(完整版)圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结,推荐文档

椭圆的定义、性质及标准方程

1. 椭圆的定义：

⑴第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹

12F F 、12F F 叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数，M F l )10(<

M 定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率。

F l e 说明：①若常数等于，则动点轨迹是线段。2a 2c 12F F ②若常数小于，则动点轨迹不存在。2a 2c 2.

椭圆的标准方程、图形及几何性质：

标准方程

中)0(12

2

22>>=+b a b y a x 心在原点，焦点在轴上x )0(12

2

22>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在轴上

y 图形

范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点

()()()()

12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()

12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴轴、轴；

x y 长轴长，短轴长；

2a 2b 焦点在长轴上

轴、轴；

x y 长轴长，短轴长；

2a 2b 焦点在长轴上

焦点()()1200F c F c -，、，()()1200F c F c -，、，焦距)

0(221>=c c F F )

0(221>=c c F F 离心率)10(<<=

e a

c

e )10(<<=

e a

c

e 准线

2

a x c

=±

2

a y c

=±

参数方程与普通方

程

的参数方程为22

22

1x y a b +=()cos sin x a y b θ

θθ=⎧⎨

=⎩为参数的参数方程为22

22

1y x a b +=()cos sin y a x b θ

θθ

=⎧⎨

=⎩为参数

3. 焦半径公式：

椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在轴上时，设分别是椭圆的左、右焦点，是

x 12F F 、()00P x y ，椭圆上任一点，则

，

。

1

0PF a ex =+2

0PF a ex

=-推导过程：由第二定义得

（为点到左准线的距离）

，11

PF e d =1d P 则；同理得。

211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫

==+=+=+ ⎪⎝

⎭20PF a ex =-简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

；若焦点在轴上，则为。有时为了运算方便，设22221x y a b +=y 22

221y x a b

+=。

),0(122n m m ny mx ≠>=+双曲线的定义、方程和性质

知识要点：1．定义

（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。说明：

①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；

若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

（2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。

3．几个概念（1）

等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x ，离心率为。

2（2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴

双曲线，例：的共轴双曲线是。

12222=-b y a x 122

22-=-b

y a x ①双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共

轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。

抛物线标准方程与几何性质

一、抛物线定义的理解

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物F l F 线的焦点，定直线为抛物线的准线。

l 注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为；一定点（即焦点）；一定直

M F

线（即准线）；一定值1（即动点到定点的距离与它到定直线的距离之比1）

l M F l ② 定义中的隐含条件：焦点不在准线上。若在上，抛物线退化为过且垂直F l F l F 于的一条直线

l ③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点和定直线的距离之比为常数的点的轨迹，F l e 当时，表示椭圆；当时，表示双曲线；当时，表示抛物线。

10<e 1=e ④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。

二、抛物线标准方程

1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：，

()022

>±=p px y ，其中：

()022>±=p py x ① 参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正值；值越大，

p p p p 张口越大；等于焦点到抛物线顶点的距离。

2

p

②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是， 若的一次项前符号为正，则开口向右，x x x 若的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是， x y y 当的一次项前符号为正，则开口向上，若的一次项前符号为负，则开口向下。 y y 三、求抛物线标准方程

求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.

① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数，因此要做到“先定位，再定值”。

p 注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为

或，这样可避免讨论。

ax y =2ay x =2② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。

四、抛物线的简单几何性质方程

设抛物线()

022

>=p px y 焦点

范围

对称性顶点离心率准线通径

性质

⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,2p F 0

≥x 关于轴对x 称

原点

1=e 2

p x -

=p

2注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的

；4

1② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，