2.万有引力定律的应用及人造卫星宇宙速度

2.万有引力定律的应用、人造卫星及宇宙速度

一、教学目标

1.掌握万有引力定律的基本应用；

2.学会用万有引力定律计算天体质量、密度以及双星问题；

3.认识人造卫星，掌握卫星在轨运行和变轨问题；

二、课前回顾

1.地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看作是圆形的．已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，求木星与地球绕太阳运行的线速度之比是多少？

2.两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F。若两个半径是小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力是（）

A.2F

B.4F

C.8F

D.16F

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海

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三、考点、重、难点诠释

【必备知识】

1.解决天体（卫星）问题的基本思路

（1）天体运动的向心力由万有引力提供，即：

向ma T

r m mr r v m r Mm G ====222

224πω （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即：

【名师点睛】

（10g 时，通常运用黄金替换式：GM =（2 在中心天体表面：在离地面h ()h mg h R G =+2()

2

h R GM

g h += 2.天体质量和密度的计算

（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R

由mg R Mm G =2，得天体质量G

gR M 2

=

天体密度GR g

R M V M ππρ433

43=

==

考点一 万有引力定律在天体中的应用

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（2）通过卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T ，轨道半径r 。

○1由万有引力等于向心力，即r T m r Mm G 2224π=，得出中心天体质量2

3

24GT r M π= ○2若已知天体的半径R ，则天体的平均密度3

23

333

4R GT r R M V M ππρ=== ○3若天体的卫星在天体表面的附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天

体半径R ，则天体密度2

3GT π

ρ=

。可见，只要测出卫星环绕中心天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。 【名师点睛】

（1）要特别注意卫星轨道半径r 与中心天体半径R 的关系，只有近地卫星的轨道半径才近似等于天体的半径。

（2）要注意万有引力与向心力的关系，只有当把天体运动看成匀速圆周运动时，二者才相等。

【典例研究】

【例1】已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍，某行星的同步卫星轨道半径约为该行星半径的3倍，该行星的自转周期约为地球自转周期的一半，那么该行星的平均密度与地球平均密度之比约为 ( ) A ．1/3 B ．1/4 C ．1/5

D ．1/6

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【变式1】代号“581c ”的行星距离地球约190万亿公里，正围绕一颗体积比太阳小、温

度比太阳低的红矮星运行。现已测出它的质量约是地球的5倍，其直径约为地球的1.5倍。则该行星表面重力加速度与地球表面重力加速度之比约为 ( ) A ．1∶1 B ．2∶1 C ．3∶1

D ．4∶1

【变式2】如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入

绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t ，已知万有引力常量为G ，则下列关于土星质量M 和平均密度ρ的表达式正确的是 ( )

A ．M

233B ．M C ．M D ．M

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【必备知识】 1.卫星的动力学规律

由万有引力提供向心力向ma T

r m r m r v m r Mm G ====222

224πω

2.卫星各物理量随轨道半径变化的规律

规律）（近地时）地h R GMm m g r v r GM v r v m r Mm G +⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎧∝→=

→=2221 3.的运行速度r

M

G

v =，其大小随半径的增大而减小。但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即环绕发射v v 〉。 【名师点睛】

（1）卫星的T v a 、、、ω是相互联系的，如果一个量发生变化，其他量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，他们由轨道半径和中心天体的质量共

考点二 对人造卫星的认识

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同决定。

（2）以第一宇宙速度绕行的卫星，轨道半径最小，周期最小，可以由v

R T π2=（为第一宇宙速度为地球半径，v R ）运算得到大约为85分钟。 【典例研究】

【例2】科学家认为火星是太阳系内除地球以外最有可能存在生命的星球。已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，火星质量是地球质量的0.1倍，火星的半径是地球半径的0.5倍。假设火星是个均匀的球体，且不考虑火星表面大气阻力的影响，请推导：（利用以上字母表达） (1)火星表面的重力加速度；

(2)火星探测器能够环绕火星做匀速圆周运动的最大速度； (3)火星探测器能够围绕火星做匀速圆周运动的最小周期。