第一章 傅里叶分析
傅里叶分析及其应用
D (x,y)uxE (x,y)uyF (x,y)uf(x,y)
的微分方程。
半线性方程
主要类型
拟线性方程
完全非线性
CHENLI
24
第四章 在偏微分方程中的应用
求解原理 傅里叶变换
F(t) f(x)eitxdx
傅里叶逆变换
f(x) F(t)eitxdt
CHENLI
31
结论
对于Fourier分析的意义和作用，应当给予相当 高度的评价。Fourier分析随着在自身领域的不断 发展，同时，也影响着其他广阔的学科领域，从另 一个角度看，也是对Fourier分析和其以外相关学 科的一种促进与丰富，很多领域的突破和研究进步 都与傅里叶分析或多或少的相关。
并趋近于0。
CHENLI
30
第四章 傅里叶分析在偏微分方程中的应用
由于技术问题N>2时,无法用matlab显示出，目前 还不清楚原因。综上所述，应用傅里叶变换得到了 一种比较简单的迭代方法，而其数值模拟结果也显 示解析解和数值解基本吻合，结果也能比较快速的 收敛并且随着维数的增加迭代次数也在减少。
之后验证，通过Fourier变换、Fourier逆 变换所得的解确实为原方程的解，即解满 足波动方程，亦满足初始条件
CHENLI
21
第四章 在偏微分方程中的应用
实例，1-维波动方程柯西问题
1-维的波动方程Cauchy问题可以表示为：
2u x2 u (x,
2u t2
0) f
(
x
)
u
t
(
应用傅里叶变换的微分性质,可得：
N2 ( U 2U)eitxdx
傅里叶光学第1章 傅里叶分析
x, y x, ydxdy 0,0
x, y 是检验函数；要求检验函数是连续的、在一个有限区间
外为零，并具有所有阶的连续导数。
1、一些常用函数
✓ 函数的常用性质
a) 筛选性质
x x0, y y0 x, y dxdy x0, y0
b) 对称性
(x) (x)
c) 比例变化性质 d) 与其他函数的乘积
(x
x0 )
1
|
|
(x
x0
)
(
x
x0 b
)
b
(x
x0 )
f (x, y) (x x0, y y0 ) f (x0, y0 ) (x x0, y y0 )
1、一些常用函数
1、一些常用函数
✓二维情况
Байду номын сангаас
(x n, y m) comb xcomb y
n m
n
m
(x
na,
y
mb)
1 ab
comb
x a
comb
y b
应用
常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
9）梳状函数( Comb function)
✓一维情况 沿x轴间隔为1的无穷个脉冲函数的和 沿x轴间隔为的无穷个脉冲函数的和
Comb(x) (x n)
n
Comb(x
n
)
傅里叶详解——精选推荐
傅⾥叶详解⼀、傅⽴叶变换的由来关于傅⽴叶变换，⽆论是书本还是在⽹上可以很容易找到关于傅⽴叶变换的描述，但是⼤都是些故弄⽞虚的⽂章，太过抽象，尽是⼀些让⼈看了就望⽽⽣畏的公式的罗列，让⼈很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从⽹上看到⼀个关于数字信号处理的电⼦书籍，是⼀个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国⼈写的，写得⾮常浅显，⾥⾯有七章由浅⼊深地专门讲述关于离散信号的傅⽴叶变换，虽然是英⽂⽂档，我还是硬着头⽪看完了有关傅⽴叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟⼤家分享，希望很多被傅⽴叶变换迷惑的朋友能够得到⼀点启发，这电⼦书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从⽹上下载下来看⼀下，URL地址是：/doc/cd0f731fbe23482fb5da4c19.html /pdfbook.htm要理解傅⽴叶变换，确实需要⼀定的耐⼼，别⼀下⼦想着傅⽴叶变换是怎么变换的，当然，也需要⼀定的⾼等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅⽴叶级数变换是傅⽴叶变换的基础公式。
⼆、傅⽴叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅⽴叶变换？傅⽴叶是⼀位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了⼀篇论⽂，运⽤正弦曲线来描述温度分布，论⽂⾥有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由⼀组适当的正弦曲线组合⽽成。
当时审查这个论⽂的⼈，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗⽇(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论⽂时，拉格朗⽇坚决反对，在近50年的时间⾥，拉格朗⽇坚持认为傅⽴叶的⽅法⽆法表⽰带有棱⾓的信号，如在⽅波中出现⾮连续变化斜率。
傅里叶级数课件分解
与
在
上可积, 且
则称
与
在பைடு நூலகம்
上是正交的, 或在
上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在
上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数
之间的关系.
定理12.2 若在[-π,π]上
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
光滑弧段所组成,它至
收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在
该点的左、右极限的算术平均值
而当 f 在点 x 连续时,则有
即此时f的傅里叶级数收敛于
. 这样便有
上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在
上收敛
于 f .
推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在
上每一点都存在
, 如果在不连续
点补充定义
, 或
, 则
还有
(iii) 在补充定义
在
上那些至多有限个不存在
导数的点上的值后 ( 仍记为
),
在[a, b]上可积.
从几何图形上讲, 在
区间[a, b]上按段光滑
光滑函数,是由有限个
多有有限个第一类间
断点 (图15-1).
时,
于是当
当 时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ).
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函
数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
定理 12.1 若级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
傅立叶分析_图文
脉搏、语音及图像信号的傅里叶分析一、实验简介任何波形的周期信号均可用傅里叶级数来表示。
傅里叶级数的各项代表了不同频率的正弦或余弦信号，即任何波形的周期信号都可以看作是这些信号（谐波）的叠加。
利用不同的方法，可以从周期信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位。
也可依据信号的傅里叶级数表达式，将各次谐波按表达式的要求叠加得到所期望的信号。
二、实验目的1、了解常用周期信号的傅里叶级数表示。
2、了解周期脉搏信号、语音信号及图像信号的傅里叶分析过程3、理解体会傅里叶分析的理论及现实意义三、实验仪器脉搏语音实验仪器，数字信号发生器，示波器四、实验原理1、周期信号傅里叶分析的数学基础任意一个周期为T 的函数f(t)都可以表示为傅里叶级数： 00010000000001()(cos sin )21()()1()cos()()1()sin()()n n n n n f t a a n t b n t a f t d t a f t n t d t b f t n t d t ππππππωωωωπωωωπωωωπ∞=---=++===∑⎰⎰⎰ 其中0ω为角频率，称为基频，0a 为常数，n a 和n b 称为第n 次谐波的幅值。
任何周期性非简谐交变信号均可用上述傅里叶级数进行展开，即分解为一系列不同次谐波的叠加。
对于如图1所示的方波，一个周期内的函数表达式为:(0t<)2() (-t 0)2h f t h ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：0100041()()sin(21)21411(sin sin 3sin 5)35n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞==--=+++∑ 同理：对于如图2所示的三角波，函数表达式为：4t (-t <)44()232(1) (t )44h T T f t t T T h T π⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：1202100022281()(1)()sin(21)21811(sin sin 3sin 5)35n n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞-==---=-++∑图1 方波 图2 三角波从以上各式可知，任何周期信号都可以表示为无限多次谐波的叠加，谐波次数越高，振幅越小，它对叠加波的贡献就越小，当小至一定程度时(谐波振幅小于基波振幅的5%)，则高次的谐波就可以忽略而变成有限次数谐波的叠加，这对设计仪器电路是很有意义的。
傅立叶分析
傅里叶分析像傅里叶级数，傅里叶变换以及它们离散时间相应部分构成了信号处理的基础。
为了便于这类问题的分析，MATLAB 提供了函数fft,ifft,fft2,ifft2和fftshift 。
这类函数集执行一维和二维离散傅里叶变换及其逆变换。
这些函数允许人们完成很多信号处理任务。
除此之外，还可在可选的信号处理工具箱中得到其他扩展的信号处理工具。
14.1 快速傅里叶变换F(k)=FFT{f(n)}F k f n e j nk N n N ()()/=-=-∑201π k =0,1,,N -1因为MATLAB 不允许零下标，所以移动了一个下标值。
F k f n e j n k N n N ()()()()/=---=∑2111π k =1,2,N ，相应的逆变换为： f n FFT F K f n NF k e j n k N k N (){()}()()()()/==----=∑121111π n =1,2,,N 为了说明FFT 的使用，考虑估计连续信号的傅里叶变换的问题。
f t e t ()=≥⎧⎨⎩-1203 t 0 t <0解析上，该傅里叶变换为：F w jw()=+123 虽然在这种情况下，由于知道了傅里叶变换的解析结果，再运用FFT 没有多大的实用价值，但这个例子说明了对不常见的信号，特别是那些解析上难以找到傅里叶变换的信号，一个估计傅里叶变换的方法。
下面的MATLAB 语句用FFT 估计F(w)，并且用图形把所得到结果与上面的解析表达式的结果进行比较：>>N=128; % choose a power of 2 for speed>>t=linspace(0, 3, N); % time points for function evaluation>>f=2*exp(-3*t); % evaluate the function and minimize aliasing:f(3)~0>>Ts=t(2)-t(1); % the sampling period>>Ws=2*pi/Ts; % the sampling frequency in rad/sec>>F=fft(f); % compute the fft>>Fp=F(1 : N/2+1)*Ts;仅从F 中取正频率分量，并且乘以采样间隔计算F(w)。
第一章 傅里叶分析
第一章主要内容
1、常用函数
2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论， 包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方 法和线性系统理论。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
x y Circ r0
2 2
应用
1 0 x 2 y 2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数 * 8）斜坡函数( Ramp function) 定义 应用
x x0 常用来表示边界透过率的灰阶变化。 0, x x0 b b ram p( ) x x0 x x0 b , b b b
( x n, y m) comb x comb y
n m
( x na, y mb)
1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
1、一些常用函数
二维高斯函数
Gauss( x x0 y y0 x x0 y y0 , ) Gauss( )Gaus( ) b d b d
第1章 傅立叶(Fourier)分析
第1章 傅立叶（Fourier ）分析小波分析是在傅立叶分析的基础上发展起来的。
因此，为了深入了解小波的由来和发展，理解小波分析的概念、实质以及它的优点，有必要回顾和适当展开讲解我们熟悉的傅氏分析，并指出它存在的问题，为后面讲小波作铺垫。
1.1 函数（模拟信号）的傅氏级数1. 物理背景在实际问题中，以π 2为周期的复杂的波都可以用以2π为周期的函数（模拟信号）f (t )来描述；f (t )可分解为不同频率、不同振幅和不同位相的谐波信号，表达式如下：∑∑∑∞=∞=∞=+=θ+θ=θ+=00sin cos sin cos cos sin )sin()(n n nn n n n n n n n ntb nt antA nt A nt A t f (1.1)其中，)sin(n n nt A θ+称为第n 次谐波，A n 表现振幅，n 表现频率，n θ表现相位。
式（1.1）的实质是将f (t )在正交的三角函数系（也称基底）上展开，也就是谱分解。
利用三角函数系在2π上的正交性，可得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=⎰⎰∑ππ-ππ-∞=.,2 ,1,d sin )(1 , ,1 ,0,d cos )(1),sin cos (2)(00 n t nt t f n b n t nt t f n a nt b nt aa t f n n n n n(1.2) 只要对式（1.2）的自变量t 作变换，令,2x T t π=就可得到以T 为周期的函数（模拟信号）的傅氏级数，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====++=⎰⎰∑--∞=T n t t n t f nb ,, , t,n t n f(t)T a t n b t n a a t f T T nT T n n n n /2Δ, ,2 ,1,d Δsin )(110d Δcos 2),Δsin Δcos (2)(2/2/2/2/0πωωωωω (1.3) 称式（1.3）中的a n 、b n 为傅氏系数。
信息光学chap1傅里叶分析
a
0
x2 + y2 circ a
1.1.7 高斯函数
Gaussian Function
Gaus(x) = exp(-px2) Gaus(0) = 1 S=1 是非常平滑的函数,即 各阶导数均连续.
Gaus(x)
x
0
二维情形:
Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)] 可代表单模激光束的光强分布
1.1.8复指数函数 Complex exponential function
Aexp(j)=Acos + jAsin
w = 2p
A 0 对于简谐振动， = 2p t
：振子的位相角
推广到二维：
Aexp[j 2p (fxx+fyy)]
注意
以上定义的函数，其宗量均无量纲。在处理实际 问题时，要根据所取的单位采用适当的缩放因子。 例: 以 rect(x) 代表单缝。若x单位为cm，则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝。若x单位为mm， 则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝。
当n=k，二者定义域和值域都一样。左边＝右边。 证毕。 例题2：写出下图函数g (x)的表达式。
g(x)
1
………
b 0 x0
……….
x
写出第一个δ函数的表达形式: 写出第n个δ函数的表达形式:
d ( x - x0 )
d ( x - x0 - nb)
0
写出g(x)的表达形式:
n -
d (x - x
一维矩形函数定义
x - x0 1 x - x0 1, rect ( ) a 2 a 0, 其它
傅立叶光学第一章总结
第一章 傅里叶分析第一章内容为傅里叶光学课程的数学基础。
主要介绍了δ函数的定义及其相关性质，由δ函数引申出梳状函数。
介绍了其他一些常用函数：阶跃函数、符号函数、矩形函数、三角形函数、sinc 函数、高斯函数和圆域函数等，主要用于表述振幅透过率或者光强分布等。
重点讲解了以上常用函数的傅里叶变换以及傅里叶变换的主要性质。
另一个重要内容是卷积与相关性，它们在后续的学习中均有十分重要的应用。
δ函数：常用于描述点质量、点电荷、点光源等在某一坐标系中高度集中的物理量。
○1筛选性：()()()0000,,d d ,x x y y x y x y x y δφφ∞--=⎰⎰ ○2比例变换性：()()1,,ax by x y abδδ= ○3与普通函数乘积：()()()()000000,,,,f x y x x y y f x y x x y y δδ--=--梳状函数：常用于对其他函数作等间距抽样。
○1()()n comb x x n δ∞=-∞=-∑ ○2()1n x comb x n δτττ∞=-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ ○3与普通函数乘积：()()()1n x f x comb f n x n τδτττ∞=-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑卷积：()()()(),,,,d d f x y h x y f h x y ξηξηξη∞*=--⎰⎰○1展宽：一般卷积的宽度等于被卷积函数宽度之和； ○2平滑化：被卷积函数经卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除。
相关：包括自相关与互相关。
互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度；自相关是同一函数自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度。
对于周期函数（满足狄里赫利条件），可以将其展开为傅里叶级数形式，包括三角傅里叶级数和指数傅里叶级数；它的傅里叶系数是频率的函数，称为频谱函数，是离散的。
对于非周期函数，可以作傅里叶变换，它的频谱函数是连续的。
主要讨论傅里叶变换：空间域 ()()(),,exp 2d d x y x y x y g x y G f f j xf yf f f π∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰ 频域 ()()(),,exp -2d d x y xy G f f g x y j xf yf x y π∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰ 卷积定理：()(){}()()()(){}()(),,,,,,,,x y x yx y x yg x y h x y G f f H f f g x y h x y G f f H f f *==*常见傅里叶变换对：见课本p39。
傅立叶光学习题解答及参考答案
第一章 傅里叶分析部份习题解答及参考答案[1-1] 试分别写出图X1－1中所示图形的函数表达式。
图X1-1 习题[1-1]各函数图形解：(a)−∧L x x a 0 (b) () ∧−−L x b a L x a 2rect(c) ()x L x a sgn 2rect (d) x L x cos 2rect[1-2] 试证明下列各式。
(1) += 21comb 21comb x x- (2) ()()x i e x x x πcomb comb 2comb +=(3)()()()x x N x N ππsin sin lim comb ∞→= (4) ()()xx x πωδωsin lim ∞→=(5)()()∫∞∞−=ωωπδd cos 21x x (6)()ωπδωd 21∫∞∞−±=x i e x解：(1)原式左端∑∑∞−∞=∞−∞=+−−=−−=m n m x n x 12121δδ 令()1−=m n=−+=∑∞−∞=m m x 21δ右端 (2)()∑∑∞−∞=∞−∞=−=−= n n n x n x x 2222comb δδ n 2只取偶数()()∑∞−∞=−=m m x x δcomb()()πδδππm m x e m x e x m im m x i cos 2comb ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=当=m 奇数时，()()0comb comb =+xi ex x π；当=m 偶数时，令n m 2=，则12 cos =x π，并且有： ()()()∑∞−∞=−=+n n x x x 22e comb comb xi δπ 得证。
(3)由公式(1-8-7)知：()∑∞−∞=−=n nxex π2i comb上式可视为等比级数求和，其前N 项之和为：()()()()()x Nx e e e e e e e e q q a S x i x i x i Nx i Nx i Nx i x i Nx i N N ππππππππππsin sin 1111221=−−=−−=−−=−−−−−− 所以 ()()()x Nx S x N N N ππsin sin limlim comb ∞→∞→==得证。
傅里叶光学第一章(1).
1, x 0 sgn( x) 0, x 0 1, x 0
其几何图形如右图所示。
(1 2)
符号函数与某函数相乘时，可使 x<0部分函数的极性 (正负号 )改变 。例如某孔径的一 半嵌有π位相板，可利用符号函数来描述它的复振幅透过率。
sgn( x-x0)则表示间断点移到x=x0的符号函数。
5) sinc函数
sinc 函数定义为：
x sinc( ) a
sin(
x
其几何图形如右图所示。
a x a
)
(1 6)
式中 a>0 ，函数在原点具有最大值 1。零点位置在 x=±na (n sinx ＝1，2，3…)处。当a=1时，有 sinc(x) 。它的零点位 x 于x=±1，±2，…。 二维sinc函数可以表示为
数相乘时，可限制函数自变量的范围，起到截取的作用，故又
常称之为“门函数”。
第1章 傅里叶分析
4) 三角形函数 三角形函数定义为：
x x 1 , x a t ri( ) a a 0, 其他
其几何图形如右图所示。
（ 1 - 5）
式中，a >0，函数以原点为中心，是底边宽为2a的三角形。当a= 1时，三角形函数为 tri(x)。 二维三角形函数可表示为一维三角形函数的乘积，即：
1, x x0 1 ste p ( x x0 ) , x x0 2 0, x x0
函数step(x-x0)表示间断点移到x0的阶跃函数。它和某函数相 乘，x >x0 的部分，乘积等于原函数；x<x0的部分，乘积恒为零。
第1章 傅里叶分析
2) 符号函数 符号函数定义为：
Step(x)
傅里叶分析是什么
二
正弦波是怎样定义的？
二
频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
二
矩形波，在频域里的另一个模样了：
二
二
回顾一下：
世界是静止的
本课内容：
什么叫频域
傅里叶级数的频谱
下一节课：
傅里叶级数的相位谱
一、神马叫频域
二、傅里叶级数的频谱 三、傅里叶级数的相位谱 四、傅里叶变换
前 言
不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析
不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式
傅里叶分析的公式
复杂
一
我们看到的世界都以时间贯穿
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
用另一种方法来观察世界
世界是永恒不变
这个静止的世界就叫做
频域
一
随时间变化的震动
对音乐家来说就是这样
所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
一
为什么说世界是永恒的？
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会 下的摆动，就如同一支股票的走势
在频域，只有那一个永恒的音符。
你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际 只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
主要贡献是在研究《热的传播》和《热的分析理论》 时创立了一套数学理论，对19世纪的数学和物理学的 发展都产生了深远影响。
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶
——生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿， 被当地一主教收养。 1780年起就读于地方军校， 1795年任巴黎综合工科大学助傅立叶的家乡-欧塞尔教，1798年随拿破仑军队远征埃及， 受到拿破仑器重， 1801年回国后被任命为伊泽尔省格伦诺布尔地方长官， 1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、 拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝， 1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表， 1817年因传热理论的贡献当选为巴黎科学院院士， 1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》，傅里叶应用三角级数求解热传导方 程，为了处理无穷区域的热传导问题又导出了当前所称的“傅里叶积分”，极大地推动 了偏微分方程边值问题的研究，迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不 连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。 1830年5月16日卒于法国巴黎。
第一章习题解答及参考答案
∫
−∞
sin (ωx ) d x =1 πx x
又有
ω x ω sin π ( ω π x ) = ω sin c ω sin = π (ω π x ) π πx π π sin (ωx ) ∞ = ω →∞ πx 0 lim x=0 x≠0
∞
∞ ∞ x comb eiπx = ∑ δ ( x − m )eimπ = ∑ δ ( x − m )cos mπ 2 m = −∞ m = −∞
当 m = 奇数时， comb( x ) + comb( x )e
iπx
=0；
∞
当 m = 偶数时，令 m = 2n ，则 cos 2πx = 1 ，并且有：
1 2 1 − 2
dξ = 1 5 −x 2
3 5 ≤ x ≤ 时(见图(c)), 2 2
∫1Biblioteka 2 x−2dξ =④ 当x>
5 1 和 x < − 时，重叠面积等于零。 2 2
卷积后所得图形如附图 1-3 所示。
附图 1-3 习题[1-5](2)卷积结果的函数图形
[1-6]试用卷积定理计算下列各式。 (1) sinc ( x ) ∗ sinc ( x ) (2) F sinc ( x ) sinc ( 2 x )
∞ 1/ 2 x − ξ −1 x − ξ −1 x −1 dξ = ∫− ∞ rect(ξ ) rect dξ = ∫−1 / 2 rect 2 2 2
其中
x − ξ − 1 1 x − 2 ≤ ξ ≤ x rect = 2 其他 0 1 1 1 1 3 1 ≤ ξ ≤ ；当 ξ = − 时有 − ≤ x ≤ ，而当 ξ = 时有 2 2 2 2 2 2
傅立叶积分变换
第一章 傅里叶积分变换所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种 变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：()()ττF dt t f t k ba−−→−⎰记为),(这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 .数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.1．傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理：定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ⎛⎫-⎪⎝⎭上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有()()∑∞=++=10sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)其中()dt t f T a TT T ⎰-=2201,()() ,2,1cos 122==⎰-n tdt n t f T a TT T n ω,()() .2,1sin 122==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于()()20000-++t f t f T T .又2cos φφφi i e e -+=,ie e i i 2sin φφφ--=,.于是()∑∞=--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=10222n t in t in nt in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω 令,200a c =2n nn ib a c -=, 2n n n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则 ()∑∞-∞==n tin nT ec t f ω()()2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明n c 可以合写成一个式子 ,即()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c t in TT T n ω. (3)2．傅里叶积分任何一个非周期函数 ()t f , 都可看成是由某个周期函数()t f T 当T →+∞时转化而来的. 即()t f T T ∞→=lim ()t f =.由公式(2) 、(3)得()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221,可知()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim , 令1,--=∆=n n n n n ωωωωω,则T πω2=或nT ωπ∆=2 .于是()()t i n TT i TT n n e d e f T t f ωτωττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ()n t i n T T i T n n n e d e f ωττπωτωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰∞-∞=--→∆22021lim , 令()()t i i TT T n T n n e d e f ωτωττπωφ][2122--⎰=,故()t f ()nn nTn ωωφω∆=∑∞-∞=→∆0lim. (4)注意到当,0→∆n ω即∞→T 时,()()t i i n n T n n e d e f ωτωττπωφωφ][21)(-+∞∞-⎰=→. 从而按照积分的定义，（4）可以写为：()t f ()⎰+∞∞-=ωωφd ，或者()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21. (5)公式（5）称为函数()t f 的傅氏积分公式.定理1.2 若()t f 在(-∞, +∞)上满足条件:(1) ()t f 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) ()t f 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即()dt t f ⎰+∞∞-收敛, 则（5）在()t f 的连续点成里; 而在()t f 的间断点0t 处应以()()20000-++t f t f 来代替.上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当()t f 满足傅氏积分定理条件时，公式(5) 可以写为三角形式，即()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=-⎰⎰∞+∞+∞-.,200,]cos [1其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ(6)上一节介绍了：当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21.从上式出发，设()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰= (1)则()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21 (2)称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为()=ωF F ()}{t f .称(2)式，即()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为()t f =F 1-[()t f ].(1)式和(2)式，定义了一个变换对()ωF 和()t f 也称()ωF 为()t f 的像函数；()t f 为的原像函数 ,还可以将()t f 和()ωF 用箭头连接: ()t f ↔()ωF .例 1 求函数()t f ⎩⎨⎧≥<=-0,0,0t e t t β的傅氏变换及其积分表达式其中 0>β.这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.解:根据定义, 有()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰==dt e e t i t ωβ-+∞-⎰0=dt e t i ⎰+∞+-0)(ωβ=ωβi +1=22ωβωβ+-i . 这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21ωωβωβπωd e i ti ⎰+∞∞-+-=2221注意到t t eti ωωωsin cos +=， 上式可得()t f ()ωωωωβωβπd t i t i sin cos 2122++-=⎰+∞∞-=ωωβωωβπd tt ⎰+∞++022sin cos 1. 因此⎪⎩⎪⎨⎧>=<=++-∞+⎰.0,,0,2,0,0sin cos 022t e t t d t t t βππωωβωωβ 例2 求()t f =2t Ae β-的傅氏变换其中 0,>βA ---钟形脉冲函数.解: 根据定义, 有()()dt et f F ti ωω-+∞∞-⎰==dt e Ae t i t ωβ-+∞∞--⎰2,=βω42-Aedt Aei t ⎰∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22βωββωβπ42-=Ae .这里利用了以下 结果：()02>=⎰∞+∞--βωπβdx e x . 2．傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式()∑∞-∞==n t in n T e c t f ω,()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21,以及n c 和()ωF 的表达式()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c tin TT T n ω,()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=,由此引出以下术语： 在频谱分析中, 傅氏变换()ωF 又称为()t f 的频谱函数, 而它的模()||ωF 称为()t f 的振幅频谱(亦简称为谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱,因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然，振幅函数()||ωF 是角频率ω的偶函数, 即()||ωF ()||ω-=F ,()||ωF 的辐角()ωF arg 称为相角频谱, 显然()ωF arg ()()⎰⎰∞+∞-+∞∞-=tdtt f tdt t f ωωcos sin arctan ,相角频谱()ωF arg 是ω的奇函数.例3 求单个矩形脉冲函数()t f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤,2,0,2,a t a t E 的频谱图.解：()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=dte E t i a a ω--⎰=222sin222ωωωωa Ea a e i E ti =--, 频谱为()||ωF =|2sin2|ωωa E. 请画出其频谱图.以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
第一部分傅里叶分析习题解答及参考答案
第一章 傅里叶分析部份习题解答及参考答案[1-1] 试分别写出图X1－1中所示图形的函数表达式。
图X1-1 习题[1-1]各函数图形解：(a)−∧L x x a 0 (b) () ∧−−L x b a L x a 2rect(c) ()x L x a sgn 2rect (d) x L x cos 2rect[1-2] 试证明下列各式。
(1) += 21comb 21comb x x- (2) ()()x i e x x x πcomb comb 2comb +=(3)()()()x x N x N ππsin sin lim comb ∞→= (4) ()()xx x πωδωsin lim ∞→=(5)()()∫∞∞−=ωωπδd cos 21x x (6)()ωπδωd 21∫∞∞−±=x i e x解：(1)原式左端∑∑∞−∞=∞−∞=+−−=−−=m n m x n x 12121δδ 令()1−=m n=−+=∑∞−∞=m m x 21δ右端 (2)()∑∑∞−∞=∞−∞=−=−= n n n x n x x 2222comb δδ n 2只取偶数()()∑∞−∞=−=m m x x δcomb()()πδδππm m x e m x e x m im m x i cos 2comb ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=当=m 奇数时，()()0comb comb =+xi ex x π；当=m 偶数时，令n m 2=，则12 cos =x π，并且有： ()()()∑∞−∞=−=+n n x x x 22e comb comb xi δπ 得证。
(3)由公式(1-8-7)知：()∑∞−∞=−=n nxex π2i comb上式可视为等比级数求和，其前N 项之和为：()()()()()x Nx e e e e e e e e q q a S x i x i x i Nx i Nx i Nx i x i Nx i N N ππππππππππsin sin 1111221=−−=−−=−−=−−−−−− 所以 ()()()x Nx S x N N N ππsin sin limlim comb ∞→∞→==得证。
傅立叶分析理论郑作亚
对称性
• 对称性：如f(t)是绝对可积的，其傅立叶 变换为F(w), • 1) 如果f(t)是实的偶函数，F(w)是实的偶 函数； • 2）如果f(t)是实的奇函数，F(w)是实的 奇函数； • 3）如果f(t)是虚的偶函数，F(w)是虚的 偶函数； • 4）如果f(t)是虚的奇函数，F(w)是实的 奇函数；
SPAN 3-7-2007
• 一般正交函数系
• 最小均方误差 • 贝塞尔不等式与平均收敛 • 所谓完备，就是对于任何属于某一领域内的 函数，在区域内都可以表示成傅立叶级数展 开的形式。 • 正交系是完备系的充要条件是任何平方可积 函数的傅立叶级数平均收敛到该函数。 • 完备系的特性 • 1）唯一性 • 2）正交性 SPAN • 3）级数展开性
SPAN 3-7-2007
1.1 傅立叶级数
• 形式：矩形形式定义的周期函数的傅立叶级数，
2kt 2kt f (t ) [ Ak cos( ) Bk sin( )] T T k 0
2 Ak T 2 Bk T
• K=0时，
3-7-2007
T /2
T / 2 T /2
2kt f (t ) cos( ) dt T 2kt f (t ) sin( ) dt T
SPAN
T / 2
• 指数形式表达的傅立叶级数，该形式更接 近函数的傅立叶变换表达式。三角锯齿函 数和方波函数等。 • 当讨论傅立叶级数时要注意的问题： （1） 函数必须满足什么条件，才能保证傅立叶 级数系数的积分表达式存在？ • （2）如果能确定积分表达式存在，是否能 用已有的积分技术以解析的方式求解？ • （3）如果积分存在，也能求解，当用这些 系数把级数的各项加到一起，能否保证它 们收敛到生成函数。 SPAN
1傅里叶分析解析
1傅里叶分析解析傅里叶分析是一种重要的数学工具，用于分析和描述周期性信号及其频谱。
在物理学、工程学和数学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍傅里叶分析的基本原理和方法，并探讨其在不同领域的具体应用。
傅里叶分析的基本原理是基于傅里叶级数展开定理，即任意周期信号都可以表示为一组正弦和余弦信号的叠加。
根据傅里叶级数展开定理，一个周期为T的连续信号f(t)可以表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0、an和bn是待定系数，ω=2π/T是信号的角频率。
为了求解这些系数，需要利用傅里叶变换的方法，将连续信号f(t)转化为连续频率域的表示。
傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，通过将信号分解为不同频率的正弦和余弦信号，得到信号在频域的幅度和相位信息。
在连续傅里叶变换中，信号f(t)的傅里叶变换F(ω)给出了信号在频率域的表示，其中：F(ω) = ∫[f(t)*exp(-jωt)]dt其中，j是虚数单位。
类似地，对于离散信号，可以使用离散傅里叶变换和离散傅里叶级数展开来进行分析。
离散傅里叶变换是对信号采样后的离散版本进行频域分析，而离散傅里叶级数展开则将离散信号表示为一组离散频率上的正弦和余弦波的叠加。
傅里叶分析的应用广泛，下面将介绍一些具体的应用。
1.信号处理：傅里叶分析在信号处理中有广泛的应用，例如，可以通过傅里叶变换将时域上的声音信号转换为频域上的频谱图，用于音频压缩、滤波和降噪等处理。
2.图像处理：傅里叶变换也可以应用于图像处理，将二维图像转换为频域上的频谱图，用于图像增强、去噪和特征提取等。
3.通信系统：傅里叶分析在通信系统中起到重要作用，例如，信号可以通过傅里叶变换转换为频谱图后，可以对信号进行调制、解调和信道编码等操作。
4.物理学：傅里叶分析在物理学中也有广泛的应用，例如，可以用于分析光谱、原子和分子结构以及量子力学等问题。
5.工程学：在工程学中，傅里叶分析可以用于分析和处理信号和系统的特性，包括控制系统、电路和通信系统等。
傅里叶分析1
A y st
例1
1 1 2 / 2
3.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。
求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知
0.5
P
24 EI P sin t 解. k 11 l3 l P Pl 3 y st k 11 24 EI 1 4 1 2 / 2 3
l
=1
11
解: y st
1 1 Pl l 5 5 Pl l EI 2 2 2 6 48 EI 1 4 1 2 / 2 3 3 5 Pl A y st 36 EI
l
=1
11
I mA
5 P 48
2
mA
1 2 A 4 4 11
Q 35 kN , P 10 kN , n 500 转 / 分 .
m
l 0 . 722 10 7 m/N 48 EI 1 重力引起的弯矩 M Q Ql 35 kN 4 3 重力引起的位移 Q Q 11 2 .53 10 m
解.
11
3
(t ) m y y (t ) P sin t
2
例2：图示机器与基础总重量W=60kN，体系自振周期44.27s， 基 础 下 土 壤 的 抗 压 刚 度 系 数 为 cz=0.6N/cm3 ， 基 础 底 面 积 A=20m2 。当机器运转产生 P0sinθt， P0=20kN ，转速为 400r/min ，求振幅及地基最大压力。
3
29 Pl 48
P
5 P 48
5 Pl 96 动弯矩幅值图
例:求图示体系右端的质点振幅
P sin t
P m o
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( x n, y m) comb x comb y
n m
( x na, y mb)
1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
x, y x, y dxdy 0,0
x, y 是检验函数；要求检验函数是连续的、在一个有限区间 外为零，并具有所有阶的连续导数。
第二节 函数
2. 函数的常用性质
1) 筛选性质
x x , y y x, y dxdy x , y
折叠
取反
与f(x)关于x轴
倍乘
y方向幅度变 化
a>1, 在x方向展宽a倍与f(x)关于y轴 a<1, 在x方向压缩a倍镜像对称
镜像对称
复习 常用函数的变型
例: f(x)={
x, 0<x<1 0 其它
f(x)
求 f(-2x+4)
0 1x
解： f(-2x+4)
先折叠
包含折叠、压缩、平移
再压缩 最后平移
二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
第一节 一些常用函数
4）三角形函数 (Triangle function) 定义
x x a x 1 tri a a 0 others
f ( x) comb( ) f ( x) ( x n )
1
x
n
n
f (n ) ( x - n )
应用：利用梳状函数对普通函数作等间距抽样
f (x ) x 0 comb(x)
.
0
x
=
x 0
第二节 函数
3.二维梳状函数
n m
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学》
第一章 傅里叶分析
主讲教师：刘 毅
太原理工大学物理与光电工程学院
本章主要内容
一．常用函数 二．函数
三．卷积
四．相关
五．傅里叶级数
六．傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论，
包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方法
f ( x, y) ( x x0 , y y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
任意函数与 函数的乘积是幅度变化了的 函数
( x0 , y0 )
点处连续
第二节 函数
4) 可分离变量
( x, y) ( x) ( y)
5) 对称性
2 2 2 x, y lim N 2 exp N x y N
x, y lim N 2 rect Nx rect Ny
N
x, y lim N 2 sin c Nx sin c Ny
第一节课复习
常用函数 矩形函数 定义 图像 光学意义
1 x rect a 0
2 others
x a
单峰、双缝、矩孔 的复振幅透过率
三角形函数
x x a x 1 tri a a 0 others
x sin x a sinc x a a
sin c(
x x0 y y0 x x0 y y0 , ) sin c( ) sin c( ) b d b d
第一节 一些常用函数
6）高斯函数 (Gauss function) 定义
x 2 x Gaus exp a a
第二节 函数
2）普通函数序列极限形式的定义 函数的另一种定义是可以把函数看作是宽度逐渐减小、 高度逐步增大但体积保持为1的一个脉冲序列的极限：
( x ) lim Nrect( Nx )
N
( x ) lim N exp( N 2 x 2 )
N
第二节 函数
二维
应用
常用来表示光瞳为矩形的非相干成 像系统的光学传递函数。
底宽为2a，高度为1，曲线下面积为a
第一节 一些常用函数
二维三角形函数
tri(
x x0 y y 0 x x0 y y0 , ) tri ( )tri ( ) b d b d
第一节 一些常用函数
5）sinc函数 (Sinc function) 定义
N
定义
x, y lim g n x, y
n
lim g n x, y 0, x 0, y 0
n
g x, yBiblioteka dxdy 1n第二节 函数
3）广义函数的定义
函数的运算要通过积分作用于另一个函数才能得到定值，它是一 种“广义函数”。把函数当作广义函数给出比较严格的定义：
-1/2 0 1/2
-1/2 1 rect() 0 1/2
3. 将一个rect(-)移位至给定的x, rect[-( -x)]= rect(x -) 4. 二者相乘;乘积曲线下面积的 值 即为g(x).
1 -1 0 g(x) x 1
-1/2
0 1/2 x-1/2 x x+1/2
|x| >1; g(x) = 0 -1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x 0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
1） 幅度趋于无穷大，宽度极窄的一种 物理量的理想化模型（狄拉克提出）
应用
常用函数代表点质量、点电荷、点脉 冲、点光源或者其他在某一坐标系中 高度集中的物理量。
二维空间δ 函数的一般定义
x 0, y 0 x, y 0 x, y dxdy 1
光瞳为矩形的非相 干成像系统的光学 传递函数
sinc函数
狭缝、矩孔的夫琅 禾费衍射图样
圆域函数
x2 y 2 circ a
1 0
x2 y 2 a others
圆孔、圆屏的透过 率
第一节课复习
函数的定义
x 0, y 0 x, y 0 x, y dxdy 1
f(-x) -1 0 x
f(-2x) -1/2 0 x 0
f(-2x+4) 3/2 x
第一节 一些常用函数
1）阶跃函数 (Step function) 定义
1 x 0 1 step x x0 2 0 x 0
应用
如同一个“开关”，可在某点“开 启”或“关闭”另一个函数，常用 来表示直边（或刀口）的透过率。
( x) ( x)
练习：计算 1. sinc(x) (x) 3. sinc(x) (x-1) 2. sinc(x) (x-0.5) 4. (3x+5) (x+3)
2、 函数
二、梳状函数( Comb function)
1.一维梳状函数定义
沿x轴间隔为1的无穷个脉冲函数的和
comb( x)
第一节课复习
梳状函数
comb( x)
n
( x n)
应用：利用 梳状函数对 普通函数作 等间距抽样
x comb ( x n ) n 1
第三节 卷积
一、卷积的定义
g ( x, y) f ( x, y)* h( x, y) f , h x , y d d
第一节 一些常用函数
7）圆域函数 (Circle function) 定义
x2 y 2 Circ r0 1 0 x y r0
2 2
应用
常用来表示圆孔的透过率。
others
第二节 函数
一 函数定义和性质( function)
1. 函数定义
卷积通常具有展宽的作用
x 1 x x tri rect rect a a a a
第一节 一些常用函数
2）符号函数 (Sign function) 定义
1 x 0 sgn x 0 x0 1 x 0
应用
Sgn(x-x0)表示间断点移到x0的符号 函数，当它与某函数相乘，可使函 数x<x0部分的函数极性改变。
相位板的振幅透过率
第一节 一些常用函数
1 f x 0
x0 others
折叠
位移
相乘、积分
练习: 计算 rect(x)*rect(x)
2. 将rect()折叠后不变;
第三节 卷积 tri x rect x rect x
1 rect() 1 rect()
1. 改变积分变量，画出两个rect()
x sin x a sin c x a a
应用
常用来描述狭缝或矩形孔的夫琅和 费衍射图样。
附: sinc2函数
零点位置：
x na n 1,2,3,L
sinc (x) sinc2(x) 1
0 -1 1 x
第一节 一些常用函数
二维sinc函数
n
( x n)
n为整数
沿x轴间隔为 的无穷个脉冲函数的和
n
( x n )