.的极限不存在,即下面两式同时成立:liraf(z)≠b,(5)limf(z)≠ (6)1.2无穷远孤立奇点与有限孤立奇点分类类似,无穷远孤立奇点也分为上述三类.判定f(z)在..处孤立奇点类型充要条件是:①若limf(z)=b,(7)b是有限数,..点是可去奇点;②若limf(z)=..,(8)Z—+∞满足上式的..点为极点;③limf(z)不存在,则..点是本性奇点.无穷远孤立奇点可以转化为有限孤立奇点来考虑,这只要做变量代换Z=1/w,然后考察W=0是否为孤立奇点及其类型.值得注意的是上面的复变函数极限与单元函数的极限有所不同.单元函数的极限总是在轴上从某点.的两边逼近.,并且在左右极限都存在且相等的情况下才存在;而复变函数极限是指在点Z.邻域内任意方向逼近Z.且各方向的极限都相等的前提下才存在,复变函数极限本质上属于实二元函数的二重极限.除了用极限区分这三类孤立奇点外,还可以根据在这点Z.的罗朗级数展开式来判断.罗朗级数中含因子Z—Z.的负幂项部分称为主要部分.罗朗级数中若无主要部分,则点Z.就是可去奇点;罗朗级数中主要部分为有限项,则点Z.就是极点;罗朗级数中主要部分为无限项,则点Z.就是本性奇点.也就是说,若对罗朗级数乘以一个因子(Z—Z.)(其中m为有限非负整数)后,不再含有主要部分,则Z.为极点或可去奇点;若无论m有多大当罗朗级数乘以因子(Z—Z.)后总有主要部分,则Z.为本性奇点.例如,el/z在z=0是本性奇点,但当我们采用变量变换Z=1/w后,e在W=0处连续根本不是奇点.可见,这种”本性”是从这个复变函数乘以一个因子的有限幂次项无法消除罗朗级数的主要部分这一角度来说的,但决不具有”本身所固有的, 内在的和本质性的几何奇点”的含义.对于一种内在本质属性不应该随变量替换即坐标的选择发生变化.这种与坐标选择有关的属性是非物理的.反之,”本性”应当理解为”物理的本质属性”.把”固有的,内在的和本质的几何奇点”称为物理奇点.下面分析物理奇点与坐标奇点的本质区别.2物理奇点和坐标奇点借助数学奇点的概念,物理上许多分支也涉及到奇点,并且在奇点附近发生一些奇特的物理现象. 奇点即时空中的一点,在该点引力使物质的密度无穷大,体积无穷小,空间和时间被极度的扭曲.在广义相对论中,奇点也是作为一个重要的研究对象,而且将星系的演化,黑洞的形成和宇宙的诞生联系起来.特别是现代宇宙论认为我们现在的宇宙起源于一个奇点..正如上面所提到的,奇点分为物理南昌大学(理科版)2005氲奇点和坐标奇点.物理奇点是系统本身固有的,客观存在的,不会因坐标系的选择而消去的奇点,实质上是本性奇点或称为内禀奇点.而坐标奇点是假奇点,是由于坐标系的选择造成的,它可以通过恰当的坐标变换消去.考察一个物理奇点是否确实存在, 必须采用一个不变量(不会因坐标变换而变化的量,即标量或张量)来衡量,在数学上可以借助黎曼几何的曲率张量来判断.下面以Schwarzchild黑洞为例说明.在广义相对论中,设有一个质量为M而等效半径r的致密恒星,Schwarzchild外部解(亦称为4维度规)为’:ds2:一(1—2GM)dt+(1—2GM)一dr+rdrr+F2sin如(9)上式中没有出现真空中的光速c,实质上取c=1.明显看到该时空中有两个奇点:r=0和r=2GM.现在我们来看这两个奇点是否出现在黎曼曲率张量中.如果黎曼曲率张量里出现了奇点,那么该奇点就是本质的物理奇点,否则属于非本质的坐标奇点. 这是因为黎曼曲率张量是不会因坐标变换而变化的量.通过计算曲率张量R,可得到一些非零分量为R..:一2—GM,(1O)r尺啾:‰:,(11)R2323:2—GM,(12)尺::尺,:一,(13)立刻可以注意到仅只有r=0的奇异性出现在黎曼曲率张量里.更进一步,可计算该度规的曲率标量R:4—8G2M2(14)r由此可见,当r时,曲率标量尺一∞l8J.因此,r=0是本质的物理奇点,而r=2GM是在黎曼曲率张量或曲率标量中并没有奇异性,可以认为它在Schwarzchild坐标里是非本质的坐标奇点.尽管r=2GM不是物理奇点,但在该坐标奇点引起的物理现象曾引起人们错觉.由于度规在这点的奇异性,特规定r=2GM的球面称为Schwarzchild 半径或引力半径.考虑物体在引力作用下从r> 2GM处向中心的径向自由下落的动力学方程::墨,15)dT.2GM,其中t是坐标时间,r是原时.所以当r一(2GM) 时,半一∞,于是得到速度=(16)式中t是远处观察者的时间,上式表明物体不会穿过引力半径.结果是远处观察者永远无法看到自由下落的物体穿过引力半径r=2GMl6].对于光子也是这样.由于光子不能穿过引力半径,故远处观察者看到r<2GM的区域内是黑的.于是,r= 2GM又称为视界面.但是实际上我们研究的观察者不是作为旁观者从远处观察,而是作为探险者随物体下落,r才代表下落的时间,下落速度是_(1,1-.这样通过计算,引力半径是可以穿过的,并且可以在有限的时间内一直落到引力中12,,而没有遇到不可逾越的时空奇点.所以r=2GM处的度规发散而造成黑洞假象,其实是坐标选择不当而带来的,而不是真的遇到了时空奇异点.现在物理学家已经找到坐标变换如Kruskal坐标消去了r=2GM这个奇点].对于坐标奇点,应该尽可能采用”好”的坐标系,以便消去坐标奇点.因为坐标奇点会造成物理假象.并且坐标奇点的存在还将引起数值计算方面的困难,只有消去奇点或小分母问题l9J,才能保证数值计算方法稳定.3结束语复变函数三类孤立奇点中的”本性奇点”并不意味着”本身所固有的,内在的和本质性的几何奇点”,只不过是从这个复变函数乘以一个因子的有限幂次项无法消去这一奇点的角度来说而已.反映物理本质属性的奇点才能认为是物理奇点.利用固有量可以从本质上严格区分坐标奇点与物理奇点. 数学中的许多概念都蕴含一定的物理思想,如微分方程的存在唯一性定理在物理上就是Laplace 决定论的反映.未来的研究将不断挖掘这些物理内核.参考文献:[1]梁昆淼.数学物理方法[M](第三版).北京:高等教育出版社,1995.60—64.[2]钟玉泉.复变函数论[M](第二版),北京:高等教育第3期郑军等:关于奇点类型的讨论?257?出版社,1988.48—52.[3]HuangTY,HanCH,YiZH,eta1.WhatistheAstro—nomicalUnitofLength[J].AstronandAstrop,1995, 298:629—633.[4]TaoJH,HuangTY.TheEclipticinGenerMRelativity[J].AstronandAstrop,1998,333:374—377.[5]WuXinandHuangTian—putationofLyapunov ExponentsinGeneralRelativity[J].PhysLettA,2003,313:77—81.[6]WeinbergS,WeinberyS.GravitationandCosmology[M].NewY orkJohnWiley,Gravitation,Cosmology,JohnWi—ley,1972.168—169.[7]俞允强.广义相对论引论[M],北京:北京大学出版社,1997.105—106.[8]HawkingSW,EllisGFR.TheLargeScaleStructureofSpace—time[M].Cambridge:CambridgeUnivPress,1979.[9]BaumgarteJ,StiefelE.ExamplesofTransformationsIm—provingNumericalAccuracyoftheIntegrationofDifferen? tialEguationsinProceedingsoftheConferenceontheNu—mericalSolutionofOrdinaryDifferentialEquations[M]. Springer—Verlag,1974. ADISCUSSIONOFTYPESoFSINGULARIT皿SZHENGJun,TANZhen?xing(CollegeofScience,NanchangUniversity,Nanchang330047,China) Abstract:Amainmotivationinmathematicalphysicsistostudytherelationbet weenamathematicconceptandphysicalthought.Forthesakeofthispurpose,thispaperdealswithnotonlytherel ationofmathematicalsingulari—tiesandphysicalones,butalsotheirdifferenceinnature.Thetypeofessentialsin gularitybelongingtooneofthree classesofisolatedsingularities,isonlyregardedasatypeofinfinite—orderpola rpoints.Itisclearthatthetype doesnotstandsforphysicalsingularities,However,thesingularityfortheSchw arzchildcoordinateoriginr=0印一pearsintheRiemaniancurvaturetensors.Thisshowsthattheoriginshouldbeattr ibutedtophysicalsingularity.Keywords:mathematicalphysics;isolatedsingularity;coordinatesingularity; physicalsingularity;generalrelativity(上接第253页)STRUCTURALCHARACTERIZA TIoNoFNANo—oXII)E LAYEIINPtMnBASEDSPECULARSPINV AL VESCHENLi—fan (TheCenterforNanoscaleScienceandTechnology,RiceUniversity,Houston, TX77005,USA)Abstract:Asystematicstructurecharacterizationandmechanismofnano—oxi delayers(NOLs)andspecularspin valvesusingX—raydiffractionandhigh—resolutiontransmissionelectronmi croscopy(HRTEM)hasbeenstudied.ThespecularreflectioneffectfromtheNOLswasfoundtoenhanceAR/Rfrom1 2%inthespinvalvewithnoNOLtomorethan15%and17%inthecaseofnaturalandplasmaoxidationoftheNOL, anincreaseinMRratiobymorethan30%.TheplasmaNOLcanprovidemorestrongerelectronspecularef fectthanthenatureNOLonenhan?cingtheMRratio.Meanwhile,theoxygenexposureplaysanimportantroleinN rgeMRratiocallbe obtainedinNOLspecularspinvalvesbyplasmaoxidationprocess.Fabricating NOLswithoutanycrystalstructure degradationiscriticaltoobtatinhighMRratio.HRTEMrevealsthatoxidecluste rsmixingwithinsufficientlyoxi? dizedCoFelayersprevailedinnaturalNOL,andthenaturaloxidationwasinhom ogeneous.Incontrast,plasmaNOLhasathinner,morehomogeneouslyoxidizedCoFelayerswithsharpinterfaces.I nplasmaNOLs,thestructuresstill maintainCoFecrystalstructure.Thestructuresandmagneticcorrelationofthe NOLspecularspinvalvesaredis—cussed.Keywords:nano—oxidelayer;naturaloxidation;plasmaoxidation;CoFecryst al。
动力系统的无穷远奇点及其分析方法
动力系统的无穷远奇点及其分析方法动力系统的无穷远奇点及其分析方法是一种重要的研究领域，一直以来都受到科学家和工程师们的高度关注。
该研究领域是由著名力学家罗伯特萨斯特拉斯利尔威尔特森于上世纪五十年代末提出的，由其它科学家扩展发展而来。
它在动力系统的分析中扮演着重要的角色，包括理解和预测系统在长期内的行为，以及系统性能调整和故障诊断等。
无穷远奇点是指一种动力系统的若干状态量，它们的变化速度趋近于零，但永远不会达到绝对的零点。
在动力系统中，无穷远奇点是一种稳定的状态，因此又称为稳定奇点。
在一定条件下，无穷远奇点可以由特征方程表达，并由此揭示系统行为的特性，使得系统更能从宏观角度更好地进行解析。
无穷远奇点的分析方法包括分析、解析等，它们是动力系统的分析方法的重要组成部分。
分析方法是指将动力系统拆分为多个子系统，并试图揭示每个子系统的行为特性，从而了解整个系统的行为特性。
而解析方法是指采用数学方法来研究系统的行为特性。
无穷远奇点的分析方法主要有两类，一是利用测量数据，基于奇点可拟性理论，采用拟合、参数整定等方法来检测无穷远奇点。
一是基于数学理论，采用复数变换、变坐标等方法来求解无穷远奇点的位置和识别研究结果。
此外，无穷远奇点的分析方法还包括基于计算机的数值求解方法、基于最优化理论的子空间方法和基于继电器论的基本法则等。
通过以上分析，可以看出无穷远奇点的分析方法在动力系统的理解和预测中起到了十分重要的作用，基于多种分析方法可以更好地理解动力系统，从而提高系统的性能。
因此，研究无穷远奇点的分析方法具有重要的现实意义。
总之，无穷远奇点的分析方法是一种重要的研究领域，它关乎系统的行为分析，其分析方法包括分析、解析等方法，以及基于测量数据的可拟性理论，基于数学理论的复数变换、变坐标等方法，基于计算机的数值求解方法，基于最优化理论的子空间方法和基于继电器论的基本法则等方法。
无穷远奇点的分析方法不仅可以促进动力系统的行为分析，而且可用于系统性能调整和故障诊断等，具有重要的现实意义。
5.3解析函数在无穷远点的性质
定理5.4/ (对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m级 极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(1) f(z)在 z=∞的主要部分为
b1z b2 z 2 bm z m (bm 0);
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1
(z 1)( z 2)
g(z) (z 1)( z 2) z 2 1 1 1 2 z z
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补充例 2：求出下列函数的 奇点，并确定他们的类 型（对于极点，要指出它们的 级），对于无穷远点 也要加以讨论。
(1)
f
(z)
z6 z(z2
例4
问函数
1 sec
z 1
在z＝1的去心邻域内能否展开为洛朗级数.
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例5 设f(z)在0<|z-a|<R内解析，且不恒为零；又 若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试证 a必为f(z)的本性奇点。
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定理5.6’(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点∞为本 性奇点的充要条件是下列任何一条成立: (1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂
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不等于零; (2) lim f (z) 广义不存在(即当z趋向于∞
z
时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).
例1 f (z)
5.3解析函数在无穷远点的性质
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复变函数的奇点分类与留数计算
复变函数的奇点分类与留数计算复变函数是数学中一个重要的分支，它研究的是在复数域上定义的函数。
在复变函数中，奇点是一个重要的概念，它指的是函数在某些点上无法定义或者无法取得有限值的情况。
奇点的分类和留数计算是复变函数中的关键概念，本文将从奇点的分类和留数的计算两个方面进行解析。
首先，我们来讨论奇点的分类。
在复变函数中，奇点分为两类：孤立奇点和非孤立奇点。
孤立奇点是指在某一区域内，函数在该点处无定义或者无法取得有限值，并且在该点的邻域内函数是有定义的；非孤立奇点是指在某一区域内，函数在该点以及该点的邻域内无法取得有限值。
进一步，孤立奇点可以分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。
可去奇点是指在该点的邻域内，函数能够通过修正或定义来得到有限值。
极点是指在该点的邻域内，函数无法通过修正或定义来得到有限值，并且函数在该点的邻域内的绝对值趋近于无穷。
本性奇点是指在该点的邻域内，函数无法通过修正或定义来得到有限值，并且函数在该点的邻域内的值无穷集中。
接下来，我们将讨论留数的计算方法。
留数是用于计算复变函数在奇点处的积分的重要工具，也是复分析中的基本内容之一。
对于一个具有孤立奇点的复变函数，留数可以通过以下的计算公式得到：Res(f, z0) = 1/(2πi) * ∮ (f(z)/z-z0)dz其中，z0是函数f(z)的孤立奇点，∮表示沿着奇点所围成的曲线进行积分。
这个计算公式说明了，留数是通过计算函数在奇点附近围成的曲线上的积分来计算的。
对于可去奇点，其留数为0，因为函数在可去奇点附近的积分为0。
对于极点，其留数可以通过计算函数在极点附近围成的曲线上的积分来得到。
对于本性奇点，其留数通常为无穷大或者无穷小。
需要注意的是，计算留数时可以使用洛朗级数展开或者局部积分法。
洛朗级数展开是将函数在奇点附近展开成一系列的项，然后通过计算每一项的系数来得到留数。
局部积分法是通过对函数进行分解，并利用Cauchy积分定理进行计算留数。
孤立奇点类型的极限判别法
孤立奇点类型的极限判别法
孤立奇点类型的极限判别法是数学中用于确定函数在某个点附近奇点类型的一种方法。
具体而言，它可以用来判断函数是否具有可去极限、无穷远点奇点或振荡点奇点。
下面是常见的孤立奇点类型的极限判别法：
1.可去极限（Removable Singularity）：
o如果函数在奇点附近的极限存在且有限，且可以通过对函数进行修正或定义一个新函数使其在奇点附
近连续，则该奇点被称为可去极限。
2.无穷远点奇点（Infinite Singularity）：
o如果函数在趋于某个方向的极限为无穷大或无穷小，且无法通过修正或定义一个新函数使其在奇点附近
连续，则该奇点被称为无穷远点奇点。
o常见的无穷远点奇点类型有水平渐近线奇点、垂直渐近线奇点和极坐标奇点等。
3.振荡点奇点（Oscillatory Singularity）：
o如果函数在奇点附近振荡无法趋近于任何有限的数值，且无法通过修正或定义一个新函数使其在奇点
附近连续，则该奇点被称为振荡点奇点。
上述判别法主要适用于复变函数和一些特殊类型的函数，如级数和积分。
在进行奇点类型判别时，可以运用极限运算、级数展开、洛必达法则、留数定理等数学工具进行分析和计算。
需要注意的是，对于复杂函数或特殊情况，判别奇点类型可能需要更加深入的数学分析和技巧，而上述方法为常见情况的概述。
动力系统的无穷远奇点及其分析方法
动力系统的无穷远奇点及其分析方法近几年来，动力系统的研究不断发展，因而引起了广泛的关注。
在这些研究中，无穷远奇点的概念一直是普遍讨论的一个重要话题。
无穷远奇点是指动力系统中一种特殊到极限的状态，它们可以影响系统的性能和特征。
本文将讨论无穷远奇点在动力系统中的角色，以及采用不同的数学方法进行分析和研究方法。
首先，介绍无穷远奇点在动力系统中的发展过程。
无穷远奇点一般指在一个特定的状态下，系统变量的插值项既满足某种不变的条件，又满足特定的力学变量，这种不变的条件可以是动力系统的位置变量或速度变量。
因此，无穷远奇点有两个重要的性质。
一是极限状态，二是非线性的调节状态。
除了极限状态，无穷远奇点还是一种非线性的调节状态，它可以从各个方向改变动力系统的性能。
在动力系统中，这种非线性调节过程会影响系统的特性，因此无穷远奇点是系统性能诊断和改善的重要参考点。
其次，对无穷远奇点进行数学分析及研究方法进行介绍。
无穷远奇点的数学分析主要基于几何描述、代数表示和数值分析。
在几何描述中，无穷远奇点的位置可以由简单的几何关系表达，例如法向量子使用矢量场图形描述和剖面图查看等方法。
在代数表示中，可以使用不同的代数形式描述无穷远奇点，例如利用线性代数描述椭圆无穷远奇点，或者使用多项式描述螺旋无穷远奇点等。
而数值分析则更复杂，可以采用多种数值计算技术，如蒙特卡洛方法、Penrose-Friedman方法、动力系统时变数值方法等，以提高系统的稳定性，从而更好地控制系统的性能。
最后，介绍如何利用无穷远奇点来改善动力系统的性能。
首先，要分析无穷远奇点涉及的系统变量和求解方法，以找出改善系统性能的潜在问题。
其次，根据实际情况，采用合适的控制策略，通过控制系统参数来改善系统的性能。
例如，通过调节力学系统的参数，以实现系统的稳定性，从而提高系统的性能、可靠性和可控性。
同时，也可以采用分析方法，结合机器学习算法和神经网络算法等，来更好地理解和改善系统性能。
动力系统的无穷远奇点及其分析方法
动力系统的无穷远奇点及其分析方法
近年来，动力系统研究的热潮不断涌起，但它的本质仍不清楚。
随着时间的推移，越来越多的研究者发现，动力系统存在一种特殊的但重要的特性，即无穷远奇点（infinity point，简称IP）。
在动力系统中，IP是一种最密集的点，也是系统中最有意义的，所有的运动学参数都是由IP来定义的。
有了IP，动力系统的动力学性质就可以被很好地描述出来。
首先，我们来看一下IP是如何形成的。
简而言之，它是在一定范围内连续变化的系统动力学参数之间形成的极限。
换句话说，它是一种极限值，即对于一定范围内连续变化的动力学参数，当它们达到极限时，就会形成IP。
其次，我们来讨论一下IP的分析方法。
首先，我们需要就动力系统中的参数范围和变化规律建立数学模型，在此基础上，建立极限条件，确定潜在的IP位置。
接着，我们要确定IP的性质，即何时会出现平衡、何时会出现不平衡、发生什么样的不平衡等等，这些都是我们需要进行分析的内容。
最后，我们需要求解IP的数学表达式，来分析动力系统的性质。
综上所述，无穷远奇点在动力系统中起着十分重要的作用。
它的出现可以更好地描述系统的动力学性质，从而对系统的建模和分析具有重要的指导意义。
另外，无穷远奇点的分析方法也是十分重要的，只有通过其分析，才能真正地了解动力系统的特征，从而为系统的建模提供可靠的理论依据。
因此，动力系统的无穷远奇点及其分析方法
对系统的研究至关重要。
物理学中的无穷性奇点与无限大
物理学中的无穷性奇点与无限大在物理学领域中，我们经常会遇到一些概念和现象，它们超出了我们正常理解的范围，包括无穷性奇点和无限大。
这些概念在描述宇宙和自然规律时起着至关重要的作用，本文将探讨物理学中的无穷性奇点与无限大，并解释它们在不同物理理论中的应用和影响。
无穷性奇点在物理学中，奇点通常指在某种数学描述下出现的特殊情况，这种情况下物理量变得不连续或者发散。
而无穷性奇点则是指当某个物理量达到无限大时出现的特殊情况。
例如，在广义相对论中，黑洞的中心就是一个无穷性奇点，引力和密度在这一点上变为无穷大，通常被称为黑洞的奇点。
另一个著名的无穷性奇点来自于量子力学中的库仑势能函数。
当描述两个带电粒子之间的相互作用时，库仑势能函数表现为的形式，其中为两个粒子之间的距离。
当两个带电粒子距离为零时，库仑势能函数会变为无穷大，这被称为库仑势能函数的奇点。
这种奇点在解释氢原子的结构和性质时起着关键作用。
除了上述例子，无穷性奇点还出现在宇宙学、场论等多个物理学分支中。
例如，在大爆炸模型中，宇宙起源于一个密度和温度均趋于无穷大的奇点，即所谓的“奥尔定点”。
这一奥尔定点是整个宇宙演化过程的起始状态，也是宇宙学热大爆炸理论的基础。
另外，在场论中，一些场方程解可能会包含无穷大或者发散项，这些解被认为是物质或场在某些特定条件下出现了非常极端情况而产生的特殊现象。
尽管无穷性奇点在物理学中扮演着重要角色，并帮助我们理解自然规律背后的数学描述，但在一些情况下也会引发一些问题。
例如，黑洞奇点和大爆炸奥尔定点都伴随着一系列未解之谜和悖论，如信息丢失问题、时间箭头翻转等。
对于这些问题，物理学家们一直致力于寻找统一的理论框架来解释这些奇点背后的物理机制。
无限大与无穷性奇点相似，无限大也是物理学中常见且重要的概念之一。
在描述自然现象时，我们经常会遇到某些物理量趋向于正或负无穷大的情况。
举个简单例子，在牛顿经典力学中，当一个物体受到恒定作用力时，在不考虑其他阻尼和摩擦力情况下，其速度会随时间线性增长而趋向于正无穷大或负无穷大。
高二物理竞赛课件电路判断奇点类型的充要条件
z
1
1z
2
z
1 2 1
z
1 3 1
1 z 1
1
ez
1 z1
1
z2
1
z2
2!
n!
6
四、m 级零点
1 定义
设f z在 z z0 R内解析，不恒为零若，f z能表示成
f z (z z0 )m z，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则z0为f z的m级零点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
和三级零点。
2 充要条件 设f z在z0解析，则
f nz0 0, n 1,2,, m 1,
z0为f z的m级零点
f mz0 0
7
证 如果z0为f z的m级零点, 则有f z (z z0 )m z，
z解析, z0 0, 所以 z在 z0的泰勒展开式为 z c0 c1z z0 c2 z z0 ,
z z0
时,
有
:
zz0
1 2
z0
.
z
1 2
z0
.
f z (z z0 )m z在z0的去心邻域内 0,
而只有f z0 0.
解析函数f z的零点z0是孤立的.
9
例1 找出下列各函数的零点，并判断是几级零点.
1 f z z3 z2 1 2 f z z sinz
解 ⑴ 由于 f z z3 z2 1 z3 z iz i
f z c0z z0 m c1z z0 m1 c2z z0 m2
f z在z0的泰勒展开式的前m项系数都为零.
由 泰 勒 展 开 式 的 系 数 公式 得 :
f n z0 0, n 1,2,, m 1, f m z0 m!c0 0
无穷积分狄利克雷判别法证明
无穷积分狄利克雷判别法证明你有没有想过，数学里那些看起来高深莫测的公式，背后其实藏着无数有趣的故事？今天，我们就来聊聊一个看似深不可测的话题——无穷积分。
你听过“狄利克雷判别法”吗？这可是解决无穷积分收敛性问题的法宝，尤其在求解一些难度颇高的积分时，简直就是拯救之神。
我们就用最轻松的方式，聊聊这个有点神秘的判别法，保证你能懂得一清二楚。
先说说什么是“无穷积分”。
其实就是那些被积分区间包围在无穷大或无穷小的积分。
比如你看那种从零到正无穷，或者从负无穷到正无穷的积分。
普通的定积分，我们习惯了，算来算去，结果很明确，最终的值也不大出乎意料。
但是到了无穷积分，问题就来了。
你看，无穷大在数学上可不是个小事，怎么让这个“无限”的东西变得有“边界”，这就是我们今天要聊的重点。
那狄利克雷判别法怎么解释的呢？狄利克雷的思路特别简单也特别聪明。
他说，你不需要每次都算出具体的积分值，只要知道积分的某些行为，就能判断它到底是“收敛”还是“不收敛”。
你可以把它理解成一种“心灵感应”，你不需要看结果，但凭直觉就能感受到它的趋势。
听起来是不是有点悬乎？但真的是这样，狄利克雷判别法就像是有一种“超能力”，能快速告诉你一个无穷积分是一个什么样的东西。
这个“判别法”到底怎么用呢？简单来说，如果你要证明一个无穷积分收敛或者发散，只要找到一个与它类似、能够比对的函数就行。
比如，假设你有一个从1到无穷的积分，积分里面是一个和x相关的复杂函数。
你根本不需要把这个函数积分出来，光凭它的“形状”和你手头上已经知道的类似函数，就可以判断它是否能收敛。
就像你走进一个屋子，第一眼就能判断出是个新房子还是二手房——直觉告诉你的一切，才是最重要的！狄利克雷判别法的核心其实就在于对比。
你拿自己手头的这个复杂积分，找一个比较简单、大家都知道的积分形式，比如“1/x^p”这种常见的函数。
你看看这个简单的函数它在类似的无穷区间上是怎样表现的，和你那个复杂函数比一比。
奇点 数学中的概念
奇点数学中的概念
凡是有变化的物体，都有可能经过一定的处理，最终到达一个点，被称为奇点。
它们可能是因果上的极点，也可能是数学上的局部极点或全局极点。
奇点通常具有一定的特征，例如形状，速度，变化率或方向。
要探索奇点，可以使用特定的函数，例如坐标函数，随机变量函数，复平面函数等等。
研究可能是关于点的属性的描述，例如稳定性，变形，复杂性，反复等等。
变形方程和非线性系统通常需要求解奇点，以研究系统的性质。
为了识别或定位奇点，数学模型可以识别出被认为是极值点的特定特征和函数值。
5.3解析函数在无穷远点的性质
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铃
令z/=1/z,根据(5.12),则有 (z') f ( 1 ) f (z)
z'
(z) cnzn f (z) bn z n (5.13)
n
n
其中 bn cn (n 0,1,).
(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}: 0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 (z')在z’=0
结束
铃
(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成
f (z) zm (z),
其中(z) 在z=∞的邻域N内解析,且 ( 0);
(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m级零点(只要令g(z)=0).
定理5.5’(对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点∞为
极点的充要条件是 lim f (z) . z
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点),
m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.
设在去心邻域K-{0}:0<|z’|<1/r内将 ( z ' ) 展成罗朗级数: (z') cn z'n n
例4
问函数
1 sec
z 1
在z＝1的去心邻域内能否展开为洛朗级数.
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例5 设f(z)在0<|z-a|<R内解析，且不恒为零；又 若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试证 a必为f(z)的本性奇点。
奇点的判断方法
奇点的判断方法一、引言奇点是指函数在某个点处不满足某些条件的情况，这个点被称为奇点。
在数学、物理等领域都有广泛的应用，因此判断奇点的方法也非常重要。
本文将介绍几种常见的判断奇点的方法。
二、导数法导数法是最常用的判断奇点的方法之一。
具体步骤如下：1. 对函数进行求导；2. 分析导数在奇点处是否存在；3. 如果存在，则该点为奇点；如果不存在，则该点不是奇点。
例如，对于函数f(x) = 1/x，在x=0处进行求导，得到f'(x) = -1/x^2。
由于在x=0处f'(x)不存在，因此x=0是函数f(x)的一个奇点。
三、极限法极限法也是判断奇点常用的方法之一。
具体步骤如下：1. 对于给定函数，在奇点附近取一个序列；2. 分析该序列是否存在极限；3. 如果存在，则该点为非孤立奇点；如果不存在，则该点为孤立奇点。
例如，对于函数g(x) = sin(1/x)，在x=0附近取序列{1/n}，则当n趋近于无穷大时，g(1/n)趋近于0。
因此，x=0是g(x)的一个非孤立奇点。
四、级数法级数法也是判断奇点常用的方法之一。
具体步骤如下：1. 对于给定函数，在奇点附近进行泰勒展开；2. 分析泰勒展开式中是否存在发散项；3. 如果存在，则该点为非孤立奇点；如果不存在，则该点为孤立奇点。
例如，对于函数h(x) = ln(x)，在x=0处进行泰勒展开，得到h(x) = -∞ + x - x^2/2 + ... 。
由于存在发散项-∞，因此x=0是函数h(x)的一个非孤立奇点。
五、图像法图像法也是判断奇点常用的方法之一。
具体步骤如下：1. 画出函数的图像；2. 分析图像是否在某个点处出现断裂或垂直；3. 如果存在，则该点为奇点；如果不存在，则该点不是奇点。
例如，对于函数i(x) = |x|/x，在x=0处分母为0，因此该点可能是一个奇点。
画出i(x)的图像后发现，在x=0处出现垂直，因此x=0是i(x)的一个奇点。
解析函数的孤立奇点类型判断及应用讲解
解析函数的孤立奇点类型判断及应用摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。
解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。
本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。
并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。
关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算前言在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。
目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。
但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。
本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。
此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。
在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。
在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。
通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。
(E_2)恰有一个无穷远奇点的充要条件
(E_2)恰有一个无穷远奇点的充要条件
孙宝法
【期刊名称】《安徽教育学院学报》
【年(卷),期】2001(19)6
【摘要】本文给出二次系统恰有一个无穷远奇点的充要条件
【总页数】3页(P3-5)
【关键词】二次系统;无穷远奇点;Poincare';充要条件
【作者】孙宝法
【作者单位】电子工程学院教研部
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.关于无穷远点奇点类型判断的几点讨论 [J], 樊晓香
2.(E2)恰有一个无穷远奇点的充要条件 [J], 孙宝法
3.具有无穷远奇点的Z2-等变平面七次哈密顿向量场的全局相图及其分类(Ⅰ) [J], 李艳梅
4.平面n次多项式系统无穷远奇点的一个性质 [J], 韩莉
5.二维系统无穷远点奇点的判定 [J], 顾圆圆
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高中物理：无穷远在何处？无穷远在物理学中有什么意义？怎样界定无穷远？
高中物理：无穷远在何处？无穷远在物理学中有什么意义？怎样界定无穷远？在高中物理中有几处提到“无穷远”，如：物体在离地球无穷远时，其重力势能为零；两个点电荷之间的距离为无穷远时相互作用力为零，电势能也为零；从无穷远射来的光束可以看作平行光；氢原子的核外电子由基态跃迁到无穷远时要吸收13.6eV的能量；……无穷远在物理学中有什么意义？怎样界定无穷远？1、力学中的无穷远太阳系的半径约为几百亿千米，即太阳的引力半径为几百亿千米，在这个距离以外的物体受太阳对它的引力很小或忽略不计，则对于太阳系来说几百亿千米以外就是无穷远。
这里所说的是把太阳系当作一个系统，讨论系统内力时，太阳的引力就是太阳系里起决定作用的力。
地球吸引月球和众多的人造卫星，使它们绕着地球旋转，地球的引力作用范围有多大？如果不考虑太阳和其它星体的影响，把地球看作孤立系统，从地球上把人造卫星发送出去，卫星要离地球多远才不受地球的引力或引力可以忽略不计呢？经科学计算，这个距离大约是一亿千米，大约是地球半径的15000倍，是月球到地球距离的250倍。
那么对于地球来说，一亿千米远处就可以看作无穷远。
我们说物体在离地球无穷远时，其重力势能为零，就是指物体受地球的引力可以忽略不计。
然而，在天文学中，一亿千米和几百亿千米都是很小的数目，天文学中常用的一光年约千米。
2、电学中的无穷远在测量两个点电荷的作用力时，要想测得精确，就要在真空中进行。
一般人造真空的空间不过几米，大的也就几十米，而人为得到的净电荷的电量也不会很大，所以在研究点电荷的作用力时，若两个点电荷相距100m以上，它们之间的相互作用力就可以忽略了。
3、光学中的无穷远以凸透镜为例。
当物体位于无穷远处时将成像在焦点处。
光学成像规律是近似的。
平行光通过凸透镜不是聚于焦点一点，而是在焦点附近的一个小区域。
如果像点与焦点相距很近，这时的物距可视作无限远。
如取v=1.001f时，由成像公式可求得u=1001f，若f=10cm，则u=100m；如取v=1.01f，由成像公式可求得u=101f，若f=10cm，则u=10m。
复变函数奇点判断
复变函数奇点判断
复变函数的奇点判断可以通过以下几种方法进行：
1. 极限判别法：计算函数在奇点附近的极限。
如果极限存在且有限，则奇点是可去奇点；如果极限不存在或为无穷大，则奇点是极点；如果极限为无穷大，则奇点是本性奇点。
2. 函数的解析性：判断函数在奇点附近是否可以展开为幂级数，如果可以，则奇点是可去奇点；如果不能展开为幂级数，则奇点是本性奇点。
3. 函数的奇异性：在奇点附近进行函数的积分，如果积分结果为有限值，则奇点是可去奇点；如果积分结果为无穷大，则奇点是本性奇点。
4. 零点判别法：计算函数在奇点附近的零点个数，如果有有限个零点，则奇点是可去奇点；如果有无穷个零点，则奇点是本性奇点。
需要注意的是，奇点的判断需要综合考虑以上方法的结果，并且在具体问题中可能需要使用多种方法来判断奇点的性质。
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２ ０ １ ４ 年 １ １ 月 第 ３ ２卷 第 ６期
合肥 师范学院学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｅ ｆ ｅ ｉ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
ＮＯ Ｖ ． ２ ０ １ ４
Ｖｏ １ ． ３ ２ ＮＯ ． ６
关于 无 穷远 点奇 点类 型判 断 的几 点讨 论
樊 晓 香
（ 合肥师范学 院数学与统计学院 ， 安 徽 合肥 ， ２ ３ ０ ６ ０ １ ）
点， 那 么 ２一 ∞是 ｆ （ ２ ）的可去 奇点 （ 解 析点 ） 、 ｍ 阶 极 点 或本质 奇 点 。
（ １ ） 定义 ： 设 函数 厂（ ） 在 无 穷远 点 的 去 心邻 域 Ｎ一 ｛ ｏ ｏ ｝ ： ０≤ ｒ＜ Ｊ ｆ ＜＋ Ｏ ０ 内解 析 ， 则称点 ｏ 。 为
厂 （ ）的孤 立奇点 。
解： 解 １ ＋ 一 ０， 得 有 限奇 点 ｚ 一（ ２ ｋ ＋１ ）
（ 忌 一 ０， ± １， … ）。
讨论 。 １ 奇 点
的孤 立 奇 点 。此 时 ，厂（ ｚ ）的 洛 朗 展 式 为 幂 级 数
厂 （ ｚ ） 一 ∑ ２ （ ｏ Ｉ ｚ Ｉ ＋ｏ 。 ） ， 可以根据主要部
分（ 正幂 ） 的项 数作 分类 。
例 １考查 ． 厂 （ ） ＝ （ ２一 ｅ ） （ 。 ＋１ ）， 判断 ０ ０ 的 奇点 类 型 。 解： 厂 （ ）为整 函数 ， 且 为 三次 多项式 ， 故２ 一。 。
这里 要 注意 所 谓 Ｌ 厂 （ ）在 点 Ｏ Ｏ 解析 ， 是指 Ｏ Ｏ 为 厂（ ｚ ）的可 去奇 点 ， 且 定义 ｆ（ ｏ ｏ ） 一ｌ ｉ ｍｆ（ ｚ ）。
（ ２ ） 两类 特殊 函数 如 果给 出 的复变 函数是 下 面讨论 的两类 特 殊 函
由于 当 ｋ 一０ ０ 时， 一ｏ ０ ， 故点 ｏ ｏ 是 厂（ ）的非
奇点 。函数奇点 分 为 有 限奇 点 与 无 穷远 点 （ 由于 函
数 ． 厂 （ ｚ ）在 点 Ｏ ０ 总 是 无 意 义 的， 所以点 。 ｏ 总 是 ．
＋ 塞
（ ０ ＜ ｌ ｚ ＋ １ ｌ ＜ ＋ ∞ ）
可 以看 出 ， ． 厂 （ ２ ）在 一 ０ ０ 的主要 部分 （ 正幂 ） 有
［ 摘
要］在 复变函数 中， 判定函数的奇点及其类型是一个难点 ， 尤其是抽 象、 理想的点一一 无 穷远点 ， 而在 应用留数 定理
解 决积分 问题 中， 它又显得 十分重要 ， 针对这一 点， 本文通过三种方法来讨论无穷远点奇点类型的判断 。 ［ 关键词 ］无穷远 点； 奇点 ； 洛朗展 式
［ 收稿 日期］２ ０ １ ４ ０ ７ — １ ０ ［ 作者简介］樊晓香（ １ ９ ８ ０ 一 ） ， 女， 安徽合肥人 ， 合肥师范学 院数学 与统计学 院教师 。主要研究方向是复变函数理论 。
８ ２
０ 进行 考查 。 的 一 ０的去心邻域 Ｋ一 ｛ ０ ｝ ： ０ ＜ Ｉ ｝ ＜ 内解 ０
［ 中图分 类号］Ｏ１ ７ ４ ． ５
［ 文献标识码］Ｂ
［ 文章 编号］１ ６ ７ ４ — ２ ２ ７ ３ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６ — ０ ０ ８ ２ — ０ ２
在平 面上 除 了已有 的复数 外 ， 借 用测 地投 影法 ， 建立 复平 面与球 面 上 的 点 的对 应 ， 引人 ～ 个 假 想 的 理想 点— ～无 穷 远 点 ， 记作 ： ０ ０ ， 它 在球 面 上 对应 着 北极 点 Ｎ 。这里 的无 穷 远 点 Ｏ ０ 不 是像 微 积 分 中那 样把 它看作 符 号 ， 而 是看 作 一 个 确 定 的点 。在 复变 函数 中 ， 判 定无 穷远 点 的奇 点类 型是 学 生 们 常感 到 困难 且容 易 出错 的问题 。本 文将给 出该 问题 的几 点
无穷 多项 ， 所 以 ＝ ∞为 － 厂 （ ）的本质 奇点 。
厂 （ ）的奇 点 ） ， 其 中 又 分 为 孤 立 奇 点 与 非 孤 立 奇
点 。而孤 立奇 点根 据 函数 在奇 点去 心邻 域 内洛 朗展
式 的主要 部分 的项 数 ， 又可分 为可 去奇 点 、 极 点 与本 质奇 点 。 ２ 。 。 奇 点类 型判 断 的几点 讨论
为 厂（ ）的三 阶极 点 。
例 ２考查 ｆ（ ｚ ） ＝ ＝ ＝ ｌ ＋ｅ 州 ， 判断 ｏ 。 的奇 点类 型 。
解： ＿ 厂 （ ）为整 函数 ， 又因 － 厂 （ ｚ ＞的洛 朗展式 为
若 函数 （ ｚ ） 在点 ｚ 。 不 解析 ， 但 在 。 的任一邻
域 内总 有 ｆ（ ｚ ）的解 析 点 ， 则 称 为 函数 ． 厂 （ ）的
（ ｉ ｉ ） 若 训一－ 厂 （ ｚ ） 在 平 面 上 有 一 列趋 于无 穷
远 点 的奇点 ， 则ｏ 。 为 厂（ ）的非 孤 立 奇 点 。在 这 种
情况中， 当奇 点被 全部 列 出时 ， 就 可 以直接 判断 了。
例 ３考查 （ ） 一 ， 判断 ∞的奇点 类 型 。
孤 立奇 点 。
（ ３ ） 一般 解 析 函数 （ 异 于上 面两类 的函数 ）
（ ｉ ） 利用 倒数 变换 ２ 一
数， 则可 对点 Ｏ ０ 类 型 直接判 断 。
（ ｉ ） 若 叫 一 厂（ ） 为 整 函数 ， 则 一 ∞为其 唯一
于 是 （ ｚ ） 一ｆ （ １ ） 一－ 厂 （ ｚ ） 在ｚ 平 面 上 原 点
析 。故 可将 讨论 厂 （ ｚ ）在 点 ∞处 的奇 点 性 质 问题 转 化 为 （ ） 在２ 一０ 处 的奇 点 问题 。即如果 一 ０
中
由 于 ／ （ ） 一
ｆ 上 １ 。
一 （ 高 ） ， 其
是 （ ｚ ）的可去 奇点 （ 解析点） 、 阶极 点 或本 质奇