第三章 土体中的应力计算(1-3节)
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第3章 土体中的应力计算
1. M(x、y、z)点的应力： ( 、 、 )点的应力：
3P z3 3P σz = ⋅ 5 = ⋅ cos3 θ 2π R 2π R2 3P z2 x 3Px τzx = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3 3P z2 y 3Py τzy = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3
mn 1 n2 ] * ⋅[ − 2π m2 + n2 (1+ n2 ) m2 + n2 +1
同理，可以求得最大荷载角点下任意深度z处 的竖直附加应力σz 为： σz = α tc' p0 = (α c- α tc) p0 （3-7）
3P z5 P 3 σz = = 5 z2 2π R 2π
5
其中 = x2 + y2 + z2 R
(3-3)
P =α P 2 2 z2 ( r z) +1 z 1
(3-4)
其中α = α (r/z)称为集中荷载作用下的应力分布系数 具体的α 值见教材p79表3.5.1
b
图3-11 矩形面积上作用 三角形分布时角 点下的附加应力
根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点 引起的竖向附加应力dσz为：
3p0 xz3 dσ z = 2π b x2 + y2 + z 2
(
)
5
dxdy
2
将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形 荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度 z处所引起的竖直附加应力σz为： σz = α tc p0 （3-6） 式中 α tc =
y z
x
图3-4
2. 与材料力学比较 与材料力学比较（用摩尔圆解决问题时）
土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
第3章-土应力计算
z z1 z 2
2 均布荷载时， p0 2kN / m
2 三角形荷载时， p0max 98 2 96kN / m
35/74
A点附加应力计算表格
均布荷载时 p0=2.000kN/m2 Kz1 3 0.6 0.234 z1 (kN/m2) 0.468 三角荷载时
Z(m)
z
3/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
沿水平面均匀分布，且与z成正比，即随深度 按直线规律分布。
天然地面 σcz
cz
cz z
σcz= z
z
cy
cx
1 1
z
4/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
cz i hi
i 1
n
天然地面
2/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
研究目的：确定土体的初始应力状态。 研究方法：土体简化为连续体，应用连续体 力学(例如弹性力学)方法来研究土中应力的 分布。
假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质 均匀，天然重度为 (kN/m3)，则在天然地面下任 意深度z(m)处的竖向自重应力 cz (kPa)可取作用于 该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量 z l 计算 即： cz
p II I z M
III IV
o
III IV
o
II I
z K cⅠ KcⅡ Kc Ⅲ K cⅣ p
25/74
均布矩形荷载下任意点的应力计算
计算点在基底边缘 II I
o
o
z K cⅠ KcⅡ p
计算点在基底边缘外
o III I
土力学——3 土中应力
土力学王丽琴西安理工大学土建学院岩土工程研究所第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算卓越班作业：P 124，1～4，6，7；水工班作业：P 67-68，1，2，4，5本课程中所有计算均可取g=10m/s 2土中应力第三章强度问题变形问题地基中的应力状态应力应变关系土力学中应力符号的规定应力状态自重应力附加应力基底压力计算有效应力原理建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力。
所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的应力。
建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。
本章问题：如何计算地基中的应力？第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算一、土力学中应力符号的规定xσzσxzτz xτxσzσxzτz xτ材料力学+-+-土力学正应力剪应力拉为正压为负顺时针为正逆时针为负压为正拉为负逆时针为正顺时针为负③均匀、各向同性体（土层性质变化不大时）②线弹性体（应力较小时）①连续介质（宏观平均）ν、E 与(x, y, z)无关与方向无关碎散体非线性弹塑性成层土各向异性Δσεe p e e线弹性体加载卸载二、土的应力-应变关系的假定理论方法——弹性力学解→求解“弹性”土体中的应力——解析方法→优点：简单，易于绘成图表等三、地基中常见的应力状态yzxo1.空间应力状态——三维问题x e y e xy γyz γγxzγγyxγe ij e =x σy σxy τyz ττxzττyxτσij σ=xσy σxyτyzτz xτzσ王丽琴主讲2. 轴对称三维问题▪应变条件▪应力条件▪独立变量：x y z;e =e e x y z;σ=σσxy yz zx ,,0τττ=xy z x y z,;,σ=σσe =e e x e y e xy γyzγγxz γzy γyx γz e ij e =x σy σxy τyzττxzτzy τyx τzσij σ=000000000y xy yz zx ,,0γγγ=000xσy σxyτyzτz xτzσyσxσzσ一般三维应力状态:三轴应力状态：123σ≥σ≥σ123σ≥σ=σ忽略中主应力的影响理论研究和工程实践中广泛应用zxo3. 平面应变条件——二维问题xσy σxyττz xτzσxσzσxzτz xτ;0y =e 0;0zx yz yx ≠γ=γ=γ●沿长度方向有足够长度，L/B≥10；●垂直于y 轴切出的任意断面的几何形状均相同，其地基内的应力状态也相同；●平面应变条件下，土体在x,z 平面内可以变形，但在y 方向没有变形。
土力学-第三章地基中的应力计算1
σ z : τ zy : τ zx = z : y : x
P σz = k ⋅ 2 z
3 1 3 1 k= = 2 5/ 2 2π [1 + (r / z) ] 2π [1 + tg2β ]5/ 2
查表3 查表3－1
集中力作用下的 应力分布系数
z
σ x τxy τxz σ ij = τyx σ y τyz τzx τzy σ z
∞ ∞ ∞ ∞
σ y σ z τ yx 学关于力的方向的规定
τzx
材料力学
σz +
正应力
剪应力 顺时针为正 逆时针为负
-
τzx
土力学
σz +
τxz
2. 竖直集中力作用下的附加应力计算 根据布辛涅斯克解
3 P 3P z3 2 cos β = σz = 2 2 πR 2π R5
3P yz2 τzy = 2π R5 3P xz2 τzx = 2π R5
R 2 = r 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2
3P z3 3 1 P σz = = 5 2π R 2π [1 + (r / z)2 ]5/ 2 z2
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
算例分析
某地基的地 质剖面如图 所示，求各 层土界面上 竖向的自重应 力，并画出分 布图。
答案： 根据土层和地下水位将上述地质剖面分为4层 根据土层和地下水位将上述地质剖面分为 层
γ ′ = γ sat − γ w σ 0z = 0 σ 1 z = γ 1 h1 = 17.5kPa
γ xy = γ yz = γ zx = 0
第3章土中的应力计算汇总
第3章⼟中的应⼒计算汇总第三章地基中的应⼒计算§3-1 概述⼀、⼟体应⼒计算的⽬的：1、⽤于计算⼟体的变形，如建筑物的沉降；2、⽤于验算⼟体的稳定，如边坡的稳定性。
⼆、相关的概念1、⽀撑建筑物荷载的⼟层称为地基。
2、建筑物的下部通常要埋在地下⼀定的厚度，使之坐落在较好的地层上。
由天然⼟层直接⽀撑建筑物的称为天然地基3、软弱地基其承载⼒和变形不能满⾜设计要求，经加固后⽀撑建筑物的称为⼈⼯地基。
4、⽽与地基相接触的建筑物底部称为基础。
5、与建筑物基础底⾯直接接触的⼟层称为持⼒层。
6、将持⼒层下⾯的⼟层称为下卧层。
7、分类：（1）⼟体的应⼒按引起的原因分为⾃重应⼒和附加应⼒；⾃重应⼒——在未建造基础前，由⼟体⾃⾝的有效重量所产⽣的应⼒。
附加应⼒——由于建筑物荷载在地基内部引起的引⼒。
由外荷（静的或动的）引起的⼟中应⼒。
（2）按⼟体中⼟⾻架和⼟中孔隙（⽔、⽓）的应⼒承担作⽤原理或应⼒传递⽅式可分为有效应⼒和孔隙应（压）⼒。
有效应⼒——由⼟⾻架传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒——由⼟中孔隙流体⽔和⽓体传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒分为：静孔隙应⼒和超静孔隙应⼒。
对于饱和⼟体由于孔隙应⼒是通过⼟中孔隙⽔来传递的，因⽽它不会使⼟体产⽣变形，⼟体的强度也不会改变。
由于⼟层有其特殊的性质，作为地基的⼟层在上部荷载作⽤下将产⽣应⼒和变形。
从⽽给建筑物带来⼀系列⼯程问题，最主要的是地基的稳定问题和变形问题。
如果地基内部产⽣的应⼒在途的强度所允许的范围内时，⼟体是稳定的；反之，如果地基内部某⼀区域中的应⼒超过了⼟的强度，那么，哪⾥的⼟体将发⽣破坏，并可能会引起整个地基产⽣滑动⽽失去稳定，从⽽导致建筑物倾倒。
如果地基⼟的变形量超过了允许值，即使⼟体尚未破坏，也会造成建筑物毁坏或失去使⽤价值。
因此，为保证建筑物的安全和正常使⽤，设计时必须对地基进⾏强度和稳定性分析并计算基础的沉降量。
为此，就要研究在各种荷载作⽤下地基内部的应⼒分布规律。
《土力学》第三章土体应力计算
x
z
0
y x z
▪独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x, z)
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij=
x 0xy xz 0yx yy 0yz
zx 0zy z
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
§3 土体中的应力计算
§3.1 应力状态及应力应变关系 §3.2 自重应力 §3.3 附加应力 §3.4 基底压力计算 §3.5 有效应力原理
§3 土体中的应力计算
z
§3.1 应力状态及应力应变关系
一. 土力学中应力符号的规定
zx
∞
地基：半无限空间
o
y z
∞
xy
x
y yz
∞
x
ij=
x xy xz yx y yz
▪应变条件
▪应力条件
z
x y; z xy , yz , zx 0
x y; z xy , yz , zx 0
zx
▪独立变量：x y , z ; x y , z
xy
x
y yz
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z
ij=
x 0xy 0xz 0yx yy 0yz
二. 地基中常见的应力状态
4.侧限应力状态——一维问题
o x
yz
•水平地基半无限空间体； •半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关； •土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件； •任何竖直面都是对称面
A
B
sA sB
▪应变条件
y x 0; xy yz zx 0
第3章 土体中的应力计算
Chapter
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
第3章土体中的应力
基础底面处由于建造建筑物而增加的压力，等于基础底 面实际受到的压力减去原有压力（一般为自重应力）
p0 p D
(3-13)
3.4 地基中的附加应力 Section 4 Increased stress in foundation
3.4.1 附加应力的空间问题 Spacial problem of additional stress
2P pmax 3KL B K e 2
(3-10)
2. 条形基础（L>10B）(Strip footing)
p max
min
P1 6e 1 B B
(3-11)
3.3.3 偏心斜向荷载 Eccentric inclined load
1. 铅直向基底压力 Vertical Contact pressure
p( x , y ) My P Mx y x A Ix Iy
LB 3 Iy 12
(3-8)
BL3 Ix 12
单向偏心时（例如 x 轴）
p max
min
P 6e 1 A B
(3-9)
讨论（Discussion）： B 基底压力分布为梯形（Trapezoid） e 6 B 基底压力分布为三角形（Triangular） e 6 B 基底一侧的压力将出现零值，基底压力分布仍为 e 6 三角形（Triangular）
i 1
图3-1 土体中的自重应力分布
竖直向自重应力：土体中无剪应力存在，故地基中Z深 度处的竖直向自重应力等于单位面积上的土柱重量
• 均质地基：
• 成层地基：
sz z
sz
地面
i Hi
1 H1 2 H2 3 H3 sy
p0 p D
(3-13)
3.4 地基中的附加应力 Section 4 Increased stress in foundation
3.4.1 附加应力的空间问题 Spacial problem of additional stress
2P pmax 3KL B K e 2
(3-10)
2. 条形基础（L>10B）(Strip footing)
p max
min
P1 6e 1 B B
(3-11)
3.3.3 偏心斜向荷载 Eccentric inclined load
1. 铅直向基底压力 Vertical Contact pressure
p( x , y ) My P Mx y x A Ix Iy
LB 3 Iy 12
(3-8)
BL3 Ix 12
单向偏心时（例如 x 轴）
p max
min
P 6e 1 A B
(3-9)
讨论（Discussion）： B 基底压力分布为梯形（Trapezoid） e 6 B 基底压力分布为三角形（Triangular） e 6 B 基底一侧的压力将出现零值，基底压力分布仍为 e 6 三角形（Triangular）
i 1
图3-1 土体中的自重应力分布
竖直向自重应力：土体中无剪应力存在，故地基中Z深 度处的竖直向自重应力等于单位面积上的土柱重量
• 均质地基：
• 成层地基：
sz z
sz
地面
i Hi
1 H1 2 H2 3 H3 sy
第三章-土体中的应力计算
3P z 3 z 5 2 R
式中
P z K 2 z
为竖向集中力作用竖向附加应力系 数（查表）。
§3 土体中的应力计算
P z K 2 z
特点
§3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 K 2 [1 (r / z )2 ]5 / 2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小 5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
6.σz 等值线－应力泡
P
P
球根 应力 球根
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P
cy
假设土体为均匀连续介质，并为半无限空 间体，在距地表深度z处，土体的自重应力 为：
cz = z
自重产生的水平应力将在土压力计算部分 介绍。
若地基由多层土所组成
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
i 1
n
i i
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
z K s zp x K s xp xz K s xz p
y
B
x
z
x
z
M
x z s s Ks , K , K F ( B , x , z ) F ( , ) F( m , n ) z x xz B B
3土中的应力计算
σcx＝K0 σcz = K0 γ z
第三章 土中应力计算 3.2 土的自重应力
二、成层土中自重应力
土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力，计算时， 土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力，计算时，对地下 有效自重应力 水位以下土层必须以有效重度 代替天然重度 为简便起见， 天然重度。 水位以下土层必须以有效重度γ ' 代替天然重度。为简便起见，常把竖 简称为自重应力， 表示。 向有效自重应力σcz简称为自重应力，并以符号σc表示。 若地基是由多层土所组成， 若地基是由多层土所组成，设各层的厚度为h1、h2、…hi、…hn，则地 基中第n层底面处的竖向土自重应力： 基中第n层底面处的竖向土自重应力：
σ（kPa） （ ）
σcz＝γ z
z
地基中的初始应力，即地基中任一点的自重应力 自重应力， 地基中的初始应力，即地基中任一点的自重应力，只需用竖向应力和 水平向应力表示。 水平向应力表示。天然地面下任意深度z处水平面上的竖向自重应力为
σcz＝γ z
竖直面上的水平向自重应力为 为静止侧压力系数。 K0 为静止侧压力系数。
土中应力计算 第三章 土中应力计算
3.1 概述
要保证建筑物的安全和正常使用必须控制其沉降量和 要保证建筑物的安全和正常使用必须控制其沉降量和不均匀沉降差值 沉降量 差异沉降量）不超过一定范围，对软粘土地基上的建筑物尤为重要。 （差异沉降量）不超过一定范围，对软粘土地基上的建筑物尤为重要。沉降 分析是土力学的基本课题之一。 分析是土力学的基本课题之一。 沉降量的大小主要取决于土体产生变形的原因 土体本身的性状两个方 土体产生变形的原因和 沉降量的大小主要取决于土体产生变形的原因和土体本身的性状两个方 面。 土体产生变形的原因主要是土体中应力状态的改变 应力状态的改变（ 土体产生变形的原因主要是土体中应力状态的改变（如地面荷载引起地 基中应力场的改变，在地基中产生附加应力）。 基中应力场的改变，在地基中产生附加应力）。 土体本身的性状主要指土的压缩性 土的压缩性（ 应力－应变关系）， ），是指土体在 土体本身的性状主要指土的压缩性（或应力－应变关系），是指土体在 附加应力作用下产生的效应。 附加应力作用下产生的效应。
土力学 第三章 土体中的应力计算
第五章土体中的应力计算第一节概述大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。
由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。
地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。
如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。
地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。
一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。
附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。
附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。
一、应力～应变关系的假定真实土的应力～应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。
1、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。
而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。
为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。
2、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。
土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。
为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。
3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。
而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。
土体中的应力.
的应力增量。
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在 深度和水平方向上都是无限延伸的。
二· 竖向集中力作用时的地基附加应力 布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
r
y
R r2 z2
x
dz
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
z
A AS Aw
断面竖向力平衡：
A Psv uAw Psv Aw u
AA
' u
P 接触点
h
自重应力下的两种力系
' u
' γ’z u γw(z+h)
z
2. 有效应力原理及其意义
（1） u
（2）土的变形和强度取决于有效应力而不是总应力。
P z2
z
P z2
竖向集中荷载下地基中附加应力的分布规律：
rP
地面
o
r=0
P
z1 z2 z3
z
z
(1) 地基附加应力的扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴
线处最大，随着距离中轴线愈远愈小；
(3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向的任意点，随深度愈 向下附加应力愈小。
z
lb
]
(l 2 + b 2 + z 2 )
令
c
1
2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
arctan
1
n
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在 深度和水平方向上都是无限延伸的。
二· 竖向集中力作用时的地基附加应力 布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
r
y
R r2 z2
x
dz
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
z
A AS Aw
断面竖向力平衡：
A Psv uAw Psv Aw u
AA
' u
P 接触点
h
自重应力下的两种力系
' u
' γ’z u γw(z+h)
z
2. 有效应力原理及其意义
（1） u
（2）土的变形和强度取决于有效应力而不是总应力。
P z2
z
P z2
竖向集中荷载下地基中附加应力的分布规律：
rP
地面
o
r=0
P
z1 z2 z3
z
z
(1) 地基附加应力的扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴
线处最大，随着距离中轴线愈远愈小；
(3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向的任意点，随深度愈 向下附加应力愈小。
z
lb
]
(l 2 + b 2 + z 2 )
令
c
1
2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
arctan
1
n
土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算
编辑ppt
三、水平向自重应力 土的水平向自重应力cx和cy可按下式计算：
cxcyK0cz
天然地面
土的侧压力系数/ 静止土压力系数
cz cx
广义虎克定律推导出
理论关系为
K0
1
。
值K可0 以在实验室测定。
cy
编辑ppt
z
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计
算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
土中应力
自重应力
附加应力
编辑ppt
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
土中应力计算的目的：
第一节 概述
土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏， 甚至使土体发生滑动失去稳定。
土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉 降，倾斜以及水平位移。
布。根据平衡条件求得重分布后的基底最大压应力。
pmax
pmin pmax
pmin=0
e<l/6
e=l/6
pmax
e>l/6
pmin<0 基底压力重分编布辑pppt max
2(F G) pmax 3( l e)b pmin=0
基底压力重分布
l
l/2-e e>l/6
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
编辑ppt
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推出了该
问题的理论解，包括六个应力分量和三个方向位移的表达
式
教材P48页
其中，竖向应力z：
z3 2 PR z3 52 3 [1(r1 /z)2]5/2zP 2z P 2
三、水平向自重应力 土的水平向自重应力cx和cy可按下式计算：
cxcyK0cz
天然地面
土的侧压力系数/ 静止土压力系数
cz cx
广义虎克定律推导出
理论关系为
K0
1
。
值K可0 以在实验室测定。
cy
编辑ppt
z
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计
算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
土中应力
自重应力
附加应力
编辑ppt
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
土中应力计算的目的：
第一节 概述
土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏， 甚至使土体发生滑动失去稳定。
土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉 降，倾斜以及水平位移。
布。根据平衡条件求得重分布后的基底最大压应力。
pmax
pmin pmax
pmin=0
e<l/6
e=l/6
pmax
e>l/6
pmin<0 基底压力重分编布辑pppt max
2(F G) pmax 3( l e)b pmin=0
基底压力重分布
l
l/2-e e>l/6
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
编辑ppt
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推出了该
问题的理论解，包括六个应力分量和三个方向位移的表达
式
教材P48页
其中，竖向应力z：
z3 2 PR z3 52 3 [1(r1 /z)2]5/2zP 2z P 2
第三章 土中应力的计算
z 2 z 2( aeoh) z 2(ebfo) q( t 1 t 2 )
（3）三角形荷载FEC（最大值为p－q）
作用范围3，4块，对M点引起的竖向应力σz3
z 3 z 3(ofcg) z 3( hogd ) ( p q)( t 3 t 4 )
第三章
土中应力的计算
3.1 概述
土中的应力—指土体在自重、构筑物荷载以及 其它因素（如水渗流、地震等）作用下，土体中 所产生的应力，包括自重应力和附加应力。
自重应力—土体受自重作用而产生的应力。
附加应力—土体受建筑物等外荷载作用而产生 的应力。
1、土中应力计算目的 为了对建筑物地基基础进行沉降（变形）、 承载力与稳定性分析，必须掌握建筑前后土中应 力的分布和变化情况。
2、偏心荷载作用时，基底压力按偏心受压公式计算：
Pmax
min
F G M F G 6e (1 ) A W A l
式中： F＋G、M－作用在基础底面中 心的竖直荷载及弯矩， M=(F＋G)e； e－荷载偏心距； W－基础底面的抵抗矩（抗弯截 面系数），对矩形基础 W＝bl2/6; b、l－基础底面的宽度与长度。
IL w wP 50 25 1.09 1 w L w P 48 25
故受浮力作用，其浮重度为：
'
( s w ) ( 26.8 9.81) 16.8 7.1 kN/m3 s (1 w ) 26.8 (1 0.50)
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa 土层中的自重应力cz分布，如图所示。
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4
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
30
角点下的应力是指图3－16中O、A、C、 D四个角点下任意深度处的应力。将坐标 的原点取在角点O上，在荷载面积内任取 微分面积dA=dxdy，并将其上作用的荷载 以集中力dP代替，则dP=pdA=pdxdy。利 用式（3－6a）可求出该集中力在角点O 以下深度z处M点所引起的竖直向附加应 力dz：
p
K0 p
(3- 28)
式中K0-圆形面积均布荷载作用时圆心点
34
2．任意点的应力—角点法 利用角点下的应力计算公式（3－12）和
应力叠加原理，推求地基中任意点的附 加应力的方法称为角点法。
35
I
II
III
IV
36
第一种情况：计算矩形面积内任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17a)。过M’点 将矩形荷载面积abcd分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ4个小矩形，M’点为4个小矩形的公共 角点，则M’点下任意深度z处的附加应力 zM’为
最大荷载强度为pt（图3－20）。把荷载 强度为零的角点O作为坐标原点，同样可 利用公式（3－6a）和积分方法求出角点 O下任意深度点的附加应力z。
43
44
在受荷面积内，任取微小面积dA=dxdy， 以集中力
dP
pt • x dxdy（因为 px
B
pt
x B
，所以px
x B
pt）
代替作用在其上的分布荷载，则dP在O 点下任意点M处引起的竖直附加应力dz 应为
逐渐变小 (当z=时, R, 0即
cos1, 因此z=0)。
23
3．在z=常数的水平面上的分布
根据公式(3-6a)即
z
3P
2
•
(r 2
z3 z2)5/2
z值在集中力作用线上最大，并随着r的 增加而逐渐减小。随着深度z增加，集中 力作用线上的z减小，而水平面上应力 的分布趋于均匀。
ij
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
6
7
2．二维应变状态（平面应变状态）
堤坝地基中的应力状态属于二维应变状 态。任一xoz截面都是对称面， xy yz 0 ,且沿y方向的应变y=0。 二维应变状态的应力矩阵可表示为：
x
x
E
E
( y
z)
(3- 3)
将侧限条件 x y 0 、sx sy 代入上式得：
x
sx
E
E
( sy
sz ) 0
(3- 4)
15
求解得：
sx
sy
1
sz
sx sy K0 sz
(3- 5)
p
2
arctg
n
m 1 m2 n2
mn 1 m2 n2
1 m2
n2
1
1 n
2
Ks p
(3 -12)
33
式中，m
L B
、n
z B
，其中L为矩形的长边，
B为矩形的短边。 Ks 为 矩 形 竖 直 向 均 布 荷 载 角 点 下 的 应 力 分布系数（表3—2）。
3 2π
1
1
r
2
5
/
2
•
P z2
K
P z2
z
(3 - 8)
式中K称为集中力作用下的应力分布系数，
无量纲。
21
竖直向集中力P作用下地基z的分布特征： 1．在集中力P作用线上的分布 在P作用线上，r= 0，由式（3-8）可知
3P
σz 2 • z2
12
1．竖直向自重应力sz
sz z
(3 -1)
n
sz 1H1 1H1 i Hi i 1
(3- 2)
式中，n—地基中的土层数；—第i层土的
容重。地下水位以上用天然容重，地下
水位以下用浮容重；Hi—第i层土的厚度。
13
14
2．水平向自重应力sx 、sy 广义虎克定律
58
59
60
（四）条形面积竖直梯形分布荷载
61
四、圆形面积竖直均布荷载作用时中心点 下的附加应力计算
地表圆形面积上作用竖直均布荷载p时， 荷载中心点O下任意深度z处M点的附加应 力z仍可通过布辛内斯克解在圆面积内 积分求得。
62
63
将柱坐标原点放在圆心O处图(3－28 )， 在圆面积内任取一微分面积dA=·d·d， 将其上作用的荷载视为集中力 dP=p·dA=p··d·d, dP作用点与M点距离 R=(2+z2)0.5，则dP在M点引起的附加应力 dz由式（3－6a）为：
xx 0 xz
ij
0
yy
0
zx 0 zz
8
9
3．侧限应力状态
侧限应力状态是指侧向应变为零的一种 应力状态，地基在自重作用下的应力状 态即属于此种应力状态。土体不发生侧 向变形，而只发生竖直向的变形。
xy yz zx 0 ，应力矩阵变为：
式中，K0为土的侧压力系数；是土的波松 比；E为土的变形模量。
16
二、土坝的自重应力 土坝不是半无限体，其坝身及坝底应力
较为复杂。对于中小型土坝，可以假定 坝体中任何一点因自重所引起的竖向应 力均等于该点上面土柱的重量，因此任 意水平面上自重应力的分布形状与坝断 面形状相似。
17
18
第三节 地基中的附加应力计算
(3 -13b)
式中，KsⅠ、KsⅡ、KsⅢ、KsⅣ分别为矩形 M’hbe 、M’fce、M’hag、M’fdg的角点应பைடு நூலகம்
力分布系数，p为荷载强度。
38
注意，在应用角点法计算每一块矩形面 积的Ks值时，B恒为短边，L恒为长边。
39
.L
0.5m
40
41
42
（二）矩形面积竖直三角形荷载 在矩形面积上作用着三角形分布荷载，
z
B
2z3
0 [(x )2 z2 ]2
pd
p m
m 1 mn
n(m 1)
arctg
n
arctg
n
m2
n2
n2
(m 1)2
K
s z
p
(3- 24)
Kzs为条形面积受竖直均布荷载作用时的 竖向附加应力分布系数。
54
条形均布荷载在地基内引起的水平向应 力x和剪应力xz可根据式（3－20）和式 (3 － 21)积分求得，并简化为
第三章 土体中的应力计算
第一节 概述 在计算地基中的附加应力时，把土体看
成线弹性体，即假定其应力与应变呈线 性关系，服从广义虎克定律，从而可直 接应用弹性理论求出应力的解析解。
1
2
一、应力-应变关系的假定 1.连续介质问题 弹性力学理论中的应力概念与受力体适
用于连续介质。土不是连续介质。但当 研究宏观土体的受力问题时，可把土体 看作连续体。
xx 0 0
ij
0
yy
0
0 0 zz
10
三、土力学中应力符号的规定 土力学中应力的正负规定：法向应力以
压为正，剪应力方向则规定以逆时针方 向为正。
11
第二节 土体的自重应力计算
一、地基自重应力 地基中由于土体本身的有效重量而产生
的应力叫自重应力。地基土的自重应力 状态属于侧限应力状态。
47
（一）竖直线布荷载-弗拉曼解
48
在线布荷载上取微分长度dy,作用在上面 的荷载pdy可以看成集中力，则在地基内 M点引起的应力按式（3-6a）为
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
30
角点下的应力是指图3－16中O、A、C、 D四个角点下任意深度处的应力。将坐标 的原点取在角点O上，在荷载面积内任取 微分面积dA=dxdy，并将其上作用的荷载 以集中力dP代替，则dP=pdA=pdxdy。利 用式（3－6a）可求出该集中力在角点O 以下深度z处M点所引起的竖直向附加应 力dz：
p
K0 p
(3- 28)
式中K0-圆形面积均布荷载作用时圆心点
34
2．任意点的应力—角点法 利用角点下的应力计算公式（3－12）和
应力叠加原理，推求地基中任意点的附 加应力的方法称为角点法。
35
I
II
III
IV
36
第一种情况：计算矩形面积内任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17a)。过M’点 将矩形荷载面积abcd分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ4个小矩形，M’点为4个小矩形的公共 角点，则M’点下任意深度z处的附加应力 zM’为
最大荷载强度为pt（图3－20）。把荷载 强度为零的角点O作为坐标原点，同样可 利用公式（3－6a）和积分方法求出角点 O下任意深度点的附加应力z。
43
44
在受荷面积内，任取微小面积dA=dxdy， 以集中力
dP
pt • x dxdy（因为 px
B
pt
x B
，所以px
x B
pt）
代替作用在其上的分布荷载，则dP在O 点下任意点M处引起的竖直附加应力dz 应为
逐渐变小 (当z=时, R, 0即
cos1, 因此z=0)。
23
3．在z=常数的水平面上的分布
根据公式(3-6a)即
z
3P
2
•
(r 2
z3 z2)5/2
z值在集中力作用线上最大，并随着r的 增加而逐渐减小。随着深度z增加，集中 力作用线上的z减小，而水平面上应力 的分布趋于均匀。
ij
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
6
7
2．二维应变状态（平面应变状态）
堤坝地基中的应力状态属于二维应变状 态。任一xoz截面都是对称面， xy yz 0 ,且沿y方向的应变y=0。 二维应变状态的应力矩阵可表示为：
x
x
E
E
( y
z)
(3- 3)
将侧限条件 x y 0 、sx sy 代入上式得：
x
sx
E
E
( sy
sz ) 0
(3- 4)
15
求解得：
sx
sy
1
sz
sx sy K0 sz
(3- 5)
p
2
arctg
n
m 1 m2 n2
mn 1 m2 n2
1 m2
n2
1
1 n
2
Ks p
(3 -12)
33
式中，m
L B
、n
z B
，其中L为矩形的长边，
B为矩形的短边。 Ks 为 矩 形 竖 直 向 均 布 荷 载 角 点 下 的 应 力 分布系数（表3—2）。
3 2π
1
1
r
2
5
/
2
•
P z2
K
P z2
z
(3 - 8)
式中K称为集中力作用下的应力分布系数，
无量纲。
21
竖直向集中力P作用下地基z的分布特征： 1．在集中力P作用线上的分布 在P作用线上，r= 0，由式（3-8）可知
3P
σz 2 • z2
12
1．竖直向自重应力sz
sz z
(3 -1)
n
sz 1H1 1H1 i Hi i 1
(3- 2)
式中，n—地基中的土层数；—第i层土的
容重。地下水位以上用天然容重，地下
水位以下用浮容重；Hi—第i层土的厚度。
13
14
2．水平向自重应力sx 、sy 广义虎克定律
58
59
60
（四）条形面积竖直梯形分布荷载
61
四、圆形面积竖直均布荷载作用时中心点 下的附加应力计算
地表圆形面积上作用竖直均布荷载p时， 荷载中心点O下任意深度z处M点的附加应 力z仍可通过布辛内斯克解在圆面积内 积分求得。
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将柱坐标原点放在圆心O处图(3－28 )， 在圆面积内任取一微分面积dA=·d·d， 将其上作用的荷载视为集中力 dP=p·dA=p··d·d, dP作用点与M点距离 R=(2+z2)0.5，则dP在M点引起的附加应力 dz由式（3－6a）为：
xx 0 xz
ij
0
yy
0
zx 0 zz
8
9
3．侧限应力状态
侧限应力状态是指侧向应变为零的一种 应力状态，地基在自重作用下的应力状 态即属于此种应力状态。土体不发生侧 向变形，而只发生竖直向的变形。
xy yz zx 0 ，应力矩阵变为：
式中，K0为土的侧压力系数；是土的波松 比；E为土的变形模量。
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二、土坝的自重应力 土坝不是半无限体，其坝身及坝底应力
较为复杂。对于中小型土坝，可以假定 坝体中任何一点因自重所引起的竖向应 力均等于该点上面土柱的重量，因此任 意水平面上自重应力的分布形状与坝断 面形状相似。
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第三节 地基中的附加应力计算
(3 -13b)
式中，KsⅠ、KsⅡ、KsⅢ、KsⅣ分别为矩形 M’hbe 、M’fce、M’hag、M’fdg的角点应பைடு நூலகம்
力分布系数，p为荷载强度。
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注意，在应用角点法计算每一块矩形面 积的Ks值时，B恒为短边，L恒为长边。
39
.L
0.5m
40
41
42
（二）矩形面积竖直三角形荷载 在矩形面积上作用着三角形分布荷载，
z
B
2z3
0 [(x )2 z2 ]2
pd
p m
m 1 mn
n(m 1)
arctg
n
arctg
n
m2
n2
n2
(m 1)2
K
s z
p
(3- 24)
Kzs为条形面积受竖直均布荷载作用时的 竖向附加应力分布系数。
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条形均布荷载在地基内引起的水平向应 力x和剪应力xz可根据式（3－20）和式 (3 － 21)积分求得，并简化为
第三章 土体中的应力计算
第一节 概述 在计算地基中的附加应力时，把土体看
成线弹性体，即假定其应力与应变呈线 性关系，服从广义虎克定律，从而可直 接应用弹性理论求出应力的解析解。
1
2
一、应力-应变关系的假定 1.连续介质问题 弹性力学理论中的应力概念与受力体适
用于连续介质。土不是连续介质。但当 研究宏观土体的受力问题时，可把土体 看作连续体。
xx 0 0
ij
0
yy
0
0 0 zz
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三、土力学中应力符号的规定 土力学中应力的正负规定：法向应力以
压为正，剪应力方向则规定以逆时针方 向为正。
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第二节 土体的自重应力计算
一、地基自重应力 地基中由于土体本身的有效重量而产生
的应力叫自重应力。地基土的自重应力 状态属于侧限应力状态。
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（一）竖直线布荷载-弗拉曼解
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在线布荷载上取微分长度dy,作用在上面 的荷载pdy可以看成集中力，则在地基内 M点引起的应力按式（3-6a）为